Pravděpodobnost Závěrečná práce
Vypracoval: Jaromír Homolka, 3.D Vedoucí práce: Mgr. Viktor Ježek Rok a místo: 2015/2016, Brno
„Prohlašuji, že jsem předloženou práci vypracoval samostatně a že jsem uvedl veškeré použité informační zdroje“-umístěné dole na stránce. …..........................................
Chtěl bych poděkovat především panu učiteli Mgr. Viktoru Ježkovi za jeho dohled a kontrolu mé práce.
Obsah 1. Pravděpodobnost .............................................................................................................................. 5 1.1 O co se tedy jedná........................................................................................................................ 5 1.2 Související definice ..................................................................................................................... 5 1.3 Historie......................................................................................................................................... 6 2. Příklady .............................................................................................................................................. 8 2.1 Základní příklady ........................................................................................................................ 8 2.2 Příklady s faktoriály a kombinačními čísly ........................................................................... 10 2.3 Sjednocení jevů ......................................................................................................................... 13 2.4 Nezávislé jevy ............................................................................................................................ 14 2.5 Podmíněná pravděpodobnost................................................................................................. 16 2.6 Bernoulliho schéma ................................................................................................................. 16 3. Závěr ................................................................................................................................................. 17
4
1. Pravděpodobnost 1.1 O co se tedy jedná Pojmem pravděpodobnost jevu bychom si měli představit číslo, které vyjadřuje míru očekávanosti konkrétního jevu. Příkladem náhodného jevu je hod kostkou, kdy očekáváme, že výsledek je nejistý a závisí tedy na náhodě a že při opakování hodu budou stejné podmínky, které nebudou nijak ovlivňovat náhodnost pokusu. Aby se nám výsledek jednoduše počítal, budou platit následující podmínky: Je konečně mnoho všech možných výsledků (tedy Ω má v našem případě pouze 6 čísel) Jedním hodem nemůžeme hodin dva a více výsledků (tedy jedním hodem nám nemohou padnout čísla 3 a 4 zároveň) Všechny možné výsledky jsou stejně pravděpodobné (tedy žádná stěna není větší těžší apod.)
1.2 Související definice Každá činnost, která se opakuje a je zároveň závislá na náhodě se označuje jako náhodný pokus. To je tedy například hod kostkou nebo losování. Má-li pokus N možných výsledků, pak každý výsledek je stejně pravděpodobný 1 a hodnota této pravděpodobnosti je 𝑁 výsledků Dále potřebujeme množinu všech možných výsledků náhodného pokusu, která nám shrne všechny možnosti, které musíme do celkové pravděpodobnosti zahrnout. Značí se písmenem Ω (omega). Převedeme-li tuto definici na hod kostkou, značí nám to čísla 1 až 6 a zapisuje se Ω =1, 2, 3, 4, 5, 6. Pokud se snažíme, aby nám padlo pouze nějaké číslo, nebo nějaký rozsah čísel, značíme náhodný jev jako podmnožina a značíme ji A⊆Ω . Například pokud chceme, aby nám na kostce padly pouze liché čísla zapíšeme jev jako A={1,3,5}. Jev kdy na kostce mají padnout čísla pouze menší než 3 zapíšeme A={1,2}. Když hodíme kostkou, provedeme tedy pokus a na kostce padne číslo náhodné číslo 1-6, které označíme jako x. Pokud číslo x∈A, námi zadaný jev nastal a pokud x∉A, tak daný jev nenastal. Pokud bude podmnožina A={1,3,5} a padne nám číslo x=3, pak 3∈1,3,5 a daný jev nastal.
Pravděpodobnost jevu označujeme čísly od 0 do 1. Číslo 0 znamená, že jev nikdy nenastane a číslo 1 nám naopak značí, že jev určitě nastane. Pravděpodobnost 5
můžeme také vyznačit pomocí procent, kdy setina značí jedno procento, tudíž 0,45=45% a značíme P(A).
