PERBANDINGAN KEMAMPUAN PENYELESAIAN MASALAH MATEMATIKA MAHASISWA PENDIDIKAN JARAK JAUH DENGAN MAHASISWA PENDIDIKAN TATAP MUKA

PERBANDINGAN KEMAMPUAN PENYELESAIAN MASALAH MATEMATIKA MAHASISWA PENDIDIKAN JARAK JAUH DENGAN MAHASISWA PENDIDIKAN TATAP MUKA Tarhadi ([email protected]) Sugilar ([email protected]) Sri Lestari Pujiastuti ([email protected]) Universitas Terbuka ABSTRACT The exploratory study of competency differences in problem solving of mathematics between students enrolled at distance learning system and face to face learning system was intended to distinguish students’ different capabilities in solving routine and non-routine problems. In this study the students of Mathematics Education from Universitas Terbuka (UT) were chosen as samples for distance learning and students with similar study program from the Jakarta State University (UNJ) for face to face learning. Calculus problems were delivered as routine problems, while the simple proofing problems taken from Number Theory, Geometry, and Real Analysis were delivered as non-routine problems. The results indicate that in solving the routine problems, there were no significant different achievements between students of UT and those of UNJ. However, in solving the non-routine problems there were significant achievements between the two sample groups. Key words: distance learning system, face to face learning system, non-routine problems, routine problems,

Henderson & Pingry (1953) menyatakan bahwa suatu masalah terkait dengan suatu tujuan dan masalah adalah suatu halangan terhadap pencapaian tujuan tersebut. Dengan demikian, masalah merupakan situasi relatif dari individual. Hal ini sejalan dengan Schoenfeld (1985) yang menyimpulkan bahwa suatu masalah selalu relatif terhadap kemampuan individual. Sementara itu, Kantowski (1977) mendefinisikan masalah matematika sebagai situasi yang dihadapi individu untuk mendapatkan solusi tetapi tidak tersedia akses terhadap langkah untuk mendapatkan solusi tersebut. Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa masalah matematika adalah suatu situasi unik dimana individual menghadapi penghalang untuk mendapatkan suatu solusi. Masalah matematika dapat berupa masalah rutin dari buku teks atau masalah non-rutin yang sulit dikerjakan, perlu waktu berminggu-minggu, berbulan-bulan, atau bahkan bertahun-tahun untuk menyelesaikannya. Penyelesaian masalah matematika adalah proses kegiatan matematis yang melibatkan logika, penalaran, dan komunikasi untuk menghasilkan solusi. Menurut Wilson, Fernandez, & Hadaway (1993), solusi terdiri dari metoda dan jawaban. Metoda adalah alat untuk memperoleh jawaban, sedangkan jawaban adalah suatu hal yang diminta dalam masalah. Sementara itu, solusi adalah keseluruhan proses pemecahan masalah, meliputi metoda untuk memperolah jawaban dan jawaban itu sendiri.Wilson, Hernandez, & Madaway merumuskannya dalam bentuk persamaan berikut. Metoda + Jawaban = Solusi

Jurnal Pendidikan Terbuka dan Jarak Jauh, Voume 7, Nomor 2, September 2006, 121-133

Sementara itu, Lesh (1981) menyatakan bahwa pemecahan masalah merupakan cara berpikir, beranalisis, dan bernalar dengan menggunakan pengalaman dan pengetahuan yang terkait dengan masalah tersebut. Oleh karena itu pemecahan masalah merupakan suatu komponen pendidikan yang tampaknya mampu mengajarkan nilai-nilai matematika, yaitu fungsional, logis, dan estetis. Polya (1957) mengajukan teori bahwa pemecahan dalam matematika meliputi empat tahapan kegiatan, sebagai berikut. 1. Pemahaman masalah; pada tahap ini individu memahami masalah yang berkaitan dengan apa yang diketahui, apa yang ditanyakan, dan apa persyaratannya. 2. Pembuatan rencana pemecahan masalah; pada tahap ini individu harus memikirkan alat dan strategi yang cocok untuk penyelesaian masalah tersebut. 3. Pelaksanaan rencana; pada tahap ini individu mengerjakan penyelesaian masalah seperti yang direncanakan sampai menemukan hasil, setiap langkah diperiksa kebenarannya. 4. Peninjauan ulang solusi yang diperoleh; pada tahap ini individu memeriksa kembali hasil penyelesaian masalah, memeriksa argumen tiap langkah, jika memungkinkan menurunkan penyelesaian lain yang berbeda atau menerapkan hasil penyelesaian untuk menyelesaikan masalah lain. Menurut Buxkemper & Hartfiel (1995), dalam menyelesaikan masalah matematika mahasiswa mulai dengan model awal kemudian memanipulasi model untuk model berikutnya yang lebih baik, sehingga ditemukan model penyelesaian masalah yang sesuai. Terdapat pula penyelesaian masalah secara heuristik. Menurut Verschaffel, et al. (1999) heuristik ialah pencairan strategi secara sistematik untuk menganalisis dan mentransformasikan masalah. Sejalan dengan definisi tersebut, Koichu, Berman, & More (2001) mendeskripsikan langkah heuristik sebagai berikut. 1. Mencari kasus atau pola khusus dalam mencoba menyelesaikan masalah yang lebih mudah dari masalah yang dihadapi, dengan cara memeriksa kasus atau pola yang serupa. 2. Membuat gambar untuk mendeskripsikan masalah secara visual. 3. Merumuskan masalah yang ekivalen dengan cara mencoba merumuskan masalah ke dalam masalah yang lebih sederhana. 4. Mencari sesuatu yang lebih mudah ditemukan dengan mencari data tambahan yang mudah didapat. Masalah matematika dapat diklasifikasikan menjadi dua kelompok, yaitu masalah rutin dan masalah non-rutin. Masalah rutin merupakan pemecahan masalah bersifat prosedural sedangkan masalah nonrutin selain bersifat prosedural juga memerlukan strategi. Salah satu masalah non-rutin dalam matematika terdapat pada masalah pembuktian. Matematikawan terlibat dalam dua kegiatan, yaitu menduga-duga (conjecture) dan membuktikan (proof). Kegiatan menduga-duga lebih merupakan seni yang meliputi mengamati pola, melihat hubungan, dan kegiatan mental seperti insight yang berkaitan dengan intuisi. Untuk melihat posisi pembuktian dalam matematika, terlebih dahulu kita akan melihat struktur teori matematika. Teori matematika dilandasi oleh asumsi dasar yang disebut aksioma. Setelah aksioma, kemudian diturunkan teorema. Selanjutnya teorema tersebut pada gilirannya menimbulkan konsep, sifat,dan hubungan baru. Pembuktian merupakan argumentasi untuk memberikan penalaran mengapa sifat dan hubungan antara konsep tersebut benar. Secara epistemologi, penalaran merupakan landasan matematika. Sebagaimana sains mendasarkan verifikasinya pada pengamatan, matematika menggantungkan pembuktiannya pada logika penarikan kesimpulan. Kaidah penarikan kesimpulan, digunakan untuk membuktikan suatu teorema dari aksioma, definisi, dan teorema yang sudah terbukti sebelumnya.

