Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 2012 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka ♣ za integrálem načte integrál do online aplikace na adrese http://www.mendelu.cz/user/marik/maw, která umožní výpočet integrálu, včetně automatických návrhů, jakou metodu zvolit.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2012 ×
Obsah 1 Definice neurčitého integrálu 2 Základní vzorce Z √ 6 4 (2x + 3 x + − sin x + ex ) dx 3 x Z tg x dx . . . . . . . . . . . . . . Z x+2 dx . . . . . . . . . 2 Z x + 4x + 5 x+5 dx . . . . . . . . . . . . Z x2 + 4 1 dx . . . . . . . . . . . 3 Z (x + 6) Z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
f (ax + b) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
x+5 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − 4x + 9
46
x2
3 Integrace per-partés ⊳⊳
⊳
5
⊲
⊲⊲
57 c
Robert Mařík, 2012 ×
Z Z Z Z Z
⊳⊳
(x + 1) ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
x sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
(x − 2) sin(2x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
(x 2 + 1) sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
(x 2 + 1)e−x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Z
x arctg x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Z
ln2 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Z
(x 3 + 2x)e−x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Z
ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Z
x 3 sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2012 ×
4 Integrace pomocí substituce. 125 Z sin(ln x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 x Z 2
xe1−x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Z Z
x
x 4√+ 16 x+1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
e dx . . . √ Z x+1 tg3 x dx . . . . Z √ 3x + 2 − 1 dx x√+ 1 Z 1+ x−1 dx x 5 Další ... Z arcsin x dx ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 192
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
c
Robert Mařík, 2012 ×
1 Definice neurčitého integrálu Definice (neurčitý integrál, primitivní funkce). Buď I otevřený interval, f a F funkce definované na I. Jestliže platí F ′ (x) = f (x) pro všechna x ∈ I,
(1)
nazývá se funkce F primitivní funkcí k funkci f , nebo též neurčitý integrál funkce f na intervalu I. Zapisujeme Z f (x) dx = F (x). Existuje-li k funkci f neurčitý integrál na intervalu I, nazývá se funkce f integrovatelná na I. Primitivní funkce F (x) je vždy spojitá na I, plyne to z existence derivace. Věta 1 (postačující podmínka existence neurčitého integrálu). Ke každé spojité funkci existuje neurčitý integrál.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Definice neurčitého integrálu
c
Robert Mařík, 2012 ×
Věta 2 (jednoznačnost primitivní funkce). Primitivní funkce je na daném intervalu k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí následující: • Je-li F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, platí totéž i pro funkci G(x) = F (x) + c, kde c ∈ R je libovolná konstanta nezávislá na x.
• Jsou-li F a G primitivní funkce k téže funkci f na intervalu I, liší se obě funkce na intervalu I nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje c ∈ R takové, že F (x) = G(x) + c
pro všechna x ∈ I.
Bohužel, ne vždy neurčitý integrál dokážeme efektivně najít. Zatímco problém nalezení derivace funkce složené z funkcí, které umíme derivovat, spočívá pouze ve správné aplikaci vzorců pro derivování, problém nalézt neurčitý 2 integrál i k funkci tak jednoduché, jako je například e−x je neřešitelný ve třídě elementárních funkcí.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Definice neurčitého integrálu
c
Robert Mařík, 2012 ×
2 Základní vzorce Věta 3. Nechť f , g jsou funkce integrovatelné na I, c nechť je reálné číslo. Pak na intervalu I platí Z Z Z f (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx, Z Z cf (x) dx = c f (x) dx. Věta 4. Nechť f je funkce integrovatelná na I. Z 1 Pak f (ax + b) dx = F (ax + b) , kde F je funkce primitivní k funkci f na ina tervalu I. Platí pro ta x, pro která je ax + b ∈ I. Věta 5. Nechť funkce f má derivaci a nemá nulový bod na intervalu I. Potom Z ′ f (x) dx = ln |f (x)| . na tomto intervalu platí f (x) ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z √ 6 4 Najděte (2x + 3 x + − sin x + ex ) dx. x3 √ 6 4 I = (2x + 3 x + − sin x + ex ) dx 3 x Z Z Z Z Z 1 = 2 x dx + 3 x 4 dx + 6 x −3 dx − sin x dx + ex dx Z
x2 x −2 x 5/4 +6 +3 − (− cos x) + ex + C 2 −2 5/4 1 12 5/4 + cos x + ex + C x −3 = x2 + 5 x2 =2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z √ 6 4 Najděte (2x + 3 x + − sin x + ex ) dx. x3 √ 6 4 I = (2x + 3 x + − sin x + ex ) dx 3 x Z Z Z Z Z 1 = 2 x dx + 3 x 4 dx + 6 x −3 dx − sin x dx + ex dx Z
x −2 x2 x 5/4 +6 +3 − (− cos x) + ex + C 2 −2 5/4 1 12 5/4 + cos x + ex + C x −3 = x2 + 5 x2 =2
• Integrál ze součtu je součet integrálů. • Integrál násobku funkce je násobek integrálu. • Některé funkce je možno přepsat na mocninné funkce. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z √ 6 4 Najděte (2x + 3 x + − sin x + ex ) dx. x3 √ 6 4 I = (2x + 3 x + − sin x + ex ) dx 3 x Z Z Z Z Z 1 = 2 x dx + 3 x 4 dx + 6 x −3 dx − sin x dx + ex dx Z
x −2 x2 x 5/4 +6 +3 − (− cos x) + ex + C 2 −2 5/4 1 12 5/4 + cos x + ex + C x −3 = x2 + 2 5 x Z x n+1 • x n dx = n+1 Z • sin x dx = − cos x =2
• ⊳⊳
⊳
Z ⊲
ex dx = ex ⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z √ 6 4 Najděte (2x + 3 x + − sin x + ex ) dx. x3 √ 6 4 I = (2x + 3 x + − sin x + ex ) dx 3 x Z Z Z Z Z 1 = 2 x dx + 3 x 4 dx + 6 x −3 dx − sin x dx + ex dx Z
x2 x −2 x 5/4 +6 +3 − (− cos x) + ex + C 2 −2 5/4 1 12 5/4 + cos x + ex + C x −3 = x2 + 5 x2
=2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
tg x dx.
I=
Z
tg x dx
Z
sin x dx cos x Z − sin x =− dx cos x Z (cos x)′ dx =− cos x = − ln | cos x| + C
=
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
tg x dx.
I=
Z
tg x dx
Z
sin x dx cos x Z − sin x =− dx cos x Z (cos x)′ dx =− cos x = − ln | cos x| + C =
Použijeme definici funkce tangens. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
tg x dx.
I=
Z
tg x dx
Z
sin x dx cos x Z − sin x =− dx cos x Z (cos x)′ dx =− cos x = − ln | cos x| + C =
• Platí (cos x)′ = − sin x. Čitatel se tedy liší od derivace jmenovatele jenom konstantím násobkem. • Vynásobíme a vydělíme integrál tímto násobkem. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
tg x dx.
I=
Z
tg x dx
Z
sin x dx cos x Z − sin x =− dx cos x Z (cos x)′ dx =− cos x = − ln | cos x| + C =
Formálně použijeme vztah (cos x)′ = − sin x, abychom viděli vzorec Z ′ f (x) dx = ln |f (x)| + C. f (x)
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
tg x dx.
