Pracovní list č. 4
Počítáme s pravděpodobností Cíl cvičení: Tento pracovní list je určen pro cvičení předmětu Kvantitativní metody II (přednáška 3.1). Je zaměřen především pro práci s kalkulačkou, program MS Excel tentokrát příliš nevyužijete. Hlavním cílem cvičení je seznámit studenty s různými typy pojetí pravděpodobnosti, umět pravděpodobnost počítat, včetně pravděpodobnosti složených a podmíněných jevů, a dokázat ji interpretovat. Předtím si však také zopakujete své znalosti z oblasti kombinatoriky. Předpoklady ke zvládnutí: Na tomto cvičení využijete především kalkulačku. Podívejte se, zda Vaše kalkulačka umí počítat faktoriál, variační a kombinační čísla. Ke zvládnutí cvičení budete potřebovat znalosti středoškolské matematiky z oblasti kombinatoriky a přednášku „Náhodné jevy a pravděpodobnost".
1.1 Kombinatorické výpočty Řešené příklady: 1. Ze skupiny 8 lidí máme vybrat trojici, která bude tuto skupinu zastupovat. Kolika způsoby lze tento výběr provést: a) pokud si ve vybrané skupině budou všichni rovni; b) pokud ve vybrané skupině bude mít každá osoba svou funkci? ad a) Pokud si ve vybrané skupině budou všichni rovni, půjde o neuspořádaný výběr, tedy kombinace bez opakování. V našem konkrétním případě je dán počet výběrů jako: C3 (8) =
8! 8⋅7 ⋅6 = = 56 5! ⋅ 3! 1 ⋅ 2 ⋅ 3
Neuspořádanou skupinu lze tedy vybrat 56 způsoby. ad b) Pokud ve vybrané skupině bude mít každý svou funkci, půjde o uspořádaný výběr, tedy variace bez opakování. To znamená, že počet výběrů bude dán jako: V3 (8) =
8! = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336 5!
Uspořádanou skupinu lze vybrat 336 způsoby. 2. Servisní oddělení prodejny domácích potřeb zaměstnává 8 techniků. Předpokládejme, že každý technik může být přidělen nejvýše jednomu zákazníkovi a na každou opravu stačí pouze jeden technik. Kolika způsoby je možno přidělit techniky pěti zákazníkům? Počet způsobů přidělení je roven počtu uspořádaných pětic a čísla techniků se nesmějí opakovat: V5 (8) =
8! 8! 40320 = = = 6720 (8 − 5)! 3! 6
8 techniků je možné přidělit 6720 způsoby pěti zákazníkům. 3. Kolik 7-místných telefonních čísel může přidělit správa telekomunikací v jednom tranzitním okruhu, pokud tento má být identifikován konkrétní číslicí na prvním místě? 1
Má-li být na prvním místě jedna (kterákoliv) číslice, přičemž číslice se mohou v telefonním čísle opakovat, můžete toto označit IXXXXXX, kde I je konkrétní identifikační číslice a X je jakákoliv číslice {0, 1, 2, …, 9}. Počet takových telefonních čísel určíte jako počet variací šesté třídy z deseti prvků s opakováním: V6, (10) = 10 6
4. Kolik různých sestav volejbalového družstva je možno vytvořit z devíti nominovaných hráčů? Volejbalové družstvo má 6 hráčů a předpokládáme, že jsou navzájem zaměnitelní. Počet takových sestav je roven počtu kombinací šesté třídy z devíti prvků bez opakování: C 6 (9) =
9! 7 ⋅ 8 ⋅ 9 504 = = = 84 (9 − 6)!⋅6! 2⋅3 6
Počet takových sestav volejbalového družstva je 84.
Řešte na cvičení: 5.
K sestavení vlajky, která má být složena ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici látky barvy bílé, červené, modré, zelené a žluté. a) Určete počet vlajek, které lze z látek těchto barev sestavit. b) Kolik z nich má modrý pruh? c) Kolik z nich má modrý pruh uprostřed?
Výsledky: 5. Z daných barev lze sestavit: a) 60, b) 36, c) 12 vlajek.