𝐴
Základním vzorcem je 𝑃(𝐴) = 𝜔 Jsou dva speciální jevy, které můžou nastat a to jev jistý a jev nemožný. Jev jistý nastane v případě, že naše podmnožina se rovná množině všech možných výsledků, zápisem A=Ω a podmnožina vždy nastane. Jako příklad zadání, kdy musí být všechny čísla, které padnou menší než 7. 𝑃(𝐽) =
∣𝜔∣ = 1; ∣𝜔∣
Druhý speciální jev nemožný nastane v případě, kdy námi hledaná množina vůbec není v množině všech možných výsledků, zápisem A=∅. Příkladem může být zadání „Jestliže hodíme kostkou, padne nám auto, nebo číslo 53, což je nemožné, protože na kostce jsou pouze čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6. 𝑃(𝑁) =
∣∅∣ = 0; ∣𝜔∣
1.3 Historie Mezi hlavní zakladatele pravděpodobnosti bychom mohli chápat čtyři osobnosti. Nejprve Pierre de Fermat a poté Blaise Pascal (1654), ti se zabývali hlavně užití pravděpodobnosti v hazardních hrát a důležitých životních kombinatorických problémů. Poté základy pravděpodobnosti jako matematické disciplíny rozšířili Christian Huygens, Abraham de Moivre a hlavně Jacob Bernoulli. Avšak první jméno, které bychom si měli spojit s pravděpodobností je Pierre-Simon Laplace. Ten napsal dílo, které nejen sjednotilo veškeré poznání všech předchůdců, ale velmi je rozšířil a použil na většinu oblastí tehdejšího poznání. Mezi oblasti patří fyzika, ale dokonce sociální vědy. Kniha se jmenuje Teorie pravděpodobnosti (Théorie analytique des probabilités). P.S.Laplace definoval pravděpodobnost jako nástroj pro popis všech problémů s neúplnou vstupní informací. Laplace rozvinul teorii pravděpodobnosti natolik, že po jeho smrti Laplace nikdo celé století v pokroku nepřekoval. Laplace začal znovu používat jednu z důležitých teorií pravděpodobnosti a to Bayesův teorém, kterou ještě zjednodušil a odvodil rozložení chyb, které se v některých konkrétních případech objevují. Laplace také poukázal na řešení pravděpodobnosti i na oblasti jevů, které se neopaku6
jí a nemají hromadný výskyt (př. Přibližná hmotnost Satarnu). Laplace napal jeho „filosofickou“ esej o pravděpodobnosti, to byl populárně stylizovaný úvod pro jeho hlavní dílo o pravděpodobnosti, kde používá jím vynalezenou metodu vytvořujících funkcí, která je pro pravděpodobnost velice významná. Tato esej se velice rozšířila, ale vedla k různým mýtům o jeho díle, které nebyly vůbec pravda. Po těchto významných teoriích se začne objevovat novější vývoj, který se zaměřuje hlavně na dvě linie. První se zaměřovala hlavně na hromadné jevy(R. Von Mises) a druhá se zaměřovala na zachování obecnosti a ducha Laplaceova „bayesovského“ pojetí pravděpodobnosti(Kolmogorov, tes se zaměřoval spíše na matematiku a Jaynes, ten se zaměřoval na fyziku). Kolmogorova pravděpodobnost je psána jako teorie normované míry. Jaynes interpretuje svoji práci jako pravděpodobnost jako zobecněná logika, ale v celkovém měřítku jsou tyto pojetí podobné. Jedinečnost pravidel teorie pravděpodobnosti, která představovala dlouho otevřenou otázku v základech teorie, značně ujasnili R. T. Cox a E. T. Jaynes. Zároveň se ve 20. století rozvinula pravděpodobnost ve fyzice a to v tématech jako statistická fyzika, teorie chaosu, informační fyzika, kvantová mechanika, atd. I když o teorii pravděpodobnosti už víme mnohé, toto téma má stále velký potenciál a není zdaleka uzavřeno.
