Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 2012 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka ♣ za integrálem načte integrál do online aplikace na adrese http://www.mendelu.cz/user/marik/maw, která umožní výpočet integrálu, včetně automatických návrhů, jakou metodu zvolit.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2012 ×

Obsah 1 Definice neurčitého integrálu 2 Základní vzorce Z √ 6 4 (2x + 3 x + − sin x + ex ) dx 3 x Z tg x dx . . . . . . . . . . . . . . Z x+2 dx . . . . . . . . . 2 Z x + 4x + 5 x+5 dx . . . . . . . . . . . . Z x2 + 4 1 dx . . . . . . . . . . . 3 Z (x + 6) Z

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

f (ax + b) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

x+5 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − 4x + 9

46

x2

3 Integrace per-partés ⊳⊳

⊳

5

⊲

⊲⊲

57 c


Z Z Z Z Z

⊳⊳

(x + 1) ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

x sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

(x − 2) sin(2x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

(x 2 + 1) sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

(x 2 + 1)e−x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

Z

x arctg x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

Z

ln2 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Z

(x 3 + 2x)e−x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Z

ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Z

x 3 sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

⊳

⊲

⊲⊲

c


4 Integrace pomocí substituce. 125 Z sin(ln x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 x Z 2

xe1−x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Z Z

x

x 4√+ 16 x+1

dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

e dx . . . √ Z x+1 tg3 x dx . . . . Z √ 3x + 2 − 1 dx x√+ 1 Z 1+ x−1 dx x 5 Další ... Z arcsin x dx ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 192

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

c


1 Definice neurčitého integrálu Definice (neurčitý integrál, primitivní funkce). Buď I otevřený interval, f a F funkce definované na I. Jestliže platí F ′ (x) = f (x) pro všechna x ∈ I,

(1)

nazývá se funkce F primitivní funkcí k funkci f , nebo též neurčitý integrál funkce f na intervalu I. Zapisujeme Z f (x) dx = F (x). Existuje-li k funkci f neurčitý integrál na intervalu I, nazývá se funkce f integrovatelná na I. Primitivní funkce F (x) je vždy spojitá na I, plyne to z existence derivace. Věta 1 (postačující podmínka existence neurčitého integrálu). Ke každé spojité funkci existuje neurčitý integrál.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Definice neurčitého integrálu

c


Věta 2 (jednoznačnost primitivní funkce). Primitivní funkce je na daném intervalu k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí následující: • Je-li F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, platí totéž i pro funkci G(x) = F (x) + c, kde c ∈ R je libovolná konstanta nezávislá na x.

• Jsou-li F a G primitivní funkce k téže funkci f na intervalu I, liší se obě funkce na intervalu I nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje c ∈ R takové, že F (x) = G(x) + c

pro všechna x ∈ I.

Bohužel, ne vždy neurčitý integrál dokážeme efektivně najít. Zatímco problém nalezení derivace funkce složené z funkcí, které umíme derivovat, spočívá pouze ve správné aplikaci vzorců pro derivování, problém nalézt neurčitý 2 integrál i k funkci tak jednoduché, jako je například e−x je neřešitelný ve třídě elementárních funkcí.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Definice neurčitého integrálu

c


2 Základní vzorce Věta 3. Nechť f , g jsou funkce integrovatelné na I, c nechť je reálné číslo. Pak na intervalu I platí Z Z Z f (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx, Z Z cf (x) dx = c f (x) dx. Věta 4. Nechť f je funkce integrovatelná na I. Z 1 Pak f (ax + b) dx = F (ax + b) , kde F je funkce primitivní k funkci f na ina tervalu I. Platí pro ta x, pro která je ax + b ∈ I. Věta 5. Nechť funkce f má derivaci a nemá nulový bod na intervalu I. Potom Z ′ f (x) dx = ln |f (x)| . na tomto intervalu platí f (x) ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


♣

Z √ 6 4 Najděte (2x + 3 x + − sin x + ex ) dx. x3 √ 6 4 I = (2x + 3 x + − sin x + ex ) dx 3 x Z Z Z Z Z 1 = 2 x dx + 3 x 4 dx + 6 x −3 dx − sin x dx + ex dx Z

x2 x −2 x 5/4 +6 +3 − (− cos x) + ex + C 2 −2 5/4 1 12 5/4 + cos x + ex + C x −3 = x2 + 5 x2 =2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


♣


x −2 x2 x 5/4 +6 +3 − (− cos x) + ex + C 2 −2 5/4 1 12 5/4 + cos x + ex + C x −3 = x2 + 5 x2 =2

• Integrál ze součtu je součet integrálů. • Integrál násobku funkce je násobek integrálu. • Některé funkce je možno přepsat na mocninné funkce. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


♣


x −2 x2 x 5/4 +6 +3 − (− cos x) + ex + C 2 −2 5/4 1 12 5/4 + cos x + ex + C x −3 = x2 + 2 5 x Z x n+1 • x n dx = n+1 Z • sin x dx = − cos x =2

• ⊳⊳

⊳

Z ⊲

ex dx = ex ⊲⊲

Základní vzorce

c


♣


x2 x −2 x 5/4 +6 +3 − (− cos x) + ex + C 2 −2 5/4 1 12 5/4 + cos x + ex + C x −3 = x2 + 5 x2

=2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

tg x dx.

I=

Z

tg x dx

Z

sin x dx cos x Z − sin x =− dx cos x Z (cos x)′ dx =− cos x = − ln | cos x| + C

=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

tg x dx.

I=

Z

tg x dx

Z

sin x dx cos x Z − sin x =− dx cos x Z (cos x)′ dx =− cos x = − ln | cos x| + C =

Použijeme definici funkce tangens. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

tg x dx.

I=

Z

tg x dx

Z


• Platí (cos x)′ = − sin x. Čitatel se tedy liší od derivace jmenovatele jenom konstantím násobkem. • Vynásobíme a vydělíme integrál tímto násobkem. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

tg x dx.

I=

Z

tg x dx

Z


Formálně použijeme vztah (cos x)′ = − sin x, abychom viděli vzorec Z ′ f (x) dx = ln |f (x)| + C. f (x)

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

tg x dx.

I=

Z

tg x dx

Z


Z

⊳⊳

′

f (x) dx = ln |f (x)| + C f (x) ⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

x+2 dx. x 2 + 4x + 5 x+2 dx Z + 4x + 5 1 2x + 4 = dx 2 x 2 + 4x + 5 Z 2 ′ 1 (x + 4x + 5) dx = 2 x 2 + 4x + 5 1 = ln(x 2 + 4x + 5) + C 2

I=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

x2

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

x+2 dx. x 2 + 4x + 5 x+2 dx Z + 4x + 5 1 2x + 4 = dx 2 x 2 + 4x + 5 Z 2 ′ 1 (x + 4x + 5) = dx 2 x 2 + 4x + 5 1 = ln(x 2 + 4x + 5) + C 2

I=

Z

x2

• Platí (x 2 + 4x + 5)′ = 2x + 4. Čitatel se tedy liší od derivace jmenovatele jenom konstantím násobkem. • Vynásobíme a vydělíme integrál tímto násobkem. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

x+2 dx. x 2 + 4x + 5 x+2 dx Z + 4x + 5 1 2x + 4 = dx 2 x 2 + 4x + 5 Z 2 ′ 1 (x + 4x + 5) = dx 2 x 2 + 4x + 5 1 = ln(x 2 + 4x + 5) + C 2

I=

Přepíšeme do tvaru ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

Z

x2

′

f (x) dx. f (x) Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

x+2 dx. x 2 + 4x + 5 x+2 dx Z + 4x + 5 1 2x + 4 = dx 2 x 2 + 4x + 5 Z 2 ′ 1 (x + 4x + 5) dx = 2 x 2 + 4x + 5 1 = ln(x 2 + 4x + 5) + C 2

I=

Z

⊳⊳

Z

x2

′

f (x) dx = ln |f (x)| + C f (x) ⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

x+5 dx. x2 + 4 x+5 dx 2 Z x +4 1 2x 5 = · + dx 2 x2 + 4 x2 + 4 1 1 x = ln(x 2 + 4) + 5 arctg + C 2 2 2

