RIDGE-MM SEBAGAI SALAH SATU METODE REGRESI RIDGE YANG ROBUST TERHADAP DATA PENCILAN

Edisi Mei 2017 Volume X No. 1

ISSN 1979-8911

RIDGE-MM SEBAGAI SALAH SATU METODE REGRESI RIDGE YANG ROBUST TERHADAP DATA PENCILAN

Sudartianto1, Nono Suwarno2, Ahmad Taofik3 JurusanStatistika FMIPA-UNPAD, Fapet UNPAD, Jurusan Agrotek UIN email : [email protected]; [email protected];[email protected]

ABSTRACT In regression analysis, least squares method used adjuster, which is used to estimate the regression parameters, contains a lot of weaknesses, if there is data in the multikolinieritas especially coupled with the outliers. To overcome these weaknesses ridge-MMregression method is used. Ridge-MM regression method is a modification of the ridge regression method is based on the MM-estimator. Keywords:Multicollinearitas, outliers, ridge regression, robust regression

non-multikolinieritas, dan gangguan

1. PENDAHULUAN Analisis regresi merupakan analisis

yang

membangun

mempelajari sebuah

(r) mengikuti distribusi normal.

cara model

Salah

satu

pelanggaran

asumsi model regresi linier klasik

fungsional dari data yang digunakan

adalah

untuk

Pelanggaran asumsi ini disebabkan

menggambarkan

hubungan

adanya

adanya

multikolinieritas.

antara suatu variabel tak bebas

karena

hubungan

dengan satu atau lebih variabel

sempurna atau hampir sempurna

bebas. Dalam membangun sebuah

diantara

model regresi linier yang baik atau

dalam

cocok ada beberapa asumsi model

Multikolinieritas

regresi linier klasik yang harus

mengakibatkan taksiran parameter

dipenuhi, yaitu nilai yang diharapkan

regresi dengan menggunakan metode

dari gangguan (r) adalah nol, non-

kuadrat terkecil biasa tidak dapat

autokorelasi,

homosedastisitas,

ditentukan

variabel bebas bersifat non-stokastik,

terdefinisi.

variabel-variabel satu

dan

model

linier

bebas regresi.

sempurna

variansnya

dapat

tidak

Sedangkan,

37


ISSN 1979-8911

multikolinieritas hampir sempurna

2.

dapat

2.1 MetodeRegresi Ridge

mengakibatkan

parameter

penaksiran

regresi

menggunakan terkecil

metode

biasa

ditentukan,

dengan

Dalam analisis regresi ganda, metode

kuadrat

kuadrat terkecil biasa adalah suatu

dapat

metode yang sangat popular yang

masih

tetapi

TINJAUAN PUSTAKA

variansnya

menghasilkan sifat-sifat yang

semakin membesar seiring dengan

optimal dan mudah perhitungannya.

meningkatnya multikolinieritas.

Penaksir β dicari dengan

Salah satu metode yang dapat digunakan adanya

untuk

meminimumkan fungsi

menanggulangi

multikolinieritas

adalah

(1)

metode regresi ridge. Akan tetapi,

dan estimator dari parameter β

permasalahan

dinyatakan oleh

yang ada menjadi

lebih rumit ketika pencilan dan

OLS

X’Y(2)

=

mutilkolinieritas terdapat pada data

Metoda ini menghasilkan penaksir

yang sama.Metode regresi ridge akan

yang

menjadi tidak robust ketika terdapat

minimum di antara semu apenaksir

data pencilan. Data pencilan yang

linier tak bias asalkan kekeliruannya

timbul selalu berpengaruh terhadap

berdistribusi

penaksiran yang dilakukan dengan

identik. Akan tetapi dengan adanya

menggunakan

kuadrat

multikolinieritas maka penaksirnya

terkecil biasa dan regresi ridge. Oleh

masih tetap tak bias, akan tetapi

karena itu, diperlukan suatu metode

sudah tidak effisien lagi, karena

yang

variansinya sangat besar. Besarnya

dapat

metode

menangani

adanya

tak

bias

bebas,

pengaruh dari data pencilan dan

nilai

multikolinieritas,

multikolinieritas

metode

tersebut

dan

variansi

bervariansi

normal

yang akan

dan

disebabkan sangat

tidak lain adalahmetode ridge-MM.