7
2. Příklady 2.1 Základní příklady 1)S kostkou hodíme 12x, hozená čísla jsou 1, 3, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 1, 2, 2 Napřed si napíšeme, kolikrát každé číslo padlo, tedy: A(1)=2
A(2)=4
A(3)=1
A(4)=2
A(5)=0
A(6)=3
𝐴
Po doplnění do vzorce 𝑃(𝐴) = 𝜔 zjistíme, že i když mělo podle pravděpodobnosti každé číslo padnout právě 2 krát, z těchto hodů vznikla odlišná pravděpodobnost a to 2 př. 𝑃(1) = 12 1
P(2)=3
1
P(3)=12
1
P(5)=0
P(6)=4
P(1)=6 P(4)=12
1
1
2) Máme dvě kostky, bílou a černou. Jaká je pravděpodobnost jevu, že na černé padne víc než na bílé? Řešení: Hledaná čísla si označíme podmnožinou A Bílá 0(-) 1(6) 2(6,5) 3(6,5,4) 4(6,5,4,3) 5(6,5,4,3,2)
Černá 6 5 4 3 2 1
└Na bílé kostce je nejprve počet řešení a v závorce je číslo, které padlo a sloupec černá značí jaké číslo padlo na černé kostce
8
Podle pravděpodobnosti by nám měly všechny možnosti padnout za 36 pokusů. Ω = 36 Ω (A)=15 𝑝(𝐴) =
𝛺(𝐴) 15 = = 0,417 = 41,7 𝛺 36
Pravděpodobnost že nám na černé padne víc než na bílé je tedy 41,7%.
3) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu 4 mincemi(stejnými) padne třikrát L a jednou R Nejprve si zjistíme celkový počet všech možností, tedy Ω rub=r líc=l R R R R L R R L L L L L R L R L
R R L L R R L R L R L R L L L L
R R R L R L R R R R L L R L R L R R L R R L L L L R L R L L L L Lze počítat kombinatorickými výpočty ┌-----Počet všech možností │ příznivého výsledku 4 16
└---- Počet všech možností
4 16
1
= = 0,25 = 25 4
9
4) Házíme současně třemi kostkami klasickými kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že na kostkách padnou tři různá prvočísla?
┌ ze všech čísel na kostce jsou pouze 3 prvočísla a jelikož se nesmí │ žádné opakovat, násobíme ho dále dvojkou a jedničkou 3*2*1 1 = = 0,028 = 2,8 6*6*6 36
└násobíme čísly 6, protože na každé kostce je šest možností různých čísel
2.2 Příklady s faktoriály a kombinačními čísly Faktoriál=číslo, které se násobí jím samotným a všemi menšími celými kladnými čísly př. 5!= 5*4*3*2*1 1)Jaká je pravděpodobnost, že v rodině s 6 dětmi budou tři kluci a tři holky, počítejme s tím, že když se rodí dítě je 50% šance, že to bude kluk, či holka ┌6! Značí všechny možné kombinace kluků a holek │ 3!3! značí možnosti, kdy budou právě 3 kluci a 3 holky 6! 20 3! 3! = = 0,313 = 31,3 2*2*2*2*2*2 64
└šestkrát dvojka, protože každé dítě musí mít jedno ze dvou pohlaví Pravděpodobnost, že z šesti dětí právě 3 budou kluci a 3 holky v libovolném pořadí je 31,3%.
2)Jaká je pravděpodobnost, že z balíčku 32 karet, v němž jsou 4 esa, vylosujeme 6 karet a právě 2 budou esa. ┌ze 4 es potřebujeme přesně 2 a ze zbylých │ karet(28) potřebujeme právě 4 4*3 28*27*26*25 * 4 28 2*1 4*3*2*1 (2) * ( 4 ) 6*20475 32*31*30*29*28*27 = = = 01356 = 13,56 32 6*5**4*3*2*1 906192 ( ) 6
└celkový počet karet, z kterých jich 6 vytáhneme Pravděpodobnost, že z tohoto počtu karet vytáhneme právě 2 esa je 13,56%. 10
3) Jaká je pravděpodobnost, že anagram slova ZMRZLINA obsahuje dvě Z vedle sebe? ┌kombinace všech různých písmen(dvě ZZ=Z), 2!= kombinace ZZ mezi sebou 7! 8! = 7! 2! = 2 = 0,25 = 25 2! 8! 8
└kombinace všech písmen mezi sebou Anagram slova ZMRZLINA má podle pravděpodobnosti dvě ZZ vedle sebe v každém čtvrtém případě.
