Olga Taussky-Todd: z Olomouce do Pasadeny

Olga Taussky-Todd: z Olomouce do Pasadeny ˇ ep´ Martina Stˇ anov´ a, Praha Abstrakt. V létˇe letoˇsn´ıho roku uplynulo 110 let od narozen´ı celosvˇetovˇe proslulé matematiˇcky ˇ Olgy Taussky-Todd (1906–1995). Aˇc se narodila na u ´zem´ı dneˇsn´ı Cesk´ e republiky a kr´ atce zde i ˇzila, nen´ı paradoxnˇe v naˇs´ı ˇsirˇs´ı matematické komunitˇe pˇr´ıliˇs zn´ am´ a. Jej´ı ˇzivotn´ı osud je pˇritom stˇeˇz´ı uvˇeˇritelnou cestou za sebeuplatnˇen´ım a uzn´ an´ım, leckdy u ńikem pˇred ohroˇzen´ım ˇzivota, bojem s vˇetrn´ ymi ml´ yny, uk´ azkou neziˇstné pomoci druh´ ym ˇci pˇr´ıbˇehem silné osobnosti, kterou ˇrada pˇrek´ aˇzek nezlomila, ale natolik pos´ılila, ˇze dok´ azala i ve svém profesn´ım ˇzivotˇe dos´ ahnout neobyˇcejn´ ych u ´spˇech˚ u.

1.

Olomouc, V´ıdeˇ n, Linec

Olga Taussky se narodila 30. srpna 1906 v Olomouci, ve mˇestˇe, které bylo tehdy — v dobˇe Rakouska-Uherska — naz´ yváno Olm¨ utz. Dˇetstv´ı proˇzila v láskyplné ˇzidovské rodinˇe jako prostˇredn´ı ze tˇr´ı sester, mezi nimiˇz byly tˇr´ıleté vˇekové rozd´ıly. Matka Ida Pollach Taussky nedosáhla vyˇsˇs´ıho vzdˇelán´ı a byla v domácnosti, o niˇz se musela samostatnˇe postarat zejména bˇehem ˇcast´ ych pracovn´ıch cest manˇzela. Olga Taussky ji charakterizovala takto: My mother was a country girl. She was rather bewildered about our studies and compared herself to a mother hen who had been made to hatch duck eggs and then felt terrified on seeing her offspring swimming in a pond. [21, str. 321] Olˇzin otec Julius David Taussky pracoval jako pr˚ umyslov´ y chemik a obˇcas psal ˇclánky do novin. Dbal na to, aby dcery z´ıskaly kvalitn´ı vzdˇelán´ı, a pˇrál si, aby se uplatnily v umˇelecké sféˇre. Vˇsechny tˇri se vˇsak ve sv´ ych profesn´ıch ˇzivotech vydaly zcela jin´ ym smˇerem. Nejstarˇs´ı Ilona vystudovala chemii a ˇsla ve ˇslépˇej´ıch svého otce, prostˇredn´ı Olga se oddala matematice, pˇredevˇs´ım teorii matic a teorii ˇc´ısel, a nejmladˇs´ı Hertha se po studi´ıch farmacie uplatnila ve funkci vˇedecko-v´ yzkumné pracovnice v Cornell Medical School v New Yorku. Krátce pˇred sv´ ymi tˇret´ımi narozeninami se Olga ocitla ve V´ıdni, kam se celá rodina odstˇehovala. Pozdˇeji zde zaˇcala docházet na základn´ı ˇskolu. T´ıhla v té dobˇe k umˇen´ı a v matematice pˇrekvapivˇe nevynikala. Na rozd´ıl od starˇs´ı sestry, která dostávala pouze jedniˇcky, mˇela Olga obˇcas i dvojky, a to i z matematiky. Pˇredevˇs´ım v pohnut´ ych chv´ıl´ıch psala básnˇe, coˇz j´ı z˚ ustalo aˇz do d˚ uchodového vˇeku, docházela na hodiny hudby a rovnˇeˇz sama komponovala. Dokonce j´ı bylo navrˇzeno, aby nastoupila na konzervatoˇr, k ˇcemuˇz vˇsak nedoˇslo. Sklony k pˇr´ırodn´ım vˇedám projevovala aˇz od poˇcátk˚ u dosp´ıván´ı. To vˇsak jiˇz bydlela v Linci, kam se rodina pˇrestˇehovala v roce 1916, aby ˇreˇsila svou znaˇcnˇe t´ıˇzivou finanˇcn´ı

ˇ e ˇ pa ´ nova ´ , Ph.D., Katedra didaktiky matematiky, MFF UK v Praze, RNDr. Martina St Sokolovsk´ a 83, 186 75 Praha 8, e-mail: [email protected]

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, roˇcn´ık 61 (2016), ˇc. 3

197

situaci. Otec zde z´ıskal v´ yhodnou pozici v m´ıstn´ı octárnˇe, která souˇcasnˇe produkovala i marmelády, nealkoholické nápoje atd. Kv˚ uli ˇspatnému zdravotn´ımu stavu po u ´razu pˇri ˇzelezniˇcn´ım neˇstˇest´ı ho zaˇcala ke konci ˇzivota na pracovn´ıch cestách doprovázet nejstarˇs´ı dcera Ilona, a ˇcerpala tak pˇrirozenˇe znalosti chemie, kterou právˇe studovala. Nˇekolik mˇes´ıc˚ u pˇred Olˇzinou maturitou otec zemˇrel, a proto musela kv˚ uli minimáln´ım rodinn´ ym pˇr´ıjm˚ um jiˇz bˇehem pˇr´ıprav na zkouˇsku z dospˇelosti zaˇc´ıt pracovat v octárnˇe. Tou dobou se upnula ke své starˇs´ı sestˇre Ilonˇe a jak pozdˇeji pochopila, obdobn´ y vztah pocit’ovala mladˇs´ı sestra Hertha k n´ı. Velkou podporu nalezla Olga také v Rese, jej´ıˇz manˇzel byl kolegou jej´ıho otce v octárnˇe. Resa, která pocházela z V´ıdnˇe a nebylo j´ı, tak jako jin´ ym ˇzenám obdobného vˇeku, vzdˇelán´ı umoˇznˇeno, si nedokázala na osamˇel´ y ˇzivot v relativnˇe malém Linci zvyknout. Byla proto ráda, ˇze mohla s Olgou dlouze debatovat. Kupovala j´ı kvalitn´ı knihy, které by si Olga nemohla z finanˇcn´ıch d˚ uvod˚ u dovolit, a zaj´ımala se o jej´ı ˇskoln´ı v´ ysledky. Zaj´ımavé je, ˇze v ˇr´ıjnu roku 1918 se Olga Taussky stala dle zákona ze dne na ˇ den obˇcankou novˇe vzniklého Ceskoslovenska. Ve sv´ ych pozdˇejˇs´ıch pamˇetech An autobiographical essay [21] uvedla, ˇze sice povaˇzovala tento stát za zemi s v´ yznaˇcn´ ymi moˇznostmi, krásn´ ymi horami, n´ adhern´ ymi star´ ymi mˇesty a velk´ ymi ambicemi, ale pro ni to byla zemˇe, v n´ıˇz takˇrka neˇzila. Roku 1925 se jej´ı ˇzivotn´ı pout’ opˇet stoˇcila do V´ıdnˇe, konkrétnˇe na m´ıstn´ı univerzitu. Nejdˇr´ıve soubˇeˇznˇe studovala chemii a matematiku, ale pozdˇeji pochopila, ˇze chemické vzdˇelán´ı ponechá pouze své sestˇre Ilonˇe, a vˇenovala se plnˇe matematice. . . . when the summer was over it was decided to let me begin studies in mathematics at the University of Vienna, taking also a major in chemistry, a truly wonderful subject. Eventually, my sister did very well, making trips all over Europe, later to the U.S., and even to India and Egypt. I did not seem to be needed. So I dropped the chemistry – but my younger sister returned to the family subject later. [21, str. 326] Bˇehem studi´ı se na kurzech z filozofie matematiky seznámila s brnˇensk´ ym rodákem Kurtem Gödelem (1906–1978), s n´ımˇz ji pojil nejen zájem o matematiku, ale i pˇrátelstv´ı. Z odborn´ ych discipl´ın ji nejv´ıce zaujala teorie mnoˇzin, z n´ıˇz pozdˇeji (1930) z´ıskala i doktorát. Doktorskou práci psala v podstatˇe sama, nebot’ jej´ı ˇskolitel Philipp Furtwängler (1869–1940) byl natolik nemocn´ y, ˇze ani sám nedoˇsel na univerzitu, nezvl´ adal psát na tabuli, ˇcasto odvolával (napˇr. kv˚ uli náled´ı) v´ yuku ˇci konzultace apod. 2.