I=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣


I=

Z

• Derivace jmenovatele je x, v čitateli však není násobek této funkce. Z ′ f (x) • Vzorec dx nelze přímo použít. f (x) • Rozdělíme zlomek na dva. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣


I=

Z

• V prvním zlomku je v čitateli polovina derivace jmenovatele. • Proto první zlomek vynásobíme a vydělíme dvěma. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣


I=

⊳⊳

⊳

Z

′

•

Z

f (x) = ln |f (x)| + C f (x)

•

Z

A2

⊲

⊲⊲

1 1 x dx = arctg 2 A A +x Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

1 dx. (x + 6)3 I=

Z

1 dx (x + 6)3

Z = (x + 6)−3 dx

(x + 6)−2 = −2 1 +C =− 2(x + 6)2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

1 dx. (x + 6)3 I=

Z

1 dx (x + 6)3

Z = (x + 6)−3 dx

(x + 6)−2 = −2 1 +C =− 2(x + 6)2

Jedná se o mocninnou funkci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

1 dx. (x + 6)3 I=

Z

1 dx (x + 6)3

Z = (x + 6)−3 dx

(x + 6)−2 = −2 1 =− +C 2(x + 6)2

•

Z

f (ax + b) dx =

1 F (ax + b), kde F je integrál z f . a

• V našem případě je f (x) = x −3 , F (x) = ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

x −2 a a = 1. −2 c


Najděte

Z

♣

1 dx. (x + 6)3 I=

Z

1 dx (x + 6)3

Z = (x + 6)−3 dx

(x + 6)−2 = −2 1 =− +C 2(x + 6)2

Upravíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte následující integrály. Z

1 1 dx = ln |2x + 5| + C 2x + 5 2 Z Z 1 dx = (2 − 1 · x)−5 dx (2 − x)5

Z Z

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

−4

(2 − x) 1 · −4 −1 1 +C = 4(2 − x)4 =

e−x dx = −e−x + C e3x dx =

1 3x e +C 3

Základní vzorce

c




Z

⊳⊳

⊳

•

Z

1 dx = ln |x| x

•

Z

f (ax + b) dx =

⊲

⊲⊲

Z

−4

(2 − x) 1 · −4 −1 1 +C = 4(2 − x)4 =


1 3x e +C 3

1 F (ax + b), v našem případě a = 2. a Základní vzorce

c




Z Z

−4

(2 − x) 1 · −4 −1 1 +C = 4(2 − x)4 =


1 3x e +C 3

Přepíšeme na mocninnou funkci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c




Z

⊳⊳

⊳

•

Z

x n dx =

•

Z

f (ax + b) dx =

⊲

⊲⊲

Z

−4

(2 − x) 1 · −4 −1 1 +C = 4(2 − x)4 =


1 x n+1 n+1

1 3x e +C 3

1 F (ax + b), v našem případě a = −1. a Základní vzorce

c




Z Z

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

−4

(2 − x) 1 · −4 −1 1 +C = 4(2 − x)4

=


1 3x e +C 3

Základní vzorce

c




Z

⊳⊳

⊳

•

Z

ex dx = ex

•

Z

f (ax + b) dx =

⊲

⊲⊲

Z

−4

(2 − x) 1 · −4 −1 1 +C = 4(2 − x)4

=


1 3x e +C 3

1 F (ax + b), v našem případě a = −1. a Základní vzorce

c



⊳⊳

⊳

•

Z

•

Z

⊲

ex dx = ex

1 1 dx = ln |2x + 5| + C 2x + 5 2 Z Z 1 dx = (2 − 1 · x)−5 dx (2 − x)5 −4

(2 − x) 1 1 · případě a = 3. f (ax + b) dx = F (ax + b), v=našem −4 −1 a 1 +C = 4(2 − x)4 Z e−x dx = −e−x + C Z 1 e3x dx = e3x + C 3

⊲⊲

Základní vzorce

c



Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1h 1 1 2 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C sin x dx = 2 2 2 Z Z Z 2 2 x 1 x −1+1 dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 =

=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x2 − x + ln |x + 1| + C 2

Základní vzorce

c



Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx

1 1 2x e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1h 1 1 2 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C sin x dx = 2 2 2 Z Z Z 2 2 x 1 x −1+1 dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 =

=

x2 − x + ln |x + 1| + C 2

Upravíme podle vzorce (a + b)2 : (ex + e−x )2 = e2x + 2ex e−x + e−2x = e2x + 2 + e−2x ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c



Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1h 1 1 2 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C sin x dx = 2 2 IntegrujemeZpodle vzorcůZ2 Z 2 2 x 1 x −1+1 Z dx = dx = x − 1 + dx x+1 x + 1x x+1 e dx = ex , x2 = − x +Z ln |x + 1| + C 2 1 dx = x , =

Z ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 f (ax + b) dx = F (ax + b) , kde a Základní vzorce

Z

f (x) dx = F (x). c



Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1h 1 1 2 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C sin x dx = 2 2 2 Z Z Z 2 2 x 1 x −1+1 dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 =

=

x2 − x + ln |x + 1| + C 2

Použijeme vzorec sin(2x) = 2 sin x cos x ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c



Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1h 1 1 2 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C sin x dx = 2 2 2 Z Z Z 2 2 x 1 x −1+1 dx = dx = x − 1 + dx Integrujeme podle vzorců x+1 x+1 x+1 =

=

x2 Z − x + ln |x + 1| + C 2 sin x dx = − cos x

a Z ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 f (ax + b) dx = F (ax + b) , kde a Základní vzorce

Z

f (x) dx = F (x). c



Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1 1h 1 2 sin x dx = 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C 2 2 2 Z Z Z 2 2 x 1 x −1+1 dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 =

=

x2 − x + ln |x + 1| + C 2

Vzorec sin2 x = ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 − cos(2x) 2

Základní vzorce

c



Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1 1 1h 2 sin x dx = 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C 2 2 2 Z Z Z 2 2 x 1 x −1+1 dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 =

=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x2 − x + ln |x + 1| + C 2 Z cos x dx = sin x Z 1 f (ax + b) = F (ax + b) a Základní vzorce

c



Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1 1h 1 2 sin x dx = 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C 2 2 2 Z Z 2 Z 2 x −1+1 x 1 dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 =

=

x2 − x + ln |x + 1| + C 2

Potřebujeme vydělit. K tomu je možno převést čitatel na tvar, který později umožní zkrátit. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c



Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1 1h 1 2 sin x dx = 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C 2 2 2 Z Z 2 Z 2 x −1+1 1 x dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 =

=

x2 − x + ln |x + 1| + C 2

x2 − 1 + 1 x2 − 1 1 1 = + =x−1+ x+1 x+1 x+1 x+1 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c



Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx

1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1 1h 1 2 sin x dx = 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C 2 2 2 Z Z 2 Z 2 x −1+1 1 x dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 =

Z

⊳⊳

x n dx = ⊳

⊲

⊲⊲

1 x n+1 , n+1

=

x2 − x + ln |x + 1| + C 2

Z

1 dx = ln |x|, x

Z

f (ax + b) dx =

Základní vzorce

1 f (ax + b) a c


Najděte

Z

♣

x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =

x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z

x2

dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 1 7 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 x−2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 1 x − 2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

·

1 1

+C

c


Najděte

Z

♣

x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =

x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z

x2

dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 1 7 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 x−2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 1 x − 2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5

·

1 1

+C

“Zašifrujeme” derivaci jmenovatele, tj. výraz (2x − 4), do čitatele.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =

x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z

x2

dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 1 7 = zlomek ln |x 2 − 4x 9| +se zlomky v prvním dx a druhém integrálu • Musíme upravit tak,+aby 2 (x − 2)2 + 5 rovnaly. 1 x−2 1 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ · • K těmto úpravám 2 použijeme jenom multiplikativní 5 5 a 1aditivní konstanty (nenadělají “moc velkou neplechu” při integraci). 1 x−2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ + C 2 1 5 5 • Přidáním násobku máme ve druhém zlomku v čitateli výraz 2 1 (2x − 4) = x − 2. Koeficient u x je v pořádku. 2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =

x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z

x2

dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 1 7 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 x−2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 1 • (2x − 4) = x 1− 2 x − 2 1 2 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 1 • (2x − 4) + 2 = x 2

