S Z T I P Á N O V I T S
J Á N O S
B M E Műszer- és M é r é s t e c h n i k a T a n s z é k
Optimális kvantálás additív zajszűrés esetén ETO 621.37S.S4: 6 21.376.5: 621.391.82
Az a d d i t í v zajszűrés vagy jelátlagolás elterjedten alkalmazott méréstechnikai eljárás periodikusan is m é t l ő d ő vagy triggerelhető zajos jelek mérésére. A digitális jelátlagoló berendezések á r á t és a jel felső határfrekvenciáját alapvetően befolyásolja a bemene ten levő A / D á t a l a k í t ó egység. A k ö v e t k e z ő k b e n megvizsgáljuk az A / D á t a l a k í t ó p a r a m é t e r e i és az elérhető jel/zaj viszony növekedés közti összefüggést és a p a r a m é t e r e k optimális k i v á l a s z t á s á n a k felté teleit.
y
yt 1 1
i i
*;
1. Az optimális kvantálás megfogalmazása
\H306~SJ1\
Analóg jelek digitális c s a t o r n á n t ö r t é n ő t o v á b b í tásánál, digitális mérés- és adatfeldolgozásnál az idő- és a m p l i t ú d ó k v a n t á l á s segítségével ú g y redu káljuk az analóg jel i n f o r m á c i ó t a r t a l m á t , hogy illeszkedjék a véges k a p a c i t á s ú digitális csatorna átviteli tulajdonságaihoz, illetve a digitális adatfel dolgozó rendszer m e g k í v á n t a d a t p o n t o s s á g á h o z . Az időbeli k v a n t á l á s t végző mintavételező egység az X analóg forrás kimenőjelét, az x(t) sztochasztikus folyamatot egy {x(f,)} s o r o z a t t á alakítja á t , amire teljesül, hogy i=—»
CO l —171 0
ha x(r) s á v k o r l á t o z o t t és T kielégíti a m i n t a v é t e l i tételt. A t o v á b b i a k b a n a m i n t a v é t e l i tétel teljesülésével, illetve a véges m i n t a v é t e l i számból eredő appro ximációs h i b á v a l nem foglalkozunk. Az {x(t,)} sorozat felfogható egy jeltér x vektora k é n t is. A k v a n t á l ó a jeltér folytonos k o o r d i n á t á i h o z (a m i n t a v é t e l i értékekhez) diszkrét é r t é k e k e t rendel, azaz a jelteret leképzi egy diszkrét jeltérre. H a az összes m i n t a v é t e l i é r t é k e t ugyanazzal az eszközzel k v a n t á l j u k , a nemlineáris leképzést e g y é r t e l m ű e n leírhatjuk a k v a n t á l á s i szintek {x,} és a kimeneti értékek {y,} h a l m a z á n a k m e g a d á s á v a l ( 1 . á b r a ) . A t o v á b b i a k b a n az {x,} és {(/,} halmazokat tekint jük a kvantáló paramétereinek. Az optimális k v a n t á l á s problémája ezek u t á n a következőképpen fogalmazható meg: Legyen s(t) és x(t) k é t sztochasztikus folyamat, ami ket az s és x vektorokkal í r u n k le. T e k i n t s ü k az s(t) folyamatot jelnek, az x(t) folyamatot a m é r h e t ő adat nak. A digitális m é r ő - és adatfeldolgozó berendezés sel vagy a jelből s z á r m a z t a t h a t ó jj=0[s] vektort vagy az y=F[s] B e é r k e z e t t : 1974. V . 21.
X
(2)
1.
ábra
jellemzőt akarjuk m e g h a t á r o z n i , ahol 0[x] egy ope r á t o r és F[x] egy funkcionál. A z adatfeldolgozás elvégzésére rendelkezésünkre áll az x vektor, ami valamilyen statisztikai kapcsolatban van s-sel. A z adatfeldolgozás során az U=0'[x] y=V[x]
(3)
eljárásokkal y és ;/ becslését hozzuk létre, ahol az 0'[x] o p e r á t o r és F ' [ x ] funkcionál á l t a l á b a n nem egyezik meg 0 [ x ] és F[x]-szel. Az 0 ' [ x ] és F'[x] m e g h a t á r o z á s á t ú g y kell elvégez ni, hogy y és y valamilyen é r t e l e m b e n optimális becslések legyenek [1]. H a az adatfeldolgozást a k v a n t á l t X Q adatvektoro kon hajtjuk végre, természetesen: y =0'[x ]^=0'[x] Q
Q
y = F'[x ] íy=F[x]. Q
Q
W
?