membahayakan penggunaan regresi

Metode ini merupakan modifikasi

sebagai

dari metode regresi ridge yang

hipotesis, penaksiran dan peramalan.

menerapkan estimator MM yang

Sebagai alternative dari penggunaan

robust

OLS, kita bias menggunakan metode

pencilan.

terhadap

adanya

data

dasar

untuk

pengujian

regresi ridge karena dengan metode

38


ISSN 1979-8911

ini bias memperbaiki presisi dari

mana

koefisien regresi. Metode regresi

daripada

ridge pertama kali dikemukakan oleh

2.1 Penaksir Regresi Robust

Hoerl [1962] dan kemudian diperluas lebih lanjut oleh Hoerl dan Kennard [1970a].

2.2.1

lebih

kecil

.

Penaksiran

Regresi

dengan

Parameter Metode

MM-

Estimator

Penaksir

koefisien

regresi

ridge

dinyatakan sebagai

MM-estimator pertama kali diperkenalkan oleh Yohai [1985].

X’Y(3)

MM-estimator merupakan metode

Dimana I adalah matrik sidentitas (p

penaksir robust yang dapat mencapai

x p) dan k konstanta.

nilai maksimum breakdown dan

Secara praktis nilai optimal dari k

efisiensi yang tinggi metode ini

tidak diketahui. Berbagai metode

merupakan metode yang terbaik

dalam menentukan k sudah muncul

dibandingkan dengan metode Least

dalam banyak literature seperti yang

Absolute values (LAV), Least edian

dikemukakan oleh Hoerldan Kennard

Squares

(LMS),

Least

[1970b]

Squares

(LTS)

dan

RIDGE

=

dan

Gibbons

[1981].

Trimmed penaksir-M

Penaksirk dikemukakan oleh Hoerlet

menurut Midi danZahari [2007].

al [1975] diberikan oleh

Langkah-langkah (4)

penaksiran

parameter regresi dengan metode MM-estimator

dimana

adalah

sebagai

berikut : =

(5) 2.2.2

Bila k = 0, 0,

RIDGE

RIDGE

=

OLS

, bila k >

adalah penaksir yang bias

akan tetapi lebih stabil dan lebih

Penaksiran

Parameter

Regresi Awal dengan Metode Least Trimmed Square Least

trimmed

square

metode

yang

tepat daripada penaksir OLS dan bila

merupakan

k

dikembangkan oleh Rousseeuw dan

, RIDGE

Hoerldan

Kennard

[1970a] sudah menunjukkan bahwa nilai k akan selalu ada untuk k> 0 di

Leroy[1987]. Prosedur dari metode h

ini adalah meminimumkan

r i 1

2

i

39


ISSN 1979-8911

n dari   kombinasi data dengan tiap h

dalam

kombinasi terdiri dari h pengamatan.

estimator adalah sebagai berikut :

Langkah-langkah dalam melakukan



melakukan

penaksiran

parameter regresi dengan metode M-

Hitung nilai taksiran skala

penaksiran parameter regresi dengan

residual M-estimator dengan

metode least trimmed square adalah

menggunakan rumus :

sebagai berikut : 

Tentukan nilai h dengan

S

menggunakan rumus  3n  p  1  h  4 

dengan



n Buat subset data sebanyak   h



Hitung nilai taksiran koefisien



; i = 1, 2, ..., n

Hitung nilai elemen-elemen wii

Wdengan menggunakan rumus

terbentukdengan menggunakan metode kuadrat terkecil biasa.

sebagai berikut :

 [(Yi  X'i βˆ LTS ) / S ]  wii   (Yi  X'i βˆ LTS ) / S  1 (7)

Hitung jumlah kuadrat residu dari masing-masing subset.



ri (ˆLTS )  Yi  X'iβˆ LTS .

