ARCHIMEDŮV ZÁKON Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Marta Chytilová
Obsah 1 Vlastnosti kapalného tělesa v klidu na povrchu Země
2
2 Archimédův zákon
6
3 Výslednice sil působících na uvolněné těleso v kapalině
10
4 Rovnovážná poloha tělesa plovoucího v kapalině
14
5 Aerostatická vztlaková síla
20
6 Platí Archimédův zákon v podmínkách beztížného stavu?
23
Úlohy
23
1
2. Kousek dřeva zavěsíme na pružinu siloměru a ve vzduchu změříme velikost tahové síly 0,10 N. Potom ke kousku dřeva připojíme tenkým vláknem kousek kovu. Ponoříme-li zcela do vody jen kousek kovu, naměříme velikost tahové síly 0,02 N. Tělesa se nedotýkají dna nádoby s vodou. Určete a) objem kousku dřeva, b) průměrnou hustotu dřeva. Aerostatickou vztlakovou sílu působící na tělesa ve vzduchu neuvažujeme. [12 cm3 ; 0,83 · 103 kg · m−3 ] 3. Na desku sklonných vah se stupnicí v newtonech postavíme kádinku s vodou a změříme velikost tahové síly, kterou působí kádinka s vodou na desku vah 0,200 N. Jaká je poloha ukazovatele na stupnici sklonných vah v těchto případech : a) Do vody v kádince vložíme kousek dřeva o objemu 2,00 cm3 a o průměrné hustotě 0,800 · 103 kg · m−3 . b) Do vody v kádince zcela ponoříme stejnorodý kousek kovu o objemu 1,00 cm3 a o hustotě 3,00 · 103 kg · m−3 zavěšený na tenkém vlákně tak, že se těleso nedotýká dna nádoby a že vlákno není ponořeno. c) Týž kousek kovu leží volně na dně kádinky. [0,216 N; 0,210 N; 0,230 N] 4. Určete velikost aerostatické vztlakové síly atmosférického vzduchu působící na těleso z oceli o objemu 1,458·10−3 m3 , je-li hustota okolního vzduchu 1,29 kg · m−3 a tíhové zrychlení na daném místě povrchu Země má velikost g = 9,81 m · s−2 . Těleso zavěsíme na pružinu siloměru a naměříme velikost tahové síly 113,7 N. Jaké relativní odchylky měření se dopouštíme, považujeme-li tuto hodnotu za rovnou velikosti tíhové síly působící na těleso na daném místě povrchu Země? [0,0184 N; 0,02 %] 5. Dvě stejnorodá tělesa mají hmotnosti m1 , m2 a hustoty 1 , 2 . Tělesa jsou k sobě připoutána, zavěšena na siloměr a zcela ponořena do kapaliny o hustotě , tak, že se nedotýkají dna nádoby; 2 < < 1 . Na siloměru naměříme velikost tahové síly F . Určete hustotu 2 , znáte-li ostatní uvedené veličiny. Kapalina tělesa nerozpouští a s tělesy chemicky nereaguje. [2 =
m2 1 g ] [m1 (1 − 2 ) + m2 1 ]g − F 1
6. Hliníkovou kouli zavěsíme na siloměr a změříme ve vzduchu velikost tahové síly 2,58 N. Kouli zavěšenou na siloměru zcela ponoříme do vody v nádobě tak, že 24
!"#$%&'()*+,-.+ Obr. 1a
Obr. 1b
Stejný jev pozorujeme, ponoříme-li nálevku s blanou do kapaliny v klidu v nádobě (obr. 1b). Kapalina působí na blánu tím větší tlakovou silou, čím hlouběji blánu ponoříme pod volný povrch kapaliny. Jestliže blánu v kapalině posunujeme ve vodorovném směru nebo ji otáčíme ve stálé hloubce pod volným povrchem kapaliny v nádobě, působí kapalina na blánu stále stejně velikou tlakovou silou. Válcovou nádobu, jejíž dno má obsah S, postavíme dnem na vodorovnou podložku a do nádoby nalejeme kapalinu o hustotě do výšky h nad dnem (obr. 2). Kapalina v klidu v nádobě na povrchu Země působí na dno a na stěny nádoby tlakovými silami. Na dno nádoby působí tlaková síla Fh svislého směru, jejíž velikost se rovná tíhové síle působící na kapalinu; Fh = V g = Shg, kde g je velikost tíhového zrychlení na daném místě povrchu Země. Zároveň působí kapalina na válcovou stěnu nádoby tlakovými silami vodorovného směru, jejichž velikosti jsou přímo úměrné hloubce působiště pod volným povrchem kapaliny. Ke každé tlakové síle F1 existuje tlaková síla −F1 opačného směru, působící v téže hloubce h1 pod volným povrchem kapaliny v protilehlém místě válcové stěny (obr. 2). Obě síly mají stejnou velikost a lze je znázornit v téže vektorové přímce. Považujeme-li nádobu za tuhé těleso, jsou obě síly v rovnováze.
3
sobí okolní atmosférický vzduch na těleso i na závaží. Vysvětlete, jak tyto síly ovlivňují výsledek měření hmotnosti tělesa. Řešení Atmosférický vzduch působí na těleso aerostatickou vztlakovou silou Fvz1 o velikosti Fvz1 = V1 g a na závaží aerostatickou silou Fvz2 o velikosti Fvz2 = V2 g, kde V1 je objem tělesa, V2 objem závaží, je hustota okolního vzduchu v daných podmínkách. Těleso působí na levou misku vah tlakovou silou F1 a závaží na pravou misku vah tlakovou silou F2 . Pro velikosti těchto sil platí: F1 = m1 g − V1 g, F2 = m2 g − V2 g .
(1)
Je-li soustava v rovnovážné poloze, platí : F1 = F2 .
