MONETÁRNÍ MAKROANALÝZA

V YSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V P RAZE

M ONETÁRNÍ MAKROANALÝZA

JAN KODERA

T RAN VAN Q UANG

2011

Tento uˇcební text vznikl na základˇe podpory programu "Operational Program Prague — ˇ Adaptability", projekt "Finanˇcního inženýrství", a Grantové agentury Ceské republiky P402/10/0289 "Nestabilita finanˇcního trhu"

ii kbp.vse.cz/financni-inzenyrstvi/

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Pˇredmluva Žijeme v ekonomice a dobˇe, ve které nem˚uže být pochyb o d˚uležitosti mˇenové politiky, jejíž nástroje ovlivˇnují, y, dynamiku cen, dynamiku mˇenového kursu a dynamiku reálné produkce. Pˇresvˇedˇcení, že lze ekonomické veliˇciny ovlivˇnovat skrze úrokovou míru centrální banky nebo skrze regulaci penˇežní zásoby, sdílí naprostá vˇetšina ekonom˚u. Rozdíl je jak k danému problému pˇristupují. Prosazují dva významné proudy, které stojí za to, abychom je v pˇredmluvˇe této knihy pˇripomnˇeli. První z nich je moderní neoklasická ekonomie, ve které se prosazují myšlenky o aktivní úloze penˇežní zásoby. Pˇrevodový mechanizmus je pˇri tomto pˇrístupu popisován následujícím zp˚usobem. Mˇenová baze je chápána jako ˇrídící promˇenná. Je zvyšována nebo snižována pomocí nákup˚u a prodej˚u cenných papír˚u. Obchody s cennými papíry jsou provádˇeny tak, že banka urˇcuje objemy tˇechto obchod˚u. Pˇres p˚usobení multiplikátoru je mˇenovou bází ovlivˇnována penˇežní nabídka. Pokud penˇežní nabídka roste a penˇežní poptávka z˚ustává stejná, dochází k r˚ustu cen na komoditních trzích. Pokud penˇežní nabídka klesá, dochází k poklesu cen na komoditních trzích. Prostˇrednictvím regulace penˇežní nabídky tedy lze regulovat inflaci. Moderní neoklasické modely podobnˇe jako tradiˇcní neoklasická ekonomie vyluˇcují možnost regulace výroby r˚ustem nebo poklesem penˇežní nabídky. Teoretická odnož moderní neoklasické ekonomie - monetarismus tuto možnost pˇripouští v krátkém období a v podstatˇe ve smˇeru. restrikce penˇežní zásoby. Restrikce penˇežní zásoby zp˚usobí pokles agregátní poptávky a v d˚usledku toho i omezení výroby. Naopak expanze penˇežní nabídky m˚uže vést k r˚ustu produkce, pokud existují volné výrobní kapacity. Dalším významným proudem je keynesovská ekonomie. Keynesovská ekonomie nepovažuje penˇežní nabídku za nástroj, který by mohl aktivnˇe ovlivnit inflaci popˇrípadˇe výrobu. Penˇežní nabídku považuje za endogenní ekonomickou veliˇcinu. Keynesovské teorie pˇredpokládají, že centrální banky nejsou schopny regulovat penˇežní zásobu, ale jsou schopny regulovat úrokovou míru a pomocí ní regulovat nejenom inflaci ale i produkci. Konkrétní mˇenová politika vycházející z tohoto proudu se nazývá cílování inflace. V pojetí nové keynesovské ekonomie úroková míra centrální banky ovlivˇnuje pˇres cˇ asovou strukturu úrokových mˇer tržní úrokovou míru. Tržní úroková míra ovlivní produkci skrze IS kˇrivku. Produkce se odchýlí od svého potenciálu, což jednak ovlivˇnuje ceny, ale i mˇenový kurs.

iii Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

kbp.vse.cz/financni-inzenyrstvi/

Oba významné proudy ekonomického myšlení mohou pˇri odvozování svých závˇer˚u používat makroekonomické nebo mikroekonomické metody, které podrobnˇeji vysvˇetlujeme v úvodní kapitole tohoto textu. Makroekonomická metoda je cˇ tenáˇri tohoto tetu bližší, protože makroekonomické modely tvoˇrí podstatnou cˇ ást výuky na ekonomických školách. Mikroekonomická metoda je vlastní model˚um celkové dynamické rovnováhy, které v souˇcasné dobˇe pˇredstavují pˇrevládající smˇer soudobé ekonomické teorie. V rámci této teorie je nejvíce v souˇcasné dobˇe rozvíjena nová keynesovská ekonomie, která rozvíjí nˇekteré keynesovské myšlenky využitím mikroekonomického pˇrístupu. Poznatky obou proud˚u samozˇrejmˇe využívají praktici pˇri realizaci opatˇrení mˇenové politiky. Avšak kromˇe tradiˇcních postup˚u je aktuální uvažovat o vytváˇrení a používání moderních metod, které spoˇcívají ve vytváˇrení a testování makroekonomických nebo mikroekonomických model˚u. Kvantitativní analýza nedosahuje vždy perfektních výsledk˚u, což vede k rozsáhlým diskusím o oprávnˇenosti tˇechto metod. Problém užívání moderních analytických postup˚u však není v rámci vývoje ekonomických disciplín ˇrešen negativisticky, jejich vyˇrazením. Použití model˚u pˇri analýze ekonomických systém˚u nemá alternativu, jak ukazuje vývoj, a tak jednotlivé neúspˇechy konkrétních model˚u jsou ˇrešeny jejich reformulací a dalšími pokusy o odhady parametr˚u a dalšími pokusy o tvorbu realistické pˇredpovˇedi. Jedná se o dlouhodobý úkol, protože pˇri nejlepší v˚uli badatelé nemohou být schopni provést adekvátní formulaci problém˚u, efektivní využití dat a výbˇer úˇcinných metod odhadu parametr˚u modelu najednou a napoprvé. Spíše se jedná o dlouhodobý, ne-li o nekoneˇcný proces neustálého pˇribližování k ideálnímu poznání. V této knize se soustˇredíme na oblast mˇenové politiky a na dopady této inflaci a reálnou produkci. V prvé ˇradˇe se budeme vˇenovat pˇrevládajícímu proudu souˇcasné ekonomické teorie a to model˚um dynamické (stochastické) celkové rovnováhy. V rámci tˇechto výkladu model˚u preferujeme modely nové keynesovské ekonomie. Dále se zamˇeˇríme na makroekonomické dynamické nelineární modely a možnosti jak ovlivˇnovat inflaci a reálnou produkci v tˇechto modelech. Uvidíme, že modely dynamické stochastické celkové rovnováhy jsou strukturálnˇe komplikované a pˇresto produkují jednoduchou dynamiku. Makroekonomické dynamické nelineární modely jsou v principu jednoduché, ovšem jsou schopny produkovat složitou dynamiku, která pˇripomíná chování skuteˇcných ekonomických cˇ asových ˇrad. Kniha je rozdˇelena do šesti kapitol. První kapitola je úvodní. Po úvodní kapitole následuje výklad makroekonomických model˚u, který je soustˇredˇen do dvou rozsáhlejších kapitol.

iv kbp.vse.cz/financni-inzenyrstvi/


V kapitole druhé se zabýváme keynesovskými modely poptávky po penˇezích. Tˇretí kapitola obsahuje základní makroekonomický model, a to model IS-LM. Zde ho ovšem pˇredkládáme jako dynamický nelineární model a ukazujeme, že m˚uže generovat složitou dynamiku reálné produkce a úrokové míry. V kapitole cˇ tvrté se zabýváme inflací a popisujeme zde nˇekolik model˚u. V posledních dvou kapitolách pokraˇcujeme výkladem model˚u, které jsou budovány mikroekonomickou metodou.Jedná se o dynamické stochastické modely celkové rovnováhy (modely DSGE). Pátá kapitola obsahuje rozbor neoklasických model˚u DSGE. Jedná se o základní bezpenˇežní neoklasický model, dále o model s podmínkou placení pˇredem (cash in advance models)a nakonec o modely zahrnující penˇežní poptávku v užitkové funkci (Money-in-the-utility- function models. Kapitola šestá se zabývá modely nové keynesovské ekonomie. Najdeme zde jednak uzavˇrený nový keynesovský model a potom model malé otevˇrené ekonomiky. Výklad teorie obsažené v pˇredkládaném textu provádíme pomocí matematických model˚u. Jako ilustraci výkladu uvádíme ˇradu graf˚u. Matematika použitá ve výkladu nikterak nevyboˇcuje z rámce vysokoškolské matematiky, která je vyuˇcována na vysokých školách ekonomického zamˇeˇrení.

v Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti


Obsah 1

2

3

4

5

ÚVOD

1

1.1

Pˇredmˇet, metoda a cíle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Ekonomická dynamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Teorie oˇcekávání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4

Problémy mˇeˇrení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

KEYNESOVSKÉ TEORIE

16

2.1

Tradiˇcní teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2

Moderní transakˇcní teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3

Teorie portfolia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4

Tobin˚uv model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.5

Modely dílˇcího pˇrizp˚usobení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

ˇ ROVNOVÁHA NA PENEŽNÍM TRHU

65

3.1

Nelineární statický model IS-LM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.2

Komparativní statika . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.3

Dynamický nespojitý model IS-LM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

3.4

Spojitý dynamický model IS-LM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

MODELOVÁNÍ INFLACE

97

4.1

Statický model inflace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.2

Nespojitá dynamika inflace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

4.3

Spojitý dynamický nelineární pˇrístup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

NEOKLASICkÝ MODEL

124

5.1

Základní bezpenˇežní model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

5.1.1

Domácnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

5.1.2

Úloha penˇez v modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

5.1.3

Podnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

5.1.4

Determinace reálné úrokové míry a reálné mzdy . . . . . . . . . .

130

Dynamický model celkové rovnováhy s placením pˇredem . . . . . . . . . .

135

5.2

vii Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti


5.3 6

Model s penˇezi v užitkové funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

MODELY NOVÉ KEYNESOVSKÉ EKONOMIE

160

6.1

Uzavˇrený model nové keynesovské ekonomie . . . . . . . . . . . . . . . .

160

6.2

Model malé otevˇrené ekonomiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173

LITERATURA

187

viii kbp.vse.cz/financni-inzenyrstvi/


1

ÚVOD

Tato kapitola seznámí cˇ tenáˇre ze základními pojmy, které budeme dále používat. V její první cˇ ásti se budeme zabývat pˇredmˇetem mˇenové analýzy, metodami zkoumání a cíli moderní mˇenové teorie. Ve druhé cˇ ásti se seznámíme s nˇekterými makroekonomickými veliˇcinami a jejich použitím pˇri mˇeˇrení d˚uležitých makroekonomických jev˚u. Zvláštní pozornost budeme vˇenovat mˇeˇrení produkce a inflace.

1.1

Pˇredmˇet, metoda a cíle

Pˇredmˇet zkoumání libovolné teorie vymezujeme popisem systému, který tato teorie studuje. Obecnˇe je systém vymezen jako soubor prvk˚u navzájem spjatých urˇcitými vztahy. Pˇredmˇetem zkoumání mˇenové analýzy je systém, který nazýváme ekonomikou. Ekonomika je souborem firem (vˇcetnˇe bankovních), domácností a dalších institucí jako vláda, nevládní instituce a národní banka. Mezi tˇemito institucemi existují vztahy realizované reálnými, penˇežními, finanˇcními a informaˇcními toky. Reálné toky jsou toky zboží a služeb. Finanˇcní toky jsou toky úvˇer˚u, úspor ale také daní. Penˇežní toky není nutné vysvˇetlovat, proudí opaˇcným smˇerem než toky zboží a služeb a než finanˇcní toky. Informaˇcní toky jsou d˚uležité, avšak tradiˇcní ekonomická teorie je studuje okrajovˇe. Povaha prvk˚u a vztah˚u mezi nimi vymezují jednotlivé sektory ekonomiky, jako je reálný sektor ekonomiky, penˇežní sektor a finanˇcní sektor. Reálný sektor zahrnuje firmy, domácnosti a ostatní instituce spolu s toky zboží a služeb. Výmˇena zboží a služeb se dˇeje prostˇrednictvím komoditního trhu. Mˇenový (monetární) sektor zahrnuje firmy,domácnosti, banky (vˇcetnˇe centrální) a jiné instituce spolu s penˇežními toky. V tomto sektoru hraje d˚uležitou úlohu penˇežní trh. Finanˇcní sektor zahrnuje jako prvky firmy,domácnosti, bankovní instituce a ostatní subjekty. Vztahy, které se utváˇrejí v rámci finanˇcního sektoru jsou vztahy mezi vˇeˇritelem a dlužníkem. Tyto vztahy mají úvˇeru a proto úrok, úroková míra a doba splatnosti má své d˚uležité místo v rámci této knihy. Protože tato kniha je knihou o mˇenové analýze, budeme se v ní zabývat pˇredevším mˇenovým sektor ekonomiky. Mˇenový sektor tržní ekonomiky je organizován a funguje jako penˇežní trh, budeme se zabývat jeho souˇcástmi jako je poptávka po penˇezích jako optimální

1 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti


množství penˇez v obˇehu a penˇežní nabídkou neboli potencionální schopností bank vytvoˇrit dané množství penˇez. Rovnost nabídky penˇez a poptávky po penˇezích, neboli rovnováha na penˇežním trhu její stabilita jsou dalšími nosnými tématy v této knize. Nerovnováha penˇežního trhu má m˚uže mít d˚usledky jak pro cenovou hladinu (Marshall˚uv pˇrizp˚usobovací proces), tak i pro úrokovou míru (Ricard˚uv pˇrizp˚usobovací proces). Neoklasický pˇrístup zd˚urazˇnuje souvislost vyrovnávacích proces˚u s cenovou hladinou a keynesovský pˇrístup souvislost s úrokovou mírou. Dynamika cenové hladiny je totožná s inflací, proto d˚uležitým pˇredmˇetem našeho zájmu bude inflace. Protože pohyby na penˇežním trhu souvisí i s úrokovou mírou (viz. keynesovský pˇrístup) budeme se vˇenovat i úrokové míˇre. Samozˇrejmˇe nelze složitou problematiku penˇez, inflace a úrokové míry vyložit bez souvislosti s komoditním a finanˇcním sektorem ekonomiky. Proto se v této knize obˇema sektory zabýváme, ale jen v nutné míˇre a v souvislosti s mˇenovým sektorem ekonomiky. Ke složité problematice mˇenového sektoru ekonomiky je možné pˇristupovat dvˇema metodami. První metodou je makroekonomická metoda. Makroekonomická metoda studuje vztahy mezi makroekonomickými veliˇcinami. Tyto veliˇciny se dˇelí na veliˇciny exogenní a endogenní . Vnˇejší makroekonomické veliˇciny ovlivˇnují systém, ale nejsou tímto systémem zpˇetnˇe ovlivˇnovány. Vnitˇrní makroekonomické veliˇciny jsou takové veliˇciny, které jsou urˇcovány vnˇejšími veliˇcinami a strukturou ekonomického systému. Makroekonomická metoda popisuje vztahy mezi makroekonomickými veliˇcinami ve formˇe soustav rovnic a snaží se o pˇredpovˇed’ vnitˇrních veliˇcin na základˇe pˇredpokládaného vývoje veliˇcin vnˇejších. Pˇri tom se zachovává zásada, že poˇcet rovnic popisujících danou ekonomiku je stejný jako poˇcet endogenních promˇenných. Stejný poˇcet rovnic a (endogenních) promˇenných sice nic z hlediska matematiky neznamená pro ˇrešení, ale ve vˇetšinˇe praktických pˇrípad˚u to vede k existenci právˇe jednoho ˇrešení. Minimálnˇe však stejný poˇcet rovnic a promˇenných, zejména v nelineárních pˇrípadˇe umožˇnuje použít matematických vˇet pro existenci a jednoznaˇcnost ˇrešení. Tyto vˇety jsou totiž vˇetšinou formulovány pro systémy o stejném poˇctu rovnic a neznámých. Další metoda je metoda mikroekonomická, která spoˇcívá ve zkoumání chování prvk˚u daného ekonomického systému. Tˇemito prvky jsou firmy, domácnosti, bankovní instituce a ostatní ekonomické subjekty. Chování ekonomických subjekt˚u je vˇetšinou popisováno opˇ timalizaˇcními úlohami. Rešení tˇechto úloh pˇredstavuje podmínky rovnováhy jednotlivých prvk˚u. Spojením podmínek individuálních rovnovah s podmínkami tržní rovnováhy dostaneme

