5-6:Layout 1
2008.09.15.
15:55
Page 1
01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 Alapozó szakasz 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 5–6. osztály 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 Kompetenciák fejlesztése 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 a matematikaórákon 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 Az oktatásnak alapvetô szerepe van abban, hogy gyermekeink – 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 akár a többi európai ország tanu01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 lói – megszerezzék azokat a kulcskompetenciákat, amelyek elen01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 gedhetetlenek a változásokhoz 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 való rugalmas alkalmazkodáshoz, 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 a változások befogadásához, saját sorsuk alakításához. Ha a peda01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 gógus jól ismeri tanítványai ké01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 pességeit, tanulási szokásait, érdeklôdéseit, motivációit, akkor a 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 Hajdu-taneszközcsaláddal opti01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 mális tanulásszervezést valósíthat 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 meg a kompetenciaalapú oktatás érdekében. 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000 01001000100001000001000000100000001000000100000000100000010000010000100000
Pedagógusok
a kompetenciákról
5-6:Layout 1
2008.09.15.
15:55
Page 2
2
A kompetencia alapú matematikaoktatás 5–6. osztály
1. Az iskolai matematikaoktatás jelenlegi problémái és jövôbeli feladatai Az iskolai matematikaoktatásnak — és általában az oktatásnak — sok nehézséggel kell szembesülnie. Ezek a nehézségek a társadalom minden területén jelentkeznek, és bizonytalanságot okoznak. Bizonytalan a pedagógus abban, hogy mit, mennyit, hogyan tanítson, és milyen szinten követeljen, bizonytalan a szülô, mert a társadalmi elvárások nagyon sokszor nincsenek összhangban az iskolai oktatással, s bizonytalanok a tanulók is — minden szinten — hogy mit, miért és hogyan tanuljanak, és miért éppen az a tananyag, amit el kell sajátítaniuk. A nehézségek a következô okokra vezethetôk vissza: 7 Az utóbbi évtizedekben, években felgyorsult a gazdasági, technikai fejlôdés, óriási társadalmi változások mentek végbe. Ez a fejlôdés folyamatos, és nagy valószínûséggel még nagyobb léptékû lesz a jövôben. Adott a kérdés: Milyen tudásra, képességre, készségre lesz szüksége a ma tanulójának a felnôtt — munkaképes — korban? Milyen ismeretekkel, képességekkel, kompetenciákkal kell rendelkeznie ahhoz, hogy a munkaerôpiacon reális esélyekkel pályázzon megfelelô munkára, azaz be tudjon illeszkedni a társadalomba? 7 Minden tudományterületen hatalmas fejlôdéseket tapasztalunk. Megállapíthatjuk, hogy az iskola
nem tudja egész életre — vagy annak jelentôs részére — érvényes tudással ellátni a tanulót. Mi az oktatás teendôje? Hogyan tudjuk a tanulókat olyan ismeretekkel, kompetenciákkal ellátni, amelyek birtokában késôbb fejlesztheti önmagát, és alkalmazkodni tud a társadalom elvárásaihoz? A rohamosan bôvülô ismeretanyagból mi és hogyan építhetô és építendô be az iskolai tananyagba úgy, hogy ezt a tanulók még fel tudják dolgozni, el tudják sajátítani és tudják alkalmazni? 7 Az is nagy gondot jelent az oktatásban, hogy számos ismeretanyag, tudás elévül, jönnek új tudás-
elemek, új eljárások, hasznos — munkát gyorsító és könnyítô — eszközök. Mit hagyhatunk ki a tananyagból, és hogyan építhetjük fel az ismeretrendszert ilyen alapok hiányával. Példaként elég csak annyit megemlíteni, hogy a számológépek elterjedésével a szögfüggvénytáblázatok, a logaritmus és hatványtáblázatok használata teljesen kiküszöbölhetô, mint ahogy feleslegessé válhat a forgásszögek, negatív szögek tanítása is, hiszen néhány billentyû megoldja a problémákat. Adott a kérdés: kihagyhatjuk ezen anyagrészek tanítását, vagy nem, és, ha kihagyjuk, akkor hogyan építsük fel a szögfüggvények, vagy a logaritmus struktúráját? A problematikus témaköröket még hosszan lehetne sorolni. 7 Az információhordozó anyagok elterjedésével jelentôsen változott a tudásszerzés és tudásátadás
helyszíne. Tudomásul kell vennünk, hogy már nem az iskola az ismeretszerzés, a tanulás, a személyes kompetenciák kialakításának és fejlesztésének egyetlen és legfontosabb bázisa. A televíziónak, a számítógépes szoftvereknek és az internetnek a tudásátadásban, tudatformálásban jelentkezô szerepe jelentôsen megnôtt. Kérdés: mit, mennyit, hogyan tanítsunk az iskolában, illetve mennyiben és hogyan támaszkodjunk az egyéb forrásokra? Elutasítani a média szerepét legalább olyan káros, mint teljes egészében erre építeni az oktatást. Az arányok megtalálása a pedagógus elsôrendû feladata. 7 A társadalom, a gazdaság a közvetlenül alkalmazható tudást követeli meg. A társadalom, a
vállalatok nem tudnak hosszú idôt — és költséget — fordítani arra, hogy új szakembert — legyen az pedagógus, orvos, mérnök, kômûves, ács stb. — az adott munkára kiképezzék.
5-6:Layout 1
2008.09.15.
