Részecskék hullámtermészete
Bevezetés
A sugárzás és az „anyag” egyaránt mutat részecskejellegű és hullámjellegű tulajdonságokat.
Atommodellek A Thomson modell J.J. Thomson 1898
A negatív töltésű elektronok pozitív töltésű folyadékba vannak beágyazva. Különféle rezgéseket végeznek, (a klasszikus elmélet szerint) az adott frekvenciákon sugárzást bocsátanak ki.
A Rutherford modell
Ernest Rutherford (1911) Alfa részecskék szórásának vizsgálata vékony (néhány száz atomréteg) arany fólián. Ezáltal az egyes atomok okozta szórást lehet megfigyelni. Az alfa részecske energiája néhány millió eV, tömege kb. 8000-szer nagyobb az elektronnál. Visszaszórt alfa részecskéket is észleltek! Nagyszögű szórást csak nagy erők okozhatnak
Az atom nagy tömegű pozitív töltése egy 10−14 m sugarú térrészben található. Ez az atommag.
Homogén töltéseloszlású gömb és pontszerű töltés által az alfa részecskére ható erő.
Alfa részecskék szóródása aranyfólián
Alfa részecskék szóródása aranyfólián
Hans Geiger, Ernest Mardsen
A Rutherford modell
A gyorsuló töltés sugároz
A Bohr modell A H-atom emissziós spektruma
A hidrogén emissziós színképének Balmer sorozata. A vonalak a 364.6 nm hullámhossznál torlódik.
J. Balmer empirikus képlete A H atom látható spektrumvonalainak hullámhosszai ⎛ n2 ⎞ λ = (364.56 nm )⎜⎜ 2 2 ⎟⎟ ⎝n −2 ⎠ 1
1⎞ ⎛1 = RH ⎜ 2 − 2 ⎟ λ n ⎠ ⎝2
A frekvenciák f =
1⎞ ⎛1 = cRH ⎜ 2 − 2 ⎟ λ n ⎠ ⎝2 c
(n = 3,4,5,...)
RH a Rydberg állandó
A H atom emissziós spektruma
A H atom spektrumának vonalai 1
1⎞ ⎛ 1 = RH ⎜ 2 − 2 ⎟ λ n ⎠ ⎝m
f mn =
1⎞ ⎛ 1 = cRH ⎜ 2 − 2 ⎟ λ n ⎠ ⎝m c
m = 1 n = 2,3, ...
Lyman sorozat
m = 2 n = 3, 4, ...
Balmer sorozat
m = 3 n = 4,5, ...
Paschen sorozat
m = 4 n = 5,6, ...
Brackett sorozat
m = 5 n = 6,7, ...
Pfund sorozat
A Bohr posztulátumok Niels Bohr 1913 (1) Az elektron a proton körül körpályán mozog a klasszikus fizika törvényei szerint. (A centripetális erőt a Coulomb-féle vonzóerő szolgáltatja) (2) Az klasszikus elmélettel szemben elektronok csak bizonyos megengedett sugarú pályákon mozoghatnak. Ezeken a pályákon az elektron energiája állandó, ezeken a pályákon az elektron stacionárius állapotban van. (3) A megengedett pályák azok, melyeken az elektronok mrv impulzusnyomatéka (perdülete)
mvrn = nh
(n = 1,2,3,....)
h = (h / 2π )
(4) Az atom akkor bocsát ki (vagy nyel el) elektromágneses hullámokat, amikor „átugrik” egyik állapotból a másikba. A kibocsátott (vagy elnyelt) foton energiája a két állapot energiája közötti különbséggel egyenlő: Bohr-féle frekvenciafeltétel
Ekez det i − Evégső = hf
emisszió
Evégső − Ekez det i = hf
abszorpció
A Bohr elmélet a klasszikus fizika és kvantumfizika sajátságos keveréke. Az elektron a klasszikus mechanika szerint mozog, a klasszikus fizikával ellentétben azonban nem sugároz.
