√ −1, avagy a hull´ amf¨ uggv´ eny f´ azisa P. A. Horv´athy Laboratoire de Math´ematiques et de Physique Th´eorique Universit´e de Tours Parc de Grandmont; F-37 200 TOURS (France) e-mail:
[email protected]
Kivonat A harmonikus oszcill´ ator hull´ amf¨ uggv´eny´enek f´ azisa f´elperi´ odusonk´ent −π/2-vel ugrik. Szemiklasszikus k¨ ozel´ıt´essel az eredm´eny tetsz˝ oleges rendszerre kitejeszthet˝ o.
1
Huszonhat ´ ev ut´ an
K¨ ozelgetek h´ at u ´jra, k´ osza a ´rnyak kik hajdan m´ ar felt˝ untetek nekem. Ez´ uttal vajha megragadhatn´ alak? Ily pr´ ob´ ara alkalmas m´eg szivem? (Goethe: Faust)
Megt¨ort´enik, hogy egy probl´ema ,,ostinato”-szer˝ uen k´ıs´eri v´egig az ember ´elet´et: fiatal korunkban bel´ej¨ uk akadunk, [valamennyire] megoldjuk, majd elfelejtj¨ uk o˝ket. Azt´an ´evek m´ ult´an u ´ jra felbukkannak. Egy ilyenr˝ol sz´amolok itt be. Tavaly az ,,egydimenzi´os orsz´ag”, Chile d´eli fert´aly´aba h´ıvtak konferenci´ara. Kocsival j¨ottek ´ertem a Santiago-i sz´allod´aba: hossz´ u nap, 900 km-es aut´ou ´ t a´llt el˝ott¨ unk. – Huszon¨ ot ´eve m´ ar √ ´ tal´ alkoztunk! – ny´ ujtotta a kez´et Marcelo ´es m´ar mes´elte is: – ,, Eszrevettem, hogy −1 = i ! – ´ dicsekedt´el a marseille-i int´ezeti k¨ onyvt´ arban. – Es mit kezdesz vele? – tam´ askodtam. – Publik´ alom! – v´ agtad r´ a! ” – kuncogott Marcelo. T¨ort´enet´eben magamra ismertem: ´ıgy volt! 78 okt´ober´eben ´erkeztem Marseillebe, friss egyetemi doktorimmal a zsebemben. Professzorom, Jean-Marie Souriau, a geometriai kvant´al´as m´odszer´enek megalkot´oja, a hull´amf¨ uggv´eny f´aziskorrekci´or´ol ´ırt, terjedelmes cikk´et [1] adta a kezembe els˝o olvasm´anynak. Kem´eny differenci´algeometria; m´asnapra m´ar olyan volt a fejem, mint a m´ehkas, z¨ umm¨og¨ott benne a sok szimplektikus kohomol´ogia. Annyit az´ert siker¨ ult kih´amoznom, hogy ,,Feynman oszcill´ ator - propag´ atora csak az els˝ o f´el-peri´ odusban helyes; ut´ ana – s minden tov´ abbi f´elperi´ odus ut´ an u ´jra – a f´ azis −π/2-vel ugrik”. Hogy lehetne ezt emberi ´esszel meg´erteni? – t˝ un˝odtem. Feynman k¨onyv´ebe [2] beleolvasva,
l´attam, hogy egy v´egtelen szorzat n´egyzetgy¨ok´et kell meghat´arozni. Az els˝o f´elperi´odusban valamennyi faktor pozit´ıv, ´es ekkor Feynman formul´aj´at kapjuk. N f´elperi´odus eltelte ut´an (de (N + 1)
1
el˝ott) azonban, a fenti szorzat els˝o N faktora negat´ıvv´a v´alik, s ezek n´egyzetgy¨okei rendre, o¨sszesen N -szer,
π 1 √ = −i = e−i 2 −1 -vel szorozz´ak a propag´atort. Ett˝ol eltekintve, minden u ´ gy megy, mint el˝otte! √ A dolog nyitja teh´at val´oban a −1 volt, ´es Marcelo is j´ol eml´ekezett: ´eszrev´etelemet pub-
lik´altam [3]. De akkori cikkem csak a j´eghegy cs´ ucsa: amit innen-onnan hozz´aolvastam s meg´ertettem, az jobb´ara k´eziratban maradt. Ezt az ,,ad´oss´agot” t¨orlesztem most. Mint al´abb l´atni fogjuk, a probl´ema o¨sszef¨ ugg azzal a k´erd´essel: mennyiben minim´ alis a klasszikus mozg´ as hat´ asa? Intuit´ıve [4], a hamiltoni hat´as egy, az ,,¨osszes lehets´eges g¨orbe alkotta v´egtelen dimenzi´os fel¨ uleten” defini´alt f¨ uggv´eny. A vari´aci´osz´am´ıt´as val´oj´aban differenci´alsz´am´ıt´as ezen a fel¨ uleten; Hamilton elve azt mondja, hogy a klasszikus mozg´as az, amelyre a hat´as els˝o ,,deriv´altja” (azaz az els˝o vari´aci´o) elt˝ unik [5]. Hogy ez minimum-e vagy se, azt (j´o esetben) a m´asodik vari´aci´o d¨onti el. Ut´obbi egy kvadratikus forma. Ha minden saj´at´ert´ek pozit´ıv, akkor a hat´as minimum, de ha van negat´ıv saj´at´ert´ek, akkor csak nyeregpont. Hasonl´o eredm´enyt kapunk a´ltal´anos mechanikai rendszerre szemiklasszikus approxim´aci´oval. Mi mindennek a fizikai k¨ovetkezm´enye? Klasszikus mechanik´aban semmi, — de kvantum mechanik´aban ´epp a fenti f´azisugr´as! A megfigyelhet˝os´eg k´erd´ese optikai anal´ogi´akhoz vezet [6]. Jegyezz¨ uk meg, hogy a hull´amf¨ uggv´eny f´azis-korrekci´oja Feynman integr´alt´ol f¨ uggetlen¨ ul is tanulm´anyozhat´o [7, 8]; ez´ert is szok´asos Maszlov-f´ele korrekci´or´ol besz´elni.