G¨ ottingen, V´ıdeˇ n, Bryn Mawr

Od roku 1931 pracovala Olga Taussky na univerzitˇe v Göttingen, kam se dostala na doporuˇcen´ı Hanse Hahna (1879–1934), ˇskolitele Kurta Gödela. Pod´ılela se na editaci prac´ı Davida Hilberta (1862–1943) z teorie ˇc´ısel. Potkala se zde s Emmy Noether (1882–1935), s n´ıˇz musela spolupracovat, aˇc mezi nimi byly napjaté vztahy. Kv˚ uli v´ yuce se vˇenovala dalˇs´ı zcela odliˇsné oblasti matematiky neˇz dosud — byla asistentkou v kurzech diferenciáln´ıch rovnic. Zdejˇs´ı p˚ usoben´ı ukonˇcila jiˇz následuj´ıc´ıho roku, kdy v obavˇe pˇred s´ıl´ıc´ım faˇsismem Göttingen opustila a vrátila se do tˇretice do V´ıdnˇe, opˇet na v´ıdeˇ nskou univerzitu. Ani zde se vˇsak nec´ıtila v bezpeˇc´ı, a tak pˇribliˇznˇe po dvou letech, v nichˇz se vˇenovala 198


pˇredevˇs´ım funkcionáln´ı anal´ yze a topologické algebˇre, odletˇela roku 1934 na jeden rok do zámoˇr´ı. Dostala totiˇz nab´ıdku z Bryn Mawr College v Pensylvánii. Odcházela vˇsak ponˇekud s l´ıtost´ı, nebot’ poté, co pˇrisl´ıbila práci za oceánem, se dozvˇedˇela, ˇze by ji rovnˇeˇz pˇrijali na prestiˇzn´ı Girton College spadaj´ıc´ı pod University of Cambridge. Zde by se mohla vˇenovat vˇedn´ım discipl´ınám, které by si sama zvolila, a rovnˇeˇz jej´ı finanˇcn´ı ohodnocen´ı by bylo nadstandardn´ı. Jak to vˇsak v ˇzivotˇe b´ yvá, události, které se zprvu zdaj´ı negativn´ı, se mohou ˇcasem vyjevit jako krok správn´ ym smˇerem. Na Bryn Mawr College se setkala s ˇclovˇekem, kter´ y ji posunul nejen v kariéˇre. Onou osobou nebyl nikdo jin´ y neˇz Emmy Noether. Jejich dˇr´ıvˇejˇs´ı chladné vztahy se pˇretavily v pˇrátelstv´ı, které bylo stmelováno spoleˇcn´ ym jazykem (nˇemˇcinou), ˇzidovsk´ ym p˚ uvodem, postaven´ım ˇzen ve vˇedˇe ˇci drobnostmi typu láska k ˇcokoládˇe. Olga Taussky doprovázela Emmy Noether na jej´ıch u ´tern´ıch pracovn´ıch cestách1 do Institute for Advanced Study v Princetonu, kde tou dobou p˚ usobili takov´ı velikáni, jako byl Albert Einstein (1879–1955), Hermann Weyl (1885–1955), John von Neumann (1903–1957), Solomon Lefschetz (1884–1972) apod. S nimi se nejen setkávala na chodbách, ale s nˇekter´ ymi pˇriˇsla i do uˇzˇs´ıho kontaktu, nebot’ byla nˇekdy s Emmy Noether pˇrizvána na veˇceˇre. Moˇznost b´ yt v Princetonu v této vzneˇsené spoleˇcnosti pˇrij´ımala s pokorou, nezapom´ınala na vlastn´ı skromné zaˇcátky: Although to me, since I came from poverty-stricken country, much of life at Bryn Mawr seemed quite luxurious. I had attended a European university and the attention students received practically brought tears to my eyes. I remembered the tough time I had in my student days. Nevertheless, life at that time was far from carefree. The depression was in full swing. ... Some of the students in other subjects did not appear to be rolling in money; they could not afford to buy oranges to add to what the college provided, and I remember helping them carry their luggage to the station to avoid taxi fares. [21, str. 337] 3.

Cambridge, Lond´ yn, Belfast

O m´ısto na Girton College v Cambridgi Olga Taussky nepˇriˇsla, nab´ızen´ y tˇr´ılet´ y pobyt j´ı vˇsak byl o jeden rok zkrácen. V Cambridgi pracovala v letech 1935 aˇz 1937 pˇredevˇs´ım v oblasti topologické algebry. Ve své odborné ˇcinnosti zaˇz´ıvala stejn´ y pocit jako pˇri doktorském studiu: osamˇelost v oboru, kterému se nevˇenoval ˇzádn´ y z bliˇzˇs´ıch koleg˚ u. Poté ji ˇzivot zavál pˇribliˇznˇe o osmdesát kilometr˚ u jiˇznˇeji. Sedm let, tj. do roku 1944, byla zamˇestnána na Westfield College v Lond´ ynˇe urˇcené pro ˇzeny. P˚ usoben´ı v Cambridgi a Lond´ ynˇe mˇelo nˇekolik v´ yrazn´ ych protiklad˚ u. V Cambridgi byla spokojena s u ´rovn´ı ˇskoly, vycházela s kolegy a jej´ı ciz´ı pˇr´ızvuk v angliˇctinˇe byl s pochopen´ım tolerován. Naopak lond´ ynskou ˇskolu nepovaˇzovala za kvalitn´ı a mˇela nesváry s kolegy, kteˇr´ı mimo jiné poukazovali na jej´ı ne zcela dokonalou angliˇctinu. K podstatn´ ym negativ˚ um lond´ ynské ˇskoly je nutno pˇriˇc´ıst jeˇstˇe skuteˇcnost, ˇze uˇcila geometrii, která ji jednak nebavila, jednak se v n´ı nec´ıtila silná. Nav´ıc ji uˇcila pro velk´ y poˇcet student˚ u (devˇet skupin), kter´ ym musela zadávat práce a hodnotit je, a rovnˇeˇz mˇela pocit, ˇze na ni geometrii pˇresunuli kolegové, kteˇr´ı ji uˇcit nechtˇeli. 1 Kv˚ uli

vysok´ e cenˇ e j´ızdenek na vlak si vˇsak nemohla dovolit jet kaˇ zd´ y t´ yden.


199

Nespokojenost v akademickém ˇzivotˇe vˇsak byla vyváˇzena ˇstˇest´ım osobn´ım. Roku 1937 na jednom ze semináˇr˚ u pro pedagogy lond´ ynské univerzity potkala o pˇet let mladˇs´ıho uˇcitele matematické anal´ yzy Johna Todda (1911–2007), familiárnˇe zvaného Jack. Vyr˚ ustal v presbyteriánské rodinˇe v Severn´ım Irsku jako nejstarˇs´ı z pˇeti sourozenc˚ u.2 Vedle matematické anal´ yzy se pozdˇeji uplatnil pˇredevˇs´ım v numerické anal´ yze, v numerické algebˇre a v oblasti vysokorychlostn´ıch poˇc´ıtaˇc˚ u. Na lond´ ynskou univerzitu, konkrétnˇe na King’s College, pˇreˇsel v roce 1937. Po onemocnˇen´ı jednoho z koleg˚ u byl Johnu Toddovi, jakoˇzto nejmladˇs´ımu ˇclenu katedry, pˇredán kurz z teorie grup. Pˇri pˇr´ıpravˇe v´ yuky se setkal s n´ asleduj´ıc´ım, pro nˇej neˇreˇsiteln´ ym problémem:3 Necht’ G2 je norm´ aln´ı podgrupa grupy G1 a G3 je norm´ aln´ı podgrupa grupy G2 . Pro jakou tˇr´ıdu grup je G3 norm´ aln´ı podgrupou grupy G1 ? S u ´lohou se obrátil na Olgu Taussky. Pˇrestoˇze ani ona mu tehdy nepomohla, postupnˇe se sbl´ıˇzili. Jiˇz pˇr´ıˇst´ı rok, pouze nˇekolik ´ hodin poté, co Adolf Hitler, Edouard Daladier, Neville Chamberlain a Benito Mussoˇ lini zpeˇcetili mnichovskou dohodou osud Ceskoslovenska, nasmˇerovali Olga s Johnem podpisem dohody manˇzelské“ dne 30. záˇr´ı 1938 svou cestu soukromou.4 ” Tou dobou jiˇz klepala na dveˇre druhá svˇetová válka. Po jej´ım propuknut´ı byla King’s College, na n´ıˇz dosud p˚ usobila muˇzská ˇcást matematického páru, evakuována do Bristolu. John Todd z n´ı byl propuˇstˇen. Pˇrestˇehována, tentokrát do Oxfordu, byla rovnˇeˇz ˇcást Westfield College, na n´ıˇz p˚ usobila Olga Taussky-Todd. Stˇehován´ı se stalo pro manˇzele Toddovy takˇrka synonymem jejich tehdejˇs´ıho ˇzivota, jen bˇehem války se stˇehovali osmnáctkrát. Bydleli napˇr´ıklad v irském Belfastu, kde ˇzila Johnova rodina.5 Shodou náhod zde tehdy pobl´ıˇz domova Johnov´ ych rodiˇc˚ u vyr˚ ustal Hans Schneider (1927–2014), pozdˇeji jeden z nejv´ yznamnˇejˇs´ıch lineárn´ıch algebraik˚ u druhé poloviny 20. stolet´ı.6 Oba manˇzelé mimo jiné vyuˇcovali na m´ıstn´ı Queen’s University. Celosvˇetová situace mˇela pˇr´ım´ y vliv rovnˇeˇz na jejich odbornou práci, v n´ıˇz bylo nutné ˇreˇsit aktuáln´ı problémy souvisej´ıc´ı s váleˇcn´ ym konfliktem. V letech 1943 aˇz 1946 pracovala Olga Taussky-Todd na Ministry of Aircraft Production v Teddingtonu, 2 Bliˇ zˇs´ı informace o Johnu Toddovi lze z´ıskat napˇr. z neform´ aln´ıch rozhovor˚ u [1] a [26] z roku 1996. Druh´ e z uveden´ ych interview s Johnem Toddem bylo vedeno Shirley K. Cohen v r´ amci tzv. Oral History Project of the Caltech Archives. Jednalo se o rozhovory s profesory p˚ usob´ıc´ımi na California Institute of Technology. Do tohoto projektu se zapojila i Olga Taussky-Todd, a to jiˇ z na konci sedmdes´ at´ ych let 20. stolet´ı. Kdyˇ z byla poˇ z´ ad´ ana, aby promluvila o sv´ em ˇ zivotˇ e, preferovala psanou podobu vzpom´ınek, jejichˇ z prvn´ı, nepublikovan´ a verze vznikla v roce 1979. Pˇribliˇ znˇ e tˇricetistr´ ankov´ y vzpom´ınkov´ y text An autobiographical essay [21] byl roku 1980 upraven a vyˇsel opakovanˇ e (1985, 2008). Pr´ avˇ e z t´ eto publikace jsme ˇ cerpali biografick´ e informace, poch´ az´ı z nˇ ej ˇrada uveden´ ych citac´ı. 3 Podgrupa H grupy G je norm´ aln´ı, jestliˇ ze pro kaˇ zd´ y prvek h ∈ H a kaˇ zd´ y prvek g ∈ G je g −1 hg ∈ H. 4 V t´ eto souvislosti citujme u ´smˇ evnou historku Johna Todda ze soukrom´ eho ˇ zivota manˇ zel˚ u, kter´ a se t´ yk´ a matky Harolda Scotta MacDonalda Coxetera (1907–2003): Well, Olga was in Cambridge from 1935 to 1937, and Coxeter was there as a fellow of Trinity College, and they met. Mrs. Coxeter herself was also living there. Apparently she decided that her son should be married, and she thought that Olga was the right person for him, even after we were married. She even invited all of us to where she was living then in Tintagel, in Cornwall, the site of King Arthur’s Castle. But she never succeeded. Olga and I would remain married for 57 years — until her death in 1995. [1, str. 21–22] 5 Pouh´ y den pˇred zaˇ c´ atkem v´ alky se do Belfastu pˇrestˇ ehovala i Olˇ zina matka a mladˇs´ı sestra Hertha, kter´ e zde z˚ ustaly rok ˇ ci dva. Pot´ e se pˇreplavily lod´ı pˇres Atlantick´ y oce´ an (tehdy pln´ y nˇ emeck´ ych ponorek) za nejstarˇs´ı sestrou Ilonou do New Yorku. 6 Rovnˇ eˇ z jeho koˇreny sahaj´ı na naˇse u ´zem´ı, nebot’ jeho otec se narodil v Karvin´ e.