1.2 Výpočty pravděpodobností Řešené příklady: 1.
V parlamentní komisi tvořené 10 členy Strany malých podnikatelů (SMP) a 20 členy Strany spokojených občanů (SSO) volíme tříčlenný výbor losováním z osudí. Jaká je pravděpodobnost, že ve výboru bude právě jeden člen SMP a dva členové SSO?
celkový možný počet kombinací výboru: 30 30! n = = = 4060 3 (30 − 3)! ⋅ 3!
počet možností, kdy jeden člen výboru je z SMP a va ze SSO: 10 20 m = ⋅ = 10 ⋅ 190 = 1900 1 2 2
hledaná pravděpodobnost: P=
m 1900 = = 0,468 n 4060
Hledaná pravděpodobnost je 46,8%. 2. Výrobce nabídl nový produkt dvěma obchodním řetězcům. Pravděpodobnost, že první řetězec výrobek přijme, je 60%, pravděpodobnost přijetí druhým řetězcem je 50%, pravděpodobnost, že výrobek přijmou oba, je 40%. a) Jaká je pravděpodobnost, že výrovek přijme aspoň jeden řetězec? b) Víme, že první řetězec výrobek přijal. Jaká je pravděpodobnost, že ho přijme i druhý řetězec? c) Jsou přijetí výrobku jednotlivými řetězci jevy nezávislé? Označíme-li jevy: • jev A = přijetí výrobku prvním řetězcem, • jev B = přijetí výrobku druhým řetězcem, můžeme dosud známé pravděpodobnosti zapsat jako: P(A)=0,6 P(B) = 0,5 P(A ∩ B) = 0,4 ad a) Jev, že výrobek přijme aspoň jeden řetězec, je sjednocení jevů A a B: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,6 + 0,5 - 0,4 = 0,7 Pravděpodobnost, že výrobek přijme aspoň jeden řetězec, je 70%. ad b) Počítáme podmíněnou pravděpodobnost P(B|A). Podle vztahu pro podmíněnou pravděpodobnost: P (B A) =
P( A ∩ B ) 0,4 = = 0,667 P ( A) 0,6
Pravděpodobnost, že výrobek přijme i druhý řetězec, je 66,7%. ad c) Aby jevy A a B byly nezávislé, muselo by platit, že P( A ∩ B ) = p( A) ⋅ P (B ) . P ( A ∩ B ) = 0,4 P ( A) ⋅ P (B ) = 0,6 ⋅ 0,5 = 0,3
Jevy A a B jsou závislé. (K tomuto závěru lze dojít i srovnáním úplné pravděpodobnosti P(B) a podmíněné P(B/A). Pokud by jevy A a B byly nezávislé, musely by se obě pravděpodobnosti rovnat.) 3. Prodejce mobilních telefonů si dělal statistiku svých zákazníků. Zjistil přitom, že 40% z návštěvníků jeho obchodu jsou ženy. Přitom 35% všech žen, které navštíví jeho obchod, si také něco koupí, zatímco u mužů je to pouze 20%. a) Jaká je pravděpodobnost, že osoba, která navštíví jeho obchod, si v něm také něco koupí? b) Pokud víme, že návštěvník obchodu si v něm něco koupil, jaká je pravděpodobnost, že to byla žena? c) Pokud víme, že návštěvník obchodu si v něm nic nekoupil, jaká je pravděpodobnost, že 3
to byl muž? d) Jaká je pravděpodobnost, že příští návštěvník obchodu bude muž a něco si koupí? označíme jevy: •
M... muž Z ... žena
•
K ... koupí N ... nekoupí
První dva jevy jsou navzájem opačné, stejně jako druhé dv. K výpočtu použijeme Bayesovy vzorce o podmíněné a úplné pravděpodobnosti: a) P(K ) = P(K M )⋅ P(M ) + P(K Z ) ⋅ P(Z ) = 0,2 ⋅ 0,6 + 0,35 ⋅ 0,4 = 0,26 = 26% . b) P(Z K ) =
P (Z ) 0,4 ⋅ P (K Z ) = ⋅ 0,35 = 0,538 P (K ) 0,26
c) P(M N ) =
P (M ) 0,6 ⋅ P (N M ) = ⋅ 0,8 = 0,649 P(N ) 0,74
d) P(M ∩ K ) = P(M K ) ⋅ P(K ) = 0,46 ⋅ 0,26 = 0,12
tj. 54%. tj. 65%. tj. 12%.
