Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát, amikor az oszthatósági szabályokat tanuljuk. Ekkor a kisebb prímszámokkal (olyan szám mely eggyel és önmagával osztható, pl.: 2, 3, 5 stb.), illetve összetett számokkal (pl.: 6 = 3 ∙ 2) való osztás során írunk fel szabályokat. A következő oldalakon 2 eljárást is szeretnék mutatni arra, hogy egyszerűen miként lehet eldönteni azt, hogy egy tetszőleges számmal osztható-e az előre megadott X szám. A felírt X számot bontsuk két részre: jelölje ,,A” a szám utolsó számjegyét, míg ,,B” az utolsó számjegy elhagyásával keletkező számot. Ezek alapján az X felírható így is: 10 ∙ B + A. Kérdés mikor osztható az X szám egy tetszőlegesen választott p prímszámmal. Belátható, ha p nem osztja A - t, akkor egy alkalmas k szám választásával a p biztosan osztója lesz a B + k ∙ A számnak, de akkor a 10 ∙ (B + k ∙ A) = 10 ∙ B + A + (10 ∙ k - 1) ∙ A számnak is. Ebben az esetben, ha p osztója (10 ∙ k – 1) ∙ A –nak, akkor a 10 ∙ B + A –nak is, mely éppen az eredetileg megadott X számunk. Így tehát elegendő azt megvizsgálni, hogy a 10 ∙ k – 1 milyen k (egész) esetén osztható p - vel. Összegezve: keressük azt a legkisebb (számolás megkönnyítése végett) k egész számot, melyre igaz, hogy t ∙ p = 10 ∙ k – 1. Látható, hogy p = 2, 5 esetén nincs megoldás. Ezt követően az eredeti szám helyett a B + k ∙ A számot vizsgáljuk a p-vel történő oszthatóság szempontjából. Nézzünk néhány konkrét példát. Legyen p = 7 és a számunk pedig 17884. Ekkor 7 ∙ t = 10 ∙ k - 1 adódik, ahonnan k = 5. A k = - 2 (= 5 – 7) szintén jó megoldás, s mivel kisebb, így ezzel célszerűbb számolni. Ekkor az eredeti 10 ∙ B + A szám helyett tekintsük a B – 2 ∙ A számot és ezután megnézzük osztható-e 7-tel. Amennyiben még mindig túl nagy számot kapunk, akkor tovább folytatjuk a bontást. Ezek alapján: 1788 – 2 ∙ 4 = 1780. Ez még mindig túl nagy szám, ezért tovább bontva: 178 – 2 ∙ 0 = 178. Erről már látszik, hogy nem osztható 7-tel, így a 17884 sem. Legyen p = 11 és a számunk 4562. Ekkor 11 ∙ t = 10 ∙ k – 1 adódik, ahonnan k = - 1. Ekkor tekintsük a B – 1 ∙ A számot és megnézzük osztható-e 11-gyel. 456 – 1 ∙ 2 = 454. Mivel ez a szám nem osztható 11-gyel, így az eredeti számunk sem. Legyen most p = 13 és a számunk 1235. Ekkor 13 ∙ t = 10 ∙ k - 1 adódik, ahonnan k = 4. Ekkor tekintsük a B + 4 ∙ A számot és megnézzük osztható-e 13-mal. 123 + 4 ∙ 5 = 143. Ez osztható 13-mal, így az eredeti számunk is osztható 13-mal.
Legyen most p = 19 és a számunk 21213. Ekkor 19 ∙ t = 10 ∙ k – 1 adódik, ahonnan k = 2 adódik. Ekkor tekintsük a B + 2 ∙ A számot és megnézzük osztható-e 19-cel. 2121 + 2 ∙ 3 = 2127, tovább bontva: 212 + 2 ∙ 7 = 226. Mivel ez nem osztható 19-cel, így az eredeti számunk sem. A példákat tovább folytatván rájöhetünk azonosságokra is. A k értéke könnyedén meghatározható, ha megnézzük a p (
2, 5) prímszám mennyi maradékot ad 10-zel osztva:
ha p 1-et ad maradékul, akkor k = (1 – p) / 10 ha p 3-at ad maradékul, akkor k = (3 ∙ p + 1) / 10 ha p 7-et ad maradékul, akkor k = (1 – 3 ∙ p) / 10 ha p 9-et ad maradékul, akkor k = (p + 1) / 10 Ezek alapján nézzük meg az oszthatósági szabályokat 1-től 40-ig.
