Példa: Csúsztatófeszültség-eloszlás számítása I-szelvényben Készítette: Kossa Attila (
[email protected]) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. március 14.
Határozzuk meg a nyírásból adódó csúsztatófeszültség eloszlását leíró függvényt az MSZ 325-86 szerinti I-240, melegen hengerelt, lejtős talpú I-acél esetén, amennyiben a nyíró igénybevétel a keresztmetszet 1-es főtengelyére merőleges. A szelvény geometriáját ne közelítsük, hanem a szabvány szerint adott pontos geometriával számoljunk! Az I-240 szelvény jellemzőit az 1. ábra tartalmazza.
1. ábra. Az I-240 szelvény adatai
1
Megoldás A geometria leírása A geometriai méreteket léptékhelyesen a 2. ábra mutatja, szimmetriaokokból csak a szelvény egynegyedét feltűntetve. A-F pontok jelölik a keresztmetszet kontúrjának nevezetes helyeit. B, C, D és E pontok (y, z) koordinátáit1 egyelőre nem ismerjük. Viszont, az I-szelvény talprészének geometriájáról annyit tudunk, hogy a lejtése 14%, valamint azt, hogy az ábrán jelölt T pontban a vastagsága t. Ebből meghatározható a B, C, D és E pontok helye, melyeket a 3. ábra részletez.
2. ábra. A geometriai méretek léptékhelyesen A C pont zC koordinátájának számítása: zC = zH + r2 · sinα = (zB − r2 ) + r2 · sinα = (53 − 5, 2) + 5, 2 · sin7, 97◦,
(1)
zC = 48, 5210 mm.
(2)
A D pont zD koordinátájának számítása: zD = zG − r1 · sinα = (zE + r1 ) − r1 · sinα = (4, 35 + 8, 7) − 8, 7 · sin7, 97◦ ,
(3)
zD = 11, 8437 mm.
(4)
A C pont yC koordinátájának számítása a talpas rész meredekségének felhasználásával:
1
yC = yT + 0, 14 (zC − zT ) = 106, 9 + 0, 14 (48, 5210 − 26, 5) ,
(5)
yC = 109, 9829 mm.
(6)
Itt most eltértünk a szabványban alkalmazott koordinátarendszertől.
2
3. ábra. Kinagyított részek A D pont yD koordinátájának számítása hasonlóképpen: yD = yT − 0, 14 (zT − zD ) = 106, 9 − 0, 14 (26, 5 − 11, 8438) ,
(7)
yD = 104, 8481 mm.
(8)
yB = yC + r2 · cosα = 109, 9829 + 5, 2 · cos7, 97◦,
(9)
yB = 115, 1327 mm.
(10)
yE = yD − r1 · cosα = 104, 8481 − 8, 7 · cos7, 97◦ ,
(11)
yE = 96, 2321 mm.
(12)
A B és E pontok y koordinátái:
Most már ismerjük az összes nevezetes pont koordinátáját. Ezeket összefoglalóan az 1. táblázat tartalmazza. 1. táblázat. A nevezetes pontok koordinátái y [mm]
z [mm]
A
120
53
B
115, 1327
53
C
109, 9829 48, 5210
D
104, 8481 11, 8437
E
96, 2321
4, 35
F
0
4, 35
G
96, 2321
13, 05
H
115, 1327
47, 8
T
106, 9
26, 5
3
Mivel a feladatkiírásban a nyíróerő az 1-es főtengelyre merőleges, emiatt a τ (y) =
V · S (y) Iz · w (y)
(13)
eloszlást keressük, ahol V a nyíróerő; S (y) az y helytől kifele levő keresztmetszetrész statikai nyomatéka a z tengelyre; Iz a teljes keresztmetszet másodrendű nyomatéka a z tengelyre; w (y) pedig a keresztmetszet z irányú "húsvastagsága" az y helyen. Az előzőekből következik, hogy a további számításoknál szükség lesz a keresztmetszet kontúrját leíró f (y) függvény ismeretére. Mivel a kontúr több részből tevődik össze, emiatt a teljes tartományt 5 részre (I - IV) osztjuk, ahogyan azt a 4. ábra szemlélteti.