15:55
Page 3
3 Adódik a kérdés. Hogyan elégíthetô ki a társadalom ilyen irányú igénye úgy, hogy a tanítási-tanulási folyamat pedagógiai alapelvei ne sérüljenek. Azaz visszatérô kérdés: mit, mennyit, hogyan tanítsunk? 7 A nemzetközi mérések a magyar diákok folyamatos lemaradásáról írnak. Azt vetik a magyar
oktatás szemére, hogy „lexikálistudás-központú”, ahelyett, hogy az alkalmazásra helyeznék a nagyobb hangsúlyt. Különösen fájó, hogy az értelmes, elemzô olvasás területén a középmezôny alatt vagyunk, s a tanulók nagy százalékának gyengék a szövegértési kompetenciái. Csak olvassák a szöveget, de nem értik, a lényeges jegyeket nem tudják kiemelni, a feleslegeseket elvetni, nem látják az összefüggéseket az adatok között stb. Azaz éppen a társadalmi beilleszkedéshez, az alkalmazkodáshoz, a kommunikációhoz szükséges tulajdonságokkal nem rendelkeznek. A fenti hat pontban az általunk legfontosabbnak tartott problémákat soroltuk fel. Valószínûleg még hosszan lehetne sorolni oktató-nevelô munkánk fogyatékosságának okait, de úgy gondoljuk ennyi is elég ahhoz, hogy „hagyományos” oktatásunk — ezen belül a matematikaoktatásunk — megújítását elôtérbe helyezzük. Ez a reform a tananyag tartalmában is, de legfôképp a választott munkaformában, módszerben, eszközben kell, hogy jelentkezzen. Ez a változás kihat a tanár—diák viszonyra, az elsajátítandó ismeretanyag mennyiségére, minôségére, az ellenôrzésére és értékelésére, a motivációra, az oktatási segédanyagok teljes körére, a tankönyvek modernizációjára, és a sort még hosszan lehetne folytatni. 2. A matematikatanulás cél-, feladat- és követelményrendszere Minden országban, mindenfajta társadalmi berendezkedésben döntô kérdés, hogy mire nevel, mit és hogyan tanít az iskola. (Ez még akkor is igaz, ha az utóbbi években erôsen érzôdnek a tanulók nevelésében az iskolán kívüli hatások.) Az oktatás tartalmát, formáját, céljait, követelményeit a társadalom elvárásai határozzák meg — természetesen a pedagógiai és a pszichológiai szempontok figyelembevételével. Az is tudott dolog, hogy bármilyen társadalmi rendszerben, akármilyen követelményeknek megfelelôen is tanítunk, de nem céltudatosan, akkor munkánk nagy valószínûséggel eredménytelen lesz. A matematika tanítása során élményeket, képzeteket, ismereteket, gondolkodási mûveleteket, fogalmakat, értelmi cselekvési terveket, képességeket, készségeket, beállítódásokat, algoritmusokat, kreatív személyiségtulajdonságokat, térszemléletet, kombinatorikus gondolkodásmódot, gyakorlati alkalmazásra való képességet stb. alakítunk ki tanítványainkban. Ezek képezik a matematikai kompetenciákat. Tehát nem az a célunk, hogy a tanulók a definíciókat, tételeket pontosan kimondják, (bár ez sem kevés) hanem az, hogy az ismereteik alkalmazásra képesek, aktívak, nyitottak, rendszeresek, mobilizálhatók legyenek. A célok megvalósításának fô területei: 7 A tananyag tartalma A feladatok szövegezése, állítások logikai értékének meghatározása, gyakorlati vonatkozások, rendezés, algoritmusok, táblázatok, grafikonok készítése, elemzése, cselekvési tervek végrehajtása, ellenôrzés, önellenôrzés, mûveleti sorrendek, problémák megfogalmazása, megoldása, tájékozódás térben és idôben stb. 7 A választott munkaforma, módszer, eszköz Egyéni munka, önálló munka, csoportmunkában közös tanulói tevékenység, egymás gondolatmenetének követése, kiegészítése, vitakészség, manipulatív tevékenység, tárgyak, eszközök helyes használata stb. 7 A tanár személyisége Pedagógiai tapintat, türelem, megértés, következetesség, megbízhatóság, pontosság, egyszerûség, egyenlô bánásmód, korrekt értékelés, munkaszeretet, szorgalom, kitartás, nagy tárgyi tudás.
5-6:Layout 1
2008.09.15.
15:55
Page 4
4 A teljesség igénye nélkül felsorolunk néhány olyan célt, amelyet a matematikatanítás során megvalósíthatunk. 7 Kreatív személyiségtulajdonságok fejlesztése (Problémaérzékenység, rugalmasság, hajlékonyság, ötletgazdagság, könnyedség, eredetiség, kidolgozottság, újrafogalmazás, kiterjesztés, transzferálás.) 7 Gondolkodási mûveletek fejlesztése (Analízis, szintézis, absztrahálás, konkretizálás, általánosítás, specializálás, összehasonlítás, kiegészítés, rendezés, rendszerezés, analógia, összefüggések feltárása, lényegkiemelés, ítéletalkotás, fogalomalkotás, bizonyítás.) 7 Ítélôképesség fejlesztése (Állítások logikai értékének meghatározása, a megoldás helyes vagy helytelen volta, adatok szükségessége, elégségessége, a felesleges adatok kiszûrése, eredmények életszerûsége.) 7 Kombinatorikus gondolkodásmód kialakítása, fejlesztése (Minden adatot számba vettünk-e, az összes lehetséges és szükséges összefüggést megtaláltuk-e.) 7 Bizonyítási igény fejlesztése (Válaszok indoklása, ok-okozati összefüggések helyes használata, helyes érvelés. Ezáltal válik tudatossá a matematikai – és a társadalmi – tevékenység.) 7 Algoritmikus gondolkodásmód kialakítása, fejlesztése (Optimális cselekvési tervek készítése, a tervek végrehajtása, egyszerûség, célszerûség, pontosság, hatékonyság.) 7 Térszemlélet kialakítása, fejlesztése (Tájékozódás térben és idôben, térbeli relációk felismerése, geometriai ismeretek gyakorlatban történô alkalmazása.) A felsorolást még hosszan lehetne folytatni, de ebbôl a rövid felsorolásból is érzékletessé válik, hogy a társadalmi beilleszkedésben milyen nagy jelentôsége van a matematikatanulásnak. Az is nyilvánvaló, hogy csak a lexikális ismeretek átadása milyen nagy veszélyt rejt magában, milyen óriási hiányosságokat eredményezhet a tanulói személyiség fejlôdésében. Tehát amikor a kompetencia-alapú matematikaoktatásunkat tervezzük, úgy kell a tananyag tartalmát összeállítanunk, a munkaformákat, a módszereket, az eszközöket, a tanítási eljárásokat, az ellenôrzési formákat megterveznünk, hogy a korábban említett célok, célrendszerek közül a lehetô legtöbbet megvalósítsunk mind a tanórán, mind a tanórán kívül.