lze také použít rozhodovací strom: 0,20 0,60
K A
0,46 0,60*0,20=0,12
0,26
M 0,26
0,80 N
0,60*0,80=0,48
0,40
K
0,40*0,35=0,14
Z
0,35
N
M A
0,26*0,46=0,12
K
0,60 0,54
0,74 0,74
0,40*0,65=0,26
N
Z
0,26*0,54=0,14
M
0,74*0,65=0,48
0,65
Z
0,65
0,40
0,74*0,35=0,26
0,35
Řešte na cvičení: Výsledky pravděpodobnosti uvádějte v % s přesností na desetiny procent. Ostatní výsledky uvádějte s přesností na 3 platné číslice. 4. U zkoušky z matematiky si student vybral 3 otázky z 30. K úspěšnému složení zkoušky musí správně odpovědět alespoň na 2 otázky. a) Jaká je pravděpodobnost, že student zkoušku složí, pokud zná odpovědi na 70% otázek? b) Jaká je pravděpodobnost, že student zkoušku nesloží? 5. V ruletě je 37 možných výsledků: 0, 1, 2, ..., 36. Hráč vsadil jednak na „lichou", jednak na „první tucet". a) S jakou pravděpodobností vyhraje na obě sázky? b) S jakou pravděpodobností vyhraje aspoň na jednu ze sázek? 6. Do náhodného výběru při průzkumu veřejného mínění se dostalo 24% vysokoškoláků, 49% středoškoláků a zbytek respondentů se základním vzděláním. Na otázku „Máte obavy ze vstupu České republiky do EU?" odpovědělo ANO 18% vysokoškoláků, 34% středoškoláků a 72% občanů se základním vzděláním. 4
a) Jakou část populace lze odhadem považovat za občany, kteří mají obavy ze vstupu do EU? b) Víme-li, že občan má obavy ze vstupu do EU, s jakou pravděpodobností jde o vysokoškoláka? Procvičte si doma: 7.
Student si podal přihlášku na 2 vysoké školy. Na universitu v Brně přijímají každého čtvrtého přihlášeného, na univerzitu v Olomouci přijmou 35% ze všech přihlášených studentů. Pokud je student přijat do Brna, jeho šance na přijetí do Olomouce se zvyšují na dvojnásobek. a) Jsou jevy „přijat do Brna" a „přijat do Olomouce" závislé nebo nezávislé? b) Jaká je pravděpodobnost, že student bude přijat na obě university? c) Jaká je pravděpodobnost, že student bude přijat alespoň na jednu universitu? d) Jaká je pravděpodobnost, že student bude přijat pouze na jednu universitu?
8. Celostátní průzkum sledovanosti jistého rodinného pořadu ukázal, že pořad sleduje pravidelně 30% všech manželek a 50% manželů. Zároveň se ukázalo, že pokud pořad sleduje manželka, pravděpodobnost, že jej bude sledovat i manžel, je 60%. Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybraného manželského pára: a) budou pořad sledovat oba manželé? b) bude pořad sledovat aspoň jeden z manželů? c) nebude pořad sledovat ani jeden z manželů? d) bude pořad sledovat i manželka, jestliže jej sleduje manžel? e) jestliže manžel pořad nesleduje, bude jej sledovat manželka? 9. Na mezinárodní konferenci se sešli Češi, Slováci, Poláci a Maďaři. Čechů bylo 40%, Slováků 25%, Poláků 20% a Maďarů 15%. Předpokládáme, že všichni Slováci rozumí česky, z Poláků rozumělo česky 50% a z Maďarů nikdo. a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný účastník konference rozumí česky? b) Víme-li, že účastník rozumí česky, jaká je pravděpodobnost, že je Polák? c) Víme-li, že účastník nerozumí česky, jaká je pravděpodobnost, že je Maďar? d) Víme-li, že účastník nerozumí česky, jaká je pravděpodobnost, že je Slovák? Výsledky: 4. 5. 6. 7. 8. 9.
a) 79,3% b)20,7% a) 16,2% b) 64,8% a) 40,3% b) 10,7% a) závislé b) 17,5% c) 42,5% d) 25,0% a) 18% b) 62% c) 38% d) 36% e) 24% a) 75,0% b) 13,3% c) 60,0% d) 0,0%
5