A k v a n t á l ó optimalizálás célja, hogy r ö g z í t e t t N k v a n t u m s z á m mellett ú g y válasszuk meg a k v a n t á l ó {x,} és {(/,} p a r a m é t e r e i t , hogy az y és
y
y és
í/
vagy
Q
Q
k ö z ö t t i eltérés minimális legyen. Az eltérés, illetve a k v a n t á l ó teljesítőképességének m é r t é k e leggyak rabban e = E{h(g-y )} (5) h
ahol
Q
£/, = a teljesítőképesség /i(x)-ra vonatkoztatott mértéke h(x) = skalár-vektor súlyfüggvény y~yq=A —hibavektor E{x} = a súlyfüggvénnyel k é p z e t t v á r h a t ó ér t é k s szerint, y
79
H Í R A D Á S T E C H N I K A X X V I . É V F . 3. SZ.
L á t h a t ó , hogy az (5) szerinti optimalizálás nem foglalkozik a k v a n t á l ó p a r a m é t e r e i n e k és az 0 ' [ x ] o p e r á t o r n a k , illetve F'[x] funkcionálnak együttes optimalizálásával, ami a k v a n t á l ó nemlinearitása m i a t t igen bonyolult lenne.
módszerekkel [5]. Ha az átlagolást digitális beren dezéssel végezzük:
Az optimális területe az
és a k é t becslő közötti eltérés függ a k v a n t á l ó para métereitől. Mivel a k v a n t á l ó nemlineáris elem, a frekvenciatartománybeli vizsgálatnak nincs é r t e l me, így a t o v á b b i a k b a n statisztikai m ó d s z e r e k e t használunk.
kvantálás
legjobban
kidolgozott
és
y=s
x=s
(6)
eset, azaz mikor a feladat, a jel optimális k v a n t á l á s á n a k elvégzése. E k k o r : e =E{h(s-s )}, h
(7)
Q
A (7) eltérési m é r t é k szerinti optimalizálást végez te el J. 0., Max [2] arra az esetre, mikor a minta vételi értékek függetlenek és azonos valószínűség sűrűségfüggvénnyel rendelkeznek. H a teljesülnek az (8)
x—s+n
összefüggések, ahol n valamilyen a d d i t í v zaj, akkor 0[x] optimalizálása az optimális zajszűrés t é m a k ö r h ö z tartozik [1]. Abban az esetben, ha (9)
-
(14)
mértéke (15)
és optimalizáljuk a k v a n t á l ó p a r a m é t e r e i t a (15) összefüggés szerint. Rögzítsük a jelek statisztikai t u l a j d o n s á g a i t az alábbi m ó d o n : Az { i / } = {s ; + n } í
adathalmazban
l
Si = S,
az (n,) zajok függetlenek egymástól és az s jeltől, és v á r h a t ó é r t é k ü k nulla. Mivel a gyakorlatban al kalmazott a d d i t í v zajszűrőknél, valamennyi minta vételi é r t é k e t ugyanaz a k v a n t á l ó k v a n t á l j a , a minta vételi értékek eloszlását egy közös p (s) valószínűség sűrűségfüggvénnyel jellemezve a (15) összefüggést egydimenziósra r e d u k á l h a t j u k : s
e=
Legyen p (s) s
(16)
E{(s-s y}
2
t e h á t y(ti) = s(ti) becslését az {#(/,)} adatoknak csak a t i d ő p o n t b a n felvett értéke alapján végezzük el, az optimális becslést létrehozó k v a n t á l ó felfogható egy optimális, zéró memóriájú szűrőnek, aminek {x,}, {y,} p a r a m é t e r e i t az
_
M
Legyen a k v a n t á l ó teljesítőképességének az átlagos négyzetes eltérés:
es
y=s
1
i
Q
folytonos, ekkor
t
e^Et/Ksft)-*^)}
+~ J ( -s ) p (s) 2
í
=
s
Q
s
ds
(17)
(10)
átlagos eltérés alapján optimalizáljuk. Ilyen opti malizálási p r o b l é m á v a l foglalkozott L . I . Bluestein 13] a h{x)=\x\ (11) 2.