MNOPQRSTUVWXYZ,\]^_`abcdefgh2ijklmnopqrstuvwxyz{|}~789:;<= kolmo na velmi malé části stěn stejného obsahu. Podle výsledku vysvětlete vztahy, k nimž jste dospěli v závěru úlohy a). (1)
(2)
h
h
S
S
Obr. 3a
(2)
Řešení
Je-li objem V1 tělesa roven objemu V2 závaží, platí podle (1) : V g = m1 g − F1 = M2 g − F2 a podle (2) platí tedy m1 = m2 . Tento případ je však zcela mimořádný, obvykle platí : V1 = V2 Platí-li vztah V1 > V2 , je hmotnost tělesa menší než hmotnost použitých závaží. V opačném případě pro V1 < V2 je hmotnost tělesa větší než hmotnost použitých závaží. V obou případech má tedy postup měření hmotnosti tělesa na rovnoramenných pákových vahách v atmosférickém vzduchu systematickou chybu způsobenou měřící metodou. Tuto chybu je nutno korigovat, vyžaduje-li to předepsaná přesnost měření a umožňuje-li to třída přesnosti přístroje. Příklad 13 Na kulový balón o průměru 10 m působí tíhová síla FG a aerostatická vztlaková síla Fa atmosférického vzduchu; poměr jejich velikostí je 3 : 4. Hustota atmosférického vzduchu v okolí balónu je 1,3 kg · m−3 . Jaká je maximální hmotnost m zátěže balónu? Řešení Při maximální hmotnosti zátěže balónu je aerostatická vztlaková síla atmosférického vzduchu v rovnováze s tíhovou silou působící na balón se zátěží. r = 5,0 m, FG : Fa = 3 : 4, = 1,3 kg · m−3 , g = 9,81 m · s−2 Fa = V g =
4 3 4 . . πr g; Fa = 6,7 kN; FG = Fa ; FG = 5,0 kN . 3 3 22
a) Obr. 3b
ph1 = hg , Fh1 = Shg , FG1 > F h1 ,
ph2 = hg , Fh2 = Shg , FG2 < Fh2 ,
ph1 = ph2 , Fh1 = Fh2 ,
kde FG1 je velikost tíhové síly působící na kapalinu v nádobě (1) a FG2 je velikost tíhové síly působící na kapalinu v nádobě (2). (1)
F1
F1
x
F1
(2)
h
−F1
F2 F
2
S
Fh1
Obr. 3b
F2 x
h
−F2
S
Fh2
b) Obr. 3b Sílu F1 kolmou k povrchové přímce stěny nádoby (1) můžeme rozložit na dvě složky F1 a F1 k sobě kolmé, z nichž F1 je vodorovná a F1 je svislá. Složka F1 je v rovnováze s odpovídající vodorovnou složkou síly, kterou působí kapalina na stěnu v protilehlém místě nádoby (2). Svislá složka F1 směřuje dolů. Výslednice těchto svislých složek směřuje také svisle dolů a její velikost 5
!"#$%&'()*+,-. 1
V1 V2
1
2
1
2
Obr. 11a
Obr. 11b
1
2
2
Obr. 11c
5
Aerostatická vztlaková síla
Válec je ponořen do kapaliny o hustotě v nádobě v klidu tak, že jeho horní podstava je v hloubce h1 pod volným povrchem kapaliny a dolní podstava je v hloubce h2 pod volným povrchem kapaliny (obr. 4). Označme p1 hydrostatický tlak v kapalině v hloubce h1 a p2 hydrostatický tlak v kapalině v hloubce h2 pod volným povrchem kapaliny. Na horní podstavu válce působí kapalina tlakovou silou o velikosti F1 = p1 S směřující svisle dolů; na dolní podstavu válce působí kapalina tlakovou silou o velikosti F2 = p2 S směřující svisle vzhůru; F2 > F1 . Na stejné protilehlé plošky válce působí kapalina stejně velikými tlakovými silami opačného směru (např. F3 , −F3 v obr. 4); tyto síly jsou v rovnováze. Kapalina tedy působí na válec výslednou silou její velikost je :
Fvz směřující svisle vzhůru;
Fvz = F2 − F1 = (p2 − p1 )S = S(h2 − h1 )g = Shg . Dosadíme-li objem válce V = Sh, je velikost hydrostatické vztlakové síly : Fvz = V g . Na tuhý válec zcela ponořený do kapaliny v klidu působí výsledná hydrostatická síla směřující svisle vzhůru; její velikost závisí jen na objemu V válce, na hustotě kapaliny a na velikosti tíhového zrychlení g na daném místě povrchu Země. Předpokládáme, že hustota a tíhové zrychlení g jsou v prostoru nádoby s kapalinou konstantní. Úvahu můžeme zobecnit pro stejnorodé tuhé těleso libovolného tvaru zcela ponořené do kapaliny. Vymezme v kterémkoli místě kapaliny v klidu s konstantní hustotou část o objemu V libovolného tvaru (obr. 5a). Takto vymezené kapalné těleso je v rovnovážné poloze a nemění svůj tvar působením vnějších sil podobně jako tuhé těleso. Na toto kapalné těleso působí tíhová síla FG v těžišti S tělesa a dílčí tlakové síly, kterými působí kapalina kolmo na elementární plochy povrchu tělesa.
Při vysvětlování obsahu Archimedova zákona pro kapaliny jsme se opírali o tyto dva jevy : 1. kapaliny jsou tekuté, 2. na kapalná tělesa na povrchu Země působí tíhová síla. Tyto jevy se uplatňují také u plynů a u plynných těles nacházejících se na povrchu Země. Na těleso na povrchu Země, které je obklopeno plynem, působí aerostatická vztlaková síla Fa . Tato síla se skládá s tíhovou silou FG působící na těleso. Výslednice obou sil způsobuje, že těleso se v plynu vznáší, klesá nebo stoupá. Na rozdíl od kapalin nemají plynná tělesa volný povrch, protože jsou plyny rozpínavé. Nenastane tedy rovnovážný stav tělesa, který je obdobný plování tělesa v kapalině. Pokus 5 : O působení aerostatické vztlakové síly na tuhé těleso obklopené atmosférickým vzduchem se přesvědčíme pokusem s dasymetrem. Dasymetr je rovnoramenná páka otáčivá kolem vodorovné osy. Na jednom konci páky je upevněna dutá skleněná koule, na druhém konci je upevněno
Poněvadž je těleso v rovnovážné poloze, je výslednice F tlakových sil v rovnováze s tíhovou silou FG . Platí tedy F = −FG . Okolní kapalina působí na vymezené kapalné těleso v jeho těžišti S výslednou hydrostatickou vztlakovou silou Fvz = F . Všechny vodorovné složky tlakových sil jsou navzájem v rovnováze. Platí tedy Fvz = FG = V g. Nahradí-li se kapalné těleso tuhým stejnorodým tělesem téhož tvaru a objemu (obr. 5b), nezmění se výslednice tlakových sil, kterými okolní kapalina působí na těleso. Zpravidla se však změní velikost tíhové síly FG . Potom tuhé těleso ponořené do kapaliny již není v rovnovážné poloze, ale působí na ně výslednice tíhové síly FG a hydrostatické vztlakové síly Fvz .
