PENERAPAN REGRESI PEUBAH GANDA PADA SIFATSIFAT MEKANIK BAJA BATANG KAWAT KARBON TINGGI
LIBERTY AYU PRATIWI
DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2011 ABSTRAK
LIBERTY AYU PRATIWI. Penerapan Regresi Peubah Ganda pada Sifat-Sifat Mekanik Baja Batang Kawat Karbon Tinggi. Dibimbing oleh INDAHWATI dan ERFIANI. Baja batang kawat karbon tinggi grade KS1062A berdiameter 5 mm merupakan salah satu produk baja yang diproduksi oleh pabrik Wire Rod Mill (WRM) di PT Krakatau Steel. Pada proses pembutan baja batang kawat, pabrik WRM memiliki dua line yang dibedakan berdasarkan teknologi pendinginan yang digunakan. Baja memiliki sifat-sifat mekanik yaitu Tensile Strength (TS) dalam kg/mm2, Yield Strength (YS) dalam kg/mm2, dan Elongation (EL) dalam persen. Keragaman nilai sifat-sifat mekanik diduga dipengaruhi oleh kandungan komposisi kimia, perubahan suhu, dan perbedaan line. Pemodelan peubah ganda diperlukan pada data yang memiliki peubah respon lebih dari satu yang tidak saling bebas. Uji signifikansi parameter yang digunakan yaitu statistik Wilks’ Lambda. Berdasarkan hasil uji tersebut, unsur kimia yang berpengaruh nyata secara simultan terhadap ketiga sifat mekanik adalah unsur C, Mn, Si, dan V, sedangkan perubahan suhu dan perbedaan line tidak berpengaruh nyata terhadap sifat-sifat mekanik tersebut. Selain itu, besarnya nilai sifat-sifat mekanik baja juga dipengaruhi oleh perbedaan tanggal produksi. Kata kunci : regresi peubah ganda, sifat-sifat mekanik, Wilks’ Lambda
PENERAPAN REGRESI PEUBAH GANDA PADA SIFAT-SIFAT MEKANIK BAJA BATANG KAWAT KARBON TINGGI
LIBERTY AYU PRATIWI
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2011
Judul : Penerapan Regresi Peubah Ganda pada Sifat-Sifat Mekanik Baja Batang Kawat Karbon Tnggi Nama: Liberty Ayu Pratiwi NIM : G14070042
Menyetujui : Pembimbing I,
Ir. Indahwati, M.Si NIP : 196507121990032002
Pembimbing II,
Dr. Ir. Erfiani, M.Si NIP : 196606061989032003
Mengetahui : Ketua Departemen Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si NIP : 196504211990021001
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala karunia dan rahmatNya yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang diberi judul “Penerapan Regresi Peubah Ganda pada Sifat-Sifat Mekanik Baja Batang Kawat Karbon Tinggi”. Karya ilmiah ini penulis susun sebagai syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Penulis menyampaikan terimakasih kepada Ibu Ir. Indahwati, M. Si, dan Ibu Dr.Ir. Erfiani, M.Si, selaku dosen pembimbing yang telah memberikan bimbingan, masukan, dan arahan selama penulisan karya ilmiah ini, serta ucapan terimakasih kepada Bapak Azhari selaku pembimbing lapangan di divisi pengendalian mutu pabrik Wire Rod Mill (WRM) PT Krakatau Steel (Persero) Tbk yang telah memberikan arahan selama proses pengumpulan data. Disamping itu, penulis juga mengucapkan teriakasih kepada seluruh dosen pengajar Departemen Statistika yang telah memberikan ilmu dan wawasan selama penulis menuntut ilmu di Departemen Statistika. Ungkapan terimakasih juga disampaikan kepada kedua orang tua tercinta, dan sahabat-sahabat yang selalu memberikan dukungan dan doa, serta kepada seluruh civitas statistika IPB dan seluruh karyawan pabrik WRM yang sudah banyak membatu.
Bogor, November 2011
Liberty Ayu Pratiwi
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Serang pada tanggal 18 Oktober 1989 dari pasangan Bapak Nargono dan Ibu Sunarni. Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara. Tahun 2001 penulis lulus dari SDN XI Cilegon, kemudian melanjutkan belajar di SMPN 1 Cilegon hingga tahun 2004. Selanjutnya, Penulis menyelesaikan pendidikannya di SMAN 1 Cilegon dan lulus pada tahun 2007. Pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Saringan Masuk IPB) sebagai mahasiswa Departemen Statistika, FMIPA IPB. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan Himpunan Profesi Gamma Sigma Beta (GSB) periode 2009, yaitu sebagai staf di Department of Science. Penulis juga aktif dalam kegiatan kepanitiaan seperti Sport and Art of Statistics (SAS) 2009, The 5th Statistika Ria 2009, Pesta Sains Nasional 2009, dan Pesta Sains Nasional 2010. Pada tahun 2010 penulis berkesempatan berpartisipasi sebagai peserta workshop dan magang yang merupakan kerjasama antara PT. Bank Mandiri dan IPB dalam “Peranan Ilmu Statistika dalam Pengembangan Model Credit Risk Tools”. Pada Maret-Mei 2011, penulis melaksanakan kegiatan praktik lapang di perusahaan industri baja PT Krakatau Steel (Persero) Tbk Cilegon-Banten.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL ............................................................................................................... vii DAFTAR GAMBAR ........................................................................................................... vii DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................................ vii PENDAHULUAN ............................................................................................................... 1 Latar Belakang .......................................................................................................... 1 Tujuan ...................................................................................................................... 1 TINJAUAN PUSTAKA Baja Grade KS1062A ................................................................................................. 1 Regresi Peubah Ganda ................................................................................................ 