2 kbp.vse.cz/financni-inzenyrstvi/


celkovou rovnováhu systému. Mikroekonomická metoda tedy postupuje tak, že na základˇe zákonitostí chování jednotlivých ekonomických subjekt˚u a vztah˚u mezi nimi odvozuje zákony chování celého makroekonomického systému. V mˇenové analýze budeme používat jak mikroekonomickou, tak i makroekonomickou metodu. Pˇri aplikacích makroekonomické a mikroekonomické metody je možné a obvykle velmi úˇcelné matematické vyjádˇrení studovaných vztah˚u. Na jedné stranˇe matematický popis znamená urˇcitou okliku, jak uvidíme v dalším výkladu, na druhé stranˇe znamená jisté zefektivnˇení a zpˇresnˇení našich úvah. Nemluvˇe o tom, že rovnice, které jsou výsledkem matematického popisu ekonomických jev˚u, je možné reformulovat jako ekonometrické rovnice a ty pˇrímo použít k predikci ekonomických veliˇcin. Klasický postup budování teorie spoˇcívá v tom, že vˇedec vybuduje systém postulát˚u, tj. tvrzení, která nejsou argumentována, ale oporu mají ve zkušenosti. Z tˇechto tvrzení jsou odvozovány vˇety pˇríslušné teorie. Pˇri odvozování tˇechto vˇet jsou respektována pravidla logiky. Pravdivost vˇet teorie je ovˇeˇrována praxí. Pokud je zjištˇen nesoulad teorie a praxe, je diskutován soubor postulát˚u teorie. Tato diskuse zpravidla vede i ke zmˇenˇe postulát˚u teorie. Problémy klasických postup˚u spoˇcívají v tom, že odvozování vˇet teorie m˚uže být pomˇernˇe nepˇrehledné, což vede k urˇcitým chybám a nepˇresnostem plynoucích z verbálního vyjadˇrování. Tato situace vede k tomu, že klasické odvozování vˇet teorie nahrazujeme použitím matematického aparátu. Moderní pˇrístup budování teorie spoˇcívá v tom, že vˇety pˇríslušné speciální teorie budujeme pomocí relativnˇe solidnˇe budovaného deduktivního systému, kterým je matematika. Používáme následujícího postupu. Výchozí systém postulát˚u vyjádˇríme matematicky jako soubor urˇcitých matematických úloh. Pˇri ˇrešení tˇechto úloh používáme vˇety matematické teorie a dospíváme k formulaci dalších specifických matematických výrok˚u, které se vztahují už k ˇrešení našeho problému a které zde nazýváme výsledky matematických úloh. Ekonomickou interpretací výsledk˚u matematických úloh dostáváme vˇety speciální teorie. Tyto vˇety pak ovˇeˇrujeme v praxi. Moderní postupy mají nesporné výhody co se týˇce aplikace matematiky pˇri dedukci specifických matematických vˇet, které vypovídají o vlastnostech ˇrešeného problému. Oproti klasickému postupu tu však máme nˇekteré problémy navíc. Pˇredevším je to problém modelování výchozích postulát˚u speciální teorie matematickými úlohami. Zde m˚uže dojít ke zkreslení, které se plnˇe projeví až pˇri ovˇeˇrení vˇet speciální teorie v praxi.



Dále uvedený graf pˇrehlednˇe ukazuje postup klasický a srovnává ho s moderními postupy. Blok oznaˇcený názvem Systém pˇredstavuje pˇredmˇet, kterým se zabývá pˇríslušná speciální teorie. Blok oznaˇcený názvem Postuláty pˇredstavuje systém postulát˚u speciální teorie. Oba bloky jsou spojeny šipkou, která reprezentuje proces vytváˇrení postulát˚u. Blok oznaˇcený názvem Vˇety teorie oznaˇcuje systém vˇet speciální teorie odvozený z postulát˚u. Šipka, která spojuje oba dva bloky pˇredstavuje proces odvozování vˇet speciální teorie. Ovˇeˇrování vˇet speciální teorie v praxi je zobrazeno šipkou spojující bloky Vˇety teorie a Systém. Moderní postup budování teorie je zobrazen pˇridáním dalších dvou blok˚u nazvaných Matematické úlohy a Výsledky matematických úloh. Formulace matematických úloh k postulát˚um speciální teorie je zobrazena šipkou spojující bloky Postuláty a Matematické úlohy. Proces ˇrešení matematických úloh je znázornˇen šipkou spojující bloky Matematické úlohy a ˇ Výsledky úloh. Interpretace vˇet matematiky je zobrazena šipkou spojující bloky Rešení úloh a Vˇety teorie.

Systém

Ovˇeˇrování

Vytváˇrení postulát˚u

?

Postuláty

Odvozování -

Vˇety teorie 6

Formulace úloh

Interpretace

?

Matematické úlohy

ˇ Rešení úloh -

Výsledky úloh

Cílem mˇenové analýzy je formulace vˇet o zákonitostech, které ovládají ekonomiku.Tyto vˇety jsou samozˇrejmˇe zamˇeˇreny na mˇenový sektor ekonomiky. Matematická formulace tˇechto zákonitostí je výhodná ze dvou d˚uvod˚u. Jedinci, kteˇrí myslí v matematicky formulovaných modelech, lépe nahlížejí do problematiky ekonomických proces˚u, lépe argumentují a mají



lepší pˇredpoklady pro rozvoj dosavadního poznání. Tˇežko se nám na tomto stupni poznání podaˇrí vymyslit lepší zp˚usob myšlení. Druhý d˚uvod tkví v tom, že matematické modely je možné reformulovat jako modely ekonometrické. Pomocí ekonometrických model˚u m˚užeme zpracovat prognózy, které zejména v souˇcasné dobˇe jsou velmi požadovány pˇredevším vedením centrálních bank jako podklady pro rozhodnutí v mˇenové politice.

1.2

Ekonomická dynamika

Vzhledem k tomu, že v této knize budeme vykládat dynamiku proces˚u v ekonomickém systému, bude užiteˇcné se zmínit o možných dynamických pˇrístupech a o užívané symbolice. Rozeznáváme nespojitou a spojitou ekonomickou dynamiku. Diskrétní dynamika pˇredpokládá, že cˇ as se mˇení nespojitˇe ve stejnˇe dlouhých obdobích. ˇ oznaˇcený symbolem t pak bude nabývat Délku období oznaˇcíme symbolem θ > 0. Cas hodnot t = . . . , −2θ, −θ, 0, θ, 2θ, . . . . Nebude na úkor obecnosti, když nˇekdy položíme θ = 1. Potom cˇ as t bude nabývat hodnot t = . . . − 2, −1, 0, 1, 2, . . . . Trajektorie vývoje ekonomických veliˇcin v nespojité dynamické teorii jsou popsány tak, že jisté vnitˇrní promˇenné závisí na ostatních zpoždˇených vnitˇrních promˇenných a souboru vnˇejších promˇenných. Pˇredpokládáme, že systém je popisován ν vnitˇrními a µ vnˇejšími promˇennými. Z matematického hlediska je tento popis soustavou diferenˇcních rovnic. Oznaˇcímeli vektorem xt = (x1,t , . . . , xν,t ) soubor vnitˇrních promˇenných, vektorem zt = (z1,t . . . , zµ,t ) a symbolem f zobrazení z prostoru <ν+µ do prostoru <ν , potom pro vektorový popis dynamického nespojitého systému dostaneme xt = f (xt−1 , xt−2 , . . . , xt−k , zt ), kde k > 0 znaˇcí ˇrád zpoždˇení. Symbolem aι,τ oznaˇcíme hodnotu ι-té vnitˇrní promˇenné v cˇ ase τ = 0, . . . , −k. Položíme A0 = (a1,0 , . . . , aν.0 ), . . . , A−k = (a1,−k , . . . , aν,−k ). Pro k poˇcáteˇcních podmínek platí x0 = A0 , x−1 = A−1 , . . . , x(1 − k) = A1−k . Výše uvedenou diferenˇcní rovnici z danými poˇcáteˇcními podmínkami m˚užeme ˇrešit v koneˇcném cˇ asovém horizontu t = 1, . . . , T jen za pˇredpokladu, je-li k dispozici scénáˇr vývoje vektoru vnˇejších promˇenných v podobˇe zadané posloupnosti z1 , . . . , z(T ). Potom m˚užeme volit rekurentní metodu ˇrešení. Do shora uvedené rovnice dosadíme za t jedniˇcku. Diferenˇcní rovnice pˇrejde



ve tvar x1 = f (x0 , x−1 , . . . , x1−k , z1 ). Do vzniklé rovnice napravo dosadíme poˇcáteˇcní podmínky, vektor exogenních promˇenných z1 , který podle pˇredpokladu známe ze scénáˇre a vypoˇcteme x1 . Nyní položíme t = 2 a tak obecný tvar diferenˇcní rovnice pˇrejde v rovnici x2 = f (x1 , x0 , . . . , x2−k , z2 ). Napravo dosadíme hodnotu x1 z pˇredchozího výpoˇctu, známý vektor vnˇejších promˇenných z2 a poˇcáteˇcní stavy systému A0 , A−1 , . . . , A2−k a vypoˇcteme hodnotu x2 . Dále pokládáme t = 3, 4, . . . a dostáváme postupnˇe další cˇ leny posloupnosti xt . Pˇredpokládejme nyní, že vlivy representované vnˇejšími promˇennými jsou stabilizovány, tj. vnˇejší promˇenné jsou konstanty a tedy obecná diferenˇcní rovnice p˚uvodnˇe neautonomního systému dostane tvar:1 xt = f (xt−1 , xt−2 , . . . , xt−k ), kde f = (f1 , . . . , fν ) a fι je funkcí hladkou na
Tuto rovnici nazveme rovnicí rovnováhy a její ˇrešení x¯ rovnovážným stavem systému. Fluktuací systému nazveme veliˇcinu ωt pro kterou platí ωt = xt − x¯,

t = −k + 1, . . . , −1, 0, 1, 2, . . . .

Ted’, když známe pojmy rovnováhy a fluktuace, jsme dostateˇcnˇe pˇripraveni k vyslovení tolik d˚uležitých definic (lokální) stability a lokálnˇe asymptotické stability. 1

Samozˇrejmˇe bychom mˇeli použít jiného symbolu než f . Jedná se totiž o jinou vektorovou funkci, jejíž složky nemají kν + µ promˇenných ale jak vzápˇetí uvidíme kν promˇenných. Protože v tomto textu nem˚uže dojít k zámˇenám plynoucím z ned˚usledného používání symboliky, dáme pˇrednost jednoduššímu postupu a použijeme opˇet symbolu f .



ˇ Definice 1.1. Rekneme, že nespojitý dynamický systém systém je (lokálnˇe) stabilní, jestliže ke každému > 0 existuje δ > 0 a t0 , tak, že platí [t > 0 ∧ kω0 k < δ ∧ · · · ∧ kω1−k k < δ] ⇒ [kωt k < ]. Definice 1.2. Pravíme, že nespojitý dynamický systém je lokálnˇe asymptoticky stabilní jestliže je stabilní a platí lim ωt = 0.

t→∞

Dynamika spojitých systém˚u je popisována diferenciálními rovnicemi. Na rozdíl od nespojitého pˇrístupu k dynamice ekonomických systém˚u, kde jsme pˇredpokládali zpoždˇení až do ˇrádu k ≥ 1, budeme ve spojitém pˇrípadˇe uvažovat zpoždˇení pouze do prvního ˇrádu tj. diferenciální rovnice prvního ˇrádu. Použijeme-li stejné oznaˇcení pro vnitˇrní a vnˇejší promˇenné jako u nespojitých systém˚u s tím, že cˇ as t se mˇení spojitˇe v intervalu (−∞, ∞), dostaneme následující popis spojitého dynamického systému x˙ ι (t) = fι (x1 (t), . . . , xν (t), z1 (t), . . . , zµ (t)),

ι = 1, . . . , ν,

t ∈ [0, ∞),

kde fι jsou hladké funkce ν + µ promˇenných. Teˇckou nad x(t) znaˇcíme derivaci podle cˇ asu. Ve spojité dynamické ekonomické teorii derivaci ekonomické veliˇciny podle cˇ asu nazýváme též okamžitým pˇrír˚ustkem. Poˇcáteˇcní podmínky budou mít tvar xι (0) = aι ,

ι = 1, . . . , ν,

kde aι je reálné cˇ íslo. Výše uvedenou soustavu m˚užeme napsat vektorovém tvaru x(t) ˙ = f (x(t), z(t)), kde x(t) ˙ = (x˙ 1 (t), . . . , x˙ ν (t)), x(t) = (x1 (t), . . . , xν (t)) a z(t) = (z1 (t), . . . , zµ (t)). Poˇcáteˇcní podmínky píšeme jako x0 = A, kde A = (a1 , . . . , aν ). Právˇe popsaný spojitý dynamický systém je nazýván neautonomním systémem, protože je ovlivˇnován vnˇejšími promˇennými . Diferenciální rovnice popisující tento systém lze ˇrešit pouze v pˇrípadˇe, kdy jsou zadány scénáˇre vývoje vnˇejších promˇenných, tj. známe pr˚ubˇeh funkce z. V pˇrípadˇe, že pr˚ubˇeh této funkce z se nemˇení v cˇ ase, hovoˇríme o autonomním systému. Diferenciální rovnice pro autonomní spojitý dynamický systém mají tedy tvar x(t) ˙ = f (x(t)).



Rovnovážný stav systému je takový stav, pˇri kterém se hodnoty promˇenných charakteristických pro systém nemˇení v cˇ ase. Rovnovážný stav oznaˇcíme symbolem x¯ = (¯ x1 , . . . , x¯ν ) a získáme ho jako ˇrešení rovnice 0 = f (¯ x). Podobnˇe jako u nespojitých systém˚u definujeme fluktuaci vztahem ω(t) = x(t) − x¯,

t ∈ h0, ∞). Stabilitu a asymptotickou stabilitu definu-

jeme obdobnˇe jako u nespojitých systém˚u. ˇ Definice 1.3. Rekneme, že spojitý dynamický systém systém je (lokálnˇe) stabilní, jestliže ke každému > 0 existuje δ > 0 a t0 , tak, že platí [t > 0 ∧ kω(0)k < δ] ⇒ [kω(t)k < ]. Asymptotická stabilita je definována následujícím zp˚usobem: Definice 1.4. Pravíme, že spojitý dynamický systém je lokálnˇe asymptoticky stabilní, je-li stabilní a platí lim ω(t) = 0.

t→∞

V souvislosti s rozborem dynamických spojitých systém˚u v ekonomii, je nezbytné pˇripomenout, že veliˇciny, které mají charakter toku, tj. jejich rozmˇer je urˇcité množství za jednotku cˇ asu, jako napˇr. národní d˚uchod, investice atd., jsou ve spojité dynamice vyjadˇrovány jako okamžité intenzity. Tento pojem hned vyložíme na pˇríkladu hrubého domácího produktu. Ten ˇ m˚uže být napˇríklad roˇcní, cˇ tvrtletní a teoreticky i mˇesíˇcní. Ctvrtletní a mˇesíˇcní hrubý domácí produkt m˚užeme definovat i v mˇesíˇcním vyjádˇrení. Veliˇcinu cˇ tvrtletního domácího produktu v roˇcním vyjádˇrení, dostaneme jako hodnotu cˇ tvrtletního hrubého domácího produktu dˇelenou délkou cˇ tvrtletí vyjádˇrenou v letech, což je jedna cˇ tvrtina. To je ovšem to samé jako když cˇ tvrtletní hrubý domácí produkt vynásobíme cˇ tyˇrmi. Dosavadní výklad zobecníme následujícím zp˚usobem. Vývoj hrubého domácího produktu za období, které zaˇcne v okamžiku t − 1 a skonˇcí v okamžiku t vyjádˇríme funkcí X(τ ) definovanou na intervalu [t − 1, t]. Roˇcní vyjádˇrení hrubého domácího produktu mˇeˇreného od okamžiku t − θ do okamžiku t bude dáno výrazem X(t) − X(t − θ) . θ Velikost období necháme konvergovat k nule a dostaneme X(t) − X(t − θ) ˙ X(t) = lim , θ→0 θ



tedy okamžitou velikost produktu v cˇ ase t kterou oznaˇcíme Y (t).

O veliˇcinách, které mají charakter toku, jako napˇr. národní d˚uchod, investice, úspory atd. bychom mˇeli ve spojité dynamice hovoˇrit jako o intenzitách. Mˇeli bychom tedy používat termín˚u intenzita hrubého domácího produktu, intenzita investic atd. Protože však nem˚uže dojít k zámˇenˇe pojm˚u, hovoˇríme obvykle pouze o hrubém domácím produktu, investicích úsporách atd. i když myslíme jejich intenzity.

Zmˇeny ekonomických veliˇcin jsou v ekonomické dynamice vyjadˇrovány pˇrír˚ustky (mohou být i záporné) nebo relativními pˇrír˚ustky. V nespojité dynamice pˇrír˚ustky mají formu diferencí a relativní pˇrír˚ustky formu relativních diferencí. Uvažujme cˇ as, který se mˇení skoky v délce θ, tedy t = . . . , −θ, 0, θ, . . . a nˇejakou ekonomickou veliˇcinu Zt . Její pˇrír˚ustek za období θ oznaˇcíme symbolem ∆θ Zt a definujeme vztahem ∆θ Zt = Zt − Zt−θ . Pˇrír˚ustek této ekonomické veliˇciny v roˇcním vyjádˇrení je dán výrazem ∆Z(t) = (Z(t) − Z(t − θ))/θ. Relativní roˇcní pˇrír˚ustek ekonomické veliˇciny dostaneme tak, že pˇrír˚ustek dˇelíme hodnotou veliˇciny v daném cˇ asovém okamžiku, což vyjádˇríme výrazem ∆Z(t)/Z(t). Relativní pˇrír˚ustek v roˇcním vyjádˇrení je potom dán výrazem ∆θ Z(t)/Z(t).

