MAKALAH MATEMATIKA
Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Matematika
Disusun oleh : WULAN SARI NIM : 1251.0.15 KELAS 1B
FAKULTAS TARBIYYAH PROGRAM PGSD/PGMI-S1 INSTITUT AGAMA ISLAM LATIFAH MUBAROKIYYAH PONDOK PESANTREN SURYALAYA 2012
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Matematika merupakan mata pelajaran yang paling digemari dan menjadi suatu kesenangan oleh sebagian kecil siswa, tetapi bagi sebagian besar siswa matematika merupakan mata pelajaran yang amat berat dan sulit. Hal ini disebabkan karena kajian matematika bersifat abstrak. Menurut para ahli bahwa Matematika pada hakikatnya merupakan sistem aksiomatis deduktif formal. Sebagai suatu sistem aksiomatis, matematika memuat komponenkomponen dan aturan komposisi atau pengerjaan yang dapat menjalin hubungan secara fungsional antar komponen. Hal ini berimplikasi terhadap prestasi siswa dalam mata pelajaran matematika yang belum memuaskan, menurut Ruseffendi (1991, dalam Anggriamurti, 2009) bahwa “terdapat anakanak yang setelah belajar matematika yang sederhanapun banyak yang tidak dipahami, banyak konsep yang dipahami secara keliru”. Hampir semua manusia yang pernah belajar mengenal ilmu ini karena diseluruh dunia ilmu ini dipelajari. Dalam perkuliahan kali ini, kami mahasiswa mendapat tugas untuk membuat makalah tentang materi matematika, maka judul ini kami pilih guna memenuhi tugas tersebut.
1
B. Rumusan Masalah Berdasarkan permasalahan diatas, maka rumusan masalah pada makalah ini sebagai berikut : 1. Apa pengertian matematika ? 2. Bagaimana sejarah perkembangan matematika ? 3. Apa karakteristik matematika ? 4. Bagaimana hakikat pembelajaran matematika di sekolah ? 5. Bagaimana penyajian matematika di sekolah ?
C. Tujuan Pembahasan Adapun tujuan dari penyusunan makalah matematika ini secara khusus disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Matematika. Selain itu dengan disusunnya makalah ini mahasiswa dapat : 1. Mengetahui pengertian dan sejarah matematika. 2. Mengetahui tentang karakteristik matematika. 3. Memahami bagaimana hakikat pembelajaran matematika di sekolah. 4. Mengetahui bagaimana penyajian matematika di sekolah ?
2
BAB II KAJIAN PUSTAKA
A. Hakikat Matematika Matematika yang diajarkan di jenjang persekolahan seperti Sekolah Dasar, Sekolah Menengah Pertama dan Sekolah Menengah Atas disebut matematika sekolah. Penyajian matematika sekolah disesuaikan dengan karakteristik siswa. pola pikir matematika sebagai ilmu adalah deduktif, sifat atau teorema yang ditemukan secara induktif, selanjutnya harus dibuktikan secara deduktif. Namun dalam matematika sekolah pola pikir induktif dapat digunakan dengan maksud menyesuaikan dengan tahap perkembangan intelektual siswa. Dalam National Council of Teachers of Mathematics (2000: 11) terdapat enam prinsip matematika sekolah mencakup lingkup: 1.
Kejujuran. Keunggulan dalam pendidikan matematika memerlukan kejujuran, harapan, dan dukungan yang kuat bagi siswa.
2.
Kurikulum. Kurikulum bukan hanya sekedar kumpulan aktivitas, kurikulum harus koheren, berpusat pada pentingnya matematika, dan dijabarkan dengan baik pada tiap kelas.
3.
Pengajaran.
Pengajaran
matematika
yang
efektif
membutuhkan
pemahaman tentang apa yang diketahui siswa dan apa yang diperlukan siswa serta mendukung siswa mempelajarinya dengan baik. 4.
Pembelajaran. Siswa harus belajar matematika dengan pemahaman, membangun pengetahuannya dari pengalaman. 3
5.
Penilaian. Penilaian harus mendukung belajar dan memberi informasi bagi guru dan siswa.
6.