3. Az értékes, érvényes, hasznosítható tudás jellemzôi Csapó Benô: Tudás és iskola címû mûvében olvashatjuk, hogy a tudás rendszerének kialakulásában három alapvetô rendszerképzô elv érvényesül. Nevezetesen a szakterület, a kultúra és az emberi megismerés pszichológiája. A szervezett tudásban valamilyen mértékben mindhárom szervezô elv jelen van, de súlyuk különbözô. Ezen rendszerképzô elvekhez kapcsolódó területek az értékes, érvényes, hasznosítható tudás területei: szakértelem, mûveltség, kompetencia. Szakértelem Az adott szakterület által meghatározott konkrét ismeretek, készségek és képességek együttese. A szakértelem magában foglalja a tartalmat, az összefüggéseket, a helyzetet, a környezetet, a körülményeket, a felhasználhatóságot és a témán belüli alkalmazhatóságot. Fontos jellemzôje az azonnali felhasználhatóság, hiszen a szakértô nagyon jól ismeri azokat a szituációkat, amellyel tevékenysége során találkozhat. Hátránya viszont az, hogy nem lehet széles
5-6:Layout 1
2008.09.15.
15:55
Page 5
5 körben alkalmazni (az adott témán kívül) és kevésbé transzferálható. Erôsen tartalomfüggô. Elônye az is, hogy nem kötôdik életkorhoz, viszonylag idôs korban is bôvíthetô. Sajnos iskoláink többségében a szakértelem jellegû tudást közvetítik a tanárok, így a személyiség mindenoldalú fejlesztése csorbát szenved. A tanulóink úgy tanulják a biológiát, a kémiát, a matematikát stb., mintha biológusnak, vegyésznek, vagy matematikusnak képeznék ôket, közben elfeledkezünk az egyéb nevelési lehetôségekrôl. Mûveltség A mûveltség úgynevezett „civil” tudás, ami a hétköznapi életben alkalmazható, mindenki számára kötelezô tudást jelent. Az adott kultúrában meghatározó, felhasználható készségek, képességek, ismeretek összessége. A mûveltség társadalmilag értékes tudás. Hatásai: 7 Hatékonyan segíti az egyén fejlôdését. 7 Elôsegíti a személyes boldogulást. 7 Kihat a másokkal való kapcsolattartásra. 7 Pozitív hatással van a társadalmi munkamegosztásban való részvételre. 7 Többnyire emberi alkotásokban, közvetítôkön (könyvek, alkotások, médiumok, személyek) keresztül sajátítható el. Jellemzôi: 7 Közepes mértékben tartalomfüggô. 7 Bizonyos határok között transzferálható. 7 Nagyrészt kijelentô, kinyilatkozó. 7 Inkább terjedelmi jellegû. 7 Fejlesztése nem kötôdik életkorhoz. A mûveltség és a szakértelem azonos területeken, közel ugyanazon elemekbôl szervezôdik, de míg a szakértelemnél a szakterület szervezôdési elvei érvényesülnek, addig a mûveltség esetében a társadalmi közeg, a tágabb kultúra a meghatározó. Amíg a szakértelem folyamatos gyakorlás, hasonló kapcsolatokban történô alkalmazás során optimalizálódik, addig a mûveltség inkább az elemeknek egy lazább, nem szerves összefüggést feltételezô kapcsolatrendszerben alakul ki és fejlôdik. Kompetencia A kompetencia nagyrészt a környezettel való spontán kölcsönhatásban, kölcsönös viszonyban alakul ki. A kompetenciák leginkább természetes tanulás során fejlôdnek ki. Ez a természetes tanulás — a környezettel való aktív kapcsolat miatt is — könnyed, kevésbé energiaigényes, éppen ezért nagyon hatékony. Ha viszont nem tudjuk megteremteni a természetes tanulás feltételeit, akkor tanulásunk nehézkes, energiaigényes, kevésbé hatékony, mesterséges tanulás lesz. Ez erôsen rontja a megfelelô kompetenciák kialakulását. A kompetenciák kialakulása erôsen életkorfüggô. Fiatalabb korban lényegesen hatékonyabban, eredményesebben alakítható ki, mint idôsebb korban. Jellemzô még a kompetenciára, hogy kevésbé tartalomfüggô, szélesebb körben alkalmazható, transzferálható, mint a mûveltség, vagy a szakértelem. Értékes, érvényes, használható tudást akkor szerez a tanuló, ha mindhárom terület — a szakértelem, a mûveltség és a kompetencia — egymást feltételezve, kiegészítve harmonikusan fejlôdik, ha megszerzi a tanuló a társadalmi beilleszkedéshez, tevékenységhez nélkülözhetetlen ismereteket, ezeket tudja alkalmazni, s közben olyan készségekre, képességekre tesz szert, amelyek alkalmassá teszik ôt a társadalmi munkamegosztásban való részvételre.
5-6:Layout 1
2008.09.15.