I=
Z
tg x dx
Z
sin x dx cos x Z − sin x =− dx cos x Z (cos x)′ dx =− cos x = − ln | cos x| + C =
Z
⊳⊳
′
f (x) dx = ln |f (x)| + C f (x) ⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+2 dx. x 2 + 4x + 5 x+2 dx Z + 4x + 5 1 2x + 4 = dx 2 x 2 + 4x + 5 Z 2 ′ 1 (x + 4x + 5) dx = 2 x 2 + 4x + 5 1 = ln(x 2 + 4x + 5) + C 2
I=
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Z
x2
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+2 dx. x 2 + 4x + 5 x+2 dx Z + 4x + 5 1 2x + 4 = dx 2 x 2 + 4x + 5 Z 2 ′ 1 (x + 4x + 5) = dx 2 x 2 + 4x + 5 1 = ln(x 2 + 4x + 5) + C 2
I=
Z
x2
• Platí (x 2 + 4x + 5)′ = 2x + 4. Čitatel se tedy liší od derivace jmenovatele jenom konstantím násobkem. • Vynásobíme a vydělíme integrál tímto násobkem. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+2 dx. x 2 + 4x + 5 x+2 dx Z + 4x + 5 1 2x + 4 = dx 2 x 2 + 4x + 5 Z 2 ′ 1 (x + 4x + 5) = dx 2 x 2 + 4x + 5 1 = ln(x 2 + 4x + 5) + C 2
I=
Přepíšeme do tvaru ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Z
Z
x2
′
f (x) dx. f (x) Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+2 dx. x 2 + 4x + 5 x+2 dx Z + 4x + 5 1 2x + 4 = dx 2 x 2 + 4x + 5 Z 2 ′ 1 (x + 4x + 5) dx = 2 x 2 + 4x + 5 1 = ln(x 2 + 4x + 5) + C 2
I=
Z
⊳⊳
Z
x2
′
f (x) dx = ln |f (x)| + C f (x) ⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+5 dx. x2 + 4 x+5 dx 2 Z x +4 1 2x 5 = · + dx 2 x2 + 4 x2 + 4 1 1 x = ln(x 2 + 4) + 5 arctg + C 2 2 2
I=
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Z
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+5 dx. x2 + 4 x+5 dx 2 Z x +4 1 2x 5 = · + dx 2 x2 + 4 x2 + 4 1 1 x = ln(x 2 + 4) + 5 arctg + C 2 2 2
I=
Z
• Derivace jmenovatele je x, v čitateli však není násobek této funkce. Z ′ f (x) • Vzorec dx nelze přímo použít. f (x) • Rozdělíme zlomek na dva. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+5 dx. x2 + 4 x+5 dx 2 Z x +4 1 2x 5 = · + dx 2 x2 + 4 x2 + 4 1 1 x = ln(x 2 + 4) + 5 arctg + C 2 2 2
I=
Z
• V prvním zlomku je v čitateli polovina derivace jmenovatele. • Proto první zlomek vynásobíme a vydělíme dvěma. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+5 dx. x2 + 4 x+5 dx 2 Z x +4 1 2x 5 = · + dx 2 x2 + 4 x2 + 4 1 1 x = ln(x 2 + 4) + 5 arctg + C 2 2 2
I=
⊳⊳
⊳
Z
′
•
Z
f (x) = ln |f (x)| + C f (x)
•
Z
A2
⊲
⊲⊲
1 1 x dx = arctg 2 A A +x Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
1 dx. (x + 6)3 I=
Z
1 dx (x + 6)3
Z = (x + 6)−3 dx
(x + 6)−2 = −2 1 +C =− 2(x + 6)2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
1 dx. (x + 6)3 I=
Z
1 dx (x + 6)3
Z = (x + 6)−3 dx
(x + 6)−2 = −2 1 +C =− 2(x + 6)2
Jedná se o mocninnou funkci. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
1 dx. (x + 6)3 I=
Z
1 dx (x + 6)3
Z = (x + 6)−3 dx
(x + 6)−2 = −2 1 =− +C 2(x + 6)2
•
Z
f (ax + b) dx =
1 F (ax + b), kde F je integrál z f . a
• V našem případě je f (x) = x −3 , F (x) = ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
x −2 a a = 1. −2 c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
1 dx. (x + 6)3 I=
Z
1 dx (x + 6)3
Z = (x + 6)−3 dx
(x + 6)−2 = −2 1 =− +C 2(x + 6)2
Upravíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte následující integrály. Z
1 1 dx = ln |2x + 5| + C 2x + 5 2 Z Z 1 dx = (2 − 1 · x)−5 dx (2 − x)5
Z Z
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
−4
(2 − x) 1 · −4 −1 1 +C = 4(2 − x)4 =
e−x dx = −e−x + C e3x dx =
1 3x e +C 3
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte následující integrály. Z
1 1 dx = ln |2x + 5| + C 2x + 5 2 Z Z 1 dx = (2 − 1 · x)−5 dx (2 − x)5
Z
⊳⊳
⊳
•
Z
1 dx = ln |x| x
•
Z
f (ax + b) dx =
⊲
⊲⊲
Z
−4
(2 − x) 1 · −4 −1 1 +C = 4(2 − x)4 =
e−x dx = −e−x + C e3x dx =
1 3x e +C 3
1 F (ax + b), v našem případě a = 2. a Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte následující integrály. Z
1 1 dx = ln |2x + 5| + C 2x + 5 2 Z Z 1 dx = (2 − 1 · x)−5 dx (2 − x)5
Z Z
−4
(2 − x) 1 · −4 −1 1 +C = 4(2 − x)4 =
e−x dx = −e−x + C e3x dx =
1 3x e +C 3
Přepíšeme na mocninnou funkci. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte následující integrály. Z
1 1 dx = ln |2x + 5| + C 2x + 5 2 Z Z 1 dx = (2 − 1 · x)−5 dx (2 − x)5
Z
⊳⊳
⊳
•
Z
x n dx =
•
Z
f (ax + b) dx =
⊲
⊲⊲
Z
−4
(2 − x) 1 · −4 −1 1 +C = 4(2 − x)4 =
e−x dx = −e−x + C e3x dx =
1 x n+1 n+1
1 3x e +C 3
1 F (ax + b), v našem případě a = −1. a Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte následující integrály. Z
1 1 dx = ln |2x + 5| + C 2x + 5 2 Z Z 1 dx = (2 − 1 · x)−5 dx (2 − x)5
Z Z
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
−4
(2 − x) 1 · −4 −1 1 +C = 4(2 − x)4
=
e−x dx = −e−x + C e3x dx =
1 3x e +C 3
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte následující integrály. Z
1 1 dx = ln |2x + 5| + C 2x + 5 2 Z Z 1 dx = (2 − 1 · x)−5 dx (2 − x)5
Z
⊳⊳
⊳
•
Z
ex dx = ex
•
Z
f (ax + b) dx =
⊲
⊲⊲
Z
−4
(2 − x) 1 · −4 −1 1 +C = 4(2 − x)4
=
e−x dx = −e−x + C e3x dx =
1 3x e +C 3
1 F (ax + b), v našem případě a = −1. a Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte následující integrály. Z
⊳⊳
⊳
•
Z
•
Z
⊲
ex dx = ex
1 1 dx = ln |2x + 5| + C 2x + 5 2 Z Z 1 dx = (2 − 1 · x)−5 dx (2 − x)5 −4
(2 − x) 1 1 · případě a = 3. f (ax + b) dx = F (ax + b), v=našem −4 −1 a 1 +C = 4(2 − x)4 Z e−x dx = −e−x + C Z 1 e3x dx = e3x + C 3
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte následující integrály. Z
Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx
1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1h 1 1 2 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C sin x dx = 2 2 2 Z Z Z 2 2 x 1 x −1+1 dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 =
=
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
x2 − x + ln |x + 1| + C 2
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte následující integrály. Z
Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx
1 1 2x e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1h 1 1 2 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C sin x dx = 2 2 2 Z Z Z 2 2 x 1 x −1+1 dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 =
=
x2 − x + ln |x + 1| + C 2
Upravíme podle vzorce (a + b)2 : (ex + e−x )2 = e2x + 2ex e−x + e−2x = e2x + 2 + e−2x ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte následující integrály. Z
Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx
1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1h 1 1 2 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C sin x dx = 2 2 IntegrujemeZpodle vzorcůZ2 Z 2 2 x 1 x −1+1 Z dx = dx = x − 1 + dx x+1 x + 1x x+1 e dx = ex , x2 = − x +Z ln |x + 1| + C 2 1 dx = x , =
Z ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 f (ax + b) dx = F (ax + b) , kde a Základní vzorce
Z
f (x) dx = F (x). c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte následující integrály. Z
Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx
1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1h 1 1 2 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C sin x dx = 2 2 2 Z Z Z 2 2 x 1 x −1+1 dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 =
=
x2 − x + ln |x + 1| + C 2
Použijeme vzorec sin(2x) = 2 sin x cos x ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte následující integrály. Z
Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx
1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1h 1 1 2 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C sin x dx = 2 2 2 Z Z Z 2 2 x 1 x −1+1 dx = dx = x − 1 + dx Integrujeme podle vzorců x+1 x+1 x+1 =
=
x2 Z − x + ln |x + 1| + C 2 sin x dx = − cos x
a Z ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 f (ax + b) dx = F (ax + b) , kde a Základní vzorce
Z
f (x) dx = F (x). c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte následující integrály. Z
Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx
1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1 1h 1 2 sin x dx = 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C 2 2 2 Z Z Z 2 2 x 1 x −1+1 dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 =
=
x2 − x + ln |x + 1| + C 2
Vzorec sin2 x = ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 − cos(2x) 2
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte následující integrály. Z
Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx
1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1 1 1h 2 sin x dx = 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C 2 2 2 Z Z Z 2 2 x 1 x −1+1 dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 =
=
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
x2 − x + ln |x + 1| + C 2 Z cos x dx = sin x Z 1 f (ax + b) = F (ax + b) a Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte následující integrály. Z
Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx
1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1 1h 1 2 sin x dx = 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C 2 2 2 Z Z 2 Z 2 x −1+1 x 1 dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 =
=
x2 − x + ln |x + 1| + C 2
Potřebujeme vydělit. K tomu je možno převést čitatel na tvar, který později umožní zkrátit. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte následující integrály. Z
Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx
1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1 1h 1 2 sin x dx = 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C 2 2 2 Z Z 2 Z 2 x −1+1 1 x dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 =
=
x2 − x + ln |x + 1| + C 2
x2 − 1 + 1 x2 − 1 1 1 = + =x−1+ x+1 x+1 x+1 x+1 ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte následující integrály. Z
Z (ex + e−x )2 dx = (e2x + 2 + e−2x ) dx
1 2x 1 e + 2x− e−2x + C 2 2 Z Z 1 1 1 sin(2x) dx = · · (− cos 2x) + C sin x cos x dx = 2 2 2 Z Z i 1 1h 1 2 sin x dx = 1 − cos(2x) dx = x − sin(2x) + C 2 2 2 Z Z 2 Z 2 x −1+1 1 x dx = dx = x − 1 + dx x+1 x+1 x+1 =
Z
⊳⊳
x n dx = ⊳
⊲
⊲⊲
1 x n+1 , n+1
=
x2 − x + ln |x + 1| + C 2
Z
1 dx = ln |x|, x
Z
f (ax + b) dx =
Základní vzorce
1 f (ax + b) a c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =
x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z
x2
dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 1 7 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 x−2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 1 x − 2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
·
1 1
+C
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =
x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z
x2
dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 1 7 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 x−2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 1 x − 2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5
·
1 1
+C
“Zašifrujeme” derivaci jmenovatele, tj. výraz (2x − 4), do čitatele.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =
x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z
x2
dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 1 7 = zlomek ln |x 2 − 4x 9| +se zlomky v prvním dx a druhém integrálu • Musíme upravit tak,+aby 2 (x − 2)2 + 5 rovnaly. 1 x−2 1 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ · • K těmto úpravám 2 použijeme jenom multiplikativní 5 5 a 1aditivní konstanty (nenadělají “moc velkou neplechu” při integraci). 1 x−2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ + C 2 1 5 5 • Přidáním násobku máme ve druhém zlomku v čitateli výraz 2 1 (2x − 4) = x − 2. Koeficient u x je v pořádku. 2 ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =
x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z
x2
dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 1 7 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 x−2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 1 • (2x − 4) = x 1− 2 x − 2 1 2 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 1 • (2x − 4) + 2 = x 2
·
1 1
+C
• Nyní je v čitateli jenom x. Chybí číslo 5. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =
x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z
x2
dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 1 7 2 1 dx 2 |x − 4x + 9| + • (2x − 4) ==x 2− ln (x − 2)2 + 5 2 1 x−2 1 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ • (2x − 4) + 2 = 2 x 5 5 2 1 x − 2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 1 • (2x − 4) + 2 + 5 = x + 5 2 5 5 2
·
1 1
+C
• První a druhý zlomek jsou stejné, nedopustili jsme se žádné úpravy, která by změnila hodnotu zlomku. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =
x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z
x2
dx 2 − 4x + 9 x Z 2x − 4 2+5 1 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 7 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 x−2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 1 x − 2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5
·
1 1
+C
Rozdělíme zlomek na dva. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =
x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z
x2
dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · dx + 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 7 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 1 x−2 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 1 x − 2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 Z
⊳⊳
·
1 1
+C
′
f (x) = ln |f (x)| + C f (x) ⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =
x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z
x2
dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · dx + 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 7 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 1 x−2 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 1 x − 2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 Doplníme na čtverec ve jmenovateli druhého zlomku.