ábra
súlyfüggvény mellett. A vizsgált rendszer modellje a fentiek a l a p j á n a 2. á b r á n l á t h a t ó , ahol
2. Az optimális kvantálás problémája additív zajszűrésnól
x=s+n
Vizsgáljuk a (8) összefüggés szerinti esetet, mikor a feladat egy s(t) jel mérése, valamilyen n(t) a d d i t í v zajjal terhelt x(f) folyamat alapján. A becslés elvég zéséhez rendelkezésünkre álló adathalmaz:
K}~{s,- + /j,);
í=l, ... M
(12)
A becslést, az s = irf
M
2
_
i
x
Aí
Vizsgáljuk meg részletesebben a (16) összefüggést, a 2. á b r a szerinti modellre alkalmazva: £ 2
\
=E{ 2}-2E{s.s } + E { s y S
Q
Q
(18)
ahol (13)
egyszerű lineáris operációval végezzük el. Az ope r á t o r tulajdonságainak vizsgálata t ö r t é n h e t frek v e n c i a t a r t o m á n y b e l i leírással [4], illetve statisztikai
80
1
E{*.S } = E j s - l f Q
y ^ { s . y } és
(19) (20)
SZTIPÁNOVITS J . : OPTIMÁLIS KVANTÁLÁS A D D I T Í V ZAJSZŰRÉS E S E T É N
t e h á t az átlagolások számától a (18) összefüggésnek csák a harmadik tagja függ. Mivel SQ az {y,} diszkrét valószínűségi változók összegéből nyert valószínű ségi változó, és y,-k egy adott s-nél azonos eloszlásúak és függetlenek, a becslő feltételes négyzetes közép értéke, ha az átlagolások száma M: E{s% | s} = E {y\s} + ±
[E{if
2
|s}-E%|s}],
í g y az átlagos négyzetes eltérés M esetén * = E{ z}-2E{ y}
e
S
2M
3. Az egyenletes kvantáló optimális paraméterei
(21)
átlagolásszám
E{E{ms}}.
+
S
Mivel az a d d i t í v zajszűrők t ú l n y o m ó r é s z t egyenletes k v a n t á l ó t tartalmaznak, t o v á b b i v i z s g á l a t a i n k a t egyenletes k v a n t á l ó r a végezzük el.
Legyen az egyenletes k v a n t á l ó átviteli karakte risztikája a 3. á b r á n l á t h a t ó szokásos A / D á t a l a k í t ó karakterisztika.
(22)
y
i
H a az átlagolások száma 1: e =E{(s - y)*} = E{s } - 2E{sy} + E f e } . 2
2
21
^
(23)
Ha az átlagolások száma t a r t a végtelenhez: e
2H
= lim e
= E{s } - 2 E { y } + E { E % } } . 2
2M
S
H i /c
(24)
A (21), (22), (23) és (24) összefüggések egybeveté séből megállapítható, hogy tetszőleges M-hez tar tozó átlagos négyzetes eltérés m e g h a t á r o z h a t ó e és e segítségével:
ábra
21
2H
:
f
2
H
+
M
^ l 2
_ F ?
(25)
2H)-
Ez az összefüggés igen fontos a t o v á b b i a k szempont jából, hiszen azt jelenti, hogy elég az e és e átlagos négyzetes eltéréseket vizsgálnunk. Ha a k v a n t á l ó az 1. á b r á n l á t h a t ó átviteli karak terisztikával rendelkezik, az {a:,} és {y,} p a r a m é t e r e k kel a (23) és (24) összefüggésben szereplő tagok: 2H
K{s } =
A k v a n t á l á s i szintek ÍV k v a n t u m s z á m n á l :
X / =
N+Í
X
ahol
2
s
— A ) dn} s
_i+^) -|-K
i= 2 , . . . N
9
— +
(27)
c
K = a k v a n t á l ó mérési t a r t o m á n y á n a k zépértéke, q= a k v a n t u m n a g y s á g
kö
és a mérési t a r t o m á n y b ó l felfelé vagy lefelé kieső jeleket az első, illetve az utolsó kvantumba soroljuk.
+E{s-y}=
l
21
j s p (s) ds
2
|
'P (s)' Íffi-
A kimeneti é r t é k e k : (26)
Pn(n—s)
,
5
ds
(•
1
+
N
\ q+ K
i=í,
. . . N
(28)
ds
j
E{y } = 2
p (s) s
• 1 í/
E{E {y} = | p ( s ) . 2
s
x
J
2
t e h á t minden kvantumhoz (az első és az utolsó k i vételével) a középértékét rendelik hozzá. Behelyettesítve a (26) összefüggésekbe az egyen letes k v a n t á l ó p a r a m é t e r e i t az átlagos négyzetes eltérésekre az alábbi összefüggéseket k a p j u k :
p ( « - s) dn n
' Í+I X
p
2" í/r J
Pn(n—s)
dn
ds
Hh+«
2
N + C
21 —
+
s~\—^—\q-K\
-jg-xj
j*
(n-s)dn
+
Pn
oo
j
Pn{n- -s) dn + i —(-^ ) ~ 1-
q
K
\
j (f-x)
Pn(n—s) d n j ds ?