pada matriks diagonal bobot

regresi dari tiap subset yang





1 median ri ( ˆLTS )  median ri ( ˆLTS ) 0.6745 ... (6)

Taksir model regresi dengan

; if Yi  X1i βˆ LTS ; if Yi  X1iβˆ LTS

jumlah kuadrat residu terkecil

dengan  adalah fungsi

adalah yang cocok dengan data.

pengaruh. Fungsi  yang akan

2.2.3

Penaksiran

Regresi

Parameter

dengan

Metode

M-

M-estimator

pertama

kali

digunakan adalah tipe fungsi  bisquare sebagai berikut :

estimator

diperkenalkan

oleh

Huber[1964].

Prosedur dari M-estimator adalah meminimumkan n

fungsi

residual,

yaitu min   (ri ) . Langkah-langkah i 1

 z (1  ( z / c) 2 ) 2  ( z)   0 (8)

; z c ; z c

dengan z  (Yi  X'iβˆ LTS ) / S ; c = 4.685S.

c adalah konstanta

40






ISSN 1979-8911

tunning S adalah taksiran skala

tetapan k . Langkah-langkah dalam

residu M-estimator..

melakukan

Taksiran Parameter Regresi MM-

regresi dengan regresi ridge-MM

estimator dapat diperoleh dengan

adalah sebagai berikut :

menggunakan rumus :



Hitung

varians

residu

parameter

Penentuan nilai tetapan k pada ridge-MM

βˆ MM  (X'WX)1 X'Wy (9) 

penaksiran

adalah

dengan

menggunakan rumus : 2

MM-

pS k  ' MM βˆ βˆ

estimator dengan menggunakan

MM

(11)

MM

rumus : dengan 2 S MM 

(y  Xβˆ MM ) '(y  Xβˆ MM ) (1 n p

βˆ MM

dengan

parameter

Penaksir ridge-MM didefinisikan sebagai berikut :

regresi

dengan

metode

dan

p

βˆ RMM  (X'X  kI)-1 X'y (12)

MMadalah

banyaknya parameter regresi.

2.2.4

banyaknya

adalah taksiran

menggunakan estimator

adalah

parameter regresi. 

0)

p

RegresiRidge-MM

dengan

k

adalah

konstanta

positif.

3. PENERAPAN 3.1 Data

Pada

metode

ridge-MM

Data yang akan dianalisis

prosedur perhitungan yang harus

disini adalah data sekunder mengenai

dilakukan tidak jauh berbeda dengan

data pengukuran komponen indikator

prosedur perhitungan yang dilakukan

Indeks

Pembangunan

Manusia

dengan menggunakan regresi

(IPM), yang meliputi Angka Harapan

ridge biasa. Perbedaan prosedur

Hidup (AHH), Angka Melek Huruf

perhitungan

ridge-MM

(AMH), dan Rata-rata Lama Sekolah

dengan regresi ridge hanya terletak

(RLS). Data diambil secara acak

pada rumus dalam menentukan nilai

sederhana sebanyak 30 Kabupaten/

antara

41


Kota

di

Indonesia.

ISSN 1979-8911

Data

ini

sepenuhnya menggunakan konsep dan

definisi

dari

variabel

pengamatan yang dipakai oleh BPS.

3.2 Penaksiran Parameter Regresi dengan Metode Kuadrat Terkecil Biasa

untuk

Data

yang

sudah distandardisasi Pada digunakan

tahap rumus

awal (2)

ini

sehingga

diperoleh nilai penaksir βˆ , sebagai berikut :

 0.2151 βˆ  0.6965 0.1373

sehingga model regresi taksirannya adalah sebagai berikut :

Yˆ *  0.2151X1*  0.6965 X 2*  0.1373X 3* (13)

Dengan mentransformasikan kembali pada setiap variabel asal, maka

diperoleh

taksiran

model

regresi metode kuadrat terkecil biasa adalah sebagai berikut:

Yˆ  7.94  0.6943 X1  0.2995 X 2  0.4813 X 3 (14) Berdasarkan taksiran model regresi linier multipel (14) dapat diperoleh nilai residu ri dengan

ri  Yi  Yˆi adalah sebagai berikut :

