Název: Osová souměrnost Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 3. (1. ročník vyššího gymnázia) Tématický celek: shodná zobrazení Stručná anotace: Na modelových úlohách si žák osvojí dovednosti, zaměřené na využití shodného zobrazení – osová souměrnost. Časová dotace: 1 x 45 min.
Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech ‒ inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita.
Pomůcky (seznam potřebného materiálu) Rýsovací potřeby (pravítko, kružítko, tužka) Teorie O(o) - Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení, které každému vzoru X∉o přiřadí obraz X´ tak, že přímka XX´ je kolmá k přímce o a střed úsečky XX´ leží na přímce o. Bod Y ležící na ose o je samodružný, tedy pro Y o platí, že Y=Y´. (Vzor i obraz leží na přímce kolmé na osu souměrnosti o a zároveň jsou od osy souměrnosti stejně vzdálené). Postup práce Student obdrží pracovní list s narýsovaným zadáním. Na základě vědomostí, nabytých během hodin teorie shodných zobrazení se student pokusí zkonstruovat požadované objekty. V každé úloze je prostor na rozbor úlohy, popis konstrukce, samotnou konstrukci a diskusi počtu řešení. Práci začíná student rozborem, na jehož základě sepíše popis konstrukce. Samotnou konstrukci následně vytvoří do zadání. Počet řešení rozebere v diskusi počtu řešení. Pracovní list pro učitele obsahuje výsledné řešení úlohy. V pracovním listu každého studenta by se mělo, vzhledem ke stejným vstupním objektům, objevit totožné řešení doprovozené diskuzí řešitelnosti.
Výsledky 1) Jsou dány kružnice k1(O1, r1) a k2(O2, r2). Leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou p. Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby jeho vrcholy A, C ležely na kružnicích k1 a k2 (po řadě) a úhlopříčka BD (|𝑩𝑫| = 𝟓𝒄𝒎) na přímce p. Proveďte diskusi řešení.
2) Je dána přímka p a body A, B ležící v opačných polorovinách s hraniční přímkou p (AB není kolmá na p). Sestrojte na přímce p bod V tak, aby osa úhlu AVB ležela na p. Proveďte diskusi řešení.
3) Do čtverce ABCD vepište rovnostranný trojúhelník AYZ tak, aby 𝒀 ∈ 𝑩𝑪, 𝒁 ∈ 𝑪𝑫. Proveďte diskusi řešení.
4) Je dána kružnice k(S; r) a bod M vně kružnice k. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky, pro něž je k kružnice vepsaná a bod M leží na přímce obsahující jednu stranu trojúhelníka. Proveďte diskusi řešení.
5) Pokuste se najít dráhu světlé koule tak, aby se odrazila od jedné stěny kulečníkového stolu a následně trefila černou kouli.
Diskuze Tento pracovní list je základem pro práci s pracovním listem „Osová souměrnost 2“, ve kterém student využije především prostředí programu dynamické geometrie GeoGebra.
Pracovní list pro žáka
Osová souměrnost 1 Pomůcky (seznam potřebného materiálu) Rýsovací potřeby (pravítko, kružítko, tužka) Teorie O(o) - Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení, které každému vzoru X∉o přiřadí obraz X´ tak, že přímka XX´ je kolmá k přímce o a střed úsečky XX´ leží na přímce o. Bod Y ležící na ose o je samodružný, tedy pro Y∈o platí, že Y=Y´. (Vzor i obraz leží na přímce kolmé na osu souměrnosti o a zároveň jsou od osy souměrnosti stejně vzdálené). Postup práce: Pokuste se najít zadané objekty s využitím osové souměrnosti. V každé úloze nejprve zapište rozbor, následně popište konstrukci a samotnou konstrukci proveďte do předkresleného obrázku. Nakonec v diskusi rozeberte počet řešení úlohy. Úlohy: V některých úlohách se dá najít řešení bez využití osových souměrností. Takové řešení není chybné, snažte se však konstrukce provádět s co nejmenším počtem konstrukčních kroků, v čemž vám osová souměrnost pomůže. 1) Jsou dány kružnice k1(O1, r1) a k2(O2, r2). Leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou p. Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby jeho vrcholy A, C ležely na kružnicích k1 a k2 (po řadě) a úhlopříčka BD (|𝑩𝑫| = 𝟓𝒄𝒎) na přímce p. Proveďte diskusi řešení. Rozbor:
Diskuse:
Popis konstrukce:
2) Je dána přímka p a body A, B ležící v opačných polorovinách s hraniční přímkou p (AB není kolmá na p). Sestrojte na přímce p bod V tak, aby osa úhlu AVB ležela na p. Proveďte diskusi řešení. Rozbor:
Popis konstrukce:
Diskuse: 3) Do čtverce ABCD vepište rovnostranný trojúhelník AYZ tak, aby 𝒀 ∈ 𝑩𝑪, 𝒁 ∈ 𝑪𝑫. Proveďte diskusi řešení. Rozbor:
Diskuse:
Popis konstrukce:
4) Je dána kružnice k(S; r) a bod M vně kružnice k. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky, pro něž je k kružnice vepsaná a bod M leží na přímce obsahující jednu stranu trojúhelníka. Proveďte diskusi řešení. Rozbor:
Popis konstrukce:
Diskuse: 5) Pokuste se najít dráhu světlé koule tak, aby se odrazila od jedné stěny kulečníkového stolu a následně trefila černou kouli. Rozbor:
Popis konstrukce:
Diskuse: Diskuze: U kterých úloh je podle vašeho názoru použití osové souměrnosti nezbytné, u kterých se dá nahradit jinými konstrukčními kroky a kterými?
