PEMROGRAMAN GEOMETRIK DAN ANALISIS SENSITIVITASNYA YUDI SURYA LESMANA

PEMROGRAMAN GEOMETRIK DAN ANALISIS SENSITIVITASNYA

YUDI SURYA LESMANA

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007

PEMROGRAMAN GEOMETRIK DAN ANALISIS SENSITIVITASNYA

YUDI SURYA LESMANA G54103027

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007

ABSTRACT YUDI SURYA LESMANA. Geometric Programming and Its Sensitivity Analysis. Directed by FARIDA HANUM and TONI BAKHTIAR. Geometric programming (GP) is one of special form on convex optimization problems. GP is a type of mathematic optimum problem which is indicated by objective function and constraints problems which have special form. Objective function of GP is a posynomial function and its constraints are posynomial functions for inequality problem or monomial functions for equality problem. The objective of GP problem is to minimize posynomial objective function and the problems called primal geometric programming (PGP). Geometric programming is divided into unconstrained GP and constrained GPs. The dual geometric programming (DGP) has a maximizing objective function and some constraints which satisfy the normality, ortogonality, and positivity conditions. In this paper we present some procedures in determining the solutions of the GP. We show that the optimal solution of the DGP is equivalent with that of the PGP. This paper also discussed the sensitivity analysis of the unconstrained GP. The aim of this analysis is to identify the change of the optimal solution with respect to the change of the coefficient of the objective function. We show that objective function increases with coefficient, vice versa.

ABSTRAK YUDI SURYA LESMANA. Pemrograman Geometrik dan Analisis Sensitivitasnya. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan TONI BAKHTIAR. Pemrograman geometrik (PG) merupakan salah satu bentuk khusus dari masalah pengoptimuman konveks. PG adalah suatu tipe masalah optimisasi matematik yang ditandai oleh fungsi objektif dan fungsi-fungsi kendala yang memiliki bentuk khusus. Fungsi objektif PG adalah fungsi posinomial dan fungsi kendalanya berupa fungsi posinomial untuk kendala pertidaksamaan atau fungsi monomial untuk kendala persamaan. Fungsi posinomial merupakan penjumlahan beberapa fungsi monomial. Masalah PG bertujuan meminimumkan fungsi posinomial dan masalahnya disebut pemrograman geometrik primal (PGP). Pemrograman geometrik dibedakan menjadi dua, yaitu PG takberkendala dan PG berkendala. Untuk menentukan solusinya digunakan dual dari masing-masing PG tersebut. Dual masalah PG disebut pemrograman geometrik dual (PGD). PGD berfungsi objektif memaksimumkan suatu fungsi dan berfungsi kendala yang memenuhi kondisi normalitas, ortogonalitas, dan kepositifan. Dalam penentuan solusi PGD diberikan beberapa prosedur sehingga diperoleh solusinya. Nilai solusi optimum PGD ekuivalen dengan nilai solusi optimum PGP. Dalam karya ilmiah ini dibahas juga analisis sensitivitas terhadap PG takberkendala. Tujuan dilakukan analisis sensitivitas adalah untuk mengetahui besarnya perubahan yang terjadi pada solusi optimum PG takberkendala jika dilakukan perubahan terhadap koefisien-koefisien fungsi objektifnya. Setelah dilakukan analisis sensitivitas terjadi peningkatan solusi optimum PGP jika dilakukan peningkatan terhadap beberapa koefisien fungsi objektif PGP, atau sebaliknya.

PEMROGRAMAN GEOMETRIK DAN ANALISIS SENSITIVITASNYA

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

YUDI SURYA LESMANA G54103027

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007

Judul Nama NRP

: : :

Pemrograman Geometrik dan Analisis Sensitivitasnya Yudi Surya Lesmana G54103027

Menyetujui:

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dra. Farida Hanum, M.Si. NIP. 131 956 709

Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. NIP. 132 158 750

Mengetahui: Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S. NIP. 131 473 999

Tanggal Lulus:

KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Allah SWT, atas segala kekuatan yang telah diberikan sehingga tugas akhir ini dapat diselesaikan. 2. Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini). 3. Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, saran, dan motivasinya). 4. Donny Citra Lesmana, M.Sc. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya). 5. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan). 6. Keluargaku tercinta: bapak (terima kasih atas semua doa, nasihat dan motivasinya), ibu (terima kasih banyak atas semua doa, dukungan, dan kasih sayangnya. Ibu memang ibu terbaik sedunia), Aa Hendar, Teh Ela, Aa Dede, Teh Neng, adeku Jajat, Mang Djadjang (terima kasih atas doa dan dukungannya). 7. Nenk Iyank tercinta (terima kasih atas semua bantuan, doa, nasihat, dan motivasinya). 8. Teman-teman Math 40: Rusli (terima kasih telah menjadi pembahas pada seminar skripsi penulis, terima kasih juga telah menemani mencari sumber pustaka ke UI), Mufti (terima kasih atas bantuannya membuat program dan slide presentasi), Abdillah (terima kasih telah menjadi pembahas pada seminar skripsi penulis), Rama (terima kasih atas bantuannya menerjemahkan abstrak ke bahasa inggris), Elis, Sawa, Lili, Ari, Jayu, Demi, Febrian, Prima, Dimas, Ali, Beri, Aam, Mukafi, Uli, Yuda, Dwi, Sri, Agatha, Herni, Mayang, Mika, Indah, Icha, Ami, Nchi, Marlin, Ulfa, Mitha, Septi, Achie, Ifni, Tiwi, Metha, Vina, Abay, Manto, Anton, Azis (terima kasih atas doa dan dukungannya). 9. Bu Susi, Bu Ade, Bu Marisi, Mas Bono, Mas Deni, Mas Yono (terima kasih atas doa dan motivasinya) 10. Teman-teman Math 41: Dian (terima kasih telah menjadi pembahas pada seminar skripsi penulis), Uwie (terima kasih atas batuannya mendekor poster), LiaY, Niken, dan lainnya (terima kasih atas doanya). 11. Para Pengajar dan crew MSC : Kak Syam, Kak Hepy, Kak Taufik, Kak Jae, Kak Indra, Mba Novi, Mba Nuqi, Rina, Dewi, Poppy, Kusnandar, Ikang, Basir, dan lainnya (terima kasih atas doa dan motivasinya). 12. Teman-teman Wapemala : Abdul (terima kasih atas bantuanya menerjemahkan jurnal), Dudi, Egi, Kiyunk, Deri, sandi, Ijal, Sopian, Edi, Rifa (terima kasih atas doanya). Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Oktober 2007

Yudi Surya Lesmana

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Sumedang pada tanggal 21 Februari 1983 sebagai anak ketiga dari empat bersaudara. Ayah penulis bernama Wandi dan Ibu bernama Aminah. Pada tahun 1997 penulis menyelesaikan pendidikan SD Negeri Margapala Sumedang Selatan. Penulis melanjutkan pendidikan di SLTP Negeri 7 Sumedang pada tahun yang sama. Pada tahun 2000 penulis melanjutkan pendidikan di SMU Negeri 1 Sumedang. Pada tahun 2003 penulis diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB. Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan mahasiswa yaitu sebagai ketua Departemen Kaderisasi dan Kesekretariatan (Diskret) Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) IPB periode 2004/2005 dan sebagai ketua Departemen Pengembangan Sumberdaya Mahasiswa (PSDM) Gumatika IPB periode 2005/2006. Penulis juga aktif sebagai panitia pada beberapa acara antara lain Seminar Ekonomi Islam tahun 2004, Masa Perkenalan Departemen tahun 2004 dan tahun 2005, Matematika RIA Nasional tahun 2005, Pesta Sains Nasional 2006, Muswil III tahun 2006. Selain itu, penulis juga aktif menjadi asisten mata kuliah “Pengantar Matematika” dan “Kalkulus” pada tahun ajaran 2004/2005.

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ............................................................................................................... viii DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................................ viii I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ............................................................................................................ 1.2 Tujuan .........................................................................................................................

1 1

II LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Kalkulus .......................................................................................................... 2.2 Pengoptimuman Konveks dan Pemrograman Geometrik .......................................... 2.3 Fungsi Lagrange ..........................................................................................................

1 2 4

III PEMROGRAMAN GEOMETRIK 3.1 Pengubahan PG standar ke Bentuk Umum Pengoptimuman Konveks ..................... 3.2 Contoh Aplikasi PG dan Pengubahan ke Bentuk PG standar .................................... 3.3 Jenis Pemrograman Geometrik ................................................................................... 3.4 Derajat Kesulitan ........................................................................................................

5 6 7 7

IV PENENTUAN SOLUSI PG 4.1 PGD untuk PG Takberkendala ................................................................................... 8 4.2 PGD untuk PG Berkendala ......................................................................................... 11 V ANALISIS SENSITIVITAS ............................................................................................... 15 VI SIMPULAN DAN SARAN 6.1 Simpulan ...................................................................................................................... 21 6.2 Saran ............................................................................................................................. 21 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................... 21 LAMPIRAN .............................................................................................................................. 23

vii

DAFTAR GAMBAR Halaman 1. Grafik v(δ 3 ) ............................................................................................................................33 Grafik v '(δ 3 ) ...........................................................................................................................33 Grafik v ''(δ 3 ) ...........................................................................................................................34 Grafik v(δ 2 ) ............................................................................................................................38 Grafik v '(δ 2 ) ...........................................................................................................................38

2. 3. 4. 5.

DAFTAR LAMPIRAN Halaman

1. Pembuktian Fungsi Konveks pada Contoh 2.2.2 ............................................................... 2. Pembuktian Teorema 2.2.3 .................................................................................................. 3. Pembuktian Teorema 2.2.4................................................................................................... 4. Pembuktian F (y ) = ln f (e y ) Merupakan Fungsi Konveks ............................................... 5. Pembuktian Meminimumkan f 0 Ekuivalen dengan Meminimumkan ln( f 0 ) .................. 6. Pembuktian Teorema 4.1.1................................................................................................... 7. Penghitungan Solusi Optimum PGD pada Contoh 4.1.1..................................................... 8. Penghitungan Solusi Optimum PGD pada Contoh 4.1.2..................................................... 9. Penghitungan Solusi Optimum PGD pada Contoh 4.2.1..................................................... 10. Penghitungan Solusi Optimum PGD pada Contoh 4.2.2..................................................... 11. Penulisan Persamaan (5.7) dan (5.9) ke Bentuk Matriks .................................................... 12. Penghitungan Analisis Sensitivitas pada Contoh 5.1 ..........................................................

viii

24 24 26 27 29 30 31 32 36 37 39 41

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Istilah Pemrograman Geometrik (PG) diperkenalkan oleh Duffin, Peterson, dan Zener pada tahun 1967. Istilah ini diambil dari masalah-masalah geometri yang dapat diformulasikan sebagai PG. Pemrograman Geometrik adalah suatu tipe masalah optimalisasi matematik yang ditandai oleh fungsi objektif dan fungsi-fungsi kendala yang memiliki bentuk khusus. Dalam karya ilmiah ini PG dibedakan menjadi 2, yaitu PG takberkendala dan PG berkendala. Untuk menentukan solusi optimumnya digunakan metode yang sama,

yaitu menentukan masalah dual terlebih dahulu kemudian dengan prosedur yang ada dihitung solusi optimum dari masalah dual tersebut. Setelah diperoleh solusi optimum masalah dual maka akan diperoleh solusi PG. Selain itu, ingin dicari pengaruh perubahan koefisien fungsi objektif masalah PG terhadap solusi optimumnya. 1.2 Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah mempelajari penyelesaian masalah PG, dan melakukan analisis sensitivitas terhadap PG takberkendala.

II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan teori yang menjadi landasan pengerjaan karya ilmiah ini. Berikut diberikan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam penulisan karya ilmiah ini. 2.1 Fungsi Kalkulus Dalam subbab ini diberikan beberapa jenis fungsi kalkulus yang digunakan dalam penulisan karya ilmiah ini. Definisi 2.1.1 (Fungsi Naik dan Fungsi Turun) Jika f suatu fungsi dengan f ( x1 ) < f ( x2 ) , ∀x1 < x2 dalam suatu selang I maka f disebut fungsi naik pada selang I. Jika berlaku f ( x1 ) > f ( x2 ) , maka f disebut fungsi turun pada selang I. (Stewart, 1998) Definisi 2.1.2 (Fungsi Eksponensial) Fungsi eksponensial adalah fungsi yang berbentuk f ( x) = a x dengan a suatu konstanta positif dan x ∈ . (Stewart, 1998) Definisi 2.1.3 (Fungsi Eksponensial Natural) Fungsi eksponensial natural adalah fungsi yang berbentuk f ( x) = e x dengan e ≈ 2.718 dan x ∈ . (Stewart, 1998)

Teorema 2.1.1 (Hukum Eksponen) Jika a > 0 dan a ≠ 1 , maka f ( x) = a x merupakan fungsi kontinu dengan daerah asal dan daerah nilai (0, ∞) . Khususnya, a x > 0 untuk setiap x . Jika 0 < a < 1 maka f ( x) = a x merupakan fungsi turun. Jika a > 1

maka f ( x) = a x merupakan fungsi naik. Jika a, b ≠ 0 dan x, y ∈ , maka 1. a x + y = a x a y ax 2. a x − y = y a 3. ( a x ) y = a xy 4. (ab) x = a x b x . (Stewart, 1998) Definisi 2.1.4 (Fungsi Logaritma) Jika f ( x) = log a x , maka f disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok a, dengan a suatu konstanta positif, x > 0 dan x ∈ . (Stewart, 1998) Definisi 2.1.5 (Fungsi Logaritma Natural) Jika f ( x) = log e x = ln x , maka f disebut fungsi logaritma natural, dengan x > 0 dan x∈ . (Stewart, 1998) Teorema 2.1.2 (Hukum Logaritma) a >1, fungsi f ( x) = log a x Jika merupakan fungsi naik dengan daerah asal (0, ∞) dan daerah nilai . Jika x, y > 0 dan r bilangan real sebarang, maka

2

1. log a ( xy ) = log a x + log a y ⎛x⎞ 2. log a ⎜ ⎟ = log a x − log a y ⎝ y⎠ 3. log a ( x r ) = r log a x . (Stewart, 1998) Teorema 2.1.3 (Hukum Logaritma Natural) Fungsi f ( x) = ln x merupakan fungsi naik dengan daerah asal (0, ∞) dan daerah nilai . Jika x, y > 0 dan r bilangan real sebarang, maka 1. ln( xy ) = ln x + ln y ⎛x⎞ 2. ln ⎜ ⎟ = ln x − ln y ⎝ y⎠ 3. ln( x r ) = r ln x . (Stewart, 1998)

Definisi 2.1.6 (Global Minimizer) Misalkan f fungsi bernilai real

yang

terdefinisi pada himpunan D ⊆ . Titik x* di D adalah global minimizer untuk f di D jika f (x* ) ≤ f (x) untuk setiap x di D, dengan x vektor berukuran n. (Peressini et al., 1988) n

Definisi 2.1.7 (Global Maximizer) Misalkan f fungsi bernilai real

yang

terdefinisi pada himpunan D ⊆ . Titik x* di D adalah global maximizer untuk f di D jika f (x* ) ≥ f (x) untuk setiap x di D, dengan x vektor berukuran n. (Peressini et al., 1988) n

Teorema 2.1.4 (Pertaksamaan Holder) Misalkan x, y ∈ n , maka untuk p > 1, q > 1 , dengan

1 1 + = 1 , berlaku p q 1

1

n ⎛ n p ⎞p ⎛ q ⎞q xi yi ≤ ⎜ ∑ xi ⎟ ⎜ ∑ yi ⎟ . ∑ i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ (Boyd & Vandenberghe, 2004)

pemrograman geometrik dan pengoptimuman konveks.

Definisi 2.2.1 (Himpunan Konveks) Himpunan C ⊂ n disebut himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap x dan y di C, dan setiap λ dengan 0 ≤ λ ≤ 1 maka λ x + (1 − λ )y ∈ C. (Peressini et al., 1988) Definisi 2.2.2 (Fungsi Konveks) Misalkan f fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan konveks C di n maka 1. fungsi f disebut konveks di C jika f (λ x + [1 − λ ]y ) ≤ λ f (x) + [1 − λ ] f (y ) untuk setiap x dan y di C dan setiap λ dengan 0 ≤ λ ≤ 1 , 2. fungsi f disebut konveks sempurna di C jika f (λ x + [1 − λ ]y ) < λ f (x) + [1 − λ ] f ( y ) untuk setiap x dan y di C dan setiap λ dengan 0 < λ < 1 . (Peressini et al., 1988) Teorema 2.2.1 (Fungsi Konveks untuk Fungsi Satu Variabel) Jika f terdiferensialkan dua kali pada I , maka f fungsi konveks pada I jika dan hanya jika f ''( x) ≥ 0 untuk setiap x ∈ I . Jika f ''( x) > 0 untuk setiap x ∈ I , maka f disebut fungsi konveks sempurna. (Peressini et al., 1988) Definisi 2.2.3 (Fungsi Afin) Fungsi f : n → m disebut fungsi afin jika merupakan penjumlahan fungsi linear dan suatu konstanta, notasinya f (x) = Ax + b , dengan A matriks berukuran m × n , x vektor berukuran n, dan b vektor berukuran m . (Boyd & Vandenberghe, 2004)

n

2.2 Pengoptimuman Konveks dan Pemrograman Geometrik Pengoptimuman konveks terdiri atas pemrograman linear dan pemrograman nonlinear. Pemrograman geometrik termasuk pemrograman nonlinear. Berikut ini diberikan beberapa landasan yang berhubungan dengan

Contoh 2.2.1 Misalkan didefinisikan fungsi f sebagai berikut f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + x2 + 1.5 x3 + 3.2 ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ = ( 2 1 1.5 ) ⎜ x2 ⎟ + 3.2 , ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠ f merupakan fungsi afin.

3

Teorema 2.2.2 Misalkan f

Bukti (lihat Lampiran 1). fungsi

konveks

yang

terdefinisi pada himpunan konveks C ⊂ n . Jika λ1 , λ2 ,..., λk adalah bilangan-bilangan taknegatif, dengan λ1 + λ2 + ... + λk = 1 dan x1 , x 2 ,..., x k titik di C , maka

⎛ k ⎞ k f ⎜ ∑ λi xi ⎟ ≤ ∑ λi f (xi ). ⎝ i =1 ⎠ i =1 (Peressini et al., 1988) Bukti (lihat Peressini et al., 1988) Definisi 2.2.4 (Bentuk Umum Pengoptimum an Konveks) Suatu pengoptimuman konveks didefinisikan mempunyai bentuk umum ⎫ Minimumkan f 0 ( x) ⎪⎪ fi (x) ≤ 0, i = 1,..., m ⎬ (2.2.1) terhadap ⎪ hi ( x) = 0, i = 1,..., p ⎪⎭ fungsi konveks untuk dengan f 0 , fi 1 ≤ i ≤ m , hi fungsi afin untuk 1 ≤ i ≤ p , x adalah vektor berukuran n dengan x j > 0 untuk 1 ≤ j ≤ n .

(Boyd & Vandenberghe, 2004) Contoh 2.2.2 Minimumkan terhadap

f 0 (x) = x12 + x22

f1 ( x) =

x1 ≤0 1 + x22

h1 ( x) = ( x1 + x2 ) 2 = 0.

Terlihat h1 merupakan fungsi kuadrat sehingga menurut Definisi 2.2.3 h1 bukan fungsi afin. Karena salah satu syarat sudah terbukti tidak terpenuhi, maka permasalahan pada Contoh 2.2.2 bukan pengoptimuman konveks. Tetapi permasalahan pada Contoh 2.2.2 bisa dikonversi menjadi pengoptimuman konveks dengan cara sebagai berikut: 2

Karena 1 + x2 > 0 maka agar pertaksamaan x1 terpenuhi haruslah ≤0 1 + x22 sehingga kendala pertaksamaan f1 ( x) = x1 ≤ 0 . (i) Dapat diperlihatkan bahwa adalah fungsi konveks.

x1 ≤ 0

menjadi

f 0 dan

(ii) Fungsi kendala ( x1 + x2 ) 2 = 0 terpenuhi jika dan hanya jika x1 + x2 = 0 , sehingga fungsi h1 menjadi h1 (x) = x1 + x2 = 0 , sehingga berdasarkan Definisi 2.2.3, h1 adalah fungsi afin. Berdasarkan (i) dan (ii) maka permasalahan Contoh 2.2.2 dapat dimodelkan menjadi, Minimumkan f 0 (x) = x12 + x22 ⎫ ⎪ terhadap f1 (x) = x1 ≤ 0 (2.2.2) ⎬ h1 (x) = x1 + x2 = 0 ⎪⎭ Permasalahan (2.2.2) adalah pengoptimuman konveks karena f0 , f1 fungsi konveks, dan h1 fungsi afin.