·

1 1

+C

• Nyní je v čitateli jenom x. Chybí číslo 5. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =

x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z

x2

dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 1 7 2 1 dx 2 |x − 4x + 9| + • (2x − 4) ==x 2− ln (x − 2)2 + 5 2 1 x−2 1 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ • (2x − 4) + 2 = 2 x 5 5 2 1 x − 2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 1 • (2x − 4) + 2 + 5 = x + 5 2 5 5 2

·

1 1

+C

• První a druhý zlomek jsou stejné, nedopustili jsme se žádné úpravy, která by změnila hodnotu zlomku. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =

x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z

x2

dx 2 − 4x + 9 x Z 2x − 4 2+5 1 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 7 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 x−2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 1 x − 2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5

·

1 1

+C

Rozdělíme zlomek na dva. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =

x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z

x2

dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · dx + 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 7 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 1 x−2 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 1 x − 2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 Z

⊳⊳

·

1 1

+C

′

f (x) = ln |f (x)| + C f (x) ⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =

x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z

x2

dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · dx + 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 7 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 1 x−2 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 1 x − 2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 Doplníme na čtverec ve jmenovateli druhého zlomku.

·

1 1

+C

x 2 − 4x + 9 = x 2 − 2 · 2 · x + 22 − 4 + 9 = (x − 2)2 + 5 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =

x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z

x2

dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 1 7 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 1 x−2 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 x − 2 1 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 Z

⊳⊳

A2 ⊳

p 1 x 1 dx = arctg , kde v našem případě A = 5 2 A A +x ⊲

⊲⊲

Základní vzorce

·

1 1

+C

c


Najděte

Z

♣

x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =

x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z

x2

dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 1 7 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 1 x−2 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 x − 2 1 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 Z

⊳⊳

f (ax + b) dx = ⊳

⊲

⊲⊲

·

1 1

+C

1 F (ax + b), v našem případě a = 1 a Základní vzorce

c


Najděte

Z

♣

x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =

x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z

x2

dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 1 7 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 x−2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 x − 2 1 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5

·

1 1

+C

Upravíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Základní vzorce

c


3 Integrace per-partés Věta 6. Nechť funkce u a v mají derivace na intervalu I. Pak platí Z

Z

′

u(x)v (x) dx = u(x)v (x) − u′ (x)v (x) dx,

(2)

pokud integrál na pravé straně existuje.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Integrace per-partés

c


Věta 6. Nechť funkce u a v mají derivace na intervalu I. Pak platí Z Z u(x)v ′ (x) dx = u(x)v (x) − u′ (x)v (x) dx,

(3)

pokud integrál na pravé straně existuje. Důkaz: (uv)′ = u′ v + uv ′ Z Z (uv)′ dx = u′ v dx + uv ′ dx Z Z uv = u′ v dx + uv ′ dx Z Z uv − u′ v dx = uv ′ dx Z

derivace součinu zintegrování a linearita integrálu integrál odstraní derivaci algebraická úprava

Integrály typické pro výpočet metodou per-partés. P (x) je polynom. Z Z Z P (x)eαx dx, P (x) sin(αx) dx, P (x) cos(αx) dx, Z ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z P (x)arctg x dx, P (x)lnm x dx. Integrace per-partés

c


♣

Z Vypočtěte (x + 1) · ln x dx

Z

u = ln x

u′ =

1 x

v′ = x + 1

v=

x +x 2

(x + 1) ln x dx = 2

! 2 1 x = ln x − + x dx x 2 Z 1 x2 + x ln x − x + 1 dx = 2 2 ! ! 1 x2 x2 + x ln x − · +x = 2 2 2 ! 2 1 x = + x ln x − x 2 − x + C 4 Funkce je součinem polynomu a 2logaritmické funkce → per-partés. 2

x +x 2 !

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

!


Z

c


♣


Z

u = ln x

u′ =

1 x

v′ = x + 1

v=

x +x 2

(x + 1) ln x dx = 2

! 2 1 x = ln x − + x dx x 2 Z 1 x2 + x ln x − x + 1 dx = 2 2 ! ! Integrujeme per-partés pomocí vzorce 1 x2 x2 + x ln Zx − · +x Z = 2 2 2 u · v ′ dx2= u ·! v − u′ · v dx 1 x = + x ln x − x 2 − x + C 2 4 při u = ln x a v ′ = x + 1. 2

x +x 2 !

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

!


Z

c


♣


Z

u = ln x

u′ =

1 x

v′ = x + 1

v=

x +x 2

(x + 1) ln x dx = 2

! 2 1 x = ln x − + x dx x 2 Z 1 x2 + x ln x − x + 1 dx = 2 2 ! ! Integrujeme per-partés pomocí vzorce 1 x2 x2 + x ln Zx − · +x Z = 2 2 2 u · v ′ dx2= u ·! v − u′ · v dx 1 x = + x ln x − x 2 − x + C 2 4 při u = ln x a v ′ = x + 1. 2

x +x 2 !

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

!


Z

c


♣


Z

u = ln x

u′ =

1 x

v′ = x + 1

v=

x +x 2

(x + 1) ln x dx = 2

! 2 1 x = ln x − + x dx x 2 Z 1 x2 = + x ln x − x + 1 dx 2 2 ! ! Integrujeme per-partés pomocí vzorce 1 x2 x2 + x ln Zx − · +x Z = 2 2 2 u · v ′ dx2= u ·! v − u′ · v dx 1 x = + x ln x − x 2 − x + C 2 4 při u = ln x a v ′ = x + 1. 2

x +x 2 !

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

!


Z

c


♣


Z

u = ln x

u′ =

1 x

v′ = x + 1

v=

x +x 2

(x + 1) ln x dx = 2

! 2 1 x − + x dx x 2 Z 1 + x ln x − x + 1 dx 2 ! ! 1 x2 + x ln x − · +x 2 2 ! 1 + x ln x − x 2 − x + C 4 2

= ln x =

x2 2

=

x2 2

=

x 2

2

Roznásobíme závorku. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x +x 2 !

!


Z

c


♣


Z

u = ln x

u′ =

1 x

v′ = x + 1

v=

x +x 2

(x + 1) ln x dx = 2


= ln x =

x2 2

=

x2 2

=

x 2

2

Dokončíme integraci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x +x 2 !

!


Z

c


♣


Z

u = ln x

u′ =

1 x

v′ = x + 1

v=

x +x 2

(x + 1) ln x dx = 2


= ln x =

x2 2

=

x2 2

=

x 2

2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x +x 2 !

!


