MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT – MATEMATIKA
NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky.
Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D.
[email protected]
MT – MATEMATIKA
Neurčitý integrál - CVIČENÍ
Cvičení R 3 na vzorec V2 . 1. x dx R 3+1 Řešení. x3 dx = x3+1 + c = 2.
R√
x dx R 1 R√ x dx = x 2 dx = Řešení.
R 3. x15 dx R Řešení. 4.
R
1 √ 4 3 x
Řešení.
1 x5
dx =
dx R 1 √ 4
x3
R
x−5 dx =
R
dx =
1
3 x4
R
x2 2
1 1 x2
dx =
Cvičení R x na vzorec V7 . 1. 6 dx R x Řešení. 6x dx = ln6 6 + c R
3 3 2
+c =
x−5+1 −5+1
R
2 3
√
x−4 −4
+c=
3
x3 + c
1
x− 4 dx =
x4 1 4
1 x 3
Řešení.
R
dx x
1 x 3
dx =
R 3. 12x dx R Řešení. 12x dx =
( 13 ) ln
12x ln 12
1 3
+c
+c
+c=
1 −4x4
+c
√ +c=44x+c
+c
√1 x
dx R R Řešení. √1x dx =
2.
+c
x2
dx =
R 5. x dx R R Řešení. x dx = x1 dx = 6.
x4 4
R
1
x− 2 dx =
1
x2 1 2
√ +c=2 x+c
2
MT – MATEMATIKA
Neurčitý integrál - CVIČENÍ
3
Cvičení R 2xna vzorec V8 . (čitatel je derivace jmenovatele) 1. x2 −1 dx R V8 Řešení. x22x−1 dx = ln |x2 − 1| + c 2.
R
Řešení. 3.
R 2 3
4.
R
R R
derivace jmenovatele je 2x, což potřebujeme mít v čitateli
=
dx R 2x2
x3 +2
dx
dx R x4
1−x5
ex ex −1
dx R ex
ex −1
sin x 4−cos x
dx
R R
2·x x2 +5
V8 1 2
dx =
ln |x2 + 5| + c
=
derivace jmenovatele je −5x4 , což potřebujeme mít v čitateli
=
2·
R
x2 x3 +2
dx = 2 ·
R
3·x2 3·(x3 +2)
P2 2 3
dx =
·
R
3·x2 x3 +2
R
−5·x4 −5·(1−x5 )
P2 1 −5
dx =
·
R
−5·x4 1−x5
V8
dx = − 51 ln |1 − x5 | + c
V8
dx derivace jmenovatele je (4 − cos x)′ = (4)′ − (cos x)′ = (0) − (− sin x) = sin x, což potřebujeme mít v čitateli. v čitateli již sin x máme, tedy použijeme přímo V8
dx R 1
3x−7
dx
=
derivace jmenovatele je 3, což potřebujeme mít v čitateli
tg x dx R R Řešení. tg x dx = 9.
R
1 3x−7
Řešení. 8.
·
derivace jmenovatele je 3x2 , což potřebujeme mít v čitateli. nejdříve P2 - konstanta 2 z čitatele před integrál
sin x Řešení. 4−cos x dx = ln |4 − cos x| + c
R
P2 1 2
dx =
dx = ln |ex − 1| + c
R
7.
2·x 2·(x2 +5)
R
x4 1−x5
Řešení. 6.
dx
ln |x3 + 2| + c
Řešení. 5.
x2 +5
2x2 x3 +2
Řešení. =
dx R x
x x2 +5
=
sin x cos x
cotg x dx R R Řešení. cotg x dx =
dx
cos x sin x
R
3·1 3·(3x−7)
P2 1 3
dx =
derivace jmenovatele je − sin x, což potřebujeme mít v čitateli
dx
=
R
·
R
3 3x−7
−1·sin x −1·cos x
V8 1 3
dx =
P2 1 −1
dx =
ln |3x − 7| + c ·
R
− sin x cos x
V8
dx = − ln | cos x| + c
derivace jmenovatele je cos x, což potřebujeme mít v čitateli. v čitateli již cos x máme, tedy použijeme přímo V8
=
ln | sin x| + c
V8
dx =
MT – MATEMATIKA
Neurčitý integrál - CVIČENÍ
Cvičení na vzorec V9 . V9 je vždy nakombinovaný s dalším vzorcem!!! R 2x+6 1. e dx R 2x+6 V9+V6 Řešení. e dx = 21 e2x+6 + c e3x dx R V9+V6 Řešení. e3x dx = 13 e3x + c
2.