Berikut ini diberikan dua definisi dan dua teorema yang berperan penting dalam pemrograman geometrik.

Definisi 2.2.5 (Fungsi Monomial) Fungsi g yang terdefinisi untuk x = ( x1 , ..., xn ) dengan xi > 0 untuk setiap i = 1, 2,3,..., n disebut fungsi monomial atau monomial jika g ( x ) = cx1a1 x2a2 ...xnan , dengan c konstanta positif dan ai ∈ R . (Boyd & Vandenberghe, 2004)

Contoh 2.2.3 Misalkan didefinisikan f ( x1 , x2 ) = 2.3 x12 x2−0.15 h( x1 , x2 ) = −2.3x12 x2−0.15 . Fungsi f adalah fungsi monomial sedangkan h bukan fungsi monomial, karena koefisien pada h bukan konstanta positif. Berikut dapat diperlihatkan bahwa fungsi monomial tertutup terhadap operasi perkalian dan pembagian. Misalkan f dan g fungsi monomial dengan f ( x) = cx1a1 x2a2 ...xnan g ( x ) = dx1b1 x2b2 ...xnbn ,

maka (i) ( fg )( x) = f ( x) g (x) = (cx1a1 x2a2 ...xnan )( dx1b1 x2b2 ...xnbn )

f1

= cdx1( a1 + b1 ) x2( a2 + b2 ) ...xn( an + bn ) .

4

Karena c, d > 0 maka cd > 0 , xi > 0, dan untuk setiap ai , bi ∈ , maka ai + bi ∈ untuk i = 1, 2,..., n, sehingga menurut Definisi 2.2.5 fg merupakan fungsi monomial. (ii)

f f (x) (x) = g g ( x)

=

n

n

∏ ( x )δ ≤ ∑ δ x i

i

i =1

i =1

i i

,

dengan persamaannya berlaku jika dan hanya jika x1 = x2 = ... = xn . (Peressini et al., 1988) Bukti (lihat Lampiran 2)

cx1a1 x2a2 ...xnan dx1b1 x2b2 ...xnbn

⎛c⎞ = ⎜ ⎟ x1( a1 − b1 ) x2( a2 − b2 ) ...xn( an −bn ) . ⎝d ⎠ c > 0 , xi > 0 dan Karena c, d > 0 maka d maka ai − bi ∈ , untuk setiap ai , bi ∈ untuk i = 1, 2,..., n sehingga menurut Definisi f merupakan fungsi monomial. 2.2.5 g Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa fungsi monomial tertutup terhadap operasi perkalian dan pembagian.

Definisi 2.2.6 (Fungsi Posinomial) Fungsi f yang terdefinisi di x = ( x1 , x,..., xn ) untuk setiap x j > 0 disebut posinomial

jika m

n

i =1

j =1

f ( x) = ∑ ci ∏ ( x j ) ij , a

dengan ci konstanta positif dan aij ∈ R untuk 1 ≤ i ≤ m dan 1 ≤ j ≤ n . (Peressini et al., 1988)

Dengan perkataan lain fungsi posinomial merupakan penjumlahan dari beberapa fungsi monomial. Contoh 2.2.4 Didefinisikan fungsi f sebagai berikut f ( x1 , x2 ) = 2.3 x12 x2−0.15 + 4 x1 2 x2 + 3 x2

dengan x = ( x1 , x2 ) di

2

, x1 , x2 > 0. Karena

c1 = 2.3 > 0 , c2 = 4 > 0 , c3 = 3 > 0 , dan x1 , x2 > 0, maka berdasarkan Definisi 2.2.6

f adalah fungsi posinomial. Teorema 2.2.3 (Pertaksamaan AritmatikGeometrik (A-G)) Jika x1 , x2 ,..., xn bilangan-bilangan real positif dan jika δ1 , δ 2 ,..., δ n adalah bilangan-bilangan positif dengan δ1 + δ 2 + ... + δ n = 1 , maka

Teorema 2.2.4 (Perluasan Pertaksamaan AG) Misalkan x1 , x2 ,..., xn bilangan-bilangan positif. Jika δ1 , δ 2 ,..., δ n bilangan-bilangan positif dan λ = δ1 + δ 2 + ... + δ n , maka δi

λ

n ⎛ xi ⎞ ⎛ n ⎞ λ ⎜ ∑ xi ⎟ ≥ λ ∏ ⎜ δ ⎟ , ⎝ i =1 ⎠ i =1 ⎝ i ⎠ persamaannya berlaku jika dan hanya jika δ ⎛ n ⎞ xi = i ⎜ ∑ x j ⎟ , λ ⎝ j =1 ⎠ untuk i = 1, 2,..., n . (Peressini et al., 1988)

Bukti (lihat Lampiran 3) 2.3 Fungsi Lagrange Misalkan diberikan masalah pengoptimuman yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut ⎫ Minimumkan f (x) ⎪ terhadap g i ( x) = 0 (2.3.1) ⎬ n ⎪ dengan i = 1, 2,..., m, x ∈ .⎭

Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah (2.3.1) adalah metode pengali Lagrange. Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.3.1 (Fungsi Lagrange) Misalkan diberikan masalah pengoptimuman (2.3.1). Fungsi Lagrange dari masalah tersebut didefinisikan m

L(x, λ ) = f (x) − ∑ λi gi (x)

(2.3.2)

i =1

dengan λi ≥ 0. (Kuhn, 2006) Teorema 2.3.1 Syarat perlu bagi sebuah fungsi objektif f ( x) dengan fungsi kendala gi ( x) = 0, dengan i = 1, 2,..., m, agar mempunyai nilai

5

maksimum lokal pada titik x* adalah turunan parsial pertama dari fungsi Lagrange-nya yang didefinisikan pada (2.3.2) terhadap setiap

elemennya

∂L = 0, ∂x j

∂L =0 ∂λi

dan

untuk

i = 1, 2,..., m, dan j = 1, 2,..., n.

(Kuhn, 2006)

III PEMROGRAMAN GEOMETRIK Pemrograman geometrik (PG) merupakan pengoptimuman suatu fungsi posinomial terhadap kendala monomial atau posinomial. Suatu PG didefinisikan mempunyai bentuk standar : Minimumkan f 0 (x) ⎫ ⎪ terhadap f i (x) ≤ 1, i = 1,..., k ⎬ (3.1) ⎪ gi ( x) = 1, i = 1,..., l ⎭ dengan f 0 , fi fungsi posinomial, g i fungsi monomial, x vektor berukuran n, dan x j > 0 untuk 1 ≤ j ≤ n . (Boyd & Vandenberghe, 2004) Contoh 3.1 Misalkan diberikan pemrograman sebagai berikut. Minimumkan f 0 ( x, y, z ) = x −1 y −1/ 2 z −1 + 2.3 xz + 4 xyz terhadap f1 ( x, y, z ) = (1/ 3) x −2 y −2 + (4 / 3) y1/ 2 z −1 ≤ 1 f 2 ( x, y, z ) = xy 2 + 2 xyz −1 + 3 x −1/ 2 z ≤ 1 g ( x, y, z ) = (1/ 2) xy = 1, dengan x, y, z > 0 . Contoh 3.1 merupakan PG bentuk standar dengan n = 3 , k = 2 dan l = 1.

Contoh 3.2 Misalkan diberikan suatu permasalahan sebagai berikut. Minimumkan f 0 ( x, y, z ) = x −1 y −1/ 2 z −1 + 2.3 xz + 4 xyz terhadap f1 ( x, y, z ) = (1/ 3) x −2 y −2 + (4 / 3) y1/ 2 z −1 ≤ 1 f 2 ( x, y, z ) = 3xyz ≤ 1 g ( x, y, z ) = (−1/ 2) xy = 1. dengan x, y, z > 0 . Contoh 3.2 bukan PG karena g bukan fungsi monomial.

Contoh 3.3 Misalkan diberikan fungsi objektif dari suatu permasalahan sebagai berikut Maksimumkan f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 x3 dengan x1 , x2 , x3 > 0 . Dapat diperlihatkan bahwa memaksimumkan x1 x2 x3 ekuivalen dengan meminimumkan

1 . x1 x2 x3 Misalkan f mempunyai nilai maksimum di titik x* = ( x1* , x2* , x3* ) maka f (x* ) ≥ f (x)

(menurut Definisi 2.1.7)

⇔ x x x ≥ x1 x2 x3 * * * 1 2 3

⇔

1 1 ≤ xxx x1 x2 x3 * * * 1 2 3

(karena x1 , x2 , x3 , x1* , x2* , x3* > 0 ), menurut Definisi 2.1.6,

1 minimum x1 x2 x3

di titik x* = ( x1* , x2* , x3* ) . Jadi terbukti bahwa memaksimumkan x1 x2 x3 ekuivalen dengan meminimumkan

1 , x1 x2 x3

untuk x1 , x2 , x3 > 0 . 3.1 Pengubahan PG Standar ke Bentuk Umum Pengoptimuman Konveks Dengan menggunakan hukum eksponensial dan hukum logaritma maka bentuk PG standar pada (3.1) dapat diubah menjadi pengoptimuman konveks dengan cara sebagai berikut: (i) Pada fungsi monomial g (x) = cx1a1 x2a2 ...xnan disubstitusikan

persamaan yi = ln xi ⇔ xi = e yi sehingga fungsi g menjadi g (e y1 , e y2 ,..., e yn ) = c(e y1 ) a1 (e y2 ) a2 ...(e yn ) an = ce a1 y1 ea2 y2 ...ean yn .

6

Kemudian dengan mengunakan sifat-sifat fungsi logaritma natural diperoleh, ln( g (e y1 , e y2 ,..., e yn )) = ln(cea1 y1 ea2 y2 ...e an yn ) = ln c + ln ea1 y1 + ln ea2 y2 + ... + ln e an yn = ln c + a1 y1 ln e + a2 y2 ln e + ... + an yn ln e = ln c + a1 y1 + a2 y2 + ... + an yn .

⎫ ⎪ ln f 0 (e , e ,..., e ) ⎪ ⎪ terhadap ⎪ yn y1 y2 ln( fi (e , e ,..., e )) ≤ 0, ⎬⎪ ln( g j (e y1 , e y2 ,..., e yn )) = 0, ⎪⎪ i = 1, 2,..., k , j = 1, 2,..., l. ⎪⎭

Minimumkan y1

yn

y2

(3.1.1)

Jika g (x) = 1 = g (e y1 , e y2 ,..., e yn ), maka ln( g (e 1 , e 2 ,..., e n )) = 0 , sehingga fungsi monomial g menjadi fungsi afin berbentuk ln c + a1 y1 + a2 y2 + ... + an yn = 0 y

y

y

⇔ a1 y1 + a2 y2 + ... + an yn

= − ln c. m

n

i =1

j =1

(ii) Fungsi posinomial f ( x) = ∑ ci ∏ ( x j ) ij , dengan

ci > 0

dan

xj > 0

a

untuk

j = 1, 2,..., n , maka i = 1, 2,..., m , f (x) > 0 , dan fungsi kendala f i (x) ≤ 1 , dengan fi fungsi posinomial, maka 0 < f i (x) ≤ 1 untuk setiap i = 1, 2,..., k . Terlihat bahwa f i (x) ∈ + , dengan + himpunan bilangan real positif, sehingga berlaku ln( fi (x)) ≤ ln1 (karena fungsi logaritma merupakan fungsi naik di + ) ⇔ ln( fi ( x)) ≤ 0 Misalkan F ( y ) = ln f (e y1 , e y2 ,..., e yn ) , dengan f fungsi posinomial. Dapat diperlihatkan bahwa F fungsi konveks. Bukti (lihat Lampiran 4 bagian 1). (iii) Dapat diperlihatkan meminimumkan f 0 ekuivalen dengan meminimumkan ln f 0 . Bukti (lihat Lampiran 4 bagian 2). Berdasarkan (i), (ii), (iii), maka bentuk standar PG dapat dikonversi menjadi bentuk umum pengoptimuman konveks yang dapat dimodelkan sebagai berikut

3.2 Contoh Aplikasi PG dan Pengubahan ke Bentuk PG Standar Menentukan volume yang optimum dari sebuah wadah yang berbentuk balok merupakan salah satu contoh aplikasi PG. Misalkan tinggi balok h, panjang w, dan lebar d, serta rasio masing-masing sisi adalah h/w d/w, dan h/d. Dengan memperhatikan fungsi kendala yang diberikan dan ingin memperoleh volume balok yang maksimum maka masalah ini dapat dimodelkan sebagai berikut Maksimumkan wdh ⎫ terhadap 2(hw + hd ) ≤ Aw ⎪⎪ ⎪⎪ α ≤ h/w ≤ β ⎬ (3.2.1) wd ≤ Af ⎪ ⎪ γ ≤ d/w≤δ ⎪ dengan d , h, w > 0 ⎪⎭ dengan d, h, dan w variabel keputusan, Aw > 0 luas selimut balok, Af > 0 luas alas

balok, dan α , β , γ , δ konstanta positif. Dengan menggunakan transformasi, masalah (3.2.1) dapat dikonversi ke bentuk PG standar sebagai berikut. a) Sebagaimana telah dijelaskan pada Contoh 3.3, maka memaksimumkan wdh ekuivalen dengan meminimumkan w−1d −1h −1 , dengan h, w, d > 0 . b) Fungsi kendala juga dapat dikonversi menjadi 2(hw + hd ) ≤ Aw ⇔ (2 / Aw )(hw + hd ) ≤ Aw / Aw (karena Aw > 0 ) ⇔ (2 / Aw ) hw + (2 / Aw )hd ≤ 1 c) α ≤ h / w ≤ β ⇔ α ≤h / w dan h / w≤ β i

ii

i. α ≤ h / w ⇔ α w ≤ h (karena w > 0) ⇔ α wh −1 ≤ 1 (karena h > 0)

7

ii. h / w ≤ β ⇔ (1/ β )hw

−1

≤1

(karena β konstanta positif)

d) wd ≤ Af ⇔ (1/ Af ) wd ≤ 1 (karena Af > 0)

e) γ ≤ d / w ≤ δ ⇔ γ ≤d / w dan d / w≤δ ii

i

i. γ ≤ d / w ⇔ γ w ≤ d (karena w > 0) ⇔ γ wd −1 ≤ 1 (karena d > 0)

ii. d / w ≤ δ ⇔ (1/ δ )dw−1 ≤ 1 (karena δ konstanta positif). Dari a), b), c.i), c.ii), d), e.i), dan e.ii) terbukti bahwa permasalahan (3.2.1) dapat dikonversi menjadi PG standar sebagai berikut

Minimumkan terhadap

h −1 w−1d −1 (2 / Aw )hw + (2 / Aw )hd ≤ 1

α h −1 w ≤ 1 (1/ β )hw−1 ≤ 1 (1/ Af ) wd ≤ 1

γ wd −1 ≤ 1 dengan

(1/ δ ) w−1d ≤ 1 h, w, d > 0 , α , β , γ , Af , Aw

konstanta positif. 3.3 Jenis Pemrograman Geometrik Dilihat dari ada atau tidak adanya kendala, maka pemrograman geometrik dapat dibedakan menjadi pemrograman geometrik takberkendala, dan pemrograman geometrik berkendala. Pada dasarnya PG takberkendala dan PG berkendala sama, yaitu sama-sama masalah optimalisasi. Karena PG berkendala disertai dengan fungsi kendala yang mempunyai bentuk khusus sedangkan PG tak berkendala tidak disertai fungsi kendala, maka untuk memudahkan penghitungan kedua masalah ini dibedakan. Pemrograman geometrik takberkendala adalah masalah meminimumkan suatu fungsi posinomial dengan tidak disertai fungsi kendala. Suatu pemrograman geometrik tak-

berkendala didefinisikan mempunyai bentuk umum sebagai berikut Minimumkan ⎫ ⎪ m n aij g ( x) = ∑ ci ∏ ( x j ) ⎪ ⎪ i =1 j =1 ⎪ dengan ⎬ (3.3.1) x1 > 0, x2 > 0,..., xm > 0, ⎪ ⎪ aij konstanta real, ⎪ ⎪ dan ci konstanta positif ⎭ (Peressini et al., 1988) Pemrograman geometrik berkendala adalah masalah meminimumkan suatu fungsi posinomial dengan disertai fungsi kendala, dan mempunyai bentuk umum sebagai berikut ⎫ ⎪ ⎪ 0 ⎪ terhadap ⎪ f1 (x) = un0 +1 (x) + ... + un (x) ≤ 1 ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ f k (x) = unk −1 +1 (x) + ... + unk (x) ≤ 1⎬ (3.3.2) ⎪ dengan x j > 0, untuk j = 1,..., m, ⎪ ⎪ ui fungsi monomial untuk ⎪ i = 1,..., nk , f i fungsi posinomial ⎪ ⎪ untuk i = 0,..., k , dan ⎪ ⎪ misalkan n0 + n1 + ... + nk = p. ⎭ Minimumkan f 0 (x) = u1 ( x) + ... + un (x)

(Peressini et al., 1988) Jika diperhatikan dari bentuknya, PG berkendala termasuk PG bentuk standar. Catatan Masalah PG yang berfungsi objektif meminimumkan disebut pemrograman geometrik primal (PGP). 3.4 Derajat Kesulitan Derajat kesulitan merupakan tingkat kesulitan untuk melakukan penghitungan dalam menentukan solusi masalah PG. Derajat kesulitan untuk PG takberkendala dan PG berkendala dirumuskan sebagai berikut 1. Derajat kesulitan PG takberkendala Misalkan diberikan PG seperti masalah (3.3.1), maka derajat kesulitannya dirumuskan sebagai berikut π ST = n − m − 1 , dengan

8

π ST = derajat kesulitan PG takberkendala n = banyaknya suku penjumlahan pada fungsi objektif

nk = banyaknya suku penjumlahan pada fungsi kendala ke-k m = banyaknya variabel keputusan.

m = banyaknya variabel keputusan.

2. Derajat kesulitan PG berkendala Misalkan diberikan PG seperti masalah (3.3.2), maka derajat kesulitannya dirumuskan sebagai berikut

⎛

r

⎞

⎝

k =1

⎠

π SB = ⎜ n0 + ∑ nk ⎟ − m − 1 , dengan

π SB = derajat kesulitan PG berkendala

Ditentukannya derajat kesulitan dari suatu permasalahan PG akan bermanfaat dalam penghitungan solusi optimumnya. 1. PG memiliki satu solusi jika dan hanya jika π i = 0, untuk i = ST , SB. 2. PG memiliki banyak solusi jika dan hanya jika π i > 0, untuk i = ST , SB. 3. PG tidak memiliki solusi jika dan hanya jika π i < 0, untuk i = ST , SB. (Bazaraa et al., 1979)

n0 = banyaknya suku penjumlahan pada fungsi objektif

IV PENENTUAN SOLUSI PG Untuk melakukan penghitungan dalam menentukan solusi masalah pemrograman geometrik maka ditentukan masalah dual dari pemrograman geometrik yang disebut pemrograman geometrik dual (PGD).

3. Jika ditambahkan kendala n

∑a δ i =1

ij

i

=0

(kondisi ortogonalitas)

j = 1, 2,..., m maka diperoleh δi

4.1 PGD untuk PG Takberkendala Berikut ini dapat ditentukan bentuk PGD dari masalah (3.3.1). 1. Fungsi g (x) dapat ditulis sebagai

⎛c ⎞ g ( x) ≥ ∏ ⎜ i ⎟ , i =1 ⎝ δ i ⎠ sehingga jika didefinisikan

⎛ m aij ⎞ ⎜ ci ∏ ( x j ) ⎟ n j =1 ⎟, g ( x) = ∑ δ i ⎜ ⎜ ⎟ δi i =1 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dengan δ i > 0 (kondisi kepositifan) 2. Jika ditambahkan kendala

⎛c ⎞ v(δ) := ∏ ⎜ i ⎟ , i =1 ⎝ δ i ⎠ maka diperoleh g (x) ≥ v(δ)

n

∑δ i =1

i

= 1 (kondisi normalitas)

maka menurut Teorema Pertaksamaan A-G diperoleh ⎛ m a c ( x j ) ij n ⎜ i∏ j =1 g ( x) ≥ ∏ ⎜ δi i =1 ⎜ ⎜ ⎝

δi

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

δ

i ⎛c ⎞ ⎛ n m a δ ⎞ = ∏ ⎜ i ⎟ ⎜ ∏∏ ( x j ) ij i ⎟ δ i =1 ⎝ i ⎠ ⎝ i =1 j =1 ⎠

n

δi

n ⎛c ⎞ ⎛ n ∑ aij δi ⎞ = ∏⎜ i ⎟ ⎜∏( xj ) i ⎟ i =1 ⎝ δ i ⎠ ⎝ i =1 ⎠

n

n

δi

untuk sebarang x ∈ m dengan x > 0 dan sebarang δ ∈ n yang memenuhi kondisi kepositifan, normalitas, dan ortogonalitas. Jadi diperoleh PGD dari masalah (3.3.1) adalah Maksimumkan ⎫ ⎪ δi n ⎛ ci ⎞ ⎪ v(δ) = ∏ ⎜ ⎟ ⎪ i =1 ⎝ δ i ⎠ ⎪ ⎪ terhadap ⎪ δ1 > 0, δ 2 > 0,..., δ n > 0 ⎬ (4.1.1) ⎪ n ⎪ δ 1 = ∑ i ⎪ i =1 ⎪ n ⎪ δ 0, 1, 2,..., a j m = = ∑ ij i ⎪ i =1 ⎭

9

Vektor δ berukuran n yang memenuhi kondisi kepositifan, normalitas, dan ortogonalitas disebut vektor fisibel untuk PGD. (Peressini et al., 1988) Karena δ > 0 dan ci konstanta positif, maka v(δ) > 0 , sehinga v(δ) ∈

+

.