A megengedett sugarú és energiájú állapotok meghatározása
∑ F = ma ⎛ v2 ⎞ ( Ze)(e) = m⎜⎜ ⎟⎟ 2 4πε 0 r ⎝ r ⎠ 1
mvrn = nh
ε 0h2n2 rn = πmZe 2 Z =1
(n = 1,2,3,4,....)
rn = (0.0529 nm)n 2
E =U + K U (∞ ) = 0 U =−
E=
1 ( Ze)(e) 4πε 0 r
1 2 1 ( Ze)(e) mv − 2 4πε 0 r
A HIDROGÉN ATOM ENERGIASZINTJEI Z =1
mZ 2 e 4 En = − 2 2 2 8ε 0 h n En = −
13.6 eV n2
(n = 1,2,3,4,....)
A H atom emissziós és abszorpciós spektruma
A korrespondencia elv A klasszikus és az új elmélet közötti kapcsolat Körpályán mozgó elektron által kibocsátott sugárzás frekvenciája a keringés frekvenciája
me 4 f0 = 2 3 3 4ε 0 h n
( Z = 1)
A Bohr elméletben a szomszédos energiaszintek közti átmenet során kibocsátott sugárzás frekvenciája
hf = Evégső − Ekez det i
hf = Evégső − Ekez det i me 4 ⎛ 1 1 ⎞ ⎟ hf = 2 2 ⎜⎜ 2 − 2 ⎟ 8ε 0 h ⎝ n (n + 1) ⎠ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ n 2 + 2n + 1 − n 2 ⎞ ⎛ 2n + 1 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 ⎜⎜ 2 − ⎟ = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎟ 2 2 2 ⎟ ⎝ n (n + 1) ⎠ ⎝ n (n + 1) ⎠ ⎝ n (n + 1) ⎠ Ha n igen nagy, határátmenetben
⎛ 2n + 1 ⎞ 2 lim ⎜ 2 ⎟= 3 n >>1 n (n + 1)2 ⎝ ⎠ n
Így a kisugárzott frekvencia
me 4 f = 2 3 3 4ε 0 h n
Nagy n esetén a kvantumelméleti kifejezés megegyezik a klasszikussal.
A de Broglie hullámok
Louis de Broglie 1924
Hipotézise: A hullám-részecske kettősség nemcsak a sugárzásra, hanem az anyagi részecskékre is vonatkozik. Az elektromágneses sugárzás fotonjainak impulzusa
p=
h
λ
Minden p=mv impulzusú részecskéhez hozzárendelhető egy hullám
mv = A p impulzusú részecske
DE BROGLIE HULLÁMHOSSZA
h
λ
h λ= p
Mi hullámzik? de Broglie: anyaghullám, fázishullám, vezérhullám Ésszerű magyarázat a Bohr-féle kvantumfeltételre: Stacionárius állapot, állóhullám Stacionárius állapotban a körpálya kerületén a hullámhossz egészszámú többszöröse férhet el:
2πrn = nλ
λ=
h mv
⎛ h ⎞ mvrn = n⎜ ⎟ π 2 ⎝ ⎠ Egyetlen elektron különböző részeinek interferenciájáról van szó !
A Davidson-Germer kísérlet Clinton Davidson és Lester Germer (1925-27), G.P. Thomson Anyaghullámok kísérleti kimutatása elektron-szóráskísérlettel. A Ni lapcentrált köbös (FCC) kristály. Ni egykristály (1,1,1) sík, atomsorok távolsága
d = 0.21579 nm A beeső elektronok ezeken az atomsorokon szóródva hozzák létre az interferenciaképet. A kis energiájú elektronok nem hatolnak be jelentős mélységbe a kristályba. Az elektronok a fémkristály felületéről kitüntetett irányokban szóródnak.