42


ISSN 1979-8911

Tabel Nilai Residu Metode Kuadrat Terkecil Biasa No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

ri -0.2599 -0.0347 -0.0348 0.1168 -0.0205 -0.0645 -0.0304 0.0016 0.1091 -0.0608 0.0837 -0.0136 0.0647 -0.0549 0.0907

No 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

ri -0.0550 0.0434 0.0881 -0.0803 0.0399 0.0594 -0.0458 0.0073 0.0739 0.0788 0.0554 -0.0414 -0.0547 -0.0621 0.0007

Berdasarkan hasil penaksiran model

3.3

regresi dengan menggunakan metode

dan Multikolinieritas

kuadrat terkecil biasa diatas dapat

3.3.1 Pencilan

diperoleh nilai residu seperti pada tabel

di

atas.

Nilai

residu

ini

Pengidentifikasian Pencilan

Pendeteksian pencilan dilakukan dengan menghitung nilai

selanjutnya akan digunakan untuk

Internal Studentized Residual,

melakukan proses pengidentifikasian

Deleted Studentized Residual,

terhadap

Leverage, Cook’s Distance, dan

pencilan

multikolinieritas.

dan

DFIT sehingga diperoleh hasil sebagai berikut :

43


No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

ISSN 1979-8911

Tabel Nilai SRES, TRES, HI, COOK, dan DFIT SRES TRES HI COOK DFIT -3.24412 -4.12328 0.057271 0.159840 -1.01629 -0.45484 -0.44780 0.143656 0.008676 -0.18341 -0.45874 -0.45167 0.154819 0.009637 -0.19331 1.53496 1.57837 0.149227 0.103316 0.66104 -0.27113 -0.26624 0.162863 0.003575 -0.11743 -0.87327 -0.86915 0.198669 0.047267 -0.43277 -0.40447 -0.39787 0.171594 0.008472 -0.18108 0.02292 0.02247 0.327058 0.000064 0.01567 1.56899 1.61697 0.289935 0.251294 1.03325 -0.82610 -0.82090 0.203714 0.043647 -0.41521 1.09861 1.10318 0.147701 0.052290 0.45924 -0.18615 -0.18265 0.215786 0.002384 -0.09581 0.80852 0.80298 0.060599 0.010542 0.20394 -0.73335 -0.72667 0.175487 0.028616 -0.33524 1.15347 1.16117 0.092078 0.033734 0.36979 -0.69873 -0.69168 0.089601 0.012013 -0.21699 0.60099 0.59346 0.234044 0.027592 0.32805 1.09577 1.10020 0.050082 0.015826 0.25262 -1.00045 -1.00047 0.052754 0.013936 -0.23610 0.50166 0.49431 0.069911 0.004729 0.13552 0.75211 0.74566 0.083766 0.012929 0.22546 -0.58123 -0.57368 0.089706 0.008323 -0.18009 0.09206 0.09029 0.069985 0.000159 0.02477 0.93769 0.93544 0.088782 0.021417 0.29199 1.01815 1.01889 0.120679 0.035567 0.37746 0.69159 0.68448 0.058350 0.007409 0.17039 -0.51874 -0.51132 0.064162 0.004612 -0.13389 -0.68784 -0.68070 0.072430 0.009236 -0.19021 -0.78389 -0.77792 0.078689 0.013121 -0.22735 0.01011 0.00991 0.226604 0.000007 0.00536

 Telah

dijelaskan

sebelumnya

bahwa

suatu

pengamatan

dikatakan

pencilan

jika

TRES  t( / 2;n-( p 1)-1) atau TRES  t( / 2;n( p 1)1)

; dengan t(0.025;25)  2.06 

HI  (2( p  1) -1) / n ; dengan

memenuhi beberapa ketentuan,

(2( p  1) -1) / n  0.2333

yaitu sebagai berikut :





SRES  2 atau SRES  2

COOK  F( ;( p 1),n ( p 1)) ;

dengan F(0.05;4,26)  2.74

44


ISSN 1979-8911

p 1 ; n



DFIT  2

2

p 1  0.7303 n

dengan

hasil

terdapat

sebagai

tahap

multikolinieritas

perhitungan diatas dapat dilihat

pengamatan

Multikolinieritas Pada

Berdasarkan

bahwa

3.3.2

beberapa

yang

ini dideteksi

dengan

menghitung

nilai

bilangan

kondisi.