200


pˇredmˇest´ı Lond´ yna, v problematice souvisej´ıc´ı s tzv. jevem flutter 7 . Jedná se o nebezpeˇcné vibrace nadzvukov´ ych letoun˚ u, které mohou vést aˇz ke zˇr´ıcen´ı stroje a k obˇeˇ sen´ı problému u tem na ˇzivotech.8 Reˇ ´zce souvis´ı s problematikou diferenciáln´ıch rovnic, resp. s v´ ypoˇctem vlastn´ıch ˇc´ısel jist´ ych matic. Olga Taussky-Todd si uvˇedomila, ˇze nen´ı nutné vlastn´ı ˇc´ısla poˇc´ıtat pˇresnˇe a postaˇc´ı jejich urˇcen´ı s takovou pˇresnost´ı, kterou poskytuje tzv. Gerˇsgorinova vˇeta (viz vˇeta 2 dále). The duties in my aerodynamics job were very heavy. This time I really had to give up all my previous dreams. But there were some rewards. For the first time I realized the beauty of research on differential equations — something that my former boss, Professor Courant, had not been able to instill in me. Secondly, I learned a tremendous lot of matrix theory. [21, str. 338] Teorii matic se Olga Taussky-Todd vˇenovala i v rámci teorie ˇc´ısel, kde studovala matice s celoˇc´ıseln´ ymi prvky. Zaj´ımala se téˇz o zobecnˇenou komutativitu matic. John Todd pracoval od roku 1941 na Ministerstvu námoˇrnictva (The Admiralty) v Portsmouthu a zab´ yval se váleˇcn´ ymi lodˇemi. Bylo je napˇr. nutné demagnetizovat, aby nepˇritahovaly nˇemecké magnetické miny. Pot´ ykal se rovnˇeˇz s problémem akustick´ ych lodn´ıch min, které byly spouˇstˇeny zvuky vydávan´ ymi plavidly. Pˇrestoˇze se p˚ uvodn´ı odborné zamˇeˇren´ı manˇzel˚ u liˇsilo, napsali nˇekolik ˇclánk˚ u spoleˇcˇ nˇe. Sest jich vzniklo dokonce pˇr´ımo v krytech bˇehem bombardován´ı Lond´ yna, zat´ımco si jin´ ych dvacet ˇci tˇricet lid´ı pov´ıdalo, spalo nebo ˇcetlo. Vˇetˇsina z tˇechto ˇclánk˚ u byla z teorie matic. 4.

Princeton, Los Angeles, Lond´ yn, Washington, New York

V roce 1947 mˇeli manˇzelé Toddovi jeden rok pomáhat v zaˇcátc´ıch novˇe zaloˇzené spoleˇcnosti National Applied Mathematical Laboratories, která vznikla v rámci University of California v Los Angeles (UCLA) a spadala pod National Bureau of Standards s centrálou ve Washingtonu. Vidina roku stráveného v Los Angeles se rozplynula ihned po pˇr´ıletu, nebot’ zjistili, ˇze pro jejich práci nen´ı vybudováno zázem´ı. Olga Taussky-Todd proto pokraˇcovala v samostudiu matic a pˇr´ıleˇzitostnˇe pˇrednáˇsela tam, kam ji pozvali. Na pˇrednáˇsky jezdila s urˇcitou nejistotou, protoˇze nˇekolik let pˇred posluchaˇci nestála. Klidu j´ı jistˇe nepˇridalo ani vˇedom´ı, ˇze hned na jej´ı druhé pˇrednáˇsce byl slavn´ y nizozemsk´ y matematik Bartel Leendert van der Waerden (1903–1996). Pˇri jedné cestˇe z takovéto pˇrednáˇsky se pod´ıvala na Institute for Advanced Study v Princetonu, kter´ y jiˇz v dobách, kdy na nˇej zaj´ıˇzdˇela s Emmy Noether, povaˇzovala za ˇr´ıˇsi sn˚ u. Tehdy vˇsak netuˇsila, ˇze j´ı ˇzivot pˇribliˇznˇe o tˇrináct let pozdˇeji pˇrichystá milé pˇrekvapen´ı. V Princetonu ji kolegové srdeˇcnˇe pˇrijali, byli seznámeni s jej´ımi v´ ysledky. Protoˇze se obdob´ı, v nˇemˇz nemˇeli manˇzelé Toddovi kde pracovat, stále prodluˇzovalo, ˇ adosti bylo vyhovˇeno, a tak Olga poˇzádali o doˇcasnou pozici právˇe v Princetonu. Z´ 7 Do ˇ ceˇstiny se nˇ ekdy term´ın flutter pˇrekl´ adal jako tˇrep´ an´ı“ ˇ ci tˇrepet´ an´ı“ letoun˚ u; dnes se ” ” vˇ etˇsinou nepˇrekl´ ad´ a. V´ıce o jevu flutter lze nal´ ezt na internetov´ ych str´ ank´ ach (nezˇr´ıdka vˇ cetnˇ e n´ azorn´ ych ilustrac´ı ˇ ci vide´ı). 8 Pˇ r´ıkladem takov´ eho p´ adu bylo neˇstˇ est´ı stroje Lockheed L-188 Electra ze dne 29. z´ aˇr´ı 1959 pˇri letu z Houstonu do Dallasu.


201

alespoˇ n na krátkou dobu pracovala na m´ıstˇe, o nˇemˇz by pˇred lety ani v skrytu duˇse nesnila. Poté se manˇzelé vrátili za prac´ı do Los Angeles a po nˇekolika mˇes´ıc´ıch do Lond´ yna, kde byli smluvnˇe vázáni. Souˇcasnˇe jim vˇsak byly opakovanˇe nab´ızeny pozice v USA. Kdyˇz jim to situace umoˇznila, nab´ıdku vyslyˇseli a roku 1948 se po hektick´ ych mˇes´ıc´ıch let 1947 a 1948 navrátili pˇr´ımo do centrály National Bureau of Standards ve Washingtonu. Vedle své odborné práce (meze vlastn´ıch ˇc´ısel, vlastn´ı ˇc´ısla souˇct˚ u a souˇcin˚ u matic, matice s celoˇc´ıseln´ ymi prvky) zde Olga Taussky-Todd zastávala funkci odborné poradkynˇe v matematice. Starala se o znaˇcn´ y poˇcet postdok˚ u“, recenzovala ” — dle jej´ıch slov — kaˇzd´ y ˇclánek, kter´ y kdy kdo z pˇr´ısluˇsné komunity napsal, musela odpov´ıdat velkému mnoˇzstv´ı korespondent˚ u, a to i tˇem, kteˇr´ı vyˇreˇsili“ kvadraturu ” kruhu, apod. Pomineme-li jednosemestráln´ı pobyt manˇzel˚ u na Courant Institute of Mathematical Sciences na univerzitˇe v New Yorku v roce 1955, z˚ ustali Toddovi ve Washingtonu do roku 1957. 5.