Teorema 4.1.1 Misalkan PGP konsisten, maka PGD yang berpadanan adalah konsisten. Jika x* = ( x1* , x2* ,..., xm* ) adalah solusi PGP,

selanjutnya vektor δ* = (δ1* , δ 2* ,..., δ n* ) yang didefinisikan oleh u ( x* ) δ i* = i * , i = 1, 2,..., n g (x ) (dengan ui (x) = ci x1αi1 ...xmαim adalah suku ke-i dari g (x) ) adalah solusi untuk PGD dan g (x* ) = v(δ* ).

(Peressini et al., 1988)

a) himpunan kosong maka proses berhenti, masalah PG tidak mempunyai solusi, b) terdiri atas satu vektor δ* (solusi * tunggal), maka δ merupakan solusi dari PGD, lanjutkan ke langkah 4, c) terdiri atas lebih dari satu vektor (mempunyai banyak solusi) maka lanjutkan ke langkah 3 3. Tentukan vektor δ* yang merupakan global maximizer untuk fungsi dual δi

n ⎛c ⎞ v(δ) = ∏ ⎜ i ⎟ , i =1 ⎝ δ i ⎠ pada himpunan vektor fisibel F, maka δ* adalah solusi PGD. 4. Jika diberikan solusi δ* , maka solusi dari masalah primalnya adalah x* yang diperoleh dari u ( x* ) δ i* = i * , i = 1, 2,..., n . v(δ )

Berdasarkan Teorema 4.1.1, v(δ* ) = g (x* ). (Peressini et al., 1988)

Bukti (lihat Lampiran 5)

Berdasarkan Teorema 4.1.1, masalah dual akan mempunyai solusi jika himpunan vektor fisibel tidak kosong. Jika solusi untuk masalah (4.1.1) adalah vektor δ* ∈ n , maka solusi untuk masalah (3.3.1) adalah x* ∈ m . Berikut diberikan prosedur untuk menentukan solusi pemrograman geometrik takberkendala. Prosedur Pemrograman Geometrik Takberkendala Misalkan diberikan PGP n

Minimumkan g (x) = ∑ ui ( x) , i =1

ui (x) = ci x1ai1 ...xmim adalah fungsi dengan monomial, dan x1 > 0, x2 > 0,..., xm > 0. 1. Tentukan himpunan fisibel F dari PGD, n yaitu himpunan vektor δ di yang memenuhi δ1 > 0,..., δ n > 0 (kepositifan) n

∑ δi = 1

i =1

(normalitas)

n

∑ aij δ i = 0, j = 1, 2,..., m

i =1

(ortogonalitas) 2. Jika himpunan vektor fisibel F

Contoh 4.1.1 Misalkan diberikan masalah PG sebagai berikut Minimumkan g ( x1 , x2 ) = 60 x1−3 x2−2 + 50 x13 x2 + 20 x1−3 x23 terhadap x1 > 0, x2 > 0 Jawab Derajat kesulitan pada permasalahan Contoh 4.1.1 adalah 0, karena π ST = n − m − 1 = 3 − 2 −1 = 0 . Jadi masalah PG pada Contoh 4.1.1 mempunyai satu solusi. Berdasarkan (4.1.1) dual dari masalah pada Contoh 4.1.1 adalah Maksimumkan δ1

δ2

δ3

⎛ 60 ⎞ ⎛ 50 ⎞ ⎛ 20 ⎞ v(δ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ δ1 ⎠ ⎝ δ 2 ⎠ ⎝ δ 3 ⎠ terhadap δ1 + δ 2 + δ 3 = 1 (normalitas)

δ1 > 0, δ 2 > 0, δ 3 > 0

(kepositifan)

−3δ1 + 3δ 2 − 3δ 3 = 0 ⎫ ⎬ (ortogonalitas) −2δ1 + δ 2 + 3δ 3 = 0 ⎭

10

Koefisien δ i untuk i = 1, 2,3 pada kondisi ortogonalitas di atas adalah pangkat dari x1 dan x2 pada fungsi objektif g ( x1 , x2 ) . Dari kondisi normalitas dan ortogonalitas diperoleh sistem persamaan linear (SPL)

δ1 + δ 2 + δ 3 = 1 ⎫ ⎪ −3δ1 + 3δ 2 − 3δ 3 = 0 ⎬ −2δ1 + δ 2 + 3δ 3 = 0 ⎪⎭ dan solusinya adalah

(4.1.2)

⎛2 1 1 ⎞ δ* = (δ1* , δ 2* , δ 3* ) = ⎜ , , ⎟ . ⎝ 5 2 10 ⎠ Penghitungan (lihat Lampiran 6).

Dapat diperhatikan bahwa δ i* > 0 , dan ini merupakan satu-satunya solusi. Jadi nilai solusi optimum PGD adalah δ1*

δ 3*

δ 2*

⎛c ⎞ ⎛c ⎞ ⎛c ⎞ v(δ ) = ⎜ 1* ⎟ ⎜ 2* ⎟ ⎜ 3* ⎟ ⎝ δ1 ⎠ ⎝ δ 2 ⎠ ⎝ δ 3 ⎠ *

0.4

0.5

⎛ 60 ⎞ ⎛ 50 ⎞ ⎛ 20 ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.4 ⎠ ⎝ 0.5 ⎠ ⎝ 0.1 ⎠ = 126.049

0.1

Contoh 4.1.2 Minimumkan f ( x1 , x2 ) = 2 x13 x2−3 + 4 x1−2 x2 + x1 x2 + 8 x1 x2−1 dengan x1 , x2 > 0 Jawab Derajat kesulitan masalah PG pada Contoh 4.1.2 adalah π ST = n − m − 1 = 4 − 2 − 1 = 1. Jadi masalah PG pada Contoh 4.1.2 mempunyai banyak solusi. Berdasarkan (4.1.1) dual dari masalah pada Contoh 4.1.2 adalah Maksimumkan δ1

δ3

δ2

δ4

⎛2⎞ ⎛ 4⎞ ⎛1⎞ ⎛ 8 ⎞ v(δ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ δ1 ⎠ ⎝ δ 2 ⎠ ⎝ δ 3 ⎠ ⎝ δ 4 ⎠ terhadap δ1 + δ 2 + δ 3 + δ 4 = 1 (normalitas) 3δ1 − 2δ 2 + δ 3 + δ 4 = 0 ⎫ ⎬ (ortogonalitas) −3δ1 + δ 2 + δ 3 − δ 4 = 0 ⎭ δ i > 0, untuk i = 1, 2,..., n. (kepositifan)

Langkah 2b menyatakan bahwa proses dapat dilanjutkan ke langkah 4, yaitu menentukan solusi optimum PGP * * * x = ( x1 , x2 ), dengan menyelesaikan 60 x1*−3 x2*−2 = 0.4(126.049) = 50.420 (i)

50 x1*3 x2* = 0.5(126.049) = 63.025

(ii)

20 x1*−3 x2*3 = 0.1(126.049) = 12.6049 (iii) Persamaan (i) dapat disederhanakan menjadi 60 x2*−2 = 50.420 x1*3 x1*3 = 1.1900 x2*−2 , (iv) dengan menyubstitusi Persamaan (iv) ke Persamaan (ii) diperoleh 50(1.1900 x2*−2 ) x2* = 63.025 x2* = 0.944 ,

126.049 adalah nilai solusi optimum PGP Contoh 4.1.1.

(v)

dengan menyubstitusi Persamaan (v) ke Persamaan (iii) diperoleh 20 x1*−3 (0.944)3 = 12.6049 x1*3 = 1.335

x1* = 1.101 , sehingga solusi optimum PGP adalah x* = (1.101, 0.994) . Berdasarkan Teorema 4.1.1, nilai solusi optimum PGP sama dengan nilai solusi optimum PGD. Jadi g (0.944,1.101) =

Dari kondisi normalitas dan ortogonalitas diperoleh SPL

δ1 + δ 2 + δ 3 + δ 4 = 1 ⎫ ⎪ 3δ1 − 2δ 2 + δ 3 + δ 4 = 0 ⎬ −3δ1 + δ 2 + δ 3 − δ 4 = 0 ⎭⎪ dan solusi optimum PGD adalah

(4.1.3)

δ* = (δ1* , δ 2* , δ 3* , δ 4* ) = (0.0457, 0.3638, 0.1819, 0.4086)

(lihat Lampiran 7 ), sehingga nilai solusi optimum PGD adalah 0.0457 0.3638 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 4 ⎞ v(δ* ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.0460 ⎠ ⎝ 0.3638 ⎠ 0.1819

0.4086

⎛ 1 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.1819 ⎠ ⎝ 0.4086 ⎠ = 13.0692. Menurut Teorema 4.1.1, v(δ* ) = f (x* ) = 13.0692 , dengan

f ( x* )

nilai solusi

optimum PGP untuk suatu x ∈ D f , dengan *

D f daerah asal fungsi f .

Menurut prosedur 4 dapat dihitung solusi optimum PGP x* = ( x1* , x2* ) sebagai berikut 2 x1*3 x2*−3 = δ1* v(δ* ) = 0.0457(13.0692)

11

x1*3 x2*−3 = 0.2986

n0

∑δ

3ln x1* − 3ln x2* = ln 0.2986

ln x1* − ln x2* = −0.4028

i =1

(i)

⎛ m a c ( x j ) ij n0 ⎜ i ∏ j =1 f 0 (x) ≥ ∏ ⎜ δi i =1 ⎜ ⎜ ⎝

x1* x2* = 0.1819(13.0692)

ln x1* + ln x2* = ln 2.3773 (ii)

ln x1* = 0.2316

(iii)

x1* = e0.2316 = 1.2606.

Dari (ii) dan (iii) diperoleh ln x2* = 0.6344 x2* = e0.6344 = 1.8859. Jadi diperoleh solusi optimum PGP adalah x* = ( x1* , x2* ) = (1.2606,1.8859) .

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

δi k

∏ ( f ( x) )

λr

r

r =1

δ

i k ⎛ c ⎞ ⎛ n0 m λ ⎞ a δ ⎞⎛ = ∏ ⎜ i ⎟ ⎜ ∏∏ ( x j ) ij i ⎟ ⎜ ∏ ( f r (x) ) r ⎟ i =1 ⎝ δ i ⎠ ⎝ i =1 j =1 ⎠ ⎠ ⎝ r =1

n0

Dari (i) dan (ii) diperoleh 2 ln x1* = 0.4631

= 1 (kondisi normalitas),

maka menurut Teorema Pertaksamaan AG (Teorema 2.2.3), diperoleh

x1* x2* = δ 3* v(δ* )

ln x1* + ln x2* = 0.8660.

i

δi 0 ⎛ ci ⎞ ⎛ m ∑ aij δi = ∏ ⎜ ⎟ ⎜ ∏ ( x j ) i=1 ⎜ i =1 ⎝ δ i ⎠ ⎝ j =1 n

n0

⎞⎛ k λ ⎞ ⎟ ⎜ ∏ ( f r ( x) ) r ⎟ . ⎟ ⎝ r =1 ⎠ ⎠

Jadi f0 ( x ) ≥ δi 0 ⎛ ci ⎞ ⎛ m ∑ aijδi ⎜ ⎟ ⎜⎜ ∏ ( x j ) i=1 ∏ i =1 ⎝ δ i ⎠ ⎝ j =1 n

n0

⎞⎛ k λ ⎞ ⎟ ⎜ ∏ ( f r ( x) ) r ⎟ . ⎟ ⎝ r =1 ⎠ ⎠

(4.2.1)

4.2 PGD untuk PG Berkendala Untuk mencari solusi dari permasalahan (3.3.2) terlebih dahulu ditentukan dual dari permasalahan tersebut. Berikut dapat ditentukan masalah dual dari permasalahan (3.3.2). 1) Pada fungsi kendala f r ( x) ≤ 1, untuk r = 1, 2,..., k . Misalkan λr > 0, untuk r = 1, 2,..., k , maka diperoleh

( f r ( x) )

λr

k

∏ ( f ( x) ) k

Karena

λr

r

∏ ( f ( x) ) r =1

r

k

k

≤ ∏1 = 1k = 1.

λr

λr = λr ( δ ) = δ n

dan

0 +1

( f ( x)) r

λr

⎛ m a c ( x j ) ij nr ⎜ i ∏ = 1 j ≥ λr λr ∏ ⎜ δi i = n0 +1 ⎜ ⎜ ⎝

δi

δ

= λr λr

δi r ⎛ ci ⎞ ⎛ m ∑ aij δi i = no +1 ⎜ x ( ) ∏ ⎜ ⎟ ⎜∏ j i = n0 +1 ⎝ δ i ⎠ ⎝ j =1

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

( f r ( x ) ) ≥ λr λr

δi r ⎛ ci ⎞ ⎛ m ∑ aij δi = i n x ⎜ ∏ ⎜ ⎟ ⎜ ∏ ( j ) o +1 i = n0 +1 ⎝ δ i ⎠ ⎝ j =1

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

r =1

2) Jika ditambahkan kendala

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

i ⎛ ci ⎞ ⎛ nr m a δ ∏ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ∏ ∏ ( x j ) ij i i = n0 +1 ⎝ δ i ⎠ ⎝ i = n0 +1 j =1

λr

aij ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ m ⎜ n0 ⎜ ci ∏ ( x j ) ⎟ ⎟ k j =1 ⎟ ⎟ ∏ ( f (x) )λr , = ⎜ ∑ δi ⎜ ⎜ i =1 ⎜ ⎟ ⎟ r =1 r δi ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎠⎠ ⎝ dengan δ i > 0, untuk i = 1,..., n0 .

menurut

= λr λr

≤ 1, maka

f 0 ( x ) ≥ f 0 ( x ) ∏ ( f r (x) )

+ δ n0 + 2 + ... + δ nr ,

untuk r = 1, 2,..., k , maka Teorema 2.2.4, diperoleh

r =1

λr

λr

aijδi m ⎛ nr ⎞ = ⎜⎜ ∑ ci ∏ ( x j ) ⎟⎟ , untuk r ⎝ i = n0 +1 j =1 ⎠ r = 1, 2,..., k Misalkan δ i > 0, untuk i = n0 + 1,..., nr ,

( f ( x))

≤ 1λr = 1.

Karena f r (x) > 0, untuk x ∈ D f , maka r =1

Diperhatikan fungsi kendala

nr

nr

n

⎞ ⎟⎟ ⎠

Jadi λr

nr

n

(4.2.2)

12

¾ Misalkan r = 1 , maka menurut (4.2.2), berlaku

( f ( x ))

λ1

δi 0 n0 ⎛c ⎞ ⎛ m ∑ aijδi f 0 ( x ) ≥ ∏ ⎜ i ⎟ ⎜ ∏ ( x j ) i=1 ⎜ j =1 i =1 ⎝ δ i ⎠ ⎝ n

≥

1

δi 1 ⎛ ci ⎞ ⎛ m ∑ aij δi λ1 λ1 ∏ ⎜ ⎟ ⎜ ∏ ( x j )i=n0 +1 ⎜ i = n0 +1 ⎝ δ i ⎠ ⎝ j =1 n

n1

λ2

δi

n2

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

Jadi δi

n0 ⎛c ⎞ f0 ( x ) ≥ ∏ ⎜ i ⎟ i =1 ⎝ δ i ⎠

n

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

nr

∑a δ

≥

⎛ ci ⎞ ⎛ ∑ aij δi ⎜ ⎟ ⎜⎜ ∏ ( x j )i=nk −1+1 i = nk −1 +1 ⎝ δ i ⎠ ⎝ j =1 Karena f r (x) > 0, untuk x ∈ D f , maka

∏

( f ( x)) ( f ( x)) λ1

λ2

2

nk

m

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

... ( f k ( x ) ) ≥ λk

δi

i

= 0, (kondisi ortogonalitas),

maka diperoleh δi

δi

n0 ⎛ c ⎞ nr ⎛ c ⎞ k f 0 ( x ) ≥ ∏ ⎜ i ⎟ ∏ ⎜ i ⎟ ∏ ( λr λr ) . i =1 ⎝ δ i ⎠ i = n0 +1 ⎝ δ i ⎠ r =1 Karena λr = λr ( δ ) = δ n0 +1 + δ n0 + 2 + ... + δ nr ,

δi 2 ⎛c ⎞ ⎛ m ∑ aij δi λ2λ2 ∏ ⎜ i ⎟ ⎜ ∏ ( x j )i=n1+1 ⎜ i = n1 +1 ⎝ δ i ⎠ ⎝ j =1

⎞ ⎟ ... ⎟ ⎠

n1

n

n2

δi k ⎛ ci ⎞ ⎛ m ∑ aij δi λk λk ∏ ⎜ ⎟ ⎜ ∏ ( x j )i=nk −1+1 ⎜ i = nk −1 +1 ⎝ δ i ⎠ ⎝ j =1 n

nk

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⇔ ∏ ( fr ( x)) ≥ λr

r =1

δi

r ⎛ m ∑ aijδi ⎞ i = n0 +1 ⎜ ⎟ x ( ) r j ⎜∏ ⎟ r =1 ⎝ j =1 ⎠ (4.2.3) Jika (4.2.3) disubstitusikan ke (4.2.1), maka diperoleh

⎛ ci ⎞ ⎟ i = n0 +1 ⎝ i ⎠ nr

∏ (λ ) ∏ ⎜ δ

δi

n

δi

n0 ⎛ c ⎞ nr ⎛ c ⎞ f0 ( x ) ≥ ∏ ⎜ i ⎟ ∏ ⎜ i ⎟ i =1 ⎝ δ i ⎠ i = n0 +1 ⎝ δ i ⎠ Jika didefinisikan

⎛c ⎞ v ( δ ) := ∏ ⎜ i ⎟ i =1 ⎝ δ i ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

λr

ij

n0

⎛c ⎞ ⎛ m ∑ aij δi λ1 ∏ ⎜ i ⎟ ⎜ ∏ ( x j )i=n0 +1 ⎜ i = n0 +1 ⎝ δ i ⎠ ⎝ j =1 n1

k

i =1

maka δi

nk

k

r

3) Jika ditambahkan kendala

¾ Jika dilakukan terus sampai dengan himpunan r = k , k ∈ , dengan bilangan asli, maka menurut (4.2.2) berlaku

λk λ

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

r

δi 3 ⎛c ⎞ ⎛ m ∑ aij δi λ3 ∏ ⎜ i ⎟ ⎜ ∏ ( x j )i=n2 +1 ⎜ j =1 i = n2 +1 ⎝ δ i ⎠ ⎝

λk

n

k

r =1

n3

k

δi r ⎛ ci ⎞ ⎛ m ∑ aijδi i =1 ⎜ x ( ) ∏ ⎜ ⎟ ⎜∏ j i = n0 +1 ⎝ δ i ⎠ ⎝ j =1 nr

∏ (λ λ ).

λ3

λ3

r

r =1

( f3 ( x ) ) ≥

k

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

∏ ( λ λ ).