˙ a relativní pˇrír˚ustky Ve spojité ekonomice jsou pˇrír˚ustkyindexpˇrír˚ustek dány derivacemi Z(t) ˙ podílem derivací a hodnot veliˇcin Z(t)/Z(t). V tomto pˇrípadˇe hovoˇríme o okamžitých pˇrír˚ustcích a okamžitých relativních pˇrír˚ustcích. Pokud napˇríklad dynamiku hrubého domácího produktu vyjádˇríme relativním pˇrír˚ustkem nebo okamžitým relativním pˇrír˚ustkem hovoˇríme cˇ asto o tempu r˚ustu hrubého domácího produktu. Podobnˇe hovoˇríme o tempu r˚ustu investic, kapitálu, penˇežní zásoby atd. Relativní pˇrír˚ustek cenové hladiny naproti tomu nazýváme mírou inflace.

Relativní pˇrír˚ustky kladných ekonomických veliˇcin jsou v nespojité dynamice pˇribližnˇe vyjádˇreny jako pˇrír˚ustky jejich logaritm˚u. Logaritmy ekonomických veliˇcin znaˇcíme malými písmeny, takže pro oznaˇcení logaritmu obecné ekonomické veliˇciny Z použijeme písmeno z. Pro rozdíl logaritm˚u ekonomické veliˇciny Z ve dvou po sobˇe následujících obdobích platí Z(t) − Z(t − 1) Z(t) = ln 1 + . z(t) − z(t − 1) = ln Z(t − 1) Z(t − 1)

(1.1)



O výrazu (Z(t) − Z(t − 1))/Z(t − 1) pˇredpokládejme, že je malý. 2 Potom platí

Z(t) − Z(t − 1) ln 1 + Z(t − 1)

≈

Z(t) − Z(t − 1) , Z(t − 1)

(1.2)

kde jsme použili známé skuteˇcnosti, že ln(1 + x) ≈ x, pro dostateˇcnˇe malá x. Z rovnic (1.1) a (1.2) plyne, že relativní pˇrír˚ustek je možné pˇribližnˇe vyjádˇrit jako rozdíl logaritm˚u ve dvou po sobˇe následujících obdobích. Relativní pˇrír˚ustek v roˇcním vyjádˇrení v pˇrípadˇe, že délka období je obecnˇe rovna θ je vyjádˇren jako rozdíl logaritm˚u dˇelený θ jak ukazuje následující vztah 1 Z(t) − Z(t − θ) 1 Z(t) Z(t) − Z(t − θ) ≈ ln 1 + = ln = θZ(t − θ) θ Z(t − θ) θ Z(t − θ) 1 = (z(t) − z(t − θ)) θ Pˇri spojitém pˇrístupu je okamžitý relativní pˇrír˚ustek ekonomické veliˇciny roven okamžité zmˇenˇe logaritmu jak ukazuje následující vztah ˙ Z(t) d ln Z(t) = = z(t), ˙ Z(t) dt kde z(t) = ln Z(t).

1.3

Teorie oˇcekávání

Oˇcekávání ekonomických veliˇcin, jako napˇríklad oˇcekávání inflace, d˚uchodu aj., je d˚uležitou kategorií v ekonomické a tedy i mˇenové analýze. Teorií oˇcekávání je nˇekolik a liší se principy ˇ na kterých je budována pˇredpovˇed’ budoucí veliˇciny. Casto používaná pojetí jsou adaptivní oˇcekávání, regresivní oˇcekávání, extrapolativní oˇcekávání a racionální oˇcekávání. Všechna tato oˇcekávání budeme studovat v rámci nespojité dynamiky, s tím, že si budeme vˇedomi, že nˇekterá z nich mají svoji spojitou analogii se kterou se setkáme pozdˇeji pˇri studiu tohoto textu. Pro zjednodušení budeme u nespojitých model˚u oˇcekávání pˇredpokládat, že θ = 1. Adaptivní oˇcekávání Symbolem Z oznaˇcíme obecnou ekonomickou veliˇcinu. Adaptivní oˇcekávání této veliˇciny 2

Ve stabilizovaných ekonomikách se relativní pˇrír˚ustky ekonomických veliˇcin se pohybují do deseti procent, pˇrípadnˇe o nˇeco málo nad deset procent.



je dáno vztahem e Zt+1 = Zte + Θ(Zt − Zte ),

Θ ∈ (0, 1i,

e kde Zt+1 znaˇcí oˇcekávanou hodnotu veliˇciny Z v cˇ ase t + 1, symbolem Zte oˇcekávanou

veliˇciny Z v cˇ ase t, symbolem Zt pozorovanou hodnotu veliˇciny Z v cˇ ase t a symbolem Θ jsme oznaˇcili tzv. rychlost pˇrizp˚usobení. Pravidlo adaptivního oˇcekávání veliˇciny Z je jednoduché. Ekonomický subjekt podle tohoto pravidla oˇcekává tak, že p˚uvodní oˇcekávání opravuje na základˇe chyby pˇredpovˇedi. Jestliže chyba pˇredpovˇedi Z(t) − Z e (t) je kladná, potom se zvýší oˇcekávání v cˇ ase t oproti oˇcekávání v cˇ ase t−1, pokud je záporná, oˇcekávání v cˇ ase t se sníží, jak snadno zjistíme. Pokud rychlost pˇrizp˚usobení bude mít hodnotu Θ = 1, potom jak vidíme v pravidlu adaptivního oˇcekávání, ekonomický subjekt bude v cˇ ase t + 1 oˇcekávat pozorovanou hodnotu Z(t). Vyjádˇríme-li pravidlo adaptivního oˇcekávání pro dvˇe po sobˇe jdoucí období dostaneme e Zt+1 = Zte + Θ(Zt − Zte ),

e e Zte = Zt−1 + Θ(Zt−1 − Zt−1 ).

Dosadíme-li ze druhé rovnice do první za Zte dostaneme e e Zt+1 = (1 − Θ)2 Zt−1 + ΘZt + Θ(1 − Θ)Zt−1 .

e Pravidlo adaptivního oˇcekávání m˚užeme nyní aplikovat na veliˇcinu Zt−1 a dosadit do výše

uvedené rovnice. Opakováním tohoto postupu dostaneme e Zt+1

=Θ

∞ X

(1 − Θ)t−j Zt−j .

j=0

Výše uvedený vztah nám ˇríká, že ekonomický subjekt se pˇri adaptivním oˇcekávání veliˇciny Z ˇrídí jejím minulým vývojem.

Regresivní oˇcekávání D˚uležitým cˇ initelem v regresivním oˇcekávání je rovnovážná hodnota ekonomické veliˇciny Z, kterou oznaˇcíme Z¯ a která je ekonomickému subjektu známa. Ekonomický subjekt pˇredpokládá, že skuteˇcná hodnota veliˇciny Z bude pohybovat smˇerem k rovnovážné hodnotˇe.



Tato skuteˇcnost je vyjádˇrena pravidlem e Zt+1 = Zt + β(Z¯ − Zt ),

β ∈ (0, 1i

Je-li rovnovážná hodnota Z¯ vˇetší než pozorovaná, potom oˇcekávaná hodnota se nalézá mezi pozorovanou a rovnovážnou, pˇrípadnˇe, pokud β = 1, je rovna rovnovážné hodnotˇe. Extrapolativní oˇcekávání Extrapolativní oˇcekávání je takové oˇcekávání, kdy ekonomický subjekt pˇredpokládá, že ekonomická veliˇcina se v budoucnu bude vyvíjet stejným smˇerem jako v minulosti. Exaktnˇe toto tvrzení vyjádˇríme pravidlem extrapolativního oˇcekávání e Zt+1 = Zt + γ(Zt − Zt−1 )

Výše uvedená rovnice nám tedy ˇríká, že rostla-li ekonomická veliˇcin v minulosti poroste i v budoucnosti a naopak. Racionální oˇcekávání Racionální oˇcekávání vyžaduje podrobnˇejší vysvˇetlení.Pˇredpokládejme že veliˇcina t znaˇcí pˇrítomný cˇ asový okamžik. Symbolem Zt+1 oznaˇcíme budoucí hodnotu veliˇciny Z, kterou považujeme za náhodnou veliˇcinu. Parametry Xt rozdˇelení pravdˇepodobnosti této veliˇciny známe v pˇrítomném cˇ ase t. Racionální oˇcekávání náhodné veliˇciny Zt+1 je definováno jako její podmínˇená stˇrední hodnota e Zt+1 = E(Zt+1 |Xt ).

1.4

Problémy mˇerˇ ení

V pˇredchozí sekci pˇri popisu makroekonomické metody jsme zd˚uraznili, že makroekonomická metoda spoˇcívá ve studiu a formulaci závislostí mezi makroekonomickými veliˇcinami. Je nezbytné upozornit na to, že m˚uže být urˇcitý nesoulad mezi pojmy makroekonomických veliˇcin a agregátním ukazatelem, který pˇríslušnou veliˇcinu zobrazuje. Jako pˇríklad vezmeme pojem finální produkce a agregátní ukazatel hrubého domácího produktu. Zp˚usob˚u mˇeˇrení finální produkce m˚uže být více, jako napˇríklad materiální produkt, který se ˇ používal v Ceské republice pˇred rokem 1989, ve svˇetovém mˇeˇrítku se však ustálila metoda



hrubého domácího produktu nebo hrubého národního produktu. V pˇrevážném poˇctu pˇrípad˚u je vztah mezi pojmem a agregátem, který ho vyjadˇruje natolik intuitivnˇe zˇrejmý, že pojem samotný a agregát nejsou rozlišovány. Domnívám se, že tato situace je u pojmu cenové hladiny a inflace ponˇekud odlišná a proto se v této cˇ ásti kapitoly se soustˇredíme pˇredevším na mˇeˇrení cenové hladiny a inflace.

Finální produkce ekonomiky je dána vektorem y = (y1 , . . . , yN ). Symbol N znaˇcí poˇcet jednotlivých druh˚u zboží a služeb, které jsou spotˇrebovány nebo investovány. Oznaˇcíme-li p = (p1 , . . . , pN ) vektor cen tohoto zboží a služeb, potom nominální hrubý domácí produkt N GDP vyjádˇríme výrazem N GDP =

N X

pj yj .

j=1

ˇ Casové období oznaˇcíme t, za základní obobí oznaˇcíme 0. Nominální hrubý domácí produkt v období t je dán vztahem N GDPt =

N X

pj,t yj,t .

j=1

Pokud pro vyjádˇrení hrubého domácího produktu použijeme cen základního období dostaneme reálný hrubý domácí produkt v bˇežném období RGDPt vyjádˇrený vztahem

RGDPt =

N X

pj,0 yj,t .

j=1

Další problém, který nás bude zajímat je mˇeˇrení cenové hladiny. Cenovou hladinu budeme obecnˇe znaˇcit symbolem P . Pro mˇeˇrení cenové hladiny se nejˇcastˇeji se používá bud’ deflátor hrubého domácího produktu (Gross Domestic Product Deflator-GDPD) nebo spotˇrebitelský cenový index (Consumer Price Index-CPI). Deflátor hrubého domácího produktu pro bˇežné období t je dán vzorcem N P

GDP Dt =

pj,t yj,t

j=1 N P

. pj,0 yj,t

j=1



Deflátor hrubého domácího produktu lze vyjádˇrit jako vážený harmonický pr˚umˇer individuálních index˚u

N P

GDP Dt =

pj,t yp,j

j=1 N P

pj,t yj,t

j=1

pj,t pj,0

Srovnáním výraz˚u pro nominální a reálný hrubý domácí produkt a pro deflátor hrubého domácího produktu snadno odvodíme, že platí RGDPt =

N GDPt . GDP Dt

Tato rovnice ˇríká, že reálný hrubý domácí produkt získáme tak, že vydˇelíme nominální hrubý domácí produkt deflátorem hrubého domácího produktu. Tato metoda je jediným postupem jak odhadnout reálný hrubý domácí produkt vzhledem k tomu, že pˇrímý výpoˇcet reálného hrubého domácího produktu je prakticky nemožný. Jiné možné vyjádˇrení cenové hladiny je pomocí spotˇrebitelského cenového indexu. Spotˇrebitelský cenový index vyjadˇruje r˚ust cen zboží a služeb, pr˚umˇerné mˇestské rodiny. Vektorem x0 = (x1,0 , . . . , xn,0 ) oznaˇcíme n druh˚u zboží a služeb spotˇrebovaných pr˚umˇernou mˇestskou rodinou za urˇcitou dobu v základním období. Vektory p0 = (p1,0 , . . . , pn,0 ) a p1 = (p1,t , . . . , pn,t ) pˇríslušné ceny v základním a bˇežném období. Spotˇrebitelský cenový index oznaˇcíme symbolem CP I a definujeme ho vztahem n P

CP It =

j=1 n P

pj,t xj,0 . pj,0 xj,0

j=1

Deflátor hrubého domácího produktu se, jak plyne ze vzorc˚u, liší od spotˇrebitelského indexu pˇredevším okruhem sledovaného zboží. U deflátoru se jedná o zboží a služby vstupující do hrubého národního produktu, u spotˇrebitelského cenového indexu jde o spotˇrební zboží a služby pr˚umˇerné mˇestské rodiny. Další odlišnost obou index˚u spoˇcívá ve formální konstrukci indexu, kdy u deflátoru se používá vah bˇežného období a u spotˇrebitelského cenového indexu se jedná o váhy základního období. Pro mˇeˇrení inflace se používá jak deflátoru, tak i spotˇrebitelského cenového indexu. Použití spotˇrebitelského cenového indexu je cˇ astˇejší. Míru inflace mˇeˇríme jako relativní



pˇrír˚ustek cenového indexu Pt − Pt−1 . Pt−1 Symbolem P (t) znaˇcíme hodnotu cenového indexu v cˇ ase t. Tímto indexem m˚uže být bud’ deflátor hrubého domácího produktu, nebo spotˇrebitelský cenový index. Vezmeme-li v úvahu spojitý cˇ as a uvažujeme-li míru inflace za období θ, dostaneme pro míru inflace výraz P (t) − P (t − θ) . θP (t − θ) Necháme-li θ konvergovat k nule dostaneme okamžitou míru inflace v roˇcním vyjádˇrení, která je dána výrazem P˙ (t) . P (t) Nyní se postavíme na stanovisko, že t je souˇcasné období a zavedeme pojem oˇcekávaná míra inflace, který bude definován výrazem P e (t + 1) − P e (t) , P e (t) kde symbol P e (t) znaˇcí cenovou hladinu, která je oˇcekávána ekonomickými subjekty v období t − 1 pro období t a symbol P (t + 1) znaˇcí cenovou hladinu oˇcekávanou v období t pro období t + 1. Míru oˇcekávané inflace, pro spojitý cˇ as za období θ v roˇcním vyjádˇrení dává vztah P e (t + θ) − P e (t) . θP e (t) Jestliže necháme θ konvergovat k nule, dostaneme okamžitou oˇcekávanou míru inflace, kterou oznaˇcíme symbolem π a definujeme vzorcem π=

P˙ e (t) . P e (t)

Oˇcekávaná míra inflace vystupuje v ˇradˇe model˚u inflace a to jak ve nespojité, tak i spojité formˇe.



2

KEYNESOVSKÉ TEORIE

Tato kapitola si klade za cíl seznámit cˇ tenáˇre s tradiˇcními a moderními keynesovskými statickými a dynamickými teoriemi poptávky po penˇezích. Keynesovské teorie, to jsou teorie motiv˚u. D˚usledkem p˚usobení motiv˚u na ekonomické subjekty je preferování likvidity, tedy penˇez. Kdyby totiž motivy, jejichž d˚usledkem je preferování penˇez nep˚usobily, ekonomické subjekty by peníze nedržely, protože peníze jsou aktivem, které nenese výnos. Podle tradiˇcní keynesovské teorie p˚usobí tˇri motivy držení penˇez, a to motiv d˚uchodu, opatrnosti a spekulace, které jsou pˇríˇcinou toho, že ekonomické subjekty drží peníze. Tradiˇcní keynesovské teorie neobsahují optimalizaˇcní principy, avšak moderní keynesovské pˇrístupy se optimalizaˇcních princip˚u nezˇríkají. Místo maximalizace užitkové funkce minimalizují nákladovou funkci, která se skládá se ztrát plynoucích z odchylek od rovnováhy a z náklad˚u na pˇrizp˚usobení rovnováze. Nejedná se o výluˇcný pˇrístup keynesovských teoretik˚u, nicménˇe je hodnˇe cˇ astý. S minimalizací nákladové funkce se setkáváme u modelu Baumola a Tobina, který je založen na motivu d˚uchodu a u model˚u založených na motivu opatrnosti (Sprenkle). U spekulativní teorie poptávky po penˇezích se setkáme s optimalizaˇcním pˇrístupem (Tobin˚uv model spekulativní poptávky po penˇezích), kde úˇcelovou funkcí je funkce užitku, tedy typicky ˇ neoklasický pˇrístup, který v keynesovském prostˇredí p˚usobí ponˇekud paradoxnˇe. Cást moderních následovník˚u Keynese je však vˇerná tradicím založeným jejich uˇcitelem a setrvává na neoptimalizaˇcních principech (napˇríklad Akerlof). První cˇ ást kapitoly je vˇenována tradiˇcní keynesovské teorii poptávky po penˇezích. Ve druhé cˇ ásti se píše o modelu Baumolovu-Tobinovu a modelu Akerlofovu. Oba dva modely jsou moderní analogií d˚uchodového motivu poptávky po penˇezích. Opatrnostní hledisko u poptávky po penˇezích je obsaženo ve tˇretí cˇ ásti této kapitoly (Sprenkle˚uv-Miller˚uv model). ˇ Ctvrtá cˇ ást je vˇenována struˇcnému pˇrehledu teorie dvouaktivového portfolia jako pˇrípravˇe ke studiu Tobinova modelu. Pátá cˇ ást kapitoly obsahuje Tobin˚uv model spekulativní teorie poptávky po penˇezích.