122

Tarhadi, Perbandingan Kemampuan Penyelesaian Masalah Matematika Mahasiswa

Untuk membuktikan suatu pernyataan matematika digunakanlah metode atau teknik pembuktian berikut. 1. Bukti langsung (direct proof) adalah cara memperlihatkan kebenaran suatu pernyataan yang diberikan melalui penurunan langsung dari definisi, lemma, dan teorema. 2. Bukti tidak langsung (indirect proof) adalah pembuktian yang dimulai dari skenario hipotetis kemudian dilanjutkan dengan eliminasi skenario yang mengandung kesalahan untuk memperoleh kesimpulan yang membenarkan pernyataan yang sedang dibuktikan. 3. Induksi matematika (mathematical induction) adalah metoda pembuktian matematika yang biasa digunakan untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan benar untuk semua bilangan asli. 4. Bukti dengan kontradiksi (reductio ad absurdum) adalah jenis argumentasi logis, yaitu jika diasumsikan bahwa suatu pernyataan benar maka akan diperoleh suatu pernyataan yang kontradiktif, dengan demikian disimpulkan bahwa pernyataan yang diasumsikan benar tersebut adalah salah 5. Bukti konstruktif adalah suatu metoda pembuktian yang mendemonstrasikan keujudan suatu obyek matematis yang memiliki kriteria tertentu dengan cara mengkonstruksi obyek tersebut. 6. Bukti ekshaustif (exhaustive) atau analisis kasus adalah metode pembuktian matematis dengan cara memecah pernyataan yang akan dibuktikan menjadi beberapa kasus berhingga kemudian setiap kasus dibuktikan satu per satu. Penelitian eksploratif digunakan untuk mengkaji perbedaan tanpa terikat dengan hipotesis tertentu. Dalam hal ini disadari bahwa hipotesis mengenai perbedaan kemampuan penyelesaian masalah, terutama dalam gaya penyelesaian masalah, antara mahasiswa pendidikan jarak jauh dengan mahasiswa pendidikan tatap muka sulit dideduksi, baik melalui teori maupun dari hasil penelitian karena terbatasnya khasanah ilmiah yang tersedia untuk kasus ini. Populasi penelitian ini adalah mahasiswa jurusan Pendidikan Matematika Universitas Terbuka (UT) di Jakarta yang mewakili mahasiswa jarak jauh dan mahasiswa jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Jakarta (UNJ) yang mewakili mahasiswa tatap muka. Mahasiswa yang menjadi sampel penelitian ini dipilih dari mahasiswa yang sedang mengambil matakuliah Kalkulus Lanjut. Kepada mereka diberikan tes pemecahan masalah rutin berupa soal Kalkulus dan tes pemecahan masalah non-rutin berupa pembuktian sederhana dari ilmu Bilangan, Geometri, dan Analisis Real. Tes pemecahan masalah rutin dilaksanakan pada minggu pertama bulan April 2005. Mahasiswa UT yang mengikuti tes penyelesaian masalah rutin 11 orang, dan mahasiswa UNJ 12 orang . Sementara itu tes penyelesaian masalah non-rutin dilaksanakan pada minggu terakhir bulan April 2006. Peserta dari UT berkurang dari 11 menjadi 9 orang, 2 orang mahasiswa tidak datang mengikuti tes masalah non-rutin, sedangkan peserta dari UNJ bertambah dari 12 orang menjadi 20 orang, 8 orang mahasiswa tidak mengikuti tes masalah rutin yang dilaksanakan tiga minggu sebelumnya. HASIL DAN PEMBAHASAN Deskripsi Responden Mahasiswa UT yang terjaring sebagai sampel adalah sebanyak 11 mahasiswa, 54% diantaranya adalah mahasiswa perempuan. Mereka adalah mahasiswa yang melakukan registrasi pada mata kuliah Kalkulus Lanjut di Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) UT. Domisili mahasiswa semuanya di wilayah Jabotabek. Usia rata-rata ialah 40 tahun dengan usia terendah 22 tahun dan tertinggi 57 tahun. Responden rata-rata telah

