Pitagorasz tételhez elıkészítı problémafelvetı, motiváló feladatok 1.Területre vonatkozó feladat: Egy négyzet alakú halastó négy sarkán egy-egy fa áll. Kétszer akkorára akarják növelni a halastó területét a tulajdonosok, de úgy, hogy négyzet alakú maradjon, a fák közül pedig egyet sem hajlandók kivágni. Mit tegyenek? Pitagorasz tételének gondolatkörébe tartozó, de sokkal egyszerőbb eszközökkel is megoldható a feladat. (Platón írja le egy dialógusában, hogyan vezetett rá Szókratész a feladat megoldására egy rabszolgát.) Megoldás A szöges táblán és kockás papíron szerzett tapasztalatok nagyon megkönnyítik a megoldó dolgát.
Ha egységnek vesszük a kiindulási négyzet területét, akkor a kétszer akkora területő négyzet oldala olyan szám, amelynek a négyzete éppen 2. Ez a távolság a szerkesztés alapján egyenlı az eredeti egységnégyzet átlójával. Tehát azt a fontos ismeretet szereztük meg, hogy az egység oldalú négyzet átlójának hossza 2 , és ehhez nem kellett a Pitagorasz tétele. Ez a feladat, tehát alkalmas a 2 bevezetésére. Ehhez a ponthoz kapcsolható az ismerkedés az irracionális számokkal. 2. feladat. Nem területekre, hanem hosszúságokra vonatkozik: Négyzet alakú tóban négyzet alakú sziget van. A sziget partjainak távolsága a tó szélétıl mindenütt 10 m. 10 m hosszú gerendáink vannak, ezek segítségével akarunk száraz lábbal eljutni a szigetre. De ez lehetetlen, mert nem tudjuk megtámasztani a gerendákat a parton és a szigeten. Vagy mégis lehetséges? Megoldás Az ábra mutat egy megoldási javaslatot.
A megoldás akkor jó, ha a sziget és a szárazföld sarka közti távolság kisebb, mint 15m. Ennek bizonyítása alapulhat az elızı példán, a 2 ismeretén, hiszen 10 egység oldalú négyzet átlójáról van szó, 10 2 < 15. De úgy is gondolkozhatunk, hogy területek útján hasonlítunk össze hosszúságokat (távolságokat) anélkül, hogy kiszámítanánk ıket. Itt pl. így: a sziget sarkának a távolsága a tó , de = 200 < 225. Ha éppen 15 m volna ez sarkától 15 m-nél kisebb, mert a távolság, akkor ilyen módon elhelyezve beleesnének a vízbe a rudak, nem lehetne megtámasztani ıket. De mert kisebb a távolság 15 m-nél, jut belılük a megtámasztásra.
Ha azonban azt kérdezzük: mennyi jut belılük a megtámasztásra, akkor erre a kérdésre nem kaphatunk ilyen módon választ. Elkerülhetetlenné válik a területekben való gondolkozástól továbblépkedni a távolságokban való gondolkozás felé. Erre ösztönözhetnek más feladatok is, például a következı: Egy téglalap alakú tér egyik sarkából egy átellenes sarkába út vezet. A tér oldalainak hossza 200 m és 100 m, vagyis a téglalap oldalai mentén haladva 300 m-nyire van egy saroktól az átellenes sarok. Mekkora utat takarít meg az, aki az átlós úton vág át a téren? Ehhez már szükség van a Pitagorasz tételre. ( 2002 + 1002 = 50000); tehát az átlós út hossza: 100 5 ≈ 221, majdnem 80 méterrel rövidíthetjük az utunkat. Természetesen az elsı két feladat is feladható a Pitagorasz tétel alkalmazására is.
Pitagorasz tételének elıkészítése négyzetrács használatával Feladat: határozzuk meg a kérdıjeles négyzet területét!
A gondolatmenet lényege az, hogy négyzetrácson (lyukas-szöges táblán vagy kockás papíron) olyan négyzetek területét számíttatjuk ki a gyerekekkel, amelyek ferdén helyezkednek el. Egy lehetséges számítási mód az, hogy a kis rácsnégyzetekkel egyállású nagyobb négyzetet írnak a ferde helyzető négyzet köré.
