Multifok´ alis ellipszisek Vincze Csaba, Debreceni Egyetem 2014 November 25, 2014
Ellipszisek - klasszikus ´ ertelemben: F1 6= F2 ∈ S, d(F1, F2) < 2a. d(P, F1) + d(P, F2) = 2a
⇒
d(P, F1) + d(P, F2) = a. 2
´ ltal´ A anos´ıtott k´ upszelet: egy r¨ ogz´ıtett halmazt´ ol (f´ okuszsereg) m´ ert ´ atlagos t´ avols´ ag ´ alland´ o. Multifok´ alis ellipszis/polyellipszis: d(P, F1) + . . . + d(P, Fm) = a. m Optimaliz´ al´ as I - Fermat-probl´ ema (1643): datis tribus punctis, quartum reperire, a quo si ducantur tres rectae ad data puncta, summa trium harum rectarum sit minima quantitas. 1
Keress¨ uk azt a P pontot az ABC h´ aromsz¨ og s´ıkj´ aban, melyre a cs´ ucsokt´ ol m´ ert (euklideszi) t´ avols´ agok ¨ osszege minim´ alis. Tegy¨ uk fel, hogy P0(x0, y0) 6= Fi(xi, yi) (i = 1, . . . , m) minimaliz´ alja az f (x, y) =
m q X
(x − xi)2 + (y − yi)2
i=1
f¨ uggv´ enyt. 2
Ha ε > 0 ´ es P (x0 + ε, y0), akkor 0 ≤ f (P ) − f (P0) = ...+ q
(x0 + ε − xi)2 + (y0 − yi)2 −
q
(x0 − xi)2 + (y0 − yi)2 + ... = ...+
(x0 + ε − xi)2 − (x0 − xi)2 q
(x0 + ε − xi)2 + (y0 − yi)2 +
q
(x0 − xi)2 + (y0 − yi)2
+... = ...+
2ε(x0 − xi) + ε2 q
(x0 + ε − xi)2 + (y0 − yi)2 +
q
(x0 − xi)2 + (y0 − yi)2
+ ...
3
Osztva ε - nal ´ es az ε → 0+ hat´ ar´ atmenetet v´ eve x0 − xi q 0 ≤ ... + + ... 2 2 (x0 − xi) + (y0 − yi) Ha ε < 0, akkor az ellenkez˝ o ir´ any´ u rel´ aci´ ot kapjuk. Ez´ ert 0 = ... + q
x0 − xi
(x0 − xi)2 + (y0 − yi)2
+ ...
Megism´ etelve az elj´ ar´ ast a m´ asodik v´ altoz´ o szerint y0 − yi
0 = ... + q + ... 2 2 (x0 − xi) + (y0 − yi)
4
Az k¨ ovetkezik, hogy F1~P0 Fm~P0 + ... + = 0. ~ ~ |F1P0| |FmP0|
(1)
Finomabb anal´ızissel ad´ odik, hogy ha F1 minimaliz´ alja a c´ elf¨ uggv´ enyt, akkor X X Fi~F1 ≤ 1 = k1 ~ F 6=F |FiF1| Fi =F1 1 i
(2)
(az F1 f´ okusz multiplicit´ asa). A c´ elf¨ uggv´ eny regul´ aris ´ es fok´ alis minimumhelyeit jellemz˝ o (1) ´ es (2) ¨ osszef¨ ugg´ esek meghat´ aroz´ asa V´ azsonyi Endre ´ erdeme. 5
A Kem´ eny Zsigmond Re´ algimn´ aziumhoz f˝ uz¨ ott eml´ ekeim nem nagyon kellemesek De volt di´ ak´ eveimnek egy f´ enyes pontja: a K¨ oz´ episkolai Mathematikai ´ es Fizikai Lapok. Mindig t¨ urelmetlen¨ ul v´ artam, hogyan szerepeltem. Ez a lap tett engem matematikuss´ a. A lap feladatain kereszt¨ ul k´ esz¨ ultem fel az E¨ otv¨ os versenyre. 1934-ben els˝ o E¨ otv¨ os d´ıjat nyertem. Miut´ an Budapesten az egyetemet elv´ egeztem ´ es ledoktor´ altam, az ´ elet nagyon neh´ ezz´ e v´ alt sz´ amomra. El˝ osz¨ or P´ arizsba ker¨ ultem, majd ´ az Egyes¨ ult Allamokban m´ ern¨ ok lettem. Majd k´ es˝ obb management scientist. 6