27 cellából álló Ni kristály, egyik csúcsa le van vágva
Tekintsük azokat az elektronokat, melyek a metszősíkra merőlegesen esnek be és Φ szög alatt szóródnak. Erősítés feltétele
d sin φ = mλ
(m = 1,2,3,...)
m a szórás rendje d az atomsorok közötti távolság Az elektront V feszültséggel gyorsítva
1 2 mv = eV 2 Ni egykristály (1,1,1) síkjának oldalnézete
v=
2eV m
Az elektron impulzusa
2eV p = mv = m = 2meV m Az elektron de Broglie hullámhossza
λ=
h ⎛ h ⎞ 1 =⎜ ⎟ p ⎝ 2me ⎠ V
Az elektronok (nem relativisztikus) DE BROGLIE HULLÁMHOSSZA
1.226 nm λ= V V voltban van megadva
φ = 50° m=1
V=54 V
λ = 0.167 nm
λ = d sin φ = (0.21579 nm) sin 50° = 0.165 nm
Látható fény és elektronok elhajlása él mellett
A hullámmechanika Werner Heisenberg 1925 mátrixmechanika Erwin Schrödinger 1926 hullámmechanika P.A. Dirac, Neumann János kvantummechanika Paul A. Dirac relativisztikus kvantummechanika, pozitron létezésének megjósolása
A Schrödinger egyenlet és a hullámfüggvény (1D) szabadon mozgó tömegpont (az U potenciális energia állandó)
p, E
síkhullám
k, ω
1D
Ψ0 ( x, t ) = A exp i (kx − ωt )
k=
2π
λ
ω=
2π T
Nem-relativisztikus részecskék
1 2 p2 K = mv = 2 2m
U = U0
p = 2m( E − U 0 )
p2 E = K +U0 = +U0 2m
λ=
h h = p 2m( E − U 0 )
p2 +U0 = E 2m
E = hω h 2k 2 + U 0 = hω 2m
p = hk
∂Ψ0 = ikΨ0 ∂x
∂ Ψ0 2 k = − Ψ0 2 ∂x 2
∂Ψ0 = −iωΨ0 ∂t
1 ∂ 2 Ψ0 k =− Ψ0 ∂x 2 2
1 1 ∂Ψ0 ω =− i Ψ0 ∂t
h 2k 2 + U 0 = hω 2m h 2 1 ⎛ ∂ 2 Ψ0 ⎞ h 1 ∂Ψ0 ⎟ ⎜⎜ + U = − − 0 2m Ψ0 ⎝ ∂x 2 ⎟⎠ i Ψ0 ∂t h 2 ⎛ ∂ 2 Ψ0 ⎞ h ∂Ψ0 ⎟ ⎜⎜ + U Ψ = − − 0 0 2m ⎝ ∂x 2 ⎟⎠ i ∂t
h 2 ⎛ ∂ 2 Ψ0 ⎞ h ∂Ψ0 ⎟ ⎜ U + Ψ = − − 0 0 2m ⎜⎝ ∂x 2 ⎟⎠ i ∂t
Általánosítás
U 0 → U ( x, t )
Ψ0 → Ψ ( x, t )
IDŐFÜGGŐ SCHRÖDINGER h 2 ⎛ ∂ 2 Ψ ( x, t ) ⎞ h ∂Ψ ( x, t ) ⎟ ⎜ + U x t Ψ x t = − − ( , ) ( , ) EGYENLET i ∂t 2m ⎜⎝ ∂x 2 ⎟⎠ ⎡ h2 ∂2 ⎤ h ∂Ψ ( x, t ) − + U ( x , t ) Ψ ( x , t ) = − ⎢ ⎥ 2 2 m ∂ x i ∂t ⎣ ⎦
⎡ h2 ∂2 ⎤ h ∂Ψ ( x, t ) U x t x t + Ψ = − − ( , ) ( , ) ⎢ ⎥ 2 m ∂ x i ∂t 2 ⎣ ⎦
Vezessünk be egy új matematikai szimbólumot HAMILTON OPERÁTOR
) h2 ∂2 H ≡− + U ( x, t ) 2 2m ∂x
Matematikai műveletek (operációk) sorozata az operátor. IDŐFÜGGŐ SCHRÖDINGER EGYENLET
) h ∂Ψ HΨ = − i ∂t
Lineáris másodrendű parciális differenciálegyenlet → érvényes a szuperpozíció elve: az egyenlet megoldásainak lineáris kombinációja is megoldás.