4. ábra. A keresztmetszet felosztása Az így kapott függvények értelmezési tartományai: fI fII fIII fIV fV
: : : : :
y y y y y
−→ −→ −→ −→ −→
z, z, z, z, z,
y y y y y
∈ yF . . . yE , ∈ yE . . . yD , ∈ yD . . . yC , ∈ yC . . . yB , ∈ yB . . . yA ,
y ∈ 0 . . . 96, 2321, y ∈ 96, 2321 . . . 104, 8481, y ∈ 104, 8481 . . . 109, 9829, y ∈ 109, 9829 . . . 115, 1327, y ∈ 115, 1327 . . . 120.
(14) (15) (16) (17) (18)
A következőkben ezen függvények felírása következik. Az fI egy konstans értékű függvény, tehát fI (y) = zF = 4, 35. (19) Az fII egy körívet ír le, melynek egyenlete (y − yG )2 + (z − zG )2 = r12 , melyből z-re nekünk az a megoldás kell ami a kör alsó részét írja le, vagyis q p fII (y) = zG − r12 − (y − yG )2 = 13, 05 − −y 2 + 192.4642y − 9 184.9271.
(20)
(21)
4
Az fIII egy egyenes egyenlete amely felírható a talprész meredekségének felhasználásával: fIII (y) = zD +
(zC − zD ) (y − yD ) = 7, 1429y − 737, 0745. (yC − yD )
(22)
A CB rész szintén egy körív, melynek egyenlete (y − yH )2 + (z − zH )2 = r22 ,
(23)
melyből z-re nekünk az a megoldás kell ami a kör felső részét írja le, vagyis q p fIV (y) = zH + r22 − (y − yH )2 = 47, 8 + −y 2 + 230, 2654y − 13 228, 4986.
(24)
Legvégül, az utolsó rész szintén konstansfüggvény, tehát
(25)
fV (y) = zB = 53.
Az fI (y)-fV (y) függvényeket és értelmezési tartományaikat összefoglalóan a 2. táblázat tartalmazza. 2. táblázat. A kontúrt leíró függvények
I II III IV
fi (y)
értelmezési tartomány
4, 35 p 13, 05 − −y 2 + 192.4642y − 9 184.9271
0 . . . 96, 2321
7, 1429y − 737, 0745
47, 8 +
V
p
−y 2 + 230, 2654y − 13 228, 4986 53
96, 2321 . . . 104, 8481 104, 8481 . . . 109, 9829 109, 9829 . . . 115, 1327 115, 1327 . . . 120
Iz számítása A keresztmetszet másodrendű nyomatéka a z tengelyre ismert a szabványból, de itt most kiszámítjuk a 2. ábra szerinti geometria ismeretében. Közel ugyanazt kell kapnunk. Eltérés abból adódhat, hogy a szabványban megadott értékek is kerekített értékek. Szimmetria okokból csak a negyedkeresztmetszetet vizsgáljuk. A keresett másodrendű nyomatékot a korábban bevezetett I-V részek segítségével az alábbiak szerint számíthatjuk: Iz = 4 · Iznegyed = 4 · IzI + IzII + IzIII + IzIV + IzV , (26) ahol IzI -IzV az I-V keresztmetszetrészek másodrendű nyomatéka a z-re. Tehát2 : IzI =
Z
y 2 · dA =
IzII =
y 2 · fI (y) dy = 1 292 194, 5106 mm4 ,
(27)
yF
(I)
Z
ZyE
y 2 · dA =
(II)
yD Z
y 2 · fII (y) dy = 544 120, 9954 mm4 ,
(28)
yE
2
Az itt lévő integrálások a MATHEMATICA szimbolikus matematikai szofterrel lettek számítva, nem kézzel! (http://www.wolfram.com/mathematica/)
5
Z
IzIII =
y 2 · dA =
=
Z
2
y · dA =
=
Z
(29)
y 2 · fIV (y) dy = 3 389 783, 5971 mm4 ,
(30)
y 2 · fV (y) dy = 3 566 088, 2159 mm4 .