2.1

Tradiˇcní teorie

V pˇrípadˇe, že jediným kritériem rozdˇelení bohatství na peníze a dluhopisy by byla výnosnost, pak by ekonomické subjekty preferovaly bohatství ve formˇe dluhopis˚u, které jsou samozˇrejmˇe výnosovým aktivem. Skuteˇcnost, že ekonomické subjekty drží likvidní aktiva, je zp˚usobena pohnutkami, které tradiˇcní keynesovská teorie nazývá motivy. V rámci keynesovské ekonomické teorie jsou rozeznávány motivy d˚uchodu, opatrnosti a spekulace. Motiv duchodu ˚ – d˚uchod je vyplácen obvykle v pravidelných nebo nepravidelných dávkách, zatímco výdaje na spotˇrebu probíhají rovnˇež v dávkách, ovšem s jinou (zpravidla vˇetší) frekvencí než je frekvence vyplácených d˚uchod˚u. Pˇríjem d˚uchod˚u a výdaje nemohou tedy spadat do jednoho cˇ asového období a z tohoto d˚uvodu je nezbytné držet urˇcitou zásobu penˇez. Tato zásoba závisí na výši výdaj˚u a ty zase na výši d˚uchod˚u, z cˇ ehož cˇ iníme závˇer, že velikost zásoby penˇez, které daný ekonomický subjekt drží, závisí na velikosti d˚uchod˚u. Motiv opatrnosti – ekonomický subjekt je cˇ asto vystaven nutnosti nepˇredvídaných výdaj˚u, o kterých pˇredpokládáme, že jejich hodnota je ovlivnˇena d˚uchody. Pro tyto nepˇredvídané výdaje ekonomické subjekty drží urˇcitou zásobu penˇez. Motiv d˚uchodu a motiv opatrnosti souhrnnˇe oznaˇcíme jako motiv transakˇcní, protože peníze, at’ jsou drženy na základˇe jednoho nebo druhého motivu, slouží k transakˇcním úˇcel˚um. Úhrn penˇez požadovaných na základˇe transakˇcního motivu nazveme transakˇcní poptávkou po penˇezích a oznaˇcíme ji symbolem M1d . Transakˇcní poptávka po penˇezích závisí samozˇrejmˇe na d˚uchodu, protože její d˚uchodová a opatrnostní složka závisí na d˚uchodu, jak jsme shora uvedli. Funkce transakˇcní poptávky po penˇezích má tedy tvar: M1d = L1 (Y ), kde Y je d˚uchod a symbol L1 oznaˇcuje funkˇcní pˇredpis.1 Tradiˇcní keynesovská teorie považuje d˚uchod za prvoˇradý cˇ initel, který ovlivˇnuje závislost transakˇcní poptávky. Na druhé stranˇe pˇripouští závislost transakˇcní poptávky na úrokové míˇre, jak najdeme v knize (Keynes, J. M., 1963). V pˇrípadˇe transakˇcního motivu bude tento motiv tlumen náklady na uchování penˇez. Tyto náklady mají povahu relativních náklad˚u, 1

Oznaˇcení L je symbolizuje poptávku po likvidních prostˇredcích. Dolní index 1 oznaˇcuje, že se jedná o první (tj. transakˇcní) druh poptávky po likvidních prostˇredcích.



které jsou definovány následujícím zp˚usobem. Alternativu k penˇez˚um pˇredstavuje výnosové aktivum (napˇr. termínovaný vklad, dluhopisy, akcie atd). Tím, že ekonomický subjekt drží své bohatství ve formˇe penˇez, pˇrichází o výnos z alterˇ nativního výnosového aktiva. Tento ztracený výnos interpretujeme jako náklad penˇez. Cím je výnosová míra alternativního aktiva vyšší, tím je držení penˇez nákladnˇejší. Ekonomické subjekty s r˚ustem výnosnosti alternativních aktiv omezují svoji poptávku po penˇezích. Keynesovská tradiˇcní teorie uvažuje jako alternativní výnosové aktivum dluhopisy. Jejich výnosnost negativnˇe ovlivˇnuje poptávku po penˇezích. Pokud však jsou zásoby penˇez jednotlivých ekonomických subjekt˚u úroˇceny (napˇr. úroˇcení bˇežných vklad˚u), potom tato úroková sazba na peníze pozitivnˇe ovlivˇnuje transakˇcní poptávku po penˇezích a tak p˚usobí proti úˇcink˚um výnosnosti dluhopis˚u. Motiv spekulace – už bylo ˇreˇceno, že tradiˇcní keynesovská teorie uvažuje jako jediné výnosové aktivum dluhopisy, jejichž výnosnost ztotožˇnuje s úrokovou mírou. Motiv spekulace úzce souvisí s regresivním oˇcekáváním úrokových mˇer. Regresivní oˇcekávání úrokové míry se vytváˇrí na základˇe vztahu skuteˇcné a rovnovážné úrokové míry. Každý ekonomický subjekt má svou pˇredstavu o tom, jak velká je rovnovážná úroková míra. Množství ekonomických subjekt˚u v dané ekonomice oznaˇcíme symbolem m. Pˇredstavu i-tého ekonomického subjektu i = 1, . . . , m o velikosti rovnovážné úrokové míry oznaˇcíme r¯i , úrokovou míru oznaˇcíme symbolem r. Oˇcekávaná úroková míra i-tého ekonomického subjektu znaˇcená rie je dána následujícím pravidlem regresivního oˇcekávání: rie = r + αi (¯ ri − r), kde α > 0. Výše uvedený vztah má jednoduchou ekonomickou interpretaci. Je-li pˇredstava ekonomického subjektu o rovnovážné úrokové míˇre r¯i vˇetší než skuteˇcná úroková míra r, je r¯i − r > 0. Vzhledem k tomu, že α je kladné, je rie > r a subjekt tedy oˇcekává r˚ust úrokové míry. Pokud tento subjekt má menší pˇredstavu o rovnovážné úrokové míˇre než je úroková míra skuteˇcná, potom oˇcekává pokles úrokové míry. Už bylo ˇreˇceno, že úroková míra je obecnˇe výnosovou mírou dluhopisu. Vzhledem k tomu, že dluhopisy mají r˚uznou dobou splatnosti, bude nutné vybudovat zjednodušující koncepci. Nejbližší realitˇe a zároveˇn pro analýzu nejvíce efektivní je aproximovat dluhopisy s r˚uznou dobou splatnosti tzv. vˇecˇ nými dluhopisy. Pˇredpokládáme-li, že nesou kupónovou



platbu ve výši K a že úroková míra má hodnotu r, potom hodnota V tohoto dluhopisu je V =

K K K + + + ... . 2 1 + r (1 + r) (1 + r)3

Snadno ovˇeˇríme, že souˇcet výše uvedené geometrické ˇrady je V =

K . r

(2.1)

Analogicky pro hodnotu dluhopisu oˇcekávanou i-tým ekonomickým subjektem znaˇcenou Vie máme Vie =

K . rie

(2.2)

Pˇredpokládejme, že subjekt oˇcekává r˚ust úrokové míry,2 což je ekvivalentní s výrazem rie > r. Potom ovšem podle vzorc˚u (2.1) a (2.2) je Vie < V , tedy subjekt oˇcekává pokles hodnoty dluhopis˚u a dává pˇrednost tomu, že své bohatství drží ve formˇe penˇez. Pokud subjekt oˇcekává pokles úrokové míry, což je ekvivalentní s r˚ustem hodnoty dluhopis˚u, potom své bohatství investuje do dluhopis˚u. Musíme však pˇripomenout jednu velmi d˚uležitou vˇec. Bohatství, o kterém mluvíme a které je investováno bud’ do penˇez nebo do dluhopis˚u, je bohatstvím, které zbylo po oddˇelení jeho cˇ ásti urˇcené na transakˇcní úˇcely. Podle zmínˇené teorie ekonomický subjekt investuje po oddˇelení prostˇredk˚u na transakˇcní úˇcely celé bohatství bud’ do penˇez, nebo do dluhopis˚u. Subjekty mají odlišné pˇredstavy o rovnovážné úrokové míˇre a tedy pˇri dané úrokové míˇre nemohou mít stejné chování. Podle nˇekterých subjekt˚u bude rovnovážná úroková míra vˇetší než skuteˇcná, podle jiných bude menší. Nˇekteré subjekty budou tedy oˇcekávat r˚ust úrokové míry, jiné pokles, což se projeví tak, že nˇekteˇrí budou držet peníze a jiní dluhopisy. Pokud úroková míra nabývá relativnˇe nízkých hodnot, potom velké množství ekonomických subjekt˚u se domnívá, že rovnovážná úroková míra je vyšší, což znamená, že oˇcekávají r˚ust úrokové míry a proto zamýšlí držet své bohatství ve formˇe penˇez. Nízká úroková míra tedy znamená vysokou poptávku po spekulativních penˇezích. Když úroková míra nabývá extrémnˇe nízkých hodnot, potom všechny ekonomické subjekty oˇcekávají její r˚ust. D˚usledkem je enormní poptávka po spekulativních penˇezích. 2

Toto oˇcekávání nastane, jakmile pˇredstava subjektu o rovnovážné úrokové míˇre bude vˇetší než skuteˇcná úroková míra, tj. r¯i > r.



M2

M2 l2 \

0

rmin

r

0

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \

rmin

r

(a) (b) Obrázek 2.1: Nelineární a lineární pr˚ubˇeh závislosti spekulativní poptávky po penˇezích na úrokové míˇre ˇ Cím je úroková míra vyšší, tím ménˇe ekonomických subjekt˚u oˇcekává její r˚ust a tedy poptávka po spekulativních penˇezích je stále nižší a s r˚ustem úrokové míry nade všechny meze konverguje k nule. Jestliže množství spekulativních penˇez, které jak bylo ˇreˇceno závisí na úrokové míˇre, oznaˇcíme symbolem M2 a symbolem L2 oznaˇcíme funkˇcní symbol, potom nelineární závislost spekulativní poptávky po penˇezích na úrokové míˇre obecnˇe vyjádˇríme rovnicí M2d = L2 (r). Jedna z možných variant nelineárního pr˚ubˇehu spekulativní poptávky po penˇezích je naznaˇcena na obrázku 2.1 nákresu (a). Kˇrivka zde nakreslená konverguje v bodˇe minimální úrokové míry znaˇceném rmin k nekoneˇcnu. Roste-li úroková míra nade všechny meze, spekulativní poptávka po penˇezích se blíží k nule. Minimální kladná hodnota úrokové míry je d˚uležitým pojmem keynesovské ekonomické teorie (Keynes J. M., 1963, str. 204), a to i v lineární závislosti, která je dána rovnicí M2d = L2 (r) = l20 − l21 (r − rmin ),

kde

l2i > 0,

i = 1, 2.

Filosofie lineárního pˇrístupu k poptávce po penˇezích má urˇcité odlišnosti, jak vidíme. Zatímco u zmínˇeného nelineární pˇrístupu spekulativní poptávka po penˇezích není v bodˇe minimální úrokové míry definována, ovšem je tam limita zprava rovna ∞, u lineárního pˇrístupu definována je a je to pomˇernˇe veliké cˇ íslo znaˇcené l20 . Nulová poptávka po spekulativních penˇezích neodpovídá u lineárního pˇrístupu nekoneˇcné úrokové míˇre jako je to možné u ne-



lineárního pˇrístupu, ale r = rmin +l20 /l21 . Pr˚ubˇeh lineární funkce poptávky po spekulativních penˇezích ukazuje obr 2.1 na nákresu (b). Veliˇcinu poptávky po penˇezích oznaˇcíme M d = M1d + M2d a vyjádˇríme ji v závislosti na d˚uchodu a úrokové míˇre M d = L1 (Y ) + L2 (r). Výše uvedená keynesovská funkce poptávky po penˇezích pˇredstavuje velmi d˚uležitý vztah nejen v keynesovské teorii, ale i v experimentech, kdy je základním nástrojem konstrukce ekonometrických model˚u poptávky po penˇezích.

2.2

Moderní transakˇcní teorie

Baumol˚uv-Tobin˚uv model je aplikací teorie zásob na problémy poptávky po penˇezích. Tento model byl publikován v cˇ láncích (Baumol, W. J., 1952; Tobin, J., 1956) nezávisle na sobˇe. Model vychází z následující situace. Pˇríjem, který ekonomický subjekt dostane na zacˇ átku daného období, jehož délku pˇredpokládáme jednotkovou, oznaˇcíme Y. Necht’ a je pˇrirozené cˇ íslo. Pˇredpokládáme, že ekonomický subjekt si ponechá cˇ ástku Y /a v penˇežní formˇe a za zbytek (1 − 1/a)Y nakoupí dluhopisy, jejichž cenu pokládáme za nemˇennou. Výnosnost tˇechto dluhopis˚u oznaˇcíme r. Za pˇredpokladu rovnomˇerného cˇ erpání penˇežní cˇ ástky ve velikosti Y /a, bude tato cˇ ástka vyˇcerpána za dobu 1/a. Po vyˇcerpání této cˇ ástky si subjekt obstará nové peníze prodejem dluhopis˚u ve výši Y /a. Pˇri rovnomˇerném prodeji dluhopis˚u a rovnomˇerném cˇ erpání penˇez ekonomický subjekt prodej dluhopis˚u zopakuje (a − 1)-krát. Vzhledem k tomu, že na poˇcátku období dluhopisy nakoupí, uskuteˇcní celkem a obchod˚u. Náklady na jeden uskuteˇcnˇený obchod pˇredpokládáme ve výši b. Do tˇechto tzv. transakˇcních náklad˚u se kalkulují jednak brokerské poplatky, pˇrípadné další náklady na uskuteˇcnˇenou transakci vˇcetnˇe cˇ asových ztrát. V reálném svˇetˇe tyto náklady mají svoji pevnou a promˇenlivou cˇ ást, pˇriˇcemž promˇenlivá cˇ ást závisí na rozsahu obchodu, tj. kolik dluhopis˚u se nakupuje nebo prodává. Zkušenosti z finanˇcních trh˚u nám ˇríkají, že pevná cˇ ást náklad˚u tvoˇrí pomˇernˇe velký podíl transakˇcních náklad˚u a že u velmi rozsáhlých obchod˚u jejich velikost už podstatnˇe neovlivˇnuje transakˇcní náklady. Brokerské spoleˇcnosti berou na tuto skuteˇcnost ohled a kalkulují brokerské poplatky tak, že jejich výše roste pomaleji než rozsah transakcí. Z tohoto d˚uvodu skuteˇcnost nebude pˇríliš zkreslená, budeme-li pˇredpokládat, že pevná cˇ ást



Y

Y /4 @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

0

1/4 2/4 3/4 1

Obrázek 2.2: Proces cˇ erpání d˚uchodu v Baumolovˇe-Tobinovˇe modelu

transakˇcních náklad˚u je rozhodující a promˇenlivou cˇ ást v rámci Baumolova-Tobinova modelu zanedbáme, což znamená, že náklady b budou konstantní. Obrázek 2.2 ukazuje popsaný proces cˇ erpání penˇežních prostˇredk˚u, nákupy a prodeje dluhopis˚u pro a = 4. Na kolmé ose nanášíme penˇežní zásobu, na vodorovné ose je pr˚ubˇeh cˇ asu. Období, na které byl vyplacen d˚uchod, je znázornˇeno úseˇckou 0, 1. D˚uchod Y je rozdˇelen na cˇ tvrtiny. Za 3/4 d˚uchodu jsou nakoupené dluhopisy a 1/4 je utracena v cˇ ase 1/4. V okamžiku utracení této cˇ ástky je prodána 1/4 dluhopis˚u, cˇ ímž získáme Y /4 penˇežních prostˇredk˚u. Tyto prostˇredky budou utracené v období 1/2. V tomto období prodáme další cˇ tvrtinu dluhopis˚u, cˇ ímž získáme opˇet penˇežní prostˇredky ve výši Y /4 a tak pokraˇcujeme až do utracení celého d˚uchodu Y v cˇ ase 1.