Pasadena

Ve zm´ınˇeném roce 1957 se po dosavadn´ım kolotoˇci stˇehován´ı a vyˇcerpávaj´ıc´ım zapracováván´ı na nov´ ych m´ıstech manˇzelé Toddovi koneˇcnˇe definitivnˇe usadili. Ve sv´ ych zhruba padesáti letech totiˇz pˇrijali nab´ıdku z Kalifornie, tentokrát z California Institute of Technology v Pasadenˇe, kde potom strávili zbytek ˇzivota. Olga Taussky-Todd se na této ˇskole, vˇetˇsinou zkrácenˇe naz´ yvané Caltech, stala prvn´ı ˇzenou na uˇcitelské pozici, stejného prvenstv´ı dosáhla pozdˇeji (1971) i jako profesorka. Na Caltechu se vrátila k typickému akademickému ˇzivotu, k jeho v´ yhodám i nev´ yhodám: Of course, there is another thing that makes an academic surrounding so different from the civil service. That is the fixed hours in the civil service. In the evening or during weekends one can hardly return to one’s research. At the university nobody gives you a fixed time schedule, apart from the fixed teaching schedule. So what happens is that one works practically all the time! [21, str. 344] Práce na Caltechu byla u ´zce svázána s teori´ı matic. V ˇclánku How I became a torchbearer for matrix theory [20], v nˇemˇz popisuje podnˇety ke studiu matic, které k n´ı neustále a neˇcekanˇe pˇricházely, nazvala sama sebe svˇetlonoˇsem teorie matic. Since my main subject was number theory, I did not look for matrix theory. It somehow looked for me. [20, str. 801] Teorii matic rovnˇeˇz pˇrednáˇsela, nadchla pro ni ˇradu student˚ u. Pod jej´ım veden´ım obhájilo na Caltechu svou disertaˇcn´ı práci tˇrináct doktorand˚ u.9 Se studenty jezdila na v´ ylety, trávila s nimi doma veˇcery, nosila jim plody ze zahrady atd. Leckteˇr´ı ji povaˇzovali za souˇcást své rodiny. Pˇresto vˇsak u nich dokázala vzbudit respekt a u ćtu. Studenti na ni vzpom´ınaj´ı jako na nároˇcnou, pˇr´ısnou ˇskolitelku, která vˇsak neváhala pomoci. 9 Olga

202

Taussky-Todd byla r´ ada, ˇ ze mezi nimi byly i dvˇ eˇ zeny.


Helene Shapiro, jej´ı pˇredposledn´ı doktorandka, o n´ı napsala nˇekolik ˇclánk˚ u. Citujme z textu [8] z roku 1997: Over and over again, Olga presented delightful and fascinating theorems which linked together facts which I would not have guessed were related. The richness and variety of techniques and methods also fascinated me, as I began to see how linear algebra and matrix theory were used in so many areas of mathematics and how theorems and proofs in linear algebra come from many areas of mathematics. Olga once told us, “To get full insight into matrix theory is like finding roads in a jungle.” [8, str. 21] Aˇckoliv to na prvn´ı pohled nevypadá, jsou po Olze Taussky-Todd pojmenovány dvˇe tˇr´ıdy matic: ω-matrices a τ -matrices. V ˇreck´ ych p´ısmenech ω a τ jsou zaˇsifrované jej´ı iniciály (Omega, Tau). Toto pojmenován´ı zavedl v´ yˇse zm´ınˇen´ y Hans Schneider. ˇ Sifru pouˇzil z opatrnosti, nebot’ si nebyl jist, zda tyto tˇr´ıdy matic budou v budoucnosti v´ yznamné. Opak vˇsak byl pravdou, a proto Hans Schneider pozdˇeji litoval své nesmˇelosti.10 Jako editorka pracovala Olga Taussky-Todd pro dnes zˇrejmˇe nejv´ yznamnˇejˇs´ı ˇcasopisy vˇenované lineárn´ı algebˇre: Linear Algebra and its Applications (1968–1995)11 a Linear and Multilinear Algebra (1972–1992). Editorskou ˇcinnost vyv´ıjela v letech 1969 aˇz 1995 rovnˇeˇz pro ˇcasopis publikuj´ıc´ı ˇclánky z jej´ı druhé nejobl´ıbenˇejˇs´ı matematické discipl´ıny, pro Journal of Number Theory. Z´ıskala ˇradu ocenˇen´ı. Za vˇsechny jmenujme (v chronologickém poˇrad´ı) alespoˇ n titul Woman of the Year obdrˇzen´ y od novinového den´ıku Los Angeles Times (1963), Ford Prize od Americké matematické asociace (1971), Kˇr´ıˇz cti pro vˇedu a umˇen´ı od rakouské vlády (1978) ˇci tzv. zlatý doktor´ at (1980) od v´ıdeˇ nské Alma Mater. Ocenˇen´ım jej´ı práce je jistˇe i vydán´ı speciáln´ıch svazk˚ u [5], [3] a [4] ˇcasopis˚ u Linear Algebra and its Applications a Linear and Multilinear Algebra, které byly publikovány v letech 1975, 1976, 1998 a vˇenovány pˇr´ımo Olze Taussky-Todd. V posledn´ım z nich je uveden seznam jej´ıch publikac´ı, souhrn prac´ı napsan´ ych o n´ı, strukturovan´ y ˇzivotopis, pˇrehled doktorand˚ u, seznamy ocenˇen´ı, ediˇcn´ı ˇcinnosti atd. Olga Taussky-Todd ˇzila matematikou, speciálnˇe ˇc´ısly. Psala o nich básnˇe, nosila ˇsaty s ˇc´ıslicemi. Zemˇrela doma v Pasadenˇe ve spánku dne 7. ˇr´ıjna 1995, tj. necel´ y rok pˇred sv´ ymi devadesát´ ymi narozeninami, na následky zlomeniny kyˇcle. ˇ Vrat’me se nyn´ı jeˇstˇe krátce ke vztahu mezi Olgou Taussky-Todd a Ceskoslo12 venskem. Je jisté, ˇze naˇse u ´zem´ı, konkrétnˇe Prahu, v dospˇelosti navˇst´ıvila. Tuto skuteˇcnost potvrd´ıme slovy Olgy Pokorné (1926–2015), b´ yvalé docentky Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulty Univerzity Karlovy: 10 Hans Schneider byl Olze Taussky pˇ redstaven jiˇ z v Belfastu (viz v´ yˇse); pˇr´ıleˇ zitostnˇ e se setk´ avali bˇ ehem sv´ ych u ´spˇ eˇsn´ ych a dlouh´ ych kari´ er. Napsal o n´ı dokonce dva ˇ cl´ anky: Olga Taussky-Todd’s influence on matrix theory and matrix theorists [9] a Some personal reminiscences of Olga Taussky-Todd [10]. 11 Roku 1968 patˇ rila mezi jeho zakl´ adaj´ıc´ı editory. Jedn´ım z dalˇs´ıch byl Hans Schneider. 12 Dokladem skuteˇ cnosti, jak je svˇ et mal´ y, je dalˇs´ı pˇrekvapiv´ e poj´ıtko mezi Toddov´ ymi a naˇs´ım u ´zem´ım: John Todd a Arthur Erd´ elyi (1908–1977) publikovali roku 1946 v ˇ casopise Nature ˇ cl´ anek Advanced instruction in practical mathematics. Bˇ ehem spolupr´ ace vyˇslo najevo, ˇ ze Arthur Erd´ elyi ˇ byl pˇri pobytu v Ceskoslovensku (studoval v Brnˇ e, nebot’ ve sv´ em rodn´ em Mad’arsku mˇ el — jakoˇ zto ˇ — minim´ Zid aln´ı nadˇ eje na kvalitn´ı vzdˇ el´ an´ı) podn´ ajemn´ıkem tety Olgy Taussky-Todd.