Teknologi. Teknologi mempengaruhi matematika yang diajarkan dan meningkatkan belajar siswa. Ebbut dan Straker (Marsigit, 2007: 5-6) menguraikan hakikat
matematika sekolah, matematika adalah kegiatan penelusuran pola dan hubungan; kreatifitas yang memerlukan imajinasi, intuisi, dan penemuan; kegiatan problem solving; alat komunikasi. Implikasi dari pandangan bahwa matematika merupakan kegitan penelusuran pola dan hubungan adalah: memberikan kesempatan siswa untuk melakukan kegiatan penemuan dan penyelidikan pola-pola untuk menentukan hubungan; memberi kesempatan kepada siswa untuk melakukan percobaaan dengan berbagai cara, mendorong siswa untuk menemukan adanya urutan, perbedaan, perbandingan dan pegelompokan; mendorong siswa menarik kesimpulan umum; dan membantu siswa memahami dan menemukan hubngan antara pengertian satu dengan yang lainnya. Matematika adalah kreatifitas yang memerlukan imajinasi, intuisi dan penemuan. Implikasi dari pandangan ini terhadap pembelajaran matematika adalah: mendorong inisiatif dan memberi kesempatan berpikir berbeda; mendorong rasa ingin tahu, keinginan bertanya, kemampuan menyanggah dan kemampuan memperkirakan; menghargai penemuan yang di luar perkiraan sebagai hal yang bermanfaat; mendorong siswa menemukan struktur dan desain matematika; mendorong siswa menghargai penemuan siswa lainnya;
4
mendorong siswa berfikir refleksif; dan tidak menyarankan penggunaan suatu metode tertentu. Matematika
adalah
kegiatan
problem
solving,
maka
dalam
pembelajaran matematika guru perlu menyediakan lingkungan belajar matematika yang merangsang timbulnya persoalan matematika, membantu siswa memecahakan persoalan matematika menggunakan caranya sendiri, membantu siswa mengetahui informasi yang diperlukan untuk memecahkan persoalan matematika, mendorong siswa untuk berfikir logis, konsisten, sistematis
dan
mengembangkan
mengembangkan kemampuan
dan
sistem keterampilan
dokumentasi/catatan, untuk
memecahkan
persoalan, membantu siswa mengetahui bagaimana dan kapan menggunakan berbagai alat peraga/media pendidikan matematika seperti jangka, kalkulator, dan sebagainya Impilikasi dari pandangan bahwa matematika sebagai alat komunikasi dalam pembelajaran adalah: mendorong siswa membuat contoh sifat matematika; mendorong siswa menjelaskan sifat matematika; mendorong siswa memberikan alasan perlunya kegiatan matematika; mendorong siswa membicarakan persoalan matematika; mendorong siswa membaca dan menulis matematika; menghargai bahasa ibu siswa dalam membicarakan matematikaMenurut Morris Kline (dalam Simanjuntak, 1993) mengatakan bahwa jatuh bangunnya suatu negara dewasa ini tergantung dari kemajuan pada bidang matematika. Oleh karena itu sebagai langkah awal untuk mengarah pada kemajuan suatu bangsa adalah dengan mendorong atau memberi motivasi belajar matematika pada masyarakat khususnya bagi para
5
anak – anak atau siswa. Pengetahuan mengenai matematika memberikan bahasa, proses, dan teori yang memberikan ilmu suatu bentuk dan kekuasaan, yang akhirnya bahwa matematika merupakan salah satu kekuatan utama pembentukan konsepsi tentang alam suatu hakikat dan tujuan manusia dalam kehidupannya . Menyadari akan peran penting matematika dalam kehidupan, maka matematika selayaknya merupakan kebutuhan dan menjadi kegiatan yang menyenangkan. Sebagai mana dari tujuan yaitu melatih siswa berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, mengembangkan aktifitas kreatif yang melibatkan imajinasi, penemuan, membuat prediksi dan dugaan serta mencoba – coba, mengembangkan kemampuan memecahkan masalah dan mengembangkan kemampuan mengkomunikasikan gagasan atau ide melalui tulisan, pembicaraan lisan, catatan, grafik, peta atau diagram. Oleh karena itu setiap siswa perlu memili penguasaan matematika yang merupakan penguasaan kecakapan matematika untuk dapat memahami dunia dan berhasil dalam kariernya. Ebbutt dan Straker (dalam Depdiknas, 2006) mengemukakan hakekat dan karakteristik matematika sekolah yang selanjutnya disebut sebagai matematika, sebagai berikut. a. Matematika sebagai kegiatan penelusuran pola dan hubungan Implikasi dari pandangan ini terhadap pembelajaran matematika adalah guru perlu: 1) memberi kesempatan kepada siswa untuk melakukan kegiatan penemuan dan penyelidikan pola-pola untuk menentukan hubungan,
6
2) memberi kesempatan kepada siswa untuk melakukan percobaan dengan berbagai cara, 3) mendorong siswa untuk menemukan adanya urutan, perbedaan, perbandingan, pengelompokan, dsb, 4) mendorong siswa menarik kesimpulan umum, 5) membantu siswa memahami dan menemukan hubungan antara pengertian satu dengan yang lainnya b. Matematika sebagai kreativitas yang memerlukan imajinasi, intuisi dan penemuan. Implikasi dari pandangan ini terhadap pembelajaran matematika adalah guru perlu : 1) mendorong inisiatif siswa dan memberikan kesempatan berpikir berbeda, 2) mendorong rasa ingin tahu, keinginan bertanya, kemampuan menyanggah dan kemampuan memperkirakan, 3) menghargai penemuan yang diluar perkiraan sebagai hal bermanfaat daripada menganggapnya sebagai kesalahan, 4) mendorong siswa menemukan struktur dan desain matematika, 5) mendorong siswa menghargai penemuan siswa yang lainnya, 6) mendorong siswa berfikir refleksif, dan 7) tidak menyarankan hanya menggunakan satu metode saja. c. Matematika sebagai kegiatan pemecahan masalah (problem solving) Implikasi dari pandangan ini terhadap pembelajaran matematika adalah guru perlu:
7
1)
menyediakan lingkungan belajar matematika yang merangsang timbulnya persoalan matematika,
2)
membantu siswa memecahkan persoalan matematika menggunakan caranya sendiri,
3)
membantu siswa mengetahui informasi yang diperlukan untuk memecahkan persoalan matematika,
4)
mendorong siswa untuk berpikir logis, konsisten, sistematis dan mengembangkan sistem dokumentasi/catatan,
5)
mengembangkan kemampuan dan ketrampilan untuk memecahkan persoalan,
6)
membantu siswa mengetahui bagaimana dan kapan menggunakan berbagai alat peraga/media pendidikan matematika seperti : jangka, penggaris, kalkulator, dsb.