·
1 1
+C
x 2 − 4x + 9 = x 2 − 2 · 2 · x + 22 − 4 + 9 = (x − 2)2 + 5 ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =
x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z
x2
dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 1 7 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 1 x−2 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 x − 2 1 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 Z
⊳⊳
A2 ⊳
p 1 x 1 dx = arctg , kde v našem případě A = 5 2 A A +x ⊲
⊲⊲
Základní vzorce
·
1 1
+C
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =
x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z
x2
dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 1 7 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 1 x−2 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 x − 2 1 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 Z
⊳⊳
f (ax + b) dx = ⊳
⊲
⊲⊲
·
1 1
+C
1 F (ax + b), v našem případě a = 1 a Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x+5 dx. x 2 − 4x + 9 I= =
x+5 dx − 4x + 9 Z 1 (2x − 4)+2+5 2 Z
x2
dx 2 − 4x + 9 x Z 1 2x − 4 2+5 = · + dx 2 2 2 x − 4x + 9 x − 4x + 9 Z 1 7 = ln |x 2 − 4x + 9| + dx 2 (x − 2)2 + 5 1 x−2 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5 x − 2 1 1 = ln |x 2 − 4x + 9| + 7 · √ arctg √ 2 5 5
·
1 1
+C
Upravíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
3 Integrace per-partés Věta 6. Nechť funkce u a v mají derivace na intervalu I. Pak platí Z
Z
′
u(x)v (x) dx = u(x)v (x) − u′ (x)v (x) dx,
(2)
pokud integrál na pravé straně existuje.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Věta 6. Nechť funkce u a v mají derivace na intervalu I. Pak platí Z Z u(x)v ′ (x) dx = u(x)v (x) − u′ (x)v (x) dx,
(3)
pokud integrál na pravé straně existuje. Důkaz: (uv)′ = u′ v + uv ′ Z Z (uv)′ dx = u′ v dx + uv ′ dx Z Z uv = u′ v dx + uv ′ dx Z Z uv − u′ v dx = uv ′ dx Z
derivace součinu zintegrování a linearita integrálu integrál odstraní derivaci algebraická úprava
Integrály typické pro výpočet metodou per-partés. P (x) je polynom. Z Z Z P (x)eαx dx, P (x) sin(αx) dx, P (x) cos(αx) dx, Z ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Z P (x)arctg x dx, P (x)lnm x dx. Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x + 1) · ln x dx
Z
u = ln x
u′ =
1 x
v′ = x + 1
v=
x +x 2
(x + 1) ln x dx = 2
! 2 1 x = ln x − + x dx x 2 Z 1 x2 + x ln x − x + 1 dx = 2 2 ! ! 1 x2 x2 + x ln x − · +x = 2 2 2 ! 2 1 x = + x ln x − x 2 − x + C 4 Funkce je součinem polynomu a 2logaritmické funkce → per-partés. 2
x +x 2 !
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
!
Integrace per-partés
Z
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x + 1) · ln x dx
Z
u = ln x
u′ =
1 x
v′ = x + 1
v=
x +x 2
(x + 1) ln x dx = 2
! 2 1 x = ln x − + x dx x 2 Z 1 x2 + x ln x − x + 1 dx = 2 2 ! ! Integrujeme per-partés pomocí vzorce 1 x2 x2 + x ln Zx − · +x Z = 2 2 2 u · v ′ dx2= u ·! v − u′ · v dx 1 x = + x ln x − x 2 − x + C 2 4 při u = ln x a v ′ = x + 1. 2
x +x 2 !
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
!
Integrace per-partés
Z
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x + 1) · ln x dx
Z
u = ln x
u′ =
1 x
v′ = x + 1
v=
x +x 2
(x + 1) ln x dx = 2
! 2 1 x = ln x − + x dx x 2 Z 1 x2 + x ln x − x + 1 dx = 2 2 ! ! Integrujeme per-partés pomocí vzorce 1 x2 x2 + x ln Zx − · +x Z = 2 2 2 u · v ′ dx2= u ·! v − u′ · v dx 1 x = + x ln x − x 2 − x + C 2 4 při u = ln x a v ′ = x + 1. 2
x +x 2 !
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
!
Integrace per-partés
Z
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x + 1) · ln x dx
Z
u = ln x
u′ =
1 x
v′ = x + 1
v=
x +x 2
(x + 1) ln x dx = 2
! 2 1 x = ln x − + x dx x 2 Z 1 x2 = + x ln x − x + 1 dx 2 2 ! ! Integrujeme per-partés pomocí vzorce 1 x2 x2 + x ln Zx − · +x Z = 2 2 2 u · v ′ dx2= u ·! v − u′ · v dx 1 x = + x ln x − x 2 − x + C 2 4 při u = ln x a v ′ = x + 1. 2
x +x 2 !
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
!
Integrace per-partés
Z
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x + 1) · ln x dx
Z
u = ln x
u′ =
1 x
v′ = x + 1
v=
x +x 2
(x + 1) ln x dx = 2
! 2 1 x − + x dx x 2 Z 1 + x ln x − x + 1 dx 2 ! ! 1 x2 + x ln x − · +x 2 2 ! 1 + x ln x − x 2 − x + C 4 2
= ln x =
x2 2
=
x2 2
=
x 2
2
Roznásobíme závorku. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
x +x 2 !
!
Integrace per-partés
Z
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x + 1) · ln x dx
Z
u = ln x
u′ =
1 x
v′ = x + 1
v=
x +x 2
(x + 1) ln x dx = 2
! 2 1 x − + x dx x 2 Z 1 + x ln x − x + 1 dx 2 ! ! 1 x2 + x ln x − · +x 2 2 ! 1 + x ln x − x 2 − x + C 4 2
= ln x =
x2 2
=
x2 2
=
x 2
2
Dokončíme integraci. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
x +x 2 !
!
Integrace per-partés
Z
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x + 1) · ln x dx
Z
u = ln x
u′ =
1 x
v′ = x + 1
v=
x +x 2
(x + 1) ln x dx = 2
! 2 1 x − + x dx x 2 Z 1 + x ln x − x + 1 dx 2 ! ! 1 x2 + x ln x − · +x 2 2 ! 1 + x ln x − x 2 − x + C 4 2
= ln x =
x2 2
=
x2 2
=
x 2
2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
x +x 2 !
!
Integrace per-partés
Z
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
x sin x dx
Z
u′ = 1
u=x x · sin x dx
v ′ = sin x Z
v = − cos x
= −x cos x − 1 · (− cos x) dx Z = −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + C
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
x sin x dx
Z
u′ = 1
u=x x · sin x dx
v ′ = sin x Z
v = − cos x
= −x cos x − 1 · (− cos x) dx Z = −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + C
Integrujeme per-partés pomocí vzorce Z Z ′ u · v dx = u · v − u′ · v dx při u = x a v ′ = sin x. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
x sin x dx
Z
u′ = 1
u=x x · sin x dx
v ′ = sin x Z
v = − cos x
= −x cos x − 1 · (− cos x) dx Z = −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + C
Integrujeme per-partés pomocí vzorce Z Z ′ u · v dx = u · v − u′ · v dx při u = x a v ′ = sin x. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
x sin x dx
Z
u′ = 1
u=x x · sin x dx
v ′ = sin x Z
v = − cos x
= −x cos x − 1 · (− cos x) dx Z = −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + C
Integrujeme per-partés pomocí vzorce Z Z ′ u · v dx = u · v − u′ · v dx při u = x a v ′ = sin x. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
x sin x dx
Z
u′ = 1
u=x x · sin x dx
v ′ = sin x Z
v = − cos x
= −x cos x − 1 · (− cos x) dx Z = −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + C
Upravíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
x sin x dx
Z
u′ = 1
u=x x · sin x dx
v ′ = sin x Z
v = − cos x
= −x cos x − 1 · (− cos x) dx Z = −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + C
• Integruje druhou část:
Z
cos x dx = sin x
• Hotovo. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x − 2) · sin(2x) dx Z
u=x−2 (x − 2)sin(2x) dx =
u′ = 1
1 v = − cos 2x 2 Z 1 1 = (x − 2) · − cos(2x) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 cos 2x dx = − (x − 2) cos(2x) + 2 2 1 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + · sin(2x) + C 2 2 2 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + sin(2x) + C 2 4 v ′ = sin(2x)
Funkce je součinem polynomu a sinu → per-partés.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x − 2) · sin(2x) dx Z
u=x−2 (x − 2)sin(2x) dx =
u′ = 1
1 v = − cos 2x 2 Z 1 1 = (x − 2) · − cos(2x) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 cos 2x dx = − (x − 2) cos(2x) + 2 2 1 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + · sin(2x) + C 2 2 2 1 1 − 2) cos(2x) + sin(2x) + C = − (x vzorce Integrujeme per-partés pomocí 2 4 Z Z u · v ′ dx = u · v − u′ · v dx v ′ = sin(2x)
při u = x − 2 a v ′ = sin(2x).