R
3.
R
e−x dx R R V9+V6 Řešení. e−x dx = e−1x+0 dx =
4.
R
5.
R
1 −x −1 e
+c
sin(6x − 8) dx R V9+V4 Řešení. sin(6x − 8) dx = 16 (− cos(6x − 8)) + c cos 2x dx R V9+V5 Řešení. cos 2x dx = 6.
1 2
sin 2x + c
R√
5x − 1 dx R R√ 1 V9+V2 5x − 1 dx = (5x − 1) 2 dx = Řešení.
7.
R
1 (6x+5)8
Řešení. 8.
R
1 √ 3 2x+1
R
Řešení.
R
1 (6x+5)8
R V9+V2 dx = (6x + 5)−8 dx =
R
1 √ 3 2x+1
1 cos2 4x
Řešení.
R
1 (6x+5)−7 6 −7
+c
2
12 53
p (5x − 1)3 + c
dx dx =
R
10.
=
dx
R
1 1 (2x+1) 3
(7x − 3)4 dx R V9+V2 Řešení. (7x − 3)4 dx = 9.
3
1 (5x−1) 2 3 5
R 1 V9+V2 dx = (2x + 1)− 3 dx =
1 (7x−3)5 7 5
dx
1 cos2 4x
dx
V9+V11 1 = 4 tg 4x
+c
+c
2
1 (2x+1) 3 2 2 3
+c=
13 22
p 3
(2x + 1)2 + c
4
MT – MATEMATIKA
1 dx sin2 (3x−12) R 1 Řešení. sin2 (3x−12)
11.
R
dx
Neurčitý integrál - CVIČENÍ
V9+V10 1 = 3 (−cotg (3x
− 12)) + c
Cvičení R 1na vzorce V12 - V15 . 1. x2 +4 dx R V12 Řešení. x21+4 dx = 12 arctg x2 + c 2.
R
1 9−x2
Řešení. 3.
R
R
9−x2
√ 1 5−x2
Řešení. 4.
dx R 1
R
dx √ 1 5−x2
√ 1 x2 +25
Řešení.
R
V13 1 2·3
dx =
V14
ln 3+x 3−x + c
dx = arcsin
√x 5
+c
dx
√ 1 x2 +25
√ V15 dx = ln x + x2 + 25 + c
5
MT – MATEMATIKA
Neurčitý integrál - CVIČENÍ
Cvičení P1 . R 9 na pravidlo 1. x + 9x − 1 dx R R R P1 R V2+V7+V1 Řešení. x9 + 9x − 1 dx = x9 dx + 9x dx − 1 dx = 2.
x10 10
+
9x ln 9
6
−x+c
R
sin x − cos x dx R R P1 R V4+V5 Řešení. sin x − cos x dx = sin x dx − cos x dx = − cos x − sin x + c Cvičení R 3na pravidlo P2 . 1. 5x dx R R P2 V2 Řešení. 5x3 dx = 5 · x3 dx = 5 · 2.
x4 4
+c
R
2 cos x dx R R P2 V5 Řešení. 2 cos x dx = 2 · cos x dx = 2 · sin x + c Cvičení na pravidla P1 - P2 . R 13 1. 5 sin x − 16+x 2 dx R R P1 R 13 Řešení. 5 sin x − 16+x 5 sin x dx − 2 dx = 2.
R
5 sin2 x
Řešení.
R
4 x dx 5 + x4 sin2 x
P1
dx =
R
5 sin2 x
dx +
R
4 x
dx
P2+P2
=
5·
R
=3·
x4 4
dx
P2+P2
=
5·
R
sin x dx − 13 ·
R
1 16+x2
dx
V4+V12
=
5 · (− cos x) − 13 · 41 arctg x4 + c
+
2 3x3 − √ dx 5 8x−3 R 3 R P1 R 2 3 dx − Řešení. 3x − √ dx = 3x 5 8x−3
3.