20
7
efghijklmnopqrstuvwxyz{|}~3456789:;< H0
h0
H
h
S
S
Obr. 10a
Obr. 10b
Řešení Nádoba s vodou a s krychlí je nestejnorodá soustava plovoucí ve vodě. Změněné výšky označíme H, h. a) Za uvedených podmínek platí pro soustavu plovoucí ve vnější kapalině vztah: (H − H0 )Sg = mg ,
ΔH = H − H0 =
m > 0. S
b) Za stejných podmínek platí pro krychli plovoucí ve vodě v nádobě vztah:
Velikost této síly Fvz = V g, kde V je objem kapaliny rovný objemu tělesa ponořeného do kapaliny nebo objemu části tělesa, která je ve styku s kapalinou; je hustota kapaliny, g je velikost tíhového zrychlení na daném místě povrchu Země. Takto vyjadřujeme Archimedův zákon, který objevil řecký učenec Archimedes. Žil v sicilském městě Syrakusy v letech 287 až 212 př. n. l. Obecnou platnost Archimedova zákona dokázal v r. 1608 holandský fyzik Simon Stevin (1548 až 1620). Působiště hydrostatické vztlakové síly Fvz je vždy v hmotném středu odpovídajícího kapalného tělesa. Je-li tuhé těleso stejnorodé, splývá působiště hydrostatické vztlakové síly s těžištěm tělesa nebo s těžištěm jeho části, která je ve styku s kapalinou. Hydrostatická vztlaková síla se někdy také nazývá Archimedova síla. Příklad 2 Stejnorodé tuhé těleso zavěsíme na siloměr a zcela ponoříme do kapaliny o hustotě 1 . Na siloměru naměříme velikost tahové síly F1 . Potom totéž těleso zavěšené na siloměru zcela ponoříme do jiné kapaliny o hustotě 2 ; na siloměru naměříme velikost tahové síly F2 . V žádném z obou případů se těleso nedotýká dna nádoby. Kapaliny s tělesem chemicky nereagují ani těleso nerozpouštějí. Určete hustotu tělesa. Řešení V prvním případě působí kapalina na těleso hydrostatickou vztlakovou silou Fvz1 , ve druhém silou Fvz2 . Podle Archimedova zákona je Fvz1 = V 1 g, Fvz2 = V 2 g , kde V je objem kapaliny rovný objemu ponořeného tělesa. F1 = V g − V 1 g; F2 = V g − V 2 g;
(h − h0 )Sg = mg ,
m Δh = h − h0 = > 0, S
Hustota tělesa
=
F1 − 1 = . F2 − 2
1 F2 − 2 F1 . F2 − F1
a) Jaká část objemu V koule se nachází v horní kapalině a jaká v dolní kapalině?
Příklad 3 Stejnorodé tuhé těleso zavěsíme na siloměr a změříme ve vakuu velikost tahové síly F , kterou těleso napíná pružinu siloměru. Potom těleso zavěšené na siloměru zcela ponoříme do kapaliny o hustotě 1 a změříme velikost tahové síly F1 . Při třetím pokusu totéž těleso zavěšené na siloměru zcela ponoříme do kapaliny o neznámé hustotě a změříme velikost tahové síly F2 . Jak z výsledků měření při těchto třech pokusech určíme neznámou hustotu kapaliny? Řešení Označíme V objem tělesa použitého při pokusech. Podle Archimedova zákona platí pro třetí pokus : V g = F − F2 , pro druhý pokus : V 1 g = F − F1 .
18
9
ΔH = Δh .
Oba volné povrchy vody nad dnem nádoby se zvýší stejně.
Příklad 11 Stejnorodá koule o objemu V a hustotě je v rovnovážné poloze na rozhraní dvou kapalin v klidu, z nichž horní má hustotu 1 a dolní hustotu 2 ; 1 < < 2 .