1 Uji Plot Khi-Kuadrat ................................................................................................... 3 Uji Bartlett Sphericity ................................................................................................. 3 Uji Box’s M ............................................................................................................... 3 Perbandingan Vektor Nilai Tengah .............................................................................. 3 DATA DAN METODOLOGI Sumber Data ............................................................................................................... 4 Metode Analisis ......................................................................................................... 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Perbedaan Line ................................................................................................................. 4 Pengujian Asumsi Peubah Respon .................................................................................... 5 Regresi Peubah Ganda ...................................................................................................... 5 Pengujian Asumsi Sisaan ................................................................................................. 6 Interpretasi Model ............................................................................................................ 6 SIMPULAN DAN SARAN .................................................................................................. 7 DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................................... 7 LAMPIRAN ........................................................................................................................ 8
DAFTAR TABEL Halaman 1 Tabel 1 Statistik Wilks’ Lambda untuk setiap peubah penjelas model awal ........................... 5 2 Tabel 2 Statistik Wilks’ Lambda untuk setiap peubah penjelas model modifikasi .................. 6
DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Gambar 1 Plot khi-kuadrat peubah respon ........................................................................... 5 2 Gambar 2 Plot khi-kuadrat sisaan model modifikasi............................................................. 6
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Lampiran 1 Proses pengumpulan data peubah respon dan penjelas ..................................... 9 2 Lampiran 2 Diagram alir metode pengerjaan ..................................................................... 10 3 Lampiran 3 Statistik deskriptif peubah respon dan perubahan suhu untuk setiap line .......... 11 4 Lampiran 4 Boxplot peubah EL, TS, YS, dan perubahan suhu ............................................ 12 5 Lampiran 5 Nilai dugaan parameter untuk setiap peubah respon model awal ...................... 12 6 Lampiran 6 Nilai VIF model awal ..................................................................................... 12 7 Lampiran 7 Plot khi-kuadrat sisaan model awal ................................................................. 13
8 Lampiran 8 Boxplot rata-rata peubah EL, TS, dan YS per tanggal produksi .................... 13 9 Lampiran 9 Nilai dugaan parameter model modifikasi ................................................. 14 10 Lampiran 10 Nilai VIF model modifikasi .......................................................................... 14
PENDAHULUAN Latar belakang PT Krakatau Steel (Persero) Tbk merupakan pabrik penghasil baja dengan skala industri besar yang mengolah bijih besi dalam bentuk setengah jadi maupun bahan jadi untuk dipasarkan kepada konsumen. Perusahaan memiliki enam unit produksi, salah satunya adalah pabrik Wire Rod Mill (WRM) penghasil baja batang kawat (coil). Pabrik WRM menghasilkan baja batang kawat yang dikelompokkan berdasarkan kandungan karbonnya, yaitu batang kawat karbon rendah, sedang, dan tinggi. Berdasarkan aplikasinya kelompok baja batang kawat tersebut dibedakan ke dalam beberapa grade. Salah satu grade pada baja batang kawat karbon tinggi yaitu grade KS1062A. Proses pembuatan baja batang kawat di unit produksi WRM terdiri dari dua line yaitu line 1 dan 2. Perbedaan antara kedua line tersebut terletak pada teknologi pendinginan yang digunakan. Teknologi pendinginan yang digunakan line 1 dinamis artinya dapat diatur sesuai kebutuhan, sedangkan pada line 2 statis atau konstan sehingga suhu pendinginan tidak dapat diatur. Pengukuran terhadap sifat-sifat mekanik baja batang kawat dilakukan untuk memastikan produk yang dihasilkan merupakan baja dengan kualitas terbaik. Sifatsifat mekanik baja yang diukur nilainya yaitu kuat tarik (Tensile Strength/TS), titik batas kekuatan (Yield Stength/YS), dan kelenturan (Elongation/EL). Pada baja batang kawat karbon tinggi belum diketahui faktor-faktor yang mempengaruhi dan besarnya pengaruh dari faktor-faktor tersebut terhadap ketiga sifat mekanik. Sifat-sifat mekanik baja batang kawat karbon tinggi diduga dipengaruhi oleh kandungan komposisi kimia, perubahan suhu baja, dan perbedaan line. PT Krakatau Steel menggunakan analisis regresi berganda pada pengkajian dan evaluasi faktor-faktor yang mempengaruhi sifat-sifat mekanik baja batang kawat karbon rendah. Pada analisis tersebut diasumsikan ketiga sifat mekanik saling bebas. Namun diduga ketiga sifat mekanik tersebut tidak saling bebas, sehingga pada penelitian ini digunakan analisis regresi peubah untuk memodelkan pengaruh sifat-sifat kimia, perubahan suhu, dan perbedaan line terhadap sifat-sifat mekanik baja.
