10.1.12
Neurčité výrazy
Předpoklady: 10110 Př. 1:
Vypočti limity: x2 a) lim x →0 x
2 x2 x →0 3 x 2
b) lim
x2 a) lim = lim x = 0 x →0 x x →0 x 1 c) lim 3 = lim 2 = +∞ x →0 x x →0 x
c) lim x →0
x x3
d) lim x →0
x2 x3
2 x2 2 2 b) lim 2 = lim = x →0 3 x x →0 3 3 2 x 1 1 1 d) lim 3 = lim neexistuje, lim+ = +∞ , lim− = −∞ x →0 x x →0 x x →0 x x →0 x
Zajímavé. Získali jsme čtyři naprosto rozdílné výsledky, přestože přímým dosazením do x2 0 2 x2 0 x 0 x2 0 všech výrazů získáme to samé: = = = = = = = ⇒ x 0 3x 2 0 x3 0 x 3 0 0 výraz může při výpočtu limit znamenat cokoliv, říkáme mu neurčitý výraz 0 Jak může vyjít pokaždé něco jiného? Limita nezáleží na hodnotě v bodě, kde ji zjišťujeme, ale na hodnotách okolo tohoto bodu: Jak se mění hodnoty jednotlivých výrazů můžeme sledovat v tabulce: 0,1 0,01 0,001 0 -0,001 -0,01 -0,1 2 2 2 2 0,1 0, 01 0, 001 x = 0,1 = 0, 01 = 0, 001 -0,001 -0,01 -0,1 0,1 0, 01 0, 001 x 2x2 3x 2 x x3
2 ⋅ 0,12 2 = 3 ⋅ 0,12 3 0,1 = 100 0,13
2 ⋅ 0, 012 2 = 3 ⋅ 0, 012 3 0, 01 = 10 4 3 0, 01
2 ⋅ 0, 0012 2 = 3 ⋅ 0, 0012 3 0, 001 = 106 3 0, 001
-
2 3
2 3
2 3
-
106
10 4
10 2
0,12 0, 012 0, 0012 x2 2 = 10 = 10 = 103 -10 −103 −102 3 3 3 3 0,1 0, 01 0, 001 x ⇒ nezáleží pouze na tom, jestli je v čitateli (nebo jmenovateli) nula, ale hlavně na tom, jak „rychle“ se k ní výrazy v čitateli a jmenovateli blíží Pohled z jiného úhlu: 0 . 0 • 0 v čitateli se snaží, aby výsledná hodnota zlomku byla co nejmenší, snaží se, aby se celý zlomek blížil k nule • 0 ve jmenovateli se snaží, aby výsledná hodnota zlomku byla co největší (při dělení čísly čím dál víc bližšími nule získáváme čím dál větší hodnoty), snaží se, aby se celý zlomek blížil k nekonečnu (nebo mínus nekonečnu) ⇒ výrazy v čitateli a jmenovateli působí proti sobě ⇒ vyhraje ten silnější (v předchozích příkladech vyšší mocnina) nebo to skončí remízou
k jakému výsledku se snaží dostrkat výsledek nuly v limitě typu
1
0 není jediným neurčitým výrazem: 0 například výraz 0 ⋅ ∞ je také neurčitým: 1 • lim ⋅ x 2 = lim x = +∞ x →+∞ x x →+∞ 1 • lim ⋅ 2 x = lim 2 = 2 x →+∞ x x →+∞ 1 1 • lim 2 ⋅ x = lim = 0 x →+∞ x x →+∞ x 0 Podobně jako u výrazu i ve výrazu 0 ⋅ ∞ se oba členy snaží dotáhnout výsledek někam 0 jinam, směřují proti sobě a výsledek záleží na tom, který z nich bude silnější (což dopředu nemůžeme vědět). výraz
na druhou stranu výraz ( +∞ ) ⋅ ( +∞ ) = +∞ neurčitý není (součin nekonečen se rovná zase nekonečnu) • lim x ⋅ x 2 = lim x3 = +∞ x →+∞
•
x →+∞
lim x ⋅ x = lim x 4 = +∞ 2
2
x →+∞
x →+∞