2
Feynman oszcill´ ator propag´ atora [2]
Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert tekints¨ unk el˝obb egy egydimenzi´os probl´em´at. Legyen x 1 ´es x2 k´et pont ´es legyen T > 0. Az x1 -b˝ol T id˝o alatt x2 -be men˝o klasszikus mozg´ast Hamilton nyom´an a legkisebb hat´ as elve [5] hat´arozza meg. Tekints¨ uk ehhez az o¨sszes olyan γ(t) g¨orb´et, melyre γ(0) = x 1 ´es γ(T ) = x2 . A hat´arfelt´eteleket kiel´eg´ıt˝o p´aly´ak o¨sszess´eg´et jel¨olje P. A hat´as ekkor egy P-n defini´alt f¨ uggv´eny:
S(γ) =
Z
T
L(γ(t), γ(t))dt, ˙
(2.1)
0
ahol L(x, x) ˙ a rendszer Lagrange f¨ uggv´enye. A legkisebb hat´ as elve szerint a a klasszikus mozg´as az a γ¯ , melyre a S minim´alis [5].
2
1. a´bra Az x1 ´es x2 pontokat T id˝ o alatt o ¨sszek¨ ot˝ o p´ aly´ ak egy ,,v´egtelen dimenzi´ os fel¨ uletetet” alkotnak. A hamiltoni hat´ as egy f¨ uggv´eny ezen a fel¨ uleten, melynek a klasszikus mozg´ as kritikus ,,pontja”. Kiv´eteles esetekt˝ol (l. al´abb) eltekintve, a kiszemelt pontokat adott id˝o alatt egyetlen klasszikus p´ alya k¨oti o¨ssze s ezen mozog a r´eszecske. De kvantummechanik´aban m´as a helyzet! A r´eszecske nem egyetlen, hanem minden, x1 − b˝ ol indul´ o ´es T id˝ o m´ ulva x2 -be ´erkez˝ o g¨ orb´en megy egyszerre!
Annak az ,,amplit´ ud´oja” [az amplit´ ud´o abszol´ ut ´ert´ek´enek n´egyzete, |ψ| 2 , a val´osz´ın˝ us´eg], hogy
a r´eszecske a t = 0 id˝opillanatban az x 1 -ben legyen, ψ(x1 ). T id˝o eltelt´evel, az x2 -beli ψT (x2 ) amplit´ ud´ot pedig u ´ gy kapjuk, hogy a x 1 -beli amplit´ ud´ot megszorozzuk az x 1 -b˝ol x2 -be t¨ort´en˝o a´tmenet K(x2 , T |x1 , 0) propag´ator´aval, majd az eredm´enyt az o¨sszes lehets´eges indul´asi pontra o¨sszegezz¨ uk. A hull´amf¨ uggv´eny id˝ofejl˝od´ese teh´at: UT ψ(x2 ) ≡ ψT (x2 ) = ahol a propag´ator Feynman szerint a exp
h
Z
∞ −∞
i h ¯ S(γ)
i
K(x2 , T |x1 , 0)ψ(x1 )dx1 ,
(2.2)
,,Dirac-faktor” ,,¨osszes g¨orb´ere vett integr´alja”:
i exp S(γ) Dγ. K(x2 , T |x1 , 0) = h ¯ P Z
(2.3)
De mi itt a Dγ integr´aci´os m´ert´ek? Ez a dolog neheze, mely matematikailag m´eg most sincs
kiel´eg´ıt˝oen megv´alaszolva de, – a matematika ´es fizika k¨ozti k¨ ul¨onbs´eg illusztr´aci´ojak´ent, – n´eha m´egis kisz´amolhat´o!
Tekints¨ unk egy tetsz˝oleges, a hat´arfelt´eteleket kiel´eg´ıt˝o γ g¨orb´et ´es bontsuk fel azt a klasszikus p´alya ´es egy ,,vari´aci´o” o¨sszeg´ere, γ(t) = γ¯ (t) + η(t),
ahol 3
η(0) = η(T ) = 0,
(2.4)
hiszen a v´egpontok r¨ogz´ıtettek. Az oszcill´ator Lagrange f¨ uggv´enye L=
m 2 (x˙ − ω 2 x2 ), 2
(2.5)
s ez´ert a γ menti hat´as: S(γ) =
Z
T 0
1 2
2
m(γ¯˙ − ω 2 γ¯ 2 )dt + m
Z
T
(γ¯˙ η˙ − ω 2 γ¯ η)dt + 21 m
0
Z
T 0
(η˙ 2 − ω 2 η 2 )dt.
(2.6)
Az els˝o tag a klasszikus trajekt´oria menti hat´as, S(¯ γ ). Oszcill´ator eset´en: x ¨ + ω2x = 0
⇒
x(t) = A sin ωt + B cos ωt,
ahol az A ´es B konstansokat a hat´arfelt´etelek hat´arozz´ak meg: B = x1
´es
A=
x2 − x1 cos ωT , sin ωT
felt´eve, hogy sin ωT 6= 0, azaz ha ωT 6= N π. Az adott hat´arfelt´eteleket teh´at egyetlen klasszikus p´alya el´eg´ıti ki: ha T nem a f´elperi´ odus eg´esz sz´ am´ u t¨ obbsz¨ or¨ ose, τ T 6= N × , 2
τ=
2π , ω
(2.7)
akkor pontosan egy klasszikus mozg´ as indul x 1 -b˝ ol ´es ´erkezik T id˝ o m´ ulva x2 -be. Az erre sz´am´ıtott hat´as:
mω 2 (x1 + x22 ) cos ωT − 2x1 x2 . 2 sin ωT (2.6)-beli kifejt´es¨ unkre visszat´erve, a k¨oz´eps˝o tagban parci´alisan integr´alva,
S(¯ γ) =
Z
T 0
(γ¯˙ η˙ − ω 2 γ¯ η)dt = −
Z
T
(2.8)
(γ¨¯ + ω 2 γ¯ ) η dt = 0,
0
ugyanis γ¯ kiel´eg´ıti a klasszikus x ¨ = −ω 2 x mozg´asegyenletet.
Ez a tag teh´at nulla s ez´ert a
propag´ator v´eg¨ ul:
i S(¯ γ ) × F (T ), h ¯ ahol a ,,reduk´alt propagator”, F (T ), egy, a vari´aci´okra sz´am´ıtott p´alyaintegr´al: K(x2 , T |x1 , 0) = exp
F (T ) =
Z
exp
(
im 2¯h
Z
0
Th
2
2 2
(η˙ − ω η
i
)
dt Dη.