Egy jellemz˝ oj´ et meg˝ oriztem a matematik´ anak: a probl´ em´ ak megfogalmaz´ as´ an´ al ´ es megold´ as´ an´ al a matematika nyelv´ et haszn´ alom, ez az el˝ ony¨ om m´ asokkal szemben. Az ´ en tan´ acsom azoknak, akik matematik´ at tanulnak: m´ egha nem is lesznek matematikusok, ugy tanulj´ ´ ak a matematik´ at, mint egy probl´ emamegold´ o nyelvet. A minimumhely keres´ es´ ere ´ altal´ aban nincs egyszer˝ u m´ odszer - a probl´ ema ny´ılv´ an a nem fok´ alis minimumhelyek keres´ ese, hiszen a (2) egyenlet a f´ okuszokon v´ egighaladva k¨ ozvetlen¨ ul ellen˝ orizhet˝ o. Az (1) egyenlet bal oldal´ an ´ all´ o vektor¨ osszeg azonban lehet˝ ov´ e tesz egy algoritmikus megk¨ ozel´ıt´ est.
7
Az ´ un. gradiensm´ odszer sikere a c´ elf¨ uggv´ eny sz´ ep tulajdons´ again m´ ulik (konvexit´ as). 8
Optimaliz´ al´ as II A minimum ´ ert´ ek´ ere viszont becsl´ esek nyerhet˝ ok a minimumhely explicit ismerete n´ elk¨ ul is. T´ etel (Vincze-Varga, 2008) c + . . . + cm 1 c1 + . . . + cm ≤ c0 ≤ 1 , 2 m−1 m ahol f (P ) =
m X
d(P, Fi),
ci := f (Pi)
i=1
´ es c0 a c´ elf¨ uggv´ eny ´ ert´ eke a minimumhelyen. A fels˝ o becsl´ es a f¨ uggv´ eny konvexit´ as´ ab´ ol k¨ ovetkezik, figyelembe v´ eve azt a t´ enyt, hogy a minimumhelynek a f´ okuszok konvex burk´ an (soksz¨ oglemez) kell elhelyezkednie. 9
Az als´ o becsl´ eshez egyfajta lesz´ all´ o´ ervel´ essel jutunk: tegy¨ uk fel, hogy ci0 annak a f¨ uggv´ enynek a minimuma, mely az Fi f´ okusz t¨ orl´ ese ut´ an m´ eri a t´ avols´ ag¨ osszeget. Ha P0 az eredeti c´ elf¨ uggv´ eny minimumhelye, akkor c0 = f (P0) = d(P0, Fi) +
X
d(P0, Fj ) ≥ d(P0, Fi) + ci0,
j6=i
Pm j amit az i indexre ¨ osszegezve: mc0 ≥ c0 + j=1 c0
⇒
12 + . . . + cm−1m m c c1 + . . . + c 0 ≥ 0 0 c0 ≥ 0 ≥ ... m−1 (m − 2)(m − 1)
Az elj´ ar´ ast addig folytatjuk, m´ıg valamennyi tagban el´ erj¨ uk a k´ et f´ okuszra vonatkoz´ o minimum´ ert´ ek szerepeltet´ es´ et: 10
p´ eld´ aul i ,...,im−2
c01
= d(Fm−1, Fm),
ahol az i1, . . . , im−2 indexek ism´ etl´ es n´ elk¨ ul veszik fel az 1, 2, . . ., m−2 ´ ert´ ekeket (a t¨ or¨ olt f´ okuszok indexeit). Mivel ez (m − 2)! szor bukkan fel a sz´ aml´ al´ oban szerepl˝ o ¨ osszegben, ez´ ert c0 ≥ (m − 2)!