Mivel a négyzetrácsot pontosnak tekintjük, ezért a segítségével rajzolt négyzetek „pontosan” négyzetek. A kérdéses területő négyzetet egy 5 egység oldalú négyzettel rajzoltuk körbe. A határoló derékszögő háromszögek befogói 2 és 3 egység hosszúak, tehát a területük összege 12 területegység. A keresett belsı négyzet területe tehát 25-12 = 13 területegység. Ezt módszert alkalmazhatjuk nehezebben megrajzolható esetekre is: Feladat Az ábrán tompaszögő, derékszögő és hegyesszögő egyenlıszárú háromszögek oldalaira rajzoltunk négyzeteket. A háromszögek szárai egyenlık, az alapok különbözık Állapítsuk meg a négyzetek területét!
Megoldás A „ferde” négyzetek területeit leolvashatjuk a ”körberajzolásos” módszer segítségével Valamennyi háromszög esetén a szárakon a négyzetek területe egyenként (9 – 4) =5 egység. A tompaszögő háromszög alapján a négyzet területe 16 egység, a hegyesszögő háromszög alapján a négyzet területe 2 egység, a derékszögő háromszög alapján a négyzet területe 16-6 = 10 egység. Tehát már itt észrevehetı, hogy a szárakra rajzolt területek összege a tompaszögő háromszögnél nagyobb, a hegyesszögőnél kisebb az alapra rajzolt négyzet területénél, derékszögőnél pedig éppen ugyanakkora. Erre a megfigyelésre visszatérhetünk a Pitagorasz tételének megfordításánál.
Ezt a módszert alkalmazhatjuk távolságok meghatározásánál is. 1. feladat Melyik szakasz hosszabb,
vagy
?
Megoldás: Rácson az AB szakasz fölé 40 egység területő négyzetet illeszthetünk, a CD fölé 41 egységnyit, tehát CD > AB 2. feladat Egyenlı szárú-e az
háromszög?
Megoldás Az elızıhöz hasonló módszerrel megkaphatjuk XY 2 = 17; YZ2 = 41 és XZ2 = 36; tehát nincs két egyenlı oldal. 3. feladat Egy körön vannak-e a , Q , , pontok? -tól egyenlı távol vannak-e? Ha nem, melyik van -tól a legtávolabb, melyik a legközelebb, melyek vannak tıle egyenlı távolságra?
Megoldás: OP2 = 26; OQ2 = 25; OR2 = 25, OS2 = 25 Tehát a P pont távolabb van O-tól, mint a többi, amelyek O középpontú 5 egység sugarú körön vannak.
Természetesen ilyenféle feladatok a Pitagorasz tétel alkalmazásaként kényelmesen megoldhatók. De érdemes a Pitagorasz tétel elıtt is foglalkozni ezekkel és visszatérni rá a tétel alkalmazásainál is. Tapasztalhatjuk, hogy egy-egy újabb ismeret mennyire megkönnyítheti a megoldást. Megjegyzések: A feladatsor több korosztályban is alkalmazható és többféle szerepben. Az általános iskolában 8-ban – esetleg már 7-ben is tapasztalatgyőjtésre, elıkészítésre, fıleg az elsı két feladatot. A középiskolában is lehet közvetlenül a Pitagorasz tétel elıtt 9-ben. De mindegyiket feldolgozhatjuk a tétel alkalmazásaként, de még akkor sem egy órára való. Sıt késıbb az ismétlésnél is visszatérhetünk rá. Köthetjük az irracionális számok bevezetéséhez is, pl. a halastó feladatot.. A rácson való mőveletekkel elıkészíthetjük a koordináta geometriában az egyenesek merılegességének tanítását.
Forrás: Pálfalvi Józsefné: Matematika didaktikusan Typotex Kiadó Budapest 2000 http://www.typotex.hu/index.php?page=ekonyvek