Oba členy ve výrazu se snaží dotáhnout výsledek k tomu samému a tak je jasné, k čemu bude směřovat jejich součin
Př. 2:
Urči, které z následujících výrazů jsou neurčité. Pokud výrazy neurčité nejsou, rozhodni, čemu se rovnají. ∞ 0 ∞ a) b) ∞ − ∞ c) 0 ⋅ 0 d) e) f) ∞ ⋅ ( −∞ ) 0 ∞ ∞
∞ = ∞ (jmenovatel i čitatel se snaží, aby hodnota zlomku byla co největší) 0 b) ∞ − ∞ - neurčitý výraz (první člen se snaží dojít k nekonečnu, druhý k mínus nekonečnu) c) 0 ⋅ 0 = 0 (oba členy v součinu se snaží, aby byl výsledek nulový) 0 d) = 0 (oba členy ve výrazu se snaží, aby byl výsledek nulový) ∞ ∞ e) - neurčitý výraz (nekonečno v čitateli táhne zlomek k nekonečnu, nekonečno ve ∞ jmenovateli k nule) f) ∞ ⋅ ( −∞ ) = −∞ (výraz můžeme upravit ∞ ⋅ ( −∞ ) = − ( ∞ ⋅ ∞ ) , obě nekonečna se snaží dojít k nekonečnu, mínus jenom změní znaménko) a)
Pedagogická poznámka: Někteří studenti mají s příkladem potíže, diskuse je nutná. Pořád se snažím zdůrazňovat, že je nutné brát výrazy dynamicky (jako cíl kam limitně směřují) a ne jako pouhé dosazení. Př. 3:
Doplň následující věty: a) Je-li lim f ( x ) = +∞ , lim g ( x ) = +∞ potom x →a
x →a
2
lim f ( x ) + g ( x ) =
lim f ( x ) ⋅ g ( x ) =
x →a
x →a
b) Je-li lim f ( x ) = −∞ , lim g ( x ) = −∞ potom x →a
x →a
lim f ( x ) + g ( x ) = x →a
lim f ( x ) ⋅ g ( x ) = x →a
c) Je-li lim f ( x ) = +∞ , lim g ( x ) = −∞ potom lim f ( x ) ⋅ g ( x ) = x →a x →a x →a d) Je-li lim f ( x ) = +∞ a k konstanta potom lim k ⋅ f ( x ) = x →a x →a e) Je-li lim f ( x ) = −∞ a k konstanta potom lim k ⋅ f ( x ) = x →a x →a
a) Je-li lim f ( x ) = +∞ , lim g ( x ) = +∞ potom lim f ( x ) + g ( x ) = +∞ x →a x →a x →a lim f ( x ) ⋅ g ( x ) = +∞ x →a
b) Je-li lim f ( x ) = −∞ , lim g ( x ) = −∞ potom lim f ( x ) + g ( x ) = −∞ x →a x →a x →a lim f ( x ) ⋅ g ( x ) = +∞ x →a
c) Je-li lim f ( x ) = +∞ , lim g ( x ) = −∞ potom lim f ( x ) ⋅ g ( x ) = −∞ x →a x →a x →a d) Je-li lim f ( x ) = +∞ a k konstanta potom: x →a
pro k > 0 lim k ⋅ f ( x ) = +∞ , pro k < 0 lim k ⋅ f ( x ) = −∞ x →a x →a e) Je-li lim f ( x ) = −∞ a k konstanta potom x →a
pro k > 0 lim k ⋅ f ( x ) = −∞ , pro k < 0 lim k ⋅ f ( x ) = +∞ x →a x →a
Pedagogická poznámka: Někteří studenti přijdou sami na to, že bodech d) a e) nemohou rovnou napsat výsledek pro všechny možnosti, ostatním to poradím. Předchozí výsledky nejsou vhodné k pamatování, stačí selský rozum. S jeho pomocí můžeme určit i další limity: cos x lim = 0 - čitatel zlomku nemá limitu, ale jeho hodnoty jsou v intervalu −1;1 , hodnoty x →∞ x jmenovatele se blíží k nekonečnu ⇒ celý zlomek se blíží k nule. Proč se neurčitými výrazy zabýváme právě teď? Většina našeho počítání limit byla o odstraňování neurčitých výrazů: lim x 2 − 2 x - neurčitý výraz typu: ∞ − ∞ x →∞
