Nama Peserta : No Peserta : Asal Sekolah : Asal Daerah :

Nama Peserta No Peserta Asal Sekolah Asal Daerah

: : : :

1. Terdapat sebuah fungsi H yang memetakan dari himpunan bilangan asli ke bilangan asli lainnya dengan ketentuan sebagai berikut. Misalkan akan dicari nilai fungsi H jika x=38. 38 terdiri dari 3 puluhan dan 8 satuan.3+8=11 terdiri dari 1 puluhan dan 1 satuan.1+1=2.38+11+2=51. Sehingga H(38)=51. Ada berapa banyak solusi nilai x yang memenuhi H(x)=60? Jawab :


: : : :

1

2.

 t arctan t dt 0

Jawab :

=….


: : : :

3. Buktikan bahwa jika x dan y bilangan rasional yang memenuhi x5  y5  2 x 2 y 2 maka 1-xy adalah kuadrat dari suatu bilangan rasional. Jawab:


: : : : n

n-1

4. Diberikan polinomial p(x) = x + a1x

n-2

+ a2 x

+ ⋅⋅⋅ + an-1x + an dengan koefisien

a1, a2, ⋅⋅⋅, an semuanya bilangan bulat. Jika p(0) dan p(1) keduanya bilangan ganjil, tunjukkan bahwa p(x) tidak mempunyai akar bilangan bulat. Jawab :


: : : : 2

5. Untuk n bilangan bulat, tunjukkan bahwa n + 2n + 12 bukan merupakan kelipatan 121. Jawab :


: : : :

6. Misalkan P(x, y) adalah polinomial dengan dua variabel x, y yang memenuhi P(x, y) 2

2

= P(y, x) untuk setiap x, y (sebagai contoh polinomial x − 2xy + y memenuhi kondisi demikian). Jika (x − y) adalah faktor dari P(x, y), maka tunjukkan bahwa (x 2

− y) adalah faktor dari P(x, y). Jawab :


: : : :

7. Tentukan bilangan yang tepat memiliki 8 pembagi positif, dan hasil kali pembagipembaginya sama dengan 331776. Jawab :


: : : : p

2

8. Tentukan semua bilangan prima p yang memenuhi 2 + p juga prima. Jawab:


: : : : 3

2

2

9. Misalkan a, b, c adalah bilangan real berbeda yang memenuhi a = 3(b + c ) − 25 , 3

2

2

3

2

2

b = 3(c + a ) − 25 dan c = 3(a + b ) − 25. Tentukan nilai abc. Jawab:


: : : :

10. Sebanyak n orang pengurus sebuah organisasi akan dibagi ke dalam empat komisi mengikuti ketentuan berikut: (i) setiap anggota tergabung kedalam tepat dua komisi, dan (ii) setiap dua komisi memiliki tepat satu anggota bersama. Berapakah n ? Jawab:


: : : : 3

3

3

3

3

3

11. Jika a, b dan c bilangan bulat tunjukkan bahwa abc(a − b )(b − c )(c − a ) habis dibagi 7. Jawab :


: : : : n

n

n

12. Jika x, y, z dan n adalah bilangan asli yang memenuhi x + y = z maka buktikan bahwa x, y dan z semuanya lebih dari n. Jawab:


: : : :

13. Tentukan semua bilangan tiga angka yang merupakan penjumlahan dari faktorial digit-digitnya. Jawab:

Nama Peserta No Peserta Asal Sekolah Asal Daerah 14. Tentukan

: : : : semua

bilangan

bulat

n

yang

25 625 25 625  n    n adalah bilangan bulat 2 4 2 4 Jawab:

memenuhi

bahwa


: : : :

15. Tentukan semua 3 x 3 magic square. Definisi : Sebuah n x n magic square adalah sebuah matriks dengan ukiuran n x n yang elemen-elemennya adalah bilangan bulat 2

- bilangan bulat 1, 2, 3, ⋅⋅⋅, n dan memenuhi jumlah elemen pada masing-masing baris, masing-masing kolom dan kedua diagonal utama sama. Contoh 4 x 4 magic square adalah : 1

15

14

4

12 6

7

9

8

10

11 5

13 3

2 16

Jawab:


: : : :

16. Buktikan atau berikan bantahan bahwa ada bilangan bulat yang menjadi dua kali nilai semula jika angka pertama dipindahkan menjadi angka terakhir. Jawab:


: : : :

17. Buktikan bahwa

selalu bernilai bilangan bulat. Jawab:


: : : :

18. Pada bulan Desember, masing-masing 20 orang siswa dalam satu kelas yang sama megirimkan 10 kartu ucapan selamat kepada kawan-kawannya yang lain yang juga berada dalam satu kelas yang sama. Kelas tersebut hanya berisi ke-20 orang siswa tersebut. (i)

Buktikan bahwa terdapat sedikitnya satu pasang siswa yang saling mengirim kartu.