203

Kdyˇz jsme se dovˇedˇeli, ˇze se naˇse pracoviˇstˇe ... maj´ı pˇrestˇehovat na Malostranské n´ amˇest´ı, byli jsme dost rozˇcarov´ ani. Z tichého Karlova jsme se mˇeli ocitnout na ruˇsném n´ amˇest´ı. Ale uk´ azalo se, ˇze jsme se — zejména my, numerici“, ob´ avali zbyteˇcnˇe ... my, kteˇr´ı jsme mˇeli okna do ” doln´ı ˇc´ asti n´ amˇest´ı, jsme mˇeli pˇres protilehlé niˇzˇs´ı domy kr´ asný výhled na velkou ˇc´ ast Prahy. Naˇsi obˇcasn´ı hosté bývali t´ım pohledem pˇr´ımo okouzleni — napˇr´ıklad profesorka Tausski-Todd d´ıky tomu pohledu prohl´ asila naˇsi pracovnu za nejkr´ asnˇejˇs´ı v Evropˇe a tvrdila, ˇze se tam pˇri kaˇzdé n´ avˇstˇevˇe Prahy mus´ı vr´ atit. [7, str. 128] 6.

Odborn´ a pr´ ace

Jiˇz z v´ yˇse uvedeného ˇzivotopisu je zˇrejmé, ˇze rozsah matematick´ ych obor˚ u, v nichˇz Olga Taussky-Todd pracovala nebo které vyuˇcovala, je znaˇcn´ y. Dle seznamu jej´ıch publikac´ı, kter´ y byl sestaven po jej´ı smrti s pomoc´ı Johna Todda a je uveden ve speciáln´ım svazku [4] ˇcasopisu Linear Algebra and its Applications, publikovala 236 odborn´ ych prac´ı (nˇekteré prameny vˇsak uvádˇej´ı aˇz 300 prac´ı), a to pˇredevˇs´ım z teorie matic a teorie ˇc´ısel, dále potom z teorie asociativn´ıch algeber, historie matematiky, teorie algebraick´ ych pol´ı, teorie grup ˇci numerické anal´ yzy. Jej´ım velk´ ym pˇr´ınosem byla schopnost objevovat souvislosti mezi jednotliv´ ymi discipl´ınami, k ˇcemuˇz j´ı jistˇe pomohla neskuteˇcná znalost literatury z r˚ uzn´ ych obor˚ u. Jelikoˇz je nemoˇzné na nˇekolika stránkách pˇredstavit veˇskerou odbornou práci Olgy Taussky-Todd, vˇenujme se alespoˇ n teorii, v n´ıˇz dosáhla nejvˇetˇs´ıho ohlasu a v n´ıˇz publikovala nejvˇetˇs´ı mnoˇzstv´ı prac´ı, tj. teorii matic.13 Konkrétnˇeji se zamˇeˇr´ıme na ty oblasti, které nemaj´ı pˇresah do jin´ ych obor˚ u, tj. vyuˇz´ıvaj´ı pˇreváˇznˇe jen vlastnosti maticového aparátu. Nˇekteré konkrétn´ı v´ ysledky uvedeme pˇredevˇs´ım u témat (Gerˇsgorinovy kruhy, Kacovy matice), která lze zaˇradit i do základn´ıho kurzu lineárn´ı algebry na vysoké ˇskole. Olga Taussky-Todd often said that number theory was her first love, but in many ways she had the greater impact on her second love: matrix theory. She was involved with many of the major themes of twentieth century research in matrix theory, and the vast majority of her Ph.D. students were in matrix theory, several being major developers of the field in the latter half of the century. [6, str. 839]14 Zájem o maticov´ y aparát zaˇcala Olga Taussky-Todd projevovat ve váleˇcn´ ych letech. At this time I heard about the so-called Gershgorin circles attached to a matrix with complex numbers as entries ... I became immediately extremely interested in them and hoped to use them in the flutter work where one has to test a matrix for stability. I would not say that they are an ideal practical tool for this purpose, 13 Dle u ´daj˚ u z [4, str. 25] spad´ a — podle Mathematics Subject Classification — 37 % jej´ıch publikac´ı pod sekci line´ arn´ı algebra (zahrnuj´ıc´ı teorii matic) a 21 % pod teorii ˇ c´ısel. Ostatn´ı obory dosahuj´ı 10 ˇ ci m´ enˇ e procent. 14 Jedn´ a se o slova Charlese Johnsona, jednoho z doktorand˚ u Olgy Taussky-Todd a pozdˇ eji spoluautora (s Rogerem Hornem) celosvˇ etovˇ e zn´ am´ ych monografi´ı Matrix Analysis (1985, 1990, 2013) a Topics in Matrix Analysis (1991).

204


but they certainly have a great many uses, and I can say that I stimulated much research concerning them, while I myself did not pursue them further after some initial achievements. [21, str. 338] Problematika Gerˇsgorinov´ ych kruh˚ u vycház´ı z vˇety o determinantu diagonálnˇe dominantn´ı matice, coˇz je ˇctvercová komplexn´ı matice ˇrádu n, jej´ıˇz vˇsechny prvky na hlavn´ı diagonále jsou v absolutn´ı hodnotˇe vˇetˇs´ı neˇz souˇcet absolutn´ıch hodnot zb´ yvaj´ıc´ıchPprvk˚ u na stejném ˇrádku, tj. |aii | > Ai pro kaˇzdé i = 1, . . . , n, 15 kde Ai = |a Tomuto tématu je vˇenována práce A recurring theorem on j6=i ij |. determinants [14] z roku 1949, která se proslavila i v dalˇs´ıch generac´ıch lineárn´ıch algebraik˚ u. Vˇ eta 1. Jestliˇze je A matice diagonálnˇe dominantn´ı, potom det A 6= 0. Vˇeta sice byla známá jiˇz nˇekolik desetilet´ı, avˇsak prvn´ı jednoduch´ y d˚ ukaz podala Olga Taussky-Todd aˇz ve zm´ınˇeném ˇclánku [14], ˇc´ımˇz odstartovala nev´ıdan´ y zájem o tuto otázku, kter´ y trvá v podstatˇe dodnes. Jednalo se o d˚ ukaz sporem. Pˇredpokládala, ˇze diagonálnˇe dominantn´ı matice A je singulárn´ı. Potom má homogenn´ı soustava lineárn´ıch rovnic s matic´ı A netriviáln´ı ˇreˇsen´ı (x1 , x2 , . . . , xn ) a mezi indexy i = 1, . . . , n existuje index r, pro kter´ y je |xi | maximáln´ı. Z r-té rovnice soustavy potom plyne n X |arr | |xr | ≤ |ark | |xk | ≤ Ar |xr | . k=1, k6=r

Tedy |arr | ≤ Ar , coˇz je spor s pˇredpokladem. Aplikac´ı vˇety na charakteristick´ y polynom det(A − λI) matice A z´ıskáme elegantn´ı omezen´ı pro vlastn´ı ˇc´ısla matice A. Protoˇze determinant matice A−λI, kde λ je vlastn´ı ˇc´ıslo matice A a I jednotková matice pˇr´ısluˇsn´ıho ˇrádu, je nulov´ y, mus´ı existovat alespoˇ n jeden index i, pro kter´ y |aii − λ| ≤ Ai . Vyuˇzijeme-li bijektivn´ıho zobrazen´ı, které kaˇzdému komplexn´ımu ˇc´ıslu a + bi pˇriˇrazuje bod Gaussovy roviny o souˇradnic´ıch [a, b], a geometrickou interpretaci absolutn´ı hodnoty ˇc´ısla, dostáváme tzv. Gerˇsgorinovu vˇetu:16 Vˇ eta 2. Necht’ A = (aij ) je komplexn´ı matice ˇrádu n. Potom vˇsechna jej´ı vlastn´ı ˇc´ısla leˇz´ı v oblasti n [ Γ(A) = Γi , i=1

kde Γi jsou kruhy v komplexn´ı rovinˇe o stˇredu aii a polomˇeru ri , kter´ y se rovná souˇctu absolutn´ıch hodnot prvk˚ u leˇz´ıc´ıch v i-tém ˇrádku s v´ yjimkou prvku aii . Kruhy se naz´ yvaj´ı Gerˇsgorinovy a jejich sjednocen´ı Gerˇsgorinova mnoˇzina, pˇr´ıpadnˇe Gerˇsgorinova oblast matice A. 15 Nˇ ekdy se tato matice naz´ yv´ a ostˇ re (pˇr´ıpadnˇ e silnˇ e ) diagon´ alnˇ e dominantn´ı a v definici diagon´ alnˇ e dominantn´ı matice se poˇ zaduj´ı pouze neostr´ e nerovnosti |aii | ≥ Ai , i = 1, . . . , n. 16 N´ azev vˇ ety odkazuje na Semjona Aronoviˇ ce Gerˇsgorina (1901–1933), kter´ y tento v´ ysledek ¨ pˇredstavil roku 1931 v ˇ cl´ anku Uber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix [2]. Nutno vˇsak podotknout, ˇ ze pr´ ace [2] obsahuje pomˇ ernˇ e podstatnou chybu. Jelikoˇ z souˇ cty Ai hraj´ı ve vˇ etˇ e roli polomˇ er˚ u kruh˚ u, jsou pˇreznaˇ ceny na ri .


