Nespojitá vlákna Nanokompozity Pro 5. ročník nanomateriály Fakulta mechatroniky © Katedra materiálu Strojní fakulty Technická univerzita v Liberci Doc. Ing. Karel Daďourek, 2010
Vliv nespojitých vláken Uspořádaná nespojitá vlákna ( 1D systém) s tahovým zatížením v hlavním směru Zatížení do krátkých vláken se může dostat pouze adhezními silami z matrice Protože jsou vlákna velmi tenká, zanedbáváme síly přenášené základnami vláken Veškerá síla je do vláken přenášena tečnými adhezními silami z matrice K posouzení vlivu těchto sil je nutné předpokládat, jaké je chování matrice i vláken při zatížení – podíl elastické a plastické deformace.
Elastická vlákna – dokonale plastická matrice
Plastická deformace v matrici kolem vlákna
Výpočet rovnováhy Rovnice rovnováhy σ*πr2 + τp*2πr*dx = (σ+dσ)*πr2 Úpravou získáme dσ = 2 τp/r*dx Integrací od kraje až do středu vlákna délky 2*l
σdmax = τp*2*l / r
τp je tečné napětí mezi matricí a vláknem
Malé napětí ve vláknech Průběh napětí v tak krátkých vláknech, že je σmax menší než σd, odpovídající Voigtovu modelu pro spojitá vlákna. Tedy σmax < σc* Ed/Ec Střední napětí ve vláknech je σs = σmax /2 Užití vlákna je neefektivní – není nikde zatíženo až na zatížení dosahované u dlouhých vláken
Větší napětí ve vláknech Průběh napětí v takových vláknech, že je uprostřed napětí, odpovídající Voigtovu modelu –dál se nemůže zvýšit Tedy σmax = σc* (Ed/Ec) Na každé straně napětí roste v délce lt = (Ed/Ec)* σc *( r/2 τp) Střední napětí ve vláknech je σ s = σ max * (1 - lt /l ) Vlákno má neefektivní délku 2* lt = (Ed/Ec)* σ c * (r/ τ p)
Porušení vláken Jestliže je ve středu vlákna dosaženo napětí Rdu, vlákno praskne. Má tedy délku 2*lt. Přitom lt = lk …. Kritická délka vlákna. Platí tedy
lk = Rdu * r / 2 τ p
Závisí na materiálových vlastnostech i rozměrech vlákna, proto raději kritická štíhlost sk = l k / r = Rdu / 2 τ p Tečné napětí τ p může být buď mez kluzu matrice, nebo tečné adhezní napětí, nebo tření mezi matricí a vláknem
Neefektivní délka při porušení Vlákno délky menší než 2 * lk se nikdy nemůže přetrhnout Při porušení kompozitu je takovéto vlákno vytrženo. Lom kompozitu tedy nastává vytržením vláken z matrice. Jsou to tzv krátká vlákna. Vlákno délky 2 * lk se může buď vytrhnout nebo přetrhnout, i když je uprostřed něho napětí Rdu, je v něm přitom ale střední napětí jen Rdu / 2 Vlákno délky nad 2 * lk se přetrhne – dlouhé vlákno (ale ne spojité)
Jiná chování matrice
Vztahy jsou daleko komplikovanější, průběhy ale přibližně souhlasí
Elastické řešení matrice
Průběhy odpovídají hyperbolickým funkcím. z je vzdálenost od okraje krátkého vlákna. Kritická štíhlost z ideálně plastického přiblížení s k = 1,6 – řešení přibližně odpovídá obrázku V matrici vychází tlakové radiální napětí - výhodné pro únavu
Elastoplastická skutečnost Experimentálně zjištěný průběh z je vzdálenost od okraje krátkého vlákna Kritická štíhlost vypočtená z ideálně plastického přiblížení sk = 31 Z obrázku okolo 30 Je možné použít ideálně plastické přiblížení
Tuhost kompozitů Pro nespojitá vlákna je Youngův modul v podélném směru Ekd menší než pro spojitá - označení Ek. Přesný výpočet z Halpin Tsaiových rovnic. Přibližný vztah Ekd = Ek * (1 – lk/l * ε/ε u ), lk je kritická délka, l délka vlákna, εu je deformace vláken při jejich lomu. Je vidět, že Youngův modul kompozitu klesá s rostoucí deformací. Příčný Youngův modul není délkou vláken ovlivněn.
Skutečná změna E
Ukázka skutečných poklesů podélného Youngova modulu se štíhlostí vlákna Vlevo pro kompozit epoxid - C vlákno Vpravo pro kompozit epoxid - skleněné vlákno Pokles modulu nastává pod štíhlostí sk = 100, u grafitu výraznější – větší poměr modulů
Nanovlákna ●
●
Jestliže uvažujeme nejsilnější nanovlákno o průměru 100 nm, odpovídá štíhlosti sk = 100 délka vlákna 10 mikrometrů! V převážné většině případů jsou tedy nanovlákna (vzhledem ke své minimální tloušťce) tak dlouhá, že je možné pro ně používat vztahy a modely pro spojitá vlákna.
Střední napětí ve vláknech Obecně lze psát σ s = σ max* (1 – (1-q)*lk /l ) Korekční koeficient q je poměr modrých ploch k ploše růžových trojúhelníků Koeficient q je mezi 0 a 0,5, většinou se jen velmi málo liší od nuly (do 0,1 – chyba 10 %) Pak σ s = σ max* (1 – lk /l )
Pevnost kompozitu Pro dlouhá vlákna platí odvozené vztahy pro podélnou pevnost v tahu u spojitých vláken, jestliže místo Rdu dosadíme střední hodnotu napětí ve vláknech při jejich praskání Rdus = Rdu * (1 – lk /l ) Pro krátká vlákna s l < 2 * lk neplatí - nutno počítat s vytažením a ne s porušením vláken
Pevnost pro krátká vlákna Pokud je l < 2 * lk platí vztah
vf * τ p*l/2r + Rmu * (1 – vf)
Rku =
Pro kritickou délku l = 2 * lk (50 % neúčinná délka) platí vztah (trojúhelníkový průběh napětí)
Rku = vf * Rdu/2 + Rmd * (1 – vf)
Pro kritický objem vláken platí
vkrit = (Rmu – Rmd) / (τ p*l/2r – Rmd)
Pro kritickou délku l = 2 * lk je kritický objem vláken téměř dvojnásobný než pro spojitá vlákna
Pevnost pro dlouhá vlákna Pro vlákna délky l > 2 * lk platí vztah Rku = vf * Rdu*(1 - lt /l ) + Rmd*(1– vf) Pro kritický objem vláken platí vkrit = (Rmu – Rmd) / (Rdu*(1 - lt /l ) – Rmd) Pokud bychom chtěli uvažovat jinou než ideálně plastickou matrici, nutno ještě zavést korekční součinitel q – jen velmi malé změny.
Pokles pevnosti kompozitu Tabulka poklesu pevnosti s délkou krátkých vláken
l/lk 1 2 5 10 50 100 Rkuk / Rkus 0,5 0,75 0,90 0,95 0,99 0,995 - Rkuk - pevnost kompozitu s krátkými vlákny, Rkus - pevnost kompozitu se spojitými vlákny - Je patrné, že s přesností do 10 % je možné s vlákny od pěti kritických délek počítat jako se spojitými
