PembangkitVariabelRandom

Pembangkit Variabel Random Slide: Tri Harsono

Pembangkit variabel random

1

1. Pembangkit variabel random diskrit • variabel random: – adalah nilai suatu variabel random yg mempunyai distribusi tertentu utk mengambil variabel random dari beberapa distribusi yg berbeda; fungsinya terlebih dahulu melalui distribusi CDF dari suatu variabel random.

• Pengambilan variabel random melalui CDF ini dinamakan inverse transformation method (metode ransformasi invers/balik) Pembangkit variabel random

2

1. Pembangkit variabel random diskrit • Metode ini membangkitkan variabel random dari: – data distribusi yg aktual terjadi, atau – melalui berbagai teori distribusi probabilitas.

• Untuk fungsi distribusi diskrit f(x), prosedur membangkitkan variabel random dari f(x):


3

Prosedur membangkitkan variabel random dari f(x) 1. Plot f(x), cari CDF F(x) dari variabel random X, 2. Generate, bil. random Ri dari PRNG (dari komp.) utk 0

4

Contoh • Suatu variabel random dinyatakan dgn f(x) sbb: X = demand

0

10

20

30

40

f(x) = P(X=x)

1/8

1/4

1/2

1/16

1/16


5

• CDF-nya 16/16

F(x)

15/16

7/8

3/8 1/8 0

10

20

30

40

X

Gambar 1. CDF dari f(x) Pembangkit variabel random

6

• Tabel 1: CDF fungsi demand X = demand

0

10

20

30

40

f(x)=P(X=x)

1/8

1/4

1/2

1/16

1/16

F(x)

1/8

3/8

7/8

15/16 16/16


7

• Pada saat membangkitkan bil. Random dari komputer, bila salah satu nilai random adalah R1 = 8/16, maka titik potong dapat diperoleh di x=20 (gambar1). • Dgn cara yg sama juga bisa menghasilkan bil.random R2=0.3750, maka titik potong dapat diperoleh di X=10. • Kondisi ini dapat dilakukan terus-menerus menggunakan setiap bil.random yg diambil dr komp.


8

• Bil.random yg dihasilkan dari komp. disusun dlm suatu tabel simulasi thd tabel distribusi diskrit Tabel 2 • Hasil dari kelima bil.random yg dibangkitkan, angka terbaik adalah 20 demand X = 20


9

• Tabel 2: Tabel simulasi dari tabel distribusi diskrit No.urut bil.random

Demand X

F(x)

Tag number

Hasil bil.random di komp.

0.09375

0

0.1250

0.000 – 0.1250

0

0.6328127

10

0.3750

0.126 – 0.3750

20

0.8750

20

0.8750

0.376 – 0.8750

20

0.6903

30

0.9375

0.876 – 0.9375

20

0.9520

40

0.9999

0.938 – 0.9999

40


10

2. Pembangkit variabel random kontinu • Sbg contoh, bangkitkan variabel random distribusi kontinu melalui fungsi:

2 x , 0 < x < 1 f ( x) =   0 , lainnya


11

• Kumulatif (CDF) dari fungsi tersebut adalah: x

F ( x) = ∫ 2 ydy = y

2 x 0

=x

2

0

Sifat dari fungsi kumulatif adalah: Kontinu, Increasing/fungsi naik

Gambar 2


12

• Gambar 2: fungsi distribusi kontinu F(x) F(x) 1.0

F(xb)

F(xa) 0

Xa

Xb


1.0

x

13

• Bila F(xa) = Ra; F(xb) = Rb, dan Ra < R < Rb, maka: F(xb) – F(xa) = Rb – Ra • Bila ingin membangkitkan variabel random utk nilai x, maka fungsi F(x) di transformasi sbb:

F ( x) = x 2 = R ⇒x= R R tidak diketahui dan harus diambil dari bil.random melalui Pseudo RNG (PRNG). Pembangkit variabel random

14

Contoh x= R

Misal untuk membangkitkan PRNG menggunakan aritmatik RNG, dengan a = 19; Z0 = 12357; c = 237; m = 128

Z1 = (19 *12357 + 237) mod 128

Z 2 = (19 *12 + 237) mod 128

= 235020 − 235008

= 465 − 384

12 = 12 = R → R1 = = 0.09375 128

= 81 → R2 = Pembangkit variabel random

81 = 0.6328125 128 15

Z 3 = (19 * 81 + 237) mod 128

Z 5 = (19 * 61 + 237) mod 128

= 1776 − 1664

= 1396 − 1280

112 = 112 → R3 = = 0.875 128

= 116 → R4 =

116 = 0.90625 128

Z 4 = (19 *112 + 237) mod 128 = 2365 − 2304 = 61 → R4 =

61 = 0.4765625 128


16

• Dengan ke-5 bil.random tsb, dapat dicari nilai x-nya x1 = R1 = 0.09375 = 0.3062; x2 = R2 = 0.6328125 = 0.7955; x3 = R3 = 0.8750 = 0.9354; x4 = R4 = 0.4765625 = 0.6903; x5 = R5 = 0.90625 = 0.9520;