4)Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru z deseti chlapců a dvaceti holek vylosujeme alespoň 4 holky. (Tedy právě 4, právě 5, všech 6) ┌právě 4holky+právě 5 holek+ všechny holky 20 10 20 10 20 ( 4 ) ( 2 ) + ( ) ( 1 ) + ( 6 ) 4845*45 + 15504*10 + 38760 5 = = 0,69 = 69 30 593775 ( ) 6
└výběr šesti žáků z celkového počtu Pravděpodobnost, že ve výběru budou alespoň 4 holky je 69%.
5) Na výlet jede 12 kluků, mezi nimiž je Karel a Adam. Všichni budou rozděleni do 3 čtyřpokojů. Jaká je pravděpodobnost, že bude Karel a Adam na stejném pokoji? ┌kombinace všech zbylých dětí dělená kombinací dětí │ v jednotlivých pokojích + kombinace samostatných pokojů 10! 2! 4! 4! 3! 10! 4! 4*3 1 12! = = = = 0,09 = 9 4! 4! 4! 3! 2! 12! 12*11 11
└ kombinací všech dětí dělaná kombinací všech dětí v jednotlivých pokojích + kombinace samostatných pokojů
Pravděpodobnost, že bude Karel a Adam na stejném pokoji za předpokladu, že budou děti do pokojů vybírány náhodně, je 9%. 11
6) Jaká je pravděpodobnost, že při volbě náhodného pěticiferného čísla budou
všechny cifry navzájem rozdílné? ┌první číslo může být pouze 1-9, další už 0-9 a jelikož se nám │ celkové spektrum čísel každou cifrou snižuje, snižuje se │ i násobení. 9*9*8*7*6 27216 = = 0,3024 = 30,24 9*10*10*10*10 90000
└každá cifra může mít číslo 0-9, to je spektrum 10 čísel, pouze první cifra nemůže být 0, to by potom nebylo pěticiferné číslo Pravděpodobnost, že náhodné pěticiferné číslo bude mít všechny cifry rozdílné je 30,24%.
7) V klobouku je 12 kuliček, 3 modré, 4žluté, 5 červených. Vylosujeme 4 kuličky z 12. Jaká je pravděpodobnost, že budeme mít v ruce od každé barvy alespoň jednu kuličku. ┌výběr 2modré, žluté a červené+modré,2 žluté a červené+ modré, žluté a 2červené 3 4 5 3 4 5 3 4 5 ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) 3*4*5 + 3*6*5 + 3*4*10 270 2 1 1 1 2 1 1 1 2 = = = 0,5454 = 54,54 12 495 495 (4)
└kombinace výběru 4 kuliček ze všech
Pravděpodobnost, že budeme mít od každé kuličky alespoň jednu v ruce je 54,54%.
8) Mezi 30 výrobky je právě 5 vadných. Jaká je pravděpodobnost, že pokud náhodně vybereme právě 4 výrobky, budou nejvýše 2 vadné. Tedy právě 2 vadné nebo právě 1 vadný nebo žádný vadný. 5 25 25 5 25 (2) ( 2 ) ( 3 ) (1) ( 4 ) 10*300 2300*5 12650 3000 + 11500 + 12650 27150 + + = + + = = 30 30 30 27405 27405 27405 27405 27405 (4) (4) (4) = 0.99 = 99
Vždy vybereme např. 2 z 5 vadných a zbytek tedy 2 z 25 dělené celkovým počtem kombinací. Vyjde nám tedy číslo, které by mělo být menší než nula a to pouze převedeme pro lepší představivost na procenta. Pravděpodobnost, že nejvýše 2 z 30 výrobků budou vadné je 99%. 12
2.3 Sjednocení jevů Sjednocení jevů si můžeme ukázat na hodu kostkou. Mohou nám tedy padnout čísla 1-6. Budeme je rozdělovat do dvou skupin: A=čísla jsou sudá ->2,4,6 B=čísla jsou lichá ->2,3,5 5
p(AuB)= 6 ----kdy platí alespoň jedna z podmínek 3
p(A)= 6 3
p(B)=6
---- kdy platí podmínka A ------kdy platí B
