Mozaiky jako souþást ornamentální výzdoby prošly všemi slohy až po dnešek.
MOZAIKY generované poþítaþem
Secesní ornamentikou se prakticky uzavírá dlouhý vývoj evropského ornamentu a nČkteĜí výtvarníci mluví o tom, že nastala krize ornamentu.
Mozaiky jsou staré jako lidstvo samo
Celá chyba 19. století je v tom, že se domnívalo, že všechna zásadní Ĝešení tvarových problémĤ mĤže najít už hotová v pokladnici historie. (...) Ornament znamená práci navíc. To je modernímu þlovČku cizí, a ještČ cizejší je mu ornament primitivĤ, který má skrznaskrz náboženský a eroticko-symbolický význam a díky své primitivnosti hraniþí s umČním. ýím hloubČji stojí nČjaký národ, tím pĜebujelejší je jeho ornament a jeho šperk. (Adolf Loos: ěeþi do prázdna, I897-I900) . Nikdy jsem nemČl na mysli to, co puristé dohnali ad absurdum, že má být ornament systematicky a dĤslednČ vyhlazen. Jenom tam, kde už jednou z historické nutnosti vymizel, není ho možno znovu uvést v život. PrávČ tak, jako se þlovČk nikdy nevrátí k tetování svého obliþeje. (Adolf Loos pozdČji). (!?) Dekorace je ožehavá záležitost, ale þistý, jednoduchý „ornament“ je jako znamení: Je to syntéza, výraz Ĝádu. DČlat „ornament“ je kategorická disciplina. (Le Corbusier: Mé dílo). Konjunktura dekoru: Proþ se dneska široká fronta spotĜebitelĤ zase vrací ke kytiþkám, k výzdobČ, k dekoru? Z mnoha dĤvodĤ. PĜedevším je þistý tvar sám o sobČ nesmírnČ nároþný pro výrobce i spotĜebitele. (K. Pawek: Resopal - Forum). K úmČrnosti dneška pĜes meziváleþné Art Deco. 1
2
PĜ. 2 Nejde jen o fyzikální vlastnosti PĜ. Fa ELAN (1972)
3
4
Matematikové se vČnují mozaikám až ve 20. st., pĜedevším na popud krystalografie. Symetrie, at' v širším nebo užším smyslu slova, je idea, pomocí níž se þlovČk odedávna snažil vysvČtlit a vytvoĜit Ĝád, krásu a dokonalost. (Hermann Weyl, 1952) Mezi starovČkými dekorativními vzory jsou obsaženy všechny typy symetrického pokrytí roviny libovolnými obrazci. Je jich sedmnáct a znali je již staĜí EgypĢané. Vrcholu dokonalosti dosáhli Maurové. Matematický dĤkaz podal až G. Pólya v r. 1924. Rus E. S. Fjodorov a NČmec A. Schönfliesse odvodili všechny grupy symetrií v prostoru. Od té doby (1891) zná krystalografie 230 grup. PozdČji matematikové rozšíĜili krystalografické grupy tak, že periodické opakování tvarĤ spojili s periodickým opakováním barev. Teorie polychromatické symetrie doplĖuje 17 krystalografických grup o dalších 46 dvoubarevných, 6 trojbarevných, 6 þtyĜbarevných a 3 šestibarevné. Matematikové dokázali, že existuje právČ 1191 dvoubarevných prostorových grup. … atd. 5
6
PĜipomeĖme z poþítaþové grafiky:
7
8
Ornamentální mozaiky (ornamenty, mozaiky, dláždČní, parketáž, …) VytváĜejí výzdobu s typickou rytmickou strukturou a plní podmínku pokrytí a nepĜesahování:
Z morfologického hlediska dČlíme vzory do tĜí typĤ:
9
Rozetové mozaiky
10
Dihedrální („dvouzrcadlé“) rozetové mozaiky
Rozety obsahují jen dva typy symetrií: Hrany segmentĤ tvoĜí osy reflexe, vrcholový (dihedrální) úhel segmentu = ʌ/n, kde 2n je poþet segmentĤ
Cyklické rozetové mozaiky Výseþe (dlaždice, motivy, fundamentální jednotky) jsou kladeny v jednom smČru.
vrcholový úhel = 2ʌ/n, kde n je poþet segmentĤ PĜ.
Notací jsou oznaþovány jako rozety typu Dn., kde n je poþet dvojic segmentĤ. vrcholový úhel = 2ʌ/n, kde n je poþet segmentĤ
Notací jsou oznaþovány jako rozety typu Cn, kde n je poþet segmentĤ. 11
12
PĜ. Rozety ze studie S. Jablana, 1: PĜ. Rozety ze sbírky S. Jablana, 2: Neolit, 5500-5000 pĜ.n.l. stĜ. Asie.