d. Matematika sebagai alat berkomunikasi. Implikasi dari pandangan ini terhadap pembelajaran matematika adalah guru perlu: 1) mendorong siswa mengenal sifat-sifat matematika, 2) mendorong siswa membuat contoh sifat matematika, 3) mendorong siswa menjelaskan sifat matematika, 4) mendorong siswa memberikan alasan perlunya kegiatan matematika, 5) mendorong siswa membicarakan persoalan matematika, 6) mendorong siswa membaca dan menulis matematika, 7) menghargai bahasa ibu siswa dalam membicarakan matematika.
8
B. Sejarah Matematika Dalam sejarah perkembangan matematika, banyak ditemukan berbagai tulisan matematika di berbagai wilayah yang merupakan sisa peninggalan zaman prasejarah, di antaranya : 1.
Matematika Babilonia tahun 1900 SM, ditemukan oleh Plimpton;
2.
Matematika Moskow di Rusia tahun 1950 SM;
3.
Matematika Rhind di Mesir tahun 1650 SM;
4.
Sulbha sutra / matematika India tahun 800 SM. Matematika tumbuh dan berkembang karena proses berpikir. Oleh
karena itu logika merupakan dasar untuk terbentuknya matematika. Logika adalah bayi matematika, sebaliknya matematika adalah masa dewasa logika. Pada awal perkembangan matematika di Indonesia setelah penjajahan Belanda dan Jepang, digunakan istilah “Ilmu Pasti” untuk matematika. Sejarah matematika termasuk bagian dari matematika. Sejarah matematika tidak saja ada karena keberadaannya merupakan suatu keniscayaan, tetapi ia juga penting karena dapat memberi pengaruh kepada perkembangan matematika dan pembelajaran matematika. Matematika yang diciptakan oleh manusia terdahulu, memberi ilham bagi paradigm pembelajaran yang bersifat konstruktivistik sebagai bentuk implikasi sejarah matematika dalam pembelajaran.
C. Pengertian Matematika Istilah Matematika berasal dari bahasa Yunani, mathein dan mathenem yang berarti mempelajari. Kata matematika diduga erat
9
hubungannya dengan kata sansekerta, medha atau widya yang artinya kepandaian, ketahuan atau intelegensi. (Nasution, 1980: 2). Kata matematika berasal daru perkataan latin matematika yang mulanya diambil dari perkataan yunani mathematike yang berarti mempelajari. Perkataan itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti pengetahuan dan ilmu (knowledge, science). Kata matheimatike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu matheinatau mathenein yang artinya belajar (berpikir). Pendefinisian matematika sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat, namun demikian dapat dikenal melalui karakteristiknya. Sedangkan karakteristik matematika dapat dipahami melalui hakekat matematika. Hudoyo (1979:96) mengemukakan bahwa hakikat matematika berkenan dengan ide-ide, struktur- struktur dan hubungan-hubungannya yang diatur menurut urutan yang logis. Jadi matematika berkenaan dengan konsepkonsep yang abstrak. Selanjutnya dikemukakan bahwa apabila matematika dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan maka simbol- simbol formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang beroperasi di dalam struktur-struktur. Sedang Soedjadi (1985:13) berpendapat bahwa simbol-simbol di dalam matematika umumnya masih kosong dari arti sehingga dapat diberi arti sesuai dengan lingkup semestanya. Sedangkan
dalam
Kamus
Besar
Bahasa
Indonesia
(KBBI),
matematika didefinisikan sebagai ilmu tentang bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan. (Hasan Alwi, 2002:723)
10
Menurut Sumardyono (2004:28) secara umum definisi matematika dapat dideskripsikan sebagai berikut, di antaranya: a. Matematika sebagai struktur yang terorganisir. b. Matematika sebagai alat (tool). c. Matematika sebagai pola pikir deduktif. d. Matematika sebagai cara bernalar (the way of thinking). e. Matematika sebagai bahasa artifisial. f. Matematika sebagai seni yang kreatif. Jadi matematika adalah ilmu yang terorganisir sebagai alat berpikir deduktif dan cara bernalar untuk memahami bahasa artifisial dan sebagai seni kreastif yang pembahasannya meliputi studi besaran, struktur, ruang, relasi, perubahan, dan beraneka topik pola, bentuk, dan entitas.
D. Tahapan dalam Matematika Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan pemprediksian peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: struktur, ruang, dan perubahan. a. Pelajaran tentang struktur dirnulai dengan bilangan. Pertama dan yang sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat berikut operasi arimetikanya, yang dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan.