¾ Misalkan r = 3 , maka menurut (4.2.2), berlaku

λ1

n

r

⎛c ⎞ ⎛ m ∑ aij δi λ2λ2 ∏ ⎜ i ⎟ ⎜ ∏ ( x j )i=n1+1 ⎜ i = n1 +1 ⎝ δ i ⎠ ⎝ j =1

1

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

δi r ⎛ ci ⎞ ⎛ m ∑ aijδi i =1 ⎜ x ( ) ∏ ⎜ ⎟ ⎜∏ j i = n0 +1 ⎝ δ i ⎠ ⎝ j =1 nr

)

k

δi

n2

( f ( x))

n

n0 ⎛c ⎞ = ∏⎜ i ⎟ i =1 ⎝ δ i ⎠

≥

2

(

δi r ⎛ ci ⎞ ⎛ m ∑ aij δi i = n0 +1 ⎜ x ( ) ⎜ ⎟ ∏ ⎜∏ j i = n0 +1 ⎝ δ i ⎠ ⎝ j =1 nr

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

¾ Misalkan r = 2 , maka menurut (4.2.2), berlaku

( f ( x))

⎞ k ⎟ ∏ λr λr ⎟ r =1 ⎠

nr ⎛c ⎞ = ∏⎜ i ⎟ i =1 ⎝ δ i ⎠

maka

δi

δi

⎛ ci ⎞ ⎜ ⎟ ∏ i = n0 +1 ⎝ δ i ⎠ nr

δi

∏ ( λ (δ)λ ) k

r

(δ)

r

r =1

∏ ( λ (δ)λ ) k

r

r =1

(δ )

r

∏ ( λ (δ)λ ) , k

r

r =1

(δ )

r

f0 ( x ) ≥ v (δ ) ,

(4.2.4)

untuk sebarang x ∈ dengan komponenkomponen positif, dan sebarang δ ∈ n yang memenuhi kondisi kepositifan, normalitas, dan ortogonalitas. Jadi diperoleh PGD dari masalah (3.3.2) adalah m

13

⎫ ⎪ ⎛ p ⎛c ⎞ ⎞ k λi ( δ ) ⎪ j ⎜ ⎟ v(δ) = ∏ ⎜ ⎟ ∏ ( λi (δ) ) ⎪ ⎜ j =1 ⎜⎝ δ j ⎟⎠ ⎟ i =1 ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ δ1 + δ 2 + ... + δ n0 = 1 terhadap ⎪ ⎪ a11δ1 + a21δ 2 + ... + a p1δ p = 0 ⎪ ⎬ (4.2.5) ⎪ a1mδ1 + a2 mδ 2 + ... + a pmδ p = 0 ⎪ ⎪ dengan δ i > 0 untuk i = 1,..., n0 , ⎪ ⎪ dan δ i ≥ 0 untuk nk −1 + 1 ≤ i ≤ nk , ⎪ ∀k ≥ 1, ⎪ λi (δ) = δ ni−1 +1 + ... + δ ni untuk i = 1,..., k ⎪⎭ (Peressini et al., 1988)

Maksimumkan

δj

Teorema 4.2.1 Misalkan PG berkendala konsisten dan x* adalah solusi untuk PGP berkendala, maka PGD yang berpadanan konsisten dan memiliki solusi δ* yang memenuhi g 0 (x* ) = v(δ* ) dan ⎧ ui (x* ) , i = 1, 2,..., n0 ⎪ * δ i* = ⎨ g 0 (x ) ⎪λ (δ* )u (x* ), i = n + 1,..., n , i j −1 j ⎩ j j = 1,..., k . (Peressini et al., 1988) Bukti (lihat Peressini et al., 1988 ). Berikut ini diberikan prosedur untuk menentukan solusi PG berkendala. Prosedur PG Berkendala Misalkan diberikan PGP seperti masalah (3.3.2), maka untuk menentukan solusinya diberikan prosedur sebagai berikut 1. Tentukan vektor fisibel F dari PGD, yaitu himpunan vektor δ di n yang memenuhi δ i > 0, untuk i = 1,..., n0 (kepositifan) δ i ≥ 0, untuk i = n0 + 1,..., p n0

∑δ i =1

i

=1

p

∑a δ i =1

ij

i

= 0 , j = 1,..., m

(normalitas) (ortogonalitas)

2. Jika himpunan vektor fisibel F

a) himpunan kosong, maka proses berhenti, masalah PG tidak mempunyai solusi, b) terdiri atas satu vektor δ* , maka δ* merupakan solusi dari PGD. Penghitungan dilanjutkan ke langkah 4, c) terdiri atas lebih dari satu vektor (mempunyai banyak solusi), maka lanjutkan ke langkah 3. 3. Tentukan vektor δ* yang merupakan global maximizer untuk fungsi dual ⎛ p ⎛ c ⎞δ j ⎞ k λ (δ ) j v(δ) = ⎜ ∏ ⎜ ⎟ ⎟ ∏ ( λi (δ) ) i . ⎜ j =1 ⎜⎝ δ j ⎟⎠ ⎟ i =1 ⎝ ⎠ 4. Jika diberikan solusi δ* , maka solusi dari masalah primalnya adalah x* yang diperoleh dari ⎧ ui (x* ) , i = 1, 2,..., n0 ⎪ * * δ i = ⎨ g 0 (x ) ⎪λ (δ* )u (x* ), i = n + 1,..., n , i j −1 j ⎩ j j = 1,..., k . Berdasarkan Teorema 4.2.1, v(δ* ) = g (x* ). (Peressini et al., 1988) Contoh 4.2.1 Tentukan solusi masalah PG berikut Minimumkan f 0 ( x1 , x2 , x3 ) = 40 x1−1 x2 −1 x3−1 + 40 x2 x3 terhadap 1 1 x1 x3 + x1 x2 ≤ 1 2 4 dengan x1 , x2 , x3 > 0 . f1 ( x1 , x2 , x3 ) =

Jawab Derajat kesulitan masalah PG pada Contoh 4.2.1 adalah 1 ⎛ ⎞ π SB = ⎜ n0 + ∑ nk ⎟ − m − 1 k =1 ⎝ ⎠ = 2 + 2 − 3 − 1 = 0. Jadi masalah PG pada Contoh 4.2.1 mempunyai satu solusi. Menurut (4.2.5) dual dari masalah Contoh 4.2.1 adalah Maksimumkan δ1

δ2

δ3

δ4

⎛ 40 ⎞ ⎛ 40 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ v(δ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ δ1 ⎠ ⎝ δ 2 ⎠ ⎝ 2δ 3 ⎠ ⎝ 4δ 4 ⎠

(δ 3 + δ 4 ) terhadap

(δ 3 + δ 4 )

14

δ1 + δ 2 =1 −δ1 + δ3 + δ 4 = 0 ⎫ ⎪ −δ1 + δ 2 + δ 4 = 0⎬ −δ1 + δ 2 + δ 3 = 0 ⎪⎭ dengan δ1 , δ 2 , δ 3 , δ 4 > 0

(normalitas) (ortogonalitas) (kepositifan)

Dari kondisi normalitas dan ortogonalitas diperoleh SPL dengan variabel δ1 , δ 2 , δ 3 , dan δ4. Solusi SPL tersebut adalah (lihat Lampiran 8 bagian 1) ⎛ 2 1 1 1⎞ δ* = (δ1* , δ 2* , δ 3* , δ 4* ) = ⎜ , , , ⎟ , ⎝ 3 3 3 3⎠ yang merupakan satu-satunya solusi PGD. Jadi diperoleh nilai solusi optimum PGD adalah ⎛ 40 ⎞ v(δ* ) = ⎜ ⎟ ⎝ 2/3⎠

2/3

1/ 3

⎛ 40 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 1/ 3 ⎠

1/ 3

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2/3⎠

1/ 3

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 4/3⎠

⎛1 1⎞ ⎜ + ⎟ ⎝3 3⎠

⎛1 1⎞ = 60. ⎜ + ⎟ ⎝3 3⎠ Menurut Teorema 4.2.1 v(δ* ) = f 0 ( x* ) = 60, dengan f 0 (x* ) nilai solusi optimum

PGP untuk suatu x* ∈ D f0 . Menurut prosedur 4 dapat dihitung solusi PGP x* = ( x1* , x2* , x3* ) sebagai berikut 2 40 x x x = .60 3 ⇔ ln x1* + ln x2* + ln x3* = 0 *−1 * −1 *−1 1 2 3

(i)

1 40 x2* x3* = .60 3 ⇔ ln x2* + ln x3* = − ln 2

(ii)

⎛2⎞1 * * 1 ⎜ ⎟ x2 x3 = 3 ⎝3⎠2 ⇔ ln x1* + ln x3* = 0

(iii)

⎛2⎞1 * * 1 ⎜ ⎟ x1 x2 = 3 ⎝3⎠4 * ⇔ ln x1 + ln x2* = ln 2. Dari (ii) dan (iv) diperoleh ln x1* − ln x3* = 2 ln 2.

Dari (iii) dan (vi) diperoleh

⇔ x1* = 2. Dari (iv) dan (vii) diperoleh ln x2* = 0

(vii)

⇔ x2* = 1 . (viii) Jadi solusi optimum PGP adalah 1⎞ ⎛ x* = ( x1* , x2* , x3* ) = ⎜ 2,1, ⎟ . 2⎠ ⎝

Contoh 4.2.2 Misalkan diberikan masalah PG sebagai berikut Minimumkan f 0 ( x1 , x2 , x3 ) = 0.3 x1 x31.2 + 0.5 x1−1.5 x2−1.2 x3−1.4 + 0.2 x1.3 2 terhadap 0.8 x1 x2 ≤ 1 1.2 x1 x2−1 ≤ 1 dengan x1 , x2 , x3 > 0

Jawab Derajat kesulitan pada permasalahan Contoh 4.2.2 adalah 2 ⎛ ⎞ π ST = ⎜ n0 + ∑ nk ⎟ − m − 1 k =1 ⎝ ⎠ = 3 + 2 − 3 − 1 = 1. Jadi masalah PG pada Contoh 4.2.2 mempunyai banyak solusi. Berdasarkan (4.2.5) dual dari masalah Contoh 4.2.2 adalah Maksimumkan δ1

δ2

δ3

⎛ 0.3 ⎞ ⎛ 0.5 ⎞ ⎛ 0.2 ⎞ v(δ) = ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ δ1 ⎠ ⎝ δ 2 ⎠ ⎝ δ 3 ⎠

( 0.8) (1.2 ) δ4

δ5

terhadap

(iv) (v)

Dari (iii) dan (v) diperoleh 2 ln x3* = −2 ln 2 1 ⇔ x3* = . 2

ln x1* = ln 2

(vi)

δ1 + δ 2 + δ 3 = 1 (normalitas) δ1 − 1.5δ 2 + δ 4 + δ 5 = 0⎫ ⎪ − 1.2δ 2 + 1.3δ 3 − δ 5 = 0 ⎬ (ortogonalitas) = 0 ⎪⎭ 1.2δ1 − 1.4δ 2 + δ 4 δ1 , δ 3 , δ 3 > 0 (kepositifan) δ 4 , δ 5 ≥ 0. Dari kondisi normalitas dan ortogonalitas didapatkan SPL

15

δ1 + δ 2 + δ3 =1 ⎫ ⎪ δ1 − 1.5δ 2 + δ 4 + δ 5 = 0⎪ ⎬ − 1.2δ 2 + 1.3δ 3 − δ5 = 0 ⎪ + δ4 = 0. ⎭⎪ 1.2δ1 − 1.4δ 2

(4.2.6)

Penghitungan (lihat Lampiran 8 bagian 2). Berdasarkan hasil penghitungan SPL (4.2.6) mempunyai banyak solusi dengan satu variabel bebas. Misalkan δ 2 sebagai variabel bebas, maka penghitungan solusi PGD dilanjutkan ke prosedur ke-3, yaitu menentukan global maximizer dari fungsi dual δ1

δ3

δ2

⎛ 0.3 ⎞ ⎛ 0.5 ⎞ ⎛ 0.2 ⎞ v(δ) = ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ δ1 ⎠ ⎝ δ 2 ⎠ ⎝ δ 3 ⎠ ⎛ ⎞ 0.3 =⎜ ⎟ 0.866551 1.7331 − δ 2 ⎠ ⎝

3.4793δ 2 −1.03986

(1.2 )

δ4

0.866551−1.7331δ 2

⎛ ⎞ 0.2 ⎜ ⎟ 0.133315 0.73369 + δ ⎝ 2 ⎠

( 0.8)

( 0.8) (1.2 )

δ5

f 0 (x* ) = v(δ* ) = 0.9230, dengan f 0 ( x* ) nilai solusi optimum PGP untuk suatu x* ∈ D f 0 .

Menurut prosedur 4 dapat dihitung solusi optimum PGP x* = ( x1* , x2* , x3* ) sebagai berikut: 0.2 x2*1.3 = δ 3*v(δ* ) = (0.3525)(0.9230) *1.3 2

0.2 x

= 0.3254

⇒ x2* = 1.4540 δ2

⎛ 0.5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ δ2 ⎠

0.133315 + 0.73369δ 2

1.2 x1* x2−1 =

δ 5* =1 δ 5*

1.2 x1* (1.4540) −1 = 1

0.8253 x1* = 1 ⇒ x1* = 1.2117

0.173249 − 0.2462δ 2

. (4.2.3)

Dari hasil penghitungan diperoleh solusi optimum PGD sebagai berikut: δ1* = 0.3485 δ 4* = 0.0001

δ 2* = 0.2989

Jadi δ* = (0.3485, 0.2989, 0.3525, 0.0001, 0.9997). Nilai solusi optimum PGD adalah v(δ* ) = 0.9230 . Menurut Teorema 4.2.1,

δ 5* = 0.9997.

0.3x1* x3*1.2 = δ1* v(δ* ) (0.3)(1.223) x3*1.2 = (0.3485)(0.9230)

⇒ x3* = 0.8767. Jadi solusi optimum PGP adalah x* = ( x1* , x2* , x3* ) = (1.223,1.468, 0.861).

δ = 0.3525 * 3

V ANALISIS SENSITIVITAS Pada bab ini akan dibahas analisis sensitivitas terhadap PG takberkendala. Untuk analisis sensitivitas terhadap PG berkendala tidak akan dibahas dalam karya ilmiah ini. Tujuan dilakukannya analisis sensitivitas antara lain untuk mengetahui pengaruh perubahan ci (koefisien) fungsi objektif PGP terhadap solusi optimumnya. Misalkan diberikan masalah PGP (3.3.1) dan PGD (4.1.1). Misalkan g (δ) = − ln v(δ) ⎛ n ⎛ c ⎞δi ⎞ = − ln ⎜ ∏ ⎜ i ⎟ ⎟ ⎜ i =1 ⎝ δ i ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ δi n ⎛ ⎛c ⎞ ⎞ = ∑ ⎜ − ln ⎜ i ⎟ ⎟ i =1 ⎜ ⎝ δ i ⎠ ⎟⎠ ⎝

n ⎛ ⎛c = ∑ ⎜⎜ −δ i ln ⎜ i i =1 ⎝ ⎝ δi

⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠

n ⎛ ⎛ δ ⎞⎞ = ∑ ⎜ δ i ln ⎜ i ⎟ ⎟ . ⎜ ⎟ i =1 ⎝ ⎝ ci ⎠ ⎠ Akan diperlihatkan bahwa memaksimumkan v(δ) ekuivalen dengan meminimumkan g (δ). Misalkan v mempunyai nilai maksimum di δ* = (δ1* , δ 2* ,..., δ n* ) , untuk suatu δ* di daerah

asal v yaitu Dv , maka menurut Definisi 2.1.7 berlaku v(δ* ) ≥ v(δ) , ∀δ ∈ Dv , dan untuk suatu δ* ∈ Dv . Karena fungsi logaritma merupakan fungsi naik di + , maka ln v(δ* ) ≥ ln v(δ)

16

ln(δ i + ∆δ i ) + 1 − ln(ci + ∆ci ) − (λ + ∆λ ) −

⇔ − ln v(δ* ) ≤ − ln v(δ)

(5.3)

⇔ g (δ ) ≤ g (δ) . Menurut Definisi 2.1.6, terbukti bahwa g

∑ (u

minimum di δ = (δ , δ ,..., δ ) , untuk suatu

dengan δ i + ∆δ i , λ + ∆λ , dan ui + ∆ui adalah kendala baru terhadap parameter ci + ∆ci . Pengurangan (5.3) dengan (5.2) menghasilkan

*

*

* 1

* 2

* n

δ ∈ Dg , dengan Dg daerah asal fungsi g . *

Jadi terbukti bahwa memaksimumkan v(δ) ekuivalen dengan meminimumkan g (δ) . Oleh karena itu PGD (4.1.1) dapat dimodelkan kembali sebagai berikut n ⎛ ⎛ δ ⎞⎞ ⎫ Minimumkan g (δ) = ∑ ⎜⎜ δ i ln ⎜ i ⎟ ⎟⎟ ⎪ i =1 ⎝ ⎝ ci ⎠ ⎠ ⎪ ⎪ n ⎪ terhadap δi = 1 ∑ ⎬ (5.1) i =1 ⎪ n ⎪ 0, 1, 2,..., = = a j m δ ∑ ij i ⎪ i =1 ⎪ dengan δ1 > 0, δ 2 > 0,..., δ n > 0. ⎭

m

j =1

j

+ ∆u j )aij = 0,

ln(δ i + ∆δ i ) + 1 − 1 − ln δ i − ln(ci + ∆ci ) + ln ci −

n ⎛δ ⎞ ⎛ n ⎞ m = ∑ δ i ln ⎜ i ⎟ − λ ⎜ ∑ δ i − 1⎟ − ∑ u j ∑ aij δ i i =1 ⎝ i =1 ⎠ j =1 i =1 ⎝ ci ⎠ n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

m

n

j =1

j

i =1

ij

i

dengan u ≥ 0, λ ≥ 0 . Berdasarkan Teorema 2.3.1, syarat perlu agar g mempunyai nilai minimum lokal pada titik δ* adalah

∂L

δi

∂L = 0 , untuk i = 1,..., n. ∂δ i m

= ln δ i + 1 − ln ci − λ − ∑ u j aij j =1

∂L =0 ∂δ i m

⇔ ln δ i + 1 − ln ci − λ − ∑ u j aij = 0, i = 1,..., n. j =1

(5.2) Dari (5.2), terlihat bahwa jika dilakukan perubahan terhadap ci sebesar ∆ci , maka akan terjadi perubahan terhadap δ i sebesar ∆δ i , λ sebesar ∆λ , dan u j sebesar ∆u j , sehingga (5.2) menjadi

j =1

j =1

m

∆λ − ∑ ∆u j aij = 0 j =1

⎛ ∆δ ⇔ ln ⎜ 1 + i δi ⎝ m

∑ ∆u a j

ij

⎞ ⎟ − ln(ci + ∆ci ) + ln ci − ∆λ − ⎠ = 0.

(5.4)

Karena 0 < δ i < 1 dan diasumsikan ∆δ i < δ i , untuk i = 1,..., n, maka 0 ≤

∆δ i

δi

< 1. Karena

∆δ i < δ i < 1, maka

= ∑ δ i ln δ i − ∑ δ i ln ci − λ ∑ δ i − λ −

∑u ∑a δ ,

m

⇔ ln(δ i + ∆δ i ) − ln δ i − ln(ci + ∆ci ) + ln ci −

j =1

Fungsi Lagrange Masalah (5.1) adalah L ( δ, u, λ )

m

(λ + ∆λ ) + λ − ∑ (u j + ∆u j ) aij − ∑ u j aij = 0

∆δ i

0≤

δi

< ∆δ i < δ i < 1.

Dari pertaksamaan tersebut terlihat bahwa ∆δ i ∆δ i dekat dengan 0. = 0 atau

δi

δi

Jika

∆δ i

δi

= 0 , maka

⎛ ⎛ ∆δ ⎞ ⎞ ∆δ ln ⎜1 + ⎜ i ⎟ ⎟ = ln (1 + 0 ) = 0 = i . ⎜ ⎟ δ δi ⎝ ⎝ i ⎠⎠ ∆δ i Jika → 0 , maka akan diperlihatkan

δi

bahwa ⎛ ⎛ ∆δ ln ⎜⎜1 + ⎜ i ⎝ ⎝ δi

⎞ ⎞ ∆δ i ∆δ i , untuk → 0. ⎟ ⎟⎟ δ δi i ⎠⎠ ⇔ ln (1 + t ) t , untuk t → 0

⇔

dengan t=

ln (1 + t ) t

∆δ i

δi

1,

(i)

. ln (1 + t )

1 ketika t → 0, t ekuivalen dengan memperlihatkan

Memperlihatkan

17

lim

ln (1 + t )

lim1 = 1.

t →0

Jadi terbukti bahwa

(ii)

t →0

t Jadi untuk memperlihatkan Aproksimasi (i) cukup diperlihatkan Aproksimasi (ii). ln (1 + t ) ln (1 + t ) − 0 lim = lim t →0 t → 0 t t −0 = lim t →0

= lim

⎛ ⎛ ∆δ ⎞ ⎞ ∆δ i ln ⎜1 + ⎜ i ⎟ ⎟ , (5.4*) ⎜ ⎟ ⎝ ⎝ δi ⎠ ⎠ δi ∆δ i untuk → 0, dengan i = 1, 2,..., n.