15:55
Page 6
6 4. A kompetenciák fejlesztésének lehetôségei a matematikaoktatásban Köztudott, hogy matematikát nem a matematikai ismeretek verbális elsajátítása miatt tanítunk, sôt. A matematikatanulás során a tanuló nagyon sok területen fejlôdik, s fokozatosan válik alkalmassá a társadalmi beilleszkedésre. A következôkben azokat a kompetencia-területeket elemezzük, amelyek nagymértékben fejleszthetôk a matematikatanítás során, és megmutatjuk azokat a lehetôségeket, tevékenységi formákat, amelyek során ezek a képességek, készségek, jártasságok kialakulnak.
Ötödik osztály: Tk.111/B31d.
Értô olvasásra való képesség Felmérések sokasága mutatja, hogy a tanulók nagy százaléka az általános iskolából úgy kerül ki, hogy funkcionális analfabéta, azaz nem érti azt, amit olvas. Az értô olvasás hiánya, vagy alacsony fejlettségi szintje pedig azt eredményezi, hogy a tanuló nem tud eligazodni a társadalomban, nem tud kommunikálni, csökkennek a munkavállalási feltételei, és a felsorolást még hosszan lehetne folytatni. E képesség hiánya, vagy gyenge volta okozza azt is, hogy nem tud értelmesen tanulni a diák, nem érti az összefüggéseket, nem látja a lényeget és ennek közvetlen velejárója az értelem nélküli verbális tanulás, a magolás. (Ez is csak akkor, ha kellôen motivált a tanuló.) Már elsô osztálytól kezdve törekednünk kell arra, hogy ez a képesség prioritást élvezzen oktatónevelô munkánkban. Az értô olvasás leginkább szöveges feladatokon keresztül fejleszthetô. Mivel nincs a matematikában olyan témakör, amelyben ne lenne szöveges feladat, így az is elmondható, hogy az értelmes, elemzô olvasásra való képesség minden témakör tanításánál kialakítható, fejleszthetô. Néhány példa a fejlesztési lehetôségekre:
Hatodik osztály: Tk.62/97.
Az elsô, amit észreveszünk, hogy nem direkt mûveletre utaló a feladat, hanem szövegértelmezésre. Milyen adatokat találunk a feladatban, melyik adat szükséges a megoldáshoz, van-e olyan adat, amit nem használunk fel stb. Egy rajz elkészítése sokat segíthet a megértésben. Egy jó ábrából, vagy egy helyes értelmezésbôl rögtön kiderül, hogy nem megoldható a feladat, mert nem ismerjük a lánc hosszát. A feladat megoldásához javasoljuk a frontális munkát, mint munkaformát és a tanár-diák párbeszédet, mint módszert. Ha a tanulók el is játsszák a történést, megjelenítik mozgással a feladatot, akkor a megértés még könnyebbé tehetô. Tehát sok olyan szöveges feladatot kell adnunk tanítványainknak, amelyeknek nem kérjük a teljes megoldását, — hanem csak a szükséges és felesleges adatok kigyûjtését, az adatok közti összefüggések feltárását, a szövegnek megfelelô rajz, ábra, táblázat készítését és a megoldási tervet. Lehetôleg a legkevesebbet közöljük, és a legtöbbet kérdezzük a megoldással kapcsolatban. A jó tanári kérdések elengedhetetlenek az értô olvasás kialakításához.
5-6:Layout 1
2008.09.15.
15:55
Page 7
7 Az ilyen típusú feladatokkal is jól lehet fejleszteni az értô olvasást Könnyen lerajzolható, ezáltal értelmezhetô a feladat. Játékos formában tudjuk a tanulóval felfedeztetni azt a nem könnyû ismeretet, hogy a különbség nem változik, ha a kisebbítendôt és a kivonandót ugyanannyival változtatjuk. 1,26 — 0,72 = (1,26 — 0,6) — (0,72 — 0,6) = (1,26 + 0,72) — (0,72 + 0,72) A szövegelemzésbôl, a rajzból az is kiderül, hogy ha csökken a vízszint, akkor hosszabb lesz a víz feletti magasság, ha nô a vízszint, akkor kevesebb. Azt is érdemes ilyenkor megkérdezni, hogy vajon akkor is ennyi a különbség, ha például 80 cm-t emelkedik a víz szintje. Ennél a feladatnál is azt hangsúlyozzuk, hogy nem receptet kell adni a probléma megoldására, nem eljárást kell közölni a tanulóval, hanem alapos elemzô munkával olyan gondolkodási képességeket kell tanulóinkban kialakítani, amelyeket mind a matematika, mind a gyakorlati élet más területén is használhatnak. Hasonló fejlesztô feladatok válogathatók az algebra, a számelmélet, a geometria, a függvények, a kombinatorika témakörbôl is, és mind az új ismeretszerzésnél, a gyakorlásnál, mind a problémamegoldásnál nagymértékben támaszkodhatunk ezekre a feladatokra az értô olvasás fejlesztésénél. Problémamegoldásra való képesség A matematikai gondolkodásnak két alapvetô funkciója van: a megértés és a problémamegoldás. A megértés alapja — az elôzô pontban taglalt — értô olvasás, ami nagyon sok gondolkodási mûvelet meglétét feltételezi. A problémamegoldásra való képességhez egy sor egyéb pszichés tulajdonság megléte szükséges. Nevezetesen: kreativitás, összefüggések meglátása, ítélôképesség, bizonyításra való képesség, transzfer (azaz az ismeretek más területen való alkalmazása), kombinatorikus gondolkodásra való alkalmasság stb. Ezekbôl a felsorolásokból is látható, hogy mind a megértés, mind a problémamegoldás nagyon nehéz gondolkodási folyamat, ami nélkül sem matematikai, sem egyéb társadalmi tevékenység nem képzelhetô el. Ráadásul ez a két komponens nem is választható el egymástól, hiszen sokszor már a megértés is problémát jelent a tanulónak, amit meg kell oldani a megértéshez, míg megértés nélkül nem képzelhetô el problémamegoldás. Problémamegoldás nem létezik problémaérzékenység nélkül. Ha képesek vagyunk egy feladatban az adatokat, az összefüggéseket úgy boncolgatni, hogy a probléma elôbukkan, megértjük, hogy mit kérdez a feladat, és hajlandóságunk van arra, hogy a feltett kérdésekre válaszoljunk (azaz megoldjuk a problémát), vagy az adatok alapján kérdéseket tudunk konstruálni (azaz feladatot szerkeszteni), akkor ezt a képességet problémaérzékenységnek nevezzük. A probléma nem azonos az ismeretlennel való találkozással, hiszen az ismeretlennel való találkozás, egy fogalom kialakítása, egy feladat megoldása nem biztos, hogy probléma a tanuló számára. Ennek okai a következôk lehetnek: 7 Nincs meg a szükséges érdekeltség, hiányzik a motiváció, a tanuló nem akarja megoldani a problémát. 7 A tanuló ismeretei lényegesen magasabb szintûek, mint amit a feladat megoldása elvár tôle. Ebben az esetben jelenik meg az unalom a tanuló munkájában. 7 A feladat megoldásához lényegesen magasabb szintû ismeretek szükségesek, mint amikkel a tanuló rendelkezik. Ekkor a tanuló nem érti a kérdést, a feladat elveszti problémajellegét, érdektelenné válik a tanuló számára, kikerül a tanuló érdeklôdési körébôl. Ekkor jelenik meg a közömbösség a tanuló munkájában.