daného stejnorodého tělesa plovoucího v kapalině a splňujícího vztah (1) jsou jen některé, někdy jen jediná, které odpovídají stálé rovnovážné poloze. Ve zvláštních případech se může stejnorodé těleso plovoucí v kapalině nacházet v rovnovážné poloze volné, splňuje-li vztah (1). Např. plovoucí stejnorodá koule nebo stejnorodý válec, jehož rotační osa je vodorovná, jsou v rovnovážné poloze volné. Při jakémkoli otočení kolem vodorovné osy procházející hmotným středem tělesa zůstávají tíhová síla a hydrostatická vztlaková síla v rovnováze. Při plování nestejnorodého tělesa v kapalině musí být splněn také m , vztah (1); 1 je v tomto případě průměrná hustota tělesa daná vztahem 1 = V kde m je hmotnost tělesa, V jeho objem. O tom, jakého druhu je v tomto případě rovnovážná poloha plovoucího tělesa, rozhoduje kromě tvaru také rozmístění částí o různé hustotě v tělese. Příkladem nestejnorodého plovoucího tělesa je hustoměr. Je to rotační těleso s takovým rozložením částí o různé hustotě, že těleso plove v kapalině vždy se svislou rotační osou v rovnovážné poloze stálé. Volný povrch kapaliny v klidu, v níž hustoměr plove, je ukazovatelem hustoty této kapaliny na stupnici měřicího přístroje. Hustoměr se ponoří do kapaliny, v níž plove, tím hlouběji, čím je hustota kapaliny menší. Lodi jsou nestejnorodá tělesa plovoucí ve vodě v rovnovážné poloze stálé. Stabilita této polohy je tím větší, čím větší může být výchylka lodi z rovnovážné polohy, při níž ještě nedojde k převrácení lodi. Stabilita rovnovážné polohy lodi závisí především na jejím tvaru a na poloze těžiště. Obojí je ovlivněno konstrukcí lodi podle účelu jejího použití i rozložením přepravovaného nákladu. Příklad 9 Hustota ledu je 917 kg · m−3 , hustota mořské vody, ve které plove ledovec, je 1025 kg · m−3 . a) Jaká část objemu ledovce je ponořena pod volným povrchem vody? b) Ledovec modelujte ledovým stejnorodým kvádrem o hranách a, b, c (a > b > c) v poloze s minimální potenciální energií tíhovou vzhledem k volnému povrchu vody. Určete vzdálenost těžiště S plovoucího kvádru od volného povrchu vody jako funkci výšky kvádru v dané poloze. Určete vzdálenost hmotného středu S1 části ponořené ve vodě od volného povrchu vody, jako funkci výšky kvádru v téže poloze. Znázorněte výsledek náčrtkem. Řešení a) Označme V objem ledovce, V1 objem ponořené části; hustotu vody, 1 hustotu ledu. Podle Archimedova zákona pro těleso plovoucí v kapalině platí
16
Předpokládejme, že stejnorodé těleso o objemu V a hustotě 1 je zcela ponořené do kapaliny o hustotě 2 . Na těleso působí tíhová síla FG svisle dolů a hydrostatická vztlaková síla Fvz svisle vzhůru. V daných podmínkách je společným působištěm obou sil těžiště tělesa. Pro velikosti těchto sil FG = V 1 g ,
Fvz = V 2 g
(1)
platí jeden z následujících tří vztahů: 1. FG > Fvz ; potom podle vztahu (1) platí 1 > 2 . Na těleso působí výslednice obou sil směřující svisle dolů. Těleso není v rovnovážné poloze. Jestliže těleso bylo na počátku pokusu v kapalině v klidu, např. zavěšené na vlákně, začne po uvolnění padat; 2. FG = Fvz ; podle vztahu (1) platí 1 = 2 . Tíhová síla a hydrostatická vztlaková síla působící na těleso jsou v rovnováze, těleso je uvnitř kapaliny v rovnovážné poloze volné. V tomto stavu se těleso v kapalině vznáší; 3. FG < Fvz ; potom podle vztahu (1) platí 1 < 2 . Na těleso působí výslednice obou sil směřující svisle vzhůru. Těleso není v rovnovážné poloze. Jestliže těleso bylo na počátku pokusu působením vnější síly udržováno pod volným povrchem kapaliny, začne po uvolnění stoupat k volnému povrchu kapaliny a vystoupí částí svého objemu nad kapalinu. Tím se však postupně hydrostatická vztlaková síla zmenšuje, až se její velikost vyrovná velikosti tíhové síly. V tom případě působí na těleso jen částečně ponořené v kapalině vztlaková síla Fvz . Potom platí vztah Fvz = FG . Síly Fvz a FG jsou v rovnováze, těleso je v rovnovážné poloze, plove v kapalině. Příklad 5 Tři předměty, z nichž první je z oceli, druhý z hliníku a třetí ze dřeva, mají stejné objemy. Ocelový a hliníkový předmět jsou zavěšené na vláknech a zcela ponořené do vody v nádobě, v níž plove dřevěný předmět. Porovnejte velikosti hydrostatických vztlakových sil, působících na předměty. Řešení Označme V objem každého předmětu, hustotu vody, 1 průměrnou hustotu dřeva; označme hydrostatickou vztlakovou sílu, kterou působí voda na ocelový předmět Fvz1 , na hliníkový předmět Fvz2 , na dřevěný předmět Fvz . Voda působí na ocelový předmět hydrostatickou vztlakovou silou o velikosti Fvz1 = V g, na hliníkový předmět hydrostatickou vztlakovou silou o velikosti Fvz2 = V g; platí tedy Fvz1 = Fvz2 . Na plovoucí dřevěné těleso působí voda hydrostatickou vztlakovou silou o ve = V 1 g < Fvz1 . likosti Fvz 11
4
Rovnovážná poloha tělesa plovoucího v kapalině
ledu, 2 hustotu olova; tyto veličiny považujeme za konstantní bez ohledu na teplotu. Na počátku děje platí podle Archimedova zákona [1 (V − v) + 2 v]g = V1 g .
(1)
Označme V objem stejnorodého tělesa plovoucího v kapalině, V objem části tělesa ponořené v kapalině; označme hustotu kapaliny, 1 hustotu stejnorodého tělesa, 1 < . Podle Archimedova zákona platí pro plovoucí těleso v kapalině
Po roztání ledu vznikne voda o objemu V2 . Počáteční hmotnost ledu se rovná hmotnosti vody vzniklé roztáním ledu; to vyjadřuje vztah
V g = V 1 g .
(V − v)1 = V2 .
Odtud
(2)
Ze vztahů (1) a (2) určíme 1 V = < 1. V
(1)
Stejnorodé tuhé těleso plovoucí v kapalině je v rovnovážné poloze, jestliže tíhová síla a hydrostatická vztlaková síla působící na těleso jsou v rovnováze. Působiště tíhové síly je v hmotném středu tuhého tělesa, působiště hydrostatické vztlakové síly je totožné s hmotným středem části tělesa ponořené do kapaliny. Obě síly mají společnou vektorovou přímku svislého směru. Při malém vychýlení plovoucího tělesa z rovnovážné polohy se působiště obou sil navzájem posunou a vznikne dvojice sil. Těleso přestane být v rovnovážné poloze. Rovnovážná poloha stejnorodého tělesa plovoucího v kapalině může být podle okolností stálá, vratká nebo volná. Na obr. 7a je znázorněn stejnorodý kvádr plovoucí v kapalině v rovnovážné poloze stálé. Hmotný střed S1 tuhého tělesa a působiště S2 hydrostatické vztlakové síly působící na těleso leží v téže svislé přímce, která je jednou z os souměrnosti tělesa. Vychýlíme-li těleso z této polohy, např. malým otočením kolem vodorovné osy v záporném smyslu, změní se tvar části tělesa ponořené do kapaliny a působiště S2 hydrostatické vztlakové síly se přemístí vzhledem k hmotnému středu S1 tělesa (obr. 7b). Síly FG a Fvz nejsou pak v rovnováze, ale tvoří dvojici sil, která otáčí plovoucí těleso v opačném smyslu, než bylo vychýleno, tedy v kladném smyslu, a vrací je do výchozí polohy. Potenciální energie soustavy (kapalina–těleso) je v této rovnovážné poloze minimální; hmotný střed S1 tuhého tělesa ve stálé rovnovážné poloze je níže než je-li těleso ve kterékoli jiné blízké poloze. Na obr. 8a je znázorněn stejnorodý kvádr plovoucí v kapalině v rovnovážné poloze vratké. Hmotný střed S1 tuhého tělesa a působiště S2 hydrostatické vztlakové síly leží opět na téže svislé přímce, která je jinou osou souměrnosti tělesa než v předcházejícím případě. Vychýlíme-li těleso z této polohy, např. malým otočením kolem vodorovné osy v záporném smyslu, posune se působiště S2 vzhledem k hmotnému středu S1 tělesa (obr. 8b). Síly FG a Fvz již nejsou v rovnováze, ale tvoří dvojici sil, která otáčí plovoucí těleso ve stejném
14
V2 = V1 − v
2 .