Z

c


Vypočtěte

Z

♣

x sin x dx

Z

u′ = 1

u=x x · sin x dx

v ′ = sin x Z

v = − cos x

= −x cos x − 1 · (− cos x) dx Z = −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + C

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

x sin x dx

Z

u′ = 1

u=x x · sin x dx

v ′ = sin x Z

v = − cos x


Integrujeme per-partés pomocí vzorce Z Z ′ u · v dx = u · v − u′ · v dx při u = x a v ′ = sin x. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

x sin x dx

Z

u′ = 1

u=x x · sin x dx

v ′ = sin x Z

v = − cos x



⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

x sin x dx

Z

u′ = 1

u=x x · sin x dx

v ′ = sin x Z

v = − cos x



⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

x sin x dx

Z

u′ = 1

u=x x · sin x dx

v ′ = sin x Z

v = − cos x


Upravíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

x sin x dx

Z

u′ = 1

u=x x · sin x dx

v ′ = sin x Z

v = − cos x


• Integruje druhou část:

Z

cos x dx = sin x

• Hotovo. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣

Z Vypočtěte (x − 2) · sin(2x) dx Z

u=x−2 (x − 2)sin(2x) dx =

u′ = 1

1 v = − cos 2x 2 Z 1 1 = (x − 2) · − cos(2x) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 cos 2x dx = − (x − 2) cos(2x) + 2 2 1 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + · sin(2x) + C 2 2 2 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + sin(2x) + C 2 4 v ′ = sin(2x)

Funkce je součinem polynomu a sinu → per-partés.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣


u=x−2 (x − 2)sin(2x) dx =

u′ = 1

1 v = − cos 2x 2 Z 1 1 = (x − 2) · − cos(2x) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 cos 2x dx = − (x − 2) cos(2x) + 2 2 1 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + · sin(2x) + C 2 2 2 1 1 − 2) cos(2x) + sin(2x) + C = − (x vzorce Integrujeme per-partés pomocí 2 4 Z Z u · v ′ dx = u · v − u′ · v dx v ′ = sin(2x)

při u = x − 2 a v ′ = sin(2x).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣


(x − 2)sin(2x) dx =

1 v = − cos 2x 2 Z 1 1 = (x − 2) · − cos(2x) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 cos 2x dx = − (x − 2) cos(2x) + 2 2 1 1 1 Z = − (x −Z2) cos(2x) + · sin(2x) + C 2 2 12 v = v ′ (x) 1 dx = sin(2x) dx =1− cos(2x), 2 +C = − (x − 2) cos(2x) + sin(2x) 2 4

Platí

protože Z ⊳⊳

⊳

⊲

u′ = 1

u=x−2

⊲⊲

v ′ = sin(2x)

sin x dx = − cos x

a

Z

f (ax + b) =


1 F (ax + b). a c


♣


u=x−2 (x − 2)sin(2x) dx =

1 v = − cos 2x 2 Z 1 1 = (x − 2) · − cos(2x) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 cos 2x dx = − (x − 2) cos(2x) + 2 2 1 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + · sin(2x) + C 2 2 2 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + sin(2x) + C 2 4 Z

⊳⊳

⊳

⊲

u′ = 1

⊲⊲

v ′ = sin(2x)

′

Z

u · v dx = u · v − u′ · v dx Integrace per-partés

c


♣


u=x−2 (x − 2)sin(2x) dx =


1 Vytkneme konstantu − z integrálu. 2

⊳⊳

⊳

⊲

u′ = 1

⊲⊲


c


♣


u=x−2 (x − 2)sin(2x) dx =

u′ = 1

1 v = − cos 2x 2 Z 1 1 = (x − 2) · − cos(2x) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 cos 2x dx = − (x − 2) cos(2x) + 2 2 1 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + · sin(2x) + C 2 2 2 Z 1 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + sin(2x) + C Platí cos(2x) dx = sin(2x), 2 protože 4 2 Z Z 1 cos x dx = sin x a f (ax + b) = F (ax + b). a ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

v ′ = sin(2x)


c


♣


u=x−2 (x − 2)sin(2x) dx =

u′ = 1


Upravíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣

Z Vypočtěte (x 2 + 1) sin x dx Z

u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx

u′ = 2x

v ′ = sin x

v = − cos x Z = −(x 2 + 1) cos x + 2 x · cos x dx u=x

u′ = 1

v ′ = cos x

v = sin x Z 2 = −(x + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx = −(x 2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x) = (1 − x 2 ) cos x + 2x sin x + C

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣


u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx

u′ = 2x

v ′ = sin x


u′ = 1

v ′ = cos xa funkce v = sinus. sin x • Funkce je součinem polynomu Z 2 = −(x +podle 1) cosvzorce x + 2 x sin x − sin x dx • Budeme integrovat per-partés Z Z = −(x′2 + 1) cos x + 2 ′x sin x − (− cos x) u · v dx = u · v − u · v dx = (1 − x 2 ) cos x + 2x sin x + C 2 při volbě u = (x + 1) a v ′ = sin x. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣


u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx

u′ = 2x

v ′ = sin x


u′ = 1

v ′ = cos x

v = sin x Z 2 = −(x + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx = −(x 22+ 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x) ′ (x + 1) = 2x Z = (1 − x 2 ) cos x + 2x sin x + C sin x dx = − cos x ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣


u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx

u′ = 2x

v ′ = sin x


u′ = 1

v ′ = cos x

v = sin x Z 2 = −(x + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx = −(x 2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x) Z Z 2 ′ ′ sin x + C − x= )ucos x + u2x u=· v(1dx ·v − · v dx Konstantní násobek 2 a znaménko minus dáme před integrál. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣


u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx

u′ = 2x

v ′ = sin x


u′ = 1

v ′ = cos x


Ještě jednou integrujeme per-partés. Nyní u = x a v ′ = cos x. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣


u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx

u′ = 2x

v ′ = sin x


u′ = 1

v ′ = cos x

v = sin x Z 2 = −(x + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx = −(x 2 + 1) ′ cos x + 2 x sin x − (− cos x) x =1 Z 2 = (1 − x ) cos x + 2x sin x + C cos x dx = sin x ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣


u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx

u′ = 2x

v ′ = sin x


u′ = 1

v ′ = cos x

v = sin x Z 2 = −(x + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx = −(x 2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x) Z Z = (1 − x 2 ) cos x + 2x sin x + C ′ u · v dx = u · v − u′ · v dx ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣


u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx

u′ = 2x

v ′ = sin x


u′ = 1

v ′ = cos x

v = sin x Z 2 = −(x + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx = −(x 2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x) Integrujeme sinus: ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

= (1 − x 2 ) cos x + 2x sin x + C

sin x dx = − cos x


c


♣


u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx

u′ = 2x

v ′ = sin x


u′ = 1

v ′ = cos x


Upravíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣

Z

Vypočtěte (x 2 + 1)e−x dx.

Z

(x + 1)·e 2

−x

u = x2 + 1

u′ = 2x

v ′ = e−x

v = −e−x

dx

= −(x + 1)e

−x

= −(x + 1)e

−x

2

2

Z u=x + 2 xe−x dx

v ′ = e−x

u′ = 1 v = −e−x

Z −x + 2 −xe + e−x dx

= −(x 2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x ) = −e−x (x 2 + 2x + 3) + C,

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣

Z


Z

(x + 1)·e 2

−x

u = x2 + 1

u′ = 2x

v ′ = e−x

v = −e−x

dx

= −(x + 1)e

−x

= −(x + 1)e

−x

2

2

Z u=x + 2 xe−x dx

v ′ = e−x

u′ = 1 v = −e−x

Z −x + 2 −xe + e−x dx

= −(x 2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x ) = −e−x (x 2 + 2x + 3) + C, Integruje součin polynomu a exponenciální funkce. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣

Z


Z

(x + 1)·e 2

−x

u = x2 + 1

u′ = 2x

v ′ = e−x

v = −e−x

dx

= −(x + 1)e 2

−x

Z u=x + 2 xe−x dx

v ′ = e−x

u′ = 1 v = −e−x

Z • Integrujeme per-partés. 2 −x −x = −(x + 1)e + 2 −xe + e−x dx • Polynom budeme derivovat a exponencielu integrovat. Z −x + 2(−xe−x − e−x ) = −e−x (x 2 + 2x + 3) + C, = −(x 2 + 1)e • Nezapomeňme, že e−x dx = −e−x . ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣

Z


Z

(x + 1)·e 2

−x

u = x2 + 1

u′ = 2x

v ′ = e−x

v = −e−x

dx

= −(x + 1)e

−x

= −(x + 1)e

−x

2

2

Vzorec je

v ′ = e−x

u′ = 1 v = −e−x

Z −x + 2 −xe + e−x dx

Z −x + 2(−xe−x − e Z −x ) = −e−x (x 2 + 2x + 3) + C, = −(x 2 + 1)e u · v ′ dx = u · v − u′ · v dx