17

• Bila nilai x1 sd x5 dicari nilai rata-ratanya: n

x=

∑x i =1

i

n

3.6794 = = 0.7359 = x ∗ 5

Dengan demikian: dari generate variabel random untuk fungsi:

F ( x) = x 2 = R ⇒x= R

Diperoleh x* yang optimal yaitu x* = 0.7359 utk 0 < x < 1 Pembangkit variabel random

18

3. variabel random distribusi densitas • Misal diket. Fungsi densitas: • Kita akan lihat pada posisi mana, bilangan random berperan Distributif kumulatif-nya:

 a (1 − x) , 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =  0 , untuk lainnya

x

F ( x) = ∫ a (1 − y )dy 0 x

1 2  1 2 = a( y − y = a  x − x  2 0  2  Pembangkit variabel random

19

• Mencari nilai a pada fungsi distribusi kumulatif: – bahwa nilai fungsi densitas F(x) = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 1, – Sehingga:

 1 2 F ( x) = a  x − x  = 1  2 

Untuk x = 1


 1 2 a 1 − 1  = 1  2  ⇔a=2 20

• Untuk a = 2, diperoleh variabel random nya

 1  F ( x ) = R = 2 x − x 2   2  ⇔ R = 2x − x2 ⇔ x2 − 2x + R = 0 ⇔ x1, 2 = 1 ± 1 − R

Dengan menggunakan nilai bil.random pd arithmetic RNG sebelumnya: a = 19; Z0 = 12357; c = 237; m = 128 diperoleh bil.random


21

• • • • •

R1 = 0.09357, R2 = 0.632812, R3 = 0.87500, R4 = 0.47656, R5 = 0.90625.

Sehingga nilai x untuk masing-masing bil.random Ri x2 ⇒ (1) 1 − 0.2500 = 0.7500

x1 ⇒ (1) 1 + 1 − 0.9375 = 1.250 ⇒ ( 2) 1 + 1 − 0.63281 = 1.6059

⇒ (2) 1 − 0.6059 = 0.3940

⇒ (3) 1 + 1 − 0.8750 = 1.3539 ⇒ ( 4) 1 + 1 − 0.47656 = 1.7242

⇒ (3) 1 − 0.3536 = 0.6464 ⇒ (4) 1 − 0.7242 = 0.2758

⇒ (5) 1 + 1 − 0.90625 = 1.3061

⇒ (5) 1 − 0.3061 = 0.6939

Ingat bahwa nilai x berada pada interval positif 0 ≤ x ≤ 1 ternyata semua hasil di atas memang positif Pembangkit variabel random

22

Tugas2 • Distribusi data ada 2 jenis yaitu: distribusi diskrit dan distribusi kontinu. Sebutkan beserta contohnya, masing-masing jenis distribusi tersebut. • Apakah ada metode lain untuk membangkitkan bilangan random semu (pseudo random) selain Linear Congruential Method (LCM) dan Multiplicative Method.


23

4 Simulasi pada permainan • Suatu permainan dapat juga dilakukan dengan menggunakan simulasi. • Contoh: – simulasi pd permainan pelemparan mata uang – simulasi pd permainan pelemparan dadu


24

Pelemparan mata uang • Sisi mata uang adalah H=head dan T=tail, • Peluang munculnya H dan T sama, yaitu 0.5, • Dengan menggunakan random number generator dari distribusi uniform untuk interval (0,1), maka aturan permainan dapat ditentukan, yaitu: – Bila 0≤R ≤0.5 maka hasilnya H, – Bila 0.5
• Misal dilakukan pengambilan 10 kali random number dgn pembangkitan random number menggunakan pseudo RNG multiplicative.


25

Pelemparan mata uang a = 7; Z0 = 12357; c = 0; m = 17

Z n +1 = (a * Z n ) mod m

Zn Rn = m Pembangkit variabel random

26

Pelemparan mata uang Z 3 = (a * Z 2 ) mod m

Z1 = (a * Z 0 ) mod m

= 7 * 4 mod 17 = 28 − 17 = 11

= 7 *12357 mod 17 = 86499 − 86496 = 3 3 R1 = = 0.1765 17

Muncul H

R3 =

11 = 0.6470 17

Z 2 = (a * Z1 ) mod m

Z 4 = (a * Z 3 ) mod m

= 7 * 3 mod 17

= 7 *11 mod 17 = 77 − 68 = 9

= 21 − 17 = 4 4 R2 = = 0.2353 17

Muncul H

R4 =


9 = 0.5294 17

Muncul T

Muncul T 27

Pelemparan mata uang Z 7 = (a * Z 6 ) mod m

Z 5 = (a * Z 4 ) mod m

= 7 *16 mod 17 = 112 − 102 = 10

= 7 * 9 mod 17 = 63 − 51 = 12 12 R5 = = 0.7059 17

Muncul T

R7 =

10 = 0.5882 17

Z 6 = (a * Z 5 ) mod m

Z 8 = (a * Z 7 ) mod m

= 7 *12 mod 17 = 84 − 68 = 16

= 7 *10 mod 17 = 70 − 68 = 2

16 R6 = = 0.9411 17

Muncul T

R8 =


2 = 0.1176 17

Muncul T

Muncul H 28

Pelemparan mata uang Z 9 = (a * Z 8 ) mod m = 7 * 2 mod 17 = 14 − 17 = 3 3 R9 = = 0.1765 17