13 16+x2
4
−2·
1 (8x−3) 5 4 8 5
+c
2 √ 5 8x−3
dx
R
1 sin2 x
P2+P2
=
3·
dx + 4 ·
R
R
1 x
dx
x3 dx − 2 ·
R
V10+V3
=
1 √ 5 8x−3
5 · (−cotg x) + 4 · ln |x| + c
dx = 3 ·
R
R 1 V2+(V9+V2) x3 dx − 2 · (8x − 3)− 5 dx =
MT – MATEMATIKA
Neurčitý integrál - CVIČENÍ
7
Cvičení R 1. 1. (9x2 − 8x + 7) dx R R R R 3 2 Řešení. (9x2 − 8x + 7) dx = 9x2 dx − 8x + dx 7 dx = 9 x3 − 8 x2 + 7x + c
√ 4 (3 x3 + 2 sin x) dx 7 R √ R R √ R R 3 4 4 Řešení. (3 x3 + 2 sin x) dx = 3 x3 dx + 2 sin x dx = 3 x 4 dx + 2 sin x dx = 3 x74 + 2(− cos x) + c 2.
R
4
3. (2 − x)x3 dx R R R R 4 5 Řešení. (2 − x)x3 dx = 2x3 − x4 dx = 2x3 dx − x4 dx = 2 x4 − x5 + c R √ 2 4. x x − √1x dx √ 1 R √ R 12 R R R √ 2 1 − 1 dx = 2x− 2 dx − 1 dx = 2 x12 − x + c x x − √1x dx = 2 x x − √xx dx = 2x Řešení. x1 R
2
5.
R
x2 −4x+5 √
Řešení. 6.
R
x
(x+3)2 x
Řešení.
dx
x2 −4x+5 √ x
R
dx =
R
R x 7. 5−3x dx R2 x R Řešení. 5−3x2 dx = 8.
R
√ 3x+ 3 x 2 x
Řešení.
R
R
x x+2
dx =
−
4x √ x
+
√5 x
dx =
R
x2 1 x2
−
4x1
+
1 x2
5 1 x2
dx =
R
3
1
1
x 2 − 4x 2 + 5x− 2 dx =
R
3
R
x 2 dx −
1
4x 2 dx +
5
1
R
5x− 2 dx =
1 x
dx =
x2 5 2
3
1
− 4 x32 + 5 x12 + c 2
2
x2 +6x+9 x
R
x2 x
dx =
1 −6
dx =
R
dx =
−6·x −6·(5−3x2 )
6x x
+
R
+
−6·x 5−3x2
9 x
R
dx =
dx =
1 −6
x+6+
9 x
dx =
R
6 dx +
R
9 x
dx =
x2 2
x− 3 dx = 3
R
1 x
dx +
R
x dx +
R
R
5
+ 6x + 9
R
x2 2
+ 6x + 9 ln |x| + c
ln |5 − 3x2 | + c
R
3x x2
+
2·x 2·(x2 −3)
√ 3
x
x2
dx =
1 2
R
3 x
1
+
2·x x2 −3
x3 x2
dx =
dx =
1 2
R
3 x
5
+ x− 3 dx =
R
3 x
dx +
2
5
x− 3 dx = 3 ln |x| +
x− 3 − 23
+c
ln |x2 − 3| + c
dx neryze lomená funkce (čitatel a jmenovatel mají stejný stupeň) - nejdříve vydělíme čitatel jmenovatelem
x Řešení. x+2 dx = x − 2 ln |x + 2| + c
R
x2 √ x
dx √ 3x+ 3 x 2 x
R 9. x2x−3 dx R R Řešení. x2x−3 dx = 10.
R
dx (x+3)2 x
R
dx =
=
R
1−
2 x+2
dx =
R
1 dx −
R
2 x+2
dx = x − 2
R
1 x+2
V8
dx =
MT – MATEMATIKA
11.
R
x2 x+3
Řešení. =
x2 2
12.
R
Neurčitý integrál - CVIČENÍ
8
dx
R
x2 x+3
dx
neryze lomená funkce (čitatel má větší stupeň než jmenovatel ) - nejdříve vydělíme čitatel jmenovatelem
=
R
R
− 3 1 dx + 9 x3 −2 x2
dx =
2
− 3x + 9 ln |x + 3| + c
x−3+
3
neryze lomená funkce (čitatel má větší stupeň než jmenovatel ) - nejdříve vydělíme čitatel jmenovatelem
=
x2 2
+
2 x
+c
R
x−
x2 +4x+5 dx x−1 R x2 +4x+5 neryze lomená funkce (čitatel má větší stupeň než jmenovatel ) - nejdříve vydělíme čitatel jmenovatelem Řešení. dx = x−1 R R 1 x2 x2 = 2 + 5 1 dx + 10 x−1 dx = 2 + 5x + 10 ln |x − 1| + c
13.