123


menyelesaikan 45 SKS, dengan SKS tertinggi sebanyak 78 dan terendah 39 SKS. IPK rata-rata 2,08 dengan tertinggi 2,65 dan terendah 1,47. Sedangkan untuk mahasiwa UNJ diperoleh sampel sebanyak 12 mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika dengan 41,7% mahasiswa perempuan. Usia rata-rata mereka 19 tahun, usia terendah adalah 18 tahun dan tertinggi 25 tahun. Responden rata-rata telah menyelesaikan 22 SKS dengan SKS tertinggi 36 dan terendah 17. IPK rata-rata 2,74 dengan nilai IPK tertinggi 3,38 dan terendah 1,85. Perbandingan kedua sampel tersebut dinyatakan dalam Tabel 1. Tabel 1. Perbandingan Karakteristik Sampel Sampel Mahasiswa UNJ

Karakeristik USIA SKS IPK

N 12 12 12

Minimum 18 17 1.85

UT

USIA SKS IPK

11 11 11

22 39 1.47

Maksimum 25 36 3.38 57 78 2.65

Mean 19.75 21.58 2.7427 40.18 45.82 2.0836

Std. Deviasi 1.91 4.72 0.4013 9.24 10.97 0.3930

Perbedaan Kemampuan dalam Penyelesaian Masalah Rutin Masalah Matematika rutin ialah masalah yang terkait dengan penyelesaian prosedural. Dalam masalah rutin, penghalang (blocking) utama adalah mengakses suatu prosedur atau rumus yang sudah baku untuk kemudian menggunakannya untuk menghasilkan solusi. Tabel 2 Perbandingan Skor Kemampuan Penyelesaian Masalah Rutin Mahasiswa UNJ

SKOR

N 12

Minimum 233.05

Maksimum 544.97

Mean 380.0552

Std. Deviasi 87.2953

UT

SKOR

11

211.72

553.14

382.1164

124.6498

Dari Tabel 2 tampak bahwa sampel mahasiswa UT sedikit lebih tinggi dalam kemampuan menyelesaikan masalah yang bersifat rutin. Meskipun demikian, kemampuan penyelesaian masalah rutin pada sampel mahasiswa UNJ jauh lebih merata seperti ditunjukkan oleh nilai deviasi baku yang jauh lebih kecil daripada deviasi baku skor pada sampel mahasiswa UT. Tabel 3 Uji Perbedaan Mann-Whitney U Wilcoxon W Z Asymp. Sig. (2-tailed) Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)]

Skor 62.000 140.000 -.246 .806 .833

a Not corrected for ties. b Grouping Variable: STAT

Perbedaan skor dalam kemampuan pemecahan masalah rutin antara kedua kelompok sampel mahasiswa ternyata secara statistik tidak signifikan pada taraf α = 0,05. Ini berarti

124


perbedaan yang terjadi pada kemampuan pemecahan masalah rutin matematika dapat dianggap tidak ada. Dengan demikian, penghalang dalam proses pemecahan masalah yang berupa akses terhadap rumus atau prosedur tidak berbeda antara sampel mahasiswa UNJ dengan sampel mahasiswa UT. Meskipun demikian, kemampuan untuk mengakses rumus atau prosedur tersebut cenderung merata pada sampel mahasiswa UNJ dibandingkan pada sampel mahasiswa UT. Ini mengindikasikan bahwa proses pembelajaran tatap muka lebih memberikan pemerataan penguasaan mahasiswa dalam memecahkan masalah yang bersifat rutin dibandingkan proses pembelajaran jarak jauh. Hal ini terjadi karena proses pembelajaran pendidikan jarak jauh lebih banyak menyerahkan kendali pembelajarannya kepada peserta didik. Perbedaan Kemampuan dalam Penyelesaian Masalah Pembuktian (Non-rutin) Masalah pembuktian tidak dapat diselesaikan melalui penggunaan rumus atau prosedur baku tetapi memerlukan kemampuan yang penekanannya lebih pada pemahaman dan strategi. Dalam penelitian ini, masalah non-rutin diwakili oleh masalah pembuktian matematika. Tabel 4 Perbandingan Kemampuan Pemecahan Masalah Non-rutin Institusi UNJ

SKOR

N 20

Minimum 3

Maksimum 10

Mean 5.75

Std. Deviasi 1.89

UT

SKOR

9

2

7

4.00

1.58

Dari Tabel 4 tampak bahwa sampel mahasiswa UT berbeda 1,75 dalam skor kemampuan pembuktian matematika dibandingkan sampel mahasiswa UNJ. Dalam pemecahan masalah nonrutin, sampel mahasiswa UNJ mencapai rata-rata skor 5,75 dengan skor minimum 3 dan maksimum 10. Sedangkan, sampel mahasiswa UT hanya mencapai rata-rata skor 4,00 dengan skor minimum 3 dan maksimum 7. Bila kemampuan pemecahan masalah rutin yang cenderung lebih merata pada sampel mahasiswa UNJ dibandingkan pada sampel mahasiswa UT, pada kemampuan pemecahan masalah non-rutin kemerataan tersebut justru terjadi pada sampel mahasiswa UT dibandingkan pada sampel mahasiswa UNJ. Perbedaan tersebut berdasarkan pengujian statistika yang ditampilkan pada Tabel 5. Dengan taraf signifikansi α = 0,05, perbedaan ini memperlihatkan bahwa kemampuan pemecahan masalah non-rutin sampel mahasiswa UNJ lebih baik dibandingkan sampel mahasiswa UT. Tabel 5 Uji Perbedaan Mann-Whitney U Wilcoxon W Z Asymp. Sig. (2-tailed) Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)]

SKOR 40.500 76.500 -2.053 .040 .043

a Not corrected for ties. b Grouping Variable: KODE

Untuk mengkaji perbedaan secara kualitatif pada kemampuan penyelesaian masalah pembuktian antara sampel mahasiswa UT dengan UNJ, dilakukan penelaahan terhadap jawaban

