Pružnost a pevnost 132PRPE Přednášky
Pružnoplastická analýza Nepružné chování materiálů. Pružnoplastický a plastický stav průřezu ohýbaných prutů. Mezní plastická analýza nosníku.
Petr Kabele
České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební
Nepružné chování materiálů Materiálové (fyzikální, konstitutivní) rovnice Vyjadřují vztah mezi složkami deformace a složkami napětí. Zohledňují vlastnosti materiálu, obsahují materiálové konstanty. Základní zkouška materiálu pro určení materiálových konstant: zkouška v jednoosém tahu a/nebo tlaku. Výsledkem je vztah mezi normálovým napětím deformací (pracovní diagram).
2015 P. Kabele
a normálovou
2
Nepružné chování materiálů - experimenty Beton
Tlak
• • • •
nelineární odezva zpevnění/změkčení téměř lineárně pružné odtěžování nevratné deformace po odtížení
Sakai, Kawashima (2000)
Ohyb (tah)
(inverzní analýza ohybové zkoušky) • kvazi-křehké chování 2015 P. Kabele
Uchida et al. (1990) 3
Nepružné chování materiálů - experimenty Vláknocementový kompozit (SHCC, ECC)
Tlak
Tah
Kanakubo (2003)
• nelineární odezva • zpevnění/změkčení • nevratné deformace po odtížení
2015 P. Kabele
4
Nepružné chování materiálů - experimenty Uhlíková ocel 1020
Kovy Mez kluzu Tah
Odtížení → tlak
Vysokopevnostní ocel A242
• nelineární odezva • mez kluzu (často stejná v tahu i tlaku) • zpevnění • lineárně pružné odtěžování • nevratné deformace po odtížení 2015 P. Kabele
Tlak
Odtížení → tah
Hliníková slitina AU4G (2024) Tah
Tah
ASM International, Atlas of Stress-Strain Curves (2002)
5
Nepružné chování materiálů - modely
Lineárně elastický (pružný) model
Omezený rozsah použitelnosti na oblast lineárního odezvy materiálů. 2015 P. Kabele
6
Nepružné chování materiálů - modely Nelineárně elastický (pružný) model 30 20
10 0 0
0.0015
0.003
Postihuje nelineární odezvu. Nepostihuje nevratné deformace při odtížení. 2015 P. Kabele
7
Nepružné chování materiálů - modely
Ideálně tuhoplastický model
Zanedbává pružné deformace. Postihuje pouze nevratné (nepružné) deformace po zplastizování materiálu. Zanedbává zpevnění – napětí po zplastizování je konstantní.
2015 P. Kabele
8
Nepružné chování materiálů - modely
Tuhoplastický model se zpevněním
Zanedbává pružné deformace. Postihuje pouze nevratné (nepružné) deformace po zplastizování materiálu. Zohledňuje zpevnění – napětí po zplastizování vzrůstá (lineárně či nelineárně). 2015 P. Kabele
9
Nepružné chování materiálů - modely
Ideálně pružnoplastický model
Zohledňuje pružné i nevratné (nepružné) deformace. Zanedbává zpevnění – napětí po zplastizování je konstantní.
2015 P. Kabele
10
Nepružné chování materiálů - modely Pružnoplastický model se zpevněním 30 20
10 0 0
0.0015
0.003
Zohledňuje pružné i nevratné (nepružné) deformace. Zohledňuje zpevnění popř. i změkčení – napětí po zplastizování vzrůstá (zpevnění) popř. klesá (změkčení). Zpevnění/změkčení může být lineární či nelineární. 2015 P. Kabele
11
Ideálně pružnoplastický model Ideálně pružnoplastický model Dále budeme používat ideálně pružnoplastický model mez kluzu, mez plasticity (též )
Podmínka plasticity: <
ε | |= mez kluzu v tlaku stejná jako v tahu
pružnoplastická oblast 2015 P. Kabele
pružná oblast
>
... pružné chování ... plastické chování ...nepřípustné
pružnoplastická oblast 12
Ideálně pružnoplastický model Pružná a plastická část deformace
Při odtížení je vratná pouze pružná část deformace
ε
ε
=
Napětí – upravený Hookeův zákon: 2015 P. Kabele
=0+
+ =
= (
) 13
Ideálně pružnoplastický model Odtížení a následné zatěžování v opačném směru
Podmínka plasticity stále platí: <
ε
| |=
>
2015 P. Kabele
... pružné chování ... plastické chování ...nepřípustné
14
Ideálně pružnoplastický model Vývoj plastické deformace ... přírůstek plastické deformace Δ
ε
< = = 2015 P. Kabele
... Δ ... Δ ... Δ
ε
=0 ≥0 ≤0 15
Pružnoplastická analýza průřezu při ohybu Základní předpoklady Ideálně pružnoplastický materiál Mez plasticity stejná v tahu i v tlaku Při plastickém přetváření je zachována rovinnost průřezu => rozdělení deformace po průřezu je lineární.