OSZHATÓSÁGI SZABÁLYOK 1: Minden egész szám osztható 1-gyel. 2: Azok a számok oszthatóak 2-vel, amelyeknek az utolsó számjegye osztható 2-vel. 3: Akkor osztható egy szám 3-mal, ha a szám első számjegyétől utolsó előtti számjegyéig képzett számhoz hozzáadva az utolsó számjegy egyszeresét, 3-mal osztható számot kapunk. Mindezt addig folytatjuk, amíg olyan számot kapunk, amiről biztosan meg tudjuk állapítani, hogy osztható-e 3-mal. (Pl.: 325 -> 32 + 1 ∙ 5 = 37) 4: Azok a számok oszthatóak 4-gyel, amelyeknek az utolsó két számjegyéből képzett kétjegyű szám is osztható 4-gyel. (Pl.: 1244)
5: Azok a számok oszthatóak 5-tel, amelyeknek utolsó számjegye is osztható 5-tel. (utolsó számjegye 0 vagy 5) 6: Azok a számok oszthatóak 6-tal, amelyek 2-vel és 3-mal is oszthatóak. (Pl.: 222) 7: Akkor osztható egy szám 7-tel, ha a szám első számjegyétől utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonva az utolsó számjegy kétszeresét, 7-tel osztható számot kapunk. Mindezt addig folytatjuk, amíg olyan számot kapunk, amiről biztosan meg tudjuk állapítani, hogy osztható-e 7-tel. (Pl.: 324 -> 32 - 2 ∙ 4 = 24). 8: Azok a számok oszthatóak 8-cal, amelyeknek az utolsó három számjegyéből képzett háromjegyű szám is osztható 8-cal. (Pl.: 1160) 9: Azok a számok oszthatóak 9-cel, amelyeknek számjegyeinek összege is osztható 9-cel. (Pl.: 135) 10: Azok a számok oszthatóak 10-zel, amelyeknek utolsó számjegye is osztható 10-zel (utolsó számjegye 0). 11: Akkor osztható egy szám 11-gyel, ha a szám első számjegyétől utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonva az utolsó számjegyet, 11-gyel osztható számot kapunk. Ezt a folyamatot itt is lehet ismételni. (Pl.: 4321 -> 432 – 1 = 431 -> 43 – 1 = 42). 12: Azok a számok oszthatóak 12-vel, amelyek 4-gyel és 3-mal is oszthatóak. (Pl.: 48) 13: Akkor osztható egy szám 13-mal, ha a szám első számjegyétől utolsó előtti számjegyéig képzett számhoz hozzáadva az utolsó számjegy 4-szeresét, 13-mal osztható számot kapunk. A folyamatot itt is lehet ismételni. (Pl.: 2345 -> 234 + 4 ∙ 5 = 254 -> 25 + 4 ∙ 4 = 41 -> 4 + 4 ∙ 1 = 8) 14: Azok a számok oszthatóak 14-gyel, amelyek 2-vel és 7-tel is oszthatóak. (Pl.: 154)
15: Azok a számok oszthatóak 15-tel, amelyek 3-mal és 5-tel is oszthatóak. (Pl.: 785) 16: Azok a számok oszthatóak 16-tal, amelyeknek utolsó négy számjegyéből képzett négyjegyű szám is osztható 16-tal. (Pl.: 14832) 17: Akkor osztható egy szám 17-tel, ha a szám első számjegyétől az utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonva az utolsó számjegy ötszörösét, 17-tel osztható számot kapunk. A folyamat itt is ismételhető. (Pl.: 1357 -> 135 – 5 ∙ 7 = 100 -> 10 – 5 ∙ 0 = 10) 18: Azok a számok oszthatóak 18-cal, amelyek 2-vel és 9-cel is oszthatóak. (Pl.: 378) 19: Akkor osztható egy szám 19-cel, ha a szám első számjegyétől az utolsó előtti számjegyéig képzett számhoz hozzáadva az utolsó számjegy kétszeresét, 19-cel osztható számot kapunk. A folyamat itt is ismételhető. (Pl.: 9345 -> 934 + 2 ∙ 5 = 944 -> 94 + 2 ∙ 4 = 102 -> 10 + 2 ∙ 2 = 14) 20: Azok a számok oszthatók 20-szal, amelyeknek az utolsó két számjegyükből képzett kétjegyű szám is osztható 20-szal. (Pl.: 140) 21: Azok a számok oszthatóak 21-gyel, amelyek 3-mal és 7-tel is oszthatóak. (Pl.: 315) 22: Azok a számok oszthatóak 22-vel, amelyek 2-vel és 11-gyel is oszthatóak. (Pl.: 308) 23: Akkor osztható egy szám 23-mal, ha a szám első számjegyétől az utolsó előtti számjegyéig képzett számhoz hozzáadva az utolsó számjegy 7-szeresét, 23-mal osztható
számot
kapunk.