+
(29)
K
81
HÍRADÁSTECHNIKA
2H-
FC
^
X X V I . É V F . 3. SZ.
- j g+JcJ
Ps(s)-{s- Z N
J
p „ ( n - s ) dn-
H4W 1
-N
q+K
]
p (n—s) d n - | ^ 2 ^ j g + X ]
J
n
J
- s ) dnj ds.
A (29) összefüggésbe behelyettesítve a zajmentes esetnek megfelelő p (ri) = d(ri) függvényt (ahol ő(x) a Dirac-operátor): n
r
N-I <=2T
\ ( N+l\ f | s — I i — — 2 — p ( ) s
1= 2
^
0-4)
s
s
+
N - I s-|—2~
J
a Max-féle egyenletes k v a n t á l ó átlagos négyzetes eltérését kapjuk. A (29) és (30) összefüggésekből látszik, hogy E és e rögzített N k v a n t u m s z á m mellett, az egyenle tes k v a n t á l ó q és K paramétereinek függvényei, a p a r a m é t e r e k optimalizálása t e h á t kétváltozós szél sőérték-keresést jelent. Tételezzük fel, hogy a jel p (s) és a zaj p (n) sűrűségfüggvénye a v á r h a t ó értékre szimmetrikus és egy csúcsa van. Igazolható, hogy e és e abszo l ú t minimuma a 2 1
2H
s
n
21
j sp(s) d s = E { s }
2H
(32)
helyen t a l á l h a t ó , ami azt a szemléletileg is kézenfek v ő t é n y t jelenti, hogy a legkisebb átlagos négyzetes eltérést a k v a n t á l á s i t a r t o m á n y n a k , a jel v á r h a t ó értékére szimmetrikus elhelyezésével lehet elérni. A (25) összefüggés értelmében viszont az összes á t lagolásszámra is teljesülnie kell a (32) feltételnek, t e h á t szimmetrikus sűrűségfüggvények esetén a kétváltozós szélsőérték-keresés egyváltozósra redu kálható. Egy adott N k v a n t u m s z á m melletti optimális k v a n t u m n a g y s á g o t m e g h a t á r o z h a t j u k a (29) és (30) összefüggés q szerinti differenciálásából nyert, ^-ra implicit egyenlet megoldásával vagy közvetlenül az átlagos négyzetes eltérésfüggvények p a r a m é t e r e z e t t vizsgálatával. Mivel a k v a n t u m n a g y s á g és az átlagos négyzetes eltérések közötti összefüggés a szélsőérték helyének m e g h a t á r o z á s a i n kívül is lényeges ered m é n y e k e t ad, célszerű az u t ó b b i m ó d s z e r t válasz tani.
82
d
)
f
^
f
valószínűség-sűrűség
fl-iV^l
1
[s-ylTji-K
J
p (s) ds + s
9+K
+
K=
K
(30)
(31)
p (s) ds s
A vizsgálat eredményeiből a következő kérdésekre akarunk választ kapni: — Egy adott jel/zaj viszonynál milyen kvantum számú k v a n t á l ó t érdemes használni ahhoz, hogy egy adott a d d i t í v zajszűrő berendezéssel maximális jel/zaj viszony j a v u l á s t tudjunk elérni? — M i az optimális k v a n t á l á s i t a r t o m á n y b e á l l í t á s ? Ahhoz, hogy á t t e k i n t h e t ő , jól értékelhető ered m é n y e k e t kapjunk, az £ és e átlagos négyzetes eltéréseket egy adott jel/zaj viszonynál ( J ) , a kvant u m s z á m (N) és a k v a n t u m n a g y s á g (q) függvényében h a t á r o z z u k meg. A közölt p é l d á b a n a zajt Gauss-eloszlásúnak és a jelet egyenletes eloszlásúnak tételezzük fel. (A kiszámítást végző számítógép program természetesen m á s jel és zaj sűrűség függvények vizsgálatára is alkalmas). 21
2H
Az adott esetben t e h á t : 1
ha
Ps(s) = 2S
0 'máshol. (
Pn(n) =
1 Y2ttGn
exp — 2o*
(33)
A jel/zaj viszony J-
al
3ff2
A cr|-re n o r m á l t t' (N, q'), és e' (N, q'), felületek egyenlete a (32) feltétel behelyettesítése u t á n : 2X
w
SZTIPÁNOVITS J . : OPTIMÁLIS KVANTÁLÁS A D D I T Í V ZAJSZŰRÉS E S E T É N
.')=>
'»g)
( i V :
« ) ' - '
_ 7íy
1 =
n
2S'/2jr J l , é
exp-| —|dn' + 2
-S'
1 — ÍV
J =
s
l
ds'