Időfüggő Schrödinger egyenlet szeparálása Konzervatív rendszernél E=állandó
Ψ ( x, t ) = ψ ( x)θ (t )
) h ∂Ψ HΨ = − → i ∂t
U ( x, t ) → U ( x ) szeparálható alakban írható
) h dθ θHψ = − ψ i dt ) Hψ h θ& =− ψ iθ
θ& ≡
dθ dt
Az egyenlet bal oldala a koordinátától függ, jobb oldala az időtől. Az egyenlőség minden helyen és időben úgy állhat fenn, hogy mindkét oldal állandó.
) Hψ
h θ& =− ≡E iθ ψ
h θ& − =E→ iθ
θ (t ) = θ 0 e
θ (t ) = e ) Hψ
ψ
=E→
θ0 = 1
E −i t h
) Hψ = Eψ
IDŐFÜGGETLEN SCHRÖDINGER EGYENLET A HULLÁMFÜGGVÉNY (ÁLLAPOTFÜGGVÉNY)
E −i t h
) Hψ = Eψ Ψ ( x, t ) = ψ ( x ) e
E −i t h
= ψ ( x)e −iωt
Ψ ( x, t ) = ψ ( x ) e
Ψ ( x, t )
E −i t h
= ψ ( x)e −iωt
komplex függvény, neve állapotfüggvény vagy hullámfüggvény
sajátfüggvény ψ (x ) ) sajátérték-egyenlet Hψ = Eψ
Az állapotfüggvény reguláris függvény, azaz: • folytonos • véges (négyzetesen integrálható) • egyértékű
A hullámfüggvény fizikai értelmezése 2
Ψ ( x, t ) dx
Max Born (1926)
tartózkodási valószínűség
annak a valószínűsége, hogy a részecske az x és x+dx tartományban található. „Anyaghullám” nincsen !!! 2
Ψ( x , t ) = Ψ ∗ ( x , t )Ψ( x , t )
U = U (x)
Konzervatív rendszer esetén 2
Ψ ( x, t ) = ψ ( x )
2
valószínűségi sűrűség
Ψ( x , t ) = ψ ( x )e − iωt
A megtalálási valószínűség nem függ az időtől.
A részecske valahol van, az egész térre számított tartózkodási valószínűség 1. ∞
NORMA
∫
−∞
2
Ψ( x) dx = 1
3D az állapotegyenlet ⎡ h2 ⎛ ∂ 2 ⎤ h ∂Ψ( x , y , z , t ) ∂2 ⎞ ∂2 ⎜ ⎟ U x y z t x y z t ( , , , ) ( , , , ) + Ψ = − + − + ⎢ ⎥ ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟ m i ∂t 2 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
r ) r h ∂Ψ (r , t ) HΨ (r , t ) = − i ∂t 2
Ψ (r, t ) dV annak a valószínűsége, hogy a részecske a V és V+dV tartományban található A részecske valahol van, az egész térre számított tartózkodási valószínűség 1. NORMA
∫Ψ
2
az egész térre
dV = 1
Az elektronok által létrehozott interferenciakép sok független esemény összege. Az események számának növelésével a az interferenciakép mintázata egyre kifejezettebbé válik. Az elektron megtalálási valószínűsége, és így az interferenciakép mintázata is független az időtől.
Kötött állapotok A hullámfüggvény matematikai tulajdonságai (1D). A sajátértékegyenlet
Hˆ ψ = Eψ h 2 d 2ψ ( x) − + U ( x)ψ ( x) = Eψ ( x) 2 2m dx ∞
2
∫ ψ (x) dx = 1
−∞
A ψ(x) sajátfüggvényt tetszőleges egységnyi abszolút értékű komplex számmal megszorozva ugyanahhoz a sajátértékhez tartozó sajátfüggvényt kapunk:
φ ( x) = eiαψ ( x)
∞
2
∫ φ (x) dx = 1
−∞
Dobozba zárt részecske (potenciáldoboz) 0 és D között a potenciális energia zérus, egyébként végtelen. A sajátérték egyenlet: h 2 d 2ψ ( x) − = Eψ ( x) 2m dx 2 d 2ψ ( x) 2m = − Eψ ( x) 2 2 h dx
d 2ψ ( x) 2 = − k ψ ( x) 2 dx
matematikai megoldás: végtelen potenciálugrás a falaknál ⇒
ψ ( 0) = 0 + B = 0 → B = 0
k2 =
2m E 2 h
ψ ( x) = A sin kx + B cos kx
ψ (0) = 0
ψ (D ) = 0
ψ ( D ) = A sin kD = 0 kD = nπ k=
n = 0,±1,±2,±3,...