125


sampel mahasiswa. Soal pembuktian terdiri dari tiga kelompok, (1) pengetahuan pembuktian matematika dan sikap terhadap pembuktian matematika, (2) langkah pembuktian matematika, dan (3) penelaahan terhadap argumentasi pembuktian matematika. Berikut ini rincian hasil dari ke tiga kelompok tersebut. Kelompok pertama: pengetahuan pembuktian matematika dan sikap terhadap pembuktian matematika. Kelompok ini terdiri dari 3 pertanyaan sebagai berikut. 1. Jelaskan pengertian Anda mengenai yang dimaksud dengan “bukti” dalam matematika! 2. Jelaskan mengenai beberapa teknik pembuktian dalam matematika! 3. Jelaskan penilaian Anda terhadap seberapa penting pembuktian dalam matematika! Terhadap pertanyaan nomor 1, jawaban sampel mahasiswa UT pada umumnya tidak bermakna, contoh: “Bukti dalam matematika merupakan serangkaian uraian tentang pengembangan dari soal-soal dalam matematika sehingga orang dapat memahami konsep tersebut dengan uraian-uraian yang jelas dengan pembuktian real” “Bukti dalam matematika adalah langkah-langkah untuk mengerjakan suatu pendapat supaya orang lain yakin akan suatu kebenarannya” “Bukti dalam matematika adalah langkah-langkah untuk meyakinkan suatu pendapat? keyakinan kepada orang lain mengenai kebenaran dari yang akan dibuktikan sehingga orang lain menjadi yakin dengan pendapat tersebut” “Bukti dalam matematika adalah kebenaran akan hitungan dan logika matematika sehingga orang atau pengguna matematika dapat membuktikan kebenarannya” Berbeda dengan sampel mahasiswa UT, dalam menjawab pertanyaan yang sama sampel mahasiswa UNJ memberi jawaban yang lebih singkat dan mudah dipahami, contoh: “Bukti adalah suatu cara untuk mengetahui kebenaran dari suatu pernyataan” “Bukti adalah suatu proses/cara untuk mengetahui nilai dari suatu pernyataan (benar, salah)” “Bukti dalam matematika merupakan suatu analisa terhadap pernyataan yang ditanyakan agar suatu hipotesa yang dikemukakan shahih adanya” “Bukti adalah suatu pernyataan yang berisikan cara dan jalan sesuai dengan aturan dalam matematika sehingga dapat dinyatakan nilai keabsahannya (benar/salah)” Dari ke dua kelompok jawaban terhadap pertanyaan “pengertian bukti dalam matematika” dapat disimpulkan bahwa sampel mahasiswa UT menjawabnya berdasarkan intuisi dan pengalaman, sedangkan sampel mahasiswa UNJ menjawabnya berdasarkan pemahaman logika yang telah mereka pelajari. Dalam menjawab pertanyaan nomor 2, sampel mahasiswa UT umumnya menjawab dengan menggunakan kata kunci deduktif, induktif. Misalnya seperti jawaban berikut ini: “Teknik pembuktian dalam matematika ada yang dimulai dari umum ke khusus (deduktif), ada yang dimulai dari khusus ke umum (induktif)” Induksi : pembuktian dari hal khusus ke umum. Deduksi: dari umum ke khusus. Beberapa teknik pembuktian dalam matematika dengan: • logika matematika • menggunakan aksioma/dalil • metode induktif atau deduktif. Ada pula sampel mahasiswa UT yang disamping menjawab pertanyaan juga menyampaikan penilaian pribadi terhadap teknik pembuktian, seperti berikut ini:

126


“Teknik pembuktian dalam matematika dapat kita ambil dalam beberapa hukum matematika yang sudah ditetapkan, itu salah satu cara yang paling aman untuk pembuktian dalam matematika, tapi secara pribadi bila saya dihadapkan pada soal matematika dan tidak dituntut penjabaran pembuktian, maka saya akan menggunakan logika untuk mendapatkan hasilnya, tak usah pakai cara buku yang penting masuk akal menurut saya, dan hasilnya memang benar.” Sedangkan jawaban sampel mahasiswa UNJ umumnya menggunakan kata kunci “bukti langsung” dan “bukti tak langsung” selain dari pada itu jawabannya jelas. Misal: “Teknik pembuktian: Teknik pembuktian langsung. Teknik pembuktian tak langsung.”. “Bukti langsung dan bukti tak lansung. Bukti bisa dilakukan dari kiri kekanan atau sebaliknya.” “Teknik pembuktian dalam matematika adalah bukti langsung dan bukti tidak langsung. Dalam bukti langsung kita membuktikan soal secara langsung, sedangkan dalam bukti tidak langsung kita memisalkan dulu soal tersebut kemudian ambil kontradiksinya.” “Teknik pembuktian dalam matematika: Bukti langsung: dalam proses pembuktian dilakukan secara langsung baik dengan substitusi maupun eliminasi dan sebagainya. Bukti tak langsung: dalam proses pembuktian dilakukan pemisalan dengan mengingkari hipotesa yang ada.” Dapat disimpulkan bahwa jawaban terhadap pertanyaan mengenai teknik pembuktian, sampel mahasiswa UT menjawab secara praktis dan intuitif, sedangkan mahasiswa sampel UNJ berusaha menjawab dengan menggunakan referensi yang telah dipelajarinya sehingga jawaban sampel mahasiwa UNJ tampak lebih terstruktur dari pada jawaban sampel mahasiswa UT. Dalam menjawab pertanyaan nomor 3, sampel mahasiswa UT mengemukakan bahwa pembuktian dalam matematika itu penting. Misal: “Berdasarkan penilaian saya, pembuktian dalam matematika sangat penting , sebab bertolak dari sini setiap pernyataan yang ditemukan oleh ahli matematika harus dapat dibuktikan dan harus dapat meyakinkan orang sehingga pernyataan yang dikemukakannya itu benar, dan diyakini (benar) oleh setiap orang.” “Pembuktian dalam matematika itu penting karena: • membuat kita berpikir secara logis dan sistematis. • kebenaran dari suatu hipotesa dapat teruji.” Sampel mahasiswa UNJ juga berpendapat bahwa pembuktian dalam matematika itu penting. Misalnya: “Pembuktian dalam matematika sangatlah penting untuk proses pemahaman kita terhadap hipotesa, kemudian menilai apakah hipotesa yang ada shahih atau tidak, serta pembuktian juga merupakan sarana proses berpikir.” “Sangat penting karena bila suatu teorema sudah dibuktikan kebenarannya maka dapat digunakan untuk membuktikan teorema yang lain atau dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah.” Jawaban tersebut menunjukkan bahwa antara sampel mahasiswa UT dan UNJ memiliki alasan yang sama. Mereka sama-sama menjawab berdasarkan intuisi dan pengalaman yang mereka peroleh selama belajar dan mengajar. Kelompok ke dua: langkah pembuktian Matematika. Kelompok ini terdiri dari 10 pertanyaan sebagai berikut. 1. Membuktikan bahwa kuadrat bilangan ganjil adalah ganjil. 2. Membuktikan bahwa hasil perkalian bilangan genap dan ganjil adalah genap. 3. Membuktikan bahwa akar kuadrat dari dua adalah bilangan irasional. 4. Membuktikan bahwa 0,9999…. = 1. 5. Membuktikan bahwa untuk n anggota himpunan {1,2,3} berlaku n! ≥ 2 n-1 .