Dari

perhitungan diperoleh hasil eigen sebagai berikut :

dideteksi

pencilan,

yaitu

pengamatan ke-1, 8, 9, dan 17. Pengamatan

ke-1

dideteksi

Tabel Nilai Eigen dari Matriks X’X

sebagai outlier, yaitu pengamatan yang

memiliki

Nilai Eigen

studentized pada

λ1

2.6633

sekumpulan data. Pengamatan

λ2

0.3159

λ3

0.0208

residual

yang

besar

ke-8, 9, dan 17 dideteksi sebagai leverage value, yaitu pengamatan yang memiliki nilai-nilai Xi dan Yi yang agak jauh dari data yang

Berdasarkan hasil perhitungan nilai

lain. Selain itu, pengamatan ke-9

eigen diatas didapat nilai bilangan

juga

kondisi

dideteksi

sebagai

sebesar

128.1665.

Oleh

pengamatan berpengaruh, yaitu

karena itu, dapat diketahui bahwa

pengamatan yang mempengaruhi

terdapat pelanggaran asumsi regresi

model

Pengamatan

linier klasik, yakni multikolinearitas.

membuat

Ini artinya bahwa terdapat hubungan

regresi.

berpengaruh

dapat

model regresi dengan metode kuadrat

terkecil

linier di antara variabel bebas.

biasa

Dengan adanya pelanggaran

menyimpang dari pola sebagian

asumsi model regresi linier klasik,

besar data.

yaitu multikolinearitas yang diikuti adanya pencilan, maka penaksiran parameter

regresi

tidak

dapat

dilakukan dengan metode kuadra 45


ISSN 1979-8911

terkecil biasa ataupun metode regresi

adalah sebanyak 2035800 dan setiap

ridge karena taksiran model yang

subset terdiri dari 23 pengamatan.

diperoleh akan terpengaruhi oleh

Dengan

menggunakan

adanya pencilan. Oleh karena itu,

software

penaksiran

parameter regresi awal dengan nilai

parameter

regresi

dilakukan dengan metode ridge-MM.

jumlah

diperoleh

kuadrat

taksiran

residu

sebesar

0.1222 adalah sebagai berikut : 3.4

Penaksiran

Regresidengan

0.1957  ˆβ =  0.6518 LTS   0.2180 

Parameter

Metode

MM-

estimator Telah

dijelaskan

bahwa

3.4.2

Penaksiran

penaksiran parameter regresi dengan

Regresi

metode

MM-estimator

Estimator

dengan

beberapa

dilakukan

langkah,

Penaksiran

Parameter

Trimmed

Square

Pada tahap ini hal pertama harus

dilakukan

adalah

menentukan banyaknya subset yang terbentuk

dan

menentukan

banyaknya pengamatan untuk setiap subset

yang

Metode

tahap

ini

M-

langkah

pertama yang harus dilakukan adalah

Regresi Awal dengan Metode Least

yang

Pada

yaitu

sebagai berikut : 3.4.1

dengan

Parameter

terbentuk.

Dari

perhitungan diperoleh hasil bahwa banyaknya subset yang terbentuk

menghitung taksiran skala residual untuk

M-estimator.

Dengan

menggunakan rumus (6) diperoleh nilai taksiran skala residual untuk Mestimator

adalah

sebesar0.0678.