. ⊳⊳

Z u=x + 2 xe−x dx

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣

Z


Z

(x + 1)·e 2

−x

u = x2 + 1

u′ = 2x

v ′ = e−x

v = −e−x

dx

= −(x + 1)e

−x

= −(x + 1)e

−x

2

2

Z u=x + 2 xe−x dx

v ′ = e−x

u′ = 1 v = −e−x

Z −x + 2 −xe + e−x dx

−x • Opět polynom exponenciální funkce. = −(x 2krát + 1)e + 2(−xe−x − e−x ) = −e−x (x 2 + 2x + 3) + C,

• Opět integrujeme per-partés. Opět derivujeme polynom. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣

Z


Z

(x + 1)·e 2

−x

u = x2 + 1

u′ = 2x

v ′ = e−x

v = −e−x

dx

= −(x + 1)e

−x

= −(x + 1)e

−x

2

2

Z u=x + 2 xe−x dx

v ′ = e−x

u′ = 1 v = −e−x

Z −x + 2 −xe + e−x dx

= −(x 2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x ) = −e−x (x 2 + 2x + 3) + C, Z Z Vzorec pro červenou část je uv ′ dx = uv − u′ v dx, zbytek zůstane.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣

Z


Z

(x + 1)·e 2

−x

u = x2 + 1

u′ = 2x

v ′ = e−x

v = −e−x

dx

= −(x + 1)e

−x

= −(x + 1)e

−x

2

2

Z

⊳⊳

Z u=x + 2 xe−x dx

v ′ = e−x

u′ = 1 v = −e−x

Z −x + 2 −xe + e−x dx

= −(x 2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x ) = −e−x (x 2 + 2x + 3) + C, e−x dx = −e−x ⊳

⊲

⊲⊲


c


♣

Z


Z

(x + 1)·e 2

−x

u = x2 + 1

u′ = 2x

v ′ = e−x

v = −e−x

dx

= −(x + 1)e

−x

= −(x + 1)e

−x

2

2

Z u=x + 2 xe−x dx

v ′ = e−x

u′ = 1 v = −e−x

Z −x + 2 −xe + e−x dx

= −(x 2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x ) = −e−x (x 2 + 2x + 3) + C, Vytkneme (−e−x ). ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣ x arctg x dx.

u = arctg x Z

u′ =

=

x arctg x dx

x2 1 = arctg x − 2 2 =

⊳

1 x2 arctg x − 2 2

2

v′ = x

⊳⊳

1 1 + x2

⊲

⊲⊲

v= Z

x 2

1−

Z

x2 dx 1 + x2

1 dx 1 + x2

1 x2 x − arctg x + C. arctg x − 2 2


c


Vypočtěte

Z

♣ x arctg x dx.

u = arctg x Z

u′ =

1 1 + x2 =

x arctg x dx

1 x2 arctg x − 2 2

2

v′ = x x2 1 = arctg x − 2 2 =

v= Z

x 2

1−

Z

x2 dx 1 + x2

1 dx 1 + x2


Jedná se o součin polynomu a funkce arkustangens. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣ x arctg x dx.

u = arctg x Z

u′ =

1 1 + x2 =

x arctg x dx

1 x2 arctg x − 2 2

2

v′ = x x2 1 = arctg x − 2 2 =

v= Z

x 2

1−

Z

x2 dx 1 + x2

1 dx 1 + x2


Budeme integrovat metodou per-partés. Budeme integrovat polynom a derivovat arkustangens. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣ x arctg x dx.

u = arctg x Z

u′ =

=

x arctg x dx

1 x2 arctg x − = 2 2 =

⊳⊳

⊲

⊲⊲

v= Z

x 2

1−

Z

x2 dx 1 + x2

1 dx 1 + x2


Z uv ′ dx = uv − u′ v dx ⊳

1 x2 arctg x − 2 2

2

v′ = x

Z

1 1 + x2


c


Vypočtěte

Z

♣ x arctg x dx.

u = arctg x Z

u′ =

1 1 + x2 =

x arctg x dx

1 x2 arctg x − 2 2

2

v′ = x 1 x2 arctg x − = 2 2

v= Z

x 2

1−

Z

x2 dx 1 + x2

1 dx 1 + x2

Musíme integrovat racionální funkci. Nejprve provedeme dělení: 1 x2 x − arctg x + C. arctg x − = 2 2 2 (x + 1) − 1 x 2 + 1 x2 1 1 = = − =1− 2 2 2 2 2 x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣ x arctg x dx.

u = arctg x Z

u′ =

1 1 + x2 =

x arctg x dx

1 x2 arctg x − 2 2

2

v′ = x x2 1 = arctg x − 2 2 =

v= Z

x 2

1−

Z

x2 dx 1 + x2

1 dx 1 + x2


K dokončení zbývá integrovat jedničku a jeden zlomek. To provedeme pomocí příslušných vzorců. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

ln x dx

Z

u = ln x 1 · ln x dx v′ = 1

u′ =

1 x

v=x

Z = x ln x − 1 dx = x ln x − x

= x(ln x − 1) + C

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

ln x dx

Z

u = ln x 1 · ln x dx v′ = 1

u′ =

1 x

v=x


= x(ln x − 1) + C

Ve funkci je “zašifrovaný” součin polynomu a logaritmické funkce: Z 1 · ln x dx. Integrujeme per-partés při volbě u = ln x a v ′ = 1. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

ln x dx

Z

u = ln x 1 · ln x dx v′ = 1

u′ =

1 x

v=x


= x(ln x − 1) + C

1 (ln x)′ = x Z 1 dx = x ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

ln x dx

Z

u = ln x 1 · ln x dx v′ = 1

u′ =

1 x

v=x


= x(ln x − 1) + C

Užijeme vztah ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 x = 1. x

Z

Z u · v ′ dx = u · v − u′ · v dx


c


Vypočtěte

Z

♣

ln x dx

Z

u = ln x 1 · ln x dx v′ = 1

u′ =

1 x

v=x


= x(ln x − 1) + C

Z

⊳⊳

1 dx = x ⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

ln x dx

Z

u = ln x 1 · ln x dx v′ = 1

u′ =

1 x

v=x


= x(ln x − 1) + C

Hotovo. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣

ln2 x dx

2

u = ln2 x

u′ =

1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x

2 ln x x

Z

= x ln x − 2 ln x dx

v =x u′ =

2

1 x

v′ = 1

v =x Z = x ln2 x − 2 x ln x − 1 dx = x ln2 x − 2 x ln x − x

= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣

ln2 x dx

2

u = ln2 x

u′ =

1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x

2 ln x x

v =x u′ =

2

Z


1 x

v′ = 1

v =x Z = x ln2 x − 2 x ln x − 1 dx = x ln2 x − 2 x ln x − x • Je zde “zašifrován” součin polynomu a druhé mocniny logaritmu. = x ln2 x − 2x ln x + 2x + C • Upravíme funkci ln2 x na součin (1) · (ln2 x) a integrujeme per-partés při volbě u = ln2 x a v ′ = 1 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣

ln2 x dx

2

u = ln2 x

u′ =

1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x

2 ln x x

2


v =x u′ =

Z

1 x

v′ = 1

v =x Z = x ln2 x − 2 x ln x − 1 dx = x ln2 x − 2 x ln x − x 1 (ln2 x)′ = 2 ln x(ln x)′ = 2 ln x x = x ln2 x − 2x ln x + 2x + C Z 1 dx = x ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣

ln2 x dx

2

u = ln2 x

u′ =

1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x

2 ln x x

Z


v =x u′ =

2

1 x

v′ = 1


= xZ ln2 x − 2x ln x + 2xZ + C

u · v ′ dx = u · v − u′ · v dx

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣

ln2 x dx

2

u = ln2 x

u′ =

1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x

2 ln x x

Z


v =x u′ =

2

1 x

v′ = 1


= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C

Tento trik již známe: Napíšeme funkci ln x jako součin (1) · ln x a integrujeme per-partés při volbě u = ln x a v ′ = 1. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣

ln2 x dx

2

u = ln2 x

u′ =

1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x

2 ln x x

Z


v =x u′ =

2

1 x

v′ = 1

v =x Z = x ln2 x − 2 x ln x − 1 dx = x ln2 x − 2 x ln x − x 1 (ln x)′ = x = x ln2 x − 2x ln x + 2x +C Z 1 dx = x ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣

ln2 x dx

2

u = ln2 x

u′ =

1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x

2 ln x x

Z


v =x u′ =

2

1 x

v′ = 1


= xZ ln2 x − 2x ln x + 2xZ + C

u · v ′ dx = u · v − u′ · v dx

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣

ln2 x dx

2

u = ln2 x

u′ =

1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x

2 ln x x

Z


v =x u′ =

2

1 x

v′ = 1

v =x Z = x ln2 x − 2 x ln x − 1 dx = x ln2 x − 2 x ln x − x = x ln2 x − 2x ln x + 2x + C Dopočítáme integrál z jedničky. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣

ln2 x dx

2

u = ln2 x

u′ =

1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x

2 ln x x

Z


v =x u′ =

2

1 x

v′ = 1

v =x Z = x ln2 x − 2 x ln x − 1 dx = x ln2 x − 2 x ln x − x = x ln2 x − 2x ln x + 2x + C