p(AuB)=p(A)+p(B)-p(A∩B) ----sečtení podmínek mínus odečtení kdy platí obě(protože by tam jinak čísla, které platí pro obojí byly dvakrát) Příklady: 1) Jaká je pravděpodobnost, že ve slově maminka budou dvě A vedle sebe nebo dvě M vedle sebe? Celkem 7 písmen A… vedle sebe -> p(A) M…vedle sebe ->p(M) ->p(AuM)=p(A)+p(M)-p(A∩B)
┌kombinace všech písmen, pokud A počítáme jako jedno písmeno, tím │pádem musí být tedy vždy vedle sebe, děleno kombinací všech │ostatních písmen, které se zde vyskytují více než jednou(tedy M) └ --┐ ┌opět kombinace všech písmen, ale platí že M a A jsou │ │ vedle, tedy 2M->jedno číslo a 2A taky jedno číslo 6! 6! 5! 2! 2! 7! + 7! − 7! = 360 + 360 − 120 = 600 = 0,476 = 47,6 2! 2! 2! 2! 2! 2! 1260 1260 1260 1260
└opět kombinace všech čísel, dělené písmeny co jsou zde více než jednou (A a M) Pravděpodobnost, že budou dvě A nebo dvě M vedle sebe je 47,6%.
13
2) Jaká je pravděpodobnost, že v rodině se 4 dětmi budou aspoň 2 kluci, nebo nejvýše jedna holka?
Aspoň dva kluci……….p(K) Nejvýše jedna holka…p(L)
p(KuL)=p(K) + p(L) – p(K∩L)
┌Kdy platí p(K)+kdy platí p(L)- kdy platí obojí (6 + 4 + 1) + (4 + 1) − [1 + 4] 11 = = 0,688 = 68,8 2*2*2*2 16
Pravděpodobnost, že budou platit oba jevy je 68,8%.
2.4 Nezávislé jevy To jsou takové jevy, kdy pokud nastane jeden jev, tak je na druhém nezávislý a naopak. 1) Máme 4 dětnou rodinu, p(A) - 1. a 2. dítě je holka, p(B) – 3. dítě kluk. ┌ každé dítě může být na 50% kluk a 50% holka 𝑝(𝐴) =
1∗1∗2∗2 1 = = 0,25 = 25% 2∗2∗2∗2 4
𝑝(𝐵) =
2∗2∗1∗2 1 = = 0,50 = 50% 2∗2∗2∗2 2
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) =
1∗1∗1∗2 1 = = 0,125 = 12,5% 2∗2∗2∗2 8 p(A)*p(B)=p(A∩B) 1 1 1 ∗ = 4 2 8 └ pokud se součin prvního jevu a druhého rovná sjednocení, potom jev je nezávislý
Pravděpodobnost, že budou tyto jevy nezávisle na sebe oba fungovat je 12,5%. 14
2) Jaká je pravděpodobnost, že bude alespoň jedna žárovka svítit?
p(A u B) => p(A)+p(B)-p(A∩B) =>p(A)+p(B) – p(A) * p(B) =>0,95+0,85-0,95*0,85 = 1,80 – 0,8075 = 0,9925 = 99,25%
Pravděpodobnost je 99,25%.
3) Házíme bílou a černou kostkou. Rozhodněte, zda jsou jevy A a B nezávislé. A…. B+Č=7 B….Č=3 𝑝(𝐴) =
6 1 = = 0,16666 = 16,6% 6∗6 6
𝑝(𝐵) =
6∗1 1 = = 0,16666 = 16,6% 6∗6 6
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) =
1 1 = = 0,027 = 2,7% 6 ∗ 6 36
p(A)*p(B)=p(A∩B) 1 1 1 ∗ = 6 6 36 └ jsou nezávislé
15
2.5 Podmíněná pravděpodobnost A|B …. Jev A budeme zkoumat, pokud platí podmínka, že nastal jev B 𝑝(𝐴, 𝐵) =
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑝(𝐵)
1) Jaká je pravděpodobnost, že na bílé kostce padne větší číslo než čtyři, za podmínky, že součet kostek je 7. A…. bílá>4 B…bílá+černá=7 ┌pravděpodobnost, že bude ze všech │ možností platit podmínka A │ sjednocena s B 2 6*6 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) 1 𝑝(𝐴, 𝐵) = = 6 = = 0,33 = 33,3 𝑝(𝐵) 6*6 3
└Pravděpodobnost, že bude platit podmínka B. Pokud na kostce hodíme ciferný součet 7, potom je pravděpodobnost, že bude platit podmínka A 33,3%.