Tujuan Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji dan mengetahui faktor-faktor apa saja yang mempengaruhi sifat–sifat mekanik baja batang kawat grade KS1062A. TINJAUAN PUSTAKA Baja Grade KS1062A Baja merupakan paduan dari besi (Fe) dan karbon (C), kedua unsur tersebut merupakan unsur utama. Selain itu di dalamnya juga terkandung unsur-unsur lain seperti : mangan (Mn), silikon (Si), nikel (Ni), krom (Cr), vanadium (V) dan unsur lainnya dengan persentase yang sangat kecil, unsur-unsur tersebut berpengaruh terhadap kualitas baja (Masyrukan 2006). Baja grade KS1062A merupakan salah satu jenis baja dengan kandungan unsur karbon tinggi (high carbon). Kegunaan dari baja grade KS1062A yaitu bahan baku pembuatan obeng skrup (screw driver), dan kawat per (spring wire) (PT Krakatau Steel 2009). Unsur–unsur yang diperhatikan dalam baja grade KS1062A antara lain unsur C, Si, dan Mn yang merupakan unsur kimia utama pembentuk baja, unsur Cr yang merupakan unsur residual dan unsur V sebagai micro alloy. Berikut fungsi komposisi kimia tersebut dalam baja : 1. Unsur C Menaikkan kekuatan/kekerasan baja tetapi dapat menurunkan keuletan. 2. Unsur Si Meningkatkan keuletan, kekerasan, dan ketajaman baja. 3. Unsur Mn Sebagai deoksidasi dari baja, sehingga dapat mencegah terjadinya hot shortness (kegetasan pada suhu tinggi). 4. Unsur Cr Menaikkan ketahanan korosi dan oksidasi, selain itu dapat meningkatkan kekuatan baja pada suhu tinggi. 5. Vanadium (V) Menaikkan kekuatan tarik creep dari baja pada suhu tinggi. Regresi Peubah Ganda Analisis regresi peubah ganda merupakan metode statistika yang digunakan untuk menyatakan hubungan antara sebanyak q peubah respon (Y) yang tidak saling bebas dengan satu set peubah penjelas (X) (Johnson & Wichern 1998).
Misalkan terdapat sebanyak n jumlah data dengan q peubah respon Y1, Y2, ..., Yq dan sebanyak p peubah penjelas X1, X2, ..., Xp, maka model linier untuk setiap peubah respon adalah sebagai berikut : 𝑦1 = 𝑿𝛽1 + 𝜀1 𝑦2 = 𝑿𝛽2 + 𝜀2 ⋮ 𝑦𝑞 = 𝑿𝛽𝑞 + 𝜀𝑞 (1) Pada model di atas, vektor 𝑦 dan 𝜀 berdimensi nx1, vektor 𝛽 berdimensi (p+1)x1, dan matriks 𝑿 berdimensi nx(p+1). Secara simultan model peubah ganda pada persamaan (1) dapat dituliskan dalam bentuk notasi matriks berikut ini:
𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺
(2)
dengan : 𝒀 = matriks peubah respon berdimensi nxq 𝑿 = matriks peubah penjelas berdimensi nx(p+1) 𝜷 = matriks parameter berdimensi (p+1)xq 𝜺 = matriks galat berdimensi nxq 𝐸 𝜺 = 0, 𝑣𝑎𝑟 𝜺 = 𝚺 dan 𝜺 menyebar normal ganda. Pendugaan Parameter Metode yang digunakan untuk pendugaan parameter pada regresi peubah ganda adalah metode kuadrat terkecil (MKT). Berdasarkan persamaan (2) dengan meminimumkan jumlah 𝜕 𝜺′𝜺 kuadrat sisaan 𝜕𝜷 = −2𝑿′ 𝒀 + 𝜷𝑿′ 𝑿𝜷 = 0, maka akan didapatkan parameter regresi peubah ganda dalam bentuk matriks sebagai berikut: 𝜷 = (𝑿′ 𝑿)−𝟏 𝑿′𝒀
(Johnson & Wichern 1998). Pada pengujian parameter matriks 𝜷 pada persamaan (2) dipartisi ke dalam bentuk sebagai berikut : 𝜷1 … …… 𝜷= 𝜷2 Sedangkan 𝜷1 merupakan matriks parameter yang tidak diuji berdimensi (m+1)xq dan 𝜷 2 adalah matriks parameter yang akan diuji berdimensi (p-m)xq dengan m merupakan banyaknya parameter yang tidak diuji. Pada pengujian secara simultan nilai m=0, sedangkan pada pengujian secara parsial nilai m=p-1. Hipotesis yang diuji adalah : 𝐻0 : 𝜷 2 = 0 𝐻1 : 𝜷 2 ≠ 0 Statistik uji yang digunakan adalah :
Λℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 =
𝚺𝟏 = 𝑛−1 𝒀 − 𝑿𝟏 𝛽 1
=
𝑛𝚺 𝑛 𝚺+𝑛 (𝚺𝟏 −𝚺)
′ 𝒀 − 𝑿𝟏 𝛽 1
dengan: E = matriks sisaan H = matriks hipotesis Keputusan tolak H0 jika Λℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 ≤ Λ𝛼 ;𝑞,𝑛−𝑝−1 . Artinya pada taraf nyata sebesar 𝛼 peubah penjelas berpengaruh terhadap peubah respon. Ukuran Kebaikan Model Pada regresi peubah ganda, ukuran yang digunakan untuk mengukur hubungan antar peubah respon dan peubah penjelas yaitu dengan menggunakan nilai Wilks’ Lambda (Rencher 2002). Ukuran tersebut dinyatakan dengan rumus : 𝜂𝛬2 = 1 − 𝛬