(31)
ZyB yC
(IV)
IzV
y 2 · fIII (y) dy = 1 805 908, 5248 mm4 ,
yD
(III)
IzIV
ZyC
2
y · dA =
ZyA yB
(V)
Visszaírva (26)-ba kapjuk, hogy Iz = 42 392 383, 38 mm4 ≈ 4239 cm4 .
(32)
Az eltérés a szabványban közölt értéktől 4 239 − 4 250 × 100 = −0, 26%. 4 250
(33)
S (y) számítása Egy adott y koordinátától kifelé eső félkeresztmetszetrész (z-re nézve) statikai nyomatékának számítása a már korábban bevezetett I-V részek felhasználásával történhet. Ezen függvények a következőek (a 2-es szorzó azért szerepel, mert y-ra nézve szimmetrikusak ezek a részek): SV (y) = 2
Z
ZyA
y · dA = 2 y · fV (y) dy = 763 200 − 53y 2,
(34)
y
(V)
ahol SV (y) jelenti az V-ös részen lévő y koordinátától kifele eső keresztmetszetrész statikai nyomatékát a z-re. A IV-es résznél hasonlóképpen kell eljárni, viszont még hozzá kell adni a teljes V-ös rész általi statikai nyomatékot a z-re, amit úgy kapunk, hogy SV (y)-ba behelyettesítünk yB -t. Egyszerűsítés után: SIV (y) = SV (yB ) + 2
Z
y · dA = SV (yB ) + 2
ZyB
y · fIV (y) dy,
(35)
y
(IV)
SIV (y) = 694 177, 4605 − 47, 8y 2 p 2y 2 + 38, 3776y + 4436, 5396 + − −y 2 + 230, 2654y − 13 228, 4986 3 +3113, 1893 · arcsin [22, 1409 − 0, 1923y] . (36) Hasonló gondolatmenetet követve, a többi függvény: SIII (y) = SIV (yC ) + 2
Z (III)
y · dA = SIV (yC ) + 2
ZyC
y · fIII (y) dy,
(37)
y
SIII (y) = −4, 7619y 3 + 737, 0745y 2 − 2 459 788, 7941.
(38)
6
SII (y) = SIII (yD ) + 2
Z
yD Z
y · dA = SIII (yD ) + 2 y · fII (y) dy, y
(II)
SII (y) = 286 352, 4362 − 13, 05y 2 p 2 2y − 32, 0774y − 3137, 3323 −y 2 + 192.4642y − 9184.9271 + 3 −7283, 8048 · arcsin [11, 0612 − 0, 1149y] . Z
SI (y) = SII (yE ) + 2 y · dA = SII (yE ) + 2 (I)
(39)
ZyE
y · fI (y) dy,
(40) (41)
y
SI (y) = −2, 175y 2 + 102673, 0330.