11
b. llmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi lainnya), kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri Noneuclid yang memainkan peran sentral dalam teori relativitas umum. Bidang ilmu modern tentang geometridiferensial dan geometri aljabar menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah: geometri diferensial menekankan pada konsep fungsi, buntelan, derivatif, smoothness, dan arah. Sementara itu, dalam geometri aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan polinomial. c. Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi. Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan differensial. d. Untuk merepresentasikan kuantitas yang terus menerus digunakanlah bilangan riil. Di sisi lain, studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Agar dapat menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang pasti, logika matematika, dan teori model dikembangkan. Bidang-bidang penting dalam matematika terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis bilangan menyelidikiteoriyang
12
secara tepat guna memecahkan bermacam masalah matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam laporan.
E. Sejarah Perkembangan Matematika 1. Pembelajaran yang Realistik/Konstruktivis Pemahaman pembagian sebagai distribusi sesungguhnya tidak membutuhkan “ceramah” dari guru, karena siswa memiliki potensi untuk "menemukan" konsep tersebut. Lalu daripada langsung menyuguhkan lambang formal semacam 36 : 3, guru dapat menggunakan soal yang kontekstual, seperti di bawah ini. Tiga anak akan membagi 36 permen sama rata. Berapa permen yang akan diperoleh oleh tiap-tiap anak? Siswa-siswi mungkin akan menemukan salah satu dari model atau prosedur penyelesaian berikut ini. a. Membagi dengan dasar geometris, yaitu dengan membagi susunan permen menjadi tiga daerah bagian yang sama. b. Mendistribusi satu demi satu. Mungkin dengan menyilang permen yang telah didistribusi ke salah satu anak. c. Mengelompokkan tigatiga. Mungkin dengan pertimbangan setiap kali permen didistribusi, akan terdistribusi ke tiga orang anak. d. Model atau strategi penyelesaian tersebut di atas secara implisit memuat ide tentang pengurangan berulang (repeated subraction) maupun bagi adil (fair sharing), bahkan
ide tentang kebalikan
perkalian (invers of multiplication). Tugas guru adalah memfasilitasi
13
siswa-siswi sampai pada ide-ide tersebut sebelum benar-benar menyatakannya sebagai kalimat matematika formal (penggunaan simboldan konsep/prinsip matematika).
2. Sejarah Bilangan Negatif don Bilangan Positif di Cina Kuno Di Cina, penggunaan bilangan positif ditandai dengan batang (atau gambar batang) merah, sedangkan bilangan negatif ditandai dengan batang hitam. Mungkin ini telah dikenal ribuan tahun yang lalu, dan kita dapat melihatnya pada Jianzhong Suanshu (antara tahun 206 SM -220 M). Apa yang digunakan oleh orang Cina Kuno tersebut dapat digunakan dalam pembelajaran untuk menunjukkan bilangan bulat (bulat positif, nol, dan bulat negatif). lllustrasi dari Cina kuno dapat digunakan untuk menunjukkan sifat negatif sebagai hutang dan positif sebagai piutang (atau mempunya).
14
BAB III KARAKTERISTIK MATEMATIKA
Untuk memahami karakteristik daripada matematika maka harus dipahami terlebih dahulu hakekat matematika. Menurut Hudoyo (1979:96), hakekat matematika berkenaan dengan ide-ide struktur- struktur dan hubunganhubungannya yang diatur menurut urutan yang logis. Jadi matematika berkenaan dengan konsep-konsep yang abstrak. Jika matematika dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan maka simbol-simbol formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang beroperasi di dalam struktur-struktur. Beberapa hakekat atau definisi dari matematika adalah sebagai berikut: 1. Matematika sebagai cabang ilmu pengetahuan eksak atau struktur yang teroganisir secara sistematik. Agak berbeda dengan ilmu pengetahuan yang lain, matematika merupakan suatu bangunan struktur yang terorganisir. Sebagai sebuah struktur, ia terdiri atas beberapa komponen, yang meliputi aksioma/postulat, pengertian pangkal/primitif, dan dalil/teorema (termasuk di dalamnya lemma (teorema pengantar/kecil) dan corolly/sifat). 2. Matematika sebagai alat (tool) Matematika juga sering dipandang sebagai alat dalam mencari solusi berbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari. 3. Matematika sebagai pola pikir deduktif
15
Matematika merupakan pengetahuan yang memiliki pola pikir deduktif, artinya suatu teori atau matematika dapat diterima kebenarannya apabila telah dibuktikan secara deduktif (umum). 4. Matematika sebagai cara bernalar (the way of thinking). Matematika dapat pula dipandang sebagai cara bernalar, paling tidak karena beberapa hal, seperti matematika memuat cara pembuktian yang sahih (valid), rumus-rumus atau aturan yang umum, atau sifat penalaran matematika yang sistematis. 5. Matematika sebagai bahasa artifisial. Simbol merupakan ciri yang paling menonjol dalam matematika. Bahasa matematika adalah bahasa simbol yang bersifat artifisial, yang baru memiliki arti bila dikenakan pada suatu konteks. 6. Matematika sebagai seni yang kreatif. Penalaran yang logis dan efisien serta perbendaharaan ide-ide dan pola-pola yang kreatif dan menakjubkan, maka matematika sering pula disebut sebagai seni, khususnya merupakan seni berpikir yang kreatif. Berdasarkan uraian-uraian hakikat matematika di atas maka dapat di simpulkan bahwa karakteristik- karakteristik matematika dapat dilihat pada penjelasan berikut: 1. Memiliki kajian objek abstrak. 2. Bertumpu pada kesepakatan. 3. Berpola pikir deduktif namun pembelajaran dan pemahaman konsep dapat diawali secara induktif melalui pengalaman peristiwa nyata atau intuisi.