d(F1, F2) + . . . + d(Fm−1, Fm) = (m − 1)!
d(F1, F2) + . . . + d(Fm−1, Fm) = m−1 1 2d(F1, F2) + . . . + 2d(Fm−1, Fm) 1 c1 + . . . + cm = . 2 m−1 2 m−1 11
Ez teh´ at az utols´ o f´ azis a trivi´ alis c0 ≥ 0 el˝ ott ´ es magas f´ okuszsz´ am eset´ en vil´ agos, hogy nem a legjobb. Cser´ ebe viszont egyszer˝ uen kisz´ am´ıthat´ o´ ert´ ekekkel dolgozik. T´ etel (Vincze-Varga, 2008) c + . . . + cm c0 = 1 m akkor ´ es csak akkor, ha a szintg¨ orb´ ek k¨ or¨ ok, vagy klasszikus ellipszisek (legfeljebb k´ et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o f´ okusz van egyenl˝ o multiplicit´ assal). Als´ o becsl´ es, mint pontos ´ ert´ ek: F1(−1, 0), F2(0, 0) ´ es F3(1, 0). Ekkor c0 = f (0, 0) = 2, c1 = 3, c2 = 2, c3 = 3 ´ es m = 3, azaz 1 c1 + . . . + cm = 2 = c0 . 2 m−1 12
13
14
Algebrai tulajdons´ agok: Legyen αi = (i = 1, . . . , m). ”Gy¨ oktelen´ıtend˝ o” az
q
(x − xi)2 + (y − yi)2
α1 + . . . + αm = a egyenlet. Az m = 1, illetve 2 esetek trivi´ alisak, ez´ ert pr´ ob´ alkozzunk az m = 3 esetben direkt sz´ amol´ assal: α1 + α2 + α3 = a, 2 − α2 a2 − α2 − α 1 2 3 α1 α2 + α1 α 3 + α2 α3 = 2 az els˝ o n´ egyzetre-emel´ es ut´ an. A k¨ ovetkez˝ o l´ ep´ esben:
2α1α2α3(α1 + α2 + α3) =
!2 2 2 2 2 a − α1 − α2 − α3
2
−
2 − α2 α2 − α2 α2 , α2 α 1 2 1 3 2 3 15
ahol α1 + α2 + α3 = a ´ırhat´ o. V´ eg¨ ul: 2 !2 2 − α2 − α2 − α2 a 2 2 2 2 2 − 1 2 3 0= − α2 1 α2 − α1 α3 − α 2 α3
2
2 α2 , 4a2α2 α 1 2 3
ami azt jelenti, hogy az α1 + α2 + α3 = a egyenlet˝ u poliellipszis pontjain az egyenlet jobb oldal´ an ´ all´ o k´ etv´ altoz´ os polinom elt˝ unik, azaz a polyellipszis egy algebrai g¨ orbe r´ eszek´ ent el˝ o´ all´ıthat´ o (legal´ abbis m = 3 eset´ en). Magasabb f´ okusz-sz´ am mellett a direkt sz´ amol´ as komoly neh´ ezs´ egekkel j´ ar, m´ egis felfigyelhet¨ unk az ´ un. elemi szimmetrikus polinomok x + y + z, xy + xz + yz, xyz felbukkan´ as´ ara, ami a tov´ abbiakat motiv´ alja. 16
J. Nie, P. Parrilo ´ es B. Sturmfels 2008-ban igazolt´ ak az im´ enti algebrai tulajdons´ agot tetsz˝ oleges f´ okusz-sz´ am mellett, az ´ un. Galois-elm´ elet seg´ıts´ eg´ evel. Itt egy elt´ er˝ o, elemi bizony´ıt´ ast adunk erre a t´ enyre: legyen p(a, α1, . . . , αm) =
Y
(a − ε1α1 − . . . − εmαm).