127


6. Membuktikan bahwa dua garis yang berbeda bersekutu paling banyak pada satu titik. 7. Membuktikan bahwa untuk setiap himpunan A ada himpunan E demikian sehingga himpunan gabungan himpunan E dengan himpunan A sama dengan himpunan A. 8. Membuktikan bahwa tidak ada bilangan bulat terbesar. 9. Membuktikan bahwa bilangan real yang habis dibagi sepuluh adalah bilangan bulat genap. 10. Membuktikan bahwa 0 + 1 + 2 + … + n = ½ n ( n+ 1 ). Dalam menjawab pertanyaan nomor 1 dan 2, sampel mahasiswa UT maupun UNJ memulainya dengan bilangan yang akan dibuktikan, kemudian dilanjutkan dengan menunjukkan kebenaran pemisalan tersebut. Sedangkan dalam membuktikan soal nomor 3, sampel mahasiswa UT dan UNJ memulainya dengan memisalkan suatu bilangan sebagai bilangan rasional, dilanjutkan dengan menemukan kontradiksi dan menyimpulkannya bahwa bilangan yang dimisalkan tadi bukan bilangan rasional. Dengan demikian dalam kasus soal 1, 2, dan 3 pembuktian bilangan bulat dan bukti dengan kontradiksi, baik sampel mahasiswa UT maupun mahasiswa UNJ mempunyai tingkat penguasaan yang sama. Dalam menjawab soal nomor 4, terdapat perbedaan antara sampel mahasiswa UT dan UNJ. Sampel mahasiswa UT menjawabnya dengan praktis, yaitu bahwa 0,9999…. dibulatkan menjadi 1, sehingga 0,9999…= 1, sedangkan mahasiswa UNJ membuktikannya dengan langkah yang lebih elegan, yaitu memisalkan x = 0,9999…., kemudian dikalikan 10 menjadi 10x = 9,9999…. Dilanjutkan 10x – x = 9,9999... – 0,9999... . 9x = 9, akhirnya diperoleh x = 1. Disimpulkan bahwa 0,9999… = 1. Dalam kasus soal nomor 4 ini sampel mahasiswa UNJ lebih memiliki kemampuan untuk berpikir logis dan elegan dibandingkan sampel mahasiswa UT. Sedangkan sampel mahasiswa UT, lebih memiliki kemampuan menggunakan langkah praktis. Dalam menjawab soal nomor 5, baik sampel mahasiswa UT maupun sampel mahasiswa UNJ menjawabnya dengan mengganti n dengan masing-masing anggota himpunan dan akhirnya berkesimpulan bahwa pernyataan tersebut benar. Kasus ini menunjukkan bahwa kemampuan untuk menyelesaikan masalah secara praktis dimiliki baik oleh sampel mahasiswa UT maupun UNJ, yaitu kedua kelompok memiliki kemampuan yang sama untuk memecahkan masalah pembuktian kasus ekshaustif. Untuk soal nomor 6, sampel mahasiswa UT dan UNJ memiliki jawaban yang berbeda. Sampel mahasiswa UT menjawabnya langsung dengan menggunakan aksioma sedangkan sampel mahasiswa UNJ dengan menggunakan kontradiksi. Hal ini menunjukkan bahwa mahasiswa UT lebih banyak terpaku pada pemecahan masalah prosedural sedangkan sample mahasiswa UNJ lebih memiliki fleksibilitas dalam pemecahan masalah. Untuk soal nomor 7 terdapat perbedaan jawaban antara sampel mahasiswa UT dan UNJ. Sampel mahasiswa UT menjawabnya dengan menggunakan contoh sedangkan sampel mahasiswa UNJ menggunakan diagram Venn dan konsep himpunan. Disini menunjukkan langkah sampel mahasiswa UNJ lebih maju dari pada mahasiswa UT. Pada kasus ini, baik sampel mahasiswa UT maupun sampel mahasiswa UNJ belum menunjukkan kemampuan untuk membedakan pembuktian matematis dari pembuktian sehari-hari. Bukti melalui contoh sama tidak matematisnya dengan bukti melalui gambar. Dalam menjawab soal nomor 8, sampel mahasiswa UT menggunakan cara praktis berdasarkan intuisi dan pengalamannya. Seperti misalnya, bilangan itu tak berhingga sehingga tidak ada bilangan yang terbesar. Sedangkan sampel mahasiswa UNJ menjawabnya dengan memisalkan ada bilangan bulat terbesar, kemudian ditunjukkan kontradiksinya. Dalam kasus ini dapat kita