5-6:Layout 1
2008.09.15.
15:55
Page 8
8 Ezekbôl azt is leszûrhetjük, hogy a problémák nem egy adott korhoz kötôdnek, hanem viszonylagosak. Egy matematikai feladat valaki számára még nem, valaki számára már nem, valaki számára éppen probléma. Ezért fontos a tanárnak odafigyelnie mind az ismeretelsajátítási folyamatban, mind a gyakorlásnál arra, hogy az életkornak, a tanulók képességének, képzettségének megfelelô feladatokkal lássa el ôket, ügyelve a megfelelô „tálalásra”, azaz a motivációra is. A problémamegoldó képesség önmagától nem alakul ki. Erôs tanári irányításra, segítségre van hozzá szükség. Csak a jó problémamegoldó képességgel rendelkezô tanár tud jó problémamegoldási képességet kialakítani.
Ötödik osztály: Tk.111/B31d.
Nézzük a következô feladatot:
Egy feladatban nyílt (explicit) és zárt (implicit) állítások fordulnak elô. A nyílt állítások a szövegbôl kiolvasható adatok, összefüggések, mennyiségek, relációk, míg a zárt állítások a feladat megoldásához szükséges, a szövegben fel nem lelhetô képletek, összefüggések összessége. A szöveges feladatban rejlô probléma megoldását éppen a zárt állítások teszik nehézzé. Minél több van belôlük a feladatban, annál több korábbi ismeretet kell felhasználni. A fenti feladatban szereplô nyílt állítások: 408 láda szeget rendeltek, 4256 kg-ot leszállítottak, 275 ládát még fognak szállítani, minden ládában ugyanannyi szeg van. A feladat zárt állításai: a két ládamennyiség különbsége 4256 kg, egy ládában lévô szeg tömegét megkapjuk, ha a szeg tömegét osztjuk a ládák számával, a rendelt mennyiséget a 408 és az egy ládában lévô szeg tömegének szorzata adja. Észrevehetjük, hogy a feladatban minden adat szükséges a megoldáshoz, és nem hiányzik egy adat sem. Terv: A ládák számának különbségét vesszük és ezzel a számmal osztjuk a szeg tömegét. Ekkor megkapjuk, hogy hány kilogramm szeg volt egy ládában. Ha 408-at (a rendelt ládák számát) megszorozzuk ezzel a mennyiséggel, akkor megkapjuk, hogy hány kilogrammot rendelt a gyár. A terv végrehajtása: 408 — 275 = 133 (láda) 4256 : 133 = 32 (kg) 408 · 32 = 13056 (kg) Válasz: 13056 kg szeget rendelt a gyár. Ellenôrzés: 13056 — 4256 = 8800 (kg). Ennyit még nem szállítottak le. Ez 275 ládában fér el. 8800 : 275 = 32 (kg). Valóban 32 kg szeg volt egy ládában. (Természetesen többféleképpen ellenôrizhetô a megoldás helyessége.) A problémamegoldó képességen túl egy sor egyéb kompetenciaterületet is fejleszthetünk, ha a feladat megoldását nem nagyoljuk el, hanem figyelembe vesszük a didaktikai alapelveket. 7 Algoritmikus gondolkodás — A megoldás lépéseinek rendszere, az egymást követô fázisok hangsúlyozása.
5-6:Layout 1
2008.09.15.