(2.9)
(2.10)
Sz´ep-sz´ep, de ett˝ol m´eg nincs az integr´al kisz´am´ıtva ! Mert mi az, hogy ,,Dη”?! Ehhez Feynman a (peri´odikus) vari´aci´ot Fourier-sorba fejti, ∞ X
π ak sin[k t] η(t) = T k=1
⇒
Z
T 0
T X 2 a , η dt = 2 k k 2
Z
T 0
η˙ 2 dt =
T X kπ 2 2 ( ) ak , 2 k T
(2.11)
majd azt mondja: a p´aly´akat az ak Fourier-egy¨ utthat´ok meghat´arozz´ak, integr´aljunk ez´ert a p´aly´ak helyett az ut´obbiakra: F (T ) = lim J n→∞
Z
∞
... −∞
Z
∞
exp −∞
(
4
n X λk
i
k=1
2¯h
a2k
)
× da1 . . . dan ,
(2.12)
ahol πk λk = m ( )2 − ω 2 T
n
´es J a P → Fourier egy¨ utthat´ok
o
(2.13)
line´aris transzform´aci´o Jacobi-faktora. Jegyezz¨ uk meg, hogy
J az oszcill´ator adatait´ol (ω, m) de m´eg h ¯ -t´ol is f¨ uggetlen. Az integr´alok kisz´am´ıthat´oak: Z
∞
λ exp i x2 dx = 2 −∞
r
2π i π e 4, λ
(2.14)
!−1/2
(2.15)
(2.12)-ben az exponensbeli o¨sszegb˝ol szorzat lesz, s v´eg¨ ul: n Y
F (T ) = lim Cn n→∞
k=1
λk
,
ahol Cn a k¨ ul¨onb¨oz˝o (k¨ ul¨on-k¨ ul¨on divergens) faktorok egy¨ uttese. A saj´at´ert´ekek szorzata k´et t´enyez˝ore bonthat´o:
n Y
λk =
k=1
n Y
m
k=1
De Euler formul´aja szerint:
∞ Y
k=1
n Y k2 π2 ω2 T 2 × 1 − . T2 k2 π2 k=1
x2 1− 2 2 k π
!
=
(2.16)
sin x , x
(2.17)
s ´ıgy F (T ) = C
s
ωT , sin ωT
ahol a C az o¨sszes, ω-t´ol f¨ uggetlen faktor szorzata. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ω → 0-re szabad r´eszecsk´et kapunk, melyre, mint tudjuk
F
szabad
(T ) =
r
m . 2πi¯hT
(2.18)
Ez teh´at a C ´ert´eke. A (2.8) oszcill´ator-hat´ast be´ırva , az oszcill´ator propag´atora v´eg¨ ul: K(x2 , T |x1 , 0) =
3
mω 2πi¯h sin ωT
1/2
imω × exp [(x2 + x22 ) cos ωT − 2x1 x2 ] . 2¯h sin ωT 1
(2.19)
A f´ aziskorrekci´ o
Hol itt a hiba? Figyelj¨ uk meg, hogy Feynman eredm´enye kicsit ambivalens: az els˝o faktorban a nevez˝obeli i n´egyzetgy¨oke nem teljesen egy´ertelm˝ u: u ´ gy e −iπ/4 mint e+iπ/4 is lehet. De ez nem fontos, hiszen az eg´esz hull´amf¨ uggv´eny szorz´odik ezzel, s a glob´alis f´azis nem megfigyelhet˝o: |ψ| 2 b˝ol kiesik. Nagyobb baj enn´el, ha a szinusz elt˝ unik a nevez˝oben: a propag´ator felrobban ´es a 2.
fejezet teljes levezet´ese ´ertelm´et veszti! A kutya az u.n. Fresnel integr´al kisz´am´ıt´as´aban van el´asva: (2.14) csak λ > 0-ra igaz! M´arpedig, λk > 0
τ 0
⇐⇒
5
(3.1)
ahol τ = 2π/ω a peri´odusid˝o! Ha az els˝o f´elperi´odus el˝ott vagyunk, 0 < T < τ /2, akkor valamennyi gy¨ok alatti faktor pozit´ıv, ´es Feynman formul´aja helyes. F´el-peri´odus ut´an (de egy teljes peri´odus el˝ott) azonban, azaz ha τ /2 < T < τ , akkor a (2.15)-ban szerepl˝o els˝ o, gy¨ok alatti faktor negat´ıvv´a v´alik, m´ıg a k¨ovetkez˝ok pozit´ıvak maradnak: λ1 < 0, Ez´ert a propag´ator
λk > 0,
k ≥ 2.