Pr˚umˇernou zásobu penˇez v situaci, kdy z pˇríjmu Y vydˇelíme cˇ ástku Y /a a tu uchováme ve formˇe penˇez, vypoˇcteme jako pr˚umˇer poˇcáteˇcní a koncové zásoby penˇez. Poˇcáteˇcní zásoba penˇez je Y /a a koncová zásoba je nulová. Pr˚umˇerná penˇežní zásoba je tedy dána souˇctem poˇcáteˇcní a koncové zásoby dˇeleným dvˇema, což je Y /2a. Tato penˇežní cˇ ástka tedy mohla být použita na nákup dluhopis˚u a tak by nesla úrok. Vzhledem k tomu, že uložena nebyla a byla uchována ve formˇe penˇez, ekonomický subjekt ztrácí výnos ve velikosti násobku úrokové míry a pr˚umˇerné penˇežní zásoby. Tento obˇetovaný výnos nazveme relativními náklady penˇez a oznaˇcíme C1 . Platí C1 (a) = r

Y . 2a



Transakˇcní náklady jsou dány souˇcinem poˇctu transakcí a náklad˚u na transakci. C2 (a) = ab Celkové náklady jsou dány vztahem: C(a) = C1 (a) + C2 (a) = r

Y + ab. 2a

(2.3)

Z výše uvedeného vzorce plyne, že cˇ ím vˇetší volíme a, tím menší jsou relativní náklady penˇez a vˇetší transakˇcní náklady. Celkové náklady jsou souˇctem relativních náklad˚u a náklad˚u transakˇcních. Ekonomický subjekt se rozhoduje pro takovou volbu a, která bude minimalizovat celkové náklady na peníze. To a, které minimalizuje celkové náklady, získáme tak, že funkci celkových náklad˚u budeme derivovat podle a, derivaci položíme rovnu nule a vzniklou rovnici vyˇrešíme. Dostaneme C 0 (a) = −r

Y + b = 0. 2a2

Odtud vypoˇcteme r a ˜=

rY . 2b

(2.4)

Vzhledem k tomu, že veliˇciny r, Y a b jsou kladné, je i veliˇcina a ˜ kladná. K tomu, aby a ˜ minimalizovalo nákladovou funkci C staˇcí, aby druhá derivace nákladové funkce v bodˇe a ˜ byla kladná. Platí C 00 (˜ a) = r

Y . a ˜3

Vzhledem k tomu, že a ˜ > 0, je i výše uvedená derivace kladná. Pr˚ubˇeh funkcí relativních, transakˇcních, celkových náklad˚u a polohu bodu a ˜ = 2, 2361 pro r = 10%, Y = 1000, b = 10 ukazuje obrázek 2.3. Problém veliˇciny a ˜, která minimalizuje nákladovou funkci, je v tom, že není obecnˇe celoˇcíselná a není tedy ˇrešením naší úlohy, která požaduje celoˇcíselnost této veliˇciny (poˇcet transakcí musí být pˇrirozené cˇ íslo).3 Jestliže a ˜ < 1, potom celoˇcíselné optimální ˇrešení úlohy je 1. V tomto pˇrípadˇe ekonomický subjekt neprovede ani jeden obchod s cennými papíry. Celý d˚uchod Y ponechá ve formˇe penˇez, pr˚umˇerná požadovaná penˇežní

3

Teoretický rozbor tohoto problému viz Fábry, J., Pelikán, J., 1994



60 C 2 C1

55

C 50 45 40

C

35 30 25 20 15 10 1

1.5

2,24

3

3.5

a

Obrázek 2.3: Pr˚ubˇeh kˇrivky relativních C1 , transakˇcních C2 a celkových náklad˚u C v Baumolovˇe-Tobinovˇe modelu

zásoba, kterou oznaˇcíme symbolem M d bude ve velikosti Md =

Y . 2

V pˇrípadˇe, že a, které minimalizuje nákladovou funkci C, je vˇetší než jedna a není pˇrirozeným cˇ íslem, existuje pˇrirozené cˇ íslo n, pro nˇež platí n−1
Y . 2k

V teoretických analýzách obvykle nezacházíme do takových podrobností. Výše uvedený vzorec pro penˇežní poptávku zobecníme pro obecnˇe neceloˇcíselný poˇcet transakcí a ˜ a dostaneme Md =

Y . 2˜ a

(2.5)



Za a ˜ dosadíme ze vztahu (2.4) a dostaneme rovnici poptávky po penˇezích r Md =

Yb . 2r

(2.6)

Výše uvedená funkce transakˇcní poptávky po penˇezích závisí nejenom na d˚uchodu, ale i na úrokové míˇre. Snadno nahlédneme, že transakˇcní poptávka roste s d˚uchodem a klesá s úrokovou mírou. Baumolova-Tobinova teorie je nesporným pˇrínosem k teoretickým analýzám transakˇcní poptávky po penˇezích. Z použitelnost k empirickým rozbor˚um musíme na model poptávky této teorie nahlížet kriticky. Struktura modelu (2.6) vede k numericky pevnˇe zadaným pružnostem poptávky po penˇezích. Možnost, že tyto pružnosti budou potvrzeny statistickými testy, je minimální. Když totiž logaritmujeme rovnici (2.6), dostaneme 1 1 1 ln M d = (b − ln 2) + ln Y − ln r. 2 2 2 Výše uvedenou rovnici pˇreformulujeme na ekonometrickou rovnici tvaru ln M d = β0 + β1 ln Y + β2 ln r + ε. Museli bychom mít opravdu veliké štˇestí, abychom na základˇe údaj˚u o penˇežní zásobˇe, hrubém domácím produktu a úrokové míˇre dospˇeli k takovým odhad˚um βˆi , i = 0, 1, 2, které by se nelišily statisticky významnˇe od 1/2(b − ln 2), 1/2, 1/2. V pˇrípadˇe, že pˇredpokládáme úroˇcení penˇez úrokovou mˇerou i, nákladová funkce bude mít tvar C(a) = (r − i)

Y + ab. 2a

Jednotkové ztráty z neuložení penˇez, které by v pˇrípadˇe neexistence úroku z penˇez byly ve výši r, jsou v pˇrípadˇe úroˇcení penˇez zˇcásti kompenzovány úrokovou mírou penˇez ve výši i. Zderivujeme-li výše uvedený vztah a položíme-li ho rovný nule, dostaneme C 0 (a) = −(r − i)

Y + b = 0. 2a2

Odtud vypoˇcteme r a ˜=

(r − i)Y . 2b



Optimální požadovaná penˇežní zásoba je dána vzorcem (2.5). Po dosazení z výše uvedeného vztahu do vzorce (2.5) dostaneme s Md =

Yb . 2(r − i)

(2.7)

Poptávka po penˇezích roste s d˚uchodem Y , výší jednotkových transakˇcních náklad˚u b a úrokové míry na peníze i a klesá s r˚ustem úrokové míry dluhopis˚u r.

Tato verze Baumolova-Tobinova modelu popisuje chování ekonomického subjektu, který minimalizuje náklady. Jaká je poptávková funkce po penˇezích subjektu maximalizujícího zisk? Zisková funkce je dána následujícím vztahem Π = rY

1 1− 2a

+ iY

1 − ab. 2a

První sˇcítanec výše uvedeného výrazu vyjadˇruje výnos z dluhopis˚u jako násobek úrokové míry r s pr˚umˇerným poˇctem dluhopis˚u. Tento pr˚umˇerný poˇcet je aritmetickým pr˚umˇerem poˇcáteˇcního stavu dluhopis˚u, což je to, co zbyde z d˚uchodu po odeˇctení penˇez, tj. Y (1−1/a), a koncového stavu dluhopis˚u, což je 0. Druhý sˇcítanec výše uvedeného vztahu je výnos z držení penˇez. Je souˇcinem úrokové míry na peníze i a pr˚umˇerného stavu penˇez, což je Y /2a. Tˇretí sˇcítanec vyjadˇruje transakˇcní náklady, které jsou dány souˇcinem poˇctu transakcí n a náklad˚u na jednu transakci b.

Optimální poˇcet transakcí vypoˇcteme tak, že veliˇcinu Π budeme derivovat podle a. Vzniklou derivaci položíme rovnou nule. Dostaneme: rY

1 1 − iY 2 − b = 0. 2 2a 2a

Odtud dostaneme

r a ˜=

(r − i)Y . 2b

Po dosazení do rovnice (2.5) dostaneme s Md =

Yb . 2(r − i)



penˇežní poptávka H @ @

@ @@ @

@

@ @

0

@ @

@ @

C

@ @ @ @

1

2

@

3

@ @

4

cˇ as

Obrázek 2.4: Vývoj požadované penˇežní zásoby v Akerlofovˇe-Milbournovˇe modelu v pˇrípadˇe, že prahu je dosaženo ve tˇretím období Výše uvedený vzorec pro poptávku po penˇezích je stejný jako vzorec (2.7). Nezávisí tedy na tom, jestli se ekonomický subjekt chová tak, že minimalizuje nákladovou funkci nebo maximalizujeme funkci ziskovou. Zajímavou teorii transakˇcní poptávky po penˇezích najdeme v cˇ lánku Akerlof, G. A. – Milbourne, D., 1980. Tato teorie je motivovaná skuteˇcností, že se v reálném ekonomickém svˇetˇe setkáváme s tím, že citlivost poptávky po penˇezích na d˚uchod v krátkodobých modelech poptávky po penˇezích je nulová nebo dokonce záporná. Podle této teorie ekonomický subjekt pˇrijímá sv˚uj konstantní d˚uchod v okamžicích, které se opakují s pravidelnou periodou. Z tˇechto d˚uchod˚u se uhrazují výdaje na spotˇrebu, které mají konstantní rychlost. Dále v této teorii pˇredpokládáme, že d˚uchod je vˇetší než výdaje na spotˇrebu za období mezi výplatou d˚uchod˚u. Potom vznikají úspory, které se kumulují. Jakmile zásoba penˇez u daného subjektu dosáhne urˇcitého prahu, který oznaˇcíme H, její vlastník ji uloží na termínovaný úˇcet, resp. nakoupí dluhopisy, až na cˇ ástku která postaˇcí na úhradu výdaj˚u za následující období. D˚uchod oznaˇcíme symbolem Y . D˚uchod se rozpadá na spotˇrebu a úspory, tj. Y = C + S, pˇriˇcemž pˇredpokládáme, že platí H > C. Proces pˇrijímání d˚uchod˚u, výdaj˚u na spotˇrebu a kumulace penˇežních prostˇredk˚u až k pˇrekroˇcení prahu H je ukázán na obrázku 2.4, kde práh je dosažen (dokonce pˇrekroˇcen) ve tˇretím období. Poˇcet období, za které poprvé dosáhneme prahu, nebo práh poprvé pˇrekroˇcíme, obecnˇe oznaˇcíme n. Pro toto n platí dva vztahy C + nS ≥ H

C + (n − 1)S < H

(2.8)



Pr˚umˇerná penˇežní požadovaná zásoba je dána následujícím vztahem: C C C 1 C + +S + + 2S + · · · + + (n − 1)S . M = n 2 2 2 2 d

Výraz napravo v hranaté závorce je aritmetickou ˇradou. Ve výše uvedeném vztahu použijeme pravidel o souˇctu aritmetické ˇrady a po úpravˇe dostaneme: Md =

C S + (n − 1) . 2 2

(2.9)

Výpoˇctem ze vztah˚u (2.8) dostaneme n≥

H −C S

n<

H −C + 1. S

(2.10)

Spojením vztahu (2.9) a první nerovnosti (2.10) dostaneme C S C M = + (n − 1) ≥ + 2 2 2 d

H −C S H S −1 = − , S 2 2 2

C S C M = + (n − 1) < + 2 2 2 d

H −C S

H S = . 2 2

Slouˇcením výše uvedených vztah˚u dostaneme H H S − ≤ Md < . 2 2 2 Tento vztah vymezuje ekonomickou kategorii penˇežní poptávky jako interval, což je nesluˇcitelné ve vztahu s ostatními ekonomickými veliˇcinami, které jsou zadány jako cˇ íselná veliˇcina. Z tohoto d˚uvodu je v rámci této teorie pˇrijata konvence, že poptávka po penˇezích se nachází uprostˇred mezi hodnotami H/2 − S/2 a H/2. ¯ d a definujeme ji jako aritmetický Tuto konvenˇcní poptávku po penˇezích oznaˇcíme M pr˚umˇer veliˇcin H/2 − S/2 a H/2, tedy ¯d = H − S. M 2 4

(2.11)

Úspory S závisí na d˚uchodu a to tak, že s r˚ustem d˚uchodu rostou i úspory. Derivace úspor jako funkce d˚uchodu je tedy kladná. Co se týˇce prahové veliˇciny, m˚užeme ve shodˇe s realitou pˇredpokládat, že pˇríjmové skupiny s vyšším d˚uchodem mají i vyšší práh, tj. uskuteˇcnˇ ují



pˇrevod penˇežních prostˇredk˚u z bˇežných úˇct˚u, až když z˚ustatky dosáhnou relativnˇe vyšších hodnot oproti skupinám s nižším pˇríjmem. Podobná zákonitost se m˚uže projevit i v cˇ asovém mˇeˇrítku, kdy r˚ust pˇríjm˚u v cˇ ase znamená rovnˇež zvyšování prahu, tj. ukládání prostˇredk˚u nastane až pˇri vyšších hodnotách z˚ustatk˚u. To znamená, že práh H je rostoucí funkcí d˚uchodu. Reakce penˇežní poptávky na d˚uchod je dána derivací rovnice (2.11): 1 dH 1 dS dM d = − . dY 2 dY 4 dY Derivace funkcí H a S jsou kladné, jejich rozdíl však m˚uže být záporný, pokud vliv d˚uchodu na úspory pˇreváží vliv d˚uchodu na práh. V tomto pˇrípadˇe dojde k paradoxnímu jevu, kdy s r˚ustem d˚uchodu poklesne penˇežní poptávka. Motiv opatrnosti v poptávce po penˇezích se rovnˇež stal pˇredmˇetem zájmu penˇežních analytik˚u. Existuje ˇrada prací, které se zabývají motivem opatrnosti v poptávce po penˇezích. Za všechny jmenujeme stat’ Sprenkle, C. M. and Miller, M. H., 1980. Poptávku po penˇezích nˇejakého ekonomického subjektu oznaˇcíme symbolem M d , výdaje pak symbolem X. Nutno podotknouti, že pˇripouštíme situaci záporných výdaj˚u, které potom interpretujeme jako pˇríjmy. Na druhé stranˇe pˇredpokládáme distribuˇcní funkci takovou, že záporné výdaje jsou málo pravdˇepodobné. Veliˇcina výdaj˚u m˚uže nabýt libovolných reálných hodnot, takže ji považujeme za spojitou náhodnou veliˇcinu, která má hustotu rozdˇelení pravdˇepodobnosti f . Jestliže výdaje X ∈ (−∞, M d ), potom nedojde k vyˇcerpání penˇežní zásoby M d a z˚ustanou nevyužité penˇežní prostˇredky, které mohly být uloženy do alternativních aktiv na úrokovou míru r. Vzhledem k tomu, že se tak nestalo, ekonomický subjekt ztratí úrok ve velikosti r(M d − X), což pˇredstavuje relativní náklady na peníze. Stˇrední hodnota relativních náklad˚u penˇez C1 je dána vztahem ZM d C1 = r (M d − X)f (X)dX. −∞

Jestliže X > M d , potom penˇežní zásoba M d nestaˇcí k úhradˇe výdaj˚u a je nutné si opatˇrit další peníze získáním p˚ujˇcky za úrokovou míru r0 . Náklady na získání dodateˇcných penˇez nazveme transakˇcními náklady. Jejich velikost je dána vztahem (r0 − r)(X − M d ). Vzhledem k tomu, že X je náhodná veliˇcina, jsou i



transakˇcní náklady náhodná veliˇcina a jejich stˇrední hodnota je dána vztahem: Z∞ C2 = (r0 − r) (X − M d )f (X)dX. Md

Celkové náklady C jsou dány souˇctem relativních a transakˇcních náklad˚u penˇez, tedy ZM d C = C1 + C2 = r (M d − X)f (X)dX+ −∞

Z∞ +(r0 − r) (X − M d )f (X)dX. Md

Celkové náklady považujeme za funkci poptávky po penˇezích. Výraz upravíme následujícím zp˚usobem C = rM d

ZM d

ZM d f (X)dX − r

−∞

Xf (X)dX+

−∞

Z∞ +(r0 − r)

Xf (X)dX − (r0 − r)M

Md

d

Z∞ f (X)dX.

Md

Pˇredpokládáme optimální chování ekonomického subjektu, který minimalizuje náklady. Nutnou podmínku pro minimum náklad˚u získáme tak, že derivaci náklad˚u položíme rovnu nule. Platí dC =r dM d

ZM d

f (X)dX + rM d f (M d ) − rM d f (M d )+

−∞

d

Z∞

d

+(r0 − r)M f (M ) − (r0 − r)

f (X)dX − (r0 − r)M d f (M d ) = 0,

Md

kde jsme použili pravidel o derivaci integrálu podle horní, pˇrípadnˇe podle dolní meze.