15:55
Page 9
9 7 Függvényszerû gondolkodásmód — Kapcsolatok feltárása a ládák száma és a szeg mennyisége
között (egyenes arányosság). 7 Értô olvasás — az adatok elemzése, a nyílt állítások kigyûjtése, a zárt állítások megtalálása,
önellenôrzésre való képesség — jók-e az összefüggések, matematikailag helyes-e, és a gyakorlatnak megfelelô-e az eredmény. 7 Számolási készség — Kivonás, szorzás, osztás kétjegyûvel. 7 Gondolkodási mûveletek — A feladat megoldása megkívánja, hogy a tanulóik az analízis-szintézis, a rendezés-rendszerezés, az összefüggések feltárása és az ítéletalkotás gondolkodási mûveletekben jártasak legyenek. (Ha ezek a képességek még nem alakultak ki, akkor az ilyen típusú feladatokkal fejleszthetôk.) Számolási készség Többen lebecsülik, mások túlértékelik az embernek ezt a képességét. Az igazság a két szemléletmód között van. Csak azért „tudni számolni”, hogy öncélúan dicsekedjünk tudományunkkal (például többjegyû számot többjegyûvel „fejben” szorozni, osztani) nincs értelme, vagy legalábbis nem sok. De nem haszontalan, mert azt azért el kell ismerni, hogy az öncélú számolás is sok agysejtünket megmozgatja, fejleszti a memóriánkat és az algoritmikus gondolkodásunkat is. Olyan számolási készséget kell kialakítanunk a tanulóinkban, amely segíti ôket a társadalmi beilleszkedésben, a gyakorlati életben való alkalmazásban, a matematikai feladatok megoldásában és ezek által a gondolkodás fejlesztésében, az egyszerûségre és a célszerûségre való törekvésben. Elmondhatjuk, hogy az a számolási készség értékes, ami tudatosságon alapszik, ami alkalmazásra képes, ami eszköz egyéb matematikai és nem matematikai tevékenységhez. Tehát az „értelem nélküli” verbális számolási készség helyett a tudatos számolási készség kialakítása lehet a célunk. Ennek megfelelôen kell felépítenünk, megterveznünk a feladatsorokat is. Minden esetben törekednünk kell a célszerûségre, az egyszerûségre és a pontosságra. A fejlett számolási készséghez a becslés, a kerekítés, a becsült és a kerekített értékkel való számolás is elengedhetetlen. Az ember vásárláskor, üzletkötéskor, a munkában vagy máshol a gyakorlati életben nem pontos, hanem hozzávetôleges értékkel dolgozik, mintegy körülbelül megtervezve a tevékenységét, a fizetendô összeget, vagy a járandóságát, esetleg az elvégzendô munkára fordítható idôt, bizonyos megteendô távolságokat stb. Ehhez viszont nélkülözhetetlen a becslésre és a kerekítésre való képesség. A számolási készség fejlesztésére, a tudatos, célszerû, egyszerû számolási eljárások kialakítására számos példát találunk tankönyveinkben is.
Hatodik osztály: Tk.86/B47a.
Például:
az a) feladat megoldása:
5-6:Layout 1
2008.09.15.
15:55
Page 10
Hatodik osztály: Tk.87/B54.
10
a) 19 : 5 = (19 · 2) : (5 · 2) = 38 : 10 = 3,8; b) 3475 : 25 = (3475 · 4) : (25 · 4) = 13900 : 100 = 139; Az ilyen típusú feladatokkal tudjuk megmutatni, hogy a hosszú számolási eljárások helyett célszerû gondolkodni, s az egyszerûbbé, átláthatóbbá alakított mûveletet elvégezni. Összefoglalva: minden órán lehet és célszerû a tudatos számolási készséget fejleszteni, mert ez az eredményes matematikai tevékenység feltétele. Algoritmikus gondolkodásra való képesség Egy cselekvéssorozat megtervezése, a megtervezett cselekvéssorozat végrehajtása, azaz az algoritmikus gondolkodás, a mindennapi életünk egyik legfontosabb velejárója. Tudnunk kell megtervezni a napi munkánkat, tudnunk kell, hogy mit, mikor, milyen sorrendben és miért csinálunk. Ha gondolkodásunk csapongó, nem követ valamilyen rendszert, akkor a teljesítményünk hatásfoka is — ennek megfelelôen — kicsi lesz. A szükségesnél lényegesen több idôt és energiát fordítunk az adott tevékenység végrehajtására. Ebbôl következik, hogy meg kell tanítanunk a tanulókat a céltudatos, tervszerû munkára, hiszen éppúgy, mint a többi pszichés tulajdonság, az algoritmikus gondolkodás képessége sem veleszületett, nem alakul ki spontán módon, hanem hosszú folyamatban, sokszor ismételt, a felnôtt által irányított cselekvéssorozatokban alakul ki. A matematika — éppen a tárgy jellege miatt — nagymértékben hozzájárulhat ezen képesség kialakulásához, fejlôdéséhez. Gondoljunk az egyenletek megoldására, (arra, hogy hogyan követik egymást az azonos, illetve az ekvivalens átalakítások), a szerkesztések, a bizonyítások egymást követô lépéseire, a szöveges feladatok megoldásának fázisaira. Ezeknek a lépéseknek megvan egy jól meghatározott sorrendje, amitôl, ha eltérünk nem tudjuk megoldani a feladatot, vagy hibás megoldásra jutunk. Ugyanez a helyzet egy zárójeleket is tartalmazó mûveletsor mûveleti sorrendjével is. Hatodik osztály: Tk.52/B36.
Például:
A mûveletek sorrendje az egyik leghatékonyabb eszköz az algoritmikus gondolkodás kialakítására. Így tudjuk megmutatni, hogy más-más sorrend más-más eredményhez vezethet, holott csak egy helyes megoldás van. Tekintsük a c) feladatot. A fenti mûveletsorban gyakori hiba lehet, hogy 22,5 · 23 helyett (22,5 · 2)3-nal számol a tanuló, vagy 4,8 : 16 · 102 — 102 helyett 4,8 : 16 · (102 — 102)-nel stb. A 4,8 : 16 · 102 - ben is megvan a 4,8 : (16 · 102) hibalehetôség. A helyes mûveleti sorrend: hatványozás, szorzás, vagy osztás, összeadás, vagy kivonás. Az egyenrangú mûveleteknél balról jobbra haladva folyamatosan végezzük el a mûveleteket. Azt is tudatosítani kell a tanulókban, hogy a zárójel a fenti sorrendet befolyásolhatja. A helyes sorrend a fenti feladatban: 22,8 · 8 + 4,8 : 16 · 100 — 100 = 180 — 0,3 · 100 — 100 = 180 — 30 — 100 = 50 Az ilyen feladatokkal jól fejleszthetô a számolási készség is.