(42)
w (y) számítása A (13) képletben szereplő w (y) függvény adja meg a keresztmetszet "húsvastagságát". Az itt alkalmazott jelölések esetén írhatjuk, hogy wi (y) = 2fi (y), ahol i=I,II,III,IV,V. A feszültségeloszlás szemléltetése Meghatároztunk mindent, ami szükséges a τi (y) függvények felírásához. Példaképp a τI (y) képlete: V · SI (y) V −2, 175y 2 + 102673, 0330 τI (y) = = , (43) Iz · wI (y) Iz 2 · 4, 35 τI (y) = V · 0.0005567744536130741 − 0.011794571576183922 × 10−6 · y 2 . (44)
A fenti képletbe ha V -t [N]-ban, y-t pedig [mm]-ben helyettesítjük be akkor τ -t [MPa]-ban kapjuk. A többi függvény kiírásától itt eltekintünk, mivel ezek (τV (y) kivételével, ami τI (y)hez hasonló) meglehetősen hosszú kifejezések. A nevezetes helyeken a τ értékeket a megfelelő koordináták behelyettesítésével kapjuk: τA τB τC τD τE τF
= = = = = =
0, τV (yB ) = τIV (yB ) = 13, 4984 × 10−6 · V, τIV (yC ) = τIII (yC ) = 29, 3795 × 10−6 · V, τIII (yD ) = τII (yD ) = 153, 66 × 10−6 · V, τII (yE ) = τI (yE ) = 447, 549 × 10−6 · V, τI (yF ) = 556, 774 × 10−6 · V.
(45) (46) (47) (48) (49) (50)
A feszültségeloszlást az 5. ábra szemlélteti.
7
5. ábra. A csúsztatófeszültség eloszlása
Közelítő megoldás A következőkben azt vizsgáljuk, hogy miképpen változnak az eredmények ha a talprész geometriáját úgy közelítjük, hogy a T pontban lévő közepes vastagsággal számolunk. Az így kapott geometriát a 6. ábra szemlélteti. Ez esetben a keresztmetszet másodrendű nyomatéka a z tengelyre: Iz =
106 · 2403 (106 − 8, 7) · (240 − 26, 2)3 − = 42 870 133, 45 mm4 ≈ 4 287 cm4 . 12 12
(51)
Az eltérés a pontos értéktől: 4 287 − 4 239 × 100 = 1, 13%. 4 239
(52)
A talprészen (övrészen) lévő y helytől kifelé eső keresztmetszetrész statikai nyomatéka a z tengelyre: 120 + y Stalp (y) = 106 · (120 − y) · = 763 200 − 53y 2 . (53) 2
8
6. ábra. Közelíto geometria A gerincrészen lévő y helytől kifelé eső keresztmetszetrész statikai nyomatéka a z tengelyre: 106, 9 + y = 4, 35y 2 + 207 246, 7735. (54) Sgerinc (y) = Stalp (106, 9) + 8, 7 · (106, 9 − y) · 2 A húsvastagságot leíró függvények: wtalp (y) = 106,
wgerinc (y) = 8, 7.
(55)
Tehát a talprészen (y = 106, 9 . . . 120) és a gerincrészen (y = 0 . . . 106, 9) érvényes csúsztatófeszültségfüggvények: V · Stalp (y) = V · 167, 949 × 10−6 − 0, 01166313 × 10−6 · y 2 , (56) τtalp = Iz · wtalp (y) V · Sgerinc (y) = V · 555, 666 × 10−6 − 0, 01166313 × 10−6 · y 2 . Iz · wgerinc (y) A függvényértékek a nevezetes helyeken: τgerinc =
τA τB τE τF
= = = =
0, τtalp (106, 9) = 34, 667 × 10−6 · V, τgerinc (106, 9) = 422, 384 × 10−6 · V, τgerinc (0) = 555, 666 × 10−6 · V.
(57)
(58) (59) (60) (61)
Az így kapott feszültségeloszlást a 7. ábra mutatja, feltűntetve szagatott vonallal a korábban számított pontos eloszlást. Látható, hogy a talp-gerinc találkozási rész környezetétől eltekintve, a két eloszlás közti eltérés a grafikus megjelenítési pontosságon belül van. Ennél a keresztmetszetnél a maximális csúsztatófeszültség az y = 0 helyen ébred. A közelítő és a pontos érték közötti eltérés: 555, 666 − 556, 774 × 100 = −0, 2%. (62) 556, 774
9
7. ábra. Közelítő feszültségeloszlás
10
