Prosiding SNaPP2011 Sains, Teknologi, dan Kesehatan. 1 Joko Riyono. (Kampus A Jl.Kiyai Tapa No.1,Jakarta11440)

Prosiding SNaPP2011 Sains, Teknologi, dan Kesehatan

ISSN:2089-3582

MODIFIKASI STATISTIK UJI-t PADA TEST INFERENSIA MEAN MEREDUKSI PENGARUH KEASIMETRIKAN POPULASI MENGGUNAKAN EKSPANSI CORNISH-FISHER 1

1

Joko Riyono

Staf.Pengajar Fakultas Teknologi Industri Universitas Trisakti Jakarta (Kampus A Jl.Kiyai Tapa No.1,Jakarta11440) E-mail : [email protected]

Abstract. This article considers a procedure that reduces the effect of population skewness on the distribution of the variabel-t so that tests about the mean can be more correctly computed with a modification of the t variabel.A modification of the t variabel is obtained using the Cornish-Fisher expansion. Key Words : Skewness,t variable,Cornish-Fisher expansion.

Abstrak. Paper ini membahas suatu prosedur yang mengurangi pengaruh kemiringan dari populasi pada distribusi student-t sehingga uji inferensi mean dapat terhitung lebih baik dengan suatu modifikasi variable student-t .Modifikasi dari variabel student-t diperoleh menggunakan ekspansi Cornish-Fisher. Kata Kunci :Kemiringan ,Variabel student-t,Ekspansi Cornish-Fisher.

1. Pendahuluan Dalam Statistik inferensia mean satu populasi sering dipakai statistik : Y  T S 2 / n 1 / 2 untuk menguji hipotesa : Ho :  = 0 versus satu dari tiga kemungkinan alternatif yaitu : (1) H1 =   0 (2) H1 =  > 0 (3) H1 =  < 0 Dengan asumsi

: (i) Yi berdistribusi indepeden (ii) Populasi berdistribusi normal

hasil dalam teori statistik yang cukup baik dibuat oleh student (1908) bahwa T  t(n-1) adalah distribusi student t dengan derajat kebebasan (n-1). Dengan asumsi di atas, dipunyai uji pada level  : untuk Ho :  = 0 vs H1 :   0 tolak Ho jika |TC|> t/2 untuk Ho :  = 0 vs H1 :  > 0 tolak Ho jika TC > t untuk Ho :  = 0 vs H1 :  < 0 tolak Ho jika TC < - t

275

276

|

Joko Riyono

dengan TC 

Y  o

S

2

/n



1/ 2

Tetapi jika asusmsi kedua tak terpenuhi yaitu populasi tidak berdistribusi normal, Cicchitelli (1989) dengan studi Monte Carlo mendapatkan bahwa kemiringan populasi mempengaruhi statistik T di atas sehingga kita tidak dapat mendekatinya dengan distribusi student t(n-1) apalagi jika ukuran sampel kecil.Johnson (1978) telah membuat modifikasi dari statistik T di atas untuk mengurangi pengaruh kemiringan populasi terhadap statistik T tersebut.Dalam tulisan ini akan dibahas modifikasi statistik T tersebut menggunakan ekspansi Cornish-Fisher.

2. Ekspansi Cornish-Fisher Andaikan diberikan Y1,Y2, ... ,Yn adalah sampel random dari suatu distribusi G dengan mean , variansi 2 dan 3,4, ... masing-masing adalah momen central ketiga, keempat, ... dari G. Untuk sebarang variabel random Y dengan distribusi G, bentuk ekspansi Cornish-Fisher diberikan dengan :  ……. (1.1) CF (Y )      32 ( 2  1)  ... 6 dimana  adalah variabel normal standar. 2 Karena Var Y   dan n 3  1 n 3 3 Y   E Y     3 E  Yi    n  i 1 



1 n  E (Yi   )3  23 3  n i1 n

Sehingga : CF Y    

 n

1 2



  32  3 2 n  (   1 )  O   6 n 2  

……. (1.2)

Dari ekspansi di atas dapat dicatat bahwa kemiringan populasi 3 adalah koefisien dari suku (2-1) serta tampak dalam suku-suku lain tetapi dengan order yang lebih kecil. Kunci dalam mendapatkan modifikasi variabel T dalam pendekatan Johnson adalah mengeliminasi suku yang melibatkan 3 dalam variabel T pembangun yang diberikan pada bagian bawah berikut : Diberikan variabel T pembangun  2 2 Y        Y      n   ……. (1.3) TJ  1 2 2 S    n

Prosiding Seminar Nasional Penelitian dan PKM Sains, Teknologi, dan Kesehatan

Modifikasi Statistik ...

| 277

 dalam TJ dipilih sehingga suku konstan dalam ekspansi Cornish-Fisher dari TJ berjumlah nol sehingga bias order yang lebih rendah tereleminasi  dipilih sehingga koefesien dari suku 2 dalam ekspansi Cornish-Fisher dari TJ adalah nol (dengan demikian mengeliminasi pangaruh kemiringan order yang lebih rendah). Dapat  3 ditunjukkan bahwa   34 dan  sebagai berikut : 3 2n 2  3 n 4  Karena : E s 2   2 danvar S 2  4  n n(n  1)

 

 

4 4  4  2 2  4    var S     1   2  ...  n n  n n n  n 2 sehingga ekspansi Cornish-Fisher dari Y dan S , suku-suku lebih tinggi diabaikan adalah :   CF Y       3 2  2  1 6n n 2

1

 4   4  2 2 2 CF(S )=       n  1  4 2           2 1   4 4      n     dimana  dan  adalah variabel random normal standar. Gantikan nilai Y dan S2 dalam (1.3) dengan ekspansinya, maka dengan pengabaian suku O(n-1), ekspansi CornishFisher dari TJ adalah : 3  2   CF (TJ )       3  n 3 n  3  n  4   4 *       n 6 n 3 2 n 2 dengan  dan * variabel random normal standar yang independen.