5-6:Layout 1
2008.09.15.
15:55
Page 11
11 A megoldás megtervezésének képessége Nagyon sokszor tapasztalja a pedagógus, hogy jól old meg a tanuló egy feladatot, de a megoldását nem tudja megindokolni, vagy rosszul indokol. Ez arra vezethetô vissza, hogy a feladat adataival véletlenszerûen végez mûveleteteket, és az esetek nagy részében ez helyes eredményre vezet. Az ilyen hibák kiküszöbölése, valamint a matematikai és nem matematikai tevékenységek tudatos végrehajtása miatt szükséges ennek a területnek a fejlesztése. Minél magasabb szintû ez a képességünk, annál kevesebb energiával, annál tökéletesebben és kevesebb idôráfordítással tudjuk munkánkat végezni. A céltalan próbálgatások, a sok zsákutca, a sok téves út a tetemes idôveszteség mellett azt is eredményezi, hogy nem leszünk motiváltak az adott probléma megoldásában. A megoldás megtervezésének a képessége és az algoritmikus gondolkodásra való képesség között nagy hasonlóság van. Mindkettô feltételezi az optimális cselekvéssort, de a tervkészítés tudatos és megelôzi a tevékenységet, míg a megoldás algoritmusa véletlenszerûen és utólag is kialakulhat. A matematika minden témakörének tanítása során fejleszthetô és fejlesztendô ez a terület. A tervkészítést legtöbb esetben jól segíti egy rajz, egy jó ábra, esetleg az adatok táblázatba rendezése stb. A megoldás megtervezésének képessége és a tervkészítés igénye hosszú, kitartó, következetes tanári munka után alakul ki a tanulókban. E képesség kialakulása egyértelmûen tanárfüggô. Ha a tanár nem helyez rá kellô hangsúlyt, akkor a diákok sem tartják fontosnak. Amennyiben tanítványaink fejletlenek ezen a téren, nem képesek megoldási tervet készíteni, akkor kezdetben a tanár mutassa meg a tervkészítés fortélyait, majd a megoldás után rekonstruálják a tervet, azaz a megoldás lépéseit vessék össze a megoldási tervvel. Több ilyen közös tanulói-tanári tevékenység során végül kialakul a tanulóban ez a képesség.
Hatodik osztály: Tk.159/B15d.
Nézzünk egy példát a tervkészítésre:
Tekintsük a d) feladatot Terv: 7 Kiszámítjuk az eredeti téglatest térfogatát. 7 Kiszámítjuk a másik test térfogatát. 7 Ha az adott tömeg mérôszámát (kilogrammban) osztjuk a térfogat mérôszámával (köbdeciméterben), akkor megkapjuk 1 dm3 tölgyfa tömegét. (A tölgyfa sûrûsége.) 7 Az 1 dm3-es térfogat tömegének mérôszámát szorozzuk a másik test térfogatának köbdeciméterben vett mérôszámával. Ebbôl a tervbôl is kiolvasható, hogy a megoldás terve nem azonos az egyenletek felírásával, és az is, hogy nem tartalmaz részmûveleteket. A terv valójában egy vezérfonal, amely mentén végighaladva, az annak megfelelô mûveleteket elvégezve eljutunk a helyes eredményhez.
5-6:Layout 1
2008.09.15.
15:55
Page 12
12
Hatodik osztály: Tk.74/2-5.
A gyakorlati alkalmazásra való képesség Mint korábban írtuk, olyan matematikai ismereteket kell kialakítanunk a tanulókban, amelyek alkalmazásra képesek. Tehát nem önmagáért a matematikai tartalomért szerezzük az ismereteket, hanem azért, hogy azt más területen (egyéb tantárgyak, gyakorlati élet) is alkalmazni tudjuk. Többek közt azért is fontos ennek a képességnek a kialakítása, mert nagy motiváló hatással bír. Ha a tanuló látja tanulásának hasznát, érzi, hogy a gyakorlati életben fel tudja használni ismereteit, akkor nem tehernek, hanem hasznos idôtöltésnek, érdekes elfoglaltságnak érzi a tanulást. A társadalmi elvárások is azt mutatják, hogy ezen a területen kell leginkább megfelelni a tanulóknak. Már a fogalomalkotás, az ismeretszerzés kezdetén olyan példát adunk, amely megmutatja ennek az ismeretnek a gyakorlati vonatkozásait. Például a törttel való osztás szükségességét erôsen megkérdôjelezi a tanuló, ha csak közöljük, hogy törttel úgy osztunk, hogy a reciprokával szorzunk. Helyette célszerû egy olyan gyakorlati példasort adni, amely rávezeti a tanulót erre az ismeretre.
5-6:Layout 1
2008.09.15.
15:55
Page 13
Hatodik osztály: Tk.74/5.-75/6.
13
A példasorból egyrészt tükrözôdik a gyakorlati élet, másrészt a matematikai tartalom. Egy (nem nulla) számmal osztani ugyanazt jelenti, mint reciprokával szorozni. Így az értelem nélküli verbális ismeretszerzés helyett a gyakorlati életet tükrözô, tudatos ismeretszerzés kerül elôtérbe.
5-6:Layout 1
2008.09.15.
15:55
Page 14
14
Hatodik osztály: Tk.175/21.
Függvényszerû gondolkodásra való képesség Sokan úgy gondolják, hogy a függvényszerû gondolkodásmód csak a Függvények, grafikonok, sorozatok témakör tanítása során alakítható ki, fejleszthetô tovább. Ez részben igaz, de ennél több is. A matematikában — de egyéb tantárgyakban is — minden mindennel kapcsolatba hozható, egymástól látszólag távol lévô ismeretek között is találhatók összefüggések. Például a számfogalom kialakításával a kisebb, nagyobb, egyenlô relációk, az oszthatósági szabályok, a mûveleti sorrendek, a terület, felszín, térfogatszámítás, a kombinatorikai ismeretek stb. elválaszthatatlan kapcsolatban áll. A következô geometriai példával azt szeretnénk igazolni, hogy a függvényszerû gondolkodás kialakítása, fejlesztése minden témakörnél megvalósítható.