Pˇri další úpravˇe výše uvedeného vztahu vycházíme z následujících rovnic: ZM d

f (X)dX = F (M d ),

−∞



Z∞

ZM d

Z∞ f (X)dX −

f (X)dX = −∞

Md

f (X)dX = 1 − F (M d )

−∞

Použijeme-li tyto rovnice, dostaneme: rF (M d ) − (r0 − r)(1 − F (M d ) = 0. Z této rovnice vypoˇcteme F (M d ) a dostaneme F (M d ) =

r0 − r . r0

K funkˇcní hodnotˇe distribuˇcní funkce F (Md ), která je zpravidla tabelovaná, nalezneme 0.9 0.8 0.7 0.6

F 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 −5

0

3

5

Md

10

15

Obrázek 2.5: Optimální poptávka po penˇezích ve Sprenkleovˇe-Millerovˇe modelu

odpovídající hodnotu Md . Na obrázku 2.5 najdeme grafické znázornˇení úlohy. Graf na obrázku je znázornˇením pr˚ubˇehu distribuˇcní funkce normálního rozdˇelení. Tato funkce je konstruována pro stˇrední hodnotu 5 a smˇerodatnou odchylku 8. Dále pokládáme r = 0, 06 a r0 = 0, 1. Hodnotˇe r0 − r/r0 = 0.4 odpovídá hodnota promˇenné M d = 3. Tento model, podobnˇe jako model Baumol˚uv-Tobin˚uv, má malou nadˇeji na úspˇešnou aplikaci. Problém je v identifikaci distribuˇcní funkce F . Další problémy by nastaly v urˇcení náklad˚u na získání dodateˇcných penˇez na úhradu výdaj˚u. Zajímavé je, že uvedený model má podobnou strukturu jako model Baumol˚uv-Tobin˚uv. Celkové náklady penˇez, podobnˇe jako v modelu Baumolovˇe-Tobinovˇe jsou souˇctem relativních a transakˇcních náklad˚u penˇez. Zde



se ovšem jedná o stochastické veliˇciny, zatímco u Baumolova-Tobinova modelu se jedná o deterministické veliˇciny.

2.3

Teorie portfolia

Vzhledem k tomu, že v další cˇ ásti této kapitoly vykládáme moderní teorie spekulativní poptávky po penˇezích, které jsou založeny na rizikovˇe-výnosovém pˇrístupu, bude nezbytných nˇekolik poznámek k teorii portfolia, jejímž obsahem jsou rizikovˇe výnosové modely. Pro naše úˇcely staˇcí, když se seznámíme pouze se základními principy Markowitzova modelu aplikovaného na portfolia složená ze dvou aktiv. Pod pojmem aktiva rozumíme finanˇcní aktivum jako napˇr. peníze, dluhopisy nebo akcie. Symbolem W (0) oznaˇcíme celkové bohatství nˇejakého investora v souˇcasnosti. Toto bohatství investor rozdˇelí na cˇ ásti Wi (0), i = 1, 2. Napˇríklad za cˇ ástku W1 (0) investor nakoupí množství z1 akcií v cenˇe P1 (0) a za cˇ ástku W2 (0) množství z2 dluhopis˚u v cenˇe P2 (0). Dejme tomu, že nakoupené množství akcií a dluhopis˚u investor drží jedno období, bˇehem kterého se nemˇení fyzické množství nakoupených aktiv. Po uplynutí daného období se cena akcií zmˇení na P1 (1) a cena dluhopis˚u na P2 (1). Na akcie budou po uplynutí daného období vyplaceny dividendy ve velikosti D na jednu akcii a za dluhopisy kupónové platby ve velikosti C na jeden dluhopis. V d˚usledku zmˇen ceny a vyplacených vlastnických d˚uchod˚u se bohatství W1 (0) a W2 (0) zmˇení na cˇ ástky W1 (1) = z1 (P1 (1) + D),

W2 (1) = z2 (P2 (1) + C).

(2.12)

Celkové bohatství, které je investováno do aktiv se tedy zmˇenilo z W (0) na W (1) = W1 (1) + W2 (1) v d˚usledku zmˇeny tržních cen aktiv a v d˚usledku vyplacených vlastnických d˚uchod˚u. Vzhledem k tomu, že pˇrítomnost klademe do okamžiku 0, je konec investiˇcního období (tj. okamžik 1) budoucností. Z tohoto d˚uvodu budeme na ceny P1 (1), P2 (1) a na dividendy D nahlížet jako na neurˇcité veliˇciny. Navíc budeme pˇredpokládat, že známe jejich rozdˇelení pravdˇepodobnosti, to znamená, že tyto veliˇciny budou náhodnými veliˇcinami. Potom ovšem veliˇcina Wα , α = 1, 2 definovaná vztahy (2.12) je též náhodnou veliˇcinou. Výnosnost α-tého aktiva oznaˇcíme symbolem rα a definujeme ji vztahem rα =

Wα (1) − Wα (0) . W0

(2.13)



Protože veliˇcina Wα (1) je náhodná veliˇcina, je i rα náhodná veliˇcina.

Uspoˇrádanou dvojici výnosností považujeme za vektorovou náhodnou veliˇcinu. Z teorie matematické statistiky je známo, že vektorová náhodná veliˇcina je bud’ diskrétní nebo spojitá. Nejdˇríve se budeme zabývat diskrétní vektorovou náhodnou veliˇcinou. Symboly r1 (1), . . . , r1 (m) znaˇcí jednotlivé hodnoty náhodné veliˇciny r1 a symboly r2 (1), . . . , r2 (n) hodnoty náhodné veliˇciny r2 . Sdružené pravdˇepodobnosti i-té, i = 1, . . . , m, hodnoty veliˇciny r1 a j-té j = 1, . . . , n hodnoty veliˇciny r2 oznaˇcíme p(i, j). Marginální pravdˇepodobnosti pro výnosnosti r1 a r2 oznaˇcené po ˇradˇe symboly p1 (i) a p2 (j) jsou dány vztahy n X

p1 (i) =

p(i, j)

p2 (j) =

m X

j=1

p(i, j).

i=1

Oˇcekávané výnosnosti obou aktiv znaˇcíme po ˇradˇe r¯1 a r¯2 a definujeme r¯1 =

m X

r1 (i)p1 (i)

r¯2 =

i=1

n X

r2 (i)p2 (i).

i=1

Riziko aktiva je v teorii portfolia mˇeˇreno smˇerodatnou odchylkou, kterou znaˇcíme σk . Rizika obou aktiv jsou dána po ˇradˇe vzorci

σ1 =

!1/2 m X (r1 (i) − r¯1 )2 p1 (i) ,

σ2 =

i=1

!1/2 n X (r2 (j) − r¯2 )2 p2 (j) . j=1

Kovariance výnosností obou aktiv je dána vzorcem cov(r1 , r2 ) =

m X m X

(r1 (i) − r¯1 )(r2 (j) − r¯2 )p(i, j).

i=1 j=1

Pro spojitou náhodnou vektorovou veliˇcinu r = (r1 , r2 ) symbolem f oznaˇcíme funkci hustoty sdruženého rozdˇelení pravdˇepodobnosti veliˇciny r. Symboly f1 , f2 oznaˇcíme marginální rozdˇelení pravdˇepodobnosti, které definujeme následujícím zp˚usobem Z∞ f1 =

Z∞ f (r1 , r2 )dr2 ,

f2 =

−∞

f (r1 , r2 )dr1 . −∞



Oˇcekávané výnosnosti obou aktiv jsou dány následujícími vztahy Z∞ r¯1 =

Z∞ r1 f1 (r1 )dr1 ,

−∞

r¯2 =

r2 f2 (r2 )dr2 . −∞

Pro riziko aktiv máme

Z∞ σ1 =

(r1 − r¯1 )2 f1 (r1 )dr1

−∞

Z∞ σ2 =

(r2 − r¯2 )2 f2 (r2 )dr2 .

−∞

Lineární závislost výnosností obou aktiv mˇeˇríme pomocí kovariance. Kovariance spojitých náhodných výnosností je dána vztahem Z∞ (r1 − r¯1 )(r2 − r¯2 )f (r1 , r2 )dr1 dr2 .

cov(r1 , r2 ) = −∞

Normovanou kovariancí je korelaˇcní koeficient, který znaˇcíme ρ12 a definujeme vztahem ρ12 =

cov(r1 , r2 ) . σ1 σ2

(2.14)

Jestliže pozorované výnosnosti v jednotlivých obdobích (dnech, týdnech, mˇesících a letech) tvoˇrí stacionární cˇ asovou ˇradu, lze spoˇcítat výbˇerové stˇrední hodnoty (tj. oˇcekávané výnosnosti), výbˇerové smˇerodatné odchylky (tj. rizika) a výbˇerové kovariance, kterými odhadneme oˇcekávané výnosnosti, rizika a kovariance. Zd˚urazˇnujeme, že výbˇerové protˇejšky oˇcekávané výnosnosti, rizika a kovariance budeme pro jednoduchost znaˇcit stejným symbolem. Dejme tomu, že stacionární cˇ asová ˇrada má tvar rα1 , . . . , rαT , α = 1, 2. Výbˇerové oˇcekávané výnosnosti obou aktiv jsou dány následujícími pˇredpisy

r¯α =

T 1X rαt . T t=1

Výbˇerová rizika jsou dána vzorci T

1 X (rαt − r¯α )2 , σα = T − 1 t=1

α = 1, 2,



a výbˇerová kovariance vztahem T

1 X (r1t − r¯1 )(r2t − r¯2 ). cov(r1 , r2 ) = T − 1 t=1 Obrázek 2.6 v nákresu (a) ukazuje pˇrípad, kdy ρ = −1, v nákresu (b) pˇrípad, kdy ρ ∈ (−1, 0), v nákresu (c) pˇrípad, kdy ρ = 0, v nákresu (d) pˇrípad, kdy ρ ∈ (0, 1) a v nákresu (e) pˇrípad, kdy ρ = 1. Hvˇezdiˇcky v každém nákresu ukazují množinu uspoˇrádaných dvojic výnosností obou aktiv tak, jak jsou udány v cˇ asových ˇradách rα1 , . . . , rαT , α = 1, 2. Pozorované rozdíly výnosnosti prvního a druhého aktiva jsou zobrazeny v rovinˇe os souˇradných, kdy výnosnost prvního aktiva je nanášena na horizontální osu a výnosnost druhého aktiva je nanesena na vertikální osu. Výnosnosti obou aktiv pozorované v jednotlivých obdobích jsou pak znázornˇeny jako body v rovinˇe os souˇradných. V pˇrípadˇe, kdy ρ ∈ (0, 1i hovoˇríme o pozitivnˇe korelovaných výnosnostech. Je-li ρ12 ∈ h−1, 0), hovoˇríme o negativnˇe korelovaných výnosnostech obou aktiv. Pˇrípad, kdy ρ12 = 0, je pˇrípadem, kdy výnosnosti aktiv nejsou korelovány a to, jak víme, nastane vždy pokud výnosnosti obou aktiv jsou nezávislé. Jestliže je ρ = −1, jedná se spíše o teoretický pˇrípad, který je nazván absolutnˇe negativní korelací, je-li ρ = 1, jedná se rovnˇež o spíše teoretickou možnost, která je nazvána absolutnˇe pozitivní korelací. Výnosnost portfolia rp vytvoˇreného z dvou aktiv je dána vztahem rp =

W (1) − W (0) . W (0)

Vzhledem k tomu, že W (0) = W1 (0) + W2 (0) a W (1) = W1 (1) + +W2 (1), pˇrejde výše uvedená rovnice ve tvar rp =

W1 (1) + W2 (1) − W1 (0) − W2 (0) = W1 (0) + W2 (0)

W1 (1) − W1 (0) W1 (0) W2 (1) − W2 (0) W2 (0) + . W1 (0) W1 (0) + W2 (0) W2 (0) W1 (0) + W2 (0) Položíme-li Xi =

Wi (0) , W1 (0) + W2 (0)

i = 1, 2



r2 − r¯2

r2 − r¯2

rHr Hrr HHr Hr r HHr r H

r

HH rr r H Hr

r

r

r2 − r¯2

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r1 − r¯1

r

r r

r rr

r r

r

r

r

r1 − r¯1

r

r1 − r¯1 r

r2 − r¯2

(c)

r

r

(b)

r

r

r r

r

r2 − r¯2 r

r

r r

r1 − r¯1

(a)

r

r

r

rr

r r r r r r rr r r1 r r

(d)

− r¯1

(e)

Obrázek 2.6: Výnosnosti dvou aktiv pˇri kladném, nulovém a záporném korelaˇcním koeficientu

a použijeme-li vztah˚u (2.13), z výše uvedeného vztahu dostaneme rp = X1 r1 + X2 r2 , kde Xα ≥ 0,

α = 1, 2,

X1 + X2 = 1.

(2.15)

Vzhledem k tomu že operátor stˇrední hodnoty je lineární, z výše uvedeného vztahu dostaneme pro oˇcekávanou výnosnost portfolia r¯p = X1 r¯1 + X2 r¯2 .

(2.16)



Riziko portfolia mˇeˇríme smˇerodatnou odchylkou, kterou oznaˇcíme σp . Pro riziko portfolia složeného ze dvou aktiv platí σp = [X12 σ12 + 2X1 X2 cov(r1 , r2 ) + X22 σ22 ]1/2 . Použijeme-li definici korelaˇcního koeficientu (2.14), pˇrejde výraz pro riziko portfolia v následující vyjádˇrení σp = [X12 σ12 + 2X1 X2 ρ12 σ1 σ2 + X22 σ22 ]1/2 .

(2.17)

V rovnicích (2.16) a (2.17) pokládáme veliˇciny σ1 , σ2 a ρ12 za konstanty. Veliˇciny X1 a X2 , které jsou svázány podmínkami (2.15), považujeme za parametry. Potom rovnice (2.16), (2.17) zadávají kˇrivku v rovinˇe os souˇradných r¯ a σ. Tato kˇrivka je nazývána množinou pˇrípustných dvouaktivových portfolií. V následujícím pˇríkladˇe ukážeme tvar této kˇrivky pro zadané hodnoty σ1 , σ2 a ρ12 . Odpovídající kˇrivka má natolik obecný charakter, aby cˇ tenáˇr získal dostateˇcný pˇrehled o tvaru množin pˇrípustných dvouaktivových portfolií.

***

Pˇríklad 1: Pˇredpokládejme, že pro oˇcekávané výnosnosti prvního a druhého aktiva platí r¯1 = 5%, r¯2 = 10% a pro rizika σ1 = 15, σ2 = 25. Pro korelaˇcní koeficient uvažujeme tˇri varianty. V první variantˇe bude platit ρ12 = 1, ve druhé variantˇe ρ12 = −1 a ve tˇretí ρ = 0. Zvolme nejdˇríve ρ12 = 1, potom vzorec (2.16) po dosazení za r1 a r2 získá tvar rp = 5X1 + 10X2

(2.18)

a vzorec (2.17) po dosazení za σ1 a σ2 pˇrejde ve vztah σp = [225X12 + 750X1 X2 + 625X22 ]1/2 = 15X1 + 25X2 .

(2.19)

Tabulka 1



X1

0

0,16

0,33

0,5

0,67

0,84

1

X2

1

0,84

0,67

0,5

0,33

0,16

0

r¯p

10

9,2

8,35

7,5

6,65

5,8

5

σp |ρ12 = 1

25

23,4

21,7

20

18,3

16,6

15

σp |ρ12 = −1

25

18,6

11,8

5

1,8

8,6

15

σp |ρ12 =0

25

21,1

17,5

14,6

13,0

13,2

15

Když zvolíme za X1 hodnoty uvedené v prvním ˇrádku tabulky, dostaneme ze vztah˚u (2.15) hodnoty X2 uvedené ve druhém ˇrádku tabulky. Dosadíme-li podíly X1 a X2 do rovnic (2.18) a (2.19), dostaneme cˇ ísla ve tˇretím a cˇ tvrtém ˇrádku tabulky. Hodnoty oˇcekávané výnosnosti a rizika ve tˇretím a cˇ tvrtém ˇrádku tabulky jsou souˇradnicemi bod˚u, které leží na úseˇcce AB, jak ukazuje obrázek 2.7. Pˇripomínáme, že bod A odpovídá prvnímu aktivu o výnosnosti 5 % B

10

9

8

− r

−0.5

−1

0

0.5

1

C

6

5 0

5

10

σ

A

20

25

Obrázek 2.7: Množiny pˇrípustných dvouaktivových portfolií pro r˚uzné hodnoty ρ12

a riziku 15 %, bod B odpovídá druhému aktivu o výnosnosti 10 % a riziku 25%. Na úseˇcce AB leží výnosnosti a rizika všech portfolií s korelaˇcním koeficientem jedna. Uvažujme nyní druhou variantu, kdy ρ = −1. Potom po dosazení za r1 , r2 , σ1 , σ2 a ρ12 rovnice (2.16) pˇrejde ve tvar (2.18) a rovnice (2.17) ve tvar σp = [225X12 − 750X1 X2 + 625X22 ]1/2 =| 15X1 − 25X2 | . Postupným dosazováním podíl˚u aktiv v portfoliu do rovnic (2.18) a (2.19) dostaneme cˇ ísla ve tˇretím a pátém ˇrádku tabulky, které jsou souˇradnicemi bod˚u na úseˇckách AC a BC. Tyto úseˇcky tvoˇrí úhel ACB, jehož vrchol leží na kolmé ose roviny os souˇradných, jak je možné



vidˇet na obrázku 2.7. Na tomto úhlu leží všechna portfolia vytvoˇrená ze dvou aktiv, jejichž podíly splˇnují podmínky (2.15). V tˇretí variantˇe pˇredpokládáme, že výnosnosti obou aktiv jsou nezávislé náhodné veliˇciny, z cˇ ehož plyne, že ρ12 = 0. Výnosnosti portfolia i v tomto pˇrípadˇe budou splˇnovat rovnici (2.18). Rovnice pro riziko portfolia pˇrejde ve tvar σp = [225X12 + 625X22 ]1/2 .