205

Na následuj´ıc´ım obrázku je znázornˇena Gerˇsgorinova mnoˇzina matice   1 −1 i  1 2i 0 . −1 + i 1 −2 Vlastn´ı ˇc´ısla (λ1 ≈ 0,15 + 2,31i, λ2 ≈ −1,71 + 0,51i, λ3 ≈ 0,56 − 0,82i) jsou zakreslena ˇcern´ ymi krouˇzky.

y

2i

-2

0

1

x

Obr. 1. Gerˇsgorinova mnoˇzina matice

V ˇclánku Olga Taussky-Todd rovnˇeˇz mimo jiné pˇredstavila m´ırnou modifikaci vˇety 1 pro tzv. ireducibiln´ı matici. Ireducibiln´ı neboli nerozloˇzitelnou matic´ı rozum´ıme ˇctvercovou komplexn´ı matici, kterou nelze simultánn´ımi permutacemi ˇrádk˚ u a sloupc˚ u pˇrevést na tvar A1 B , O A2 kde A1 a A2 jsou ˇctvercové matice ˇrádu alespoˇ n jedna a O je nulová matice. Vˇ eta 3. Jestliˇze je A = (aij ) ireducibiln´ı matice ˇrádu n, pro kterou |aii | ≥ Ai , i = 1, . . . , n, pˇriˇcemˇz rovnost |aii | = Ai plat´ı v nejv´ yˇse n − 1 pˇr´ıpadech, potom det A 6= 0. V pˇripojeném d˚ ukazu doloˇzila, ˇze pˇri povolen´ı rovnost´ı v maximálnˇe n−1 pˇr´ıpadech je poˇzadavek ireducibility opravdu nezbytnˇe nutn´ y. Vˇeta byla jiˇz pˇred rokem 1949 nˇekolikrát publikována, avˇsak bez uvedeného pˇredpokladu, a tedy chybnˇe. V dvoustránkové poznámce Bounds for characteristic roots of matrices [13] se paradoxnˇe jiˇz o rok dˇr´ıve (tj. roku 1948) vˇenovala pˇredevˇs´ım speciáln´ımu pˇr´ıpadu Gerˇsgorinov´ ych kruh˚ u pro n = 2. V práci formulovala a dokázala pro matice druhého ˇrádu, jejichˇz Gerˇsgorinovy kruhy nedegeneruj´ı na bod, následuj´ıc´ı dvˇe vˇety: Vˇ eta 4. Spoleˇcn´ y bod dvou Gerˇsgorinov´ ych kruh˚ u matice, kter´ y nen´ı jejich spoleˇcn´ ym hraniˇcn´ım bodem, nem˚ uˇze b´ yt vlastn´ım ˇc´ıslem této matice. 206


Vˇ eta 5. Dvojnásobné vlastn´ı ˇc´ıslo nem˚ uˇze b´ yt spoleˇcn´ ym hraniˇcn´ım bodem dvou Gerˇsgorinov´ ych kruh˚ u, jestliˇze se kruhy nedot´ ykaj´ı a nemaj´ı tent´ yˇz polomˇer. Problematice Gerˇsgorinov´ ych kruh˚ u se vˇenovala i ve svém slavném ˇclánku How I became a torchbearer for matrix theory [20]. Pˇredstavila velice jednoduchou metodu zpˇresnˇen´ı Gerˇsgorinovy mnoˇziny zaloˇzenou na notoricky známé skuteˇcnosti, ˇze matice A a C −1 AC, kde C je regulárn´ı matice pˇr´ısluˇsného ˇrádu, maj´ı stejná vlastn´ı ˇc´ısla, a tedy staˇc´ı vhodnˇe volit matice Ck , obdrˇzet r˚ uzné Gerˇsgorinovy mnoˇziny matic Ck−1 ACk a poté uvaˇzovat jejich pr˚ unik, v nˇemˇz mus´ı leˇzet vˇsechna vlastn´ı ˇc´ısla matice A. Pˇri speciáln´ı volbˇe matice C z˚ ustávaj´ı stˇredy Gerˇsgorinov´ ych kruh˚ u na m´ıstˇe a mˇen´ı se pouze jejich polomˇery. Postaˇc´ı za C uvaˇzovat matici, která se od jednotkové matice liˇs´ı pouze v jediném prvku na diagonále, kde má m´ısto jedniˇcky vhodn´ y nenulov´ y prvek.17 Dalˇs´ı krásy maticového poˇctu nalezla Olga Taussky-Todd u matic, které maj´ı tzv. vlastnost L ˇci P. Necht’ A a B jsou dvˇe komplexn´ı matice téhoˇz ˇrádu n s vlastn´ımi ˇc´ısly α1 , α2 , . . . , αn a β1 , β2 , . . . , βn . Matice A a B maj´ı vlastnost L, jestliˇze pro libovolnou18 volbu koeficient˚ u a, b maj´ı vlastn´ı ˇc´ısla matice aA + bB tvar aαi + bβi , i = 1, . . . , n (pˇri vhodném poˇrad´ı vlastn´ıch ˇc´ısel αi a βi ). Uvaˇzujme komplexn´ı matice A1 , A2 , . . . , At , t ≥ 2, téhoˇz ˇrádu n. Dále necht’ αij , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n, znaˇc´ı i-té vlastn´ı ˇc´ıslo matice Aj a p(X1 , X2 , . . . , Xt ) je libovoln´ y maticov´ y polynom promˇenn´ ych X1 , X2 , . . . , Xt , které ne nutnˇe komuˇ ıkáme, ˇze matice A1 , A2 , . . . , At maj´ı vlastnost P , jestliˇze vlastn´ımi ˇc´ısly matuj´ı.19 R´ tice p(A1 , A2 , . . . , At ) jsou hodnoty p(αi1 , αi2 , . . . , αit ), i = 1, . . . , n (pˇri vhodném poˇrad´ı vlastn´ıch ˇc´ısel αij ). Dvˇe matice, které maj´ı vlastnost P, tedy maj´ı i vlastnost L, opaˇcná implikace vˇsak obecnˇe neplat´ı.20 Uvaˇzujme speciálnˇe horn´ı troj´ uheln´ıkové komplexn´ı matice A1 , A2 , . . . , At , t ≥ 2, téhoˇz ˇrádu n. Vlastn´ı ˇc´ısla troj´ uheln´ıkov´ ych matic leˇz´ı na jejich diagonálách. Prvky na diagonále souˇctu, resp. souˇcinu dvou horn´ıch troj´ uheln´ıkov´ ych matic jsou rovny souˇctu, resp. souˇcinu pˇr´ısluˇsn´ ych prvk˚ u na diagonálách p˚ uvodn´ıch matic. Obdobná vlastnost plat´ı rovnˇeˇz pro skalárn´ı násobek horn´ı troj´ uheln´ıkové matice. V´ ysledkem je vˇzdy horn´ı troj´ uheln´ıková matice. Pro libovoln´ y polynom p proto i-t´ y prvek na diagonále matice p(A1 , A2 , . . . , At ) je p(αi1 , αi2 , . . . , αit ) a horn´ı troj´ uheln´ıkové matice A1 , A2 , . . . , At maj´ı vˇzdy vlastnost P. Také v pˇr´ıpadˇe, kdy matice A1 , A2 , . . . , At nejsou nutnˇe horn´ı troj´ uheln´ıkové, avˇsak existuje regulárn´ı matice C taková, ˇze matice C −1 A1 C, C −1 A2 C, . . ., C −1 At C 17 Nˇ ekter´ e dalˇs´ı vlastnosti Gerˇsgorinov´ ych kruh˚ u (vˇ cetnˇ e pˇr´ıklad˚ u a obr´ azk˚ u) viz [12]; historie Gerˇsgorinovy vˇ ety viz [11]. 18 Olga Taussky-Todd koeficienty a, b bl´ ıˇ ze nespecifikovala; v souˇ casn´ ych publikac´ıch jsou bˇ eˇ znˇ e uvaˇ zov´ any koeficienty komplexn´ı. 19 Pˇ resnˇ eji ˇreˇ ceno ne vˇsechny dvojice matic nutnˇ e komutuj´ı. 20 Z vlastnosti L plyne vlastnost P jen pro matice druh´ eho ˇra ´du. Matice     0 1 0 0 0 0 A =  0 0 −1  a B =  1 0 0  0 0 0 0 1 0

tˇret´ıho ˇr´ adu maj´ı vlastnost L, ale nemaj´ı vlastnost P (matice AB m´ a vlastn´ı ˇ c´ısla 1, −1, 0). Tento konkr´ etn´ı pˇr´ıklad byl pˇrevzat z [22, str. 113].