ε1 =±1,...,εm =±1
Az ε1 = . . . = εm = 1 v´ alaszt´ as mellett vil´ agos, hogy a p polinom elt˝ unik az α1 + . . . + αm = a egyenlet˝ u polyellipszis pontjaiban. A gy¨ oktelen´ıt´ es most az jelenti, hogy igazoljuk a k¨ ovetkez˝ o t´ etelt: T´ etel (Vincze-Szab´ o) 2 p(a, α1, . . . , αm) = q(a, α2 1 , . . . , αm ). 17
Teljes indukci´ o: m = 1 p(a, α1) = (a − α1)(a + α1) = a2 − α2 1; p(a, α1, . . . , αm, αm+1) = p(a − αm+1, α1, . . . , αm)p(a + αm+1, α1, . . . , αm) = 2 2 2 q(a − αm+1, α2 1 , . . . , αm )q(a + αm+1 , α1 , . . . , αm ).
Mivel a 2 2 2 q(x, α2 1 , . . . , αm )q(y, α1 , . . . , αm )
szorzat x ´ es y szimmetrikus polinomja, ez´ ert el˝ o´ all elemi szimmetrikus polinomok polinomjak´ ent a szimmetrikus polinomok alapt´ etele szerint. 18
Az x + y ´ es xy polinomokba helyettes´ıtve viszont az (a − αm+1) + (a + αm+1) = 2a, (a − αm+1)(a + αm+1) = a2 − α2 m+1 gy¨ okmentes kifejez´ eseket kapjuk, s ezzel az indukci´ o teljes. A bizony´ıt´ as m´ asik lehets´ eges m´ odja sorfejt´ esen alapszik: p(a, α1, . . . , αm) =
X
i
ci0i1...im ai0 α11 · . . . · αimm .
Mivel a bal oldal az α1 v´ altoz´ o p´ aros f¨ uggv´ enye, ez´ ert a jobb oldalon α1-nek csak p´ aros hatv´ anyai fordulnak el˝ o stb.
19
B´ ar a gy¨ oktelen´ıt´ es sikeres, a m´ odszer h´ atr´ anya, hogy ”hamis” ´ıvek is bej¨ onnek a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o szorz´ ot´ enyez˝ ok z´ erushelyei miatt. Az ˝ oket kiz´ ar´ o egyszer˝ u polinomi´ alis felt´ etelekr˝ ol (legink´ abb egyenl˝ otlens´ egek j¨ ohetnek sz´ oba) egyel˝ ore nem tudunk. 20
21
Irodalomjegyz´ ek 1. P. Erd˝ os and I. Vincze, On the approximation of closed convex plane curves, Mat. Lapok 9 (1958), 19-36 (in Hungarian, summaries in Russian and German). 2. C. Gross and T.-K. Strempel, On generalizations of conics and on a generalization of the Fermat-Toricelli problem, Amer. Math. Monthly, 105 (1998), no. 8, 732-743. 3. Z. A. Melzak and J. S. Forsyth, Polyconics 1. Polyellipses and optimization, Quart. Appl. Math. 35, Vol. 2 (1977), 239-255. 4. J. Nie, P. Parrilo and B. Sturmfels, Semidefinite representation of the K-ellipse, Algorithms in Algebraic Geometry Vol. 146 (2008), pp. 117-132, arXiv:math/0702005v1. 5. M. Petrovic, B. Banjac and B. Malesevic, The Geometry of Trifocal Curves and their Applications in Architecture, Urban and Spatial planning, arXiv:1312.1640v4. 6. R. Szab´ o, Multifok´ alis ellipszisek algebrai tulajdons´ agai, BSC szakdolgozat 2014.
7. Cs. Vincze and A. Varga, On a lower and upper bound for the curvature of ellipses with more than two foci, Expo. Math. 26 (2008), 55-77. 8. E. Weiszfeld (V´ azsonyi), Sur le point pour lequel la somme distances de n points donn´ es est minimum, Tohoku Math. J. Sendai 43, Part II (1937), 355-386.