16
4. Memiliki simbol yang kosong dari arti. Rangkaian simbol-simbol dapat membentuk model matematika. 5. Memperhatikan semesta pembicaraan. Konsekuensi dari simbol yang kosong dari arti adalah diperlukannya kejelasan dalam lingkup model yang dipakai. 6. Konsisten dalam sistemnya. Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada yang saling terkait dan ada yang saling lepas. Dalam satu sistem tidak boleh ada kontradiksi. Tetapi antar sistem ada kemungkinan timbul kontradiksi.
A. Matematika memiliki objek kajian yang abstrak. Di dalam matematika objek dasar yang dipelajari adalah abstrak, sering juga disebut sebagai objek mental. Di mana objek-objek tersebut merupakan objek pikiran yang meliputi fakta, konsep, operasi ataupun relasi, dan prinsip. Dari objek-objek dasar tersebut disusun suatu pola struktur matematika. Adapun objek-objek tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut: 1. Fakta (abstrak) berupa konvensi-konvensi yang diungkap dengan simbol tertentu. Contoh simbol bilangan “3” sudah di pahami sebagai bilangan “tiga”. Jika di sajikan angka “3” maka sudah dipahami bahwa yang dimaksud adalah “tiga”, dan sebalikbya. Fakta lain dapat terdiri dari rangkaian simbol misalnya “3+4” sudah di pahami bahwa yang dimaksud adalah “tiga di tambah empat”. 2. Konsep (abstrak) adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek. Apakah objek tertentu merupakan suatu konsep atau bukan. ”segitiga” adalah nama suatu konsep abstrak, “Bilangan asli” adalah nama suatu konsep yang lebih
17
komplek, konsep lain dalam matematika yang sifatnya lebih kompleks misalnya “matriks”, “vektor”, “group” dan ruang metrik”. Konsep berhubungan erat dengan definisi. Definisi adalah ungkapan yang membatasi suatu konsep. Dengan adanya definisi ini orang dapat membuat ilustrasi atau gambar atau lambang dari konsep yang didefinisikan. Sehingga menjadi semakin jelas apa yang dimaksud dengan konsep tertentu. 3. Operasi (abstrak) adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan
matematika
yang
lain.
Sebagai
contoh
misalnya
“penjumlahan”, “perkalian”, “gabungan”, “irisan”. Unsur-unsur yang dioperasikan juga abstrak. Pada dasarnya operasi dalam matematika adalah suatu fungsi yaitu relasi khusus, karena operasi adalah aturan untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui. 4. Prinsip (abstrak) adalah objek matematika yang komplek. Prinsip dapat terdiri atas beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun operasi. Secara sederhana dapatlah dikatakan bahwa prinsip adalah hubungan antara berbagai
objek dasar matematika. Prinsip dapat
berupa “aksioma”, “teorema”, “sifat” dan sebagainya.
B. Bertumpu pada Kesepakatan Dalam matematika kesepakatan merupakan tumpuan yang amat penting. Kesepakatan yang amat mendasar adalah aksioma dan konsep primitif. Aksioma diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar dalam pembuktian. Sedangkan konsep primitif diperlukan untuk menghindarkan
18
berputar-putar dalam pendefinisian. Aksioma juga disebut sebagai postulat (sekarang) ataupun pernyataan pangkal (yang sering dinyatakan tidak perlu dibuktikan). Beberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma, yang selanjutnya dapat menurunkan berbagai teorema. Dalam aksioma tentu terdapat konsep primitif tertentu. Dari satu atau lebih konsep primitif dapat dibentuk konsep baru melalui pendefinisian.
C. Berpola Pikir Deduktif Dalam matematika sebagai “ilmu” hanya diterima pola pikir deduktif. Pola pikir deduktif secara sederhana dapat dikatakan pemikiran “yang berpangkal dari hal yang bersifat umum diterapkan atau diarahkan kepada hal yang bersifat khusus”. Pola pikir deduktif ini dapat terwujud dalam bentuk yang amat sederhana tetapi juga dapat terwujud dalam bentuk yang tidak sederhana. Contoh: Banyak teorema dalam matematika yang “ditemukan” melalui pengamatan-pengamatan khusus, misalnya Teorema Phytagoras. Bila hasil pengamatan tersebut dimasukkan dalam suatu struktur matematika tertentu, maka teorema yang ditemukan itu harus dibuktikan secara deduktif antara lain dengan menggunakan teorema dan definisi terdahulu yang telah diterima dengan benar. Dari contoh prinsip diatas, bahwa urutan konsep yang lebih rendah perlu dihadirkan sebelum abstraksi selanjutnya secara langsung. Supaya hal ini
bisa
bermanfaat,
bagaimanapun,
sebelum
kita
mencoba
mengkomunikasikan konsep yang baru, kita harus menemukan apakontribusi
19
konsepnya; dan begitu seterusnya, hingga kita mendapat konsep primer yang lain.