π 1 √ = −i = e−i 2 −1
(3.2)
-vel szorz´odik! M´as sz´oval: a propag´ ator (s ez´ert a hull´ amf¨ uggv´eny) f´ azisa (−π/2)-vel ugrik! Hasonl´oan, N f´el-peri´odus ut´an de (N + 1) el˝ott, azaz ha N×
τ τ < T < (N + 1) × , 2 2
(3.3)
akkor a (2.15)-ban szerepl˝o els˝o N faktor lesz negat´ıv, ´es N × (−π/2)-vel ugratja a f´azist. A eredm´eny ez´ert (2.19) helyett: K(x2 , T |x1 , 0) =
mω 2π¯h| sin ωT |
1/2
iπ
e− 4
(3.4) iπ imω 2 2 × exp × [(x1 + x2 ) cos ωT − 2x1 x2 ] × e− 2 N . 2¯h| sin ωT | √ Valljuk be f´erfiasan, hogy a fenti okoskod´as kicsit treh´any volt: −1 nem csak i, de −i is
lehetne, ami minden f´azisugr´ast −π/2-r˝ol π/2-re, azaz π-vel v´altoztatna. S˝ot, az egyes f´azisokat
egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul is v´alaszthatjuk, ami rendre k¨ ul¨onb¨oz˝o eredm´enyt adna! (−1) melyik gy¨ok´et
kell teh´at venni? Az indul´as ut´ani f´elperi´odusban a k´erd´es nem volt fontos, hiszen csak egy glob´alis √ f´azisfaktorr´ol volt sz´o. De most N -szer kell u ´ jra ´es u ´ jra a −1-et megv´alasztani – ´es ekkor m´ar
nem mindegy, hogyan! A (2.14)-t helyettes´ıt˝o a´ltal´anos formula =(λ) ≥ 0-b´ol indulva, analitikus
kiterjeszt´essel kaphat´o. λ 6= 0 val´os eset´en: Z
∞
2π 1/2 i π 4 ( ) e
λ exp i x2 dx = 2 −∞
λ
2π 1/2 −i π ( ) e 4 −λ
λ>0 (3.5) λ<0
Figyelembe v´eve, hogy Euler formul´aja, (2.17), is csak x < π-re ´erv´enyes ´es k¨ ul¨onben ∞ Y x2 | sin x| , 1 − 2 2 = k π x k=1
x > 0,
(3.6)
meger˝os´ıthetj¨ uk, hogy fenti ´ervel´es¨ unk v´eg¨ ulis helyes volt: minden f´elperi´odus egy-egy u ´ j, negat´ıv λ-t hoz be, mely a f´azist π/2-vel ugratja. Mi t¨ort´enik T = N × τ /2-re ? A propag´ator nyilv´an diverg´al, hiszen a nevez˝oben sin ωT →
sin N π = 0. Az eredm´eny u ´ gy kaphat´o, hogy felhaszn´aljuk az id˝o-fejl˝od´es csoport-tulajdons´ag´at: Ut+t0 = Ut ◦Ut0
⇒ 6
UN τ2 = (U τ4 )2N .
(3.7)
De (2.19) szerint
mω mω 1/2 −iπ/4 (3.8) ) e × e−i h¯ x1 x2 ψ(x1 )dx1 , U τ4 ψ(x2 ) = ( 2π¯h ami l´enyeg´eben egy Fourier-transzform´aci´o! M´arpedig egy Fourier-transzform´aci´o n´egyzete egy
Z
f¨ uggv´enyt az eredeti f¨ uggv´enybe viszi, csak az argumentum v´alt el˝ojelet. Ez´ert π
ψN τ2 (x2 ) = e−i 2 N ψ((−1)N x2 ),
(3.9)
azaz
π K(x2 , T |x1 , 0) = exp −i N × δ(x1 − (−1)N x2 ). 2 Ha nem egy- hanem D dimenzi´oban vagyunk, akkor a f´azis D × π/2-vel fog ugrani.
(3.10)
• A fenti eredm´eny t¨obb, hasonl´o feladatra is kiterjeszthet˝o. Konstans k¨ uls˝o er˝o hat´asa alatt
a´ll´o oszcill´atorn´al [2, 9] p´eld´aul, el˝oz˝o sz´am´ıt´asunk sz´orul sz´ora elism´etelhet˝o: a Lagrange f¨ uggv´eny L=
m 2 (x˙ − ω 2 x2 ) + f x, 2
(3.11)
ahol f = const. T 6= kτ /2-re a klasszikus hat´as: S(¯ γ) =
mω 2 (x1 + x22 ) cos ωT − 2x1 x2 2 sin ωT
(3.12)
2(1 − cos ωT ) − ωT sin ωT 1 − cos ωT (x1 + x2 ) − f 2 +2f 2 mω m2 ω 4
cf. (2.8). A propagator u ´ jra (3.4) csak a hat´ashoz az exponensben hozz´a kell adni a (3.12)-beli extra tagokat. T = N × τ /2-re viszont: #
"
π f2 N K(x2 , N × τ /2|x1 , 0) = exp[−iN ] exp −i 2(1 − (−1) ) − N π 2 h ¯ mω 3
1 − (−1)N f N . x1 − (−1) x2 × δ x1 − (−1)N x2 − f × exp i ω mω 2
(3.13)
f = 0-ra formul´aink nyilv´an az el˝oz˝oekre reduk´al´odnak.
4
Mennyire minim´ alis a ,,legkisebb hat´ as” ?
T´erj¨ unk vissza a klasszikus mechanik´ara, nevezetesen a legkisebb hat´as elv´ere. A hat´as, mint l´attuk, az x1 -et x2 -vel T id˝o alatt o¨sszek¨ot˝o p´aly´ak alkotta v´egtelen dimenzi´os, P-vel jel¨olt fel¨ uleten
defini´alt S(γ) f¨ uggv´eny. A (2.4)-beli η, a γ p´alya egy vari´aci´oja, u ´ gy tekinthet˝o, mint a P egy γ-beli
,,´erint˝ovektora” (l. 1. a´bra).
A hat´as els˝o vari´aci´oja, δS, ekkor az S γ-beli, η ir´any´aba vett direkci´os (ir´anymenti) deriv´altja: S(γ + sη) − S(γ) . s→0 s
δSγ (η) = lim
(4.1)
δSγ teh´at egy, az ´erint˝ot´eren defini´alt line´aris forma. Ahhoz, hogy S-nek a γ¯ -ban sz´els˝o´ert´eke legyen, sz¨ uks´eges az els˝o vari´aci´o elt˝ un´ese, δSγ¯ ≡ δSγ¯ (η) =
Z
d ∂L ∂L − ηdt = 0. dt ∂ x˙ ∂x
7
(4.2)
Ez adja a klasszikus (Euler-Lagrange-f´ele) mozg´asegyenletet [5], d ∂L ∂L = 0, − dt ∂ x˙ ∂x
(4.3)
melynek a hat´arfelt´eteleket kiel´eg´ıt˝o megold´asa a γ¯ . De l´etezik-e ilyen megold´as? Gyakran igen, de nem mindig! Az oszcill´ator eset´en pl. ha τ T =N× , 2
(4.4)
akkor T id˝ o m´ ulva minden, az x1 -b˝ ol indul´ o klasszikus mozg´ as x 2 = (−1)N x1 -ben tal´ alkozik, a kezd˝ osebess´egt˝ ol f¨ uggetlen¨ ul!
1
A klasszikus mozg´asegyenlet megold´asai teh´at u ´ gy viselkednek, mint a
f´enysugarak: T = N τ /2 id˝o eltelt´evel minden, az x 1 -b˝ol indul´o klasszikus p´alya az (−1) N x1 -ben f´okusz´al´odik. Az optikai anal´ogia miatt, az ilyen pontokat fok´ alis pontoknak h´ıvj´ak. (2. a´bra).