Původní objem vody se zvětší o objem V2 + v = V1 − v
2 −
a současně se zmenší o objem V1 . Nastane tedy celková změna objemu vody o ΔV = V2 + v − V1 = −v
2 − .
Protože platí 2 > , ΔV < 0 . Po roztání ledu se kousek olova uvolní a klesne ke dnu nádoby, volný povrch vody v nádobě klesne. b) Při stejném označení jako v úloze a) dostaneme vztahy (1) a (2). Po roztání ledu plove ve vodě kousek korku o objemu v, který je ponořen ve vodě objemem v1 . Podle Archimedova zákona platí v2 g = v1 g, tj.v1 = v
2 .
Pod volným povrchem vody v nádobě nastane přírůstek objemu V2 +v1 = V1 a současně úbytek o objemu V1 . Nastane tedy celková změna objemu vody ΔV = (V2 + v) − V1 = 0 . Po roztání ledu kousek korku plove ve vodě a poloha volného povrchu vody se nezmění. Závěr úlohy a) platí pro všechna tělesa uzavřená v plovoucím ledu, která mají hustotu větší, než je hustotu vody. Závěr úlohy b) platí pro všechna tělesa uzavřená v plovoucím ledu, která mají hustotu menší, než je hustotu vody. c) Po roztání ledu unikne vzduch uzavřený v ledu do okolí. Platí tedy stejný závěr jako v příkladu 7. 13
Příklad 6 Do odměrného válce s vodou o objemu 180 cm3 vložíme stejnorodé těleso o hmotnosti 60 g, které plove ve vodě. Na které hodnotě objemu se ustálí volný povrch vody v odměrném válci? Řešení Označme m = 60 g hmotnost tělesa, hustotu vody, V objem části plovoucího tělesa ponořené do vody; V0 = 180 cm3 objem vody v odměrném válci. Podle Archimedova zákona pro velikost hydrostatické vztlakové síly půso bící na plovoucí těleso platí Fvz = V g. Velikost tíhové síly působící na těleso FG = mg. Ze vztahu Fvz = FG určíme V =
m ;
V = 60 cm3 .
=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUV!"#$%&'()`*+,-./0123456789:<=>?@ABCDEFGHIJKL
smyslu, jako bylo vychýleno, tedy v záporném smyslu. Potenciální energie soustavy (kapalina–těleso) je v rovnovážné poloze vratké maximální; hmotný střed S1 tělesa ve vratké rovnovážné poloze je níže, než je-li ve kterékoli jiné blízké poloze. Plovoucí těleso může překlopením o 180◦ změnit rovnovážnou polohu vratkou v rovnovážnou polohu stálou (z polohy na obr. 8a do polohy na obr. 7a).
Fvz
S1
Volný povrch vody se ustálí na hodnotě odpovídající objemu V0 + V = 240 cm3 . Příklad 7 V nádobě naplněné po okraj vodou plove kus ledu. Přeteče voda přes okraj nádoby, když led roztaje? Řešení Označme V objem ponořené části kusu ledu plovoucího ve vodě; V1 objem vody, která vznikne roztáním ledu, V2 počáteční objem kusu ledu, 1 hustotu ledu, hustotu vody. Tyto veličiny považujeme za konstantní bez ohledu na teplotu. Pro počáteční situaci platí podle Archimedova zákona V2 1 g = V g a po úpravě V2 1 = V . Hmotnost počátečního kusu ledu se rovná hmotnosti vody, která vznikla roztáním ledu; V2 1 = V1 . Po dosazení z předcházející rovnice dostaneme V = V1 , tj. V = V1 . Když led roztaje, zůstane nádoba naplněná po okraj vodou, voda nepřeteče přes okraj nádoby. Příklad 8 V nádobě naplněné po okraj vodou plove kus ledu. V ledu je a) kousek olova, b) kousek korku, c) uzavřena vzduchová bublina. Co se stane, když všechen led roztaje? Popište a zdůvodněte. Řešení a) Označme V počáteční objem plovoucího tělesa, V1 počáteční objem ponořené části tělesa ve vodě, v objem kusu olova; hustotu vody, 1 hustotu
12
Fvz
S1
S2
S2
FG
FG
Obr. 7a
Obr. 7b
Fvz
Fvz
S2 S1
S2
S1
FG
FG
Obr. 8a
Obr. 8b
Počet možných stálých a vratkých rovnovážných poloh stejnorodého tělesa plovoucího v téže kapalině závisí na tvaru tělesa. Ze všech rovnovážných poloh 15
V článku 2 jste poznali, že na stejnorodé tuhé těleso zcela ponořené do kapaliny působí výslednice tíhové síly FG a hydrostatické vztlakové síly Fvz . Proto takové těleso bez působení další síly není obecně v rovnovážné poloze.