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x − 2) · sin(2x) dx Z
(x − 2)sin(2x) dx =
1 v = − cos 2x 2 Z 1 1 = (x − 2) · − cos(2x) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 cos 2x dx = − (x − 2) cos(2x) + 2 2 1 1 1 Z = − (x −Z2) cos(2x) + · sin(2x) + C 2 2 12 v = v ′ (x) 1 dx = sin(2x) dx =1− cos(2x), 2 +C = − (x − 2) cos(2x) + sin(2x) 2 4
Platí
protože Z ⊳⊳
⊳
⊲
u′ = 1
u=x−2
⊲⊲
v ′ = sin(2x)
sin x dx = − cos x
a
Z
f (ax + b) =
Integrace per-partés
1 F (ax + b). a c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x − 2) · sin(2x) dx Z
u=x−2 (x − 2)sin(2x) dx =
1 v = − cos 2x 2 Z 1 1 = (x − 2) · − cos(2x) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 cos 2x dx = − (x − 2) cos(2x) + 2 2 1 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + · sin(2x) + C 2 2 2 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + sin(2x) + C 2 4 Z
⊳⊳
⊳
⊲
u′ = 1
⊲⊲
v ′ = sin(2x)
′
Z
u · v dx = u · v − u′ · v dx Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x − 2) · sin(2x) dx Z
u=x−2 (x − 2)sin(2x) dx =
1 v = − cos 2x 2 Z 1 1 = (x − 2) · − cos(2x) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 cos 2x dx = − (x − 2) cos(2x) + 2 2 1 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + · sin(2x) + C 2 2 2 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + sin(2x) + C 2 4 v ′ = sin(2x)
1 Vytkneme konstantu − z integrálu. 2
⊳⊳
⊳
⊲
u′ = 1
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x − 2) · sin(2x) dx Z
u=x−2 (x − 2)sin(2x) dx =
u′ = 1
1 v = − cos 2x 2 Z 1 1 = (x − 2) · − cos(2x) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 cos 2x dx = − (x − 2) cos(2x) + 2 2 1 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + · sin(2x) + C 2 2 2 Z 1 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + sin(2x) + C Platí cos(2x) dx = sin(2x), 2 protože 4 2 Z Z 1 cos x dx = sin x a f (ax + b) = F (ax + b). a ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
v ′ = sin(2x)
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x − 2) · sin(2x) dx Z
u=x−2 (x − 2)sin(2x) dx =
u′ = 1
1 v = − cos 2x 2 Z 1 1 = (x − 2) · − cos(2x) − 1 · − cos 2x dx 2 2 Z 1 1 cos 2x dx = − (x − 2) cos(2x) + 2 2 1 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + · sin(2x) + C 2 2 2 1 1 = − (x − 2) cos(2x) + sin(2x) + C 2 4 v ′ = sin(2x)
Upravíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x 2 + 1) sin x dx Z
u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx
u′ = 2x
v ′ = sin x
v = − cos x Z = −(x 2 + 1) cos x + 2 x · cos x dx u=x
u′ = 1
v ′ = cos x
v = sin x Z 2 = −(x + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx = −(x 2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x) = (1 − x 2 ) cos x + 2x sin x + C
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x 2 + 1) sin x dx Z
u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx
u′ = 2x
v ′ = sin x
v = − cos x Z = −(x 2 + 1) cos x + 2 x · cos x dx u=x
u′ = 1
v ′ = cos xa funkce v = sinus. sin x • Funkce je součinem polynomu Z 2 = −(x +podle 1) cosvzorce x + 2 x sin x − sin x dx • Budeme integrovat per-partés Z Z = −(x′2 + 1) cos x + 2 ′x sin x − (− cos x) u · v dx = u · v − u · v dx = (1 − x 2 ) cos x + 2x sin x + C 2 při volbě u = (x + 1) a v ′ = sin x. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x 2 + 1) sin x dx Z
u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx
u′ = 2x
v ′ = sin x
v = − cos x Z = −(x 2 + 1) cos x + 2 x · cos x dx u=x
u′ = 1
v ′ = cos x
v = sin x Z 2 = −(x + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx = −(x 22+ 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x) ′ (x + 1) = 2x Z = (1 − x 2 ) cos x + 2x sin x + C sin x dx = − cos x ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x 2 + 1) sin x dx Z
u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx
u′ = 2x
v ′ = sin x
v = − cos x Z = −(x 2 + 1) cos x + 2 x · cos x dx u=x
u′ = 1
v ′ = cos x
v = sin x Z 2 = −(x + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx = −(x 2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x) Z Z 2 ′ ′ sin x + C − x= )ucos x + u2x u=· v(1dx ·v − · v dx Konstantní násobek 2 a znaménko minus dáme před integrál. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x 2 + 1) sin x dx Z
u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx
u′ = 2x
v ′ = sin x
v = − cos x Z = −(x 2 + 1) cos x + 2 x · cos x dx u=x
u′ = 1
v ′ = cos x
v = sin x Z 2 = −(x + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx = −(x 2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x) = (1 − x 2 ) cos x + 2x sin x + C
Ještě jednou integrujeme per-partés. Nyní u = x a v ′ = cos x. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x 2 + 1) sin x dx Z
u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx
u′ = 2x
v ′ = sin x
v = − cos x Z = −(x 2 + 1) cos x + 2 x · cos x dx u=x
u′ = 1
v ′ = cos x
v = sin x Z 2 = −(x + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx = −(x 2 + 1) ′ cos x + 2 x sin x − (− cos x) x =1 Z 2 = (1 − x ) cos x + 2x sin x + C cos x dx = sin x ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x 2 + 1) sin x dx Z
u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx
u′ = 2x
v ′ = sin x
v = − cos x Z = −(x 2 + 1) cos x + 2 x · cos x dx u=x
u′ = 1
v ′ = cos x
v = sin x Z 2 = −(x + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx = −(x 2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x) Z Z = (1 − x 2 ) cos x + 2x sin x + C ′ u · v dx = u · v − u′ · v dx ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x 2 + 1) sin x dx Z
u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx
u′ = 2x
v ′ = sin x
v = − cos x Z = −(x 2 + 1) cos x + 2 x · cos x dx u=x
u′ = 1
v ′ = cos x
v = sin x Z 2 = −(x + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx = −(x 2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x) Integrujeme sinus: ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Z
= (1 − x 2 ) cos x + 2x sin x + C
sin x dx = − cos x
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Vypočtěte (x 2 + 1) sin x dx Z
u = x2 + 1 (x 2 + 1) · sin x dx
u′ = 2x
v ′ = sin x
v = − cos x Z = −(x 2 + 1) cos x + 2 x · cos x dx u=x
u′ = 1
v ′ = cos x
v = sin x Z 2 = −(x + 1) cos x + 2 x sin x − sin x dx = −(x 2 + 1) cos x + 2 x sin x − (− cos x) = (1 − x 2 ) cos x + 2x sin x + C
Upravíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z
Vypočtěte (x 2 + 1)e−x dx.
Z
(x + 1)·e 2
−x
u = x2 + 1
u′ = 2x
v ′ = e−x
v = −e−x
dx
= −(x + 1)e
−x
= −(x + 1)e
−x
2
2
Z u=x + 2 xe−x dx
v ′ = e−x
u′ = 1 v = −e−x
Z −x + 2 −xe + e−x dx
= −(x 2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x ) = −e−x (x 2 + 2x + 3) + C,
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z
Vypočtěte (x 2 + 1)e−x dx.
Z
(x + 1)·e 2
−x
u = x2 + 1
u′ = 2x
v ′ = e−x
v = −e−x
dx
= −(x + 1)e
−x
= −(x + 1)e
−x
2
2
Z u=x + 2 xe−x dx
v ′ = e−x
u′ = 1 v = −e−x
Z −x + 2 −xe + e−x dx
= −(x 2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x ) = −e−x (x 2 + 2x + 3) + C, Integruje součin polynomu a exponenciální funkce. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z
Vypočtěte (x 2 + 1)e−x dx.
Z
(x + 1)·e 2
−x
u = x2 + 1
u′ = 2x
v ′ = e−x
v = −e−x
dx
= −(x + 1)e 2
−x
Z u=x + 2 xe−x dx
v ′ = e−x
u′ = 1 v = −e−x
Z • Integrujeme per-partés. 2 −x −x = −(x + 1)e + 2 −xe + e−x dx • Polynom budeme derivovat a exponencielu integrovat. Z −x + 2(−xe−x − e−x ) = −e−x (x 2 + 2x + 3) + C, = −(x 2 + 1)e • Nezapomeňme, že e−x dx = −e−x . ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z
Vypočtěte (x 2 + 1)e−x dx.
Z
(x + 1)·e 2
−x
u = x2 + 1
u′ = 2x
v ′ = e−x
v = −e−x
dx
= −(x + 1)e
−x
= −(x + 1)e
−x
2
2
Vzorec je
v ′ = e−x
u′ = 1 v = −e−x
Z −x + 2 −xe + e−x dx
Z −x + 2(−xe−x − e Z −x ) = −e−x (x 2 + 2x + 3) + C, = −(x 2 + 1)e u · v ′ dx = u · v − u′ · v dx
. ⊳⊳
Z u=x + 2 xe−x dx
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z
Vypočtěte (x 2 + 1)e−x dx.
Z
(x + 1)·e 2
−x
u = x2 + 1
u′ = 2x
v ′ = e−x
v = −e−x
dx
= −(x + 1)e
−x
= −(x + 1)e
−x
2
2
Z u=x + 2 xe−x dx
v ′ = e−x
u′ = 1 v = −e−x
Z −x + 2 −xe + e−x dx
−x • Opět polynom exponenciální funkce. = −(x 2krát + 1)e + 2(−xe−x − e−x ) = −e−x (x 2 + 2x + 3) + C,
• Opět integrujeme per-partés. Opět derivujeme polynom. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z
Vypočtěte (x 2 + 1)e−x dx.