D. Memiliki Simbol Yang Kosong Dari Arti Dalam matematika jelas terlihat banyak sekali simbol yang digunakan, baik berupa huruf ataupun bukan huruf. Rangkaian simbol-simbol dalam matematika dapat membentuk suatu model matematika. Model matematika dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, bangun geometri tertentu, dsb. Huruf-huruf yang digunakan dalam model persamaan, misalnya x + y = z belum tentu bermakna atau berarti bilangan, demikian juga tanda + belum tentu berarti operasi tamba untuk dua bilangan. Makna huruf dan tanda itu tergantung dari permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model itu. Jadi secara umum huruf dan tanda dalam model x + y = z masih kosong dari arti, terserah kepada yang akan memanfaatkan model itu. Kosongnya arti itu memungkinkan matematika memasuki medan garapan dari ilmu bahasa (linguistik).
E. Memperhatikan Semesta Pembicaraan Sehubungan dengan penjelasan tentang kosongnya arti dari simbolsimbol dan tanda-tanda dalam matematika diatas, menunjukkan dengan jelas bahwa dalam memggunakan matematika diperlukan kejelasan dalam lingkup apa model itu dipakai. Bila lingkup pembicaraanya adalah bilangan, maka simbol-simbol diartikan bilangan. Bila lingkup pembicaraanya transformasi, maka simbol-simbol itu diartikan suatu transformasi. Lingkup pembicaraan
20
itulah yang disebut dengan semesta pembicaraan. Benar atau salahnya ataupun ada tidaknya penyelesaian suatu model matematika sangat ditentukan oleh semesta pembicaraannya. Contoh: Dalam semesta pembicaraan bilangan bulat, terdapat model 2x = 5. Adakah penyelesaiannya? Kalau diselesaikan seperti biasa, tanpa menghiraukan semestanya akan diperoleh hasil x = 2,5. Tetapi kalu suda ditentukan bahwa semestanya bilangan bulat maka jawab x = 2,5 adalah salah atau bukan jawaban yang dikehendaki. Jadi jawaban yang sesuai dengan semestanya adalah “tidak ada jawabannya” atau penyelesaiannya tidak ada. Sering dikatakan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah “himpunan kosong”.
F. Konsisten Dalam Sistemnya Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada sistem yang mempunyai kaitan satu sama lain, tetapi juga ada sistem yang dapat dipandang terlepas satu sama lain. Misal sistem-sistem aljabar, sistem-sistem geometri. Sistem aljabar dan sistem geometri tersebut dapat dipandang terlepas satu sama lain, tetapi dalam sistem aljabar sendiri terdapat beberapa sistem yang lebih “kecil” yang terkait satu sama lain. Demikian juga dalam sistem geometri, terdapat beberapa sistem yang “kecil” yang berkaitan satu sama lain. Suatu teorema ataupun suatu definisi harus menggunakan istilah atau konsep yang telah ditetapkan terlebih dahulu. Konsistensi itu baik dalam makna maupun dalam hal nilai kebenarannya.
21
BAB IV HAKIKAT MATEMATIKA DI SEKOLAH
Matematika sekolah adalah bagian dari matematika yang dipilih, antara lain dengan pertimbangan atau berorientasi pada kependidikan. Dengan demikian, pembelajaran matematika perlu diusahakan sesuai dengan kemampuan kognitif siswa, mengkongkritkan objek matematika yang abstrak sehingga mudah difahami siswa. Selain itu sajian matematika sekolah tidak harus menggunakan pola pikir deduktif semata, tetapi dapat juga digunakan pola pikir induktif, artinya pembelajarannya dapat menggunakan pendekatan induktif. Ini tidak berarti bahwa kemampuan berfikir deduktif dan memahami objek abstrak boleh ditiadakan begitu saja.
A. Penyajian Matematika di Sekolah Pembelajaran pada hakekatnya adalah proses interaksi antara peserta didik dengan lingkungannya, sehingga terjadi perubahan perilaku ke arah yang lebih baik (Mulyasa, 2002:100). Dalam pembelajaran, tugas guru yang paling utama adalah mengkondisikan lingkungan agar menunjang terjadinya perubahan tingkah laku. Pembelajaran matematika menurut Russeffendi (1993:109) adalah suatu kegiatan belajar mengajar yang sengaja dilakukan untuk memperoleh pengetahuan dengan memanipulasi simbol-simbol dalam matematika sehingga menyebabkan perubahan tingkah laku.
