Integral Kompleks prepared by jimmy hasugian
752A4C6B
@jimlecturer
jimlecturer
wp.me/p4sCVe-e
Review Analisis Kompleks Sebuah Fungsi Kompleks disebut Analitik dalam domain tertentu, jika fungsi tersebut dapat diturunkan (differentiable) dalam domain tersebut.
Fungsi kompleks bersifat analitik dalam domain D, jika dan hanya jika memenuhi Persamaan Cauchy-Riemann.
Pendahuluan Integral Kompleks merupakan salah satu bahasan yang menarik dalam Analisis Kompleks
Alasan Utama mengapa Integral Kompleks sangat penting adalah karena integral ini dapat digunakan untuk mengevaluasi Integral Ril tertentu yang muncul dalam aplikasi namun tidak dapat dianalisis menggunakan metode kalkulus Integral Ril.
Integral Kompleks Integral Kompleks sering juga disebut sebagai Integral Garis Kompleks (atau Integral Garis), karena karakteristik Integral Kompleks memiliki kesamaan dalam pengerjaan Integral Garis Integrand
“kurva” atau jalur integrasi
dapat dinyatakan dalam persamaan parametrik
Integral Kompleks Biasanya dituliskan dalam bentuk:
atau
C adalah kurva dengan jalur tertutup
Asumsi Umum Semua jalur dalam Integral Kompleks dianggap sebagai “potongan yang halus” (piecewise smooth).
Sifat-sifat Integral Kompleks
Sifat-sifat Integral Kompleks
Integral Kompleks – Fungsi Analitik Jika adalah fungsi analitik, maka akan terdapat sehingga , maka Integral Kompleks dapat dievaluasi sebagai berikut:
Integral kompleks pada kurva tertentu tidak hanya tergantung pada titik awal dan titik akhir dari kurva, namun juga dipengaruhi oleh bentuk kurva tersebut.
Contoh Hitunglah integral kompleks berikut ini:
Apakah fungsi analitik? Apakah ada sebuah fungsi ) sehingga jika diturunkan
Hitung integral kompleks menggunakan rumus integral
Persamaan Parametrik Kadang kala untuk mengerjakan Integral Kompleks, diperlukan persamaan parametrik untuk menguraikan kurva C
Persamaan Parametrik
Hubungan antara dan terlihat “jelas” Substitusi nilai ke dalam persamaan kurva
Hubungan antara dan tidak terlihat “jelas”
Persamaan Parametrik Tidak terlihat “jelas” hubungan antara
parameter
Garis Lurus
dan
Lingkaran
Ellips
CONTOH Hitunglah Integral kompleks berikut, pada jarak terpendek dari titik ke titik
CONTOH Persamaan Garis lurus melalui (1,1) dan (3,3)
Cauchy’s Integral Theorem (CIT) Integral fungsi kompleks tidak hanya dipengaruhi oleh titik-titik ujungnya, melainkan juga bentuk kurva C Simple Closed Path (jalur tertutup sederhana)
Simply Connected Domain (domain terhubung sederhana)
Cauchy’s Integral Theorem (CIT) Jika bersifat analitik di dalam domain terhubung sederhana maka untuk semua jalur tertutup sederhana di dalam , berlaku: Tidak ada Arah (+) Berlawanan Jarum Jam
Pole di dalam atau “pas” di C
Jika bersifat analitik di dalam domain terhubung sederhana maka integral bersifat bebas jalur (independent path)
Cauchy’s Integral Theorem (CIT) Principle of Deformation of Path (PDP) (Prinsip Deformasi /Pengubahan Jalur)
Sepanjang jalur “alternatif” yang dapat dibentuk tetap berada dalam daerah terhubung sederhana (simply connected domain) , dan bersifat analitik, maka hasil integralnya akan selalu sama.
Cauchy’s Integral Theorem
Dapatkan diterapkan jika Domain yang ditinjau tidak Simply Connected Domain?
Perlu Trik Khusus….
Multiply Connected Domains
Doubly Connected Domain
Triply Connected Domain
Cauchy’s Integral Formula (CIF) Cauchy’s Integral Theorem dikembangkan lagi menjadi Cauchy’s Integral Formula. Bagaimana jika ada Pole di dalam kurva C
Diketahui bersifat analitik di dalam domain terhubung sederhana . Maka untuk sebarang titik di dalam serta kurva sederhana melingkupi , berlaku:
Cauchy’s Integral Formula (CIF) PERHATIKAN kedua Integral Cauchy berikut
Cauchy’s Integral Theorem
Pengertian Seluruh Integrand (fungsi)
Cauchy’s Integral Formula
yang berbeda Hanya bagian yang tidak ada Pole
Derivative of Analytic Functions Jika adalah fungsi analitik di dalam domain , maka akan memiliki turunan semua orde di dalam (yang juga bersifat analitik). Nilai turunan pada titik di dalam adalah:
Derivative of Analytic Functions
Dapat pula “ditulis” ulang sebagai
Pengembangan lebih lanjut dari CIF
Morera’s Theorems Teorema ini merupakan “kebalikan” dari Cauchy’s Integral Theoram (CIT)
Jika adalah fungsi yang kontinu di dalam domain terhubung sederhana (simply connected domain) , dan jika
untuk setiap jalur tertutup di dalam maka bersifat analitik di dalam
,
Analitik
Referensi •
Erwin Kreyszig. 2011. Advanced Engineering Mathematics. Ed 10th. USA : John Wiley & Sons, Inc.