128


simpulkan bahwa langkah sampel mahasiswa UNJ sudah lebih maju dari pada langkah sampel mahasiswa UT. Tampak bahwa sampel mahasiswa UNJ lebih banyak menguasai teknik pembuktian dibandingkan sampel mahasiswa UT. Untuk soal nomor 9, langkah yang dikerjakan sampel mahasiswa UT sama dengan langkah yang dikerjakan oleh sampel mahasiswa UNJ. Mereka menjawab dengan konsep invers perkalian yaitu pembagian. Bilangan bulat x dibagi sepuluh, hasilnya bilangan bulat y. Selanjutnya y dikalikan sepuluh, hasilnya x. Jadi x = 10y = 2(5y). Disimpulkan bahwa x bilangan genap. Pada jawaban soal nomor 10, antara sampel mahasiswa UT dan UNJ terdapat perbedaan langkah. Sampel mahasiswa UT menjawabnya dengan mengganti n dengan bilangan 1, 2, 3, …, dan seterusnya kemudian disimpulkan bahwa rumus tersebut benar. Sedangkan sampel mahasiswa UNJ menjawabnya dengan langkah yang digunakan pada induksi matematika, yaitu untuk n = 1, rumus tersebut benar kemudian diandaikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k. Selanjutnya ditunjukkan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k + 1. Akhirnya disimpulkan rumus tersebut benar untuk seluruh bilangan bulat positif n. Dengan demikian dalam kasus ini, mahasiswa UT tidak mengetahui teknik-teknik pembuktian yang tersedia; sebaliknya mahasiswa UNJ lebih mengetahui teknik pembuktian matematika tersebut. Kelompok ke tiga, mengenai penelaahan terhadap argumentasi pembuktian Matematika. Dalam penelaahan ini mahasiswa diminta menunjukkan pernyataan yang salah pada suatu langkah pembuktian. Kelompok ini terdiri dari tiga argumentasi pembuktian, yaitu: 1. Argumentasi pembuktian bahwa 0 sama dengan 1. Berikut ini langkahnya. 0 = 0 + 0 + 0 + ··· = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ··· (hukum assosiatif) = 1 + 0 + 0 +0 + ··· =1 2. Argumentasi pembuktian bahwa 1 lebih kecil dari 0. Berikut ini langkahnya. Pandang pertidaksamaan x < 1 Kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh ln x < ln 1 = 0 ln x < 0 Kedua ruas dibagi ln x, diperoleh 1 < 0. 3. Argumentasi pembuktian bahwa 1 = − 1.Berikut ini langkahnya. − 1 = −1 ………….. ..(1) 1 −1 = ………… ..(2) −1 1 1 −1 ………... (3) = 1 −1 1 −1 = ………… (4) −1 1 1 1 = − 1 − 1 …….. (5) 1 = −1 Untuk soal nomor 1, tidak ada satupun dari sampel mahasiswa yang mampu menunjukkan langkah mana yang salah. Sampel mahasiswa langsung saja menunjukkan bahwa 0 = 1 salah.

129


Langkah yang ditunjukkan oleh sampel mahasiswa UT dan UNJ sama, bahwa 0 = 0, sehingga 0 = 1 adalah salah. Pada soal nomor 2, jawaban sampel mahasiswa UT maupun UNJ juga sama, bahwa seharusnya 1 > 0, sehingga 1 < 0 adalah pernyataan yang salah. Disini tampak bahwa ke dua kelompok sampel belum memiliki pemahaman tentang pembuktian dan kebenaran pernyataan. Ke dua kelompok sampel tidak dapat membedakan antara yang disebut langkah pembuktian dan kebenaran pernyataan; padahal, pernyataan dapat saja benar tetapi langkah pembuktiannya bisa salah. Sebaliknya, pasti ada langkah pembuktian yang salah bila ada pembuktian untuk suatu pernyataan yang salah. Langkah pembuktian yang salah tersebutlah yang harus ditunjukkan oleh mahasiswa. Pada jawaban soal nomor 3, sampel mahasiswa UT mengemukakan alasan bahwa − 1 sebagai bilangan kompleks sedangkan sampel mahasiswa UNJ berargumen bahwa agar semua langkah perhitungan itu benar maka bilangan yang diakarkan haruslah bilangan positif. Dalam kasus ini tampak bahwa sampel mahasiswa UNJ lebih banyak mengenal sifat bilangan dari pada sampel mahasiswa UT. Secara umum dapat disimpulkan bahwa dalam menjawab soal pembuktian sampel mahasiswa UNJ lebih formal dalam menerapkan teori yang telah mereka pelajari sedangkan sampel mahasiswa UT lebih praktis dalam menggunakan pengalaman sebagai guru matematika serta menggunakan ketajaman intuisi dan konjektur. Dengan demikian mahasiswa UT mempunyai potensi untuk mengembangkan daya matematikanya melalui pembelajaran yang tepat. Perbedaan kegiatan penyelesaian masalah rutin dan non-rutin dapat dilihat pada Tabel 6. Tabel 6 Kegiatan Pemecahan Masalah Rutin dan Non-Rutin Rutin Non-rutin

Pemahaman • Definisi • Keterkaitan konsep • Pemeriksaan syarat • Definisi • Keterkaitan konsep • Pemeriksaan syarat