dengan : 𝜷 = 𝛽1 ⋮ 𝛽2 ⋮ ⋯ ⋮ 𝛽𝑞 , sehingga ′
𝑬 𝑬+𝑯
−𝟏
𝛬=
𝑬 𝑬+𝑯
𝒀′ 𝒀−𝜷′ 𝑿′ 𝒀
= |𝒀′ 𝒀−𝑛 𝑦 𝑦 ′|
′
𝜷 = (𝑿 𝑿) 𝑿 𝑦1 ⋮ 𝑦2 ⋮ ⋯ ⋮ 𝑦𝑞 . Uji Signifikansi Parameter Pada regresi peubah ganda pengujian signifikansi parameter secara simultan dan parsial menggunakan uji Wilks’ Lambda. Uji Wilks’ Lambda merupakan uji formal yang digunakan untuk mengetahui pengaruh peubah penjelas terhadap peubah respon
dengan : 𝛬 = nilai Wilks’ Lambda 𝒀 = matriks peubah respon 𝜷 = matriks dugaan parameter 𝑿 = matriks peubah penjelas 𝑦 = vektor rata-rata matriks peubah respon 𝑛 = banyaknya pengamatan Nilai 𝜂𝛬2 berada pada interval 0 dan 1 (0 ≤ 𝜂𝛬2 ≤ 1), semakin mendekati nilai 1 maka
hubungan antara peubah respon dan peubah penjelas semakin erat atau 𝜂𝛬2 merupakan nilai yang menyatakan persentase besarnya keragaman peubah respon yang dapat dijelaskan oleh peubah penjelas. Uji Plot Khi-Kuadrat Uji plot khi-kuadrat digunakan untuk memeriksa kenormalan peubah secara multivariat dengan cara membuat plot khikuadrat dari nilai 𝑑𝑖2 dan menghitung jumlah nilai 𝑑𝑖2 ≤ 𝜒𝑘2;0.5 (Johnson & Wichern 1998). Hipotesis yang digunakan adalah : H0:peubah respon menyebar normal ganda H1:peubah respon tidak menyebar normal ganda Statistik uji yang digunakan yaitu : 𝑑𝑖2 = 𝑦𝑖 − 𝑦
𝑇
𝑺−1 𝑦𝑖 − 𝑦 , 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛
dengan : 𝑑𝑖2 = jarak mahalanobis 𝑦 = vektor rataan dari peubah respon 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑞 𝑦𝑖 = vektor amatan ke–i peubah respon 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑞 S-1 = matriks ragam peragam peubah respon n = banyaknya pengamatan q = banyaknya peubah respon Langkah-langkah untuk membangun plot khi-kuadrat adalah sebagai berikut : 1. Mengurutkan nilai di2 dari yang terkecil hingga yang terbesar sehingga d(1)2 ≤ d(2)2 ≤…≤ d(n)2. 2. Menghitung nilai kuantil (i-0.5)/n sebaran khi-kuadrat berderajat bebas k. 3. Memplotkan nilai di2 dengan nilai kuantil (i-0.5)/n) sebaran khi-kuadrat berderajat bebas k. Apabila titik–titik pada plot hampir membentuk garis lurus maka data dapat dikatakan menyebar normal ganda. 4. Keputusan tidak tolak H0 apabila terdapat lebih dari 50% memiliki nilai 𝑑𝑖2 ≤ 𝜒𝑘2;0.5 . Uji Bartlett Sphericity Uji Bartlett Sphericity merupakan salah satu uji formal yang digunakan untuk menguji kebebasan antar peubah respon dengan hipotesis uji sebagai berikut (Morrison 2005): H0 : antar peubah respon bersifat saling bebas H1 : antar peubah respon bersifat tak bebas Statistik uji yang digunakan yaitu : 2 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = − 𝑛−1 −
2𝑘+5 6
ln 𝑹
dengan : n = banyaknya pengamatan, k = banyaknya peubah |R| = merupakan nilai determinan dari matriks korelasi antar peubah. 2 Keputusan tidak tolak H0 jika 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < 2 𝜒𝛼 ;1𝑘(𝑘−1). Artinya bahwa antar peubah 2
bersifat saling bebas pada taraf nyata 𝛼. Uji Box’s M Uji Box’s M dalam regresi peubah ganda digunakan untuk menguji asumsi sisaan memiliki matriks ragam peragam yang homogen. Uji Box’s M memiliki hipotesis sebagai berikut (Rancher 2002) : H0 : 𝚺1 = 𝚺2 = ⋯ = 𝚺𝑞 H1 : minimal ada satu 𝚺𝑖 ≠ 𝚺𝑗 untuk 𝑖 ≠ 𝑗, dengan 𝑖, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑞 statistik uji yang digunakan : u = -2 (1-c1) ln M 1 ln 𝑀 = 2
𝑞
𝑖=1
1 𝑣𝑖 ln |𝑺𝒊 | − ( 2
𝑺𝒑𝒐𝒐𝒍 =
𝑞 𝑖=1 𝑣𝑖 𝑺𝒊 𝑞 𝑖=1 𝑣𝑖
𝑐1 =
1 𝑞 𝑖=1 𝑣
𝑖
−
1
𝑞 𝑣 𝑖=1 𝑖
𝑞
𝑣𝑖 ) ln |𝑺𝒑𝒐𝒐𝒍 | 𝑖=1
2𝑝 2 +3𝑝−1 6(𝑝+1)(𝑞 +1)
, dan
𝑣𝑖 = 𝑛𝑖 − 1. dengan : Spool = matriks ragam peragam gabungan sisaan Si = matriks ragam peragam sisaan respon ke-i q = banyaknya peubah respon p = banyaknya peubah penjelas yang digunakan 𝑛𝑖 = banyaknya pengamatan pada respon ke-i Pada regresi peubah ganda 𝑛1 = 𝑛2 = ⋯ = 𝑛𝑞 = 𝑛. Keputusan tidak tolak H0 apabila nilai 𝑢 ≤ 𝜒𝛼2 ,1 𝑞−1 𝑝(𝑝+1) . Artinya matriks ragam 2