δi

ln (1 + t ) − ln(1) t −0 ln (1 + t ) − ln(1 + 0)

(iii)

t −0

t →0

Misalkan didefinisikan ln ci − ln(ci + ∆ci ) = −∆ (ln ci ). (5.4**) Jika (5.4*) dan (5.4**) disubstitusikan ke (5.4) maka diperoleh m ∆δ i − ∆ (ln ci ) − ∆λ − ∑ aij ∆u j = 0 , i = 1,..., n.

δi

1 , 1+ t Persamaan (iii)

Misalkan h(t ) = ln(1 + t ), maka h '(t ) = untuk t ≠ −1, menjadi lim

ln (1 + t )

t →0

t

sehingga

j =1

(5.5) Jika (5.5) dikalikan δ i , maka diperoleh m

∆δ i − δ i ∆ (ln ci ) − δ i ∆λ − δ i ∑ aij ∆u j = 0. j =1

h(t ) − h(0) t →0 t −0 = h '(0) (definisi turunan)

= lim

=

(5.5*) Jika (5.5*) dijumlahkan untuk i = 1,..., n, maka diperoleh

1 = 1. 1+ 0 ■ terbukti n

n

n

n

m

∑ ∆δ − ∑ δ ∆(ln c ) − ∑ δ ∆λ − ∑ δ ∑ a ∆u i

i =1

i

i =1

n

n

i =1

i =1

i

i =1

i

i

i =1

n

ij

j =1

n

j

= 0.

m

⇔ ∑ ∆δ i − ∑ δ i ∆(ln ci ) − ∑ δ i ∆λ − ∑ δ i ∑ aij ∆u j = 0 i =1

i =1

j =1

⇔ ∑ (δ i' − δ i ) − ∑ δ i ∆(ln ci ) − ∆λ ∑ δ i − ∑ ∆u j ∑ aijδ i = 0 n

i =1

n

n

i =1

i =1

m

n

j =1

i =1

n

n

n

m

i =1

i =1

i =1

j =1

⇔ ∑ δ i' − ∑ δ i − ∑ δ i ∆(ln ci ) − ∆λ (1) − ∑ ∆u j (0) = 0 n

⇔ 1 − 1 − ∑ δ i ∆ (ln ci ) − ∆λ − 0 = 0 i =1

n

⇔ ∑ δ i ∆ (ln ci ) + ∆λ = 0,

(5.6)

i =1

dengan δ i' = δ i + ∆δ i (solusi PGD setelah terjadi perubahan).

Jika (5.6) disubstitusikan ke (5.5), maka diperoleh

Persamaan (5.7) bersama dengan fungsi kendala n

∆δ i

m

− ∑ aij ∆u j = ∆ (ln ci ) , i = 1,..., n,

δi j =1 dengan

(5.7)

n

∆(ln ci ) = ∆ (ln ci ) − ∑ δ h ∆ (ln ch ) , i = 1,..., n. h =1

(5.8)

∑ a ∆δ i =1

ij

i

=0,

j = 1,..., m,

(5.9)

dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut (lihat Lampiran 9)

18

⎛ W -1 ⎜ ⎝ A'

( ∆δ ,..., ∆δ

⎛ ∆δ1 ⎞ ⎛ ∆ (ln c1 ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⎞ ⎜ ∆δ n ⎟ ⎜ ∆(ln cn ) ⎟ ⎟=⎜ ⎟, ⎟⎜ 0 ⎠ ⎜ −∆u j ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −∆um ⎠ ⎝ 0 ⎠

1

(5.10)

δ3

⎛ a11 ⎜ A=⎜ ⎜a ⎝ n1

a1m ⎞ ⎟ ⎟. anm ⎟⎠

0

0

∆u = ( ∆u j ,..., ∆um ) dapat diabaikan.

(Beightler & Phillips, 1976) 0⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ δ n ⎟⎠

dan

Persamaan menjadi

(5.10)

dapat

⎛ ∆δ1 ⎞ ⎛ ∆ (ln c1 ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∆δ n ⎟ ⎜ ∆ (ln cn ) ⎟ S⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ −∆u j ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −∆um ⎠ ⎝ 0 ⎠

, ∆u j ,..., ∆um ) .

Karena yang diamati adalah perubahan terhadap solusi optimum PGD, maka solusi SPL hasil penghitungan yang dipilih adalah vektor ∆δ = ( ∆δ1 ,..., ∆δ n ) , sedangkan vektor

dengan ⎛ δ1 0 ⎜ ⎜ 0 δ2 0 W=⎜ ⎜ ⎜ ⎜0 0 ⎝

n

disederhanakan

(5.11)

dengan ⎛ W -1 A ⎞ S=⎜ (5.12) ⎟. ⎝ A' 0 ⎠ Keterangan W −1 = matriks invers dari matriks W, A ' = matriks transpos dari matriks A, ∆δ i = perubahan nilai variabel dual, untuk i = 1,..., n, ∆ci = perubahan koefisien fungsi objektif PGP, untuk i = 1,..., n, ∆u j = perubahan nilai pengali Lagrange,

untuk j = 1,..., m. Persamaan (5.11) merupakan suatu SPL dengan vektor solusi

Contoh 5.1 Dari hasil penghitungan Contoh 4.1.2 akan diperlihatkan bahwa solusi PGD akan berubah jika terjadi perubahan terhadap salah satu atau beberapa koefisien fungsi objektif. Pada contoh ini hanya akan dilakukan penghitungan jika terjadi perubahan terhadap c2 (koefisien fungsi objektif) dengan beberapa skala perubahan. Perubahan terhadap c1 , c3 , atau c4 tidak akan dibahas pada contoh ini. Penghitungan tersebut dapat dilakukan sebagai berikut Dari fungsi objektif pada Contoh 4.1.2 diperoleh matriks ⎛ 3 −3 ⎞ ⎜ ⎟ −2 1 ⎟ . A=⎜ ⎜1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 −1 ⎠ Dari hasil penghitungan solusi PGD diperoleh matriks 0 0 0 ⎞ ⎛ 0.0457 ⎜ ⎟ 0 0.3638 0 0 ⎟ , W=⎜ ⎜ 0 0 0.1819 0 ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 0.4086 ⎠ ⎝ 0 sehingga ⎛ 1 ⎜ 0.0457 ⎜ ⎜ 0 ⎜ −1 W =⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜⎜ 0 ⎝

0

0

1 0.3638

0

0

1 0.1819

0

0

Dari Persamaan (5.12) diperoleh

⎞ ⎟ ⎟ 0 ⎟⎟ ⎟. 0 ⎟ ⎟ 1 ⎟⎟ ⎟ 0.4086 ⎠ 0

19

⎛ 1 ⎜ 0.0457 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ S=⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 3 ⎜⎜ ⎝ −3

0

0

0

1 0.3638

0

0

0

1 0.1819

0

0

0

−2 1

1 1

a) Misalkan c2 ditingkatkan 5% dari c2 = 4 menjadi c2 = 4.2 . Karena ∆(ln ch ) = 0, untuk h = 1,3, 4, maka 4

∑ δ ∆(ln c ) = δ h =1

h

h

2

(ln 4.2 − ln 4)

= (0.3638)(ln 4.2 − ln 4) = 0.0177.

⎞ −3 ⎟ ⎟ −2 1 ⎟⎟ ⎟ 1 1 ⎟. ⎟ ⎟ 1 −1 ⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0 ⎟⎠ 3

1 0.4086 1 −1

0.1822

0.4067

⎛ 1 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0.1822 ⎝ ⎠ ⎝ 0.4067 ⎠ = 13.3064, dan solusi optimum PGP x*' menjadi 2 x1*'3 x2*'− 3 = δ1*' v(δ* ' )

=0.0467(13.3064) *'3 *' − 3 1 2

x x

= 0.3107

3(ln x1*' − ln x2*' ) = ln 0.3107 ln x1*' − ln x2*' = −0.3896

Dari Persamaan (5.8), diperoleh

(i)

4

∆(ln c2 ) = ∆(ln c2 ) − ∑ δ h ∆ (ln ch )

x1*' x2*' = δ 3*' v(δ*' )

h =1

= (ln 4.2 − ln 4) − 0.0177 = 0.0310.

x1*' x2*' = 0.1822(13.3064) ln x1*' + ln x2*' = ln 2.4244

Untuk i = 1,3, 4 4

∆(ln ci ) = ∆(ln ci ) − ∑ δ h ∆ (ln ch )

ln x1*' + ln x2*' = 0.8856. Dari (i) dan (ii) diperoleh

(ii)

h =1

∆(ln ci ) = 0 − 0.0177 = −0.0177.

2 ln x1*' = 0.8856 − 0.3896

ln x1*' = 0.2480 Jika digunakan Persamaan (5.11), maka diperoleh perubahan variabel dual ∆δ i , untuk i = 1, 2,3, 4 (lihat Lampiran 10), sebagai berikut : ∆δ1* = 0.0010 ∆δ 3* = 0.0003 ∆δ 2* = 0.0007 ∆δ 4* = −0.0019, sehingga solusi optimum PGD menjadi δ1*' = 0.0457 + 0.0010 = 0.0467

δ 2*' = 0.3638 + 0.0007 = 0.3645 δ 3*' = 0.1819 + 0.0003 = 0.1822 δ 4*' = 0.4086 − 0.0019 = 0.4067, dan diperoleh nilai solusi optimum yang baru adalah f (x*' ) = v(δ* ' ) ⎛ 2 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 0.0467 ⎠

0.0467

⎛ 4.2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 0.3645 ⎠

0.3645

(iii)

x =e = 1.2814. Dari (ii) dan (iii) diperoleh *' 1

0.2480

ln x2*' = 0.8856 − 0.2480 = 0.6376 x2*' = e0.6376 = 1.8920.

Jadi solusi optimum PGP x*' yang baru adalah x*' = ( x1*' , x2*' ) = (1.2814,1.8920) . Keterangan x*' = vektor solusi PGP setelah terjadi perubahan, δ*' = vektor solusi PGD setelah terjadi perubahan.

20

Dengan demikian, jika terjadi peningkatan 5% pada c2 , maka terjadi perubahan terhadap nilai solusi optimum masalah PGD sebesar ⎛ 13.3064 − 13.0692 ⎞ ⎜ ⎟ x100% = 1.8147%. 13.0692 ⎝ ⎠

Di bawah ini diberikan tabel merupakan hasil penghitungan perubahan terhadap c2 (koefisien) objektif masalah PG pada Contoh dengan beberapa skala perubahan Lampiran 10).

yang untuk fungsi 4.1.2 (lihat

Tabel 5.1 Pengaruh Perubahan Koefisien c2 Terhadap Solusi Optimum PGD/PGP

Peningkatan c2

Penurunan c2

5%

10%

20%

50%

* 1

0.0010

0.0019

0.0036

0.0081

-0.001

-0.0021

-0.0044 -0.0138

∆δ 2*

0.0007

0.0013

0.0024

0.0054

-0.0007

-0.0014

-0.003

∆δ

* 3

0.0003

0.0006

0.0012

0.0027

-0.0003

-0.0007

-0.0015 -0.0046

∆δ

* 4

∆δ

5%

10%

20%

50% -0.0092

-0.0019

-0.0038

-0.0072

-0.0161

0.0021

0.0042

0.0089

0.0276

δ

*' 1

0.0467

0.0476

0.0493

0.0538

0.0447

0.0436

0.0413

0.0319

δ

*' 2

0.3645

0.3651

0.3662

0.3692

0.3631

0.3624

0.3608

0.3546

δ

*' 3

0.1822

0.1825

0.1831

0.1846

0.1816

0.1812

0.1804

0.1773

δ

*' 4

0.4067

0.4048

0.4014

0.3925

0.4107

0.4128

0.4175

0.4362

*'

v(δ )

= f (x*' )

13.3064

13.5314

13.9684

15.1661

12.8301

12.5787

12.0554 10.1869

*' 1

1.2814

1.3010

1.3389

1.4500

1.2395

1.2169

1.1697

0.9928

*' 2

x

1.8920

1.8981

1.9103

1.9429

1.8797

1.8731

1.8593

1.8193

Persentase ∆v(δ*' )

1.8147 %

3.5365 %

6.8802 %

16.0447 %

-1.8295 %

-3.7527 %

-7.7573 -22.0544 % %

x

Dari Tabel 5.1 dapat diambil kesimpulan bahwa nilai solusi optimum PGD/PGP akan meningkat atau menurun jika terjadi peningkatan atau penurunanan salah satu koefisien fungsi objektif PGP. Perubahan koefisien fungsi objektif tidak hanya dapat dilakukan terhadap salah satu koefisien saja (dalam contoh ini hanya pada c2 ), tetapi terhadap setiap koefisien dengan skala perubahan yang berbeda-beda atau skala perubahannya sama. Berikut ini diberikan penghitungan analisis sensitivitas jika terjadi perubahan terhadap semua koefisien ( ci , untuk i = 1, 2,3, 4 ) dengan skala perubahan yang sama.

Contoh 5.2 Misalkan setiap ci untuk PG pada Contoh 4.1.2 ditingkatkan nilainya sebesar 5%, maka 4

∑ δ ∆(ln c ) h =1

i

= δ1 (ln 2.1 − ln 2) + δ 2 (ln 4.2 − ln 4) + δ 3 (ln1.05 − ln1) + δ 4 (ln 8.4 − ln 8) = 0.0460(0.048790) + 0.3640(0.048790) + 0.1820(0.048790) + 0.4080(0.048790) = 0.048790(0.040 + 0.3640 + 0.1820 + 0.4080) = 0.048790164.

Dari Persamaan (5.8) diperoleh 4

∆(ln ci ) = ∆(ln ci ) − ∑ δ h ∆(ln ch ) h =1

∆(ln c1 ) = 0.048790 − 0.048790 = 0 ∆(ln c2 ) = 0.048790 − 0.048790 = 0 ∆(ln c3 ) = 0.048790 − 0.048790 = 0 ∆(ln c4 ) = 0.048790 − 0.048790 = 0.

Dari Persamaan (5.11) diperoleh ∆δ i* = 0 untuk i = 1, 2,3, 4 .

h

Jadi solusi optimum PGD menjadi

21

δ*' = δ* = (0.0457, 0.3638, 0.1819, 0.4086) , sehingga nilai solusi optimum PGD menjadi ⎛ 2.1 ⎞ v(δ* ' ) = ⎜ ⎟ ⎝ 0.0457 ⎠ ⎛ 1.05 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 0.1819 ⎠ = 13.7227,

0.0457

0.1819

⎛ 4.2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 0.3657 ⎠

⎛ 8.4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 0.4086 ⎠

0.3657

0.4086

dan perubahan nilai solusi optimumnya sebesar ⎛ 13.7227 − 13.0692 ⎞ ∆v(δ* ) = ⎜ ⎟ x100% 13.0692 ⎝ ⎠ = 5.0003% ≈ 5%.

VI SIMPULAN DAN SARAN 6.1 Simpulan Pemrograman geometrik (PG) merupakan bagian dari pengoptimuman konveks. Dilihat dari ada atau tidak adanya kendala, maka PG dibedakan menjadi 2 jenis, yaitu PG takberkendala dan PG berkendala. PG takberkendala adalah PG yang berfungsi objektif meminimumkan dan tidak disertai fungsi kendala, sedangkan PG berkendala adalah PG yang berfungsi objektif meminimumkan dan disertai fungsi kendala sesuai dengan ciri-ciri PG. Pemrograman geometrik yang berfungsi objektif meminimumkan disebut pemrograman geometrik primal (PGP). Dalam menentukan solusi PGP terlebih dahulu ditentukan dual dari PGP tersebut. Dual dari masalah PGP disebut pemrograman geometrik dual (PGD). PGD berfungsi objektif memaksimumkan dan disertai fungsi kendala yang memenuhi kondisi kepositifan, normalitas dan ortogonalitas. Dari solusi optimum PGD dapat diperoleh solusi optimum PGP. Jika terjadi perubahan terhadap koefisien fungsi objektif PG takberkendala maka akan

terjadi perubahan terhadap nilai solusi optimum PGD maupun nilai solusi optimum PGP. Berdasarkan hasil penghitungan pada Contoh 5.1, jika dilakukan peningkatan atau penurunan terhadap suatu koefisien fungsi objektif maka akan terjadi peningkatan atau penurunan nilai solusi optimum PGD.

6.2 Saran Bagi yang berminat membuat karya tulis yang berhubungan dengan pemrograman geometrik dapat mencari permasalahan nyata dalam kehidupan sehari-hari dan memodelkannya ke bentuk pemrograman geometrik serta menentukan solusinya. Kemudian dapat melakukan analisis sensitivitas terhadap PG berkendala atau analisis yang lainya terhadap PG takberkendala maupun PG berkendala.

DAFTAR PUSTAKA Bazaraa, M.S., H.D. Sherali, C.M. Shetty. 1979. Nonlinear Programming Theory and Algorithms. Second edition. John Wiley & Sons, New York. Beightler, C.S. and D.T. Phillips. 1976. Applied Geometric Programming. John Wiley & Sons, New York. Boyd, S and Vandenberghe, L. 2004.

Convex Optimization. Cambridge, Cambridge University Press. www.stanford.edu/~boyd/reports/gp_tutori al.pdf. [12-10-2006] Boyd, S. P., Kim, S. J., Hassibi, A. ,and Vandenberghe, L. 2006. A Tutorial on Geometric Programming. www.stanford.edu/~boyd/reports/gp_tutori al.pdf. [15-08-2006]

22

Kuhn, M. 2006. The Karush-Kuhn-Tucker Theorem. http://webrum.unimannheim.de/vwl/mokuhn/public/Karush KuhnTucker.pdf. [27-06-2007] 2003. Metode Munir, R. Informatika, Bandung.

Numerik.

Peressini, A.L., F.E. Sullivan, J.J. Uhl, Jr.

1988. The Mathematics of Nonlinear Programming. Springer-Verlag, New York. Stewart, J. 1998. Kalkulus. Jilid I. Edisi keempat. Terjemahan I Nyoman Susila dan Hendra Gunawan. Erlangga, Jakarta. Terjemahan dari : Calculus.

LAMPIRAN

24

Lampiran 1 Pembuktian Fungsi Konveks pada Contoh 2.2.2 1. Misalkan diberikan f 0 (x) = x12 + x22 Akan dibuktikan f 0 fungsi konveks. Misalkan x = ( x1 , x2 ), y = ( y1 , y2 ) dan untuk setiap konstanta λ dengan 0 ≤ λ ≤ 1 maka f 0 (λ x + (1 − λ )y ) − λ f 0 (x) − (1 − λ ) f 0 (y ) = (λ x1 + (1 − λ ) y1 ) 2 + (λ x2 + (1 − λ ) y2 ) 2 − λ ( x12 + x22 ) − (1 − λ )( y12 + y22 ) = λ 2 x12 + 2λ (1 − λ ) x1 y1 + (1 − λ ) 2 y12 + λ 2 x22 + 2λ (1 − λ ) x2 y2 + (1 − λ ) 2 y22 − λ x12 − λ x22 − (1 − λ ) y12 − (1 − λ ) y22 = λ x12 (λ − 1) + (1 − λ ) y12 (1 − λ − 1) + 2λ (1 − λ ) x1 y1 + λ x22 (λ − 1) + (1 − λ ) y22 (1 − λ − 1) + 2λ (1 − λ ) x2 y2 = −λ (1 − λ ) x12 − λ (1 − λ ) y12 + 2λ (1 − λ ) x1 y1 − λ (1 − λ ) x22 − λ (1 − λ ) y22 + 2λ (1 − λ ) x2 y2 = −λ (1 − λ )( x12 + y12 − 2 x1 y1 ) − λ (1 − λ )( x22 + y22 − 2 x2 y2 ) = −λ (1 − λ )[( x1 − y1 ) 2 + ( x2 − y2 ) 2 ] ≤ 0 karena 0 ≤ λ ≤ 1. Jadi f 0 (λ x + (1 − λ )y ) ≤ λ f 0 (x) + (1 − λ ) f 0 ( y ) untuk 0 ≤ λ ≤ 1,

sehingga berdasarkan Definisi 2.2.2 terbukti bahwa f0 adalah fungsi konveks. 2. Diberikan f1 (x) = x1 Akan dibuktikan f1 fungsi konveks. Misalkan x = ( x1 , x2 ), y = ( y1 , y2 ) dan 0 ≤ λ ≤ 1 maka f1 (λ x + (1 − λ ) y ) − λ f1 ( x) − (1 − λ ) f1 (y ) = λ x1 + (1 − λ ) y1 − λ x1 − (1 − λ ) y1 ≤ 0. Jadi f1 (λ x + (1 − λ )y ) ≤ λ f1 ( x) + (1 − λ ) f1 ( y )

sehingga berdasarkan Definisi 2.2.2 terbukti bahwa f1 adalah fungsi konveks.