Evropa StĜedomoĜí kol. 2500 pĜ.n.l.
a C4
a C4
b D4 b C4 c C4 d C6
c C4
e C5 d C4 f D4 g C4
e D3
13
Pásové mozaiky – vlysy (Frieze Groups)
Výtvarnou hodnotu rozet vytváĜí pĜedevším design výseþí a tvarování jejich hran. PĜ.
14
Aplikujeme (resp. hledáme) symetrie (izometrie) v nekoneþném pásu dlaždic. Vlys definuje soubor použitých symetrií (transformací), který, definuje grupu symetrií.
Stará a nová rozeta (hodinky a logotyp SBB)
Planární pásová mozaika mĤže obsahovat pČt symetrií (vþetnČ klouzavé). Translace T, reflexe podle os V a H, rotace R (o ʌ) a klouzavá reflexe G =HT=HT. T
V
R
H
G
15
16
DoplĖme: Rotace a klouzavá reflexe mohou mít dvojí kladení dlaždic (dva pivoty, dvČ polohy osy klouzavé reflexe). G R Typ lg
Typ ml
PČt planárních symetrií vlysu vytvoĜí jen sedm vzorĤ! Typ (grupa) l1
Typ lm Typ l2
17
18
PĜ. 1. Pásové mozaiky ze studie S. Jablana 3: Typ mg
StĜedomoĜí 5000 – 3000 pĜ.n.l. a - c grupa l2
Typ mm
19
20
PĜ. 2. Pásové mozaiky ze studie S. Jablana 2: PĜ. 3. Lidové pásové vzory domácí 10000 – 6000 pĜ. n.l. HorĖácko
a
ýiþmany
Palestina
b Jugoslávie
c Egypt
d Mykény
a–d
grupa mg
21
22
PĜ. Vlysové mozaiky z ostrova Pirgí - reverzace barev (D. A. James, …) Tak mĤžeme vytvoĜit další variace, napĜ.: Horizontální reflexe (mh), vertikální reflexe (mv), 2 násobná rotace (180q = ½ 360q) Vertikální reflexe, 2 násobná rotace, klouzavá reflexe (g) Vertikální reflexe Horizontální reflexe
2 násobná rotace Klouzavá reflexe Pouhá translace
Pamatujme:
Poznámka: Translace je pĜítomná vždy! VytváĜí pás vlysu.
Vlys
Jde-li o vícebarevnou mozaiku a symetrie mají respektovat i barvy, pak se obsah grupy symetrií daného vzoru mĤže podstatnČ zmČnit.
vytvoĜíme i 2 násobnou rotací a translací s reverzací barev (r‘). 23
24
RĤzné vzory budou tvoĜeny rĤznými tvary translaþních jednotek a fundamentálních oblastí:
TAPETOVÉ MOZAIKY - „složité“ periodické planární mozaiky Definiþní podmínky trvají:
25
Postup k urþení grup planárních symetrií (zkrácená krystalografická notace):
26
Upravený algoritmus B. Sandersona pro rozpoznání grupy planárních symetrií
n-násobná symetrie = rotaþní symetrie 27
28
PĜ. Redukovaný „katalogový“ list grupy planárních symetrií V. Ostromoukova (lit.).
PĜ 1. Mozaika s grupou p4
29
PĜ 2. Mozaika s grupou p3
30
PĜ 3. Mozaika s grupou p6
31
32
Poznámka: Urþení fundamentální oblasti a translaþní jednotky (mĜížky) není jednoznaþné !!!
PĜ 4. Mozaika s grupou mp6
Je-li více možností volíme „praktiþtČjší“ variantu ( pĜ.nedČlíme dlaždici).
33
34
StaĜí Japonci znali všech 17 grup planárních symetrií (autor: Urabe).
Bez rotací: p1, pg, pm, cm. S dvojnásobnou rotací, bez þtyĜnásobné a šestinásobné rotace: p2, pgg, pmg, pmm, cmm.
Do tapetových mozaik patĜí i vČtšina mozaik M. C. Eschera. Escherovým mozaikám bude vČnováno samostatné téma.
35
36
PĜ. 5
Se þtyĜnásobnou rotací: p4, p4g, p4m. S trojnásobnou rotací, bez rotace šestinásobné: p3, p3m1, p31m. S šestinásobnou rotací: p6, p6m
37
PĜ. 6
38
PĜ. 7
39
40
Regulární polymorfní dČlení roviny PĜipomeĖme:
41
42
Kolik vzorĤ mĤžeme vytvoĜit?
