Parciális integrálás §. PARCIÁLIS INTEGRÁLÁS .1. Parciális integrálás. Példák Legyenek a f ( x ) ,g ( x ) , f ' ( x ) ,g' ( x ) függvények folyamatosak
az [ a,b ] intervallumban. Ebből
∫ f ( x ) g' ( x )dx = ∫ f ( x ) dg ( x ) = = f ( x ) g ( x ) − ∫ g ( x ) f ' ( x ) dx
vagy (1)
∫ udv = uv − ∫ vdu ,
ahol u = f ( x ) , dv = g' ( x ) dx az integrálandó függvény részei. Az (1) képlet ilyen integrálokra vonatkozik: 1)
∫ Pn ( x ) e
kx
dx , ∫ Pn ( x ) sin kxdx , ∫ Pn ( x ) cos kxdx ,
ahol Pn ( x ) az x n alapú polinom-ja, és k állandó. Az ilyen tipusú integrálok megoldása magába foglalja: a) az u változónak polinom-nak kell lennie, pl. u = Pn ( x ) ; b) az (1) képlet n alkalommal való felhasználását. 2)
∫ Pn ( x ) ln xdx , ∫ Pn ( x ) arcsin xdx , ∫ Pn ( x ) arccos xdx , ∫ Pn ( x ) arctgxdx , ∫ Pn ( x ) arcctgxdx ,
ahol Pn ( x ) az x n alapú polinom-ja. A megoldás magába foglalja: a) u = f ( x ) ≠ Pn ( x ) ; b) az (1) képlet felhasználását.
3)
∫e
ax
cosbxdx , ∫ eax sinbxdx
ahol a,b bármely állandó. A megoldás magába foglalja: a) u = cosbx vagy u = sinbx ; b) az (1) képlet 2 alkalommal való felhasználását. 1
Parciális integrálás Maple parancsok. Az alábbi alprogram használatával könnyű megérteni az integrálok megoldásának folyamatát >with(student): a parancs >intparts(A,u)); ahol А az integrál >A:=Int(f,x); és az u függvényt az 1) ÷ 3) szabályok határozzák meg. Szintén hasznos lehet a simplify parancs használata az egyszerűbb végeredmény érdekében. Példa. Számoljuk ki a következő integrált I1 = ∫ ( 6 x − 3) sin 2 xdx . Matematikai megoldás. 6 x − 3 = u ⇒ du = 6dx 1
∫ sin 2 xdx = ∫ dv ⇒ v = − 2 cos 2 x I1 =
∫
⇒
⎛ 6 x − 3) d ⎜ − (1 424 3 u
1 ⎞ cos 2 x ⎟ = 2 ⎝14243 ⎠ v
∫
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ = ( 6 x − 3) ⎜ − cos 2 x ⎟ − ⎜ − cos 2 x ⎟ d ( 6 x − 3) = 1 424 3⎝ 2 424 3 2 ⎠ ⎝14243 ⎠ 1 14243 u u v
∫
v
1 ⎛ 1 ⎞ = ( 6 x − 3) ⎜ − cos 2 x ⎟ − − cos 2 x.6dx = 2 ⎝ 2 ⎠ 6x − 3 3 =− cos 2 x + sin 2 x + C . 2 2 Megoldás a Maple segitségével. >I[1]:=int((6*x-3)*sin(2*x),x); 3 3 I1 := sin ( 2 x ) − 3 x cos ( 2 x ) + cos ( 2 x ) 2 2 Részletes megoldás a Maple-ben. >with(student): 2
Parciális integrálás >A:=Int((6*x-3)*sin(2*x),x); A := ∫ ( 6 x − 3) sin ( 2 x ) dx >J:=simplify(intparts(A,6*x-3)); 6x − 3 J := − cos ( 2 x ) + 3 cos ( 2 x ) d x = 2 A J1 = 3∫ co s ( 2 x ) dx integral megoldása, mint általában: >J[1]:=int(3*cos(2*x),x); 3 J1 := sin ( 2 x ) 2 A megoldás: 6x − 3 I1 = − cos ( 2 x ) + J1 = 2 6x − 3 3 =− cos ( 2 x ) + sin ( 2 x ) + C . 2 2
∫
Példa. Számoljuk ki a következő integrált I 2 = ∫ ( x + 2 ) co s xdx . Matematikai megoldás. I 2 = ∫ ( x + 2 ) d ( sin x ) = ( x + 2 ) sin x − ∫ sin xd ( x + 2 ) =
= ( x + 2 ) sin x − ∫ sin xdx = ( x + 2 ) sin x + cos x + C .
