Příklad oboustranně vetknutý nosník

Příklad – oboustranně vetknutý nosník výpočet podle viskoelasticity: 4  L  fˆ L w ,t   J  t , t0  … průhyb  2  384 I uprostřed co se změní v případě, fˆ M mění x, t  včase? 6 x 2  6 Lx  L2  H  t  t0   že se zatížení 12 fˆ L2 M  0, t    H  t  t0  Q  x, t   M   x, t    fˆ  2 x  L  H  t  t  0 12 2 moment ve pokud je viskoelastická konstrukce homogenní vetknutí a zatížení od okamžiku t0 neměnné, pak jsou statické veličiny také v čase neměnné a jejich hodnoty odpovídají výpočtu podle pružnosti

Příklad – oboustranně vetknutý nosník výpočet podle viskoelasticity:

L

I R  wIV  x, t   f z  x, t   fˆ H  t  t0  w  0, t   0

w  L, t   0

w '  0, t   0

w '  L, t   0

 fˆ  fˆ w  x , t   J  H  t  t0    J  t , t 0  I  I fˆ w  x, t   x J  t , t0   C  t  I IV

čtyřnásobná integrace:

...

fˆ x 4 w  x, t   J  t , t0   C1  t  x 3  C2  t  x 2  C3  t  x  C4  t  I 24

Příklad – oboustranně vetknutý nosník výpočet podle viskoelasticity:

L

I R  wIV  x, t   f z  x, t   fˆ H  t  t0  w  0, t   0

w  L, t   0

w '  0, t   0

w '  L, t   0

 f z  x, t   1 w  x, t   J    J  f z  x, t   I  I IV

pro libovolný časový okamžik t řešíme stejnou rovnici se stejnými okrajovými podmínkami jako podle pružnosti, jen skutečné zatížení nahradíme zatížením transformovaným pomocí operátoru poddajnosti J a modul pružnosti položíme roven jedné

Příklad – oboustranně vetknutý nosník výpočet podle pružnosti:

f t 

4  L  f t  L w ,t    2  384 EI

… průhyb uprostřed

výpočet podle viskoelasticity:

f t 

4 J f t L     L   w ,t    … průhyb 384 I 2  uprostřed

při výpočtu ohybových momentů z průhybů: M  x, t    I R  w  x, t  se použije relaxační operátor R , který „neutralizuje“ předtím použitý operátor poddajnosti J , takže výsledek je stejný jako podle pružnosti

Příklad – oboustranně vetknutý nosník výpočet podle pružnosti:

f t  2 f t L   L   M  ,t   24 2 

… moment uprostřed

výpočet podle viskoelasticity: f t  2 f t L   L   M  ,t   24 2 

… moment uprostřed

Částečné shrnutí – účinky silového zatížení poznámka veličiny statického charakteru = vnitřní síly, reakce, napětí, … veličiny geometrického charakteru = průhyby, deformace, …

Částečné shrnutí – účinky silového zatížení výpočet podle pružnosti: veličiny statického charakteru nezávisejí na modulu pružnosti E veličiny geometrického charakteru jsou přímo úměrné poddajnosti 1/ E výpočet podle viskoelasticity:

veličiny statického charakteru nezávisejí na materiálových parametrech

pružná poddajnost nahrazena operátorem poddajnosti

veličiny geometrického charakteru získáme aplikací operátoru poddajnosti J na řešení podle pružnosti s jednotkovým modulem E  1

Příklad – vetknutý nosník zatížený posunem podpory EI wIV  x   f z  x   0

výpočet podle pružnosti:

wˆ

čtyřnásobná integrace:

w 0  0

w  L   wˆ

w ' 0  0

w '  L  0

w IV  x   0 ... w  x   C1 x 3  C2 x 2  C3 x  C4

po uplatnění okrajových podmínek:

 3x 2 2 x 3  w  x   wˆ  2  3  L   L

Příklad – vetknutý nosník zatížený posunem podpory výpočet podle viskoelasticity: I R  wIV  x, t   f z  x, t   0

wˆ

w  0, t   0

ˆ  t  t0  w  L, t   wH

w '  0, t   0

w '  L, t   0

w IV  x, t   0

čtyřnásobná integrace: ...

w  x, t   C1  t  x 3  C2  t  x 2  C3  t  x  C4  t  po uplatnění okrajových podmínek:

 3x 2 2 x 3  w  x   wˆ  2  3  H  t  t0  L   L

Příklad – vetknutý nosník zatížený posunem podpory podle pružnosti:

wˆ

 3x 2 2 x 3  w  x   wˆ  2  3  L   L 6 EIwˆ M  x    EIw  x   3  2 x  L  L

6EIwˆ M  L  2 L podle viskoelasticity:

dochází k relaxaci vnitřních sil

 3x 2 2 x 3  w  x   wˆ  2  3  H  t  t0  L   L 6 Iwˆ M  x    I R  w  x   3  2 x  L  R  t , t0  L

Příklad – vetknutý nosník zatížený posunem podpory pro obecný časový vývoj posunu podpory:

wˆ  t  M  L, t  

6 I R  w  t   L2

 3x 2 2 x 3  podle viskoelasticity: w  x, t    2  3  w  t  L   L 6I M  x, t    I R  w  x, t   3  2 x  L  R w  t  L