22
Dalam kurikulum 2004 disebutkan bahwa pembelajaran matematika adalah suatu pembelajaran yang bertujuan: 1. Melatih cara berfikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya melalui kegiatan penyelidikan, eksplorasi, eksperimen, menunjukkan kesamaan, perbedaan, konsistensi dan inkonsistensi 2. Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba 3. Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah 4. Mengembangkan
kemampuan
menyampaikan
informasi
atau
mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan, grafik, peta, diagram dalam menjelaskan gagasan
B. Pola Pikir Matematika di Sekolah Pola pikir matematika sebagai ilmu adalah deduktif. Sifat
atau
teorema yang ditemukan secara induktif ataupun empirik harus dibuktikan kebenarannya dengan langkah-langkah deduktif sesuai dengan strukturnya. Tidaklah demikian halnya dalam matematika sekolah, kalaupun siswa pada akhirnya tetap diharapkan mampu berpikir deduktif, namun dalam proses pembalajarannya dapat digunakan pola pikir induktif. Pola pikir induktif yang digunakan sebagai bentuk penyesuaian dengan tahap perkembangan intelektual siswa-siswi. Namun, untuk penyajian matematika di MA digunakan pola pikir deduktif. Jika definisi jajaran genjang telah diterapkan di MI untuk memperkenalkan konsep suatu
23
bangun datar, misalnya persegi, guru dapat menunjukkan berbagai bangun geometri atau gambar datar kepada siswanya, kemudian menunjuk bangun yang berbentuk persegi, dengan mengatakan, “lni namanya persegi.” Selanjutnya menunjuk bangun lain yang bukan persegi dengan mengatakan, “lni bukan persegi.” Dengan demikian siswa-siswi menangkap pengertian persegi secara intuitif secara visual, sehingga dia dapat membedakan mana bangun yang berupa persegi dan mana yang bukan. Ini merupakan langkah induktif atau mengikuti pola pikir induktif. Namun selanjutnya dapat juga ditanamkan pola pikir deduktif secara amat sederhana, misalnya siswa MI tersebut diajak ke suatu tempat yang banyak bangun-bangun geometrinya. Bila kepada siswa itu ditanyakan manakah yang merupakan persegi, ternyata dia dapat menunjuk dengen benar, berarti siswa tersebut telah menerapkan pola pikir deduktif yang sederhana. Demikian
banyak
topik matematika
yang
penyajiannya perlu
diawali dengan langkah-langkah induktif namun akhirnya tetap diarahkan agar siswa dapat berpikir secara deduktif.
C. Keterbatasan Semesta Pola pikir matematika sebagai ilmu adalah deduktif. Sifat
atau
teorema yang ditemukan secara induktif ataupun empirik harus dibuktikan kebenarannya dengan langkah-langkah deduktif sesuai dengan strukturnya. Tidaklah demikian halnya dalam matematika sekolah, kalaupun siswa pada akhirnya tetap diharapkan mampu berpikir deduktif, namun dalam proses pembalajarannya dapat digunakan pola pikir induktif.
24
Sebagai akibat dipilihnya unsur atau elemen matematika untuk matematika sekolah dengan memperhatikan aspek pendidikan, dapat terjadi "penyederhanaan" dari konsep matematika yang kompleks. Pengertian semesta pembicaraan tetap diperlukan, namun mungkin lebih dipersempit. Selanjutnya semakin meningkat usia siswa, yang berarti meningkat juga tahap perkembangannya maka semesta itu berangsur diperluas lagi Sebagai contoh keterbatasan semesta matematika di MI, dalam hal pembelajaran tentang bilangan, mulai dari kelas 1 berturut (urut hingga kelas 5 misalnya, di kelas 1 siswa secara berturut-turut mulai dikenalkan hanya bilangan cacah yang tidak lebih dari 100 kemudian semakin meningkat. Pada saat siswa hanya mengenal bilangan cacah yang tidak lebih dari 100, tentu saja guru belum perlu memberikan soal yang operasinya menghasilkan bilangan di luar 0-100 itu. Demikian juga dalam hal memperkenalkan pecahan, secara bertahap semesta dan penyebutnya dianekaragamkan atau diperluas semestanya. Di MI tidak semua operasi terhadap bilangan bulat dlperkenalkan, hanya diperkenalkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Belum diperkenalkan perkalian dan pembagian bilangan bulat (khususnya untuk bilngan negatif).
D. Tujuan Pendidikan Matematika Tujuan Pendidikan Matematika yang dimaksud di sini adalah tujuan secara umum mengapa matematika diajarkan di berbagai jenjang sekolah. Selain itu juga dikemukakan tujuan pembelajaran matematika yang ingin dicapai oleh suatu institusi atau sekolah melalui kurikulum yang ditetapkan.
25
Selanjutnya akan dikemukakan semacam klasifikasi atau pengelompokan tujuan pembe!ajaran
matematika yang dalam
tulisan ini menjadi fokus
pembahasan bertalian dengan nilai-nilai yang terkandung dalam pembelajaran matematika. Dalam Peraturan Menteri Pendidikan Nasional nomor 22 tahun 2006 dikemukakan bahwa mata pelajaran matematika diajarkan di sekolah bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut : a. Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat, dalam oemecahan masalah. b. Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika
dalam
membuat
generalisasi,
menyusun
bukti,
atau
menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika. c. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh. d. Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah. e. Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah. Bila diperhatikan secara cermat terlihat bahwa kelima tujuan yang dikemukakan di atas memuat nilai-nilai tertentu yang dapat mengarahkan klasifikasi atau penggolongan tujuan pembelajaran matematika di semua jenjang pendidikan sekolah menjadi (1) tujuan bersifat formal dan (2)
26
tujuan yang bersifat material. Adapun tujuan yang bersifat formal lebih menekankan
kepada
Sedangkan tujuan
menata
yang
penalaran
bersifat
dan membentuk
material
lebih
kepribadian.