MNOPQRSTUVWXYZ©\]^_`abcd³
10
17
Z rovnosti podílů levých a pravých stran obou rovnic určíme hustotu kapaliny =
F − F2 1 . F − F1
Příklad 4 Na vodorovnou desku sklonných vah se stupnicí v newtonech postavíme nádobu s vodou a na stupnici vah změříme velikost tlakové síly F1 , kterou působí nádoba s vodou na desku; F1 = 10,00 N. Na siloměr zavěsíme ocelový válec a na stupnici siloměru změříme velikost tahové síly F2 , kterou válec působí na pružinu siloměru; F2 = 5,00 N. Potom ocelový válec zavěšený na siloměru zcela ponoříme do vody v nádobě postavené na desce sklonných vah. Jaká je velikost tahové síly naměřené nyní na stupnici siloměru? Jaká je velikost tlakové síly naměřené současně na stupnici sklonných vah? Při pokusech neuvažujeme účinek vztlakové síly atmosférického vzduchu na tělesa. Těleso ponořené do kapaliny se nedotýká dna nádoby. Řešení Označme V objem ocelového válce; hustota vody = 1000 kg · m−3 , hustota oceli 1 = 7800 kg · m−3 . Podle Archimedova zákona působí voda na ocelový válec, který je v ní zcela ponořený, vztlakovou silou Fvz směřující vzhůru; Fvz = V g. Objem V válce určíme ze vztahu F2 = V 1 g. Platí tedy : Fvz =
. F2 = 0,64 N . 1
Podle třetího Newtonova pohybového zákona působí voda a válec v ní ponořený navzájem na sebe stejně velikými výslednými silami opačného směru. Voda působí na válec silou Fvz svisle vzhůru, válec působí na vodu stejně velikou silou svisle dolů. . Na siloměru zjistíme tedy velikost tahové síly F2 −Fvz = 4,36 N. Na stupnici . sklonných vah zjistíme velikost tlakové síly F1 + Fvz = 10,64 N.
3
Výslednice sil působících na uvolněné těleso v kapalině
V 1 g = V1 g . Odtud určíme V1 =
1 V;
. . V1 = 0,895V = 0,9V .
b) Stejnorodý ledový kvádr plovoucí ve vodě má minimální potenciální energii tíhovou, je-li délka nejmenší hrany c jeho výškou. Těžiště S ledového kvádru je ve středu souměrnosti tělesa, tj. v hloubce asi 0,40c pod volným povrchem vody. Hmotný střed S1 části kvádru ponořené ve vodě je v hloubce asi 0,45c pod volným povrchem vody, tj. v hloubce asi 0,05c pod těžištěm S kvádru (obr. 9).
S
S1
c
a
Obr. 9
Příklad 10 Ve vodě plove tenkostěnná válcová nádoba s vodou, jejíž volný povrch je ve výšce h0 nad dnem nádoby. Dno nádoby o obsahu S se nachází v hloubce H0 pod volným povrchem vnější vody (obr. 10a). Do vody v nádobě se vloží stejnorodá krychle o hmotnosti m, která ve vodě plove. Hmotnost nádoby je zanedbatelná vzhledem k hmotnosti vody v nádobě a hmotnosti krychle. Tloušťku dna považujeme za nulovou (obr. 10b). a) Jak se změní výška volného povrchu vody nad dnem vně nádoby? b) Jak se změní výška volného povrchu vody nad dnem uvnitř nádoby?
!"#$%&'()*+,-./012345678 9:<=>?@ABCDEFGHIJKL& Fvz
Fvz
S
S
FG
Obr. 5a
FG
Fvz = −FG
Obr. 5b
Pokus 4 : Pokus 3 obměníme tak, že do kapaliny ponoříme jen část tělesa zavěšeného na siloměru. Pomocí siloměru zjistíme, že velikost hydrostatické vztlakové síly Fvz je nyní menší než v pokusu 3. Platí tedy Fvz < Fvz . Výsledek pokusu vysvětlíme úvahou podle obr. 6. Na stejnorodý přímý vá lec, jehož dolní podstava o obsahu S je v hloubce h2 pod volným povrchem kapaliny, působí hydrostatická vztlaková síla o velikosti :
Fvz = F2 = Sh2 g = V g,
kde V je objem kapaliny rovný objemu části válce ponořeného do kapaliny. Výsledky pokusů a úvah lze shrnout takto : Na tuhé těleso ponořené úplně nebo zčásti do kapaliny v klidu působí hydrostatická vztlaková síla Fvz směřující svisle vzhůru.
h2
b) Proveďte diskusi výsledku. Nakreslete příslušné náčrtky. c) Popište situace pro = 1 a pro = 2 . Nakreslete příslušné náčrtky. Řešení a) Označme V1 objem části koule, která se nachází v horní kapalině, V2 objem části koule, která se nachází v dolní kapalině. V = V1 + V2
Na každou z obou částí koule působí tíhová síla a hydrostatická vztlaková síla. Protože koule je v rovnovážné poloze, platí (V1 + V2 )g = V1 1 g + V2 2 g .
(2)
Řešením soustavy rovnic (1) a (2) dostaneme V1 = b) Z rovnic (3) dostaneme
2 − V, 2 − 1
V2 =
− 1 V. 2 − 1
(3)
2 − ≥ V1 = 1. V2 − 1 ≤
V prvním případě je V1 > V2 , tj. větší část objemu koule je v horní kapalině; + 2 nastane to tehdy, když < 1 . 2 V druhém případě je V1 = V2 , v každé z obou kapalin je polovina objemu + 2 koule; = 1 . 2 V třetím případě je V1 < V2 , tj. větší část objemu koule je v dolní kapalině; + 2 > 1 (obr. 11a). 2 c) Pro = 1 platí podle (3) V1 = V , V2 = 0; celá koule se vznáší v horní kapalině (obr. 11b). Pro = 2 platí podle (3) V1 = 0 , V2 = V ; celá koule je pod rozhraním obou kapalin (obr. 11c).
F2
S
Obr. 6
8
(1)
19
@'()*+,-./0123456789:;<=>?
odpovídá rozdílu FG1 − Fh1 > 0; FG1 > Fh1 . Sílu F2 kolmou k povrchové přímce stěny nádoby (2) můžeme rozložit na dvě složky F2 a F2 , k sobě kolmé, z nichž F2 je vodorovná a F2 je svislá. Složka F2 je v rovnováze s odpovídající vodorovnou složkou síly, kterou působí kapalina na stěnu nádoby (2) v protilehlém místě nádoby. Svislá složka F2 směřuje vzhůru. Výslednice těchto svislých složek směřuje také svisle vzhůru a její velikost odpovídá rozdílu Fh2 − FG2 > 0; FG2 < Fh2 .