Částečné shrnutí – účinky nesilového zatížení výpočet podle pružnosti: veličiny statického charakteru přímo úměrné modulu pružnosti E veličiny geometrického charakteru nezávislé na modulu pružnosti

pružná tuhost nahrazena relaxačním operátorem

výpočet podle viskoelasticity:

veličiny statického charakteru získáme aplikací relaxačního operátoru R na řešení podle pružnosti s jednotkovým modulem E  1 veličiny geometrického charakteru nezávisejí na materiálových parametrech

Chování homogenních viskoelastických konstrukcí pružný materiál:

viskoelastický materiál:

  E 

E

R

  t   R   t 

1    E

1 E

J

  t   J   t 

pružná konstrukce:

viskoelastická konstrukce:

fˆ  t  L2 M a t   12

fˆ L2 Ma  12 fˆ L4 wc  384 EI

1 E

J

wc  t  

J  fˆ  t  L4 384 I

Chování homogenních viskoelastických konstrukcí pružná konstrukce: 6 EIwˆ Ma  L2 wˆ wc  2

E

R

pružná konstrukce: 3EIT  Td  Th  Ma  2h E

viskoelastická konstrukce: 6 I R  wˆ  t  M a t   L2 wˆ  t  wc  t   2 viskoelastická konstrukce:

M a t  

R

3IT R  Td  t   Th  t  2h

Shrnutí pružná konstrukce:

viskoelastická konstrukce (homogenní):

silové zatížení

nesilové zatížení

statické veličiny



E

geometrické veličiny

1/ E



silové zatížení

nesilové zatížení

statické veličiny



R

geometrické veličiny

J



Příklad výpočet podle pružnosti:

f

F wb

f wb

Rb

fL4 FL3 wb   8EI 3EI

fL4 Rb L3 wb   8EI 3EI

3 3EI Rb  fL  3 wb 8 L

Příklad výpočet podle viskoelasticity: F t 

f t 

wb  t   f  t  L4 F  t  L3  L4 L3 wb  t   J   J  f  t   J  F  t   3I  8I 3I  8I f t 

wb  t  Rb  t 

 f  t  L4 Rb  t  L3  wb  t   J    3I   8I 3 3I Rb  t   f  t  L  3 R  wb  t  8 L

Vyhodnocení funkce poddajnosti a relaxační funkce podle modelu B3 prof. Bažanta potřebné vstupní údaje:

h

... průměrná relativní vlhkost prostředí

V / S ... poměr objemu a povrchu betonového dílce (pro dlouhý nosník poměr plochy a obvodu průřezu)

f c ... střední pevnost v osovém tlaku (měřená na válcích ve stáří 28 dní) příklad – nosník ze cvičení

h  80%, V / S  120000 /1400 mm,

fc  38MPa

Vyhodnocení funkce poddajnosti a relaxační funkce podle modelu B3 prof. Bažanta další potřebné vstupní údaje (kromě již zmíněných):

w, c, a ... hmotnost vody, cementu a kameniva na m3 betonu k s ... součinitel tvaru zkoumaného tělesa (ovlivňuje vysychání)

1 2

... součinitel závislý na typu cementu ... součinitel závislý na způsobu ošetřování

t0 ... doba ošetřování příklad:

w  175kg/m , c  400kg/m , a  1785kg/m ks  1, 25, 1  1,  2  1, 2 t0  7 dní 3

3

3

Graf funkce poddajnosti

Graf funkce poddajnosti

Graf relaxační funkce

80%

Graf relaxační funkce

80%

100%

Vývoj smrštění

Příklad f  t   fˆ H  t  t1  wb  t   wˆ b H  t  t2  fˆ  16 kN/m wˆ b  0,03 m

t1  20dní t2  30dní

3 3I Rb  t   f  t  L  3 R  wb  t  8 L

L5m bh 3 0,3  0,43 4 I  m  1,6  103 m 4 12 12 3 ˆ 3I Rb  31  f L  3 wb R  31,30    30  1,152  24,95 kN  1, 26 kN 8 L reakce 1 den 24,95GPa po poklesu podpory

Příklad f  t   fˆ H  t  t1  wb  t   wˆ b H  t  t2  fˆ  16 kN/m wˆ b  0,03 m

t1  20dní t2  30dní

3 3I Rb  t   f  t  L  3 R  wb  t  8 L

L5m bh 3 0,3  0,43 4 I  m  1,6  103 m 4 12 12 3 ˆ 3I Rb  60   f L  3 wb R  60,30    30  1,152 19,16  kN  7,93kN 8 L reakce 1 měsíc 19,16GPa po poklesu podpory

Příklad f  t   fˆ H  t  t1  wb  t   wˆ b H  t  t2  fˆ  16 kN/m wˆ b  0,03 m

t1  20dní t2  30dní

3 3I Rb  t   f  t  L  3 R  wb  t  8 L

L5m bh 3 0,3  0,43 4 I  m  1,6  103 m 4 12 12 3 ˆ 3I Rb  395  f L  3 wb R  395,30    30  1,152 11, 61 kN  16, 6 kN 8 L reakce 1 rok 11,61GPa po poklesu podpory

Přetváření a porušování materiálů 1. Viskoelasticita 1.2 Analýza viskoelastických prutových konstrukcí (právě ukončeno) Povinný základ: články 1.2.1-1.2.2 ve skriptu PPM Doporučené rozšíření: článek 1.2.3: deformační metoda, přerozdělování vnitřních sil