lim x 2 − 2 x = lim x ( x − 2 ) - určitý výraz typu ∞ ⋅ ∞ x →∞
x →∞
Jak jsou jednotlivé funkce silné? Pokud jde o lim f ( x ) = +∞ platí následující řada (od nejslabšího): log a x , x →∞
n
x (větší n jsou
slabší), x n (větší n jsou silnější), a x . Na zbytek hodiny se vrátíme k výpočtům limit. Rozšiřování zlomků můžeme použít i u jiných funkcí než x n : 3
2 x +1 1 1 + x 2+ x x 2 +1 2 = 2+0 = 4 lim = lim 2x −1 2 = lim x →+∞ 2 x −1 + 2 x →+∞ 2 x →+∞ 1 2 1 2 + x +0 + x x 2 2 2 2 2 x +1
Př. 4:
Urči limity: 2x+2 − 2x a) lim x −1 x →+∞ 2 − 32
2 x−2 + 1 b) lim x + 2 x →−∞ 2 −8
c) lim
x →∞
log x + 2 3log x − 3
2 x+2 2x − x x 2 −2 22 − 1 4 −1 2 2 a) lim x −1 = lim x −1 = lim = =6 x →+∞ 2 x →+∞ x →+∞ 1 32 1 2 32 − 32 − − 0 − 2 2x 2 2x 2x 2 x −2 + 1 0 + 1 1 b) lim x + 2 = =− x →−∞ 2 − 8 −8 8 2 2 log x + 1+ log x + 2 1+ 0 1 log x log x log x c) lim = lim = lim = = x →∞ 3log x − 3 x →∞ log x x →∞ 3 3 3−0 3 3 − 3 ⋅1 − log x log x log x x+2
x
Mnohdy nejsou úpravy příliš (spíš vůbec) zřejmé: ( x2 + 5x ) − x2 x 2 + 5x + x 2 2 = lim x + 5 x − x = lim x + 5 x − x ⋅ = lim x →+∞ x →+∞ x 2 + 5 x + x x →+∞ x 2 + 5 x + x x 5 5x 5 5 5 x = lim = lim = = lim x →+∞ 1+ 0 +1 2 x 2 + 5 x + x x→+∞ x 2 5 x x x →+∞ 1 + 5 + 1 + 2 + 2 x x x x
(
)
Pedagogická poznámka: Než spočítám předchozí příklad na tabuli, nechávám studenty limitu hádat. Ještě nikdy se nikdo netrefil (já bych spletl také). Jde o to, aby si studenti uvědomili, že ne vždy je výsledek zřejmý. Př. 5:
a) lim
x →+∞
Urči limity: 3x − 1 a) lim x →+∞ x+2 3x − 1 = lim x + 2 x →+∞
b) lim x − x 2 + 2 x x →∞
x 1 1 3 − 3− x x = lim x = 3− 0 = 3 x →+∞ x 2 2 1+ 0 + 1+ x x x
4
c) lim x x →∞
(
x − 3 − x +1
)
x2 − ( x2 + 2 x ) x + x2 + 2 x 2 lim x − x + 2 x = lim x − x + 2 x ⋅ = = lim x →∞ x →∞ x + x 2 + 2 x x →∞ x + x 2 + 2 x x b) −2 −2 x −2 −2 x = lim = lim = lim = = −1 x →∞ x →∞ 2 1+ 1+ 0 x + x 2 + 2 x x →∞ x x2 x 1+ 1+ + 2 +2 2 x x x x x − 3 + x +1 lim x x − 3 − x + 1 = lim x x − 3 − x + 1 ⋅ = x →∞ x →∞ x − 3 + x +1
(
2
(
)
)
(
)
( x − 3) − ( x + 1) = lim −4 x c) = lim x ⋅ = lim x →∞ x →∞ x →∞ x − + x + x − + x + 3 1 3 1 −4
= lim
x →∞
Př. 6:
1−
3 1 + 1+ x x
=
−4
x x
x 3 x 1 − + + x x x x
=
−4 = −2 1− 0 + 1+ 0
Petáková: strana 154/cvičení 11 e) f) strana 154/cvičení 12 e) f) strana 154/cvičení 13 c) d) g) h)
Shrnutí: Z nul a nekonečen můžeme sestavit výrazy, jejichž hodnota není zřejmá, bez bližší znalosti limity.
5