Strategi • Teorema • Prosedur • Rumus • Teknik Pembuktian

Pemecahan Menghitung Mengurutkan Mengukur Menerapkan logika

Pemeriksaan Ulang Menghitung balik Memeriksa kembali syarat

Penyelesaian masalah rutin meliputi komponen penguasaan dalam hal pemahaman definisi, keterkaitan konsep, dan pemeriksaan syarat untuk penggunaan teorema, prosedur atau rumus. Kegiatan selanjutnya dalam pemecahan masalah rutin adalah menghitung, mengurutkan, atau mengukur. Selanjutnya, penyelesaian masalah rutin memerlukan keterampilan untuk memeriksa ulang melalui perhitungan untuk mencocokkan dengan masalah dalam soal. Pemecahan masalah non-rutin meliputi komponen penguasaan dalam hal pemahaman definisi, keterkaitan konsep, dan pemeriksaan syarat untuk penggunaan suatu teknik pembuktian. Kegiatan selanjutnya dalam pemecahan masalah non-rutin adalah proses penyimpulan menggunakan operasi logika. Selanjutnya, pemecahan masalah non-rutin memerlukan keterampilan untuk memeriksa ulang melalui pemeriksaan persyaratan yang diberikan. Dalam pemecahan masalah non-rutin, mahasiswa dituntut untuk memiliki kematangan yang lebih daripada yang diperlukan pada masalah rutin. Kematangan tersebut meliputi kematangan dalam mengenal dan

130


menganalisis permasalahan, penjajagan dan mecoba-coba berbagai cara penyelesaian, memilih metode dan teknik yang sesuai, serta memeriksa kebenaran hasil yang diperoleh. Substansi matematika terdiri dari aspek materi dan aspek penalaran. Substansi matematika dijabarkan dalam definisi, teorema (dalil), lemma (dalil bantu), atau corollary (dalil akibat). Substansi matematika merupakan pengetahuan yang berjenjang secara hirarki. Mahasiswa hanya dapat menguasai substansi tertentu bilamana sebelumnya menguasai substansi prasyarat dengan baik. Hal ini terlihat dari keberhasilan mahasiswa Program Studi Matematika yang berkaitan erat dengan penguasaan mata kuliah Dasar Matematika. Materi matematika terdiri dari konsep yang merupakan pernyataan matematika yang bersifat ringkas dan padat. Matematika mempunyai struktur ilmu yang kokoh; dalam matematika tidak akan pernah terdapat konsep yang saling bertentangan (kontradiksi). Hal ini terlihat dari keberhasilan mahasiswa Program Studi Matematika FMIPA-UT yang berkaitan erat dengan penguasaan mata kuliah Dasar Matematika (Sugilar & Isfarudi, 2002). Matematika adalah penalaran, tidak mungkin seseorang bermatematika atau doing mathematics tanpa bernalar. Aspek penalaran dalam pembuktian matematika mencakup validasi, konjektur, deduksi, dan justifikasi. Validasi suatu pernyataan matematika ialah menguji atau menerapkan keberlakuan pada kasus tertentu. Pada penelitian ini, dari jawaban terhadap soal yang diujikan, sampel mahasiswa UT memiliki kemampuan untuk validasi dengan baik. Hanya saja belum memahami bahwa memvalidasi tidak sama dengan membuktikan. Suatu pernyataan dapat saja benar untuk kasus tertentu tetapi salah dalam kasus lain. Padahal bukti harus mencakup semua kasus yang menjadi domain pernyataan tersebut. Membuat konjektur ialah membuat dugaan yang beralasan. Konjektur juga bukan bukti. Sampel mahasiswa UT juga telah memiliki kemampuan konjektur untuk beberapa kasus. Misalnya, dari jawaban sampel mahasiswa, banyak sampel mahasiswa menuliskan bahwa 0,99999.... dibulatkan menjadi 1 sehingga 0,9999.. = 1. Hal ini merupakan konjektur bukan bukti. Deduksi adalah proses bernalar untuk membuktikan atau mencari suatu pernyataan yang diturunkan atau akibat dari suatu pernyataan yang telah terbukti kebenarannya. Substansi matematika diperoleh dari deduksi. Dalam sistem matematika, seperangkat aksioma melalui proses deduksi menurunkan pernyataan matematika yang membentuk substansi bidang matematika tersebut. Dari jawaban sampel mahasiswa, terlihat bahwa kesulitan sampel mahasiswa dalam membuktikan terletak pada dua hal, yaitu (1) penguasaan substansi yang tercermin dari kemampuan menemukan pernyataan-pernyataan yang dapat diturunkan menjadi pernyataan yang hendak dibuktikan dan (2) melakukan proses penyimpulan dari serangkaian pernyataan yang telah terbukti kebenarannya menjadi pernyataan yang akan dibuktikan. Justifikasi adalah proses pembuktian suatu pernyataan. Berbeda dengan deduksi yang menekankan pada suatu pernyataan matematika yang telah diketahui kebenarannya menjadi suatu pernyataan lain yang ingin dibuktikan, dalam justifikasi penekanannya justru pada pernyataan yang akan dibuktikan. Untuk membuktikan suatu pernyataan tersebut, dalam justifikasi, digunakan berbagai definisi, teorema, atau lemma yang telah terbukti. Kesulitan mahasiswa dalam pembuktian matematika terjadi karena mahasiswa tidak memiliki banyak perbendaharaan definisi, teorema, dan lemma yang terkait dengan pernyataan yang hendak dibuktikan. Jika mahasiswa dapat mengidentifikasi (melalui validasi atau konjektur) definisi, teorema, atau lemma yang terkait, kesulitan lainnya adalah kemampuan untuk deduksi atau justifikasi untuk membuktikan. Dari pembahasan disimpulkan bahwa kompetensi pembuktian matematika terdiri dari kompetensi penguasaan perbendaharan matematika dan kompetensi penalaran. Kompetensi perbendaraharaan matematika yang meliputi penguasaan terhadap definisi, teorema, atau lemma