Részletes megoldás a Maple-ben. >with(student): >A:=Int((x+2)*cos(x),x); A := ∫ ( x + 2 ) co s ( x ) dx >J:=simplify(intparts(A,x+2)); J := ( x + 2 ) sin ( x ) − ∫ sin ( x ) dx >J[1]:=int(sin(x),x); J1 := − cos ( x ) A megoldás: I 2 = ( x + 2 ) sin x − J1 = ( x + 2 ) sin x + cos x + C . Megoldás a Maple segitségével (ellenőrzés). 3
Parciális integrálás >A:=int((x+2)*cos(x),x); Példa. Számoljuk ki a következő integrált I3 = ∫ x 2 sin xdx Matematikai megoldás. ⎧⎪u = x 2 ⇒ du = 2 xdx ⎫⎪ ⎨ ⎬⇒ ⎪⎩ ∫ dv = ∫ sin xdx ⇒ v = − cos x ⎪⎭ I3 = ∫ { x 2 123 sin xdx = ∫ { x 2 d ( − cos x ) = 1 424 3 u u dv
( )
v
= − x 2 cos x + ∫ cos xd x 2 = − x 2 cos x + ∫ cos x.2 xdx = ⎧⎪u = x ⇒ du = dx ⎫⎪ ⎨ ⎬⇒ = ⇒ = dv cos xdx v sin x ⎪⎩ ∫ ⎪⎭ ∫ I 3 = − x 2 cos x + 2 ∫ {x d ( sin x ) = 123 u v
= − x 2 cos x + 2 ⎡ x sin x − ∫ sin xdx ⎤ = ⎣ ⎦ = − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C . Részletes megoldás a Maple-ben. >with(student): >A:=Int(x^2*sin(x),x): >J:=simplify(intparts(A,x^2)); J := − x 2 cos ( x ) + ∫ cos ( x ) 2 xdx >B:=2*Int(cos(x)*x,x): >J[1]:=simplify(intparts(B,x)); J1 : 2 x sin x − 2∫ sin xdx >J[2]:=int(2*sin(x),x): J 2 := −2 cos ( x ) A megoldás: I 2 = − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C Példa. Számoljuk ki a következő integrált
4
Parciális integrálás
I 4 = ∫ e−2 x co s xdx . Matematikai megoldás. ⎧⎪u = e−2 x ⇒ du = −2e−2 x dx ⎫⎪ ⎨ ⎬⇒ dv co s xdx v sin x = ⇒ = ⎪⎩ ∫ ⎪⎭ ∫ −2 x −2 x I 4 = ∫ e{ co s xdx sin x ) = 1 424 3 = ∫ e{d (1 23 u
u
dv
(
v
)
= e−2 x sin x − ∫ sin xd e−2 x = e −2 x sin x + 2 ∫ sin x e −2 x dx = {{ v
u
⎧⎪u = e−2 x ⇒ du = −2e−2 x dx ⎫⎪ ⎨ ⎬⇒ = ⇒ = − dv sin xdx v co s x ⎪⎩ ∫ ⎪⎭ ∫ −2 x I 4 = e −2 x sin x + 2 ∫ e{ d ( −co s x ) = 1 424 3 u v
= e−2 x sin x − 2e−2 x cos x + 2∫ co s xde−2 x = \ = e−2 x sin x − 2e−2 x cos x − 4∫ e−2 x sin xdx ⇒ I 4 = e −2 x sin x − 2e −2 x cos x − 4 I 4 ⇒
1 I 4 = e −2 x ( sin x − 2 cos x ) + C . 5 Részletes megoldás a Maple-ben. >with(student): >A:=Int(exp(-2*x)*cos(x),x): >J:=simplify(intparts(A,exp(-2*x)));
J := e(
−2 x )
Ebből
sin ( x ) + 2 ∫ e(
−2 x )
sin ( x )dx
J := e( ) sin ( x ) + J1 . J1 számitása: >B:=2*Int(exp(-2*x)*sin(x),x): >J[1]:=simplify(intparts(B,exp(-2*x))); −2 x
5
Parciális integrálás J1 := −2e(
−2 x )
co s ( x ) − 4 ∫ e(
−2 x )
sin ( x )dx