Z
(x + 1)·e 2
−x
u = x2 + 1
u′ = 2x
v ′ = e−x
v = −e−x
dx
= −(x + 1)e
−x
= −(x + 1)e
−x
2
2
Z u=x + 2 xe−x dx
v ′ = e−x
u′ = 1 v = −e−x
Z −x + 2 −xe + e−x dx
= −(x 2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x ) = −e−x (x 2 + 2x + 3) + C, Z Z Vzorec pro červenou část je uv ′ dx = uv − u′ v dx, zbytek zůstane.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z
Vypočtěte (x 2 + 1)e−x dx.
Z
(x + 1)·e 2
−x
u = x2 + 1
u′ = 2x
v ′ = e−x
v = −e−x
dx
= −(x + 1)e
−x
= −(x + 1)e
−x
2
2
Z
⊳⊳
Z u=x + 2 xe−x dx
v ′ = e−x
u′ = 1 v = −e−x
Z −x + 2 −xe + e−x dx
= −(x 2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x ) = −e−x (x 2 + 2x + 3) + C, e−x dx = −e−x ⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z
Vypočtěte (x 2 + 1)e−x dx.
Z
(x + 1)·e 2
−x
u = x2 + 1
u′ = 2x
v ′ = e−x
v = −e−x
dx
= −(x + 1)e
−x
= −(x + 1)e
−x
2
2
Z u=x + 2 xe−x dx
v ′ = e−x
u′ = 1 v = −e−x
Z −x + 2 −xe + e−x dx
= −(x 2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x ) = −e−x (x 2 + 2x + 3) + C, Vytkneme (−e−x ). ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣ x arctg x dx.
u = arctg x Z
u′ =
=
x arctg x dx
x2 1 = arctg x − 2 2 =
⊳
1 x2 arctg x − 2 2
2
v′ = x
⊳⊳
1 1 + x2
⊲
⊲⊲
v= Z
x 2
1−
Z
x2 dx 1 + x2
1 dx 1 + x2
1 x2 x − arctg x + C. arctg x − 2 2
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣ x arctg x dx.
u = arctg x Z
u′ =
1 1 + x2 =
x arctg x dx
1 x2 arctg x − 2 2
2
v′ = x x2 1 = arctg x − 2 2 =
v= Z
x 2
1−
Z
x2 dx 1 + x2
1 dx 1 + x2
1 x2 x − arctg x + C. arctg x − 2 2
Jedná se o součin polynomu a funkce arkustangens. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣ x arctg x dx.
u = arctg x Z
u′ =
1 1 + x2 =
x arctg x dx
1 x2 arctg x − 2 2
2
v′ = x x2 1 = arctg x − 2 2 =
v= Z
x 2
1−
Z
x2 dx 1 + x2
1 dx 1 + x2
1 x2 x − arctg x + C. arctg x − 2 2
Budeme integrovat metodou per-partés. Budeme integrovat polynom a derivovat arkustangens. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣ x arctg x dx.
u = arctg x Z
u′ =
=
x arctg x dx
1 x2 arctg x − = 2 2 =
⊳⊳
⊲
⊲⊲
v= Z
x 2
1−
Z
x2 dx 1 + x2
1 dx 1 + x2
1 x2 x − arctg x + C. arctg x − 2 2
Z uv ′ dx = uv − u′ v dx ⊳
1 x2 arctg x − 2 2
2
v′ = x
Z
1 1 + x2
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣ x arctg x dx.
u = arctg x Z
u′ =
1 1 + x2 =
x arctg x dx
1 x2 arctg x − 2 2
2
v′ = x 1 x2 arctg x − = 2 2
v= Z
x 2
1−
Z
x2 dx 1 + x2
1 dx 1 + x2
Musíme integrovat racionální funkci. Nejprve provedeme dělení: 1 x2 x − arctg x + C. arctg x − = 2 2 2 (x + 1) − 1 x 2 + 1 x2 1 1 = = − =1− 2 2 2 2 2 x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣ x arctg x dx.
u = arctg x Z
u′ =
1 1 + x2 =
x arctg x dx
1 x2 arctg x − 2 2
2
v′ = x x2 1 = arctg x − 2 2 =
v= Z
x 2
1−
Z
x2 dx 1 + x2
1 dx 1 + x2
1 x2 x − arctg x + C. arctg x − 2 2
K dokončení zbývá integrovat jedničku a jeden zlomek. To provedeme pomocí příslušných vzorců. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
ln x dx
Z
u = ln x 1 · ln x dx v′ = 1
u′ =
1 x
v=x
Z = x ln x − 1 dx = x ln x − x
= x(ln x − 1) + C
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
ln x dx
Z
u = ln x 1 · ln x dx v′ = 1
u′ =
1 x
v=x
Z = x ln x − 1 dx = x ln x − x
= x(ln x − 1) + C
Ve funkci je “zašifrovaný” součin polynomu a logaritmické funkce: Z 1 · ln x dx. Integrujeme per-partés při volbě u = ln x a v ′ = 1. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
ln x dx
Z
u = ln x 1 · ln x dx v′ = 1
u′ =
1 x
v=x
Z = x ln x − 1 dx = x ln x − x
= x(ln x − 1) + C
1 (ln x)′ = x Z 1 dx = x ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
ln x dx
Z
u = ln x 1 · ln x dx v′ = 1
u′ =
1 x
v=x
Z = x ln x − 1 dx = x ln x − x
= x(ln x − 1) + C
Užijeme vztah ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 x = 1. x
Z
Z u · v ′ dx = u · v − u′ · v dx
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
ln x dx
Z
u = ln x 1 · ln x dx v′ = 1
u′ =
1 x
v=x
Z = x ln x − 1 dx = x ln x − x
= x(ln x − 1) + C
Z
⊳⊳
1 dx = x ⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
ln x dx
Z
u = ln x 1 · ln x dx v′ = 1
u′ =
1 x
v=x
Z = x ln x − 1 dx = x ln x − x
= x(ln x − 1) + C
Hotovo. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣
ln2 x dx
2
u = ln2 x
u′ =
1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x
2 ln x x
Z
= x ln x − 2 ln x dx
v =x u′ =
2
1 x
v′ = 1
v =x Z = x ln2 x − 2 x ln x − 1 dx = x ln2 x − 2 x ln x − x
= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣
ln2 x dx
2
u = ln2 x
u′ =
1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x
2 ln x x
v =x u′ =
2
Z
= x ln x − 2 ln x dx
1 x
v′ = 1
v =x Z = x ln2 x − 2 x ln x − 1 dx = x ln2 x − 2 x ln x − x • Je zde “zašifrován” součin polynomu a druhé mocniny logaritmu. = x ln2 x − 2x ln x + 2x + C • Upravíme funkci ln2 x na součin (1) · (ln2 x) a integrujeme per-partés při volbě u = ln2 x a v ′ = 1 ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣
ln2 x dx
2
u = ln2 x
u′ =
1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x
2 ln x x
2
= x ln x − 2 ln x dx
v =x u′ =
Z
1 x
v′ = 1
v =x Z = x ln2 x − 2 x ln x − 1 dx = x ln2 x − 2 x ln x − x 1 (ln2 x)′ = 2 ln x(ln x)′ = 2 ln x x = x ln2 x − 2x ln x + 2x + C Z 1 dx = x ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣
ln2 x dx
2
u = ln2 x
u′ =
1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x
2 ln x x
Z
= x ln x − 2 ln x dx
v =x u′ =
2
1 x
v′ = 1
v =x Z = x ln2 x − 2 x ln x − 1 dx = x ln2 x − 2 x ln x − x
= xZ ln2 x − 2x ln x + 2xZ + C
u · v ′ dx = u · v − u′ · v dx
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣
ln2 x dx
2
u = ln2 x
u′ =
1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x
2 ln x x
Z
= x ln x − 2 ln x dx
v =x u′ =
2
1 x
v′ = 1
v =x Z = x ln2 x − 2 x ln x − 1 dx = x ln2 x − 2 x ln x − x
= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C
Tento trik již známe: Napíšeme funkci ln x jako součin (1) · ln x a integrujeme per-partés při volbě u = ln x a v ′ = 1. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣
ln2 x dx
2
u = ln2 x
u′ =
1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x
2 ln x x
Z
= x ln x − 2 ln x dx
v =x u′ =
2
1 x
v′ = 1
v =x Z = x ln2 x − 2 x ln x − 1 dx = x ln2 x − 2 x ln x − x 1 (ln x)′ = x = x ln2 x − 2x ln x + 2x +C Z 1 dx = x ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣
ln2 x dx
2
u = ln2 x
u′ =
1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x
2 ln x x
Z
= x ln x − 2 ln x dx
v =x u′ =
2
1 x
v′ = 1
v =x Z = x ln2 x − 2 x ln x − 1 dx = x ln2 x − 2 x ln x − x
= xZ ln2 x − 2x ln x + 2xZ + C
u · v ′ dx = u · v − u′ · v dx
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣
ln2 x dx
2
u = ln2 x
u′ =
1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x
2 ln x x
Z
= x ln x − 2 ln x dx
v =x u′ =
2
1 x
v′ = 1
v =x Z = x ln2 x − 2 x ln x − 1 dx = x ln2 x − 2 x ln x − x = x ln2 x − 2x ln x + 2x + C Dopočítáme integrál z jedničky. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣
ln2 x dx
2
u = ln2 x
u′ =
1 · ln x dx v′ = 1 u = ln x
2 ln x x
Z
= x ln x − 2 ln x dx
v =x u′ =
2
1 x
v′ = 1
v =x Z = x ln2 x − 2 x ln x − 1 dx = x ln2 x − 2 x ln x − x = x ln2 x − 2x ln x + 2x + C
Upravíme. Hotovo. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
Z
♣
x 3 sin x dx.