Kemudian

dilakukan

penaksiran

parameter

regresi

dengan

menggunakan rumus (9) dengan matriks diagonal W pada rumus (7) dan (8) sehingga diperoleh nilai elemen-elemennya sebagai

(wii)

berikut

adalah :

Tabel Nilai Elemen-elemen Matriks Diagonal W No

wii

No

wii

1

0.0000

16

0.0000

2

0.9988

17

0.0000

46


ISSN 1979-8911

3

0.9999

18

0.0000

4

0.0000

19

0.0000

5

0.9784

20

0.0000

6

0.2751

21

0.0000

7

0.6348

22

0.0000

8

0.9991

23

0.3430

9

0.0000

24

0.0000

10

0.0000

25

0.0000

11

0.0000

26

0.0000

12

0.7439

27

0.0000

13

0.0000

28

0.0000

14

0.0000

29

0.0000

15

0.0000

30

0.0000

Berdasarkan hasil perhitungan diatas dapat

diperoleh

parameter dengan

regresi

nilai

taksiran

MM-estimator

menggunakan

software

adalah sebagai berikut :

estimator

varians dengan

harus

besarnya

Penaksiran

nilai

k.

adalah Dengan

menggunakan rumus (11) diperoleh

dapat diperoleh nilai βˆ RΜΜ dengan menggunakan

residu

rumus

(12),

yaitu

sebagai berikut :

MM-

menggunakan

 0.2093   ˆβ RMM =  0.6763  0.1612 

rumus (10), yaitu sebesar 0.0075.

3.4.3

ditentukan

Berdasarkan nilai k = 0.0585

Selain itu, dapat diperoleh nilai

yang

besarnya nilai k sebesar 0.0585.

0.1986 βˆ MM = 0.6535 0.2150

juga

Pada tahap ini hal pertama

Parameter

Regresi dengan Metode Ridge-

sehingga diperoleh taksiran model

MM

regresi ridge-MM adalah sebagai berikut : 47


ISSN 1979-8911

Yˆ *  0.2093X1*  0.6763X 2*  0.1612 X 3* menganggap angka harapan (15) hidup dan angka melek huruf bernilai konstan, maka indeks

Dengan mentransformasikan kembali pada setiap variabel asal,

pembangunan

maka

meningkat sebesar 0.5651.

diperoleh

taksiran

model

regresi ridge-MM adalah sebagai berikut:

manusia

Berdasarkan hasil

akan

taksiran

model regresi (15) dapat diperoleh

Yˆ  1.8432  0.6755 X1  0.2908 X 2  0.5651nilai X 3 koefisien determinasi sebesar 99.28%,artinya bahwa sebanyak (16) Persamaan tersebut dapat diartikan

99,28%

variabel

sebagai berikut:

pembangunan

1. Rata-rata indeks pembangunan

dijelaskan

indeks

manusia

oleh

dapat

variabel

angka

manusia akan berkurang 1.8432

harapan hidup, angka melek huruf,

apabila angka harapan hidup,

dan

angka melek huruf, dan rata-rata

Sedangkan sisanya sebesar 0.72%

lama sekolah bernilai nol.

dijelaskan oleh variabel lain.

rata-rata

lama

sekolah.

2. Jika setiap angka harapan hidup bertambah

1

tahun

dengan

menganggap angka melek huruf dan

rata-rata

lama

5. KESIMPULAN

sekolah

Berdasarkan

hasil

bernilai konstan, maka indeks

pembahasan yang telah dilakukan

pembangunan

dapat diambil kesimpulan sebagai

manusia

akan

meningkat sebesar 0.6755.

berikut :

3. Jika setiap angka melek huruf bertambah

1

menganggap

1.

Setelah

dilakukan

%

dengan

pendeteksian terhadap pencilan dan

angka

harapan

mulitkolinieritas

pada

hidup dan rata-rata lama sekolah

ternyata terdapat


yang

pembangunan

manusia

akan

meningkat sebesar 0.2908. 4. Jika setiap rata-rata lama sekolah bertambah

1

tahun

diikuti

data

multikolinieritas

adanya

pencilan

sehingga metode penaksiran parameter regresi yang digunakan adalah metode ridge-MM.

dengan 48


2.