Upravíme. Hotovo. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Najděte

Z

Z

♣

x 3 sin x dx.

u = x3

3x 2

6x

6

0

v ′ = sin x

− cos x

− sin x

cos x

sin x

x 3 sin x dx =

= −x 3 cos x − (−3x 2 sin x) + 6x cos x − 6 sin x

= (−x 3 + 6x) cos(x) + (3x 2 − 6) sin x + C

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Najděte

Z

♣

x 3 sin x dx. derivace

u=x Z

3

derivace

3x 2

derivace

6x

derivace

6

0

x 3 sin x dx = integrace

v ′ = sin x

integrace

− cos x

integrace

− sin x

integrace

cos x

sin x

= −x 3 cos x − (−3x 2 sin x) + 6x cos x − 6 sin x

= (−x 3 + 6x) cos(x) + (3x 2 − 6) sin x + C

• Třikrát integrujeme per-partés, ale všechno zapíšeme do jednoho schematu. • Žlutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu. • Červená šipka reprezentuje integrování. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Najděte

Z

u = x3 Z

♣

x 3 sin x dx.

x 3 sin x dx = v ′ = sin x

so u

3x 2 čin

so u

6x čin

− cos x

− sin x

so u

6 čin

cos x

so u

0 čin

sin x

= −x 3 cos x − (−3x 2 sin x) + 6x cos x − 6 sin x = (−x 3 + 6x) cos(x) + (3x 2 − 6) sin x + C

Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek znaménko ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko změníme a všechny součiny sečteme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Najděte

Z

Z

♣

x 3 sin x dx.

u = x3

3x 2

6x

6

0

v ′ = sin x

− cos x

− sin x

cos x

sin x

x 3 sin x dx =

= −x 3 cos x − (−3x 2 sin x) + 6x cos x − 6 sin x = (−x 3 + 6x) cos(x) + (3x 2 − 6) sin x + C

Upravíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣

Z Najděte (x 3 + 2x)e−x dx. Z

(x 3 + 2x)e−x dx u = x + 2x

3

3x + 2

2

6x

6

0

v ′ = e−x

−e−x

e−x

−e−x

e−x

=

= −(x 3 + 2x)e−x − (3x 2 + 2)e−x + (−6xe−x ) − 6e−x

= −e−x (x 3 + 2x + 3x 2 + 2 + 6x + 6)

= −e−x (x 3 + 3x 2 + 8x + 8)

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣


(x 3 + 2x)e−x dx derivace 3

u = x + 2x

derivace 2

3x + 2

derivace

6x

derivace

6

0

= integrace ′

v =e

−x

integrace

−e

−x

integrace

e

−x

−e

integrace −x

e−x

= −(x 3 + 2x)e−x − (3x 2 + 2)e−x + (−6xe−x ) − 6e−x

= −e−x (x 3 + 2x + 3x 2 + 2 + 6x + 6)

3 −e−x (x + 3x 2 + 8x + 8) •=Třikrát integrujeme per-partés, ale všechno zapíšeme do jednoho schematu.

• Žlutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu. • Červená šipka reprezentuje integrování. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣


(x 3 + 2x)e−x dx 3

u = x + 2x = v ′ = e−x

2

so u

3x + 2 čin

−e−x

so u

6x čin

e−x

so u

6 čin

−e−x

so u

0 čin

e−x

= −(x 3 + 2x)e−x − (3x 2 + 2)e−x + (−6xe−x ) − 6e−x = −e−x (x 3 + 2x + 3x 2 + 2 + 6x + 6)

= −e−x (x 3 + 3x 2 + 8x + 8)

Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek znaménko ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko změníme a všechny součiny sečteme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


♣


(x 3 + 2x)e−x dx u = x + 2x

3

3x + 2

2

6x

6

0

v ′ = e−x

−e−x

e−x

−e−x

e−x

=

= −(x 3 + 2x)e−x − (3x 2 + 2)e−x + (−6xe−x ) − 6e−x = −e−x (x 3 + 2x + 3x 2 + 2 + 6x + 6)

= −e−x (x 3 + 3x 2 + 8x + 8)

Upravíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


4 Integrace pomocí substituce. Věta 7. Nechť f (t) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce ϕ(x) má derivaci na intervalu J a platí ϕ(J) = I. Potom na intervalu J platí Z Z (4) f (ϕ(x))ϕ′ (x) dx = f (t) dt, dosadíme-li napravo t = ϕ(x).

Schematicky: ϕ(x) = t

ϕ′ (x) dx = dt

Věta 8. Nechť f (x) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce ϕ(t) má nenulovou derivaci na intervalu J a platí ϕ(J) = I. Potom na intervalu I platí Z Z f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ′ (t) dt, (5) dosadíme-li napravo t = ϕ−1 (x), kde ϕ−1 (x) je funkce inverzní k funkci ϕ(x). Schematicky: x = ϕ(t) ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

dx = ϕ′ (t) dt

Integrace pomocí substituce.

c


Vypočtěte

♣

Z

sin(ln x) dx x

Z

sin(ln x) dx = x

Z

sin(ln x)

1 dx x

ln x = t 1 dx = dt x

=

Z

sin t dt

= − cos t = − cos(ln x) + C

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

♣

Z

sin(ln x) dx x

Z

sin(ln x) dx = x

Z

sin(ln x)

1 dx x


=

Z

sin t dt


• Vnitřní složka je ln x. • Derivace funkce ln x je • Tato derivace, ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1 . x

1 , je v součinu s integrovanou funkcí. x Integrace pomocí substituce.

c


Vypočtěte

♣

Z

sin(ln x) dx x

Z

sin(ln x) dx = x

Z

sin(ln x)

1 dx x


=

Z

sin t dt


Zavedeme substituci ln x = t. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

♣

Z

sin(ln x) dx x

Z

sin(ln x) dx = x

Z

sin(ln x)

1 dx x


=

Z

sin t dt


Nalezneme vztah mezi dx a dt. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

♣

Z

sin(ln x) dx x

Z

sin(ln x) dx = x

Z

sin(ln x)

1 dx x


=

Z

sin t dt


Dosadíme substituci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

♣

Z

sin(ln x) dx x

Z

sin(ln x) dx = x

Z

sin(ln x)

1 dx x


=

Z

sin t dt


Integrujeme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

♣

Z

sin(ln x) dx x

Z

sin(ln x) dx = x

Z

sin(ln x)

1 dx x


=

Z

sin t dt


Použijeme substituci k návratu k proměnné x a přidáme integrační konstantu. Hotovo. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

2

xe1−x dx.

Z

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

2

xe1−x dx

1 − x2 = t

−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 et dt =− 2 1 = − et 2 2 1 = − e1−x 2


c


Vypočtěte

Z

♣

2

xe1−x dx.

Z

2

xe1−x dx

1 − x2 = t


2

Zkusíme substituovat za vnitřní složku složené funkce e1−x . ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

2

xe1−x dx.