peragam homogen pada taraf nyata 𝛼 . Perbandingan Vektor Nilai Tengah Perbandingan vektor nilai tengah merupakan salah satu uji hipotesis multivariat yang bertujuan menguji apakah parameter 𝜇1 sama sengan parameter 𝜇2 . Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut :
𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1 : 𝜇1 ≠ 𝜇2 statistik uji yang digunakan : a. Ragam kedua populasi sama Keputusan tolak H0 apabila : 𝑇 2 = (𝑥1 − 𝑥2 )′
1 1 𝟐 + 𝑺 𝑛1 𝑛2 𝒈𝒂𝒃
−1
(𝑥1 − 𝑥2 ) > 𝑐 2
dengan 𝑛 −1 𝑺𝟐 − 𝑛 −1 𝑺𝟐 𝟐
2 𝟏 𝑺𝟐𝒈𝒂𝒃 = 1 𝑛 +𝑛 1 2 −2 𝑛1 + 𝑛2 − 2 𝑝 𝑐2 = 𝑛1 + 𝑛2 − 𝑝 − 1
dan
𝐹𝛼;𝑝,𝑛1 +𝑛2 −𝑝−1
b. Ragam kedua populasi tidak sama Keputusan H0 apabila : 2
𝑇 = (𝑥1 − 𝑥2 )′
𝑺𝟐𝟏 𝑺𝟐𝟐 𝑛1
+
𝑛2
−1
(𝑥1 − 𝑥2 ) > 𝜒2 (𝛼,𝑝)
dengan: 𝑥1 = vektor rata-rata contoh 1 𝑥2 = vektor rata-rata contoh 2 𝑺𝟐𝟏 = matriks ragam peragam contoh 1 𝑺𝟐𝟐 = matriks ragam peragam contoh 2 𝑛1 = banyaknya pengamatan contoh 1 𝑛2 = banyaknya pengamatan contoh 2 𝑺𝟐𝒈𝒂𝒃 = matriks ragam peragam gabungan DATA DAN METODOLOGI Sumber Data Data yang digunakan merupakan data sekunder hasil pengukuran baja karbon tinggi grade KS1062A, berdiameter 5 mm pada line 1 dan 2 di pabrik WRM PT Krakatau Steel. Diperoleh lima tanggal proses produksi dari tanggal 25 Januari 2011 sampai dengan 26 Mei 2011. Data tersebut terdiri dari persentase komposisi kimia, sifat-sifat mekanik baja, dan suhu pada lokasi LHD dan SMC yang diukur dalam derajat celcius. Proses pengumpulan data disajikan pada Lampiran 1. Berikut peubah sifat-sifat mekanik baja dan peubah komposisi kimia yang diukur : a. Sifat-sifat mekanik baja terdiri dari : 1. Rata-rata persentase EL 2. Rata-rata TS ( kg/mm2) 3. Rata-rata YS (kg/mm2) b. Komposisi kimia terdiri dari : 1. Persentase unsur C 2. Persentase unsur Mn 3. Persentase unsur Si 4. Persentase unsur Cr 5. Persentase unsur V
Metode Analisis Langkah–langkah dalam penelitian ini adalah: 1. Mendefinisikan peubah respon dan peubah penjelas yang akan digunakan. Pada kasus ini peubah respon yaitu sifat-sifat mekanik baja. Komposisi kimia dan perubahan suhu merupakan peubah penjelas. Line 1 dan 2 juga dimasukan ke dalam model sebagai peubah penjelas boneka. 2. Melakukan eksplorasi, statistika deskriptif, dan pengujian perbandingan nilai tengah pada sifat-sifat mekanik baja di kedua line. 3. Melakukan pengujian asumsi peubah respon meliputi pengujian asumsi normal ganda menggunakan uji plot khi-kuadrat dan pengujian asumsi ketidakbebasan menggunakan uji Barttlet Sphericity. 4. Melakukan analisis regresi peubah ganda, menduga nilai parameter menggunakan general linear model (GLM). 5. Menguji signifikansi parameter model peubah ganda secara simultan dan parsial menggunakan uji Wilks’ Lambda. 6. Menghitung nilai kebaikan model peubah ganda. 7. Menguji asumsi sisaan model peubah ganda meliputi uji normal ganda sisaan menggunakan uji plot khi-kuadrat, kebebasan sisaan mengunakan uji Bartlett Sphericity, dan kehomogenan matriks ragam peragam sisaan menggunakan uji Box’s M. 8. Menginterpretasikan model akhir yang telah didapatkan. Diagram alir tahapan analisis disajikan pada Lampiran 2. HASIL DAN PEMBAHASAN Perbedaan Line Perbedaan teknologi pada line 1 dan 2 digunakan sebagai dugaan awal terdapat perbedaan dalam mempengaruhi besarnya nilai sifat-sifat mekanik baja. Berdasarkan hasil pengujian perbandingan vektor nilai tengah dengan asumsi ragam kedua populasi sama diperoleh nilai T2 sebesar 1.6237 kurang dari F(0.05;3,44)= 2.8165. Artinya pada taraf nyata 5% tidak terdapat perbedaan nilai tengah sifat-sifat mekanik baja di kedua line, dengan kata lain perbedaan teknologi tidak berpengaruh terhadap nilai sifat-sifat mekanik baja yang dihasilkan. Nilai statistik deskriptif dan boxplot untuk ketiga sifat mekanik dan perubahan suhu selengkapnya disajikan pada Lampiran 3 dan 4.