u = x3
3x 2
6x
6
0
v ′ = sin x
− cos x
− sin x
cos x
sin x
x 3 sin x dx =
= −x 3 cos x − (−3x 2 sin x) + 6x cos x − 6 sin x
= (−x 3 + 6x) cos(x) + (3x 2 − 6) sin x + C
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
♣
x 3 sin x dx. derivace
u=x Z
3
derivace
3x 2
derivace
6x
derivace
6
0
x 3 sin x dx = integrace
v ′ = sin x
integrace
− cos x
integrace
− sin x
integrace
cos x
sin x
= −x 3 cos x − (−3x 2 sin x) + 6x cos x − 6 sin x
= (−x 3 + 6x) cos(x) + (3x 2 − 6) sin x + C
• Třikrát integrujeme per-partés, ale všechno zapíšeme do jednoho schematu. • Žlutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu. • Červená šipka reprezentuje integrování. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
u = x3 Z
♣
x 3 sin x dx.
x 3 sin x dx = v ′ = sin x
so u
3x 2 čin
so u
6x čin
− cos x
− sin x
so u
6 čin
cos x
so u
0 čin
sin x
= −x 3 cos x − (−3x 2 sin x) + 6x cos x − 6 sin x = (−x 3 + 6x) cos(x) + (3x 2 − 6) sin x + C
Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek znaménko ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko změníme a všechny součiny sečteme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Najděte
Z
Z
♣
x 3 sin x dx.
u = x3
3x 2
6x
6
0
v ′ = sin x
− cos x
− sin x
cos x
sin x
x 3 sin x dx =
= −x 3 cos x − (−3x 2 sin x) + 6x cos x − 6 sin x = (−x 3 + 6x) cos(x) + (3x 2 − 6) sin x + C
Upravíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Najděte (x 3 + 2x)e−x dx. Z
(x 3 + 2x)e−x dx u = x + 2x
3
3x + 2
2
6x
6
0
v ′ = e−x
−e−x
e−x
−e−x
e−x
=
= −(x 3 + 2x)e−x − (3x 2 + 2)e−x + (−6xe−x ) − 6e−x
= −e−x (x 3 + 2x + 3x 2 + 2 + 6x + 6)
= −e−x (x 3 + 3x 2 + 8x + 8)
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Najděte (x 3 + 2x)e−x dx. Z
(x 3 + 2x)e−x dx derivace 3
u = x + 2x
derivace 2
3x + 2
derivace
6x
derivace
6
0
= integrace ′
v =e
−x
integrace
−e
−x
integrace
e
−x
−e
integrace −x
e−x
= −(x 3 + 2x)e−x − (3x 2 + 2)e−x + (−6xe−x ) − 6e−x
= −e−x (x 3 + 2x + 3x 2 + 2 + 6x + 6)
3 −e−x (x + 3x 2 + 8x + 8) •=Třikrát integrujeme per-partés, ale všechno zapíšeme do jednoho schematu.
• Žlutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu. • Červená šipka reprezentuje integrování. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Najděte (x 3 + 2x)e−x dx. Z
(x 3 + 2x)e−x dx 3
u = x + 2x = v ′ = e−x
2
so u
3x + 2 čin
−e−x
so u
6x čin
e−x
so u
6 čin
−e−x
so u
0 čin
e−x
= −(x 3 + 2x)e−x − (3x 2 + 2)e−x + (−6xe−x ) − 6e−x = −e−x (x 3 + 2x + 3x 2 + 2 + 6x + 6)
= −e−x (x 3 + 3x 2 + 8x + 8)
Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek znaménko ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko změníme a všechny součiny sečteme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Z Najděte (x 3 + 2x)e−x dx. Z
(x 3 + 2x)e−x dx u = x + 2x
3
3x + 2
2
6x
6
0
v ′ = e−x
−e−x
e−x
−e−x
e−x
=
= −(x 3 + 2x)e−x − (3x 2 + 2)e−x + (−6xe−x ) − 6e−x = −e−x (x 3 + 2x + 3x 2 + 2 + 6x + 6)
= −e−x (x 3 + 3x 2 + 8x + 8)
Upravíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
4 Integrace pomocí substituce. Věta 7. Nechť f (t) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce ϕ(x) má derivaci na intervalu J a platí ϕ(J) = I. Potom na intervalu J platí Z Z (4) f (ϕ(x))ϕ′ (x) dx = f (t) dt, dosadíme-li napravo t = ϕ(x).
Schematicky: ϕ(x) = t
ϕ′ (x) dx = dt
Věta 8. Nechť f (x) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce ϕ(t) má nenulovou derivaci na intervalu J a platí ϕ(J) = I. Potom na intervalu I platí Z Z f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ′ (t) dt, (5) dosadíme-li napravo t = ϕ−1 (x), kde ϕ−1 (x) je funkce inverzní k funkci ϕ(x). Schematicky: x = ϕ(t) ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
dx = ϕ′ (t) dt
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
♣
Z
sin(ln x) dx x
Z
sin(ln x) dx = x
Z
sin(ln x)
1 dx x
ln x = t 1 dx = dt x
=
Z
sin t dt
= − cos t = − cos(ln x) + C
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
♣
Z
sin(ln x) dx x
Z
sin(ln x) dx = x
Z
sin(ln x)
1 dx x
ln x = t 1 dx = dt x
=
Z
sin t dt
= − cos t = − cos(ln x) + C
• Vnitřní složka je ln x. • Derivace funkce ln x je • Tato derivace, ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
1 . x
1 , je v součinu s integrovanou funkcí. x Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
♣
Z
sin(ln x) dx x
Z
sin(ln x) dx = x
Z
sin(ln x)
1 dx x
ln x = t 1 dx = dt x
=
Z
sin t dt
= − cos t = − cos(ln x) + C
Zavedeme substituci ln x = t. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
♣
Z
sin(ln x) dx x
Z
sin(ln x) dx = x
Z
sin(ln x)
1 dx x
ln x = t 1 dx = dt x
=
Z
sin t dt
= − cos t = − cos(ln x) + C
Nalezneme vztah mezi dx a dt. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
♣
Z
sin(ln x) dx x
Z
sin(ln x) dx = x
Z
sin(ln x)
1 dx x
ln x = t 1 dx = dt x
=
Z
sin t dt
= − cos t = − cos(ln x) + C
Dosadíme substituci. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
♣
Z
sin(ln x) dx x
Z
sin(ln x) dx = x
Z
sin(ln x)
1 dx x
ln x = t 1 dx = dt x
=
Z
sin t dt
= − cos t = − cos(ln x) + C
Integrujeme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
♣
Z
sin(ln x) dx x
Z
sin(ln x) dx = x
Z
sin(ln x)
1 dx x
ln x = t 1 dx = dt x
=
Z
sin t dt
= − cos t = − cos(ln x) + C
Použijeme substituci k návratu k proměnné x a přidáme integrační konstantu. Hotovo. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
2
xe1−x dx.
Z
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
2
xe1−x dx
1 − x2 = t
−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 et dt =− 2 1 = − et 2 2 1 = − e1−x 2
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
2
xe1−x dx.
Z
2
xe1−x dx
1 − x2 = t
−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 et dt =− 2 1 = − et 2 2 1 = − e1−x 2
2
Zkusíme substituovat za vnitřní složku složené funkce e1−x . ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
2
xe1−x dx.
Z
2
xe1−x dx
1 − x2 = t
−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 et dt =− 2 1 = − et 2 2 1 = − e1−x 2
Hledáme vztah mezi diferenciály. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
2
xe1−x dx.
Z
2
xe1−x dx
1 − x2 = t
−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 et dt =− 2 1 = − et 2 2 1 = − e1−x 2
Derivujeme obě strany substituce. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
2
xe1−x dx.
Z
2
xe1−x dx
1 − x2 = t
−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 et dt =− 2 1 = − et 2 2 1 = − e1−x 2
Vyjádříme odsud výraz x dx, který figuruje uvnitř integrálu. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
2
xe1−x dx.
Z
2
xe1−x dx
1 − x2 = t
−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 =− et dt 2 1 = − et 2 2 1 = − e1−x 2
Dosadíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
2
xe1−x dx.
Z
2
xe1−x dx
1 − x2 = t
−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 et dt =− 2 1 = − et 2 2 1 = − e1−x 2
Vypočtěte integrál pomocí vzorce. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
2
xe1−x dx.
Z
2
xe1−x dx
1 − x2 = t
−2x dx = dt 1 x dx = − dt 2 Z 1 et dt =− 2 1 = − et 2 2 1 = − e1−x 2
Použijeme substituci pro návrat k původní proměnné. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
x dx x 4 + 16 x2 = t Z 2x dx = dt x dx 1 x 4 + 16 x dx = dt 2 x 4 = t2
=
1 2
Z
1 dt t2 + 16
2
=
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
t 1 x 1 arctg = arctg +C 8 4 8 4
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
x dx x 4 + 16 x2 = t Z 2x dx = dt x dx 1 x 4 + 16 x dx = dt 2 x 4 = t2
=
1 2
Z
1 dt t2 + 16
2
=
t 1 x 1 arctg = arctg +C 8 4 8 4
• Substituce x 4 + 16 = t, nebo x 4 = t, nejsou úplně šikovné, protože vztah mezi diferenciály při této substituci je 4x 3 dx = dt, avšak člen x 3 dx nikde v integrálu není. • Člen x dx napovídá, použít substituci x 2 = t. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
x dx x 4 + 16 x2 = t Z 2x dx = dt x dx 1 x 4 + 16 x dx = dt 2 x 4 = t2
=
1 2
Z
1 dt t2 + 16
2
=
t 1 x 1 arctg = arctg +C 8 4 8 4
Hledáme vztah mezi diferenciály a vyjádříme z něj výraz x dx. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
x dx x 4 + 16 x2 = t Z 2x dx = dt x dx 1 x 4 + 16 x dx = dt 2 x 4 = t2
=
1 2
Z
1 dt t2 + 16
2
=
t 1 x 1 arctg = arctg +C 8 4 8 4
Substituce x 2 = t vede k relaci x 4 = (x 2 )2 = t2 . ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
x dx x 4 + 16 x2 = t Z 2x dx = dt x dx 1 x 4 + 16 x dx = dt 2 x 4 = t2
=
1 2
Z
1 dt t2 + 16
2
=
1 t 1 x arctg = arctg +C 8 4 8 4
Dosadíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
x dx x 4 + 16 x2 = t Z 2x dx = dt x dx 1 x 4 + 16 x dx = dt 2 x 4 = t2
=
1 2
Z
1 dt t2 + 16
2
=
1 t 1 x arctg = arctg +C 8 4 8 4
Užijeme vzorec
při A = 4. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Z
x2
x 1 1 dx = arctg 2 A A +A Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
♣
x dx x 4 + 16 x2 = t Z 2x dx = dt x dx 1 x 4 + 16 x dx = dt 2 x 4 = t2
=
1 2
Z
1 dt t2 + 16
2
=
t 1 x 1 arctg = arctg +C 8 4 8 4
Užijeme zpětnou substituci t = x 2 . Hotovo. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
√
♣
x+1
e dx √ x+1
√
x+1
e dx = √ x+1
=
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
√
e
Z
et 2 dt = 2et = 2e
√
1 x+1
x+1=t
1
Z
x+1
p
dx
Integrace pomocí substituce.