A
folyamat
itt
is
(Pl.: 10021-> 1002 + 7 ∙ 1 = 1009 -> 100 + 7 ∙ 9 = 163 -> 16 + 7 ∙ 3 = 37)
ismételhető.
24: Azok a számok oszthatóak 24-gyel, amelyek 3-mal és 8-cal is oszthatóak. (Pl.: 1248) 25: Azok a számok oszthatóak 25-tel, amelyeknek az utolsó két számjegyéből képzett kétjegyű szám is osztható 25-tel. (Pl.: 12375) 26: Azok a számok oszthatók 26-tal, amelyek 2-vel és 13-mal is oszthatóak. (Pl.: 156) 27: A számot hátulról blokkokba rendezzük, úgy, hogy egy blokkban 3 számjegy legyen. A szám akkor osztható 27-tel, ha a blokkok összege osztható 27-tel. (Pl.: 1350563 -> blokkok: 1 350 563 -> 563 + 350 + 1 = 914.) 28: Azok a számok oszthatók 28-cal, amelyek 4-gyel és 7-tel is oszthatóak. (Pl.: 336) 29: Akkor osztható egy szám 29-cel, ha a szám első számjegyétől az utolsó előtti számjegyéig képzet számhoz hozzáadva az utolsó számjegy háromszorosát, 29-cel osztható számot kapunk. A folyamat itt is ismételhető. (Pl.: 5371 -> 537 + 3 ∙ 1 = 540 -> 54 + 3 ∙ 0 = 54). 30: Azok a számok oszthatóak 30-cal, amelyek 3-mal és 10-zel is oszthatóak. (Pl.: 780) 31: Akkor osztható egy szám 31-gyel, ha a szám első számjegyétől az utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonva az utolsó számjegy háromszorosát, 31-gyel osztható
számot
kapunk.
A
folyamat
itt
is
ismételhető.
(Pl.: 4321 -> 432 – 3 ∙ 1 = 429 -> 42 – 3 ∙ 9 = 15) 32: Azok a számok oszthatóak 32-vel, amelyeknek az utolsó öt számjegyéből képzett ötjegyű szám is osztható 32-vel. (Pl.: 732032) 33: Azok a számok oszthatóak 33-mal, amelyek 3-mal és 11-gyel is oszthatóak. (Pl.: 429)
34: Azok a számok oszthatóak 34-gyel, amelyek 2-vel és 17-tel is oszthatóak. (Pl.: 68) 35: Azok a számok oszthatóak 35-tel, amelyek 5-tel és 7-tel is oszthatóak. (Pl.: 525) 36: Azok a számok oszthatóak 36-tal, amelyek 4-gyel és 9-cel is oszthatóak. (Pl.: 108) 37: Akkor osztható egy szám 37-tel, ha a szám első számjegyétől az utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonva az utolsó számjegy 11-szeresét, 37-tel osztható számot kapunk. A folyamat itt is ismételhető. (Pl.: 4343 -> 434 – 11 ∙ 3 = 401 -> 40 – 11 ∙ 1 = 29) 38: Azok a számok oszthatóak 38-cal, amelyek 2-vel és 19-cel is oszthatóak. (Pl.: 836) 39: Azok a számok oszthatóak 39-cel, amelyek 3-mal és 13-mal is oszthatóak. (Pl.: 429) 40: Azok a számok oszthatóak 40-nel, amelyeknek az utolsó három számjegyéből képzett háromjegyű szám is osztható 40-nel. (Pl.: 12720) Megjegyzés: 11-gyel osztható egy szám akkor is, ha a páros helyiértéken álló számjegyeinek összege megegyezik a páratlan helyiértéken álló számjegyek összegével, vagy a kettő különbsége 11-nek