Pengujian Asumsi Peubah Respon Pada pengujian asumsi peubah respon yang terlebih dahulu dilakukan adalah menguji asumsi peubah respon menyebar normal ganda. Hal tersebut dikarenakan pada pengujian ketidakbebasan peubah respon statistik uji yang digunakan yaitu uji khikuadrat yang memerlukan asumsi kenormalan. a. Uji Normal Ganda Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh nilai 2 𝑑𝑖2 ≤ 𝜒3;0.5 sebanyak 60.42% atau lebih dari 50% dan pada Gambar 1 tampak bahwa plot khi-kuadrat peubah respon mendekati garis lurus, sehingga dapat disimpulkan bahwa peubah respon menyebar normal ganda.
ketiga sifat mekanik baja adalah unsur C dan V. Nilai uji signifikansi parameter model awal selengkapnya disajikan pada Tabel 1. Tabel 1 Statistik Wilks’ Lambda untuk setiap peubah penjelas model awal Intersep C Mn Si Cr V Perubahan suhu Line
Wilks' Lambda
P-value
0.8316 0.7254 0.8318 0.9285 0.9278 0.7139 0.9718 0.9679
0.0689 0.0063* 0.0692 0.4142 0.4095 0.0047* 0.7768 0.7398
*) p-value < 0.05 plot khi-kuadrat peubah respon 12 10
q
8 6 4 2 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
dd
Gambar 1 Plot khi-kuadrat peubah respon b. Pengujian Ketidakbebasan Berdasarkan hasil perhitungan menggunakan uji Barttlet Sphericity 2 = 45.2972 nilai pdidapatkan nilai 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 value=0.000000001, karena nilai 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 lebih 2 besar dari nilai 𝜒0.05;3 = 7.815 maka tolak H0. Artinya bahwa antar ketiga sifat mekanik tidak saling bebas. Regresi Peubah Ganda a. Pendugaan Parameter Hasil dari regresi peubah ganda dengan menggunakan ketujuh peubah penjelas diperoleh nilai dugaan parameter untuk ketiga sifat mekanik yang disajikan pada Lampiran 5. Selanjutnya, berdasarkan hasil uji signifikansi parameter secara simultan dengan taraf nyata 5%, diperoleh nilai statistik Wilks lambda 0,3365 dan p-value 0,0017<0.05, maka minimal ada satu peubah penjelas yang berpengaruh terhadap sifat-sifat mekanik baja. Uji parsial dapat lakukan karena nilai VIF setiap peubah penjelas <10 sehingga tidak terdapat multikolinieritas. Nilai VIF selangkapnya disajikan pada Lampiran 6. Hasil uji signifikasi secara parsial, peubah penjelas yang berpengaruh nyata terhadap
2 Nilai kebaikan model (𝜂𝛬1 ) yang diperoleh sebesar 0.66 artinya keragaman sifat-sifat mekanik yang dapat dijelaskan oleh ketujuh peubah penjelas sebesar 66%. Pada pengujian asumsi sisaan, didapatkan hasil bahwa sisaan menyebar normal ganda seperti pada Lampiran 7 dan matriks ragam peragam sisaan homogen dengan nilai uji Box’s M sebesar 9.499 dengan p-value sebesar 0.192 lebih besar dari alfa 5%. Namun sisaan tidak 2 saling bebas dengan 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 46.6234 lebih 2 besar dari 𝜒0.05;3 = 7.815, maka dilakukan modifikasi model untuk mengatasi permasalahan tersebut.
Modifikasi Model Tahapan awal yang dilakukan dalam memodifikasi model sebelumnya yaitu dengan memperhatikan tanggal produksi baja batang kawat KS1062A. Terdapat lima tanggal produksi yaitu 25 Januari, 06-07 April, 27 April, dan 26 Mei. Pada tanggal produksi yang berbeda nilai sifat-sifat mekanik yang dihasilkan cenderung berbeda seperti yang digambarkan boxplot pada Lampiran 8, hal tersebut menandakan adanya keragaman yang disebabkan oleh tanggal produksi. Keragaman tersebut tejadi akibat dari pengaturan ulang mesin disetiap awal produksi atau pergantian produksi baja batang kawat dari kelompok kandungan karbon yang berbeda. Maka ditambahkan empat peubah penjelas boneka untuk tanggal produksi yaitu d1, d2 , d3, dan d4 ke dalam model. Dari penambahan peubah penjelas tersebut diperoleh nilai dugaan parameter untuk masing-masing sifat mekanik yang disajikan pada Lampiran 9.
b. Uji Signifikansi Parameter Pengujian signifikansi parameter terdiri dari pengujian paramater secara simultan dan parsial dengan taraf nyata 5%. Berikut hasil pengujian: 1. Uji Simultan Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh nilai Wilks’ Lambda sebesar 0.0058 dan pvalue <0.0001. Artinya pada taraf nyata 5% minimal ada satu peubah penjelas yang signifikan berpengaruh terhadap sifat-sifat mekanik baja. 2. Uji Parsial Nilai VIF setiap peubah penjelas <10 Artinya tidak terdapat multikolinieritas antar peubah penjelas sehingga uji parsial dapat dilakukan. Nilai VIF model modifikasi selengkapnya disajikan pada Lampiran 10. Berdasarkan hasil uji secara simultan peubah penjelas yang berpengaruh nyata terhadap sifat-sifat mekanik baja pada model modifikasi dengan taraf 5% antara lain unsur C, Mn, Si, dan V serta peubah penjelas boneka d1, d2, d3, dan d4. Seperti pada model awal peubah penjelas Cr, line, dan perubahan suhu tidak berpengaruh nyata terhadap model peubah ganda. Hasil pengujian model modifikasi selengkapnya disajikan pada Tabel 2.
Pengujian Asumsi Sisaan Pengujian asumsi sisaan pada regresi peubah ganda meliputi pengujian sisaan menyebar normal ganda, kebebasan sisaan, dan kehomogenan matriks ragam peragam siaaan. Berikut pembahasan mengenai pengujian ketiga asumsi tersebut :
Tabel 2 Statistik Wilks’ Lambda untuk setiap peubah penjelas model modifikasi
b. Pengujian Kebebasan Sisaan Berdasarkan hasil perhitungan uji kebebasan sisaan menggunakan uji Bartlett 2 Sphericity didapatkan nilai 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 6.0731 2 dan p-value =0.1081. 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 kurang dari nilai 2 𝜒0.05;3 = 7.815 maka tidak tolak H0. Artinya pada taraf nyata 5% antar sisaan model modifikasi saling bebas.