Lampiran 2 Pembuktian Teorema 2.2.3 (Pertaksamaan A-G) (i) Teorema Pertaksamaan A-G dapat diperiksa dengan menggunakan kekonveksan fungsi. Misalkan diberikan fungsi 1 f ( x) = − ln x , terdefinisi untuk x > 0. Karena f ''( x) = 2 > 0, maka menurut Teorema 2.2.1, x f merupakan fungsi konveks sempurna. Selanjutnya jika x1 , x2 ,..., xn dan δ1 , δ 2 ,..., δ n bilanganbilangan real positif dengan δ1 + δ 2 + ... + δ n = 1, maka menurut Teorema 2.2.2 diperoleh ⎛ n ⎞ n f ⎜ ∑ δ i xi ⎟ ≤ ∑ δ i f (xi ) ⎝ i =1 ⎠ i =1

⎛ n ⎞ n ⇒ − ln ⎜ ∑ δ i xi ⎟ ≤ ∑ δ i (− ln( xi )) ⎝ i =1 ⎠ i =1

25

n ⎛ n ⎞ ⇒ − ln ⎜ ∑ δ i xi ⎟ ≤ −∑ δ i ln( xi ) i =1 ⎝ i =1 ⎠ n ⎛ n ⎞ n ⇒ ln ⎜ ∑ δ i xi ⎟ ≥ ∑ δ i ln( xi ) = ∑ ln( xi )δi i =1 ⎝ i =1 ⎠ i =1

⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⇒ ln ⎜ ∑ δ i xi ⎟ ≥ ln ⎜ ∏ ( xi )δi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ n

n

i =1

i =1

⇒ ∑ δ i xi ≥ ∏ ( xi )δi (karena fungsi logaritma natural merupakan fungsi naik)

(ii) Akan dibuktikan

n

n

∑ δ x = ∏ ( x )δ i =1

i i

↔ x1 = x2 = ... = xn .

i

i

i =1

Bukti a) (←) Diketahui x1 = x2 = ... = xn . Akan dibuktikan

n

n

∑ δ x = ∏ ( x )δ i i

i =1

i

i =1

i

.

Bukti n

∑δ x

i i

i =1

= δ1 x1 + δ 2 x2 + ... + δ n xn = δ1 x1 + δ 2 x1 + ... + δ n x1 (karena x1 = x2 = ... = xn ) = (δ1 + δ 2 + ... + δ n ) x1 = x1 (karena δ1 + δ 2 + ... + δ n = 1 ) = ( x1 )1 = ( x1 )(δ1 +δ 2 +...+δ n ) = x1δ1 x1δ 2 ...x1δ n

= x1δ1 x2δ 2 ...xnδ n

(karena x1 = x2 = ... = xn )

n

= ∏ ( xi )δi . i =1

■ terbukti b) (→) n

n

Diketahui

∑ δ x = ∏ ( x )δ i =1

i i

.

i

i

i =1

Akan dibuktikan x1 = x2 = ... = xn . Bukti Andaikan x j ≠ xk , untuk beberapa j ≠ k , dengan j = 1, 2,..., n dan k = 1, 2,..., n . Akan dibuktikan n

n

∑ δ x ≠ ∏ ( x )δ i =1

i i

i =1

i

i

Bukti Misalkan

n

n

∑ δ x = ∏ ( x )δ i =1

i i

i =1

i

i

.

(1)

Terlihat bahwa (1) dapat terpenuhi hanya jika xi = 0 untuk 1 ≤ i ≤ n , ini tidak memenuhi karena xi > 0, dan δ i > 0, untuk 1 ≤ i ≤ n , sehingga yang memenuhi adalah

26

n

n

∑ δ x ≠ ∏ ( x )δ i i

i =1

, untuk xi , δ i > 0,

i

i

i =1

Jadi terbukti bahwa, jika x j ≠ xk , untuk beberapa j ≠ k , dengan j = 1, 2,..., n dan k = 1, 2,..., n , maka n

n

∑ δ x ≠ ∏ ( x )δ .

(2)

i

i i

i =1

i

i =1

Jadi diperoleh kontrapositif dari (2) adalah jika

n

n

∑ δ x = ∏ ( x )δ i =1

i i

i

i

i =1

maka x1 = x2 = ... = xn . ■ terbukti

Dari a) dan b) terbukti bahwa

n

n

∑ δ x = ∏ ( x )δ i i

i =1

i =1

i

i

↔ x1 = x2 = ... = xn .

Dari (i) dan (ii) Teorema 2.2.3 terbukti.

Lampiran 3 Pembuktian Teorema 2.2.4 (Perluasan Pertaksamaan A-G) (ii) Misalkan δ i semuanya positif maka

δi positif dan λ

δ δ1 δ 2 λ + + ... + n = = 1 , untuk i = 1, 2,..., n . λ λ λ λ Jika digunakan Teorema 2.2.3 (Pertaksamaan A-G) maka diperoleh ⎛ δi ⎞ ⎜ ⎟

⎛ δ ⎞ ⎛ λ x ⎞ n ⎛ λ x ⎞⎝ λ ⎠ xi = ∑ ⎜ i ⎟ ⎜ i ⎟ ≥ ∏ ⎜ i ⎟ , ∑ i =1 i =1 ⎝ λ ⎠ ⎝ δ i ⎠ i =1 ⎝ δ i ⎠ dengan persamaannya berlaku jika dan hanya jika λx λ x1 λ x2 = = ... = n . n

δ1

n

δ2

(3)

δn

Jika ruas kiri dan ruas kanan pertaksamaan (3) dipangkatkan λ maka diperoleh δi

λ

δi

δi

n n n ⎛ λ xi ⎞ ⎛ xi ⎞ ⎛ xi ⎞ ⎛ n ⎞ (δ1 + ...+ δ n ) λ ⎜ ⎟ = λ ∏⎜ ⎟ . ∏ ⎜ ∑ xi ⎟ ≥ ∏ ⎜ δ ⎟ = λ δ = 1 i = = = 1 1 1 ⎝ ⎠ i i i ⎝ i ⎠ ⎝ i⎠ ⎝ δi ⎠

Jadi δi

λ

n ⎛ xi ⎞ ⎛ n ⎞ λ ⎜ ∑ xi ⎟ ≥ λ ∏ ⎜ δ ⎟ . ⎝ i =1 ⎠ i =1 ⎝ i ⎠

(ii) Misalkan

λ xi = M , dengan M bilangan real positif, untuk i = 1, 2,..., n , maka δi n n M δi M n M xi = ∑ = δi = λ = M , ∑ ∑ λ λ λ i =1 i =1 i =1

sehingga xi =

M δi

λ

=

δi λ

n

∑x i =1

i

.

Jadi persamaan terpenuhi. Berdasarkan (i) dan (ii) Teorema 2.2.4 terbukti.

27

Lampiran 4 1. Pembuktian F (y) = lnf (e y ) Merupakan Fungsi Konveks Misalkan didefinisikan fungsi posinomial f sebagai berikut m

f (x) = ∑ ck x1a1k x2a2 k ...xnank , dengan ck konstanta positif, xi > 0, aik ∈

untuk 1 ≤ i ≤ n.

k =1

Misal F (y ) = ln f (e y ), dengan e y = (e y1 , e y2 ,..., e yn ). Akan dibuktikan F adalah fungsi konveks.

Bukti (i) Akan dibuktikan terlebih dahulu F (θ y + (1 − θ )z ) ≤ θ F (y ) + (1 − θ ) F (z ) untuk 0 < θ < 1 . Bukti Ambil sembarang y = ( y1 , y2 ,..., yn ), z = ( z1 , z2 ,..., zn ) di n , dan sembarang θ dengan 0 < θ < 1 , maka f (eθ y + (1−θ ) z ) = f (eθ y e(1−θ ) z ) = f (eθ y1 e(1−θ ) z1 , eθ y2 e(1−θ ) z2 ,..., eθ yn e(1−θ ) zn ) n

m

(

θ yj

(

a jk y jθ

(

a jk y j

) (e )

(

a jk y j

) ∏ (e )

= ∑ ck ∏ e k =1

j =1

m

n

= ∑ ck ∏ e k =1

j =1

m

n

k =1

j =1

m

n

k =1

j =1

= ∑ ck ∏ e

= ∑ ck ∏ e

e

(1−θ ) z j

e

)

a jk

a jk z j (1−θ )

θ

a jk z j

θ

n

) (1−θ )

a jk z j

(1−θ )

.

(4)

j =1

Misalkan ck = Ak Bk , dengan Ak , Bk konstanta positif, maka persamaan (4) ekuivalen dengan

(

f ( eθ y + (1−θ ) z ) = ∑ Ak ∏ e n

m

k =1

1

j =1

a jk y j

) B ∏ (e ) θ

n

k

a jk z j

(1−θ )

.

j =1

1 , dengan 0 < θ < 1 maka p > 1, q > 1, dan 1−θ 1 1 1 1 + = + = θ + (1 − θ ) = 1 , 1 1 p q θ 1−θ sehingga menurut pertaksamaan Holder (Teorema 2.1.4) berlaku Misalkan p =

∑ A ∏ (e n

m

k =1

k

θ

a jk y j

, q=

) B ∏ (e ) θ

k

j =1

n

(

Karena Ak ∏ e j =1

⎛ m n a jk y j ⎜ A ∑ ∏ ⎜ k =1 k j =1 e ⎜ ⎝

(

n

1

)

θ θ

a jk y j

θ

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

a jk z j

(1−θ )

j =1

)

θ

n

⎛ m n a y ≤ ⎜⎜ ∑ Ak ∏ e jk j k = 1 j = 1 ⎜ ⎝

(

(

> 0 , Bk ∏ e j =1

⎛ m n a jk z j ⎜ B ∑ ∏ ⎜ k =1 k j =1 e ⎜ ⎝

(

a jk z j

)

)

(1−θ )

1 (1−θ ) 1−θ

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

1

)

θ θ

> 0 , maka (1−θ )

θ

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ m n a z ⎜ Bk ∏ e jk j ⎜∑ k = 1 j = 1 ⎜ ⎝

(

)

1 (1−θ ) 1−θ

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(1−θ )

.

28

⎛ m n ⎛ a y = ⎜⎜ ∑ ⎜ Ak ∏ e jk j ⎜ k =1 ⎝ j =1 ⎝

(

θ

)

θ

1 ⎞ ⎛ n ⎞θ ⎟ ⎜ m ⎛ a jk z j ⎟ ⎟ ⎜ ∑ ⎜ Bk ∏ e ⎠ ⎟ ⎜ k =1 ⎝ j =1 ⎠ ⎝

(

θ

1 n ⎛ m 1 n a y ⎞ ⎛ m ⎞ a z = ⎜ ∑ Ak θ ∏ e jk j ⎟ ⎜ ∑ Bk 1−θ ∏ e jk j ⎟ j =1 j =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠

(

)

(

)

)

(1−θ )

1 ⎞ ⎞1−θ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎟ ⎠

(1−θ )

(1−θ )

.

Jadi θ

(1−θ )

1 n ⎛ m 1 n a y ⎞ ⎛ m ⎞ a z f ( eθ y + (1−θ ) z ) ≤ ⎜ ∑ Ak θ ∏ e jk j ⎟ ⎜ ∑ Bk 1−θ ∏ e jk j ⎟ . j =1 j =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ Karena fungsi logaritma merupakan fungsi naik di + , maka

(

)

(

)

(1−θ ) 1 n ⎡⎛ m 1 n a y ⎞θ ⎛ m ⎤ a jk z j ⎞ θ y + (1−θ ) z jk j 1 θ − θ ⎡ ⎤ ln ⎣ f ( e )⎦ ≤ ln ⎢⎢⎜ ∑ Ak ∏ e ⎟ ⎜ ∑ Bk ∏ e ⎟ ⎥⎥ j =1 j =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ ⎣⎝ k =1 ⎦

(

)

(

θ

)

(1−θ )

1 n ⎛ m 1 n a y ⎞ ⎛ n ⎞ a z = ln ⎜ ∑ Ak θ ∏ e jk j ⎟ + ln ⎜ ∑ Bk 1−θ ∏ e jk j ⎟ j =1 j =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ 1 n 1 n m m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a y a z = θ ln ⎜ ∑ Ak θ ∏ e jk j ⎟ + (1 − θ ) ln ⎜ ∑ Bk 1−θ ∏ e jk j ⎟ j =1 j =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ n n m ⎛ m ⎞ ⎛ ⎞ a y a z = θ ln ⎜ ∑ cl ∏ e jk j ⎟ + (1 − θ ) ln ⎜ ∑ ct ∏ e jk j ⎟ l t = 1 = 1 j j 1 1 = = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

)

(

(

)

)

(

(

)

1

(

)

1

(dengan cl = Ak θ > 0 , ct = Bk 1−θ > 0 ) = θ ln f (e y ) + (1 − θ ) ln f (e z ) F (θ y + (1 − θ ) z ) ≤ θ F (y ) + (1 − θ ) F (z ) . ■ terbukti

(ii) Akan dibuktikan F (θ y + (1 − θ ) z ) ≤ θ F (y ) + (1 − θ ) F (z ) untuk θ = 0 . Bukti f (eθ y + (1−θ ) z ) = f (eθ y e(1−θ ) z ) = f (eθ y e(1−θ ) z )

= f (e z ) (karena θ = 0 ) ln f (eθ y + (1−θ ) z ) = ln f (ez ) = 0 ln f (e y ) + (1 − 0) ln f (e z ) = θ ln f (e y ) + (1 − θ ) ln f (e z ) (karena θ = 0 ) ≤ θ ln f (e y ) + (1 − θ ) ln f (e z ) F (θ y + (1 − θ ) z ) ≤ θ F (y ) + (1 − θ ) F (z ) untuk θ = 0 . ■ terbukti

(iii) Akan dibuktikan F (θ y + (1 − θ ) z ) ≤ θ F (y ) + (1 − θ ) F (z ) untuk θ = 1 .

Bukti f (eθ y + (1−θ ) z ) = f (eθ y e(1−θ ) z )

)

29

= f (eθ y e(1−θ ) z ) = f (e y ) (karena θ = 1 ) θ y + (1−θ ) z ln f (e ) = ln f (e y ) = 1.ln f (ey ) + (1 − 1) ln f (e z ) = θ ln f (e y ) + (1 − θ ) ln f (e z ) (karena θ = 1 ) ≤ θ ln f (e y ) + (1 − θ ) ln f (e z )

F (θ y + (1 − θ ) z ) ≤ θ F (y ) + (1 − θ ) F (z ) untuk θ = 1 . ■ terbukti Dari (i), (ii), dan (iii) terbukti bahwa F (θ y + (1 − θ )z ) ≤ θ F (y ) + (1 − θ ) F (z ) , untuk 0 ≤ θ ≤ 1 . Jadi menurut Definisi 2.2.2 terbukti bahwa F fungsi konveks.

2. Pembuktian Meminimumkan f 0 Ekuivalen dengan Meminimumkan ln( f 0 ) Misalkan diberikan fungsi posinomial f 0 dengan K

f 0 (x) = ∑ ck x1a1k x2a2 k ... xnank . k =1

Sebelum membuktikan meminimumkan f 0 ekuivalen dengan meminimumkan ln( f 0 ) , terlebih dahulu akan diperlihatkan bahwa f 0 (x) > 0 ( f 0 (x) ∈ f 0 . Karena ck > 0 , xi > 0 dan aik ∈

Terlihat bahwa f 0 (x) ∈

+

+

) untuk setiap x ∈ D f0 , dengan D f0 daerah asal fungsi K

maka f 0 (x) = ∑ ck x1a1k x2a2 k ...xnank > 0 , untuk setiap x ∈ D f0 . k =1

.

Selanjutnya akan dibuktikan meminimumkan f 0 ekuivalen dengan meminimumkan ln( f 0 ) Bukti Misalkan f 0 minimum di x* = ( x1* , x2* ,..., xn* ) , untuk suatu x* ∈ D f0 maka f 0 (x* ) ≤ f 0 (x) , ∀x ∈ D f0 K

K a a a ≤ ∑ ck x1 1k x2 2 k ... xn nk

⇔ ∑ ck x1* a1k x2* a2 k ...xn* ank k =1

K

⇔ ln[ ∑ ck x1 k =1

* a1 k

* a2 k

x2

(menurut Definisi 2.1.6)

k =1

* ank

... xn

]≤

K

ln[ ∑ ck x1a1k x2a2 k ... xnank ] k =1

(karena fungsi logaritma merupakan fungsi naik di ⇔ ln[ f 0 (x* )] ≤ ln[ f 0 (x)] .

+

)

Berdasarkan Definisi 2.1.6, ln( f 0 ) minimum di x* = ( x1* , x2* ,..., xn* ) , untuk suatu x* ∈ D f0 dan ∀x ∈ D f0 .

Jadi terbukti meminimumkan f 0 ekuivalen dengan meminimumkan ln( f 0 ).

30

Lampiran 5 Pembuktian Teorema 4.1.1 Sebelum membuktikan Teorema 4.1.1 maka terlebih dahulu akan diperlihatkan bahwa ui (x* ) > 0 dan g (x* ) > 0 . Misalkan ui (x) = ci x1ai1 ...xmaim , dengan x = ( x1 , x2 ..., xn ), xi > 0 untuk 1 ≤ i ≤ n , maka ui (x* ) = ci ( x1* ) ai1 ...( xm* ) aim > 0 Didefinisikan

(karena ci konstanta positif dan xi* > 0 ), untuk 1 ≤ i ≤ n .

n

g (x) = ∑ ui ( x) , dengan x = ( x1 , x2 ..., xn ), xi > 0 untuk 1 ≤ i ≤ n , maka i =1

n

g (x ) = ∑ ui (x* ) > 0 *

i =1

(karena ui (x* ) > 0 ), untuk 1 ≤ i ≤ n .

Bukti Teorema 4.1.1 Misalkan ui (x) = ci x1ai1 ...xmaim m

= ∏ cx j ij . a

j =1

Turunan parsial dari ui (x) terhadap x j adalah ∂ui = cai1 x1ai1 −1 x2ai 2 ...xmaim ∂x1 x1

∂ui = ai1cx1ai1 x2ai 2 ...xmaim ∂x1

x1

∂ui = ai1ui ∂x1

∂ui = cai 2 x1ai1 x2ai 2 ...xmaim ∂x2

x2

∂ui = ai 2 cx1ai1 x2ai 2 ...xmaim ∂x2 = ai 2 ui

xj

∂ui = aij ui , untuk 1 ≤ j ≤ m dan 1 ≤ i ≤ n . ∂x j

Karena x* = ( x1* , x2* ,..., xm* ) merupakan minimizer untuk g ( x) , maka n ∂u ∂g * ( x ) = ∑ i ( x* ) = 0, untuk j = 1, 2,..., m ∂x j i =1 ∂x j n

∑ a u (x ) = 0 . i =1

*

ij i

(5)

Karena g (x* ) > 0 , maka ruas kiri dan ruas kanan persamaan (5) dapat dibagi dengan g (x* ) ⎛ ui (x* ) ⎞ (6) =0. ⎜ * ⎟ i =1 ⎝ g (x ) ⎠ u ( x* ) Misalkan δ i* = i * , untuk 1 ≤ i ≤ n , sehingga persamaan (6) menjadi g (x ) n

∑a

ij

31

⎛ ui (x* ) ⎞ n a = ∑ aij δ i* = 0 ∑ ij ⎜ * ⎟ i =1 ⎝ g (x ) ⎠ i =1 n

maka δ* = (δ1* ,..., δ n* ) memenuhi kondisi ortogonalitas untuk PGD, juga ui (x* ) > 0 , untuk 1 ≤ i ≤ n (karena ui ( x* ) > 0 dan g (x* ) > 0 ), g ( x* ) sehingga kondisi kepositifan terpenuhi, dan

δ i* =

n

⎛ u (x ) ⎞ δ = ∑⎜ i * ⎟ = ∑ i =1 i =1 ⎝ g ( x ) ⎠ n

*

n

* i

∑ u (x ) *

i =1

i

g ( x* )

=

g ( x* ) = 1, g ( x* )

sehingga kondisi normalitas terpenuhi. Karena kondisi ortogonalitas, kepositifan, dan normalitas terpenuhi maka vektor δ * fisibel untuk masalah PGD, sehinnga PGD konsisten. Selanjutnya *

*

*

g (x* ) = ( g (x* ))δ1 +δ 2 +...+δ n *

*

*

= ( g (x* ))δ1 ( g (x* ))δ 2 ...( g ( x* ))δ n δ1*

δ 2*

⎛ u ( x* ) ⎞ ⎛ u ( x* ) ⎞ ⎛ u ( x* ) ⎞ = ⎜ 2 * ⎟ ⎜ 2 * ⎟ ... ⎜ n * ⎟ ⎝ δ1 ⎠ ⎝ δ 2 ⎠ ⎝ δn ⎠ δ1*

δ 2*

δ n*

δ n*

⎛c ⎞ ⎛c ⎞ ⎛c ⎞ = ⎜ 1* ⎟ ⎜ 2* ⎟ ... ⎜ n* ⎟ ⎝ δ1 ⎠ ⎝ δ 2 ⎠ ⎝ δn ⎠ * = v(δ ) .