2
ocelové závaží, jehož objem je velmi malý vzhledem k objemu koule. Soustava je ve vzduchu v rovnovážné poloze (obr. 12a). Soustavu umístíme do prostoru pod recipientem vývěvy, v němž vytvoříme vakuum. Konec páky s koulí klesne (obr. 12b).
Archimedův zákon
Na každou libovolně malou rovinnou část povrchu tuhého tělesa ponořeného do kapaliny na povrchu Země působí kapalina tlakovou silou kolmo k této části povrchu tělesa. Jaký je účinek výslednice těchto sil na těleso zcela ponořené v kapalině? Pokus 3 : Těleso zavěsíme na siloměr a změříme sílu, kterou těleso v tíhovém poli napíná pružinu. Potom těleso zavěšené na siloměru zcela ponoříme do kapaliny. Pružina siloměru je nyní napínána menší silou než v prvním případě. Na těleso ponořené do kapaliny v klidu působí kapalina výslednou hydrostatickou vztlakovou silou směřující proti tíhové síle. Velikost této síly lze určit z rozdílu velikostí obou sil naměřených siloměrem. Výsledek pokusu vysvětlíme následující úvahou s využitím pojmu hydrostatický tlak. Úvahu provedeme nejprve pro přímý stejnorodý tuhý válec o obsahu podstavy S a o výšce h.
h1
h2
h
F1 F3 − F 3 F2
S
Obr. 4
6
Obr. 12a
Obr. 12b
Jev vysvětlíme takto: Pokud je soustava v atmosférickém vzduchu, působí na kouli i závaží aerostatická vztlaková síla vzduchu. Avšak na kouli působí větší aerostatická vztlaková síla než na závaží, protože koule má větší objem než závaží. Je-li soustava ve vakuu, je aerostatická vztlaková síla atmosférického vzduchu nulová. Tělesa působí v koncových bodech páky různými tahovými silami, které odpovídají různým tíhovým silám. Označíme-li mk hmotnost koule a mz hmotnost závaží, platí podle pokusu mk g > mz g, tedy také mk > mz . Z pokusu je patrno, že aerostatická vztlaková síla atmosférického vzduchu ovlivňuje výsledek měření hmotnosti tělesa při použití rovnoramenných vah. Těleso o hmonosti m zavěsíme na siloměr a změříme velikost tahové síly F . Je-li siloměr s tělesem v klidu vzhledem k povrchu Země a ve vakuu, je velikost naměřené tahové síly F rovna velikosti tíhové síly, kterou působí Země jako otáčející se vztažná soustava na těleso, F = mg. Nachází-li se siloměr s tělesem v atmosférickém vzduchu, působí na těleso kromě tíhové síly FG svisle dolů ještě aerostatická vztlaková síla Fa svisle vzhůru; velikost naměřené tahové síly je pak F = mg − V g, kde V je objem tělesa, je hustota atmosférického vzduchu v místě a v čase měření; F < mg. Příklad 12 Na rovnoramenných pákových vahách měříme obvykle hmotnost tělesa tak, že na levou misku položíme těleso a na pravou misku klademe závaží, pokud se jazýček vahadla neustálí na nulové čárce stupnice. Pak je soustava v rovnovážné poloze, hmotnost tělesa považujeme za rovnou součtu hmotností závaží. Při tomto postupu nebereme v úvahu aerostatické vztlakové síly, kterými pů21
/0123456789:J<=>?@ABCDEFGHIKL − F1
h1
h1
F1
h
S
Fh
Obr. 2
Je tedy Fh výslednice všech sil, kterými působí kapalina na dno a vnitřní stěny válcové nádoby. Tlak u dna nádoby určíme ze vztahu: ph =
Fh = hg . S
Stejným způsobem určíme tlak ph v libovolné hloubce h pod volným povrchem kapaliny v klidu. Tlak ph se nazývá hydrostatický tlak v hloubce h pod volným povrchem kapaliny v klidu na povrchu Země. Příklad 1 Dvě nádoby tvaru komolého kužele mají stejný obsah S dna; jedna z nich má stěny od dna rozbíhavé (1) a druhá sbíhavé (2) (obr. 3a). Obě nádoby jsou postaveny dnem na vodorovnou podložku, která je v klidu vzhledem k povrchu Země. Nádoby jsou naplněny kapalinou o hustotě do stejné výšky h od dna. a) Jaký je hydrostatický tlak ph u dna nádoby (1) a nádoby (2)? Jaká je velikost tlakové síly, kterou působí kapaliny na dno nádoby (1) a nádoby (2)? Porovnejte s velikostí tíhové síly působící na kapalinové těleso v nádobě (1) a v nádobě (2). b) Znázorněte tlakové síly F1 , F2 , kterými působí kapalina v hloubce x pod volným povrchem kapaliny na stěnu nádoby (1) a nádoby (2); x < h; síly působí 4
Označme
Fz tíhovou sílu, která působí na zátěž o maximální hmotnosti m.
Fz . . Fz = Fa − FG ; Fz = 1,7 kN; m = ; m = 1,7 · 102 kg . g Pro hmotnost m zátěže balónu tedy platí : m ≤ 1,7 · 102 kg.
6
Platí Archimedův zákon v podmínkách beztížného stavu?