Wilks' Lambda
P-value
Intersep
0.2864
<.0001*
C
0.5944
0.0005*
Mn
0.5941
0.0005*
Si
0.6591
0.0024*
Cr
0.9811
0.8831
V
0.7796
0.0353*
Line
0.9925
0.9677
Perubahan suhu
0.9775
0.853
d1
0.0904
<.0001*
d2
0.4976
<.0001*
d3
0.4288
<.0001*
d4
0.4408
<.0001*
*) p-value <0.05 3. Ukuran Kebaikan Model Berdasarkan hasil perhitungan didapatkan 2 sebesar nilai kebaikan model modifikasi 𝜂𝛬2 0.9942. Artinya keragaman sifat-sifat mekanik baja yang dapat dijelaskan oleh peubah penjelas dalam model modifikasi yaitu sebesar 99.42%.
a. Pengujian Normal Ganda Sisaan Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh nilai 2 𝑑𝑖2 ≤ 𝜒3;0.5 sebanyak 58.33% dan pada Gambar 2 terlihat bahwa plot khi-kuadrat mendekati garis lurus, sehingga dapat disimpulkan bahwa sisaan model modifikasi menyebar normal ganda. Plot khi-kuadrat sisaan 12 10
q
8 6 4 2 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
dd
Gambar 2
Plot khi-kuadrat sisaan model modifikasi
c. Pengujian Kehomogenan Ragam Sisaan Berdasarkan hasil perhitungan uji kehomogenan ragam sisaan dengan menggunakan uji Box’s M diperoleh nilai u 2 =10.933 kurang dari 𝜒𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 sebesar 43.773 dan p-value sebesar 0.126 lebih besar dari alfa 5%, maka tidak tolak H0. Artinya pada taraf nyata 5% matriks ragam peragam sisaan pada model modifikasi homogen. Interpretasi Model Berdasarkan hasil uji signifikansi parameter, keempat peubah penjelas boneka untuk tanggal produksi berpengaruh nyata terhadap model. Artinya ada keragaman nilai ketiga sifat mekanik baja grade KS1062A yang disebabkan oleh perbedaan tanggal produksi. Misalnya pada tanggal produksi 25
Januari 2011 rata-rata TS lebih rendah 4.7818kg/mm2 dibandingkan dengan tanggal produksi lainya pada kondisi nilai peubah lainnya tetap. Dugaan parameter pada Lampiran 9 menjelaskan besarnya pengaruh peubah penjelas terhadap sifat mekanik. Salah satunya yaitu pengaruh unsur C terhadap peubah respon TS. Apabila terjadi kenaikan sebesar 1% pada unsur C dengan nilai peubah lain dalam model tetap maka rata-rata akan menaikkan nilai TS sebesar 52.35kg/mm2. Dari hasil tersebut juga diketahui nilai koefisien unsur V paling besar maka unsur tersebut memiliki pengaruh paling besar. Sedangkan unsur Si memiliki pengaruh paling kecil terhadap rata-rata kenaikan nilai TS. SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Sifat-sifat mekanik pada baja KS1062A berdiameter 5 mm dipengaruhi unsur kimia C, Mn, Si, V dan perbedaan tanggal produksi. Pada model awal dan model modifikasi, tidak ada pengaruh nyata peubah line dan perubahan suhu terhadap sifat-sifat mekanik. Analisis regresi peubah ganda mampu melihat peubah penjelas apa saja yang berpengaruh langsung terhadap ketiga sifat mekanik yang tidak saling bebas. Saran Pada hasil penelitian ini diperoleh bahwa terdapat keragaman karena perbedaan tanggal produksi, maka peneliti menyarankan untuk memperhatikan adanya perbedaan tanggal produksi apabila ingin melakukan pemodelan berikutnya. DAFTAR PUSTAKA Johnson RA, Wichern DW. 1998. Applied Multivariate Statistical Analysis. Ed ke-4. New Jersey : Prentice-Hall International, Inc. Masyrukan. 2006. Penelitian sifat fisis dan mekanis baja karbon rendah akibat pengaruh proses pengarbonan dari arang kayu jati. Jurnal Media Mesin 7 : 40-46. [link] http://eprints.ums.ac.id/565/1/6._PENE LITIAN_SIFAT_FISIS_DAN_MEKA NIS_BAJA_KARBON_RENDAH_A KIBAT_PENGARUH_PROSES_PEN
GARBONAN__masryukan.pdf [07 Juni 2011]. Morrison DF. 2005. Multivariat Statistical Methods. Ed ke-4. Pennsylvania : The Warton School University of Pennsylvania. PT Krakatau Steel (Persero). 2010. Manual Sistem Manajemen Krakatau Steel (SMKS). Jakarta : PT. Krakatau Steel (Persero). PT Krakatau Steel (Persero). 2009. Product Spesifications. Jakarta : PT. Krakatau Steel (Persero). Rencher AR. 2002. Methods Of Multivariate Analysis. Ed ke-2. New York : John Willey & Sons, Inc. Riskiyanti R. 2010. Analisis Regresi Multivariat Berdasarkan Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Drajat Kesehatan di Provinsi Jawa Timur [skripsi]. Surabaya : Institut Teknologi Sepuluh November.[link]http://digilib.its.ac.id/p ublic/ITS-Undergraduate-12393Paper.pdf[24 Mei 2011].