(ii)

Misalkan sebuah kelas terdiri dari n siswa masing-masing mengirimkan m kartu ucapan selamat kepada m orang kawan-kawannya yang lain yang juga berada dalam satu kelas yang sama. Bagaimanakah hubungan m dan n sedikitnya satu pasang siswa yang saling mengirim kartu?

Jawab:


: : : :

19. Banyaknya soal matematika yang dikerjakan Fina hari ini bertambah tepat 40% dibandingkan dengan yang dikerjakannya kemarin. Banyaknya soal yang dikerjakan Fina hari ini paling sedikit ada? Jawab:


: : : :

20. Buktikan bahwa satu-satunya solusi positif dari persamaan a + b2 + c3 = 3 b + c2 + a3 = 3 c + a2 + b3 = 3 adalah (a, b, c) = (1, 1, 1). Jawab:


21. Buktikan ∑ Jawab:

: : : :

(

)(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)


: : : :

22. Jika bilangan riil buktikan bahwa ( Jawab:

)

memenuhi (

)

(

)

(

)

,


23. Jika Jawab:

: : : :

(

)

(

)

√

, buktikan bahwa

.


: : : :

24. Luas daerah yang berwarna hitam adalah

Jawab:


: : : :

25. Tentukan nilai terkecil dari n bilangan asli yang dapat ditulis sebagai penjumlahan 9 bilangan asli berurutan, penjumlahan 10 bilangan asli berurutan dan penjumlahan 11 bilangan asli berurutan. Jawab:


: : : :

26. Tunjukkan bahwa tidak terdapat tiga buah bilangan ganjil berurutan yang masingmasing merupakan jumlahan dua buah bilangan kuadrat lebih besar dari 0. Jawab:


: : : :

27. Tentukan himpunan penyelesaian dari 12x4 – 56x3 + 89x2 – 56x + 12 = 0 Jawab:


: : : :

28. a dan b adalah bilangan bulat yang memenuhi a2 + 3a2b2 = 30b2 + 517. Tentukan 3a2b2 Jawab:


: : : :

29. , ,  merupakan akar-akar dari x3 – x2 + 1 = 0. Berapakah Jawab:


: : : :

30. ABCD adalah persegi panjang. P adalah titik tengah AB dan Q adalah titik pada PD sehingga CQ tegak lurus PD. Buktikan bahwa segitiga BQC sama kaki. Jawab:


: : : :

31. Untuk sembarang bilangan real t, ⎣t⎦ didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan t. Sebagai contoh : ⎣1/3⎦ =0,dan ⎣−5/2⎦ = −3. Tunjukkan bahwa persamaan ⎣x⎦ + ⎣2x⎦ + ⎣3x⎦ + ⎣4x⎦ + ⎣5x⎦ + ⎣6x⎦ = 1234 tidak mempunyai solusi x real. Jawab:


: : : : 2

2

32. Untuk nilai b yang mana persamaan 1988x + bx + 8891 = 0 dan 8891x + bx + 1988 = 0 mempunyai akar persekutuan ? Jawab:


: : : :

33. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan asli n dan semua bilangan asli d yang 2 2 membagi 2n , maka bilangan n + d bukan merupakan bilangan kuadrat sempurna. Jawab:


: : : : 2

13

34. Tentukan nilai a bulat yang membuat x − x + a membagi x + x + 90. Jawab:


: : : : 2

35. Misalkan a, b, c dan d bilangan prima yang memenuhi a > 3b > 6c > 12d dan a − 2 2 2 2 2 2 2 b + c − d = 1749. Tentukan semua kemungkinan nilai dari a + b + c + d . Jawab:

Nama Peserta : No Peserta : Asal Sekolah : Asal Daerah :

Recommend Documents