2. a´bra. F´elperi´ odus ut´ an valamennyi klasszikus mozg´ as, a kezd˝ osebess´egt˝ ol f¨ uggetlen¨ ul, a kiindul´ asi pont ellent´et´eben tal´ alkozik. Tegy¨ uk f¨ol, hogy a k´erd´eses pontok k¨ozt egyetlen klasszikus p´alya l´etezik. Minimum-e ilyenkor a hat´as? V´arjunk csak: (4.2) a minimum sz¨ uks´eges, de nem el´egs´eges felt´etele! Egy, egyenlet¨ unket kiel´eg´ıt˝o γ¯ az S-nek kritikus pontja, de nem felt´etlen¨ ul minimuma 2 ! 1
Gondoljunk csak az inga mozg´ as´ as´ ara: mint azt Galilei a pisai Duomoban megfigyelte, f´elperi´ odus eltelt´evel az
inga, a kit´er´est˝ ol f¨ uggetlen¨ ul, az ellent´etes pontban lesz! 2 A hat´ as kritikus pontj´ at meghat´ aroz´ o vari´ aci´ osz´ am´ıt´ as csak olyan p´ aly´ akra vonatkozik, melyek egym´ asba folytonos transzform´ aci´ oval a ´tdeform´ alhat´ oak. Amennyiben a P t¨ obb p´ alya-komponensb˝ ol a ´ll, akkor az egyes komponensekben k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on kell dolgozni. Az Aharonov-Bohm effektusban p´eld´ aul, a szolenoidot k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o oldalakr´ ol megker¨ ul˝ o p´ aly´ ak k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o komponensekhez tartoznak, melyeket a lyukas s´ık (els˝ o) homot´ opia-csoportja, Z cimk´ez. A (szabad) hat´ asnak k´et oszt´ alyban van kritikus pontja (nevezetesen ,,a lyukat k´et oldalr´ ol megker¨ ul˝ o egyenesvonal´ u mozg´ asok”). A propag´ ator ezek interferenci´ aj´ ab´ ol kaphat´ o [10].
8
A helyzet v´eges (n) dimenzi´os tereken defini´alt t¨obbv´altoz´os f¨ uggv´enyek viselked´es´evel anal´og: ~x0 a V (~x) f¨ uggv´eny kritikus pontja, ha grad V (~x0 ) = 0
⇔
∂i V (~x0 ) = 0
∀ i.
Tekints¨ uk a m´asodik parci´alis deriv´altakb´ol k´epzett δ 2 V ≡ δ 2 V (~x0 ) =
∂2V (~x0 ) ∂xi ∂xj
szimmetrikus m´atrixot. Az ~x0 kritikus pont aszerint minimum, maximum vagy nyeregpont, hogy a δ 2 V m´atrix definit-e vagy sem. Ez a saj´at´ert´ekek viselked´es´eb˝ol olvashat´o le: a m´atrix szimmetrikus, s ez´ert n val´os saj´at´ert´ekkel rendelkezik: δ 2 V e a = λ a ea , Ekkor ~x0
minimum, ha
a = 1, . . . , n.
λa > 0
∀a
maximum, ha
λa < 0
∀a
nyeregpont, ha
λa > 0
λb < 0
l´etezik a, b.
Ahhoz, hogy eld¨onts¨ uk, hogy a hat´as val´oban minim´alis-e vagy sem, meg kell teh´at vizsg´alnunk annak ,,m´asodik ,,deriv´altj´at” azaz m´ asodik vari´ aci´ oj´ at, mely egy, a vari´aci´ok alkotta ´erint˝ot´eren defini´alt kvadratikus forma. Ekkor a minimum el´egs´eges felt´etele ennek pozit´ıv definit volta: δ 2 Sγ¯ (η, η) > 0
∀η.
(4.5)
Amennyiben ez nem teljes¨ ul, azaz δ 2 Sγ¯ (η, η) < 0
de
δ 2 Sγ¯ (η 0 , η 0 ) > 0
(4.6)
alkalmas η ´es η 0 vari´aci´okra, akkor γ¯ nyeregpont. Egy olyan η, melyre δ 2 Sγ (η, η) < 0
(4.7)
egy negat´ıv m´ odus, ha pedig 1 2
δ 2 S(η, η 0 ) = 0
∀η 0 ,
(4.8)
akkor nulla-m´ odusr´ ol besz´el¨ unk. Egy nulla-m´odus ir´any´aban a f¨ uggv´eny els˝o k¨ozel´ıt´esben invari´ans; hogy minimummal vagy maximumal van-e dolgunk, vagy egyikkel se, az a magasabb vari´aci´okon m´ ulik. Vizsg´aljuk k¨ozelebbr˝ol a m´asodik vari´aci´ot: 1 2
2
2
δ S ≡ δ Sγ¯ (η, η) = 1 2
1 2
Z
T 0
(
)
∂2L ∂2L 2 ∂2L 2 ∂2L 2 η + 2 η + η˙ dt, η η ˙ + ∂x2 ∂x∂ x˙ ∂x2 ∂ x˙ 2
9
ahol a (felt´etelezetten egyed¨ uli) klasszikus p´alya, γ¯ ment´en kell integr´alni. Parci´alis integr´al´assal: 1 2
δ2 S =
Z
T
∂2L ∂2L d + ∂ x˙ 2 dt ∂x∂ x˙
d Λ=− dt
(η, Λη)dt, 0
Λ itt a m´asodik vari´aci´o oper´atora.
!
∂2L d ∂2L + ∂x∂ x˙ dt ∂x2
+
!
.
(4.9)
A m´asodik vari´aci´o teh´at akkor pozit´ıv definit, ha a Λ
kvadratikus alak minden saj´at´ert´eke pozit´ıv, λ > 0, Λ η = λη,
η(0) = η(T ) = 0.
(4.10)
• A legegyszer˝ ubb esetben: mx˙ 2 L= − V (x) 2
⇒
Λ = −m
d2 d2 V + dt2 dx2
!
.