207

horn´ı troj´ uheln´ıkové jsou (matice A1 , A2 , . . . , At jsou tzv. simult´ annˇe triangularizovatelné ), lze nalézt takové poˇrad´ı vlastn´ıch ˇc´ısel matic A1 , A2 , . . . , At , ˇze pro libovoln´ y polynom p jsou vlastn´ımi ˇc´ısly matice p(A1 , A2 , . . . , At ) hodnoty p(αi1 , αi2 , . . . , αit ). Simultánnˇe triangularizovatelné matice tedy maj´ı také vlastnost P. Tzv. McCoyova vˇeta, kterou byla Olga Taussky-Todd okouzlena, zahrnuje i implikaci opaˇcnou. Vˇ eta 6. Necht’ A1 , A2 , . . . , At , t ≥ 2, je mnoˇzina komplexn´ıch ˇctvercov´ ych matic téhoˇz ˇrádu. Potom jsou tyto matice simultánnˇe triangularizovatelné právˇe tehdy, kdyˇz maj´ı vlastnost P . ˇ Radu text˚ u z této oblasti publikovala Olga Taussky-Todd spolu s izraelsko-americk´ ym matematikem Theodorem Samuelem Motzkinem (1908–1970), nˇekteré napsala samostatnˇe. Spoluautorkou byla napˇr´ıklad u dvou stejnojmenn´ ych prac´ı Pairs of matrices with property L [22], [23] ˇci pˇr´ıspˇevku Pairs of matrices with property L (II) [24], naopak ˇclánek Commutativity in finite matrices [15] nese pouze jej´ı jméno. Ve vˇsech pˇr´ıpadech se jedná o texty z padesát´ ych let. V padesát´ ych a v prvn´ı polovinˇe ˇsedesát´ ych let se Olga Taussky-Todd zab´ yvala rovnˇeˇz Ljapunovovou teori´ı. Problematika je u ´zce spojena s lineárn´ımi diferenciáln´ımi rovnicemi a v této souvislosti byla studována jiˇz na konci 19. stolet´ı. Olga Taussky-Todd pˇristoupila k uvedené otázce s pomoc´ı maticového aparátu, vyuˇzila stabilitu matic. Komplexn´ı ˇctvercovou matici naz´ yváme stabiln´ı, jestliˇze vˇsechna jej´ı vlastn´ı ˇc´ısla maj´ı zápornou reálnou ˇcást, tj. odpov´ıdaj´ı bod˚ um Gaussovy roviny, které leˇz´ı nalevo od imaginárn´ı osy. Nejedná se tedy opˇet o nic jiného neˇz o lokalizaci vlastn´ıch ˇc´ısel matice. Z publikac´ı Olgy Taussky-Todd zasvˇecen´ ych této otázce jmenujme A remark on a theorem of Lyapunov [17] a A generalization of a theorem by Lyapunov [16] z poˇcátku ˇsedesát´ ych let. Tehdy známou maticovou verzi Ljapunovovy vˇety, která podává kritérium stability matice, uvedla v ˇclánku [17] pˇribliˇznˇe v této podobˇe: Vˇ eta 7. Necht’ A je reálná ˇctvercová matice. Potom A je stabiln´ı právˇe tehdy, kdyˇz existuje reálná symetrická pozitivnˇe definitn´ı matice H taková, ˇze AH + HAT = −I. Olga Taussky-Todd dokázala Ljapunovovu vˇetu zobecnit. Toto zobecnˇen´ı se ˇcasto naz´ yvá teorie setrvaˇcnosti a zahrnuje v sobˇe i znám´ y Sylvester˚ uv zákon setrvaˇcnosti. Dalˇs´ı v´ yznamnou oblast´ı, k n´ıˇz Olga Taussky-Todd pˇrispˇela, je komutativita matic. Studovala napˇr´ıklad tzv. komut´ atory matic A a B, tj. matice AB − BA (aditivn´ı pˇr´ıpad) a ABA−1 B −1 (multiplikativn´ı pˇr´ıpad). Je zˇrejmé, ˇze pro komutuj´ıc´ı matice A, B je AB − BA = O a ABA−1 B −1 = I. Komutátory tedy ukazuj´ı, laicky ˇreˇceno, jak hodnˇe ˇci málo matice A a B komutuj´ı“ (dle odliˇsnosti komutátoru od ma” tic O ˇci I). Kdyˇz Olga Taussky-Todd psala roku 1961 ˇclánek Commutators of unitary matrices which commute with one factor [18], bylo známo následuj´ıc´ı tvrzen´ı: Vˇ eta 8. Necht’ C = ABA−1 B −1 je komutátor unitárn´ıch matic A a B. Pˇredpokládejme, ˇze vlastn´ı ˇc´ısla matice B leˇz´ı na oblouku jednotkové kruˇznice, kter´ y má délku menˇs´ı neˇz π. Potom AC = CA implikuje AB = BA. Olgu Taussky-Todd zaj´ımalo, jaké maj´ı matice A a B struktury, jestliˇze komutuj´ı. Odpovˇed’ podala a své tvrzen´ı dokázala ve zm´ınˇené práci [18]. 208


Uvˇedomme si, ˇze souˇcet prvk˚ u na diagonále komutátoru AB − BA matic A a B je nulov´ y. Jedná se tedy o reprezentanta tˇr´ıdy matic s nulovou stopou. Rovnˇeˇz tyto matice Olga Taussky-Todd studovala, v roce 1962 publikovala ˇclánek s jasn´ ym názvem Matrices with trace zero [19]. Uveden´ım pˇredchoz´ı vˇety jsme se pˇrirozenˇe dostali k dalˇs´ı tematice, která je spojena se slavnou matematiˇckou, a tou jsou tzv. cramped matrices“. Jedná se o speciáln´ı ” pˇr´ıpad unitárn´ıch matic, o nichˇz je dobˇre známo, ˇze absolutn´ı hodnoty vˇsech jejich vlastn´ıch ˇc´ısel jsou 1, a proto leˇz´ı v Gaussovˇe rovinˇe na jednotkové kruˇznici. Pokud má nav´ıc oblouk kruˇznice, na nˇemˇz leˇz´ı, délku menˇs´ı neˇz π (oblouk menˇs´ı neˇz p˚ ulkruˇznice), jedná se o matici naz´ yvanou cramped“ ( st´ısnˇen´ a“). Lze ji definovat ” ” také pomoc´ı jej´ıho pole hodnot, tj. mnoˇziny F (A) = {x∗ Ax; x ∈ Cn , x∗ x = 1} , kde Cn je n-dimenzionáln´ı aritmetick´ y vektorov´ y prostor nad polem komplexn´ıch ˇc´ısel a x∗ znaˇc´ı vektor transponovan´ y a komplexnˇe sdruˇzen´ y k vektoru x. Pro unitárn´ı matici A je známo, ˇze jej´ı pole hodnot je konvexn´ı obal vlastn´ıch ˇc´ısel matice. Unitárn´ı matice A je tedy st´ısnˇená“, jestliˇze ˇc´ıslo 0 neleˇz´ı v poli hodnot F (A). ”

y

i

0

1

x

Obr. 2. Vlastn´ı ˇc´ısla a pole hodnot st´ısnˇené“ matice ”

Olga Taussky-Todd se vˇenovala rovnˇeˇz nezáporn´ ym matic´ım (Perronova–Frobeniova teorie), matic´ım s celoˇc´ıseln´ ymi prvky ˇci Hilbertov´ ym matic´ım (prvky Hilbertovy matice H jsou zavedeny vztahem hij = 1/(i + j − 1); prvky inverzn´ı matice H −1 jsou cel´ a ˇc´ısla). Znám´ ym se stal také tzv. Taussky Unification Problem, pˇredloˇzen´ y matematiˇckou v roce 1958. Zab´ yvá se otázkou spoleˇcn´ ych ˇci naopak odliˇsn´ ych vlastnost´ı tˇr´ı jist´ ych tˇr´ıd matic. Nakonec se vˇenujme problematice, kterou Olga Taussky-Todd studovala ve své posledn´ı práci Another look at a matrix of Mark Kac [25]. Publikovala ji se sv´ ym manˇzelem v roce 1991 ve sv´ ych pˇetaosmdesáti letech. T´ yká se tzv. Kacových matic. Kacova matice Kn je ˇctvercová matice ˇrádu n + 1, která má u ´zkou souvislost s kombiPokroky matematiky, fyziky a astronomie, roˇcn´ık 61 (2016), ˇc. 3

209

natorikou.21 Jej´ı prvky kij jsou definovány takto (uvaˇzujeme pˇritom indexy 0, 1, . . . , n m´ısto obvyklejˇs´ıho znaˇcen´ı 1, 2, . . . , n + 1):   j, kij = n − j,  0

jestliˇze i = j − 1, jestliˇze i = j + 1, v ostatn´ıch pˇr´ıpadech.

Napˇr´ıklad matice K4 je matice ˇrádu pˇet tvaru 

  K4 =   

0 4 0 0 0

1 0 3 0 0

0 2 0 2 0

0 0 3 0 1

0 0 0 4 0



  .  