ISSN 1979-8911

Metode ridge-MM digunakan

untuk

mengatasi

multikolinieritas sempurna

dan

adanya

tidak pencilan

yang

Model taksiran regresi ridge-

lama

sekolah


merupakan pengamatan berpengaruh. 3.

rata-rata

pembangunan

manusia akan meningkat sebesar 0.2908. d. Jika setiap rata-rata lama

MM yang diperoleh adalah sebagai

sekolah

bertambah

berikut :

tahun

Yˆ  1.8432  0.6755 X1  0.2908 X 2  0.5651X 3

menganggap

1

dengan angka

harapan hidup dan angka Persamaan

tersebut

dapat

diartikan sebagai berikut: a. Rata-rata

indeks

pembangunan

manusia

akan berkurang 1.8432 apabila

angka

melek konstan,

huruf maka

pembangunan

bernilai indeks manusia

akan meningkat sebesar 0.5651.

harapan

hidup, angka melek huruf, dan rata-rata lama sekolah bernilai nol. b. Jika setiap angka harapan hidup bertambah 1 tahun dengan

menganggap

angka melek huruf dan rata-rata

lama

sekolah


pembangunan

manusia akan meningkat sebesar 0.6755. c. Jika setiap angka melek huruf bertambah 1 % dengan

menganggap

angka harapan hidup dan 49


ISSN 1979-8911

DAFTAR PUSTAKA Huber,

P.

J.

(1973).

Robust

Gibbons, D. (1981). A Simulation

Regression:Asymtotics. Conjectures

Study of Some Ridge

and Monte Carlo. The Annals of

Journal

of

Estimators.

American

Statistical

Statistics.1: 799-821.

Association.76: 131-139. Rousseeuw,

P.

J.

and

A.

M.

Hoerl, A. E. (1962). Application of

Leroy.(1987). Robust Regression and

Ridge

Outlier Detection.New York: John

Analysis

Problems.

to

Regression

Chemical

Engineering

Wiley Sons.

Progress.58: 54-59. Yohai, V.J.(1985). High BreakdownHoerl,

A.

E.

and

R.

W.

Pointand High Efficiency Robust

Kennard.(1970a). Ridge Regression:

Estimates for Regression.TheAnnals

Iterative Estimation of the Biasing

of Statistics.15 (20): 642-656.

Parameter.Communications

in

Statistics: A. Theory Methods. 5: 77-

Midi, H. dan Zahari, M. 2007. A

88.

Simulation

Study

Regression

Estimators

Presence

of

Hoerl,

A.

E.

and

R.

W.

Multicolinierity.

Applications

Teknologi Malaysia.

Nonorthogonal

Ridge in

Outliers

Kennard.(1970b). Ridge Regression: to

on

The and

Universiti

Problems.Technometrics.12: 69-82. Hoerl,

A.

E.

and

K.

F.

Midi, H., Nurulhuda F.M.A., dan

Baldwin.(1975). Ridge Regression:

Ismail, N.F. 2006. The Performance

Some Simulations. Communications

of Clustering Approach with Robust

in Statistics.4: 104-123.

MM-Estimator forMultiple Outlier Detection

Hoerl, A. E., R. W. Kennard and K. F.

Baldwin.(1975).

Regression:

Some

Commun.Stat. 4:104-123.

in Linear Regression.

Universiti Teknologi Malaysia.

Ridge Simulation

Montgomery, Elizabeth

Douglas A.

Peck.

C.

dan 1992.

50


ISSN 1979-8911

Introduction to Linier Regression

Soemartini. 2007. Pencilan (Outlier).

Analysis. Penerbit : John Wiley &

Universitas Padjadjaran.

Sons, Inc.Canada. Sen, Ashish dan Muni Srivastava.

Soemartini.

2008.

1990. Regression Analysis : Theory,

Multikolinieritas

Method, and Applications. Penerbit :

Ridge

Springer-Verlag. New York.

Padjadjaran.

Penyelesaian

melalui

Regression.

Metode

Universitas

51

RIDGE-MM SEBAGAI SALAH SATU METODE REGRESI RIDGE YANG ROBUST TERHADAP DATA PENCILAN

Recommend Documents