Z

2

xe1−x dx

1 − x2 = t


Hledáme vztah mezi diferenciály. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

2

xe1−x dx.

Z

2

xe1−x dx

1 − x2 = t


Derivujeme obě strany substituce. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

2

xe1−x dx.

Z

2

xe1−x dx

1 − x2 = t


Vyjádříme odsud výraz x dx, který figuruje uvnitř integrálu. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

2

xe1−x dx.

Z

2

xe1−x dx

1 − x2 = t

−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 =− et dt 2 1 = − et 2 2 1 = − e1−x 2

Dosadíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

2

xe1−x dx.

Z

2

xe1−x dx

1 − x2 = t


Vypočtěte integrál pomocí vzorce. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

2

xe1−x dx.

Z

2

xe1−x dx

1 − x2 = t


Použijeme substituci pro návrat k původní proměnné. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣

x dx x 4 + 16 x2 = t Z 2x dx = dt x dx 1 x 4 + 16 x dx = dt 2 x 4 = t2

=

1 2

Z

1 dt t2 + 16

2

=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

t 1 x 1 arctg = arctg +C 8 4 8 4


c


Vypočtěte

Z

♣


=

1 2

Z

1 dt t2 + 16

2

=


• Substituce x 4 + 16 = t, nebo x 4 = t, nejsou úplně šikovné, protože vztah mezi diferenciály při této substituci je 4x 3 dx = dt, avšak člen x 3 dx nikde v integrálu není. • Člen x dx napovídá, použít substituci x 2 = t. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣


=

1 2

Z

1 dt t2 + 16

2

=


Hledáme vztah mezi diferenciály a vyjádříme z něj výraz x dx. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣


=

1 2

Z

1 dt t2 + 16

2

=


Substituce x 2 = t vede k relaci x 4 = (x 2 )2 = t2 . ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣


=

1 2

Z

1 dt t2 + 16

2

=

1 t 1 x arctg = arctg +C 8 4 8 4

Dosadíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

♣


=

1 2

Z

1 dt t2 + 16

2

=

1 t 1 x arctg = arctg +C 8 4 8 4

Užijeme vzorec

při A = 4. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

x2

x 1 1 dx = arctg 2 A A +A Integrace pomocí substituce.

c


Vypočtěte

Z

♣


=

1 2

Z

1 dt t2 + 16

2

=


Užijeme zpětnou substituci t = x 2 . Hotovo. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

√

♣

x+1

e dx √ x+1

√

x+1

e dx = √ x+1

=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

√

e

Z

et 2 dt = 2et = 2e

√

1 x+1

x+1=t

1

Z

x+1

p

dx


dx = dt √ 2 x+1 1 dx = 2 dt √ x+1 √

x+1

+C

c


Vypočtěte

Z

Z

√

♣

x+1

e dx √ x+1

√

x+1

e dx = √ x+1

= Vnitřní složka je

√

e

Z

et 2 dt = 2et = 2e

√

1 x+1

x+1=t

1

Z

x+1

p

dx

dx = dt √ 2 x+1 1 dx = 2 dt √ x+1 √

x+1

+C

p x + 1. Derivace této vnitřní složky je

p 1 1 1 ( x + 1)′ = (x + 1)−1/2 = · √ . 2 2 x+1

Výskyt této člene √

1

uvnitř integrálu (a v součinu) napovídá, že provést x+1 tuto substituci bude snadné. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

√

♣

x+1

e dx √ x+1

√

x+1

e dx = √ x+1

=

√

e

Z

et 2 dt = 2et = 2e

√

1 x+1

x+1=t

1

Z

x+1

p

dx

dx = dt √ 2 x+1 1 dx = 2 dt √ x+1 √

x+1

+C

Použijeme navrženou substituci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

√

♣

x+1

e dx √ x+1

√

x+1

e dx = √ x+1

=

√

e

Z

et 2 dt = 2et = 2e

√

1 x+1

x+1=t

1

Z

x+1

p

dx

dx = dt √ 2 x+1 1 dx = 2 dt √ x+1 √

x+1

+C

Najdeme vztah mezi diferenciály dx a dt. Dostáváme 1 1 dx = dt √ 2 x+1 a tuto relaci vynásobíme číslem 2. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

√

♣

x+1

e dx √ x+1

√

x+1

e dx = √ x+1

=

√

e

Z

et 2 dt = 2et = 2e

√

1 x+1

x+1=t

1

Z

x+1

p

dx

dx = dt √ 2 x+1 1 dx = 2 dt √ x+1 √

x+1

+C

Dosadíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

√

♣

x+1

e dx √ x+1

√

x+1

e dx = √ x+1

=

√

e

Z

et 2 dt = 2et = 2e

√

1 x+1

x+1=t

1

Z

x+1

p

dx

dx = dt √ 2 x+1 1 dx = 2 dt √ x+1 √

x+1

+C

Zintegrujeme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

√

♣

x+1

e dx √ x+1

√

x+1

e dx = √ x+1

=

Užijeme substituci t = ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

√

e

Z

et 2 dt = 2et = 2e

√

1 x+1

x+1=t

1

Z

x+1

p

dx

dx = dt √ 2 x+1 1 dx = 2 dt √ x+1 √

x+1

+C

p x + 1 k návratu k původní proměnné. Hotovo. Integrace pomocí substituce.

c


Vypočtěte

Z

Z

♣ tg3 x dx.

tg3 x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x

cos x = t − sin x dx = dt sin x dx = − dt

= ln |t| +

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Z

sin2 x sin x dx = cos3 x

=

Z

Z

1 − t2 − dt = t3

Z

1 − cos2 x sin x dx cos3 x t2 − 1 dt = t3

Z

1 − t−3 dt t

1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x


c


Vypočtěte

Z

Z

♣ tg3 x dx.

tg3 x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x


= ln |t| +

Z


=

Z

Z

1 − t2 − dt = t3

Z


Z

1 − t−3 dt t

1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x

• Rozepíšeme funkci tg x pomocí funkcí sin x a cos x. • Lichá mocnina je i v čitateli, i ve jmenovateli. Vybereme si tu v čitateli. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣ tg3 x dx.

tg3 x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x


= ln |t| +

Z


=

Z

Z

1 − t2 − dt = t3

1 − cos2 x sin x dx cos3 x

Z

t2 − 1 dt = t3

Z

1 − t−3 dt t

1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x

“Vytáhneme” jednu mocninu funkce sin x z čitatele. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣ tg3 x dx.

tg3 x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x


= ln |t| +

Z


=

Z

Z

1 − t2 − dt = t3

Z


Z

1 − t−3 dt t

1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x

Sudou mocninu převedeme na funkci cos x. Užijeme identitu sin2 x + cos2 x = 1. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣ tg3 x dx.

tg3 x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x


= ln |t| +

Z


=

Z

Z

1 − t2 − dt = t3

Z


Z

1 − t−3 dt t

1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x

Dosadíme cos x = t. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣ tg3 x dx.

tg3 x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x


= ln |t| +

Z


=

Z

Z

1 − t2 − dt = t3

Z


Z

1 − t−3 dt t

1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x

Nalezneme vztah mezi diferenciály dx a dt. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣ tg3 x dx.

tg3 x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x


= ln |t| +

Z


=

Z

Z

1 − t2 − dt = t3

Z


Z

1 − t−3 dt t

1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x

Přepíšeme výraz sin x dx do nových proměnných. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣ tg3 x dx.

tg3 x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x


= ln |t| +

Z


=

Z

Z

1 − t2 − dt = t3

Z


Z

1 − t−3 dt t

1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x

Dosadíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣ tg3 x dx.

tg3 x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x


= ln |t| +

Z


=

Z

Z

1 − t2 − dt = t3

Z


Z

1 − t−3 dt t

1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x

Upravíme ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣ tg3 x dx.

tg3 x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x


= ln |t| +

Z


=

Z

Z

1 − t2 − dt = t3

Z


Z

1 − t−3 dt t

1 −2 1 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x

Protože je jmenovatel jednočlenný, stačí vydělit čitatele výrazem t3 . ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣ tg3 x dx.

tg3 x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x

cos x = t − sin x dx = dt

Z


=

sin x dx = − dt

= ln |t| +

Z

Z

1 − t2 − dt = t3

Z


Z

1 − t−3 dt t

1 −2 1 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x

Nyní integrujeme pomocí vzorců. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

♣ tg3 x dx.

tg3 x dx =

Z

sin3 x dx = cos3 x


= ln |t| +

Z


=

Z

Z

1 − t2 − dt = t3

Z


Z

1 − t−3 dt t

1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x

Po integraci provedeme návrat k původní proměnné a přidáme integrační konstantu. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Z √ 3x + 2 − 1 Vypočtěte dx. x+1

♣

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 t−1 2 dx = t dt = · t dt 3 1 2 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z 2 Z Z t −t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 1 1 t − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C =2 1− 2 t2 + 1 t2 + 1 p p = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C

Z√ 3x + 2 − 1 dx x+1

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c



♣

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 3x + 2 − 1 t−1 2 dx = t dt dx = · t dt 3 1 2 x+1 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z 2 Z Z t −t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 1 1 t − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C =2 1− 2 t2 + 1 t2 + 1 p p + 2 je pod odmocninou. Užijeme • Člen 3x substituci, která umožní tuto = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C odmocninu odstranit. Z√

• Budeme dosazovat 3x + 2 = t2 .

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c



♣

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 3x + 2 − 1 t−1 2 dx = t dt dx = · t dt 3 1 2 x+1 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z 2 Z Z t −t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 1 1 t − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C =2 1− 2 t2 + 1 t2 + 1 p p = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C

Z√

Nalezneme vztah mezi dx a dt. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c



♣


Z√

Vyjádříme dx. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c



♣


Z√

Vyjádříme proměnnou x. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c



♣


Z√

Přichystáme si zpětnou substituci. Vyjádříme t pomocí x. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c



♣

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 t−1 2 dx = t dt = · t dt 3 1 2 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z Z 2 Z t−1 t −t −t − 1 =2 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 1 1 t − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C =2 1− 2 t2 + 1 t2 + 1 p p = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C

Z√ 3x + 2 − 1 dx x+1

Provedeme substituci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c



♣

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 3x + 2 − 1 2 t−1 dx = t dt dx = · t dt 3 1 2 x+1 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z 2 Z Z t −t −t − 1 t−1 =2 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 1 1 t − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C =2 1− 2 t2 + 1 t2 + 1 p p = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C

Z√

Upravíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c



♣


Z√

Převedeme na jeden zlomek. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c



♣

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 3x + 2 − 1 t−1 2 dx = t dt dx = · t dt 3 1 2 x+1 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z Z 2 Z −t − 1 t −t t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 1 1 t − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C =2 1− 2 t2 + 1 t2 + 1 p p Vydělíme= 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C 2 2 (t + 1) + (−t − 1) −t − 1 t −t = = 1+ 2 2 t +1 t +1 t2 + 1 Z√

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c



♣

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 3x + 2 − 1 t−1 2 dx = t dt dx = · t dt 3 1 2 x+1 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z 2 Z Z t −t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 t 1 1 =2 1− − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C 2 t2 + 1 t2 + 1 p p = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C Získaná funkce je zlomek, který před integrováním rozdělíme na součet zlomku, který má v čitateli derivaci jmenovatele, a zlomku, který má v čitateli jen konstantu. Oba zlomky pak snadno zintegrujeme. Z√

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c



♣

3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 3x + 2 − 1 t−1 2 dx = t dt dx = · t dt 3 1 2 x+1 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z 2 Z Z t −t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 t 1 1 =2 1− − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C 2 t2 + 1 t2 + 1 p p = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C Integrace je již snadná. Užijeme vztah Z Z t 2t 1 1 dt = dt = ln(t2 + 1). 2 2 2 t +1 2 t +1 Z√

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c



♣


Z√

Roznásobíme závorku a provedeme zpětnou substituci pro návrat k proměnné x. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

1+

√ x−1 dx. x

√ 1+ x−1 dx = x

♣

x − 1 = t2

dx = 2t dt

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

= 2 x = t + 1 p x−1=t Z 2 Z Z t +t t−1 1+t · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p 1 =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C 2

Funkce obsahuje odmocninu z lineárního výrazu – zavedeme substituci na odstranění odmocniny. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

1+

√ x−1 dx. x

√ 1+ x−1 dx = x

♣

x − 1 = t2

dx = 2t dt

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1


Výraz pod odmocninou je druhá mocnina nové proměnné. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

1+

√ x−1 dx. x

√ 1+ x−1 dx = x

♣

x − 1 = t2

dx = 2t dt

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

= 2 x = t + 1 p x−1=t Z 2 Z Z t +t t−1 1+t · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p Nalezneme vztah mezi diferenciály dx 1 a dt =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C • (x − 1)′ = 1 (derivace podle x) 2 • (t2 )′ = 2t (derivace podle t) ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

1+

√ 1+ x−1 dx = x

⊳

⊲

♣

x − 1 = t2

dx = 2t dt

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1


Nalezneme x a ⊳⊳

√ x−1 dx. x

⊲⊲

p

x − 1 ze substitučního vztahu. Integrace pomocí substituce.

c


Vypočtěte

Z

Z

1+

√ x−1 dx. x

√ 1+ x−1 dx = x

♣

x − 1 = t2

dx = 2t dt

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1


Dosadíme podle substituce. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

1+

√ x−1 dx. x

√ 1+ x−1 dx = x

♣

x − 1 = t2

dx = 2t dt

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

= 2 x = t + 1 p x−1=t Z Z Z 2 t−1 1+t t +t · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p 1 =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C 2

Odmocníme t2 a vytkneme konstantu před integrál. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

1+

√ x−1 dx. x

√ 1+ x−1 dx = x

♣

x − 1 = t2

dx = 2t dt

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

= 2 x = t + 1 p x−1=t Z Z 2 Z 1+t t +t t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p 1 =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C 2

Převedeme na jeden zlomek – násobíme čitatele. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

1+

√ x−1 dx. x

√ 1+ x−1 dx = x

♣

x − 1 = t2

dx = 2t dt

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

= 2 x = t + 1 p x−1=t Z 2 Z Z t +t 1+t t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p 1 =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C 2

Vydělíme čitatel jmenovatelem. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

1+

√ x−1 dx. x

√ 1+ x−1 dx = x

♣

x − 1 = t2

dx = 2t dt

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1


Rozdělíme zlomek na dva jednodušší. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

1+

√ x−1 dx. x

√ 1+ x−1 dx = x

♣

x − 1 = t2

dx = 2t dt

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1


“Vytvoříme” v čitateli derivaci jmenovatele pomocí multiplikativní konstanty 2. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

1+

√ x−1 dx. x

√ 1+ x−1 dx = x

♣

x − 1 = t2

dx = 2t dt

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1

= 2 x = t + 1 p x−1=t Z 2 Z Z t +t t−1 1+t · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p 1 =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C 2 Z ′ f (x) Zintegrujeme podle vzorců a podle vztahu dx = ln |f (x)|. f (x)

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


Vypočtěte

Z

Z

1+

√ x−1 dx. x

√ 1+ x−1 dx = x

♣

x − 1 = t2

dx = 2t dt

Z

√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1


Použijeme zpětnou substituci pro návrat k proměnné x. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲


c


5 Další . . . Jednotlivé metody je pochopitelně někdy nutno kombinovat.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Další . . .

c


Vypočtěte

Z

Z

♣

arcsin x dx

1 u′ = p 1 − x2

u = arcsin x arcsin x dx v′ = 1

v=x

Z

1 − x2 = t

x dx −2x dx = dt p 1 2 1−x x dx = − dt 2 Z 1 1 = x arcsin x − − √ dt 2 t √ = x arcsin x + t p = x arcsin x + 1 − x 2 + C = x arcsin x −

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Další . . .

c


K ONEC

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Další . . .

c


Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

Recommend Documents