Eképpen, −2 x −2 x J := e( ) sin ( x ) − 2e( ) co s ( x ) − 4 J . Ebből következik, hogy 1 −2 x J := e( ) ( sin x − 2co s x ) + C . 5 Megoldás a Maple segitségével (ellenőrzés). >J:=int(exp(-2*x)*cos(x),x); Példa. Számoljuk ki a következő integrált x2 I5 = ∫ 2 dx . 2 x +a Megjegyzés. Ennek ez integrálnak a neve “100 000”, mivel 100 000 diák bukott meg a matematika vizsgáján emiatt az integral miatt. Matematikai megoldás. ⎧ ⎪ ⎪ ⎪u = x ⇒ du = dx ⎪⎪ x 1 dv dx = = ⎨ 2 2 2 2 ⎪ x +a ⎪ 1 ⎪ v ⇒ = − ⎪ 2 x2 + a2 ⎪⎩
∫ ∫(
)
(
)
I5 =
∫
∫(
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 2 2 ⎪ d x +a ⎬⇒ 2 2 2 ⎪ x +a ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎟= {x d ⎜ − 2 2 ⎟ 2 x +a u ⎝1442443⎠
(
)
v
=−
(
x 2
2 x +a
2
)
+
1 2
∫(
1 2
x +a
6
2
)
dx =
)
(
)
Parciális integrálás =−
(
x
2 x2 + a2
)
+
1 x arctg + C . 2a a
Részletes megoldás a Maple-ben. >with(student): >A:=Int(exp(-2*x)*cos(x),x): >J:=simplify(intparts(A,exp(-2*x))); ???
.2. Gyakorlás 1) Számoljuk ki a következő integrálokat I 6 = ∫ arctg 2 x − 1dx ,
I 7 = ∫ ln( 4 x 2 + 1 )dx ,
I8 = ∫ x 2e x dx ,
I9 = ∫ e3 x sin 2 xdx , I10 = ∫ sinln xdx .
I 6 matematikai megoldása. arctg 2 x − 1 = u ⇒ 1 2 1 du = ⋅ dx = dx ⇒ 2 2 2x −1 2x 2x −1 1 + 2x −1
(
)
∫ dx = ∫ dv ⇒ v = x I 6 = x.arctg 2 x − 1 − ∫ x ⋅
1
2x 2x −1 dx = xarctg 2 x − 1 − ∫ = 2 2x −1 1 = xarctg 2 x − 1 − 2x −1 + C 2
7
dx =
Parciális integrálás
I 6 megoldása Maple segitségével. >I[6]:=int(arctan(sqrt(2*x-1)),x); I 6 :=
1 ( 2 x − 1) arctg 2
(
)
2x −1 −
1 1 2 x − 1 + arctg 2 2
Megoldás a Maple segitségével. >I[7]:=int(ln(4*x^2+1),x);
(
)
I 7 := xln 4 x 2 + 1 − 2 x + arctan ( 2 x ) >I[8]:=int(x^2*exp(x),x); I 8 := x 2 e x − 2 xe x + 2e x >I[9]:=int(exp(3*x)*sin(2*x),x); 2 3x 3 3x I 9 := − e( ) cos ( 2 x ) + e( ) sin ( 2 x ) 13 13 >I[10]:=int(sin(ln(x)),x); 1 1 I10 := − cos ( ln ( x ) ) x + sin ( ln ( x ) ) x 2 2 2) Számoljuk ki a következő integrálokat I11 = ∫ x 2 sin xdx ,
I12 = ∫ xln xdx ,
I13 = ∫ x 2e5 x dx , 2
I14 = ∫ x5e x dx ,
I15 = ∫ e3 x ( sin 2 x − cos 2 x ) dx ,
I16 = ∫ x ( arctgx ) dx , 2
I17 = I18 =
∫ ∫
x.arctgx 2
dx ,
1+ x x 2 arctgx dx , 1 + x2
8
(
2x −1
)
Parciális integrálás
I 20
∫
arcsin x dx , 1− x = ∫ x 4e3 x sin xdx ,
I19 =
(
)
I 21 = ∫ ln x 2 + 2 dx ,
I 22 = ∫ x 2 ln (1 + x ) dx .
.3. Gyakorló teszt
Számoljuk ki a következő integrálokat I 23 = ∫ arctg xdx ,
I 24 = ∫ e2 x co s xdx , I 25 = ∫ ln2 xdx , I 26 =
∫
ln x x3
dx .
.4. Gyakorló kérdések 1) Magyarázza el a Parciális integrálás lényegét. 2) Hogyan tudná meghatározni az u függvényt a Parciális integráláshoz? 3) Magyarázza meg a következő Maple parancsok jelentését: with(student): A:=Int(f,x); intparts(A,u)); simplify
9