Při vysvětlování obsahu Archimedova zákona jsme vycházeli z těchto předpokladů: kapalina je tekutá; na kapalinu i na těleso v ní ponořené působí na povrchu otáčející se Země tíhová síla; v kapalině v klidu existuje hydrostatický tlak, který je přímo úměrný hloubce pod volným povrchem kapaliny. Na každém místě na povrchu Země je jednoznačně určen svislý směr dolů. V tomto směru se ustálí vlákno olovnice nebo osa pružiny siloměru se zavěšeným tělesem. V podmínkách beztížného stavu, např. uvnitř umělé družice Země, na kterou působí na oběžné dráze jen centrální gravitační pole Země, jsou všechny směry fyzikálně rovnocenné. V prostoru existuje dokonalá symetrie směrů. Zavěsíme-li těleso na pružinu, pružina se neprodlouží v žádném směru. Účinky tíhové síly se neprojeví ani na molekuly kapaliny. Proto se změní i vlastnosti kapaliny obvykle pozorované na povrchu Země. V beztížném stavu se nevytvoří volný povrch kapaliny ve vodorovné rovině; tvar volného povrchu kapalného tělesa je určen jen vzájemným silovým působením molekul kapaliny. Vzájemné silové působení molekul v povrchové vrstvě kapaliny je příčinou toho, že kapalné těleso v beztížném stavu zaujme kulový tvar. V kapalině v beztížném stavu neexistuje hydrostatický tlak. V podmínkách beztížného stavu nejsou tedy splněny základní předpoklady platnosti Archimedova zákona. V beztížném stavu Archimedův zákon neplatí.
Úlohy 1. Stejnorodý kousek kovu zavěsíme ve vzduchu na pružinu siloměru a změříme velikost tahové síly 0,100 N. Ponoříme-li těleso zavěšené na siloměru zcela do vody tak, že se nedotýká dna nádoby s vodou, naměříme tahovou sílu 0,080 N. Ponoříme-li těleso zcela za stejných podmínek do oleje, naměříme tahovou sílu 0,085 N. Určete a) objem tělesa, b) hustotu kovu, c) hustotu oleje. Aerostatickou vztlakovou sílu působící na těleso ve vzduchu neuvažujeme. [2,0 cm3 ; 5,0 · 103 kg · m−3 ; 0,75 · 103 kg · m−3 ] 23
1
Vlastnosti kapalného tělesa v klidu na povrchu Země
Kapaliny jsou složeny z molekul, které jsou v neustálém neuspořádaném pohybu a které se snadno navzájem posunují. To se projevuje navenek jako tekutost. Vzájemné silové působení molekul uvnitř kapaliny je dostatečně účinné, aby kapalné těleso zachovávalo vlastní objem. V kapalinách jsou molekuly velmi blízko sebe, proto jsou kapaliny při působení vnějších sil velmi málo stlačitelné. Např. je-li pro vodu při normálním tlaku asi 0,1 MPa a při teplotě 20 ◦ C objem V0 , zmenší se objem při stonásobném tlaku o 4,5 · 10−10 V0 . Nejde-li tedy o velmi veliké tlakové změny, můžeme kapalná tělesa považovat za nestlačitelná. Můžeme předpokládat, že kapalné těleso má za stálé teploty stálý objem a stálou hustotu. Je-li kapalina v nádobě na povrchu Země v klidu, působí tíhová síla na kapalné těleso jako na celek; její působiště je v těžišti kapalného tělesa. Tíhová síla však současně působí i na jednotlivé molekuly. Toto silové působení spolu s tekutostí a stálostí objemu kapalného tělesa je příčinou toho, že kapalné těleso v klidu má volný povrch ve vodorovné rovině, tj. v rovině kolmé ke směru tíhové síly na daném místě povrchu Země. Z týchž důvodů vyplní kapalné těleso vždy celou část nádoby pod volným povrchem kapaliny. Kapalné těleso v klidu na povrchu Země má proměnlivý tvar podle vnitřního tvaru nádoby, v níž se nachází. Pokus 1 : Do igelitového sáčku s malým otvorem ve stěně nalejeme vodu a sáček uzavřeme. Ať jakkoli změníme tvar sáčku, vytéká voda otvorem vždy kolmo ke stěně sáčku v místě otvoru. Z pokusu usuzujeme, že na povrchu Země působí kapalina v nádobě v klidu na každou rovinnou část stěny nádoby tlakovou silou, která je kolmá k této rovině. Pokus 2 : Abychom mohli porovnávat velikosti tlakových sil působících na tutéž rovinnou plochu uvnitř kapaliny v klidu, použijeme nálevku s pružnou blanou (obr. 1a). K nálevce připojíme trubici otevřeného kapalinového manometru. Na počátku pokusu je volný povrch kapaliny v obou ramenech manometru v téže vodorovné rovině. V obou ramenech je u volného povrchu kapaliny tlak rovný atmosferickému tlaku. Přitlačíme-li dlaň k bláně, prohne se blána dovnitř a stlačí vzduch v nálevce i v trubici, která je k ní připojena. V uzavřeném ramenu manometru je nyní větší tlak než v otevřeném. Protože kapalné těleso v trubici manometru je nestlačitelné, volný povrch kapaliny v uzavřeném ramenu klesá a v otevřeném stoupá. Čím větší tlakovou silou zevně na blánu působíme, tím větší je svislá vzdálenost obou volných povrchů kapaliny v ramenech manometru.
2
se nedotýká dna nádoby. Naměříme velikost tahové síly 1,00 N. Je koule dutá nebo plná? [dutá]
7. Platí Archimedův zákon na povrchu Měsíce? Odpověď zdůvodněte.
S1 = 2S2 S2
h1
h
h2 = h 1
Obr. 13
8. Na dno prázdné nádoby jsou postaveny dva plné válce podle obr. 13. Hustota S materiálu válců je , obsah dna horního válce je S1 , dolního S2 ; S2 = 1 , výšky 2 válců jsou h1 , h2 ; h1 = h2 . Nádobu naplníme do výšky h > 2h1 kapalinou o hustotě k ; k = 2; kapalina nereaguje s materiálem těles. Uvažujte tyto možnosti : a) Stykové plochy válců a dna nádoby jsou utěsněny tak, že kapalina mezi ně nepronikne. b) Jen stykové plochy dna dolního válce a nádoby jsou upraveny jako v a). c) Jen stykové plochy válců jsou upraveny jako v a). d) Mezi všechny stykové plochy soustavy může kapalina proniknout. Jsou pro válcová tělesa ve všech případech a), b), c) splněny podmínky Archimedova zákona? Odpověď vysvětlete. Popište výslednou situaci v každém případě a nakreslete k ní obrázek. Je výška volného povrchu kapaliny nad dnem nádoby ve výsledné situaci jednotlivých případů a), b), c) stejná, nebo se změní? Odpověď zdůvodněte.
25