(4.11)
Az oszill´atorra pl.: Λosc
!
d2 = −m + ω2 . dt2
(4.12)
Ez´ert, a hat´arfelt´eteleket figyelembe v´eve: m(¨ η + ω 2 η) = −λη De T
q
ω2 +
λ m
s
η(t) = sin[ ω 2 +
⇒
λ t], m
= kπ, k = 0, ±1, . . . a periodicit´as miatt, s ´ıgy:
λk = m (
kπ 2 ) − ω2 T
´es
ηk (t) = sin(
kπ t), T
(4.13)
l. (2.11) ´es (2.13). Az (3.3)-beli N term´eszetes eg´esz, N τ /2 < T < (N + 1)τ /2, teh´at a negat´ıv saj´ at´ert´ekeket sz´ amolja! Az oszcill´ator mozg´as trajekt´oria ez´ert csak az els˝o f´elpedi´odusban minimuma a hat´asnak, azut´an annak csak nyeregpontja, N negat´ıv m´odussal! De mi t¨ort´enik a fok´alis-pontokban ? T = N × τ /2 eset´en az x 1 -et ´es x2 -t x2 6= (−1)N x1
est´en egyetlen klasszikus p´ alya se k¨oti o¨ssze, vagy – ha x 2 = (−1)N x1 – v´egtelen sok. Legyen ezek valamelyike γ¯ ; ekkor a t¨obbi klasszikus p´alya a γ¯ vari´aci´oj´anak tekinthet˝o, melyeket egy val´os s param´eterrel cimk´ezhet¨ unk: γ = γ s . Legyen γ0 = γ¯ . A klasszikus hat´as ezen p´aly´ak valemennyi´ere ugyanaz. Az s-et futtatva egy γ¯ -b´ol indul´o, P-beli ,,g¨orb´et” kapunk; ennek s-szerint vett deriv´altja
a hat´as nulla-m´ odusa.
Mi mindennek a fizikai k¨ovetkezm´enye? A klasszikus mechanika szintj´en – semmi: az els˝o vari´aci´o, (4.2), a mozg´asegyenletet adja f¨ uggetlen¨ ul att´ol, minimum-e a k´erd´eses kritikus pont. De kvantummechanik´aban van k¨ovetkezm´eny, nevezetesen a hull´amf¨ uggv´eny f´azisa! Ezt al´abb, a 5. fejezetben a´ltal´anosabban is megmutatjuk. De el˝obb tekints¨ unk egy m´asik p´eld´at. • Az oszcill´ator´ehoz hasonl´o f´azisugr´as l´ep fel konstans m´ agneses t´erben, az indukci´ovonalakra
mer˝oleges s´ıkban mozg´o t¨olt¨ott r´eszecske est´en is. Klasszikusan, a r´eszecske ω =
eB 2m
Larmor frek-
venci´aval, egyenletesen k¨or¨oz. A peri´odus τ = 2πm/eB. A Lagrange f¨ uggv´eny: LB =
m 2 x˙ + y˙ 2 + 2ω(xy˙ − y x) ˙ , 2
10
ω=
eB . 2m
(4.14)
Ha T nem egy teljes peri´odus eg´esz-sz´am´ u t¨obbsz¨or¨ose, T 6= N × τ = N ×
2πm , eB
(4.15)
akkor T id˝o alatt pontosan egy klasszikus mozg´as-g¨orbe k¨oti o¨ssze az adott kezdeti- ´es v´egpontokat, (x1 , y1 )-et ´es (x2 , y2 )-t. Az erre sz´am´ıtott hat´as: SB =
i mω h [(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 ] cot(ωT ) + 2(x1 y2 − x2 y1 ) . 2
(4.16)
A m´asodik vari´aci´o m´atrixa most:
ΛB = m A megoldand´o saj´at´ert´ek-probl´ema ez´ert: ηx − 2mω η˙ y = −ληx m¨
d2 dt2 d 2ω dt
,
d −2ω dt 2 d dt2
.
(4.17)
ηx (0) = ηy (0) = 0 = ηx (T ) = ηy (T ),
(4.18)
m¨ ηy + 2mω η˙ x = −ληy
melynek megold´asa legegyszer˝ ubben egy id˝of¨ ugg˝o forgat´assal kaphat´o: η x ´es ηy helyett vezess¨ uk be a ξ ´es ζ v´altoz´okat:
ηx ηy
= R(t)
ξ ζ
ahol
azaz
Id˝o szerint deriv´alva ´es (4.18)-be be´ırva:
ξ¨ + (ω 2 + λ/m)ξ R(t) =0 ζ¨ + (ω 2 + λ/m)ζ
cos ωt
R=
ηx =
sin ωt
− sin ωt cos ωt
cos ωt ξ + sin ωt ζ,
η = − sin ωt ξ + cos ωt ζ. y
⇒
mξ¨ + (mω 2 + λ)ξ = 0
mζ¨ + (mω 2 + λ)ζ = 0
.
√ A periodicit´ast figyelembev´eve, ξ, ζ ∝ sin ( ω 2 + λt) = sin kπ esz. A saj´at´ert´ekek v´eg¨ ul T t, ahol k eg´
k´etszeresen degener´altak
kπ λk = m ( )2 − ω 2 , T
k = 0, 1, . . . .
(4.19)
A reduk´ alt propag´ ator ez´ert ugyanaz, mint egy ω = eB/2m frekvenci´ aj´ u s´ıkbeli oszcill´ ator´e: T id˝ovel indul´as ut´an, ha N τ < T < (N + 1)τ, akkor: K(x2 , y2 , T |x1 , y1 0) =
(4.20)
mω × 2πi¯h| sin ωT |
i imω h exp [(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 ] cot(ωT ) + 2(x1 y2 − x2 y1 ) (−1)N . 2¯h
11
(4.21)
N teljes k¨or megt´etele ut´an, azaz N teljes peri´odus, 2πm eB
T =N
(4.22)
eltelt´evel, a kezd˝osebess´egt˝ol f¨ uggetlen¨ ul, valamennyi klasszikus mozg´as u ´ jra a kiindul´asi pontba f´okusz´al´odik. A propag´ator ilyenkor el˝oz˝o ´ervel´es¨ unk szerint u ´ jra Dirac-delta lesz, csak el˝ojelet v´alt: K(x2 , y2 , τ |x1 , y1 , 0) = (−1)N δ(x1 − x2 , y1 − y2 ).