dx = dt √ 2 x+1 1 dx = 2 dt √ x+1 √
x+1
+C
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
√
♣
x+1
e dx √ x+1
√
x+1
e dx = √ x+1
= Vnitřní složka je
√
e
Z
et 2 dt = 2et = 2e
√
1 x+1
x+1=t
1
Z
x+1
p
dx
dx = dt √ 2 x+1 1 dx = 2 dt √ x+1 √
x+1
+C
p x + 1. Derivace této vnitřní složky je
p 1 1 1 ( x + 1)′ = (x + 1)−1/2 = · √ . 2 2 x+1
Výskyt této člene √
1
uvnitř integrálu (a v součinu) napovídá, že provést x+1 tuto substituci bude snadné. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
√
♣
x+1
e dx √ x+1
√
x+1
e dx = √ x+1
=
√
e
Z
et 2 dt = 2et = 2e
√
1 x+1
x+1=t
1
Z
x+1
p
dx
dx = dt √ 2 x+1 1 dx = 2 dt √ x+1 √
x+1
+C
Použijeme navrženou substituci. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
√
♣
x+1
e dx √ x+1
√
x+1
e dx = √ x+1
=
√
e
Z
et 2 dt = 2et = 2e
√
1 x+1
x+1=t
1
Z
x+1
p
dx
dx = dt √ 2 x+1 1 dx = 2 dt √ x+1 √
x+1
+C
Najdeme vztah mezi diferenciály dx a dt. Dostáváme 1 1 dx = dt √ 2 x+1 a tuto relaci vynásobíme číslem 2. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
√
♣
x+1
e dx √ x+1
√
x+1
e dx = √ x+1
=
√
e
Z
et 2 dt = 2et = 2e
√
1 x+1
x+1=t
1
Z
x+1
p
dx
dx = dt √ 2 x+1 1 dx = 2 dt √ x+1 √
x+1
+C
Dosadíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
√
♣
x+1
e dx √ x+1
√
x+1
e dx = √ x+1
=
√
e
Z
et 2 dt = 2et = 2e
√
1 x+1
x+1=t
1
Z
x+1
p
dx
dx = dt √ 2 x+1 1 dx = 2 dt √ x+1 √
x+1
+C
Zintegrujeme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
√
♣
x+1
e dx √ x+1
√
x+1
e dx = √ x+1
=
Užijeme substituci t = ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
√
e
Z
et 2 dt = 2et = 2e
√
1 x+1
x+1=t
1
Z
x+1
p
dx
dx = dt √ 2 x+1 1 dx = 2 dt √ x+1 √
x+1
+C
p x + 1 k návratu k původní proměnné. Hotovo. Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣ tg3 x dx.
tg3 x dx =
Z
sin3 x dx = cos3 x
cos x = t − sin x dx = dt sin x dx = − dt
= ln |t| +
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Z
sin2 x sin x dx = cos3 x
=
Z
Z
1 − t2 − dt = t3
Z
1 − cos2 x sin x dx cos3 x t2 − 1 dt = t3
Z
1 − t−3 dt t
1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣ tg3 x dx.
tg3 x dx =
Z
sin3 x dx = cos3 x
cos x = t − sin x dx = dt sin x dx = − dt
= ln |t| +
Z
sin2 x sin x dx = cos3 x
=
Z
Z
1 − t2 − dt = t3
Z
1 − cos2 x sin x dx cos3 x t2 − 1 dt = t3
Z
1 − t−3 dt t
1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x
• Rozepíšeme funkci tg x pomocí funkcí sin x a cos x. • Lichá mocnina je i v čitateli, i ve jmenovateli. Vybereme si tu v čitateli. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣ tg3 x dx.
tg3 x dx =
Z
sin3 x dx = cos3 x
cos x = t − sin x dx = dt sin x dx = − dt
= ln |t| +
Z
sin2 x sin x dx = cos3 x
=
Z
Z
1 − t2 − dt = t3
1 − cos2 x sin x dx cos3 x
Z
t2 − 1 dt = t3
Z
1 − t−3 dt t
1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x
“Vytáhneme” jednu mocninu funkce sin x z čitatele. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣ tg3 x dx.
tg3 x dx =
Z
sin3 x dx = cos3 x
cos x = t − sin x dx = dt sin x dx = − dt
= ln |t| +
Z
sin2 x sin x dx = cos3 x
=
Z
Z
1 − t2 − dt = t3
Z
1 − cos2 x sin x dx cos3 x t2 − 1 dt = t3
Z
1 − t−3 dt t
1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x
Sudou mocninu převedeme na funkci cos x. Užijeme identitu sin2 x + cos2 x = 1. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣ tg3 x dx.
tg3 x dx =
Z
sin3 x dx = cos3 x
cos x = t − sin x dx = dt sin x dx = − dt
= ln |t| +
Z
sin2 x sin x dx = cos3 x
=
Z
Z
1 − t2 − dt = t3
Z
1 − cos2 x sin x dx cos3 x t2 − 1 dt = t3
Z
1 − t−3 dt t
1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x
Dosadíme cos x = t. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣ tg3 x dx.
tg3 x dx =
Z
sin3 x dx = cos3 x
cos x = t − sin x dx = dt sin x dx = − dt
= ln |t| +
Z
sin2 x sin x dx = cos3 x
=
Z
Z
1 − t2 − dt = t3
Z
1 − cos2 x sin x dx cos3 x t2 − 1 dt = t3
Z
1 − t−3 dt t
1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x
Nalezneme vztah mezi diferenciály dx a dt. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣ tg3 x dx.
tg3 x dx =
Z
sin3 x dx = cos3 x
cos x = t − sin x dx = dt sin x dx = − dt
= ln |t| +
Z
sin2 x sin x dx = cos3 x
=
Z
Z
1 − t2 − dt = t3
Z
1 − cos2 x sin x dx cos3 x t2 − 1 dt = t3
Z
1 − t−3 dt t
1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x
Přepíšeme výraz sin x dx do nových proměnných. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣ tg3 x dx.
tg3 x dx =
Z
sin3 x dx = cos3 x
cos x = t − sin x dx = dt sin x dx = − dt
= ln |t| +
Z
sin2 x sin x dx = cos3 x
=
Z
Z
1 − t2 − dt = t3
Z
1 − cos2 x sin x dx cos3 x t2 − 1 dt = t3
Z
1 − t−3 dt t
1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x
Dosadíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣ tg3 x dx.
tg3 x dx =
Z
sin3 x dx = cos3 x
cos x = t − sin x dx = dt sin x dx = − dt
= ln |t| +
Z
sin2 x sin x dx = cos3 x
=
Z
Z
1 − t2 − dt = t3
Z
1 − cos2 x sin x dx cos3 x t2 − 1 dt = t3
Z
1 − t−3 dt t
1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x
Upravíme ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣ tg3 x dx.
tg3 x dx =
Z
sin3 x dx = cos3 x
cos x = t − sin x dx = dt sin x dx = − dt
= ln |t| +
Z
sin2 x sin x dx = cos3 x
=
Z
Z
1 − t2 − dt = t3
Z
1 − cos2 x sin x dx cos3 x t2 − 1 dt = t3
Z
1 − t−3 dt t
1 −2 1 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x
Protože je jmenovatel jednočlenný, stačí vydělit čitatele výrazem t3 . ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣ tg3 x dx.
tg3 x dx =
Z
sin3 x dx = cos3 x
cos x = t − sin x dx = dt
Z
sin2 x sin x dx = cos3 x
=
sin x dx = − dt
= ln |t| +
Z
Z
1 − t2 − dt = t3
Z
1 − cos2 x sin x dx cos3 x t2 − 1 dt = t3
Z
1 − t−3 dt t
1 −2 1 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x
Nyní integrujeme pomocí vzorců. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣ tg3 x dx.
tg3 x dx =
Z
sin3 x dx = cos3 x
cos x = t − sin x dx = dt sin x dx = − dt
= ln |t| +
Z
sin2 x sin x dx = cos3 x
=
Z
Z
1 − t2 − dt = t3
Z
1 − cos2 x sin x dx cos3 x t2 − 1 dt = t3
Z
1 − t−3 dt t
1 1 −2 t = ln | cos x| + +C 2 2 cos2 x
Po integraci provedeme návrat k původní proměnné a přidáme integrační konstantu. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Z √ 3x + 2 − 1 Vypočtěte dx. x+1
♣
3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 t−1 2 dx = t dt = · t dt 3 1 2 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z 2 Z Z t −t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 1 1 t − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C =2 1− 2 t2 + 1 t2 + 1 p p = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C
Z√ 3x + 2 − 1 dx x+1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Z √ 3x + 2 − 1 Vypočtěte dx. x+1
♣
3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 3x + 2 − 1 t−1 2 dx = t dt dx = · t dt 3 1 2 x+1 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z 2 Z Z t −t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 1 1 t − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C =2 1− 2 t2 + 1 t2 + 1 p p + 2 je pod odmocninou. Užijeme • Člen 3x substituci, která umožní tuto = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C odmocninu odstranit. Z√
• Budeme dosazovat 3x + 2 = t2 .