= x
( z
2015 P. Kabele
y
= 0) z
=
16
Pružnoplastická analýza průřezu při ohybu Rozdělení napětí po průřezu a moment přenášený průřezem Určíme na základě: →
Pružnoplastického materiálového modelu Vztahů mezi napětím a vnitřními silami
=
2015 P. Kabele
! "
#$
=
! "
% #$
17
Pružnoplastická analýza průřezu při ohybu Obdélníkový průřez, prostý ohyb – rozdělení napětí Mezní pružný stav
−
( *+
y
Pružnoplastický stav (
= =
ℎ
&
y
*+
=
ℎ
& &
= =
z
Mezní plastický stav
( *+
y
>
z
&
ℎ
=−
→ −∞ →∞
=
z 2015 P. Kabele
18
Pružnoplastická analýza průřezu při ohybu Obdélníkový průřez, prostý ohyb – moment přenášený průřezem Pružnoplastický stav
=
( y
*+
ℎ
2% (%) = ℎ
ℎ
& &
=
z
& & 2015 P. Kabele
( = 3ℎ/ 12
ℎ/ 19
Pružnoplastická analýza průřezu při ohybu =
( y
*+
ℎ
2% (%) = ℎ
ℎ
& &
=
z
0
/
=
ℎ/ ( 6
=
ℎ/ ( 4
Kontrola: 2015 P. Kabele
=
ℎ/ 4 0
+
/
0
/
=0 20
Pružnoplastická analýza průřezu při ohybu Mezní pružný stav (
ℎ =ℎ
*+
y
& &
( = 3ℎ/ − ℎ/ 12
ℎ
&
z
Mezní plastický stav − *+
y &
z 2015 P. Kabele
3 & ... průřezový modul v pružném stavu ℎ =0
ℎ
3 & ... průřezový modul v plastickém stavu 21
Pružnoplastická analýza průřezu při ohybu Průřez obecného tvaru, prostý ohyb – rozdělení napětí Mezní plastický stav
y &
*+
z
y ℎ4
=?
&
*+
z
= 0 ⇒ $4 = $7 ⇒ 84 = ⋯ V mezním plastickém stavu za prostého ohybu (bez normálové síly) rozděluje neutrální osa průřez na dvě části o stejné ploše. 2015 P. Kabele
22
Pružnoplastická analýza průřezu při ohybu Průřez obecného tvaru, prostý ohyb – moment přenášený průřezem Mezní plastický stav
y &
*+
z
2015 P. Kabele
y ℎ4
&
*+
z
23
Pružnoplastická analýza průřezu: ohyb a tah/tlak Kombinace ohybu a tahu/tlaku, obdélníkový průřez Mezní plastický stav
(
= y x
z
*+
ℎ
ℎ 2
7
<7 ℎ 2
ℎ4
<4
4
z
Uvažujeme ℎ4 proměnné a hledáme závislost mezi : a ; při mezním plastickém stavu
2015 P. Kabele
24
Pružnoplastická analýza průřezu: ohyb a tah/tlak Mezní plastický stav ( 7
y
<7
*+
<4
ℎ
4
z
=
4
=
4 4
=
2015 P. Kabele
7
< +
= <
7 7
(ℎ4 −
=
((ℎ − ℎ4 )
(ℎ4
ℎ ℎ4 − + 2 2
=
((2ℎ4 − ℎ) ((ℎ −
ℎ4 )
ℎ4 2
(ℎ4 (ℎ − ℎ4 )
25
Pružnoplastická analýza průřezu: ohyb a tah/tlak Mezní plastický stav − ( y
*+ ℎ
7
ℎ4
4
=
((2ℎ4 − ℎ)
=
(ℎ4 (ℎ − ℎ4 )
z
Extrémní případ (a): ℎ4 = ℎ ( y
*+
ℎ
ℎ4
4
=
( 2ℎ − ℎ =
=
(ℎ ℎ − ℎ = 0
(ℎ =
&
Čistý tah 2015 P. Kabele
26
Pružnoplastická analýza průřezu: ohyb a tah/tlak Mezní plastický stav ( 7
y
*+ ℎ
4
ℎ4
=
((2ℎ4 − ℎ)
=
(ℎ4 (ℎ
ℎ4 )
ℎ =
(ℎ =
z
Extrémní případ (b): ℎ4 = 0 ( y
=
( 0
=
(0 ℎ
&
7
*+ ℎ
0 = 0
Čistý tlak 2015 P. Kabele
27
Pružnoplastická analýza průřezu: ohyb a tah/tlak Mezní plastický stav − ( y
*+ ℎ
7
ℎ4
4
=
((2ℎ4 − ℎ)
=
(ℎ4 (ℎ − ℎ4 )
z
Extrémní případ (c): ℎ4 = −