9 x+3
dx =
R
2 x2
dx =
R
R
x+5+
R
x dx −
10 x−1
dx =
3x3 +x x+1 dx R 3 +x neryze lomená funkce (čitatel má větší stupeň než jmenovatel ) - nejdříve vydělíme čitatel jmenovatelem R 4 Řešení. 3xx+1 dx = 3x2 − 3x + 4 − x+1 R 2 R R R 4 R 2 R R R 1 3 2 = 3x dx − 3x dx + 4 dx − x+1 dx = 3 x dx − 3 x dx + 4 1 dx − 4 x+1 dx = 3 x3 − 3 x2 + 4x − 4 ln |x + 1| + c
14.
15.
3 dx +
R
9 x+3
dx =
R
R
2 x2
dx =
x dx +
R
x2 2
−2
R
5 dx +
R
x−2 dx =
10 x−1
dx =
R
R
6x2 x3 −1
Řešení.
R
dx =
dx 6x2 x3 −1
dx = 6
4x2 +2x+1 dx x−4 R 4x2 +2x+1 Řešení. x−4 R R
16.
R
x dx −
dx
Řešení. x x−2 2 dx x−1 x2 = 2 − 2 −1 + c = R
1 x+3
x2
R
R
= 4 x dx + 18
dx
R
x2 x3 −1
dx = 6
R
3·x2 3·(x3 −1)
dx =
6 3
R
3x2 x3 −1
dx = 2 ln |x3 − 1| + c
neryze lomená funkce (čitatel má větší stupeň než jmenovatel ) - nejdříve vydělíme čitatel jmenovatelem
1 dx + 73
=
R
1 x−4
dx = 4
x2 2
+ 18x + 73 ln |x − 4| + c
R 17. (tg Rx + cotg x) dx R R R Řešení. (tg x + cotg x) dx = tg x dx + cotg x dx =
sin x cos x
dx +
R
cos x sin x
dx =
R
−1·sin x −1·cos x
R
dx + ln | sin x| = −
73 4x + 18 + x−4 dx =
R
− sin x cos x
R
R R 4x dx + 18 dx +
73 x−4
dx + ln | sin x| = − ln | cos x| + ln | sin x| + c
1 cos2R(4x+9) dx 1 Řešení. cos2 (4x+9)
18.
R
dx = 14 tg (4x + 9) + c R x x2 +5 19. dx − 2 x x +5 R x R R x x2 +5 Řešení. − dx − dx = 2 2 x x +5 x +5
x2 +5 x
dx
druhý integrál je neryze lomená funkce (čitatel má větší stupeň než jmenovatel ) - nejdříve vydělíme čitatel jmenovatelem
=
dx =
MT – MATEMATIKA
1 2
R
2x x2 +5
20.
R
3 x2 +8x
=
Řešení. 21.
R
R
dx −
R
x+
5 x
dx =
dx
R
5 x
R
x dx −
dx =
=
R
3 (x+4)2 −16
R
ln |x2 + 5| −
dx = 3
√ 1 2+3x
R 1 V9+V2 dx = (3x + 2)− 2 dx =
x2 2
− 5 ln |x| + c
R
1 (x+4)2 −16
dx = −3
R
1 16−(x+4)2
dx
V9+V13
=
−3 ·
1 1
·
1 2·4
cos2 x sin2 x
dx =
R
1−sin2 x sin2 x
4+(x+4) ln 4−(x+4) +c
1
1 (3x+2) 2 1 3
+c
2
dx =
R
1 sin2 x
− 1 dx = −cotg x − x + c
√
dx
jmenovatel musíme doplnit na čtverec
=
R
√
8 (x−2)2 −4+6
25x − 2 cos 6x dx R 5x R R V9+V7 Řešení. 2 − 2 cos 6x dx = 25x dx − 2 cos 6x dx = 24.
1 2
dx
8 dx x2 −4x+6 R 8 Řešení. √x2 −4x+6
R
ln |x2 + 5| −
jmenovatel musíme doplnit na čtverec
R 22. cotg2 x dx R R Řešení. cotg2 x dx = 23.
1 2
9
dx
3 x2 +8x
√ 1 2+3x
Řešení.
R
Neurčitý integrál - CVIČENÍ
1 5
·
dx = 8
25x ln 2
−2
R
R
1 (x−2)2 +2
√
cos 6x dx
dx
V9+V15
V9+V5 1 = 5
=
·
25x ln 2
8·
1 1
· ln |(x − 2) +
− 2 · 16 sin 6x + c
p
(x − 2)2 + 2| + c