LAMPIRAN
Lampiran 2 Diagram alir metode pengerjaan
1 Mendefinisikan peubah respon dan peubah penjelas 2 Mennguji asumsi peubah respon yaitu kenormalan dan ketidakbebasan
Respon tidak saling bebas Analisis peubah ganda
3 Melakukan pendugaan parameter
4 Menguji signifikansi parameter secara simultan dan parsial 5 Menghitung ukuran kebaikan model
6 Menguji sisaan model
7 Interpretasi model akhir
Respon saling bebas Analisis berganda
Lampiran 3 Statistik deskriptif peubah respon dan perubahan suhu untuk setiap line Statistik 1.
2.
3.
4.
5.
Rata-rata EL(%) TS (kg/mm2) YS(kg/mm2) Perubahan Suhu (0C) Median EL(%) TS (kg/mm2) YS(kg/mm2) Perubahan Suhu(0C) Simpangan baku EL(%) TS (kg/mm2) YS(kg/mm2) Perubahan Suhu(0C) Minimum EL(%) TS (kg/mm2) YS(kg/mm2) Perubahan Suhu(0C) Maksimum EL(%) TS (kg/mm2) YS(kg/mm2) Perubahan Suhu(0C)
Line 1
2
9.1419 94.482 78.127 237,11
9.1752 94.103 78.174 259,03
9 94.873 78.601 228,00
9 94.069 78.462 259,00
0.5852 2.333 2.629 34,17
0.6379 2.519 2.751 30,33
8 88.586 72.556 185,00
8 86.055 71.712 128,00
11 100.819 84.367 301,00
11 99.975 84.367 326,00
Lampiran 4 Boxplot peubah EL, TS, YS, dan perubahan suhu Boxplot of EL 1
Boxplot of YS 2
86
11,0
1
2
84 10,5 82 80
YS
EL
10,0 9,5
78 76
9,0
74 8,5 72 8,0
70
Panel variable: Line
Panel variable: Line
Boxplot of perubahan suhu
Boxplot of TS 102,5
1
2
350
100,0
95,0 92,5
250
200
90,0
150 87,5 85,0 Panel variable: Line
2
300 perubahan suhu
TS
97,5
1
161 144 142 141 134 131 128
100 Panel variable: Line
Lampiran 5 Nilai dugaan parameter untuk setiap peubah respon model awal EL TS YS Prediktor b p-value b p-value b p-value 6.86465 0.1508 35.9538 0.1415 64.2348 0.0184 Intercept -3.7993 0.3081 62.8390 0.0018 31.2706 0.1354 C 4.1857 0.4125 28.1594 0.2826 -15.3250 0.5896 Mn 12.3208 0.1381 35.0510 0.405 32.9788 0.4718 Si 16.9850 0.1351 -49.8656 0.3866 -46.3282 0.46 Cr 8.5200 0.7136 -137.4324 0.2507 -408.9537 0.0028 V -0.0012 0.6039 -0.0018 0.8749 0.0047 0.7043 Perubahan suhu -0.1303 0.2785 0.1085 0.8589 0.1540 0.817 Line Lampiran 6 Nilai VIF model awal Prediktor VIF Intercept 1.607 C 1.625 Mn 1.459 Si 1.555 Cr 1.980 V 1.220 Perubahan suhu 1.322 Line
Lampiran 7 Plot khi-kuadrat sisaan model awal plot khi kuadarat sisaan model 1 12 10
q
8 6 4 2 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
dd
Data Display t
0.562500
distribusi data multinormal
lampiran 8 Boxplot rata-rata peubah EL, TS, dan YS per tanggal produksi Boxplot of EL
Boxplot of YS 82
10,0
81 80
9,5
YS
EL
79 9,0
78 77
8,5
76 75
8,0
74 1
2
3 tanggal ke-
4
5
1
2
3 tanggal ke-
4
Boxplot of TS 98
Keterangan :
97 96
TS
95
Tanggal ke-1 Tanggal ke-2 Tanggal ke-3 Tanggal ke-4 Tanggal ke-5
94 93 92 91 90 1
2
3 tanggal ke-
4
5
: 25 Januari 2011 : 06 April 2011 : 07 April 2011 : 27 April 2011 : 26 Mei 2011
5
Lampiran 9 Nilai dugaan parameter untuk setiap peubah respon model modifikasi EL
Prediktor Intersep C Mn Si Cr V Line Perubahan suhu d1 d2 d3 d4
TS
YS
b
p -value
b
p-value
b
p-value
7.15 -1.02
0.0199 0.6646
26.59 52.35
0.0663 <0.0001
60.63 14.73
<0.0001 0.0163
-3.61 22.54
0.3021 0.0011
64.75 0.372
0.0004 0.9903
32.52 -50.87
0.0006 0.003
5.48 14.84
0.4441 0.3881
-3.80 240.61
0.9113 0.0054
1.38 38.92
0.9384 0.3664
-0.03 0.0007
0.6888 0.6796
-0.06 -0.0026
0.8804 0.7283
-0.04 0.0021
0.8456 0.5947
0.35 0.69 1.01 0.51
0.0074 <0.0001 <0.0001 0.0002
-4.78 -1.55 -0.04 -1.15
<0.0001 0.0118 0.9586 0.0547
-5.66 -1.50 -0.09 0.70
<0.0001 <0.0001 0.8228 0.0257
Lampiran 10 Nilai VIF model modifikasi Predictor
VIF
Intersep C Mn
1.717 2.008
Si Cr V Line Perubahan suhu d1
2.379 1.669 2.856 1.322 1.750 2.889
d2
2.272
d3 d4
1.658 1.479