Muncul H

Z10 = (a * Z 9 ) mod m = 7 * 3 mod 17 = 21 − 17 = 4 R10 =

4 = 0.2353 17

Muncul H Pembangkit variabel random

29

Pelemparan mata uang • Kesimpulan • Untuk pembangkitan random number sebanyak 10 kali – gambar H muncul = 5 kali – gambar T muncul = 5 kali

• Tidak menutup kemungkinan untuk pembangkitan yang lebih dari 10 kali, hasil random number gambar H lebih besar dari gambar T atau sebaliknya.


30

Pelemparan dadu • Ada 6 mata dadu, • Tentukan pembagian distribusi dari output pelemparan dadu sehingga dapat digunakan untuk menentukan mata dadu menggunakan random number, • Bila dilakukan 10 kali pelemparan dadu (atau 10 kali penarikan random number), bagaimana hasilnya?


31

Pelemparan dadu • Jawab: • Pelemparan dadu dengan 6 mata dadu, mempunyai probabilitas dan distribusi sebagaimana tabel di bawah ini:

X

1

2

3

4

5

6

f(x) = P(x)

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

F(x)

1/6

1/3

1/2

2/3

5/6

1

CDF Pembangkit variabel random

32

Pelemparan dadu • Dari distribusi tersebut dapat dinyatakan relasi mata dadu dgn distribusinya: – – – – – –

x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6

0 ≤ F(x) ≤ 1/6, 1/6 ≤ F(x) ≤ 1/3, 1/3 ≤ F(x) ≤ 1/2, 1/2 ≤ F(x) ≤ 2/3, 2/3 ≤ F(x) ≤ 5/6, 5/6 ≤ F(x) ≤ 1.

x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6

0 ≤ F(x) ≤ 0.1667, 0.1667 ≤ F(x) ≤ 0.3333, 0.3333 ≤ F(x) ≤ 0.5000, 0.5000 ≤ F(x) ≤ 0.6667, 0.6667 ≤ F(x) ≤ 0.8333, 0.8333 ≤ F(x) ≤ 1.

• F(x) dicari dari pembangkitan random number F(x) = R. Pembangkit variabel random

33

Pelemparan dadu • Misal: untuk pembangkitan random number digunakan dari hasil pembangkitan random number pada “pelemparan mata uang”, • Berarti kita mempunyai 10 random number, • Konversi 10 random number tersebut ke dalam mata dadu adalah:


34

Pelemparan dadu • • • • • • • • • •

R1=0.1765 R2=0.2353 R3=0.6470 R4=0.5294 R5=0.7059 R6=0.9411 R7=0.5882 R8=0.1176 R9=0.1765 R10=0.2353

x = 2 (mata dadu 2), x = 2 (mata dadu 2), x = 4 (mata dadu 4), x = 4 (mata dadu 4), x = 5 (mata dadu 5), x = 6 (mata dadu 6), x = 4 (mata dadu 4), x = 1 (mata dadu 1), x = 2 (mata dadu 2), x = 2 (mata dadu 2), Pembangkit variabel random

35

Pelemparan dadu Kesimpulan Dari hasil konversi pembangkitan random number ke dalam mata dadu sebanyak 10 kali, mata dadu 2 (angka 2) yang banyak muncul, Tidak menutup kemungkinan untuk pembangkitan yang lebih dari 10 kali, maka mata dadu selain 2 (selain angka 2) yang lebih banyak muncul. Pembangkit variabel random

36

Soal 1. Diketahui fungsi densitas distribusi kontinu sbb: 5 x , 0 < x < 1 f ( x) =   0 ,x <0

• •

Tentukan fungsi distribusi kumlatif Formulasikan pembangkit variabel random-nya


37

Soal 2. Diketahui fungsi densitas distribusi kontinu sbb: •

• •

Tentukan fungsi distribusi kumlatif dari kedua fungsi tersebut. Hitunglah nilai a dari kedua fungsi densitas tersebut. Simulasikan variabel random untuk mendapatkan nilai x

 1  ,0 ≤ x ≤1 f1 ( x) =  x + a  0 , lainnya a sin x , 0 ≤ x ≤ π f 2 ( x) =   0 , lainnya


38

Reference Tri Harsono, Bahan ajar modeling and simulation, 2013.


39

PembangkitVariabelRandom

Recommend Documents