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Z √ 3x + 2 − 1 Vypočtěte dx. x+1
♣
3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 3x + 2 − 1 t−1 2 dx = t dt dx = · t dt 3 1 2 x+1 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z 2 Z Z t −t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 1 1 t − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C =2 1− 2 t2 + 1 t2 + 1 p p = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C
Z√
Nalezneme vztah mezi dx a dt. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Z √ 3x + 2 − 1 Vypočtěte dx. x+1
♣
3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 3x + 2 − 1 t−1 2 dx = t dt dx = · t dt 3 1 2 x+1 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z 2 Z Z t −t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 1 1 t − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C =2 1− 2 t2 + 1 t2 + 1 p p = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C
Z√
Vyjádříme dx. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Z √ 3x + 2 − 1 Vypočtěte dx. x+1
♣
3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 3x + 2 − 1 t−1 2 dx = t dt dx = · t dt 3 1 2 x+1 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z 2 Z Z t −t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 1 1 t − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C =2 1− 2 t2 + 1 t2 + 1 p p = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C
Z√
Vyjádříme proměnnou x. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Z √ 3x + 2 − 1 Vypočtěte dx. x+1
♣
3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 3x + 2 − 1 t−1 2 dx = t dt dx = · t dt 3 1 2 x+1 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z 2 Z Z t −t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 1 1 t − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C =2 1− 2 t2 + 1 t2 + 1 p p = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C
Z√
Přichystáme si zpětnou substituci. Vyjádříme t pomocí x. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Z √ 3x + 2 − 1 Vypočtěte dx. x+1
♣
3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 t−1 2 dx = t dt = · t dt 3 1 2 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z Z 2 Z t−1 t −t −t − 1 =2 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 1 1 t − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C =2 1− 2 t2 + 1 t2 + 1 p p = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C
Z√ 3x + 2 − 1 dx x+1
Provedeme substituci. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Z √ 3x + 2 − 1 Vypočtěte dx. x+1
♣
3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 3x + 2 − 1 2 t−1 dx = t dt dx = · t dt 3 1 2 x+1 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z 2 Z Z t −t −t − 1 t−1 =2 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 1 1 t − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C =2 1− 2 t2 + 1 t2 + 1 p p = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C
Z√
Upravíme. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Z √ 3x + 2 − 1 Vypočtěte dx. x+1
♣
3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 3x + 2 − 1 t−1 2 dx = t dt dx = · t dt 3 1 2 x+1 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z 2 Z Z t −t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 1 1 t − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C =2 1− 2 t2 + 1 t2 + 1 p p = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C
Z√
Převedeme na jeden zlomek. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Z √ 3x + 2 − 1 Vypočtěte dx. x+1
♣
3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 3x + 2 − 1 t−1 2 dx = t dt dx = · t dt 3 1 2 x+1 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z Z 2 Z −t − 1 t −t t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 1 1 t − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C =2 1− 2 t2 + 1 t2 + 1 p p Vydělíme= 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C 2 2 (t + 1) + (−t − 1) −t − 1 t −t = = 1+ 2 2 t +1 t +1 t2 + 1 Z√
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Z √ 3x + 2 − 1 Vypočtěte dx. x+1
♣
3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 3x + 2 − 1 t−1 2 dx = t dt dx = · t dt 3 1 2 x+1 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z 2 Z Z t −t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 t 1 1 =2 1− − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C 2 t2 + 1 t2 + 1 p p = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C Získaná funkce je zlomek, který před integrováním rozdělíme na součet zlomku, který má v čitateli derivaci jmenovatele, a zlomku, který má v čitateli jen konstantu. Oba zlomky pak snadno zintegrujeme. Z√
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Z √ 3x + 2 − 1 Vypočtěte dx. x+1
♣
3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 3x + 2 − 1 t−1 2 dx = t dt dx = · t dt 3 1 2 x+1 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z 2 Z Z t −t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 t 1 1 =2 1− − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C 2 t2 + 1 t2 + 1 p p = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C Integrace je již snadná. Užijeme vztah Z Z t 2t 1 1 dt = dt = ln(t2 + 1). 2 2 2 t +1 2 t +1 Z√
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Z √ 3x + 2 − 1 Vypočtěte dx. x+1
♣
3x + 2 = t2 3 dx = 2t dt Z 2 3x + 2 − 1 t−1 2 dx = t dt dx = · t dt 3 1 2 x+1 (t − 2) + 1 3 1 3 x = (t2 − 2) 3 p t = 3x + 2 Z 2 Z Z t −t −t − 1 t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 2 t +1 t2 + 1 Z t +1 1 1 t − dt = 2 t − ln |t2 + 1| − arctg t + C =2 1− 2 t2 + 1 t2 + 1 p p = 2 3x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg 3x + 2 + C
Z√
Roznásobíme závorku a provedeme zpětnou substituci pro návrat k proměnné x. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
1+
√ x−1 dx. x
√ 1+ x−1 dx = x
♣
x − 1 = t2
dx = 2t dt
Z
√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1
= 2 x = t + 1 p x−1=t Z 2 Z Z t +t t−1 1+t · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p 1 =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C 2
Funkce obsahuje odmocninu z lineárního výrazu – zavedeme substituci na odstranění odmocniny. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
1+
√ x−1 dx. x
√ 1+ x−1 dx = x
♣
x − 1 = t2
dx = 2t dt
Z
√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1
= 2 x = t + 1 p x−1=t Z 2 Z Z t +t t−1 1+t · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p 1 =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C 2
Výraz pod odmocninou je druhá mocnina nové proměnné. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
1+
√ x−1 dx. x
√ 1+ x−1 dx = x
♣
x − 1 = t2
dx = 2t dt
Z
√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1
= 2 x = t + 1 p x−1=t Z 2 Z Z t +t t−1 1+t · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p Nalezneme vztah mezi diferenciály dx 1 a dt =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C • (x − 1)′ = 1 (derivace podle x) 2 • (t2 )′ = 2t (derivace podle t) ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
1+
√ 1+ x−1 dx = x
⊳
⊲
♣
x − 1 = t2
dx = 2t dt
Z
√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1
= 2 x = t + 1 p x−1=t Z 2 Z Z t +t t−1 1+t · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p 1 =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C 2
Nalezneme x a ⊳⊳
√ x−1 dx. x
⊲⊲
p
x − 1 ze substitučního vztahu. Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
1+
√ x−1 dx. x
√ 1+ x−1 dx = x
♣
x − 1 = t2
dx = 2t dt
Z
√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1
= 2 x = t + 1 p x−1=t Z 2 Z Z t +t t−1 1+t · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p 1 =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C 2
Dosadíme podle substituce. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
1+
√ x−1 dx. x
√ 1+ x−1 dx = x
♣
x − 1 = t2
dx = 2t dt
Z
√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1
= 2 x = t + 1 p x−1=t Z Z Z 2 t−1 1+t t +t · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p 1 =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C 2
Odmocníme t2 a vytkneme konstantu před integrál. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
1+
√ x−1 dx. x
√ 1+ x−1 dx = x
♣
x − 1 = t2
dx = 2t dt
Z
√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1
= 2 x = t + 1 p x−1=t Z Z 2 Z 1+t t +t t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p 1 =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C 2
Převedeme na jeden zlomek – násobíme čitatele. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
1+
√ x−1 dx. x
√ 1+ x−1 dx = x
♣
x − 1 = t2
dx = 2t dt
Z
√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1
= 2 x = t + 1 p x−1=t Z 2 Z Z t +t 1+t t−1 · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p 1 =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C 2
Vydělíme čitatel jmenovatelem. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
1+
√ x−1 dx. x
√ 1+ x−1 dx = x
♣
x − 1 = t2
dx = 2t dt
Z
√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1
= 2 x = t + 1 p x−1=t Z 2 Z Z t +t t−1 1+t · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p 1 =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C 2
Rozdělíme zlomek na dva jednodušší. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
1+
√ x−1 dx. x
√ 1+ x−1 dx = x
♣
x − 1 = t2
dx = 2t dt
Z
√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1
= 2 x = t + 1 p x−1=t Z 2 Z Z t +t t−1 1+t · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p 1 =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C 2
“Vytvoříme” v čitateli derivaci jmenovatele pomocí multiplikativní konstanty 2. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
1+
√ x−1 dx. x
√ 1+ x−1 dx = x
♣
x − 1 = t2
dx = 2t dt
Z
√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1
= 2 x = t + 1 p x−1=t Z 2 Z Z t +t t−1 1+t · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p 1 =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C 2 Z ′ f (x) Zintegrujeme podle vzorců a podle vztahu dx = ln |f (x)|. f (x)
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
1+
√ x−1 dx. x
√ 1+ x−1 dx = x
♣
x − 1 = t2
dx = 2t dt
Z
√ 1 + t2 · 2t dt t2 + 1
= 2 x = t + 1 p x−1=t Z 2 Z Z t +t t−1 1+t · t dt = 2 dt = 2 1 + dt =2 2 +1 2 +1 2 +1 t t t Z 1 2t 1 =2 1+ · − dt 2 2 2 t +1 t +1 1 2 = 2 t + ln |t + 1| − arctg t 2 p p 1 =2 x − 1 + ln |x| − arctg x − 1 + C 2
Použijeme zpětnou substituci pro návrat k proměnné x. ⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
5 Další . . . Jednotlivé metody je pochopitelně někdy nutno kombinovat.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Další . . .
c
Robert Mařík, 2012 ×
Vypočtěte
Z
Z
♣
arcsin x dx
1 u′ = p 1 − x2
u = arcsin x arcsin x dx v′ = 1
v=x
Z
1 − x2 = t
x dx −2x dx = dt p 1 2 1−x x dx = − dt 2 Z 1 1 = x arcsin x − − √ dt 2 t √ = x arcsin x + t p = x arcsin x + 1 − x 2 + C = x arcsin x −
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Další . . .
c
Robert Mařík, 2012 ×
K ONEC
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Další . . .
c
Robert Mařík, 2012 ×