π D
n→
matematikai megoldás
h 2 k 2 h 2π 2 2 = En = n 2 2m 2mD
nπ ψ ( x) = A sin x D D
∫ψ
2
dx = 1
n = 1,2,3,... fizikai megoldás!
a sajátfüggvény normálása
0
2 2 ⎛ nπx ⎞ A sin ⎜ ⎟dx = 1 ⇒ ∫0 ⎝ D ⎠
D
ψ ( x) =
2 nπ sin x D D
A=
2 D
n = 1,2,3,...
A sajátfüggvények
ψ ( x) =
nπ 2 sin x D D
n = 1,2,3,...
A valószínűségi sűrűség függvény
P( x) = ψ
2
⎛ 2 ⎞ 2 ⎛ nπx ⎞ P ( x) = ⎜ ⎟ sin ⎜ ⎟ ⎝D⎠ ⎝ D ⎠
Potenciálvölgy
h 2 d 2ψ I ( x) − + Uψ I ( x) = Eψ I ( x) 2 2m dx h 2 d 2ψ II ( x) − = Eψ II ( x) 2 2m dx h 2 d 2ψ III ( x) − + Uψ III ( x) = Eψ III ( x) 2 2m dx
ψ I (0) = ψ II (0)
a hullámfüggvény folytonos
∂ψ I ∂x
véges potenciálugrásnál a sajátfüggvény koordináta szerinti deriváltja is folytonos
= x =0
∂ψ II ∂x
x =0
ψ II ( L) = ψ III ( L) ∂ψ II ∂x
x=L
∂ψ III = ∂x
x=L
A sajátfüggvények
A P(x) valószínűségi sűrűség függvények
Harmonikus lineáris oszcillátor 1 2 U = kx 2
k = mω 2
h 2 d 2ψ ( x) − + U ( x)ψ ( x) = Eψ ( x) 2 2m dx 1⎞ ⎛ E n = hω ⎜ n + ⎟ 2⎠ ⎝ E0 =
hω 2
n = 0 , 1, 2, ... zéruspont-energia
Nagy kvantumszámok esetén a valószínűségi sűrűség függvény a klasszikus valószínűségi sűrűség függvényhez (kék vonal )tart.
Az alagúteffektus
Véges vastagságú potenciálgát esetén a hullámfüggvény értéke a potenciálgát másik oldalán kicsi, de nem zérus.
Véges valószínűsége van annak, hogy a részecske áthalad a potenciálgáton.
Hullámcsomag szóródásának számítása négyszögletes potenciálgáton az 1D időfüggő Schrödinger egyenlet numerikus megoldásával. ⎡ h2 ∂2 ⎤ h ∂Ψ ( x, t ) + − U x t Ψ x t = − ( , ) ( , ) ⎢ ⎥ 2 ∂ 2 m x i ∂t ⎣ ⎦
A hullámcsomag egyik része visszaverődik, másik része áthalad a potenciálgáton. Nem a részecske hasad két részre, hanem az ütközés után nullától különböző lesz a részecskének a potenciálgát jobb oldalán való tartózkodási valószínűsége.
Pásztázó alagútmikroszkóp (STM)
A piezoelektromos kristály mérete változik rá adott feszültség függvényében. Az alagútáramot állandó értéken tartva letapogatjuk a felületet.
Grafit kristály felülete
Alagút mágneses ellenállás Az alagút mágneses ellenállás effektus (TMR) akkor lép fel, ha két ferromágneses réteg között vékony (kb. 1 nm) szigetelő réteg van. Az alagút áram, és így az ellenállás változik a két mágneses réteg relatív orientációjának függvényében. Az ellenállás nagyobb anti-paralel esetben.