2.6 Bernoulliho schéma - pokus, který může mít pouze dva výsledky->úspěch->p └>neúspěch->1 𝑛
-úspěch nastane v K případech z N pokusů:(𝑘 ) *𝑝𝑘 *(1 − 𝑝)𝑛−𝑘
1)Fotbalista kope penalty s pravděpodobností 0,8. Jaká je pravděpodobnost, že v sérii
5 penalt promění právě 3? To znamená tedy 3 z 5 s pravděpodobností 0.8,0.8,0.8,0.2,0.2 -> tři ano, dvě ne 5 ( ) *0.8*0.8*0.8*0.2*0.2 = 10*0,83 *0,22 = 0,2048 = 20,48 3
Fotbalista promění 3 penalty z 5 s pravděpodobností 20,48%.
16
2) Chlapec se rodí s pravděpodobností 0,515(dívka 0,485). Jaká je pravděpodobnost, že se v rodině se 4 dětmi narodí a)první kluk, druhý kluk, třetí holka, čtvrtý kluk? 0,515*0,515*0,485*0,515 = 0,5153 *0,485 = 0,0662 = 6,62
b)jaká je pravděpodobnost, že se narodí 3 kluci a 1 dívka 4
(3) *0,5153 *0,485 = 0,264 = 26,4
3) Píšeme test ve kterém je 10 otázek. Každá otázka má 4 odpovědi a pouze jedna odpověď je správná (tři jsou špatně). Jaká je pravděpodobnost, že pokud budu tipovat, udělám maximálně jednu chybu. 10 10 ( ) *0,2510 *0,750 + ( ) *0,259 *0,751 = 0,000000095 + 0,00002861 = 2,95*10−5 10 9
└všechno dobře
+
└pouze jedna chyba
Pravděpodobnost, že udělám maximálně jednu chybu je 2,95*10−5
3. Závěr Tato práce mi pomohla si udělat systém v obecné pravděpodobnosti. Sjednotil jsem učivo pravděpodobnosti, které se probírá na střední škole. Doufám, že každý kdo si tuto práci pečlivě pročte, nebude mít problém s porozuměním.
17
Resume This work should unite and completly systematically organize history and basics of the theory of probability, which will be gradually explained on certain examples followed by commentaries. In the work I tried to describe everything as simple as possible, so that the person, who has never been taught anything about probability, will be able to count some simple examples by himself/herself.
Resume Tato práce má sjednotit a celkově systematicky uspořádat historii a základy teorie pravděpodobnosti. Teorie pravděpodobnosti je zde postupně vysvětlena na jednotlivých příkladech s komentářem. V práci jsem se snažil o co nejjednodušší komentář k příkladům, aby i ten, který se nikdy neučil o pravděpodobnosti, byl schopen po přečtení této práce vypočítat některé základní příklady.
18
Zdroje: Marek, Luboš. Pravděpodobnost. 1.vyd. Professional Publishing,2012, 249 s. ISBN: 978-80-7431-087-4
Hebák, Kahounová. Počet pravděpodobnosti v příkladech . 1.vyd. INFORMATORIUM spol. s, 2010, 312 s. ISBN: 978-80-7333-077-4
Teorie pravděpodobnosti [online]. 4.12.2015 [cit. 2015-12-04]. Dostupné z: http://www.matematika.cz/pravdepodobnost
Související definice o pravděpodobnosti [online]. 4.12.2015 [cit. 2015-12-04]. Dostupné z: http://artemis.osu.cz/pmfch/lekce03.pdf
Teorie pravděpodobnosti [online]. 4.12.2015 [cit. 2015-12-04]. Dostupné z: https://math.feld.cvut.cz/ftp/prucha/m3c/predn/pravd/u2.pdf
19