(2.20)

Postupným dosazováním podíl˚u X1 , X2 uvedených v prvním a druhém ˇrádku dostaneme rizika portfolia pro tˇretí variantu, která uvádíme v šestém ˇrádku tabulky. Údaje o výnosnosti portfolia uvedené ve tˇretím ˇrádku tabulky jsou stejné pro všechny tˇri varianty, tudíž platí i pro tuto variantu. Odpovídající body, jejichž první souˇradnice jsou veliˇciny tˇretího ˇrádku tabulky a druhé souˇradnice jsou veliˇciny šestého ˇrádku tabulky, leží na oblouku znázornˇeném plnou cˇ arou spojující body A a B. Na tomto oblouku leží všechny body o souˇradnicích (¯ rp , σp ) takové, že r¯p je dáno rovnicí (2.18) a σp je dáno rovnicí (2.20), kde X1 , X2 splˇnují podmínky (2.15). Jak budou vypadat kˇrivky pˇrípustných portfolií, jestliže korelaˇcní koeficient bude nabývat jiných hodnot než 1, −1, 0? Pokud bude ρ12 ∈ (0, 1), kˇrivka pˇrípustných portfolií bude podobná plnému oblouku spojujícímu body AB na obrázku 2.7, ale ménˇe vypuklá a bude ležet v oblasti vymezené úseˇckou AB a obloukem AB. Pokud bude ρ ∈ (−1, 0), odpovídající množina pˇrípustných dvouaktivových portfolií bude podobná oblouku AB, ale bude více vypuklá a bude ležet v oblasti vymezené obloukem AB a úhlem ACB. Na obrázku 2.7 jsou ukázány též tvary kˇrivek pˇrípustných portfolií pro hodnoty ρ12 = −1/2, 1/2. Tyto kˇrivky jsou nakresleny jako teˇckované. Pokud jsme d˚ukladnˇe cˇ etli pˇredchozí text, víme, že kˇrivka pˇrípustných portfolií pro ρ = 1/2 leží mezi plným obloukem AB a úseˇckou AB a kˇrivka pro ρ = −1/2 leží mezi plným obloukemAB a úhlem ACB. *** Jak vypadá množina pˇrípustných dvouaktivových portfolií v pˇrípadˇe, že riziko, ˇreknˇeme prvního aktiva je nulové?4 V tom pˇrípadˇe nastanou následující skuteˇcnosti: Rovnice (2.16) 4

V tomto pˇrípadˇe je výnosnost r1 determinovaná veliˇcina a stˇrední hodnota determinované veliˇciny je rovna hodnotˇe této veliˇciny a tak znaˇcení pruhem je nadbyteˇcné. Navíc zpravidla r1 < r¯2 , protože bezrizikové aktivum musí mít nižší výnosnost než rizikové.



se nezmˇení a rovnice (2.17) pˇrejde ve tvar σp = X2 σ2 ,

(2.21)

jak se snadno pˇresvˇedˇcíme, položíme-li v rovnici (2.17) σ1 = 0. Rovnice (2.16) a (2.21) zadávají kˇrivku pˇrípustných dvouaktivových portfolií parametricky, pˇriˇcemž parametry X1 , X2 jsou svázány podmínkou (2.15). Parametr X1 eliminujeme tak, že z podmínky (2.15) odvodíme, že X 1 = 1 − X2

X2 ∈ h0, 1i

a dosadíme do rovnice (2.16). Z rovnice (2.21) vypoˇcteme X2 =

σp , σ2

vzhledem k tomu, že X2 ∈ h0, 1i musí být σp ∈ h0, σ2 i. Dosadíme-li z pˇredchozí rovnice do rovnice (2.16), dostaneme r¯p = r1 +

r¯2 − r1 σp . σ2

(2.22)

Z pˇredchozího výkladu vidíme, že pokud jedno aktivum dvouaktivového portfolia bude mít nulové riziko, m˚užeme vztah rizika portfolia k výnosnosti portfolia vyjádˇrit pˇrímo pomocí rovnice (2.22) což je pˇrirozenˇejší než vyjádˇrení parametrické, které je zprostˇredkováno rovnicemi (2.17) a (2.21). Na obrázku 2.8, nákresu (a) najdeme pˇríslušnou množinu pˇrípustných portfolií, kterou vyjadˇruje úseˇcka AB. V množinˇe pˇrípustných portfolií existuje podmnožina tzv. efektivních portfolií, jejichž definice bude ponˇekud složitˇejší. Nejdˇríve definujeme množinu dominantních bod˚u k portfoliu V = (σv , r¯v ) vztahem: D(V ) = {(σ, r¯) ∈ <2≥ : σ ≤ σv , r¯ ≥ r¯v , (σ, r¯) 6= (σv , r¯v )}, kde symbolem <2≥ oznaˇcíme nezáporný kvadrant roviny os souˇradných. Jestliže dominantní množina je prázdná, nazveme toto portfolio efektivním. Na obrázku 2.8 nákresu (b) je množina pˇrípustných portfolií pˇredstavovaná obloukem AB. Na tomto oblouku leží pˇrípustné portfolio V . Z portfolia V vychází kolmá a vodorovná cˇ ára. Pravoúhlý kužel, který



r¯

r¯

b

b

B

bB

b

V

Cb

A

b

b

W A 0

(a)

σ

0

(b)

σ

Obrázek 2.8: (a)-Množina pˇrípustných dvouaktivových portfolií v pˇrípadˇe, že jedno aktivum je bezrizikové, (b)- Množina efektivních dvouaktivových portfolií v pˇrípadˇe rizikových aktiv je sevˇren zmínˇenými cˇ arami, tvoˇrí vˇcetnˇe tˇechto cˇ ar, ovšem vyjma portfolia V , dominantní množinu portfolia V . Tato množina neobsahuje žádné pˇrípustné portfolio, je tedy portfolio V efektivní portfolio. Naproti tomu portfolio W nakreslené na témž obrázku není efektivním portfoliem, protože jeho dominantní množina obsahuje pˇrípustná portfolia, totiž cˇ ást oblouku AB, která leží v kuželu sevˇreném kolmicemi vycházejícími z bodu W . Snadno zjistíme, že množina efektivních portfolií je oblouk BC, kde C je pˇrípustné portfolio s minimálním rizikem. Ostatní pˇrípustná portfolia efektivní nejsou, nebot’ jejich dominantní množiny obsahují pˇrípustná portfolia. Rovnice (2.16) a (2.17), pokud X1 , X2 je vázáno podmínkami (2.15), charakterizují pˇrípustná portfolia z hlediska výnosnosti a rizika. V oblasti výnosnost-riziko, která je totožná s nezáporným kvadrantem roviny os souˇradných, m˚užeme definovat užitkovou funkci u = u(σ, r¯).

(2.23)

Portfolia se stejným užitkem, ˇreknˇeme u0 , urˇcují indiferenˇcní kˇrivku, jejíž implicitní rovnice je u0 = u(σ, r¯). Na obrázku 2.9(a) vidíme, že portfolia A a B leží na stejné indiferenˇcní kˇrivce, mají tedy stejný užitek. Portfolio B je výnosnˇejší než portfolio A, má však vˇetší riziko. Pˇrír˚ustek rizika



r¯

r¯ r

r

Cr

rC

B

r

r¯

A

0

(a)

r

B

C

r

r

A

σ 0

(b)

A

σ 0

(c)

r

B σ

Obrázek 2.9: Indiferenˇcní kˇrivky rizikovˇe averzního, absolutnˇe averzního a neutrálního investora. je na druhé stranˇe kompenzován urˇcitým pˇrír˚ustkem výnosnosti, takže investor hodnotí obˇe portfolia stejnˇe. Portfolio C má stejné riziko, ale vˇetší výnosnost, takže musí ležet na vyšší indiferenˇcní kˇrivce než portfolia A a B. Na obrázku je ukázáno chování tzv. rizikovˇe averzního investora, tj. investora, kterému musí pˇrír˚ustek rizika být uhrazen pˇrír˚ustkem výnosnosti. Na obrázku 2.9(b) nalezneme indiferenˇcní kˇrivky rizikovˇe absolutnˇe averzního investora. Portfolia A a B jsou hodnocena stejnˇe, protože mají stejné riziko. I když portfolio B má vyšší výnosnost než portfolio A, tak to u rizikovˇe absolutnˇe averzního investora nehraje v˚ubec žádnou roli, nebot’ ten bere v úvahu pouze riziko. Portfolio C leží na vyšší indiferenˇcní kˇrivce, protože má nižší riziko. Na obrázku 2.9(c) jsou nakresleny indiferenˇcní kˇrivky rizikovˇe neutrálního investora. Rizikovˇe neutrální investor bere ohled pouze na výnosnost a neuvažuje riziko. Z tohoto d˚uvodu leží body A a B na stejné indiferenˇcní kˇrivce, i když mají r˚uzné riziko, protože mají stejnou výnosnost. Portfolio C leží na vyšší indiferenˇcní kˇrivce, protože jeho výnosnost je vyšší než výnosnost portfolia A. Optimalizaˇcní úloha investora má následující tvar: Najít portfolio zadané vztahy (2.15), (2.16) a (2.17), které maximalizuje užitkovou funkci (2.23). Toto portfolio nazveme optimálním portfoliem. V pˇrípadˇe, kdy jedno z aktiv je bezrizikové, m˚uže být množina pˇrípustných portfolií vyjádˇrena rovnicí (2.22). Optimální portfolio rizikovˇe averzního investora je ukázáno na obrázku 2.10 nákresu (a). Na tomto obrázku je optimálním portfoliem bod C, ve kterém se dotýká nejvyšší indiferenˇcní kˇrivka kˇrivky pˇrípustných portfolií pˇredstavené obloukem AB. Optimální portfolio oznaˇcené bodem C pro absolutnˇe rizikovˇe averzního investora nalezneme na obrázku 2.10(b) a optimální portfolio rizikovˇe neutrálního investora najdeme na obrázku 2.10 (c). Zde je to bod B, tj. opˇet bod dotyku s nejvyšší indiferenˇcní kˇrivkou rizikovˇe neutrál-



r¯

r¯

I r

I

B

B

C

Cr A 0

A (a)

σ

r¯

0

σ

(b)

r¯ B r

I

B

I r

A

A 0

C

(c)

σ

0

σ

(d)

Obrázek 2.10: Optimální portfolia jednotlivých typ˚u investor˚u ního investora. Na obrázku 2.10(d) je opˇet pˇrípad rizikovˇe averzního investora, kdy aktivum A je výnosové ale bezrizikové.

2.4

Tobinuv ˚ model

Model, který James Tobin formuloval v roce 1958 (Tobin, J., 1958) patˇrí mezi rizikovˇe výnosové modely. V tomto modelu se pˇredpokládá investor, který investuje do dvou aktiv. Prvním aktivem jsou peníze. Výnosnost penˇez, pˇredpokládáme-li že neexistuje úroˇcení z bˇežných úˇct˚u, je nulová. Rizikovost penˇez mˇeˇrená smˇerodatnou odchylkou výnosnosti je rovnˇež nulová. Výnosnost penˇez je totiž podle pˇredpokladu konstantní, tedy determinovaná veliˇcina, a smˇerodatná odchylka determinované veliˇciny se rovná nule. Druhým aktivem jsou dluhopisy. Výnosnost dluhopis˚u je dána souˇctem jejich bˇežné výnosnosti a kapitálové výnosnosti. Tržní cenu dluhopisu v souˇcasnosti oznaˇcíme symbolem P0 a budoucí cenu dluhopisu symbolem P1 . Bˇežnou výnosnost dluhopisu oznaˇcíme



c = C/P0 , kde C je kupónová platba vyplacená investorovi za dané období. Kapitálová výnosnost dluhopisu znaˇcená symbolem gb je definována vztahem gb =

P1 − P 0 . P1

Budoucí tržní cenu dluhopisu budeme považovat za náhodnou veliˇcinu. Z tohoto d˚uvodu bude i veliˇcina gb náhodnou veliˇcinou. Velice cˇ asto je proces utváˇrení budoucích tržních cen z bˇežné ceny pokládán za náhodnou procházku. V tomto pˇrípadˇe je oˇcekávaná (stˇrední) hodnota budoucí ceny rovna cenˇe bˇežné a tedy platí g¯b = 0. Tohoto pˇredpokladu se budeme držet i v našem výkladu, takže pro oˇcekávanou výnosnost dluhopis˚u znaˇcenou r¯b , která je souˇctem bˇežné a kapitálové výnosnosti, bude platit r¯b = c+gb = c. Rizikovost dluhopis˚u je vyjádˇrena smˇerodatnou odchylkou, kterou budeme znaˇcit σb a budeme pˇredpokládat, že je vˇetší než nula.5 Celkové bohatství ekonomického subjektu, který hodlá sestrojit portfolio složené z penˇez a dluhopis˚u, oznaˇcíme W . Tu cˇ ást bohatství, kterou ekonomický subjekt bude držet v penˇezích, oznaˇcíme M d a cˇ ást, kterou bude držet v dluhopisech, oznaˇcíme B. Samozˇrejmˇe platí W = M d + B. Položíme ještˇe Xb = B/W a m˚užeme pˇrejít k formulaci úlohy, která je úlohou na optimální dvouaktivové portfolio, kde jedno aktivum je bezrizikové. Tato úloha spoˇcívá v maximalizaci funkce (2.23) za podmínky (2.22). Vzhledem k tomu, že v úloze investora do penˇez a dluhopis˚u jsme použili vztah˚u r1 = 0, r¯2 = c a σ2 = σb , pˇrejde úloha (2.22), (2.23) v úlohu: Najít portfolio charakterizované rizikem a výnosností (σp , r¯p ) takové, aby maximalizovalo užitkovou funkci u = u(σ, r¯) na množinˇe pˇrípustných portfolií r¯ =

c σ. σb

(2.24)

Lagrangeovu funkci pro tuto úlohu formulujeme ve tvaru L(σp , r¯p , λ) = U (σp , r¯p ) − λ(¯ rp −

c σp ). σb

5

Rizikovost dluhopis˚u je ovlivnˇena pouze kapitálovou výnosností, protože bˇežná výnosnost je determinovaná veliˇcina.



Nutné podmínky pro vázané maximum funkce odvodíme tím, že parciální derivace funkce L podle promˇenných λ, σp , r¯p , položíme rovny nule a tak dostaneme c σp , σb ∂u(σp , r¯p ) c = −λ , ∂σp σb ∂u(σp , r¯p ) = λ. ∂rp r¯p =

(2.25) (2.26) (2.27)

Nutné podmínky pro extrém definují promˇenné λp , σp , r¯p jako funkce dvou parametr˚u σb a c. Cílem komparativní statiky je zjištˇení citlivosti veliˇciny λp , rizika optimálního portfolia σp a výnosnosti optimálního portfolia r¯p na riziko dluhopis˚u σb a jejich výnosnost c. Citlivost na parametr σb vypoˇcteme tak, že derivujeme rovnice (2.25)–(2.27) podle σb . Dostaneme: rp c c ∂σp ∂¯ + = − 2 σp , σb ∂σb ∂σb σb 2 2 c ∂λp ∂ u(σp , r¯p ) ∂σp ∂ u(σp , r¯p ) ∂¯ rp c + + = λp 2 , 2 2 σb ∂σb ∂σp ∂σb ∂σp ∂¯ rp ∂σb σb −

−

∂λp ∂ 2 u(σp , r¯p ∂σp ∂u(σp , r¯p ) ∂¯ r + + = 0. 2 ∂σb ∂σp ∂¯ rp ∂σb ∂¯ r ∂σb

Do výše uvedených rovnic dosadíme ze vztah˚u (2.26) a (2.27) a po úpravˇe dostaneme ∂u(σp , r¯p ) ∂σp ∂u(σp , r¯p ) ∂¯ rp c + =− , ∂σp ∂σb ∂rp ∂σb σb 2 2 1 ∂λp ∂u(σp , r¯p ∂ u(σp , r¯p ) ∂σp ∂ u(σp , r¯p ) ∂¯ rp c − + + = λp 2 , 2 λp ∂σb ∂σp ∂σp ∂σb ∂σp ∂¯ rp ∂σb σb 1 ∂λp ∂u(σp , r¯p ∂ 2 u(σp , r¯p ) ∂σp ∂u(σp , r¯p ) ∂¯ rp − + + = 0. 2 λp ∂σb ∂¯ rp ∂σp ∂¯ rp ∂σb ∂¯ rp ∂σb Výše uvedené rovnice zapíšeme maticovˇe tak, že oznaˇcíme:  ∂u(σp , r¯p ) ∂u(σp , r¯p ) 0   ∂σp ∂¯ rp   2 2  ∂u(σp , r¯p ) ∂ u(σp , r¯p ) ∂ u(σp , r¯p )    U = 2  ∂σ ∂σ ∂σ ∂¯ r p p p p   2 2  ∂u(σp , r¯p ) ∂ u(σp , r¯p ) ∂ u(σp , r¯p )  ∂¯ rp ∂σp ∂¯ rp ∂¯ rp2 



a dostaneme následující tvar: 1 ∂λp −  λp ∂σb   ∂σp U  ∂σb  ∂¯ rp ∂σb 





      =   

c σb2 c λp 2 σb 0

−λp

   .  