menekankan
kepada
kemampuan menerapkan matematika dan keterampilan matematika. Hal yang perlu
diperhatikan adalah
bahwa selama
ini dalam praktek
pembelajaran di kelas guru lebih menekankan kepada tujuan yang bersifat material, antara lain karena tuntutan lingkungan yang sangat dipengaruhi oleh sistem evaluasi regional ataupun nasional. Pendekatan
pemecahan
masalah
merupakan
fokus dalam
pembelajaran matematika yang mencakup masalah tertutup dengan solusi tunggal, masalah terbuka dengan solusi tidak tunggal, dan masalah dengan berbagai memecahkan masalah,
cara penyelesaian. Untuk
masalah
membuat
perlu
model
meningkatkan kemampuan
dikembangkan keterampilan memahami matematika, menyelesaikan masalah,
dan
menafsirkan solusinya. Dalam setiap
kesempaian, pembelajaran matematika hendaknya
dimulai dengan pengenalan masalah yang sesuai dengan situasi (contextual problem). Dengan mengajukan masalah kontekstual, peserta didik secara bertahap
dibimbing untuk menguasai
konsep
matematika. Untuk
meningkatkan keefektifan pembelajaran, sekolah diharapkan menggunakan teknologi informasi dan komunikasi seperti komputer, alat peraga, atau media lainnya. Selain itu, perlu ada pembahasan mengenai bagaimana matematika
banyak
diterapkan
dalam
perluasan pengetahuan oeserta didik.
27
teknologi
informasi
sebagai
E. Matematika Informal Pada pembahasan terdahulu telah disinggung istilah "matematika informal". Pada bagian ini lebih luas di uraikan. Sekarang ini telah dikenal istilah "Pendidikan Formal" dan Pendidikan non-Formal", Makna dari "Pendidikan formal" adalah pendidikan yang dilaksanakan di sekolah, sedangkan makna dari "pendidikan non-formal" adalah pendidikan yang dilaksanakan di luar sekolah tetapi masih jelas strukturnya. Pendidikan informal diartikan pendidikan yang terlaksana di luar pendidikan formal maupun pendidikan non formal. Dalam suatu keluarga misalnya, banyak pendidikan informal yang terjadi. Pendidikan anak dalam keluarga
dapat
terjadi atau
terlaksana hanya
dengan memperhatikan
kebiasaan bapak dan ibu dalam keluarga itu. Si anak, mungkin tanpa sadar mengikuti kebiasaan yang dia lihat setiap hari di rumah. Pengetahuan matematika
yang diperoleh oleh
anak di tingkat
"Roudlotul Athfal" atau "Bustanul Athfal" tidak mengikuti struktur matematika yang ada di Madrasah lbtidaiyah atau jenis madrasah yang tain (mungkin
ini penyebab
tidak
disebut madrasah
tetapi roudloh).
Pengetahuan matematika yang kini dimaksukkan dalam "kurikulum" RA. antara lain adalah "klasifikasi dan seriasi". Keduanya dapat dicapai melalui pendidikan informal. Tentu
saja masih
banyak
pengetahuan metematika
atau
yang
mengarah kepada matematika yang dapat diperoleh anak seusia anak TK secara informal. Hal yang penting dan perlu diperhatikan adalah bahwa jangan sampai matematika Ml tanpa pertimbangan yang matang langsung
28
diberikan kepada
anak TK. Jangan
sampai
memaksakan
sesuatu
pengetahuan yang belum mampu dicerna atau diatngkap anak TK secara formal.
29
BAB V PENUTUP A. Kesimpulan Kata matematika berasal daru perkataan latin matematika yang mulanya diambil dari perkataan yunani mathematike yang berarti mempelajari. Perkataan itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti pengetahuan dan ilmu (knowledge, science). Kata matheimatike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu matheinatau mathenein yang artinya belajar (berpikir). Pendefinisian matematika sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat, namun demikian dapat dikenal melalui karakteristiknya. Sedangkan karakteristik matematika dapat dipahami melalui hakekat matematika. Berdasarkan uraian-uraian hakikat matematika di atas maka dapat di simpulkan bahwa karakteristik- karakteristik matematika dapat dilihat pada penjelasan berikut: 1. Memiliki kajian objek abstrak. 2. Bertumpu pada kesepakatan. 3. Berpola pikir deduktif namun pembelajaran dan pemahaman konsep dapat diawali secara induktif melalui pengalaman peristiwa nyata atau intuisi. 4. Memiliki simbol yang kosong dari arti. Rangkaian simbol-simbol dapat membentuk model matematika. 5. Memperhatikan semesta pembicaraan. Konsekuensi dari simbol yang kosong dari arti adalah diperlukannya kejelasan dalam lingkup model yang dipakai.
30
6. Konsisten dalam sistemnya. Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada yang saling terkait dan ada yang saling lepas. Dalam satu sistem tidak boleh ada kontradiksi. Tetapi antar sistem ada kemungkinan timbul kontradiksi.
B. Saran 1. Untuk para mahasiswa agar dapat lebih memperdalam tentang ilmu matematika khususnya untuk pembelajaran di sekolah. 2. Untuk mahasiswa agar lebih mengembangkan teori ilmu matematika yang didapat dan dikorelasikan dengan proses pembelajaran di sekolah.
31
DAFTAR PUSTAKA
Hasan Alwi, dkk. 2002. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta: Balai Pustaka. Suherman., E, dkk. 2003. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia. http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika. http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_Etimologi. Sumardyono. 2004. Karakteristik Matematika dan lmplikasinya terhadap Pembelajaran Matematika. Yogyakafta: Departemen Pendidikan Nasional
32