Szobahőmérsékletű TMR J. S. Moodera et al. "Large Magnetoresistance at Room Temperature in Ferromagnetic Thin Film Tunnel Junctions", Phys. Rev. Lett. 74 pp. 3273–3276) (1995)
Alkalmazás: • HDD olvasó fej szenzora (2005) • mágneses RAM (MRAM) (2000)
TMR mágnesezettség
TMR spin szelep
TMR spin szelep szenzor • a „szabad” réteg • szigetelő • rögzített réteg • anti-ferromágneses réteg • további rétegek a szórt terek csökkentése céljából
A TMR jel igen/nem állapota
Jelenlegi TMR arány > 300 %
AF
Szabad és rögzített réteg Szórt terek csökkentése
Rezonáns alagút effektuson alapuló eszközök GaAs
GaAlxAs1-x A rezonáns alagúteffektuson alapuló félvezető eszköz felépítése. zérus feszültség
A potenciális energia diagramon a kettős potenciálgát a kvantum pont falainak felel meg. Elektronok haladnak a GaAs félvezetőben jobbra és (balról) elérik a kvantum pont potenciálgátját. Ha az eszközre nincs feszültség kapcsolva, a kvantum pont egyik kvantált energiaszintje sem egyezik meg (rezonáns) a bejövő elektron energiájával, nem folyik áram.
Ha megfelelő feszültséget kapcsolunk az eszközre, a potenciális energia görbe megváltozásával az egyik energiaszint rezonanciába kerül a bejövő elektron energiájával. Az elektronok a potenciálgáton alagúteffektussal áthaladva áramot hoznak létre.
Rezonáns alagút tranzisztor
GaAlxAs1-x
Ha az eszközhöz egy gate elektródát adunk, rezonáns alagút tranzisztorrá alakul. Elektronok haladnak a GaAs félvezetőben jobbra és (balról) elérik a kvantum pont potenciálgátját. Ha az eszközre kis feszültség van kapcsolva, a kvantum pont egyik kvantált energiaszintje sem egyezik meg (rezonáns) a bejövő elektron energiájával, nem folyik áram.
Ha feszültséget kapcsolunk a gate elektródára, a potenciál lecsökken és ezzel együtt a kvantált energiaszintek is. A gate feszültség kis változásaira a kvantált energiaszint a bejövő elektron energiával rezonanciába kerül, vagy onnan kikerül, és az eszköz áramában (és a belső ellenálláson eső feszültségben) nagy változásokat okoz.
A Heisenberg-féle határozatlansági relációk pˆ x
az impulzus x komponensének operátora
xˆ
az x koordináta operátora
Nem felcserélhetők !!! h i h pˆ y yˆ − yˆ pˆ y = i
[ pˆ x , xˆ ] = h
h i
[ pˆ z , zˆ] = h
pˆ x xˆ − xˆpˆ x =
A HEISENBERG-FÉLE FELCSERÉLÉSI RELÁCIÓK
pˆ z zˆ − zˆpˆ z =
De
[
i h pˆ y , yˆ = i
]
i
[ pˆ x , yˆ ] = 0 [ pˆ x , zˆ ] = 0 [pˆ y , xˆ ] = 0 [pˆ y , zˆ ] = 0 [ pˆ z , xˆ ] = 0 [ pˆ z , yˆ ] = 0 [xˆ , yˆ ] = 0
[xˆ , zˆ ] = 0
[zˆ , yˆ ] = 0
Mérés a kvantummechanikában Sajátállapotban a rendszer állapotfüggvénye valamelyik sajátfüggvénnyel egyezik meg. Minden elemi mérés eredménye a fizikai mennyiséget reprezentáló operátor valamelyik sajátértéke. Mérés sajátállapotban: a mérés eredménye a fizikai mennyiséget reprezentáló operátornak a kérdéses állapothoz tartozó sajátértéke. A kevert állapot sajátállapotok lineáris szuperpozíciója. Mérés kevert állapotban: nem sajátállapotban minden elemi mérés a fizikai mennyiséget reprezentáló operátor valamelyik sajátértékével egyenlő. Azt azonban, hogy a különböző sajátértékek közül melyik lesz az elemi mérés eredménye, nem lehet megmondani. Azt azonban ki tudjuk kiszámítani, hogy mi a valószínűsége az adott sajátérték mérésének. A kevert állapotban lévő rendszeren végzett elemi mérés során a rendszer sajátállapotba kerül.