Vektor δ* merupakan suatu solusi PGD, dengan u ( x* ) δ i* = i * , untuk 1 ≤ i ≤ n . g (x ) Jadi Teorema 4.1.1 terbukti.

Lampiran 6 Penghitungan Solusi Optimum PGD pada Contoh 4.1.1 Catatan Operasi Baris Dasar (OBD) terhadap matriks terdiri atas : 1. Saling menukarkan baris ke-i dengan baris ke-j, diberi notasi Eij , dengan i ≠ j . 2. Mengalikan baris ke-i dengan suatu konstanta k ≠ 0, diberi notasi Ei ( k ) . 3. Menempatkan atau mengisikan baris ke-i dengan k kali baris ke-j ditambah baris ke-i, diberi notasi Eij ( k ) , dengan i ≠ j . Untuk menentukan solusi SPL (4.1.1) bisa dilakukan OBD matriks sebagai berikut ⎛ 1 1 1 1 ⎞ E ⎛ 1 1 1 1 ⎞ E21(1) ⎛ 1 1 1 1 ⎞ E ⎛1 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ 2⎛⎜ 13 ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 32⎛⎜ − 23 ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −1 1 −1 0 ⎝ ⎠ 0 ∼ − − 3 3 3 0 0 2 0 1 2 0 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ −2 1 3 0 ⎟ ∼ ⎜ − 2 1 3 0 ⎟ E ⎜ ⎟ ∼ ⎜ 0 0 5 1/ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 31(2) ⎝ 0 3 5 2 ⎠ ⎝ ⎠ 5δ 3 =

1 1 ⇒ δ3 = 2 10

(i)

32

2δ 2 = 1 ⇒ δ 2 =

δ1 + δ 2 + δ 3 = 1

1 2

(ii) (iii)

dari (i), (ii), dan (iii) 1 1 δ1 + + = 1 2 10 4 2 δ1 = = . 10 5 Jadi solusi optimum PGD adalah ⎛2 1 1 ⎞ δ* = (δ1* , δ 2* , δ 3* ) = ⎜ , , ⎟ . ⎝ 5 2 10 ⎠

Lampiran 7 1. Penghitungan Solusi Optimum PGD pada Contoh 4.1.2 Misalkan diberikan SPL δ1 + δ 2 + δ 3 + δ 4 = 1

⎫ ⎪ 3δ1 − 2δ 2 + δ 3 + δ 4 = 0 ⎬ (4.1.3) −3δ1 + δ 2 + δ 3 − δ 4 = 0, ⎪⎭ Solusi dari SPL (4.1.3) dapat dihitung sebagai berikut ⎛ 1 1 1 1 1 ⎞ E21( −3) ⎛ 1 1 1 1 1 ⎞ ⎛1 1 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ E32(0,8) ⎜ ⎟E 3 − 2 1 1 0 0 − 5 − 2 − 2 − 3 0 − 5 − 2 − 2 −3 ⎟ 3(5) ∼ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∼ ⎜ ⎜ −3 1 1 −1 0 ⎟ E ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 2, 4 0, 4 0, 6 ⎟ ∼ ⎝ ⎠ 31(3) ⎝ 0 4 4 2 3 ⎠ ⎝ ⎠

⎛1 1 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −5 −2 −2 −3 ⎟ ⎜ 0 0 12 2 3 ⎟ ⎝ ⎠

δ1 + δ 2 + δ 3 + δ 4 = 1 (i) −5δ 2 − 2δ 3 − 2δ 4 = −3 (ii) 12δ 3 + 2δ 4 = 3, (iii) dengan δ1 , δ 2 , δ 3 , δ 4 > 0 dan δ1 + δ 2 + δ 3 + δ 4 = 1 ⇔ 0 < δ i < 1 , untuk i = 1, 2,3, 4 SPL di atas mempunyai banyak solusi dengan satu variabel bebas. Misalkan δ 3 sebagai variabel bebas, maka dari (iii) diperoleh δ 4 = 1.5 − 6δ 3 (iv) dengan 0 < δ 4 < 1 ⇔ 0 < 1.5 − 6δ 3 < 1 ⇔ 0.0833 < δ 3 < 0.2500. Dari (ii) dan (iv) diperoleh δ 2 = 2δ 3 dengan 0 < δ 2 < 1 ⇔ 0 < 2δ 3 < 1 ⇔ 0 < δ 3 < 0.5.

( A1 ) (v)

( A2 )

33

Dari (i), (iv), dan (v), δ1 = 3δ 3 − 0.5 dengan 0 < δ1 < 1

(vi)

⇔ 0 < 3δ 3 − 0.5 < 1 ⇔ 0.1667 < δ 3 < 0.5000 . ( A3 ) Menurut prosedur 2c penghitungan dilanjutkan ke prosedur 3 (pembahasan Subbab 4.1), yaitu menentukan global maximizer dari fungsi dual δ1

δ2

δ3

δ4

⎛2⎞ ⎛ 4⎞ ⎛1⎞ ⎛ 8 ⎞ v(δ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ δ1 ⎠ ⎝ δ 2 ⎠ ⎝ δ 3 ⎠ ⎝ δ 4 ⎠ 3δ 3 − 0.5

2δ 3

δ3

1.5 − 6δ 3

⎛ ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ ⎞ 2 8 =⎜ , ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3δ 3 − 0.5 ⎠ ⎝ 2δ 3 ⎠ ⎝ δ 3 ⎠ ⎝ 1.5 − 6δ 3 ⎠ dengan 0.1667 < δ 3 < 0.2500 (dari A1 , A2 , dan A 3 ) Berikut ini untuk penghitungan selanjutnya digunakan Software Mathematica 5

Misalkan t = δ 3 . Input : i

3 t−0.5 i 4 y2 t i 1 yt i 1.5−6 t 8 y y j z j z z j z z j z j z j z k t { k 1.5 − 6 t { k 3 t − 0.5 { k2t{

v@t_D := j j

2

g@t_D = v'@tD; h@t_D = v''@tD; Plot@g@tD, 8t, 0.1667, 0.2499<, PlotStyle → [email protected]<, AxesLabel → 8"δ3", "v'Hδ3L"
Output : vHδ3 L

v'Hδ3 L

13 12

200 100

11 δ3

0.18

0.22

0.24

10

-100 -200

0.18

0.22

0.24

δ3

-300

Gambar 9.1 Grafik v '(δ 3 )

Gambar 9.2 Grafik v(δ 3 )

34

v'' Hδ3 L 0.18

0.22

0.24

δ3

-20000 -40000 -60000 -80000

Gambar 9.3 Grafik v ''(δ 3 ) Dari Gambar 9.1 terlihat bahwa grafik v '(δ 3 )

memotong sumbu δ 3 pada 0.1667 < δ 3 < 0.2500.

Dalam menentukan global maximizer v(δ) terlebih dahulu ditentukan titik δ 3* yang memenuhi v '(δ 3 ) = 0 , yaitu titik potong grafik v '(δ 3 ) terhadap sumbu δ 3 . Karena v ''(δ 3 ) ≠ 0 untuk 0.1667 < δ 3 < 0.2500 (lihat Gambar 9.3), maka untuk memperoleh titik potong tersebut digunakan metode Newton Raphson. Catatan (Metode Newton Raphson) Metode Newton Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan gradien pada titik tersebut. Titik pendekatan ke n + 1 dituliskan dengan f ( xn ) , f ' ( xn ) ≠ 0 . xn +1 = xn − f ' ( xn ) Algoritma metode Newton Raphson sebagai berikut : 1. Definisikan fungsi f ( x ) dan f ' ( x ) 2. Tentukan toleransi error ( e ) dan iterasi maksimum ( n ) 3. Tentukan nilai pendekatan awal x0 4. Hitung f ( x0 ) dan f ' ( x0 )

5. Untuk iterasi i = 1,....., n atau xi +1 − xi ≤ e xi +1 = xi −

f ( xi )

f ' ( xi )

6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh. (Munir, 2003)

Penghitungan metode Newton Raphson digunakan Software Matlab 7.0.1 sebagai berikut. Misalkan t = δ 3 . Input : turunan1.m function y = turunan1(t) y = (2/(3*t-1/2))^(3*t-1/2)*(3*log(2/(3*t-1/2))-3)*(2/t)^(2*t)*(1/t)^t*(8/(3/2-6*t))^(3/2-6*t)+(2/(3*t1/2))^(3*t-1/2)*(2/t)^(2*t)*(2*log(2/t)-2)*(1/t)^t*(8/(3/2-6*t))^(3/2-6*t)+(2/(3*t-1/2))^(3*t1/2)*(2/t)^(2*t)*(1/t)^t*(log(1/t)-1)*(8/(3/2-6*t))^(3/2-6*t)+(2/(3*t-1/2))^(3*t1/2)*(2/t)^(2*t)*(1/t)^t*(8/(3/2-6*t))^(3/2-6*t)*(-6*log(8/(3/2-6*t))+6); turunan2.m function y = turunan2(t)

35

y = (2/(3*t-1/2))^(3*t-1/2)*(3*log(2/(3*t-1/2))-3)^2*(2/t)^(2*t)*(1/t)^t*(8/(3/2-6*t))^(3/2-6*t)-9*(2/(3*t1/2))^(3*t-1/2)/(3*t-1/2)*(2/t)^(2*t)*(1/t)^t*(8/(3/2-6*t))^(3/2-6*t)+2*(2/(3*t-1/2))^(3*t1/2)*(3*log(2/(3*t-1/2))-3)*(2/t)^(2*t)*(2*log(2/t)-2)*(1/t)^t*(8/(3/2-6*t))^(3/2-6*t)+2*(2/(3*t1/2))^(3*t-1/2)*(3*log(2/(3*t-1/2))-3)*(2/t)^(2*t)*(1/t)^t*(log(1/t)-1)*(8/(3/2-6*t))^(3/2-6*t)+2*(2/(3*t1/2))^(3*t-1/2)*(3*log(2/(3*t-1/2))-3)*(2/t)^(2*t)*(1/t)^t*(8/(3/2-6*t))^(3/2-6*t)*(-6*log(8/(3/26*t))+6)+(2/(3*t-1/2))^(3*t-1/2)*(2/t)^(2*t)*(2*log(2/t)-2)^2*(1/t)^t*(8/(3/2-6*t))^(3/2-6*t)-3*(2/(3*t1/2))^(3*t-1/2)*(2/t)^(2*t)/t*(1/t)^t*(8/(3/2-6*t))^(3/2-6*t)+2*(2/(3*t-1/2))^(3*t1/2)*(2/t)^(2*t)*(2*log(2/t)-2)*(1/t)^t*(log(1/t)-1)*(8/(3/2-6*t))^(3/2-6*t)+2*(2/(3*t-1/2))^(3*t1/2)*(2/t)^(2*t)*(2*log(2/t)-2)*(1/t)^t*(8/(3/2-6*t))^(3/2-6*t)*(-6*log(8/(3/2-6*t))+6)+(2/(3*t1/2))^(3*t-1/2)*(2/t)^(2*t)*(1/t)^t*(log(1/t)-1)^2*(8/(3/2-6*t))^(3/2-6*t)+2*(2/(3*t-1/2))^(3*t1/2)*(2/t)^(2*t)*(1/t)^t*(log(1/t)-1)*(8/(3/2-6*t))^(3/2-6*t)*(-6*log(8/(3/2-6*t))+6)+(2/(3*t-1/2))^(3*t1/2)*(2/t)^(2*t)*(1/t)^t*(8/(3/2-6*t))^(3/2-6*t)*(-6*log(8/(3/2-6*t))+6)^2-36*(2/(3*t-1/2))^(3*t1/2)*(2/t)^(2*t)*(1/t)^t*(8/(3/2-6*t))^(3/2-6*t)/(3/2-6*t); contoh_lima_satu.m function y = contoh_lima_satu (a, error) x(1) = a; for i = 1:10000 b = turunan1(x(i)); c = turunan2(x(i)); x(i+1) = x(i) - ( b / c ); if abs( x(i+1) - x(i) ) <= error break; end end x' iterasi = i Output : >> a=0.1667; >> error=10^-13; >> contoh_lima_satu(a,err) ans = 0.16670000000000 0.16692111752267 0.16809420494320 0.17207061750049 0.17850604643761 0.18160393061626 0.18186169235639 0.18186301793603 0.18186301797034 iterasi = 8. Jadi δ 3* =

0.18186301797034 ≈ 0.1819.

Input : t := 0.1819 δ1 = 3 t − 0.5 δ2 = 2 t δ3 = t δ4 = 1.5 − 6 t

36

Output : 0.0457 0.3638 0.1819 0.4086. Jadi solusi optimum PGD adalah δ* = (δ1* , δ 2* , δ 3* , δ 4* ) = ( 0.0457, 0.3638, 0.1819, 0.4086 ) .

Lampiran 8 1. Penghitungan Solusi Optimum PGD pada Contoh 4.2.1 Misalkan diberikan SPL δ1 + δ 2 =1 ⎫ −δ1 + δ 3 + δ 4 = 0 ⎪⎪ (4.2.1) ⎬ −δ1 + δ 2 + δ 4 = 0⎪ −δ1 + δ 2 + δ 3 = 0 ⎪⎭ Solusi SPL (4.2.1) dapat dihitung sebagai berikut ⎛ 1 1 0 0 1⎞ ⎛ 1 1 0 0 1⎞ ⎛1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ −1 0 1 1 0 ⎟ E34 ⎜ −1 0 1 1 0 ⎟ E24( −1) ⎜ 0 −1 ⎜ −1 1 0 1 0 ⎟ ∼ ⎜ −1 1 1 0 0 ⎟ ∼ ⎜ −1 1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ −1 1 1 0 0 ⎠ ⎝ −1 1 0 1 0 ⎠ ⎝ −1 1 ⎛ 1 1 0 0 1⎞ ⎛3/ 2 0 0 0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 1 2 0 0 0 E ⎜ ⎟ 12(1/ 2) ⎜ 1 −2 0 0 0 ⎟ ⎜ − 1 1 1 0 0 ⎟ ∼ ⎜ −1 1 1 0 0 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −1 1 0 1 0 ⎠ ⎝ −1 1 0 1 0 ⎠ 3 =1 δ1 2 δ1 − 2δ 2 =0 −δ1 + δ 2 + δ 3 = 0 −δ1 + δ 2 + δ 4 = 0 Dari (i) diperoleh 2 δ1 = . 3 Dari (ii) dan (v) diperoleh

(i) (ii) (iii) (iv) (v)

1 (vi) 3 Dari (iii), (v), dan (vi) diperoleh 1 δ3 = . (vii) 3 Dari (iv), (v), dan (vi) diperoleh

δ2 = .

0 0 1⎞ ⎟ 1 0 0 ⎟ E23( −1) 1 0 0⎟ ∼ ⎟ 0 1 0 ⎟⎠

37

1 3

δ4 = .

(viii)

⎛ 2 1 1 1⎞ Jadi diperoleh δ* = (δ1* , δ 2* , δ 3* , δ 4* ) = ⎜ , , , ⎟ . ⎝ 3 3 3 3⎠

2. Penghitungan Solusi Optimum PGD pada Contoh 4.2.2 Misalkan diberikkan SPL δ1 + δ 2

+ δ3

=1 ⎫ ⎪ + δ 4 + δ 5 = 0⎪ δ1 − 1.5δ 2 ⎬ (4.2.6) − 1.2δ 2 + 1.3δ 3 − δ5 = 0 ⎪ 1.2δ1 − 1.4δ 2 + δ4 = 0 ⎭⎪ Solusi SPL (4.2.6) dapat dihitung sebagai berikut ⎛ 1 1 1 0 0 ⎜ 1 − 1.5 0 1 1 ⎜ ⎜ 0 −1.2 1.3 0 −1 ⎜⎜ ⎝ 1, 2 −1.4 0 1 0 ⎛ 1 1 1 ⎜ E23( −1) ⎜ 0.2 1.3 −1.3 ∼ ⎜ 1 −2.7 1.3 ⎜⎜ 0 ⎝ 1 −1.5

1.154δ1

1⎞ ⎛ 1 1 1 0 0 1⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ E24 ⎜ 1.2 −1.4 0 1 0 0 ⎟ E34(1) ⎜1.2 0 ⎟ ∼ ⎜ 0 −1.2 1.3 0 −1 0 ⎟ ∼ ⎜ 1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ 0 ⎟⎠ ⎝ 1 −1.5 0 1 1 0 ⎠ ⎝ 1 0 0 1⎞ ⎛1.154 2 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ E12(0.769) ⎜ 0.2 1.3 −1.3 0 0 1 0 0⎟ ∼ ⎜ 1 −2.7 1.3 1 0 ⎟ ⎜⎜ 1 1 0 ⎟⎠ 1 −1.5 0 1 1 ⎝

+ 2δ 2

=1

(i)

0.2δ1 + 1.3δ 2 − 1.3δ 3 =0 (ii) δ1 − 2.7δ 2 + 1.3δ 3 + δ 4 =0 (iii) δ1 − 1.5δ 2 + δ4 + δ5 = 0 (iv) dengan δ1 , δ 2 , δ 3 > 0 dan 0 < δ i < 1 , untuk i = 1, 2,3 , dan δ 4 , δ 5 ≥ 0 SPL di atas mempunyai banyak solusi, dan satu variabel bebas. Misalkan δ 2 sebagai variabel bebas, maka δ1 = 0.866551 − 1.7331δ 2 , (v) dengan 0 < δ1 < 1 ⇔ 0 < 0.866551 − 1.7331δ 2 < 1 ⇔ −0.0770 < δ 2 < 0.5000 . Karena δ 2 > 0 , maka 0 < δ 2 < 0.5000 . ( B1 ) δ 3 = 0.133315 + 0.733369δ 2 , (vi)

dengan 0 < δ 3 < 1 ⇔ 0 < 0.133315 + 0.733369δ 2 < 1 ⇔ −0.133315 < δ 2 < 1.18179 . Karena 0 < δ 2 < 1 , maka 0 < δ2 < 1 . ( B2 )

δ 4 = 3.4793δ 2 − 1.03986 , dengan δ 4 ≥ 0

(vii)

1 1 0 0 −1.4 0 1 0 −2.7 1.3 1 0 −1.5 1⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠

0

1 1

1⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠

38

⇔ 3.4793δ 2 − 1.03986 ≥ 0 ⇔ δ 2 ≥ 0.29887 . Karena δ 2 < 1 , maka 0.29887 ≤ δ 2 < 1 . ( B3 ) δ 5 = 0.173249 − 0.2462δ 2 , (viii) dengan δ 5 ≥ 0 ⇔ 0.173249 − 0.2462δ 2 ≥ 0 ⇔ δ 2 ≤ 0.703692 . Karena δ 2 > 0 , maka 0 < δ 2 ≤ 0.703692 . ( B4 ) Menurut prosedur 2c penghitungan dilanjutkan ke prosedur 3, yaitu menentukan global maximizer dari fungsi dual δ1

δ3

δ2

⎛ 0.3 ⎞ ⎛ 0.5 ⎞ ⎛ 0.2 ⎞ v(δ) = ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ δ1 ⎠ ⎝ δ 2 ⎠ ⎝ δ 3 ⎠

⎛ ⎞ 0.3 =⎜ ⎟ δ 0.866551 1.7331 − ⎝ 2 ⎠

( 0.8)

3.4793δ 2 −1.03986

(1.2 )

( 0.8) (1.2 ) δ4

δ5

0.866551−1.7331δ 2

0.173249 −1.7331δ 2

δ2

⎛ 0.5 ⎞ ⎛ ⎞ 0.2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ δ δ 0.133315 0.73369 + ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

0.133315 + 0.73369δ 2

,

(ix)

dengan 0.29887 ≤ δ 2 < 0.50000 (dari B1 , B2 , B3 , dan B4 ). Berikut ini untuk penghitungan digunakan Software Mathematca5 Input : H0.866551−1.7331 δL i 0.5 yδ y z j z z j z k δ { k 0.866551 − 1.7331 δ { H0.133315+0.733369 δL 0.2 i y j z j z H0.8LH3.4793 δ−1.03986L k 0.133315 + 0.733369 δ { H1.2LH0.173249−0.2462 δL

i

j v@δ_D := j

0.3

g@δ_D = ∂δ v@δD Plot@g@δD, 8δ, 0.29887, 0.50000<, PlotStyle → [email protected]<, AxesLabel → 8"δ2", "v'Hδ2L"<, PlotLabel → "Titik−Titik Optimum PGD"D Plot@v@δD, 8δ, 0.29887, 0.50000<, PlotStyle → [email protected]<, AxesLabel → 8"δ2", "vHδ2L"<, PlotLabel → "Solusi Optimum PGD"D

Output : v'Hδ2 L

Titik −Titik Optimum

PGD

0.35

0.45

vHδ2 L

Solusi

Optimum

PGD

δ2

0.4

-2

0.5

0.9 0.85

-4

0.8

-6

0.75 0.7

-8

0.65 -10

0.35

-12

0.4

0.45

0.55

Gambar 8.1 Grafik v '(δ 2 )

Gambar 8.2 Grafik v(δ 2 )

0.5

δ2

39

Dari Gambar 8.1 terlihat bahwa v '(δ 2 ) ≠ 0 untuk 0.29887 ≤ δ 2 < 0.50000 , sehingga solusi optimum v(δ) terjadi di ujung selang yaitu δ 2* = 0.2989 .