Bukti :

    2    S 2  2 TJ  Y        Y            n    n      Y     3 2 2  3 2 6n 6n n



1 2

2 2  32 Y       2 4  4  23 4 n 36n  36n  2 3 3 3  3  2  . 2 4 18n  3n n 6n n 2

ISSN:2089-3582 | Vol 2, No.1, Th, 2011

278

|

Joko Riyono

 S 2  2   4   4  1   n n   n 4   S2     n 



n  

1 2

1  2       

1  4 2    n 4        1   4    n    



1 2

1   4 3 4   4 2   1  4    2     ... 1   4 4.2! n 4  2  n    

sehingga:

 32  3 3 32  2  2 4 3   CF (TJ )         2 4  6n 2 n 18n 2 4  3n n   36n  3  32 3  2  n            n  36n 2 4 6n 2  n 6n n  1   4 3 4   4 2   1  4    2     ... 1   4 4.2!  4  2  n     2  3 3 3  3 32  2  4   CF (TJ )          5 3 3n 2 n 18n n 5   6 n  36n n  3    32  n 3         1    2  36n n 5 6 n 3 n  6 n 

1   3 4   4 2   1  4   4  2      ... 1   4 4.2! n 4  2  n     3  3   2  n  CF (TJ )           3 3  n 6 n n  6 n 1

1  4   4  2     2  n 4 

Tulis   + * dimana  adalah kolerasi antara X dan S2 dan * adalah variabel

 

random normal independen terhadap .   3  2  4   4





1 2

Prosiding Seminar Nasional Penelitian dan PKM Sains, Teknologi, dan Kesehatan

sehingga :

Modifikasi Statistik ...

| 279

3  3   2  n     CF (TJ )       3 3  n 6 n n  6 n 1   3 1  4   4  2          1 2  n 4   2 4 2    4   3  2  n 3  3   CF (TJ )           3 3 3  n 2 n  6 n n  6 n

 



1

1     4 2   4 4    2  n 

Dengan menyeleksi  dan  sehingga koefesien dari 2 adalah nol juga suku konstan berjumlah nol, ekspresi hasil akan mengurangi bias, didapat : 3 3    0 3 n 2 n 3 6 n 3    0 3 3 n n    34 3 3  n  dan   0 3  6 n n  n 3 3   0 3  6 n 3 n 3

 n 3  0  2 n 3   32 2n 1

Jadi

1     4 2 CF (TJ )     4 4     O n 1 2  n 

 

 

1 2 n

1

K u  12    On-1  

……. (1.4)

1

2 2   2  S   dan ……. (1.5) TJ  Y     32  34 Y      6 n 3   n  Terlihat bahwa TJ yang diberikan oleh (1.5) tidak dapat dihitung dengan H :  = 0, karena 3 dan 2 biasanya tidak diketahui. Johnson menyarankan mengganti 3 dan 2 3 n  Y  Y i dengan estimasi sampel  3   dan variansi sampel S2. Ekspansi n i1 Cornish-Fisher masih (1.4) Untuk contoh penggunaannya uji hipotesis H0 :  = 0 melawan satu dari tiga alternatif kemungkinan, maka dipunyai uji level  sebagai berikut :

ISSN:2089-3582 | Vol 2, No.1, Th, 2011

280

|

Joko Riyono

TT : untuk H0 : = 0 vs H1 :   0 , tolak H0 jika TJH > t/2 TU : untuk H0 :  = 0 vs H1 :  > 0 , tolak H0 jika TJH > t Tl : untuk H0 :  = 0 vs H1 :  < 0, tolak H0 jika TJH < -t 2  Y   0   ˆ 3 /(6s 2 n)  ˆ 3 /(3s 4 )Y    dimana TJH  1  sn 2    n

……. (1.6) ……. (1.7) ……. (1.8) ……. (1.9)

dan t notasi bagian atas 100 titik persentil dari distribusi t dengan derajat bebas (n-1).

3. Kesimpulan Dari uraian di atas terlihat bahwa statistik: 

1

2 2   2  S   yang diperoleh melalui statistik T TJ  Y     32  34 Y      6 n 3   n   2 2 Y        Y      n   Dengan menyeleksi  dan  pembangun: TJ  1 2 2 S    n sehingga koefesien dari 2 & suku konstan pada ekspansi Cornish-Fisher nya berjumlah nol, ekspresi hasil akan mengurangi bias.

4. Daftar Pustaka Benjamini,Y(1983),”Is T-Test Really Conservative whe the Parent Distribution is LongTailed”,J.Am.Statist.Assoc.,78,645-654. Dudewicz,E.j&Mishra,S.N.(1988),Modern Mathematical Statistics,John Wiley& Sons. Hall,P.(1992),The Bootstrap and Edgeworth Expansion,Spinger-Verlag Inc. New York. Lehmann,E.L.(1983),Theory of Point Estimation,John Wiley & Sons. Johnson,Norman J.(1978),”Modified t Test and Confidence Intervals for Asymmetrical Populations”,J.Am.Statist.Assoc.,73,536-544. Wallace,DavidL.(1958),”Asymptotic Approximations to Distributions,” Annals of Mathematical Statistics,29,165-170.

Prosiding Seminar Nasional Penelitian dan PKM Sains, Teknologi, dan Kesehatan