( y
= /
*+
=
7
ℎ
4
=
ℎ ( 2 −ℎ =0 2 ℎ ℎ ( ℎ− = 2 2
ℎ/ ( = 4
&
Čistý ohyb 2015 P. Kabele
28
Pružnoplastická analýza průřezu: ohyb a tah/tlak Eliminací ℎ4 z rovnic pro − ( y
=
2015 P. Kabele
*+
(ℎ4 (ℎ
ℎ
ℎ4
a
obdržíme: 7
=
((2ℎ4 − ℎ)
4
ℎ4 )
29
Pružnoplastická analýza průřezu: ohyb a tah/tlak Interakční diagram Diagram určený podmínkou pro mezní plastický stav při kombinaci a pro
M
≥ 0:
= pro
/
&
4 (
≤ 0:
=
&
/
+
4 (
N
/
+ &
2015 P. Kabele
=1 &
30
Pružnoplastická analýza nosníku Staticky určitý nosník ?/2 ?/2 >
Pružný stav:
Mezní pružný stav:
2015 P. Kabele
31
Pružnoplastická analýza nosníku Pružnoplastický stav: >
Mezní plastický stav:
AB
> &
2015 P. Kabele
>? = 4
& &
... nepřípustný stav. Při AB = & v konstrukci vzniká plastický kloub. Staticky určitá konstrukce se tím stává mechanismem, dochází ke kolapsu. AB
>
&
32
Pružnoplastická analýza nosníku Staticky neurčitý nosník ?/2 ?/2 > > & =?
&
−
&
&
&
Plastické klouby přenáší & → určíme průběh momentu na nosníku. &
E 2015 P. Kabele
Aby se CD -krát staticky neurčitý nosník stal mechanismem (a tím došlo ke kolapsu), musí vzniknout CD + 1 plastických kloubů. (Někdy i méně – částečný kolaps).
Z průběhu momentu určíme průběh posouvající sily. Z průběhu posouvající síly určíme kritickou hodnotu zatížení > & . 33
Pružnoplastická analýza nosníku Tvar plastického kloubu Uvažujme úroveň zatížení, kdy ohybový moment na části prutu splňuje podmínku pružnoplastického stavu: > & > &
> x z
Moment & & , který je přenášen průřezy v této oblasti, závisí na výšce elastické oblasti ℎ .
& &
ℎ
< & &
2015 P. Kabele
ℎ
Známe-li průběh momentu po délce prutu (F), pak z rovnosti F = & & ℎ můžeme vyjádřit ℎ jako funkci F ... tvar plastického kloubu.
34
Pružnoplastická analýza nosníku > x y z
?/2
?/2
(
ℎ
&
=
&
=
z
pro F ≤ & &
(ℎ/ 6 (ℎ/ 4 G : /
> (F) = F 2
pro F = F (začátek plast. oblasti): F
=
&
< (ℎ/ F = 3> 2015 P. Kabele
35
Pružnoplastická analýza nosníku > x y z
?/2
?/2
(
z
ℎ
G /
pro F ≤ :
& &
F =
& & (ℎ
)
ℎ ℎ F =
2015 P. Kabele
> F 2
pro F ≤ F ≤ ? − F : ( (ℎ ) = 3ℎ/ − ℎ/ & & 12
& &
<
(F) =
!
3ℎ/ −
6> F (
pro F ≤ F ≤
G / 36
Pružnoplastická analýza nosníku >
&
( x y z
?/2
?/2
pro > = > & =
ℎ z
H=I JK : G
(ℎ/ F = = 3> &
ℎ F =
2015 P. Kabele
!
3ℎ/
6> & − F (
37
Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětu Pružnost a pevnost pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby. Autor srdečně děkuje kolegům doc. Jitce Bittnarové a prof. Milanovi Jiráskovi za to, že mu laskavě poskytli své přednáškové materiály jako zdroj nejen inspirace, ale i některých formulací, obrázků a příkladů.
Datum poslední revize: 7.12.2015 2015 P. Kabele
38