5
(4.23)
Szemiklasszikus approxim´ aci´ o
Visszat´erve az a´ltal´anos esetre, tegy¨ uk fel, hogy egyetlen klasszikus trajektoria, γ¯ , k¨oti o¨ssze kiszemelt pontjainkat ´es fejts¨ uk ki a klasszikus hat´ast m´asodrendben [11]: S(γ) = S(¯ γ ) + δγ¯ (η) + 21 δ 2 Sγ¯ (η, η) + . . .
(5.1)
ahol a ,,. . .” a magasabb rend˝o vari´aci´okat jel¨oli. Szemiklasszikus k¨ ozel´ıt´esen a m´ asodikn´ al magasabb tagok elhagy´ as´ at ´ertj¨ uk. Hamilton elve szerint δS γ¯ = 0; a szemiklasszikus propag´ator teh´at: i γ ) × F (T ), K(~x2 , T |~x1 , 0) = exp S(¯ h ¯
F (T ) =
Z
i 2 exp δ S(η, η) Dη 2¯h γ¯
(5.2)
cf. (2.9)-(2.10). A reduk´alt propag´ator a m´asodik vari´aci´o diagonaliz´al´as´aval hat´arozhat´o meg. Tegy¨ uk fel az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert, hogy a probl´ema egy dimenzi´os. Tekints¨ uk a (4.10) saj´at´ert´ek-egyenletben szerepl˝o Λ kvadratikus forma egy o¨nadjung´alt, Sturm-Liouville oper´ator a P ,,fel¨ ulet” η-k alkot-
ta ,,´erint˝oter´en”, s ez´ert λn saj´at´ert´ekei val´osak ´es (ηn -el jel¨olt) saj´atvektorai teljes ortonorm´alt rendszert alkotnak a szok´asos skal´ar-szorzatra: (ηn , ηm ) =
1 T
Z
ηn ηm dt = δnm .
Az η vari´aci´ot a´ltal´anos´ıtott Fourier-sorba fejthetj¨ uk a saj´atvektor-b´azisban: η=
X
an ηn
n
⇒
η, Λη =
X
a2k λk .
k
A reduk´alt propag´ator ez´ert u ´ jra (2.12), csak a λ k -k most a Λ (4.10)-beli saj´at´ert´ekei. Az el˝oz˝oek szerint, v uY u 2iπ¯h F (T ) = C t .
λk
k
(5.3)
Mint az el˝oz˝oekben m´ar megjegyezt¨ uk, hogy a Jacobi faktor a dinamik´at´ol f¨ uggetlen, s ez´ert (5.3) a szabad propag´atorra is ´erv´enyes: F (T )szabad
v uY u 2iπ¯h , = Ct szabad k
12
λk
(5.4)
ahol F (T )szabad ill. λszabad a probl´ema szabad (azaz k¨ uls˝o t´ert˝ol mentes) propag´atora ill. annak k saj´at´ert´ekei. (5.3)-t (5.4)-el elosztva, C kiesik:
F (T ) = F (T )szabad
vY u u λszabad k u u k Y ×u . t λ
(5.5)
k
k
A szemiklasszikus propag´ator teh´at: K=e
iS(¯ γ)
hiszen D dimenzi´oban F (T )szabad =
m 2πi¯hT
D/2 m 2πi¯ hT
D/2
×
sQ
λszabad k , λ k k
Qk
(5.6)
, cf. (2.18).
• Oszcill´ator eset´en u ´ jra az el˝oz˝o eredm´eny kapjuk: (2.16) szerint a saj´at´ert´ekek szorzat´anak
h´anyadosa a gy¨ok alatt ´epp az a v´egtelen szorzat, melyet Euler formul´aj´aval meghat´aroztunk, ugyanis λszabad = mπ 2 k 2 /T 2 . k A Van Vleck m´atrix. ´ Altal´ anosabb eredm´eny kaphat´o az u. n. Van Vleck m´ atrix seg´ıts´eg´evel [11]. Eml´ekezz¨ unk vissza, hogy – amennyiben ~x1 -et ~x2 -vel egyetlen klasszikus p´alya, γ¯ , k¨oti o¨ssze, – akkor (r¨ogz´ıtett T mellett) a hat´as tekinthet˝o a v´egpontok f¨ uggv´eny´enek: S(~x1 , ~x2 ) = S(¯ γ ).
(5.7)
S(~x1 , ~x2 ) Hamilton princip´alis f¨ uggv´enye [5]. Ekkor ´erv´enyes [11]: ator D t´er-dimenzi´ oban: T´etel: A szemiklasszikus propag´ K(~x2 , T |~x1 , 0) =
1 2πi¯h
D/2 1/2 π i ∂ 2 S exp −iDN × exp S(¯ γ) . det ∂~x1 ∂~x2 2 h ¯
(5.8)
ahol ~x1 = (xi1 ) ill. ~x2 = (xj2 ) a kezdeti- ill. v´egpont koordin´ at´ ai. A D×D m´ atrix "
#
"
∂2S ∂2S = ∂~x1 ∂~x2 ∂xi1 ∂xj2
#
(5.9)
determin´ ansa az u.n. Van Vleck determin´ ans. • Az oszcill´ator eset´eben pl.
∂2S mω =− , ∂x1 ∂x2 sin ωt s ´ıgy (5.8) u ´ jra az oszcill´ator-propag´ator el˝oz˝o k´eplet´et adja.
(5.10)
• Tekints¨ uk u ´ jra a konstans m´agneses t´erbeli t¨olt¨ott r´eszecsk´et, ´es tegy¨ uk f¨ol, hogy T 6= τ .
Hamilton Princip´alis f¨ uggv´enye ekkor (4.16), ´es a Van Vleck m´atrix determin´ans´anak abszol´ ut ´ert´eke:
2 − cot ωT ∂ S det = m2 ω 2 × det ∂~x1 ∂~x2
−1
Ez´ert (5.8)-b˝ol u ´ jra (4.21)-ot kapjuk.
13
1 − cot ωT
m2 ω 2 . = 2 sin ωT
(5.11)
6
Megfigyelhet˝ o-e a f´ azis?