131


yang terkait dengan pernyataan yang dibuktikan. Kompetensi penalaran mencakup validasi, konjektur, deduksi, dan justifikasi. Kesulitan mahasiswa dalam salah satu atau ke dua kompetensi tersebut mengakibatkan kesulitan mahasiswa dalam pembuktian. KESIMPULAN DAN REKOMENDASI Masalah matematika rutin ialah masalah yang terkait dengan penyelesaian prosedural. Dalam masalah rutin, penghalang (blocking) utama adalah mengakses suatu prosedur atau rumus yang sudah baku untuk kemudian menggunakannya untuk menghasilkan solusi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa sampel mahasiswa UT memiliki skor yang tidak berbeda dengan sampel mahasiswa UNJ dalam kemampuan pemecahan masalah matematika yang bersifat rutin. Sementara itu, ke dua populasi mahasiswa tersebut berbeda secara nyata untuk kemampuan pemecahan masalah yang bersifat non-rutin, dalam hal ini diwakili oleh masalah pembuktian matematika. Dengan demikian mahasiswa pendidikan jarak jauh tidak berbeda dalam kemampuan memecahkan masalah yang bersifat rutin tetapi memiliki kemampuan yang lebih rendah dalam pemecahan masalah yang besifat non-rutin. Perbedaan masalah matematika yang bersifat rutin dengan yang non-rutin adalah pada komponen strategi pemecahan masalah. Pada masalah rutin strategi blocking terhadap pemecahan masalah terletak pada prosedur atau rumus yang baku dan perhitungan dan pengurutan untuk menerapkannya, sedangkan pada masalah matematika yang bersifat non-rutin (dalam hal ini masalah pembuktian matematika) terletak pada pilihan teknik pembuktian dan penerapan logika. Hasil penelitian menunjukkan bahwa mahasiswa pendidikan jarak jauh memiliki kemampuan yang lebih rendah dalam mengidentifikasi teknik pembuktian yang akan digunakan sebagai strategi pemecahan masalah. Pembuktian bukan merupakan materi yang tercantum dalam tubuh pengetahuan matematika sendiri tetapi merupakan metoda. Pembuktian tidak terletak pada kawasan ontologi matematika tetapi terletak pada kawasan epistemologi matematika. Pembuktian diajarkan secara implisit pada pendidikan tatap muka melalui demonstrasi. Mahasiswa dan pengajar dapat berdialog mengenai langkah pembuktian. Pada pendidikan jarak jauh pengajaran pembuktian matematika perlu lebih eskplisit karena dialog antar pembelajar dan pengajar bersifat minimal. Oleh karena itu, perlu bahan ajar khusus yang mengajarkan tentang kompetensi penalaran matematika, khususnya mengenai pembuktian matematika. Dengan bahan ajar khusus ini, bahan ajar lain yang mengajarkan kompetensi penguasaan substansi matematika menjadi lebih memiliki kemudahan untuk dipelajari secara mandiri. Bahan ajar tersebut perlu memuat secara eksplisit langkah pembuktian yang meliputi: (1) penjajagan situasi masalah, (2) konjektur, (3) pemeriksaan informasi yang tersedia untuk menyelesaikan masalah, (4) rancangan pembuktian, (5) pembuktian konjektur,dan (6) pemeriksaan kembali semua argumentasi. REFERENSI Buxkemper, A.C. & Hartfiel, D.J. (1995). Problem solving: Discovery stage format, dalam International Journal of Mathematics Education In Science And Technology, 26 (6), November-December, hal. 887-893. London: Taylor & Francis. Henderson, K. B. & Pingry, R. E. (1953). Problem solving in mathematics, dalam H. F. Fehr (Ed.) The learning of mathematics: Its theory and practice (21st Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics) (hal. 228-270). Washington, DC: National Council of Teachers of Mathematics.

132


Kantowski, MG (1977). Processes involved in mathematical problem solving. Journal for Research in Mathematics Education, 8, hal. 163-180. http://jwilson.coe.uga.edu/EMT725/PSsyn/PSsyn.html, diakses pada 29 September 2004. Koichu, B., Berman, A., & Moore, M. (2003). Changing beliefs about students heuristic in problem solving. http://edu.tecnion.ac.il/course/Math3Point/Heuristic.html, diakses pada 29 September 2004. Lesh, R. (1981). Applied mathematical problem solving. Educational Studies in Mathematics,12 (2), hal. 235-265. New York: Springer Publications. Polya, G. (1957). How to solve it. California: Princenton University Press. Schoenfeld, A.H. (1985). Mathematical problem solving. Orlando, FL: Academic Press Sugilar & Isfarudi. (2002). Penguasaan materi dasar dan prestasi belajar matematika dalam pendidikan jarak jauh. Jurnal Pendidikan Terbuka dan Jarak Jauh, 3 (2), hal. 23-28. Verschaffel, L., De Corte, E., Lasure, S., Van Vaerenbergh, G., Bogaerts, H., & Ratinckx, E. (1999). Learning to solve mathematical application problems: A design experiment with fifth graders. Mathematical Thinking and Learning, 1, hal. 195-229. Wilson, JW., Fernandez, M.L., & Hadaway, N. (1993) . Mathematical problem solving. Di dalam P.S Wilson (Ed.). Research Ideas for the Classroom: High School Mathematics, hal. 121-127. New York: MacMillan.

133

PERBANDINGAN KEMAMPUAN PENYELESAIAN MASALAH MATEMATIKA MAHASISWA PENDIDIKAN JARAK JAUH DENGAN MAHASISWA PENDIDIKAN TATAP MUKA

Recommend Documents