Pokud dovolíme rĤzné rozložení dlaždic ve spoleþných vrcholech, vytvoĜíme semiregulární polymorfní mozaiky.
43
44
Mozaiky s kombinovanými dlaždicemi NČkterá spojení regulárních dlaždic vytváĜejí dlaždice splĖující podmínku „teselace“.
Semiregulární polymorfní mozaiky
PĜ.
T. H. O´Beirne spojil sedm rovnostranných trojúhelníkĤ:
(J. Bishop dokázal, že jen jedna dlaždice nevyhovuje podmínce.)
Konstrukce mozaik vycházející z þtvercového motivu vytváĜí tzv. polyminové mozaiky. 45
POLYMINOVÉ MOZAIKY Tetromina
46
PENTOMINA
Poznámka: Triomina zmíníme pozdČji
Nepoþítáme-li otáþení a zrcadlení, dostaneme 12 základních dlaždic.
Abeceda pentomina je úplná,
dlaždice konstruujeme pĜemísĢováním jediného þtverce. Poznámka: Z pČti kostek (krychlí sousedících nejménČ jednou stČnou) lze konstruovat prostorová pentomina, která mají 29 základních 3D elementĤ – „dlaždic“. 47
48
Kreace Güntera Albrechta Büchlera: Nekoneþná regrese pentominových elementĤ: Každou dlaždici pentomina lze složit z 9 stejných dlaždic tĜetinové velikosti.
Z 12 pentominových dlaždic lze složit þtyĜúhelník. PĜ. Obdélník 6 x 10 lze složit v 2339 variantách.
Viz program Güntera Albrechta Büchlera (http://pubweb.nvu.edu/~gbuechler/programs.htm). Matematika polymin - Solomon W. Golomb: Polyominoes, Charles Scribener Sons, NY, 1959. 49
50
SPIRÁLOVÁ DLÁŽDċNÍ
Neperiodické mozaiky
Voderbergovo neperiodické dláždČní (1936 – 37)
Neperiodické mozaiky (nemají translaþní jednotku) ruší pravidelnost a proto jsou atraktivnČjší.
Poznámka: Neperiodické mozaiky dovolují i periodickou verzi provedení! Dlaždici tvoĜí rovnoramenný trojúhelník
(není však typická)
51
52
Varianty spirálového dláždČní:
PĜíklad konstrukce (H. Voderberg, A. Glassner)
53
54
SPIRÁLOVÉ MOZAIKY JEDNODUŠŠÍ KONSTRUKCE Spirálové mozaiky z dlaždic získaných pĜekrytím n-úhelníka (1978 – 1980) Paul Gailiunas je dČlí do dvou základních skupin: Zubaté (hvČzdicové) spirálové mozaiky
Srpovitá dlaždice a její dílce (kosoþtverce) úplnČ pokrývají rovinu. Dva zpĤsoby pĜiložení tvoĜí totožné zuby.
Poþet startovních ramen je dán pomČrem m = n/r , poþet cípĤ spirály je n. 55
56
PĜ. 1 PĜ. 2 Spirála o pČti ramenech z desetiúhelníka má deset cípĤ (zubĤ):
PČtiramenná spirála z dvacetiúhelníka:
57
PĜ. 3 Modifikace kladení dlaždic dává další možnosti:
58
Zavinuté spirály (ménČ zubaté) (Grunbaum a Shephard (1979)– Versatiles) Poþet vrcholĤ n je násobek šesti!!!
Krátká strana dlaždice pĤlí kosoþtverec, jehož úhel D = 60q.
RĤzné zpĤsoby pĜikládání dlaždic dávají další možnosti. 59
60
PĜ. 4
Omezíme-li poþet vrcholĤ n-úhelníka na dvanáct, mĤžeme vytvoĜit další varianty. Šestiramenná spirála z tĜicetiúhelníka: PĜ. 5 Jedna z mnoha variant versatilek dvanáctiramenná spirála z dvanáctiúhelníka:
Poznámka: Poþty rĤzných variant a mutací jsou matematicky dokazatelné.
61
62
Poznámka: VnoĜování (reptile) jako generátor spirál:
Samostatnou skupinu tvoĜí „vnoĜené“ dlaždice (Reptiles) a hierarchické dláždČní PĜ.
63
64
Je Ĝada dalších neperiodických vzorĤ:
Neperiodická mozaika z L dlaždic je vlastnČ fraktál (viz pĜíslušné téma) Základní seskupení prvkĤ a konstrukce mozaiky
Proces bývá oznaþován jako inflace
Konec þásti 1. 65
66