Input : δ2 := 0.2989 δ1 = 0.866551 − 1.7331 δ2 δ3 = 0.133315 + 0.733369 δ2 δ4 = 3.4793 δ2 − 1.03986 δ5 = 0.173249 − 0.2462 δ2

Output:

0.348527 0.352519 0.00010277 0.0996598. Jadi solusi optimum PGD adalah δ* = (0.3485, 0.2989, 0.3525, 0.0001, 0.9997) , sehingga nilai solusi optimumnya adalah ⎛ 0.3 ⎞ v(δ* ) = ⎜ ⎟ ⎝ 0.3485 ⎠

0.3485

⎛ 0.5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 0.2989 ⎠

0.2989

⎛ 0.2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 0.3525 ⎠

0.3525

( 0.8)

0.0001

(1.2 )

0.9997

= 0.9230

Lampiran 9 Penulisan Persamaan (5.7) dan Persamaan (5.9) ke Bentuk Matriks Misalkan diberikan ⎛ δ1 0 ⎜ ⎜ 0 δ2 0 W=⎜ 0 δ3 ⎜ ⎜ ⎜0 0 ⎝

0

0⎞ ⎟ ⎛ a11 ⎟ ⎟ dan A = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜a 0⎟ ⎝ n1 δ n ⎟⎠

a1m ⎞ ⎟ ⎟, anm ⎟⎠

maka ⎛1 ⎜δ ⎜ 1 ⎜ ⎜0 ⎜ W −1 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝

0 1

δ2 0

0

0 1

δ3 0

⎞ 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ a11 ⎟ ⎟ dan A ' = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ 1m 0 ⎟ ⎟ 1 ⎟ δ n ⎟⎠

an1 ⎞ ⎟ ⎟, anm ⎟⎠

dengan W −1 matriks invers dari matriks W, dan A ' matriks transpos dari matriks A .

40

⎛ W −1 ⎜ ⎝ A'

⎛ W −1 ⎜ ⎝ A'

⎛ 1 ⎜δ ⎜ 1 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 A⎞ ⎜ ⎟=⎜ 0⎠ ⎜ 0 ⎜ ⎜ a11 ⎜a ⎜ 12 ⎜ ⎜ ⎝ a1m

0

0

a11

a12

0

a21

a22

δn

an1

an 2

a21 a22

an1 an 2

0 0

a2 m

anm

0 0 0 0

1

δ2 0

0 1

0

⎞ a1m ⎟ ⎟ ⎟ a2 m ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ anm ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎠

m ⎛ ∆δ 1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ δ + 0 − a11∆u1 − a12 ∆u2 − ... − a1m ∆um ⎟ ⎜ δ1 − ∑ a1 j ∆u j ⎟ 1 j =1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ m ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∆δ 2 + 0 − a21∆u1 − a22 ∆u2 − ... − a2 m ∆um ⎟ ⎜ δ 2 − ∑ a2 j ∆u j ⎟ ⎜0 + δ2 j =1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ∆δ 3 ⎛ ∆δ1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 + δ + 0 − a31∆u1 − a32 ∆u2 − ... − a3m ∆um ⎟ ⎜ m ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ δ n − ∑ anj ∆u j ⎟ A ⎞ ⎜ ∆δ n ⎟ ⎜⎜ j =1 ⎟=⎜ ⎟ ⎟= ⎟⎜ n ∆δ n ⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎜ −∆u1 ⎟ ⎜ ⎟ a u a u a u 0 ... + − ∆ − ∆ − − ∆ n1 n2 nm m 1 2 ⎟ ⎜ ∑ ai1∆δ i ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ δ n ⎟ ⎜ i =1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ n ⎟ ⎜ ⎟ a11∆δ1 + a21∆δ 2 + ... + an1∆δ n + 0 ⎝ −∆um ⎠ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ∑ ai 2 ∆δ i ⎟ ∆ + ∆ + + ∆ + a δ a δ a δ ... 0 n2 n 12 1 22 2 ⎜ ⎟ ⎜ i =1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a13 ∆δ1 + a23 ∆δ 2 + ... + an3 ∆δ n + 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ n ⎟ a δ ∆ ⎜ ⎟ ⎜ ∑ im i ⎟ a1m ∆δ1 + a2 m ∆δ 2 + ... + anm ∆δ n + 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ i =1

. Dari Persamaan (5.7) dan Persamaan (5.9) diperoleh matriks

⎛ W −1 ⎜ ⎝ A'

⎛ ∆δ1 ⎞ ⎛ ∆ (ln c1 ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⎞ ⎜ ∆δ n ⎟ ⎜ ∆(ln cn ) ⎟ ⎟=⎜ ⎟. ⎟⎜ 0 ⎠ ⎜ −∆u1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −∆um ⎠ ⎝ 0 ⎠

Lampiran 10

41

Penghitungan Analisis Sensitivitas pada Contoh 5.1 a) Misalkan c2 ditingkatkan 5%, dari c2 = 4 menjadi c2 = 4.2 . Penghitungan berikut ini digunakan software Matlab 7.0.1 >> S=[1/0.0457 0 0 0 3 -3;0 1/0.3638 0 0 -2 1;0 0 1/0.1819 0 1 1;0 0 0 1/0.4086 1 -1;3 -2 1 1 0 0;-3 1 1 -1 0 0] S= 21.8818 0 0 0 3.0000 -3.0000 0 2.7488 0 0 -2.0000 1.0000 0 0 5.4975 0 1.0000 1.0000 0 0 0 2.4474 1.0000 -1.0000 3.0000 -2.0000 1.0000 1.0000 0 0 -3.0000 1.0000 1.0000 -1.0000 0 0 >> det(S) ans = 1.2061e+003 Karena det(S) ≠ 0 , maka matriks S mempunyai inverse sehingga solusi SPL yang diberikan oleh persamaan 5.11 dapat dihitung sebagai berikut >> inv(S) ans = 0.0319 0.0365 0.0183 -0.0410 -0.0000 -0.1004 0.0365 0.1456 0.0728 0.1089 -0.3333 -0.0669 0.0183 0.0728 0.0364 0.0544 0.3333 0.4665 -0.0410 0.1089 0.0544 0.2863 -0.0000 -0.2992 -0.0000 -0.3333 0.3333 -0.0000 -0.9163 -0.9163 -0.1004 -0.0669 0.4665 -0.2992 -0.9163 -1.6485 >> B1=[-0.0347 0.0606 -0.0347 -0.0347 0 0]' B1 = -0.0347 0.0606 -0.0347 -0.0347 0 0 >> C1=inv(S)*B1 C1 = 0.0010 0.0007 0.0003 -0.0019 -0.0162 -0.0033 Jadi ( ∆δ1* , ∆δ 2* , ∆δ 3* , ∆δ 4* , −∆u1* , −∆u2* ) = (0.0010, 0.0007, 0.0003, −0.0019, −0.0162, −0.0033) . Karena vektor ( −∆u1* , −∆u2* ) = (−0.0162, −0.0033) diabaikan, maka ∆δ* = (∆δ1* , ∆δ 2* , ∆δ 3* , ∆δ 4* , ) = (0.0010, 0.0007, 0.0003, −0.0019) Jadi solusi optimum PGD menjadi δ1*' = 0.0457 + 0.0010 = 0.0467

δ 2*' = 0.3638 + 0.0007 = 0.3645 δ 3*' = 0.1819 + 0.0003 = 0.1822

42

δ 4*' = 0.4086 − 0.0019 = 0.4067. b) Misalkan c2 ditingkatkan 10% dari c2 = 4 menjadi c2 = 4.4 . Karena ∆(ln ch ) = 0, untuk h = 1,3, 4, maka 4

∑ δ ∆(ln c ) = δ h =1

h

h

2

(ln 4.4 − ln 4)

= (0.3638)(ln 4.4 − ln 4) = 0.0347. Menurut (5.8), diperoleh 4

∆(ln c2 ) = ∆ (ln c2 ) − ∑ δ h ∆ (ln ch ) h =1

= (ln 4.4 − ln 4) − 0.0347 = 0.0953 − 0.0347 = 0.0606, 4

∆(ln ci ) = ∆ (ln ci ) − ∑ δ h ∆ (ln ch ) h =1

∆(ln ci ) = 0 − 0.0347 = −0.0347 , untuk i = 1,3, 4.

Jika digunakan Persamaan (5.11) maka dapat diperoleh perubahan variabel dual ∆δ i* , untuk i = 1, 2,3, 4 , >> B2=[-0.0347 0.0606 -0.0347 -0.0347 0 0]'; >> C2=inv(S)*B2 C2 = 0.0019 0.0013 0.0006 -0.0038 -0.0318 -0.0064 Jadi solusi optimum PGD menjadi δ1*' = 0.0457 + 0.0019 = 0.0476

δ 2*' = 0.3638 + 0.0013 = 0.3651 δ 3*' = 0.1819 + 0.0006 = 0.1825

δ 4*' = 0.4086 − 0.0038 = 0.4048, nilai solusi optimumnya 0.0476 0.3651 0.1825 0.4014 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 4.4 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 8 ⎞ v(δ* ' ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.0476 ⎠ ⎝ 0.3651 ⎠ ⎝ 0.1825 ⎠ ⎝ 0.4014 ⎠ = 13.5314, dan solusi optimum PGP x*' menjadi 2 x1*'3 x2*'−3 = δ1*' v(δ* ' ) =0.0476(13.5314) x1*'3 x2*'−3 = 0.3220 3(ln x1*' − ln x2*' ) = ln 0.3220 ln x1*' − ln x2*' = −0.3777 x1*' x2*' = δ 3*' v(δ*' ) x1*' x2*' = 0.1825(13.5314)

(i)

43

ln x1*' + ln x2*' = ln 2.4695 ln x1*' + ln x2*' = 0.9040.

(ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh 2 ln x1*' = 0.9040 − 0.3777 ln x1*' = 0.2632

(iii)

x =e = 1.3010. Dari (ii) dan (iii) diperoleh ln x2*' = 0.9040 − 0.2632 = 0.6408 *' 1

0.2632

x2*' = e0.6408 = 1.8981. Jadi solusi optimum PGP x*' yang baru adalah x*' = ( x1*' , x2*' ) = (1.3010,1.8981) . Perubhan nilai solusi optimum PGD/PGP adalah ⎛ 13.5314 − 13.0692 ⎞ ∆v(δ* ) = ⎜ ⎟ x100% = 3.5365%. 13.0692 ⎝ ⎠ c) Misalkan c2 ditingkatkan 20% dari c2 = 4 menjadi c2 = 4.8 . Karena ∆(ln ch ) = 0, untuk h = 1,3, 4, maka 4

∑ δ ∆(ln c ) = δ h =1

h

h

2

(ln 4.8 − ln 4)

= (0.3638)(ln 4.8 − ln 4) = 0.0663.

Menurut persamaan (5.8), diperoleh 4

∆(ln c2 ) = ∆ (ln c2 ) − ∑ δ h ∆ (ln ch ) h =1

= (ln 4.8 − ln 4) − 0.0663 = 0.1160, 4

∆(ln ci ) = ∆ (ln ci ) − ∑ δ h ∆ (ln ch ) h =1

∆(ln ci ) = 0 − 0.0663 = −0.0663 , untuk i = 1,3, 4.

Jika digunakan Persamaan (5.11) maka dapat diperoleh perubahan variabel dual ∆δ i* , untuk i = 1, 2,3, 4 , >> B3=[-0.0663 0.1160 -0.0663 -0.0663 0 0]'; >> C3=inv(S)*B3 C3 = 0.0036 0.0024 0.0012 -0.0072 -0.0608 -0.0122 Cara penghitungan untuk memperoleh vektor δ*' analog dengan b), sehingga diperoleh v(δ*' ) = 13.9684 x*' = ( x1*' , x2*' ) = (1.3389,1.9103) ⎛ 13.9684 − 13.0692 ⎞ ∆v(δ* ) = ⎜ ⎟ x100% = 6.8802%. 13.0692 ⎝ ⎠

44

d) Misalkan c2 ditingkatkan 50% dari c2 = 4 menjadi c2 = 6 . Karena ∆(ln ch ) = 0, untuk h = 1,3, 4, maka 4

∑ δ ∆(ln c ) = δ h =1

h

h

2

(ln 6 − ln 4)

= (0.3638)(ln 6 − ln 4 = 0.1475. Menurut persamaan (5.8), diperoleh 4

∆(ln c2 ) = ∆ (ln c2 ) − ∑ δ h ∆ (ln ch ) h =1

= (ln 6 − ln 4) − 0.1475 = 0.2580, 4

∆(ln ci ) = ∆ (ln ci ) − ∑ δ h ∆ (ln ch ) h =1

∆(ln ci ) = 0 − 0.1475 = −0.1475 , untuk i = 1,3, 4.

Jika digunakan Persamaan (5.11) maka dapat diperoleh perubahan variabel dual ∆δ i* , untuk i = 1, 2,3, 4 , >> B4=[-0.1475 0.2580 -0.1475 -0.1475 0 0]'; >> C4=inv(S)*B4 C4 = 0.0081 0.0054 0.0027 -0.0161 -0.1352 -0.0271 Cara penghitungan untuk memperoleh vektor δ*' analog dengan b), sehingga diperoleh v(δ*' ) = 15.1661 x*' = ( x1*' , x2*' ) = (1.4500,1.9429 ⎛ 15.1661 − 13.0692 ⎞ ∆v(δ* ) = ⎜ ⎟ x100% = 16.0447%. 13.0692 ⎝ ⎠

e) Misalkan c2 diturunkan 5% dari c2 = 4 menjadi c2 = 3.8 . Karena ∆(ln ch ) = 0, untuk h = 1,3, 4, maka 4

∑ δ ∆(ln c ) = δ h =1

h

h

2

(ln 3.8 − ln 4)

= (0.3638)(ln 3.8 − ln 4) = −0.0187. Menurut persamaan (5.8), diperoleh 4

∆(ln c2 ) = ∆ (ln c2 ) − ∑ δ h ∆ (ln ch ) h =1

= (ln 3.8 − ln 4) − ( −0.0187) = −0.0326, 4

∆(ln ci ) = ∆ (ln ci ) − ∑ δ h ∆ (ln ch ) h =1

∆(ln ci ) = 0 − (−0.0187) = 0.0187 , untuk i = 1,3, 4.

45

Jika digunakan Persamaan (5.11) maka dapat diperoleh perubahan variabel dual ∆δ i* , untuk i = 1, 2,3, 4 , >> B5=[0.0187 -0.0326 0.0187 0.0187 0 0]'; >> C5=inv(S)*B5 C5 = -0.0010 -0.0007 -0.0003 0.0021 0.0171 0.0034 Cara penghitungan untuk memperoleh vektor δ*' analog dengan b), sehingga diperoleh v(δ*' ) = 12.8301 x*' = ( x1*' , x2*' ) = (1.2395,1.8797) ⎛ 12.8301 − 13.0692 ⎞ ∆v(δ* ) = ⎜ ⎟ x100% = −1.8295%. 13.0692 ⎝ ⎠

f) Misalkan c2 diturunkan 10% dari c2 = 4 menjadi c2 = 3.6 . Karena ∆(ln ch ) = 0, untuk h = 1,3, 4, maka 4

∑ δ ∆(ln c ) = δ h =1

h

h

2

(ln 3.6 − ln 4)

= (0.3638)(ln 3.6 − ln 4) = −0.0383. Menurut persamaan (5.8), diperoleh 4

∆(ln c2 ) = ∆ (ln c2 ) − ∑ δ h ∆ (ln ch ) h =1

= (ln 3.6 − ln 4) − (−0.0383) = −0.0670, 4

∆(ln ci ) = ∆ (ln ci ) − ∑ δ h ∆ (ln ch ) h =1

∆(ln ci ) = 0 − (−0.0383) = 0.0383 , untuk i = 1,3, 4.

Jika digunakan Persamaan (5.11) maka dapat diperoleh perubahan variabel dual ∆δ i* , untuk i = 1, 2,3, 4 , >> B6=[0.0383 -0.0670 0.0383 0.0383 0 0]'; >> C6=inv(S)*B6 C6 = -0.0021 -0.0014 -0.0007 0.0042 0.0351 0.0070 Cara penghitungan untuk memperoleh vektor δ*' analog dengan b), sehingga diperoleh v(δ*' ) = 12.5787

x*' = ( x1*' , x2*' ) = (1.2169,1.8731) ⎛ 12.5787 − 13.0692 ⎞ ∆v(δ* ) = ⎜ ⎟ x100% = −3.7527%. 13.0692 ⎝ ⎠

46

g) Misalkan c2 diturunkan 20% dari c2 = 4 menjadi c2 = 3.2 . Karena ∆(ln ch ) = 0, untuk h = 1,3, 4, maka 4

∑ δ ∆(ln c ) = δ h =1

h

h

2

(ln 3.2 − ln 4)

= (0.3638)(ln 3.2 − ln 4) = −0.0812. Menurut persamaan (5.8), diperoleh 4

∆(ln c2 ) = ∆ (ln c2 ) − ∑ δ h ∆(ln ch ) h =1

= (ln 3.2 − ln 4) − (−0.0812) = −0.1420, 4

∆(ln ci ) = ∆(ln ci ) − ∑ δ h ∆ (ln ch ) h =1

∆(ln ci ) = 0 − (−0.0812) = 0.0812 , untuk i = 1,3, 4.

Jika digunakan Persamaan (5.11) maka dapat diperoleh perubahan variabel dual ∆δ i* , untuk i = 1, 2,3, 4 , >> B7=[0.0812 -0.1420 0.0812 0.0812 0 0]'; >> C7=inv(S)*B7 C7 = -0.0044 -0.0030 -0.0015 0.0089 0.0744 0.0149. Cara penghitungan untuk memperoleh vektor δ*' analog dengan b), sehingga diperoleh v(δ*' ) = 12.0554

x*' = ( x1*' , x2*' ) = (1.1697,1.8593) ⎛ 12.0554 − 13.0692 ⎞ ∆v(δ* ) = ⎜ ⎟ x100% = −7.7573%. 13.0692 ⎝ ⎠

h) Misalkan c2 diturunkan 50% dari c2 = 4 menjadi c2 = 2 . Karena ∆(ln ch ) = 0, untuk h = 1,3, 4, maka 4

∑ δ ∆(ln c ) = δ h =1

h

h

2

(ln 2 − ln 4)

= (0.3638)(ln 2 − ln 4) = −0.2522. Menurut persamaan (5.8), diperoleh 4

∆(ln c2 ) = ∆ (ln c2 ) − ∑ δ h ∆ (ln ch ) h =1

= (ln 2 − ln 4) − (−0.2522 = −0.4410, 4

∆(ln ci ) = ∆ (ln ci ) − ∑ δ h ∆ (ln ch ) h =1

∆(ln ci ) = 0 − (−0.2522) = 0.2522 , untuk i = 1,3, 4.

Jika digunakan Persamaan (5.11) maka dapat diperoleh perubahan variabel dual ∆δ i* , untuk i = 1, 2,3, 4 ,

47

>> B8=[0.2522 -0.4410 0.2522 0.2522 0 0]'; >> C8=inv(S)*B8 C8 = -0.0138 -0.0092 -0.0046 0.0276 0.2311 0.0464. Cara penghitungan untuk memperoleh vektor δ*' analog dengan b), sehingga diperoleh v(δ*' ) = 10.1869

x*' = ( x1*' , x2*' ) = (0.9928,1.8193) ⎛ 10.1869 − 13.0692 ⎞ ∆v(δ* ) = ⎜ ⎟ x100% = −22.0544%. 13.0692 ⎝ ⎠