A naiv v´alasz: nem, hiszen ha a hull´amf¨ uggv´enyt tetsz˝oleges f´azis-faktorral szorozzuk, az amplit´ ud´o abszol´ ut ´ert´eke – s ´ıgy a val´osz´ın˝ us´eg – nem v´altozik. De ez csak egyetlen hull´amf¨ uggv´enyre igaz! Mi van, ha a rendszert r´eszekre bontjuk, ´es a r´esz-hull´amf¨ uggv´enyeket k¨ ul¨on-k¨ ul¨on, k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o f´azisfaktorokkal szorozzuk? Rekombin´alva o˝ket, azok interfer´alni fognak! Ez el˝osz¨or az optik´aban nyert meger˝os´ıt´est: a XIX. sz. v´eg´en Gouy [6] r´amutatott, hogy – Huygens elv´eb˝ol k¨ovetkez˝oen – a f´okuszponton a´thaladva, a f´eny f´ azisa f´el hull´ amhosszal ugrik. Gouy ezt k´ıs´erletileg Fresnel t¨ uk¨or-k´ıs´erlet´enek al´abbi m´odos´ıt´as´aval igazolta: bontsunk egy f´enysugarat k´et r´eszre, ´es veress¨ uk vissza a r´esz-sugarakat egy s´ık- ill. egy homor´ u t¨ ukr¨on, majd – a homor´ u t¨ uk¨orb˝ol j¨ov˝o sug´ar f´okuszon val´o a´thalad´asa ut´an, interfer´altassuk a r´esz-sugarakat. A k´ıs´erletet elv´egezve, Gouy azt tal´alta, hogy sz´am´ıt´asaival o¨sszhangban, a k¨ozpontban a sugarak val´oban kioltj´ak egym´ast. Az oszcill´ator eset´en tal´alt f´azis-ugr´ast hasonl´o interferencia-k´ıs´erletben figyelhetn´enk meg. Mi t¨ort´enik, ha az oszcill´ator nem t¨ok´eletesen harmonikus ? Ez a (5.1)-beli magasabb tagok figyelembev´etel´evel vizsg´alhat´o [12]. Hasonl´o f´azisugr´ast tal´altak molekul´aris [13], nukle´aris [14], valamint neh´ez-ion [15] u ¨ tk¨oz´esek eset´en. Jegyezz¨ uk meg v´eg¨ ul, hogy a Maszlov-f´ele korrekci´o a p´aly´ak alkotta v´egtelen dimenzi´os ,,sokas´ag” topol´ogiai tulajdos´agaival a´ll kapcsolatban [16].
14
References [1] J.-M. Souriau: Construction explicite de l’indice de Maslov. Proc. Group Theoretical Methods in Physics. Nijmegen ’75. Springer Lecture Notes in Physics 50, (1976); V. Marino, L. Gualandari: Indice di Maslov. Lezioni del Prof. Souriau. Pubblicazioni del’Istituto di Matematica Applicata N. 191. Universit`a di Roma (1977). [2] R. P. Feynman: A nemrelativisztikus kvantummechanika fel´ep´ıt´ese a t´erid˝ oben. Reviews of Modern Physics 20, 367 (1948). Magyar ford´ıt´asa: l. a Kvantummechanika cikkgy˝ ujtem´enyt, 181-209. o. V´alogatta ´es ford´ıtotta Gy¨orgyi G´eza. Akad´emia kiad´o, Bp. (1971); R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and path integrals. McGraw-Hill, New York (1965). [3] P. A. Horv´athy: Extended Feynman Formula for harmonic oscillator. Int. Journ. Theor. Phys. 18, 245 (1979). ´ [4] P. A. Horv´athy, L. Ury: Analogy between statics and dynamics – related to variational mechanics. Acta Phys. Hung. 42, 251 (1977). ´ [5] Bud´o Agoston: Mechanika. Negyedik kiad´as. Tank¨onyvkiad´o, Budapest (1965). L. Landau, E. Lifsic: Elm´eleti fizika I. Mechanika. [6] M. Gouy: Sur une propri´et´e nouvelle des ondes lumineuses. C.R.A.S. 110, 1251 (1890). [7] J. B. Keller: Corrected Bohr-Sommerfeld quantum conditions for non-separable systems. Annals of Physics 4, 180-188 (1958). [8] V. P. Maszlov: Perturb´ aci´ osz´ am´ıt´ as ´es aszimptotikus m´ odszerek. [orosz nyelven]. Moszkva: MGU (1965). A geometriai aspektusokat illet˝oen l. V. I. Arnold: Egy, a kvant´ al´ asban szerepet j´ atsz´ o karakterisztikus oszt´ aly. Funkcionaln¨ uj Analiz i ego prilozsenyja 1, 14 (1967). [9] B. K. Chen: Extended Feynman Formula for forced harmonic oscillator. Int. Journ. Theor. Phys. 23, 1099 (1984). [10] P. A. Horv´athy: Quantization in multiply connected spaces. Phys. Lett. 76A, 11 (1980). [11] S. Levit and U. Smilansky: A new approach to Gaussian path integrals and the evaluation of the semiclassical propagator. Ann. Phys. 103, 198 (1977). [12] L. S. Schulman: Caustics and multivaluedness: two results of adding path amplitudes. Functional integration and its applications. ed. A. Arturs, Clarendon Press, Oxford (1975). [13] W. H. Miller: Semiclassical theory of atom-diatom collisions: path integrals and classical S matrix. J. Chem. Phys. 53, 1949 (1970); Classical-limit quantum mechanics and the theory of molecular collisions. Advances in Chemical Physics 25, 69-177 (1974).
15
[14] S. Levit, U. Smilansky, D. Pelte: Phys. Lett. 53B, 39 (1974); H. Massman, J. O. Rasmusssen: Nuclear Physics A243, 155 (1975). [15] T. Koeling and R. A. Malfliet: Semi-classical approximation to heavy ion scattering based on the Feynman path integral method. Physics Reports C 22, 181-213 (1975). [16] M. Morse, Calculus of variations in the large. Transactions of the AMS, Providence (1934); J. Milnor, Morse theory. Annals of Math. Studies No. 51 Princeton U.P. (1963).
Ehess, ihass, o¨lelhess, alhass! A mindens´eggel m´erd magad! Sziszegve se szolg´alok aljas, nyomor´ıt´o hatalmakat. (J´ozsef Attila: Ars poetica; r´eszlet; 1937. febr. eleje)
16