Ugyanazon kevert állapotban lévő rendszereken végzett elemi mérések összessége egy hisztogramot eredményez. Sok azonos, kevert állapotban lévő rendszeren végzett mérés esetén az egyes sajátértékek relatív gyakorisága a kérdéses sajátérték mérésének valószínűségéhez tart. Az eloszlásnak van átlagértéke (várható értéke) és szórása. Legyen 2N db. azonos állapotban lévő rendszer, a felén (N rendszeren) mérjük meg az A fizikai mennyiséget szórás
∗ ˆ 2 Ψ ( A − < A > ) Ψ dV ∫
ΔA =
V
átlagérték
< A > = ∫ Ψ ∗ Aˆ ΨdV V
a másik felén (N rendszeren) mérjük meg a B fizikai mennyiséget szórás
ΔB =
∗ ˆ 2 Ψ ( B − < B > ) Ψ dV ∫
V
átlagérték
< B > = ∫ Ψ ∗Bˆ ΨdV V
Ha két fizikai mennyiség operátora nem felcserélhető, akkor a két mennyiség szórásának a szorzata nem lehet tetszőlegesen kicsi. Elvi korlát van a szórások szorzatára. Nem létezik a természetben olyan állapot, melyben ezen a két fizikai mennyiség szórásának szorzata zérus. A HEISENBERG-FÉLE HATÁROZATLANSÁGI RELÁCIÓ ÁLTALÁNOS ALAKJA
Schrödinger reprezentáció
ΔA ⋅ ΔB ≥
[ ]
1 ∗ ˆ ˆ ψ A, B ψ dV ∫ 2V
pˆ x =
h ∂ i ∂x
xˆ = x ⋅
pˆ y =
h ∂ i ∂y
yˆ = y ⋅
pˆ z =
h ∂ i ∂z
zˆ = z ⋅
A koordináta és a megfelelő impulzus-komponens mérése
A HEISENBERG-FÉLE HATÁROZATLANSÁGI RELÁCIÓK
Δp x Δy ≥ 0
h 2
Δp y Δy ≥
h 2
Δp z Δz ≥
h 2
Δp x Δz ≥ 0 Δp y Δz ≥ 0
Δp y Δx ≥ 0
Δp z Δ x ≥ 0
Δp x Δx ≥
Δp z Δy ≥ 0
Impulzusmomentum (perdület) z komponense h ∂ ˆ Lz = i ∂φ
φˆ = φ ⋅
h Lˆzφˆ − φˆLˆ z = i A HEISENBERG-FÉLE HATÁROZATLANSÁGI RELÁCIÓ
ΔLz Δφ ≥
h 2
Mérés időtől függő állapotban A HEISENBERG-FÉLE HATÁROZATLANSÁGI RELÁCIÓ
h ΔEΔt ≥ 2
ΔE
az adott állapot energiájának szórása
Δt
az energiaállapot élettartama természetes vonalszélesség
A megfigyelések eredményeit a klasszikus fizika nyelvén fogalmazzuk meg. De a klasszikus fizika fogalmai nem mindig illeszkednek jól a mikrovilághoz. „A Heisenberg-féle határozatlansági relációk úgyszólván útjelző táblák, melyek azt mondják: Eddig és nem tovább használhatók a klasszikus változók (bizonyos párjai). Ezen a határon túl már nem megfelelőek. A nem megfelelő kérdésekre valószínűségi eloszlás lesz a válasz.” A megfelelő kérdésekre a kvantummechanika éles, pontos választ ad.
A komplementaritási elv
A mikrovilág objektumai sem nem részecskék, sem nem hullámok, bár egyes estekben az egyik, más esetekben a másik jellegük domborodik ki.
A BOHR-FÉLE KOMPLEMENTARITÁSI ELV Niels Bohr (1928)
A kvantumos jelenségek körében a hullám és részecske tulajdonságok egymást kiegészítik. Bár az egyik leírási mód eleve kizárja a másik egyidejű (szimultán) használatát, a teljes megértéshez mindkettőre szükség van.
Kétréses interferencia kísérlet elektronokkal
Kétréses interferencia kísérlet elektronokkal