a többszöröse. (pl.: 3548193 -> 3 – 9 + 1 – 8 + 4 – 5 + 3 = - 11) Megjegyzés: 3-mal osztható egy szám akkor is, ha a számjegyeinek összege is osztható 3-mal. (Pl.: 121). Ez könnyedén belátható: Tekintsünk egy tetszőleges abc számot. Ekkor abc = c + 10 ∙ b + 100 ∙ a = c + 9 ∙ b + b + 99 ∙ a + a = a + b + c + 3 ∙ (3 ∙ b + 33 ∙ a). Innen látható, ha az a, b és c számok összege osztható 3-mal, akkor az eredeti számunk is. Hasonlóan látható a többi oszthatóság (4, 8, 9, 16, 32, stb.) is. Megjegyzés: 0-t minden számmal el lehet osztani, de a 0-val való osztás nincs értelmezve. Ebben az esetben, ha 0 osztaná a-t, akkor lennie kellene olyan b-nek is, melyre a = b ∙ 0 következne, ami azonban csak az a = 0 esetben lenne lehetséges. Ekkor viszont b nem egyértelmű (tetszőleges szám lehet), így a 0-val való osztást nem értelmezzük.
További lehetőség is van az oszthatóság meghatározására. A következőekben abból indulunk ki, hogy az osztó milyen maradékot ad 10 hatványainak osztása során. Ebben az esetben a szabály minden számra igaz lesz, tehát a 2 – re és 5 – re is alkalmazható. Először tekintsük a 7-tel való osztást. Ekkor első körben nézzük meg milyen maradékok adódnak, ha 7-tel elosztjuk 10 hatványait: 1 -> maradék: 1 10 -> maradék: 3 100 -> maradék: 2 1000 -> maradék: 6 10000 -> maradék: 4 100000 -> maradék: 5 1000000 -> maradék: 1 Nem kell tovább tekinteni a maradékokat, mert a számsorozat ismétlődni fog. Ezt követően az eredeti
számunk
számjegyeit
(jobbról
balra
haladva)
szorozzuk
meg
rendre
1, 3, 2, 6, 4 és 5-tel (ha több számjegyű, akkor elölről kezdjük), majd a szorzatokat adjuk össze. Ha az összeg osztható 7-tel, akkor az eredeti szám is. Példa: 18356724 osztható-e 7-tel? Ekkor: 4 ∙ 1 + 2 ∙ 3 + 7 ∙ 2 + 6 ∙ 6 + 5 ∙ 4 + 3 ∙ 5 + 8 ∙ 1 + 1 ∙ 3 = 106. Ez nem osztható 7-tel, így az eredeti számunk sem. Most tekintsük a 13-mal való osztást. Ekkor a következő maradékok adódnak: 1 -> maradék: 1 10 -> maradék: 10 100 -> maradék: 9 1000 -> maradék: 12 10000 -> maradék: 3 100000 -> maradék: 4 1000000 -> maradék: 1
A maradékokat az előzőek alapján, itt sem kell tovább tekintenünk. Ezt követően az eredeti számunk
számjegyeit
(jobbról
balra
haladva)
szorozzuk
meg
rendre
1, 10, 9, 12, 3, 4-gyel (több számjegy esetén elölről kezdjük), majd adjuk össze a szorzatokat. Amennyiben az összeg osztható 13-mal, akkor az eredeti számunk is. Példa: 1604928 osztható-e 13-mal? Ekkor: 8 ∙ 1 + 2 ∙ 10 + 9 ∙ 9 + 4 ∙ 12 + 0 ∙ 3 + 6 ∙ 4 + 1 ∙ 1 = 182. Ez osztható 13-mal, így az eredeti számunk is.
Ezekhez hasonlóan a többi számra is megoldhatóak az oszthatósági kérdések.
Brósch Zoltán