V práci pˇredloˇzili manˇzelé Toddovi d˚ ukaz následuj´ıc´ı vˇety polsko-amerického matematika Marka Kace (1914–1984): Vˇ eta 9. Vlastn´ı ˇc´ısla Kacovy matice Kn jsou ±n, ±(n−2), . . ., pˇriˇcemˇz ˇrada konˇc´ı ±1, jestliˇze je n liché, nebo ±2, 0, jestliˇze je n sudé. Vlastn´ı ˇc´ısla Kacovy matice jsou navzájem r˚ uzná, jej´ı Jordan˚ uv kanonick´ y tvar je diagonáln´ı matice a pˇr´ısluˇsná Jordanova báze je tvoˇrena n + 1 vlastn´ımi vektory. Mezi vlastn´ımi vektory pˇr´ısluˇsn´ ymi danému vlastn´ımu ˇc´ıslu vyberme takov´ y, jehoˇz prvn´ı sloˇzka je 1. Manˇzelé v pˇr´ıspˇevku dokázali, ˇze pro regulárn´ı matici C, jej´ıˇz sloupce jsou tyto vlastn´ı vektory, plat´ı C 2 = 2n I. Dalˇs´ı pˇrekvapivá vlastnost matice C je, ˇze souˇcasnˇe vyhovuje vztah˚ um CKn = JC i Kn C = CJ, kde J je Jordan˚ uv kanonick´ y tvar matice Kn . Vrat’me se vˇsak k d˚ ukazu vˇety 9. Ten, kter´ y pˇredloˇzili manˇzelé Toddovi, by totiˇz mˇeli zvládnout i vysokoˇskolˇst´ı studenti v základn´ım kurzu lineárn´ı algebry! V podstatˇe staˇc´ı jen vhodnˇe upravit jeden determinant ˇrádu n + 1, a t´ım zjistit vztah22 mezi determinanty matic Kn − λI a Kn−1 − (λ + 1)I. Vyjádˇr´ıme det(Kn − λI) a provedeme následuj´ıc´ı u ´pravy. K prvn´ımu ˇrádku determinantu pˇriˇcteme vˇsechny zb´ yvaj´ıc´ı ˇrádky a poté prvn´ı sloupec odeˇcteme od vˇsech ostatn´ıch sloupc˚ u. Determinant rozvineme podle prvn´ıho ˇrádku (t´ım sn´ıˇz´ıme jeho ˇrád) a k novému prvn´ımu ˇrádku pˇriˇcteme vˇsech n − 1 ˇrádk˚ u pod n´ım, k novému druhému ˇrádku pˇriˇcteme vˇsech n − 2 ˇrádk˚ u pod n´ım atd. Nakonec odeˇcteme postupnˇe od vˇsech sloupc˚ u (s v´ yjimkou prvn´ıho) sloupec jemu pˇredcházej´ıc´ı. Postupnˇe tedy dostáváme 21 Konkr´ etnˇ eji

napˇr´ıklad s pˇremist’ov´ an´ım n r˚ uzn´ ych m´ıˇ ck˚ u mezi dvˇ ema osud´ımi, pˇriˇ cemˇ z v kaˇ zd´ em kroku pˇreneseme jedin´ y m´ıˇ cek. 22 Toddovi dokonce provedli u ´pravy jen pro konkr´ etn´ı n, odvodili vztah mezi determinanty matic K3 − λI a K2 − (λ + 1)I.

210


det(Kn − λI) =

−λ n

1 −λ

0 .. .

n−1 .. .

0 0

0 0

n−λ n 0 = .. . 0 0

n−λ n 0 = .. . 0 0

0 2

0 0 .. .. . . .. . −λ n . . . 1 −λ

... ... . −λ . . .. .. . . 0 0

0 0

0 0

n− λ n − λ ... n− λ −λ 2 ... 0 .. . n−1 −λ 0 .. .. .. .. . . . . .. . 0 0 −λ 0 0 ... 1 0 0 −n − λ 2 − n n−1 .. .

−λ .. .

0 0

0 0

n−λ 0 0 .. . n −λ

... 0 0 . . . −n −n .. . 0 0 .. .. .. . . . .. . −λ n . . . 1 −λ

−λ − 1 −λ n−1 n−λ−2 0 n−2 =(n − λ) .. .. . . 0 0 0 0

−λ n−λ

n−λ−3 .. . 0 0

... −λ −λ ... n− λ n − λ .. . n−λ n−λ .. .. .. . . . .. . 1−λ n−λ ...

1

−λ

−λ − 1 1 0 ... 0 0 n − 1 −λ − 1 2 . . . 0 0 . 0 n − 2 −λ − 1 . . 0 0 =(n − λ) .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . −λ − 1 n − 1 0 0 0 0 0 0 ... 1 −λ − 1

=(n − λ) · det Kn−1 − (λ + 1)I .


211

Zˇrejmˇe det(K1 − λI) = (λ − 1)(λ + 1) a det K1 − (λ + 1)I = λ(λ + 2). Proto charakteristické polynomy Kacov´ ych matic jsou det(K2 − λI)

=

(2 − λ)λ(λ + 2),

det(K3 − λI)

= =

det(K4 − λI)

= (4 − λ) 3 − (λ + 1) 1 − (λ + 1) (λ + 1) + 1 = (4 − λ)(2 − λ)(−λ)(λ + 2)(λ + 4)

(3 − λ) 2 − (λ + 1) (λ + 1) (λ + 1) + 2 (3 − λ)(1 1)(λ + 3), − λ)(λ +

(λ + 1) + 3

atd. Posledn´ı námi uvedená vˇeta 9 tedy evidentnˇe plat´ı. Rozluˇcme se citac´ı nˇekolika slov Olgy Taussky-Todd: I am proud to have been a torchbearer for matrix theory, and I am happy to see that there are many others to whom the torch can be passed. [20, str. 809] Literatura [1] Albers, D.: John Todd: Numerical mathematics pioneer. College Math. J. 38 (2007), 2–23. ¨ [2] Gerschgorin, S.: Uber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix. Izv. Akad. Nauk SSSR 7 (1931), 749–754. [3] Linear Algebra and its Applications 13 (1976), Issue 1/2, speci´ aln´ı dvojsvazek vˇenovan´ y Olze Taussky-Todd. [4] Linear Algebra and its Applications 280 (1998), speci´ aln´ı svazek vˇenovan´ y Olze Taussky-Todd. [5] Linear and Multilinear Algebra 3 (1975), Issue 1/2, speci´ aln´ı dvojsvazek vˇenovan´ y Olze Taussky-Todd. [6] Luchins, E. H., McLoughlin, M. A.: In memoriam: Olga Taussky-Todd. Notices Amer. Math. Soc. 43 (1996), 838–847. ´ , O.: S´ıdla matematick´ [7] Pokorna ych pracoviˇst’ Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulty. Jubilejn´ı almanach, I. Netuka, M. Stiborov´ a (eds), Matfyzpress, Praha, 2002, 128–129. [8] Shapiro, H.: Notes from Math 223: Olga Taussky Todd’s matrix theory course, 1976– 1977. Math. Intelligencer 19 (1997), 21–27. [9] Schneider, H.: Olga Taussky-Todd’s influence on matrix theory and matrix theorists. Linear Multilinear Algebra 5 (1977), 197–224. [10] Schneider, H.: Some personal reminiscences of Olga Taussky-Todd. Linear Algebra Appl. 208 (1998), 15–19. ˇ ˇ ´ nova ´ , M.: Olga Taussky-Todd a ot´ [11] St epa azky Gerˇsgorinov´ ych kruh˚ u. 33. mezin´ arodn´ı konference Historie matematiky, J. Beˇcv´ aˇr, M. Beˇcv´ aˇrov´ a (eds), Matfyzpress, Praha, 2012, 259–268. ˇ ˇ ´ nova ´ , M.: Lokalizace vlastn´ıch ˇc´ısel. Cesty k matematice, A. Slav´ık (ed.), Matfyz[12] St epa press, Praha, 2014, 124–146. [13] Taussky-Todd, O.: Bounds for characteristic roots of matrices. Duke Math. J. 15 (1948), 1043–1044.

212


[14] Taussky-Todd, O.: A recurring theorem on determinants. Amer. Math. Monthly 56 (1949), 672–676. [15] Taussky-Todd, O.: Commutativity in finite matrices, Amer. Math. Monthly 64 (1957), 229–235. [16] Taussky-Todd, O.: A generalization of a theorem by Lyapunov. J. Soc. Ind. Appl. Math. 9 (1961), 640–643. [17] Taussky-Todd, O.: A remark on a theorem by Lyapunov. J. Math. Anal. Appl. 2 (1961), 105–107. [18] Taussky-Todd, O.: Commutators of unitary matrices which commute with one factor. J. Math. Mech. 10 (1961), 175–178. [19] Taussky-Todd, O.: Matrices with trace zero. Amer. Math. Monthly 69 (1962), 40–42. [20] Taussky-Todd, O.: How I became a torchbearer for matrix theory. Amer. Math. Monthly 95 (1988), 801–812. [21] Taussky-Todd, O.: An autobiographical essay. 2nd ed., Mathematical People, Profiles and Interviews, D. J. Albers, G. L. Alexanderson (eds), A K Peters, Wellesley, MA, 2008, 320–350. [22] Taussky-Todd, O., Motzkin, T. S.: Pairs of matrices with property L. Trans. Amer. Math. Soc. 73 (1952), 108–114. [23] Taussky-Todd, O., Motzkin, T. S.: Pairs of matrices with property L. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 39 (1953), 961–963. [24] Taussky-Todd, O., Motzkin, T. S.: Pairs of matrices with property L (II). Trans. Amer. Math. Soc. 80 (1955), 387–401. [25] Taussky-Todd, O., Todd, J.: Another look at a matrix of Mark Kac. Linear Algebra Appl. 150 (1991), 341–360. [26] Todd, J.: John Todd (1911–2007). Interviewed by Cohen, S. K., Oral History Project of the Caltech Archives, Pasadena, 1996, nahran´ y rozhovor (pˇrepis rozhovoru dostupn´ y na http://resolver.caltech.edu/CaltechOH:OH Todd J)


213

Olga Taussky-Todd: z Olomouce do Pasadeny

Recommend Documents