Vizsgáljuk meg, hogy melyek azok az összefüggések, amelyek ismerete szükséges a feladat megoldásához. (A tanulónak a rajzból kell erre következtetnie, szükség esetén tanári segítséggel.) 7 Az egyenlô szárú háromszög alapon fekvô szögei egyenlôk. (Vagy egy háromszögben azonos nagyságú oldalakkal szemben azonos nagyságú szögek vannak.) 7 A háromszög belsô szögeinek összege 180o. 7 Mit értünk egy háromszög (sokszög) külsô szögén? 7 A belsô és a hozzá tartozó külsô szög összege 180o. 7 A belsô és a hozzá tartozó külsô szög mellékszögpárt alkotnak. A mellékszögek 180o-ra egészítik ki egymást. 7 A háromszög (sokszög) külsô szögeinek összege 360o. A kitöltött táblázat adatainak elemzése révén további összefüggések fedezhetôk fel. Milyen a háromszög, ha β = 45o ? Van-e olyan háromszög, amelynek két hegyesszög külsô szöge van? Lehet-e a β szög 90o-os? Ha γ = 60o, akkor milyen háromszögrôl beszélünk?
7 7 7 7
A feladatban rejlô összefüggéseket még hosszan lehetne sorolni. Konklúzióként azt szûrhetjük le, hogy nem receptet kell adni a tanulónak, nem közölni kell vele az ismereteket, hanem megfelelô tanári kérdésekkel, kifejezô ábrával fel kell fedeztetnünk az összefüggéseket.
5-6:Layout 1
2008.09.15.
15:55
Page 15
15 A matematikatanítás során fejleszthetô kompetenciaterületek közül hetet elemeztünk, még sok olyan terület van, ami fejleszthetô. A teljesség igénye nélkül felsorolunk néhányat: 7 konstrukciós képesség 7 következtetési sémák kialakítására való képesség 7 ítéletalkotásra, döntésre való képesség 7 motiváltság A fontos az, hogy a tanár úgy válassza meg a feladatanyagot, a munkaformát és a módszert, hogy ezen kompetenciaterületek közül a lehetô legtöbbet tudja fejleszteni a tanulókban. Az egyes kompetenciaterületek fejlesztéséhez bôséges és jó feladatanyag található a Hajdu-féle tankönyvcsalád könyveiben, feladatgyûjteményeiben (Mûszaki Kiadó, Budapest), de azt is tudnunk kell, hogy a tankönyv mellett a döntô szerep a szaktanáré.
Készítette: Dr. Czeglédy Istvánné A szerzôrôl: Nyíregyházán a Bessenyei György Tanárképzô Fôiskolán szerzett matematika-kémia szakos általános iskolai tanári diplomát, 1974-ben a debreceni Kossuth Lajos Tudományegyetemen matematika szakos középiskolai tanári oklevelet. 1967 óta: a nyírpazonyi Színi Károly Általános Iskola tanára, 1995—2006-ig, nyugdíjazásáig igazgatója. 1984—1995: a Bessenyei György Tanárképzô Fôiskola Matematika Tanszékén vezetett tantárgypedagógiai és elemi matematikai szemináriumokat, részt vett a tanszék kutatóprogramjában, a kutatásból több mint 40 publikáció jelent meg. 1990 óta vezetôtanár. 1992—1995: Szabolcs-Szatmár-Bereg megye vezetô matematika szaktanácsadója. Az Országos Közoktatási Szakértôi Névjegyzékben szerepel. Matematika-tankönyvek, tantárgy-pedagógiai kiadványok szerzôje, véleményezôje, tanácsadója. Több évtizede tart elôadásokat megyei, országos és határainkon túli konferenciákon is matematika tantárgy-pedagógiai, tankönyv és felmérô feladatsorok készítése témákban, valamint a matematika tanításának legújabb kutatásairól, módszertani eredményeirôl. Tanfolyamok: a matematika oktatása, módszertana, ellenôrzés-értékelés, minôségirányítás, intézményvezetés, szaktanácsadás körében. Egyesületek, iskolaszövetségek matematikaversenyeinek lebonyolítója, módszertani tanácsadója. Országos versenyek feladatait véleményezô tanár és zsûrielnök. 2006-tól Nyírpazony község önkormányzatának oktatásért és kultúráért felelôs alpolgármestere.
5-6:Layout 1
2008.09.15.
15:55
Page 16
Az igazán jó matematikafeladatok nemcsak a tananyagot kívánják megtanítani az adott évfolyamban, hanem széles körben fejlesztik a tanulók matematikai gondolkodását. Tudásrácsot alakítanak ki a tanulók fejében, amelyre koncentrikusan, a gyerekek életkori sajátosságainak megfelelôen épülnek a további ismeretek. Az elemzett feladatokat áttekintve láthatjuk, hogy egy-egy feladat megoldása során a részképességek, kompetenciák milyen nagyszámú fejlesztése és fejlôdése valósul meg. Mindenki, aki a Hajdu-féle tankönyvcsaládot használva alakította tanulóinak matematikai gondolkodását és tudásbázisát, biztos lehet abban, hogy kompetenciaalapú tudást nyújtott már akkor is számukra, amikor az oktatáspolitikánk ezen divatos kifejezése ebben az aspektusban még nem is létezett.
Műszaki Könyvkiadó Kft. 1033 Budapest, Szentendrei út 91–93. Tel.: (06-1) 437-2405; Fax: (06-1) 437-2404 e-mail:
[email protected] www.muszakikiado.hu