exp-
J
^ —^ ^mi\ ~^[[ ~~r\ q)=
J
N - l exp — \~nr\ dn' + s' — | — ^ — | q'
exp
(34)
-l-2j dn
(«-l- J -s' T
ahol rendre elvégeztük az S'--
s
í
érhető maximális jel/zaj viszony j a v u l á s t természe tesen nemcsak a k v a n t á l á s b ó l eredő torzítás kor látozza, hanem a mintavételezési idő, a bemeneti erősítés stb. bizonytalansága is [5]. Jelöljük e -mel azt az átlagos négyzetes eltérést, amit egy adott berendezéssel, valamilyen kezdeti jel/zaj viszonyból el lehet érni, ahol e nem tartalmazza a k v a n t á l á s i torzítást. (Az elérhető maximális jel/zaj viszony javulás az a d d i t í v zajszűrők specifikációjához tar tozik, a H P 5480 A típusú jelanalizátornál ez az érték ~ 6 0 dB [6].) H a berajzoljuk a 4. á b r á b a az adott e -hez t a r t o z ó e' = e síkot, közvetlenül összehasonlíthatjuk a különböző (N, q') p a r a m é t e r ű k v a n t á l ó k k a l elérhető minimális átlagos négyzetes eltérést (e' ) az adott berendezéssel elérhető átlagos négyzetes eltéréssel (e ). 2Hm
n'=—,
q = —
2fIm
helyettesítéseket. A (34) és (35) összefüggésekkel m e g h a t á r o z o t t felületek l á t h a t ó k a 4. á b r á n . J = l esetben. Egy realizált a d d i t í v zajszűrő berendezéssel el-
2Hm
2H
2fím
2H
2Hm
Legyen feltételünk kiválasztásánál, hogy
a
kvantáló
paramétereinek
azaz a k v a n t á l ó ne korlátozza szám otte vően az el é r h e t ő jel/zaj viszony javulás n a g y s á g á t . Az e' ~ = e síkból az e' (N, q') felülettel kimetszett A t a r t o m á n y foglalja m a g á b a n azokat az (N, q') p a r a m é t e r e k e t , amik mellett a (37) feltétel teljesül. (A v á l a s z t h a t ó (N, q') p a r a m é t e r e k n e k az A tarto m á n y széleitől való távolsága az e — E^H" k ü l ö n b ségtől függ.) Az á b r a alapján t e h á t a következő k é r d é s e k r e kapunk v á l a s z t : — Mekkora a ininimális k v a n t u m s z á m , ami mel lett a (37) feltétel teljesülhet? — Egy adott k v a n t u m s z á m mellett milyen h a t á rok k ö z ö t t v á l t o z t a t h a t j u k a kvantumnagy ságot, azaz milyen érzékeny az átlagos négy zetes eltérés a m é r é s h a t á r beállítására! m
2Hm
zH
2Hm
\H-30S-SJ4\
4.
ábra
A vizsgálat különböző jel/zaj viszonyok és k ü l ö n böző p (.s) sűrűségfüggvények melletti elvégzésével átfogó k é p e t n y e r h e t ü n k az a d d i t í v zajszűrőkben alkalmazott k v a n t á l ó k tulajdonságairól. s
83
H Í R A D Á S T E C H N I K A X X V I . É V F . 3. SZ. I R O D A L O M [1] Athanasios Stochastic
Papoulis: Probability R a n d o m Variables and Processes. New Y o r k : M c G r a w - H i l l , 1965.
[2] Joel Max: Quantizing for Minimum Distortion. I R E T r a n s . Inform. Theorv, vol. I T — 6 , March 1960, pp. 7—12. [3] L . I. Bluestin: Asymptotically Optimum Quantizers and Optimum A n a l ó g to Digital Gonverters for Continuous
Signals. I E E E Trans. Inform. Theory, vol. I T — 1 0 , A p r i l 1964, pp. 242—246. [4] C . R. Trimble: W h a t is Signal Averaging? HewlettP a c k a r d Journal, April 1968, pp. 2—7. [5] J. Bodo: Response Averaging Methods their Effectiveness and Limitations. Proceedings of the 1961 D a t a Acquisition and Processing in Biology and Medicine Rochester Gonference V o l . 2. Pergamon Press. [6] Hewlett-Packard 1970 Electronics for Measurement Analysis Computation pp. 42—43.