Vynásobíme-li výše uvedenou rovnicí inversní maticí U −1 , budeme mít následující vztah: 1 ∂λp −  λp ∂σb   ∂σp   ∂σb  ∂¯ rp ∂σb 



c −λp σp 2   σb   c  −1   = U  λp 2  σb   0 

   .  

(2.28)

Inversní matici U −1 napíšeme formálnˇe jako 

w00 w01 w02



  . U −1 =  w w w 10 11 12   w20 w21 w22 Z výše uvedeného vztahu dosadíme do rovnice (2.28). Protože nás zajímá pouze citlivost rizika portfolia a výnosti portfolia, vynásobíme v rovnici (2.28) pouze druhý a tˇretí ˇrádek matice U −1 se sloupcovým vektorem na pravé stranˇe zmínˇené rovnice. Rozepíšeme-li po souˇradnicích , dostaneme: ∂σp c c = w11 λp − w10 λp σp , ∂σb σb σb c c ∂¯ rp = w21 λp − w20 λp σp . ∂σb σb σb

(2.29) (2.30)

Abychom zjistili více informací o citlivostech rizika portfolia a oˇcekávané výnosnosti portfolia na riziko obligací, musíme mít daleko více informací o prvcích inversní matice, než z velice obecného zadání užitkové funkce m˚užeme získat. Je proto nutné užitkovou funkci specifikovat, což uˇciníme, až proanalyzujeme citlivosti rizika portfolia a oˇcekávané výnosnosti portfolia na výnosnost obligací. Za tímto úˇcelem derivujeme rovnice (2.25)-(2.27) po-



dle podle parametru c. rp 1 c ∂σp ∂¯ + = λp σp , σb ∂c ∂c σb 2 2 c ∂λp ∂ u(σp , r¯p ) ∂σp ∂ u(σp , r¯p ) ∂¯ rp 1 + + = −λp , 2 σb ∂c ∂σp ∂c ∂σp ∂¯ rp ∂c σb −

−

r ∂λp ∂ 2 u(σp , r¯p ∂σp ∂u(σp , r¯p ) ∂¯ + + = 0. ∂c ∂σp ∂¯ rp ∂c ∂¯ r2 ∂c

Po dosazení ze vztah˚u (2.26) a (2.27)dostaneme ∂u(σp , r¯p ) ∂σp ∂u(σp , r¯p ) ∂¯ rp 1 + = λσp , ∂σp ∂c ∂¯ rp ∂c σb 2 2 1 ∂λp ∂u(σp , r¯p ) ∂ u(σp , r¯p ) ∂σp ∂ u(σp , r¯p ) ∂¯ rp 1 − + + = −λp , 2 λp ∂c ∂σp ∂σp ∂c ∂σp ∂¯ rp ∂c σb −

1 ∂λp ∂u(σp , r¯p ) ∂ 2 u(σp , r¯p ∂σp ∂u(σp , r¯p ) ∂¯ r + + = 0. 2 λ ∂c ∂¯ rp ∂σp ∂¯ rp ∂c ∂¯ r ∂c

Výše uvedené rovnice je možné pˇrepsat do maticového tvaru, pˇriˇcemž využijeme vztahu (2.28). Dosadíme-li z nˇej do výše uvedené soustavy, dostaneme. 

1 ∂λp  − λp ∂c   U  ∂σp  ∂c  ∂¯ rp ∂c



 c  λp σp    σb    c   =  − λp    σb   0

Zprava vynásobíme invarsní maticí U −1 a dostaneme 

1 ∂λp  − λp ∂c   ∂σp   ∂c  ∂¯ rp ∂c



 c  λp σp    σb  c   −1  = U   − λp  .   σb   0

Podobnˇe jako v pˇrípadˇe zkoumání citlivosti rizika portfolia a oˇcekávané citlivosti portfolia na riziko obligací, tak i v tomto pˇrípadˇe rozboru citlivosti na výnosnost obligací násobíme



druhý a tˇretí ˇrádek matice U −1 vektorem napravo ve výše uvedené soustavˇe. Dostaneme: c c ∂σp = w10 λp σp − w11 λp , ∂c σb σb ∂¯ rp c c = w20 λp σp − w21 λp . ∂c σb σb

(2.31) (2.32)

Ani v pˇrípadˇe citlivosti na oˇcekávanou výnosnost obligací není možné dojít k pˇresnˇe urˇceným závˇer˚um.

K urˇcitým závˇer˚um lze dospˇet, jestliže budeme uvažovat užitkovou funkci urˇcitˇejšího tvaru. Napˇríklad zvolíme užitkovou funkci ve tvaru u(σ, r¯) = r¯ − v(σ),

(2.33)

kde funkce v je funkcí, která je definována na intervalu [0, ∞) a má zde derivace do ˇrádu druhého. Budeme pˇredpokládat rizikovˇe aversního investora, což znamená, že v 0 (σ) > 0. Dále pˇredpokládáme konvexní indiferenˇcní kˇrivky, tj. v 00 (σ) > 0. Matice U má následující tvar 

0

−v 0 (σp ) 1



  0 00 . U = −v (σ ) v (σ 0 p p   1 0 0

(2.34)

Souˇcin matice U a matice k ní inversní dává matici jednotkovou jak znázorˇnujeme dole. Prvky inversní matice znaˇcíme symboly wi j, jak je v této knize obvyklé. 

0

−v 0 (σp ) 1



w00 w01 w02





100



      −v 0 (σp ) v 00 (σp 0   w10 w11 w12  =  0 1 0       1 0 0 w20 w21 w22 001 Z výše uvedené maticové rovnice zjistíme snadno zjistíme, že w00 = w01 = w10 = 0, w02 = w20 = 1, w12 = w21 < 0, w11 < 0 a w22 < 0. V tomto pˇrípadˇe rovnice (2.29)-(2.32)



nabývají tvaru ∂σp ∂σb ∂¯ rp ∂σb ∂σp ∂c ∂¯ rp ∂c

c , σb c c = w21 λp − λp σp , σb σb c = −w11 λp , σb c c = λp σp − w21 λp . σb σb = w11 λp

(2.35) (2.36) (2.37) (2.38)

Podíl dluhopis˚u v portfoliu XB je dán rovnicemi ˜ b = σp X σb

˜ b = r¯b . nebo X c

(2.39)

˜ b na zmˇenách parametr˚u σb a c potˇrebujeme Pro zjištˇení závislosti optimálního pomˇeru X rovnice (2.39). Jestliže se zvýší riziko dluhopis˚u σb , potom investor pˇrestrukturuje svoje optimální portfolio složené z penˇez a dluhopis˚u tak, aby se riziko σp a výnosnost r¯p tohoto portfolia snížily, jak ukazují rovnice (2.35) a (2.36). To ovšem znamená snížení podílu ˜ p , který je dán rovnicemi (2.39) a tedy zvýšení podílu dluhopis˚u v optimálním portfoliu X penˇez. Jestliže se zvýší výnosnost dluhopis˚u c, potom podle rovnice (2.37) se zvýší σp a samozˇrejmˇe sníží r¯p podle rovnice (2.38). Potom podíl dluhopis˚u v portfoliu se sníží, jak plyne z první rovnice soustavy (2.39). Tuto teorii budeme aplikovat na pˇríkladu užitkové funkce r¯−aσ 2 , kde a > 0 je koeficient rizikové averze. Snadno se pˇresvˇedˇcíme, že tato funkce je specifickým pˇrípadem funkce (2.33). To ovšem znamená, že investor, který se chová podle této užitkové funkce, omezí poptávku po penˇezích, jakmile roste výnosnost dluhopis˚u c a zvýší poptávku po penˇezích, jakmile roste riziko dluhopis˚u σb . V následujícím pˇríkladˇe tuto skuteˇcnost ovˇeˇríme pˇrímým výpoˇctem. *** Pˇríklad 2: Nutné podmínky pro maximum užitkové funkce r¯ − aσ 2 vázané na množinu pˇrípustných portfolií r¯ = cσ/σb jsou následující: 1 − λ = 0, −2aσp + λ

c = 0. σp



r¯

c

r¯p

P

0

σb σ

σp

Obrázek 2.11: Optimální portfolio v Tobinovˇe modelu

Z první rovnice dosadíme za λ do rovnice druhé a po úpravˇe dostaneme: σp =

c . 2aσb

Pro podíl dluhopis˚u v portfoliu platí Xb =

c σp = σb 2aσb2

Rovnici spekulativní poptávky po penˇezích odvodíme následujícím postupem: M = X1 W = (1 − Xb )W = 1 −

c 2aσb2

W

Z výše uvedené rovnice plyne, že poptávka po penˇezích M klesá s rostoucím c a roste s rostoucím σb . R˚ust koeficientu rizikové averze a zp˚usobí pokles poptávky po penˇezích a r˚ust bohatství W zp˚usobí r˚ust poptávky po penˇezích. Obrázek 2.11 schematicky ilustruje optimální portfolio našeho pˇríkladu. Bod rovnováhy P = [σp , r¯p ] se nalézá v místˇe dotyku nejvyšší indiferenˇcní kˇrivky užitkové funkce investora s množinou pˇrípustných portfolií, což dobˇre známe z elementárních uˇcebnic mikroekonomie. Obrázek 2.12(a) ukazuje komparativní statiku úlohy pˇri vzr˚ustu σb na σb0 a obrázek 2.12(b) komparativní statiku pˇri vzr˚ustu c na c0 . Body rovnováhy reagují posunem z bodu P = [σp , r¯p ] do bodu P 0 = [σp0 , r¯p0 ]. Užitkové funkce, které nemají tvar (2.33), nemusí nutnˇe mít za d˚usledek vztahy (2.35)(2.38). Napˇríklad užitková funkce investora m˚uže mít takový tvar, že investor po zmˇenˇe



r¯ c0

r¯

c r¯p0

c r¯p

r¯p

r¯p0

σb σ 0 σp σp0 σp0 σp σb (b) (a) Obrázek 2.12: Komparativní statika v Tobinovˇe modelu

0

σb0 σ

parametru c nezmˇení poptávku po penˇezích, i když na základˇe naivních postoj˚u bychom cˇ ekali její pokles. Jednu takovou funkci pˇredkládáme v následujícím pˇríkladu. *** Pˇríklad 3: Pˇredpokládejme, že chování investora je popsáno užitkovou funkcí u=

r¯ . 1 + aσp2

(2.40)

Množina pˇrípustných portfolií je dána vztahem (2.24). Optimální portfolio splˇnuje nutné podmínky pro maximum 1 − λ = 0, 1 + aσp2 −

2a¯ rp σp c + (1 + aσp2 ) = 0. 2 2 (1 + aσp ) σb

Dosadíme-li do výše uvedené podmínky za r¯ z rovnice (2.24) a vynásobíme-li výrazem (1 + aσp2 )2 , dostaneme −

2acσp2 c(1 + aσp2 ) + = 0. σb σb

Po vynásobení výše uvedeného vztahu zlomkem σb /c dostaneme −2aσp2 + 1 + aσp2 = 0 a odtud vypoˇcteme 1 σp = √ . a



r¯ c0 r¯p0 c r¯p

0

σp

σb

σ

Obrázek 2.13: Pˇrípad užitkové funkce, kdy optimální portfolio nereaguje na zmˇenu c. Vzhledem k tomu, že výraz neobsahuje výnosnost dluhopis˚u c, nem˚uže její zmˇena ovlivnit riziko optimálního portfolia σp a tedy ani pomˇer dluhopis˚u v portfoliu Xb = σp /σb a ani poptávku po penˇezích danou vztahem 1 σp W = 1− √ W. M = (1 − Xb )W = 1 − σb σb a Tento ponˇekud neobvyklý jev názornˇe vysvˇetlujeme tvarem indiferenˇcních kˇrivek užitkové funkce(2.40), které se rozbíhají, jak m˚užeme vidˇet na obrázku 2.13. Na tomto obrázku je nakreslena situace, kdy po zmˇenˇe c se optimální portfolio nemˇení. Zde je vidˇet, jak zvýšení c otoˇcí kˇrivku pˇrípustných portfolií OB na kˇrivku OB 0 . Kˇrivky OB 0 se dotýká vyšší indiferenˇcní kˇrivka I 0 , která je strmˇejší než p˚uvodní dotyková indiferenˇcní kˇrivka I. Kdyby indiferenˇcní kˇrivky byly rovnobˇežné, došlo by k tomu, že nové portfolio by mˇelo vˇetší podíl dluhopis˚u. Ovšem tím, že vyšší indiferenˇcní kˇrivka je strmˇejší, dojde k tomu, že nové portfolio m˚uže mít podíl dluhopis˚u stejný, nebo i nižší. My jsme ovšem zvolili takový tvar užitkové funkce, že nové portfolio nemˇení podíl dluhopis˚u. ***

2.5

Modely dílˇcího pˇrizpusobení ˚

V empirických studiích poptávky po penˇezích se velice cˇ asto setkáváme s modely, kde se vyskytuje zpoždˇená poptávka po penˇezích. Zpoždˇení poptávky po penˇezích je zpravidla



jednoduché, jak ukazuje následující model Mt = c0 + c1 Yt + c2 Rt + c3 Mt−1 nebo dvojnásobné, což je pˇredvedeno modelem Mt = c0 + c1 Yt + c2 Rt + c3 Mt−1 + c4 Mt−2 . Pˇripomínám, že symboly Mt , Yt , Rt znaˇcí po ˇradˇe reálnou poptávku po penˇezích, reálný hrubý domácí produkt a nominální úrokovou míru. Na modely dílˇcího pˇrizp˚usobení klademe ˇradu pˇredpoklad˚u, které silnˇe omezují dynamiku model˚u. Zmínˇené pˇredpoklady mají takový charakter, že modely dílˇcího pˇrizp˚usobení s jednoduchým zpoždˇením nemohou oscilovat. Oscilace mohou nastat jen u model˚u dílˇcího pˇrizp˚usobení s dvojnásobným zpoždˇením. Hlavním cílem této cˇ ásti bude podat teorii (lépe ˇreˇceno jednu z možných variant teorie) model˚u poptávky po penˇezích se zpoždˇením, tzv. teorii dílˇcího pˇrizp˚usobení. Analýza poptávky není samozˇrejmˇe jedinou oblastí mˇenové analýzy, kde je aplikována teorie dílˇcího ˇ pˇrizp˚usobení. Rada zpoždˇení ekonomických veliˇcin je vysvˇetlována tzv. dílˇcím pˇrizp˚usobením ˇ cˇ inných subjekt˚u v ekonomických systémech. Ctenáˇ r sám pozná široké možnosti aplikace teorie dílˇcího pˇrizp˚usobení, kterou zde vykládáme v prostˇredí analýzy poptávky po penˇezích. Nejdˇríve se budeme vˇenovat základnímu modelu dílˇcího pˇrizp˚usobení. Pˇredpokládejme ekonomický subjekt, který požaduje urˇcitou penˇežní zásobu. Jeho normální požadavek na nominální peníze (m˚užeme hovoˇrit o normální poptávce po penˇezích) v cˇ ase t závisí na urˇcitým zp˚usobem na nominálním d˚uchodu Yt a nominální úrokové míˇre Rt . Normální poptávku po penˇezích oznaˇcíme symbolem Mt∗ a její závislost na reálném d˚uchodu a nominální úrokové míˇre popíšeme rovnicí Mt∗ = k0 + k1 Yt + k2 Rt ,

(2.41)

kde ki , i = 0, 1, 2 jsou parametry. Rovnice (2.41) pˇredstavuje pravidlo, podle kterého se vytváˇrí v jistém smyslu ideální poptávka po penˇezích, která je urˇcena reálným d˚uchodem a nominální úrokovou mírou. Kdyby ekonomický subjekt požadoval odlišné množství penˇez, než je dáno rovnicí (2.41), pocítil by urˇcité problémy, které by mu nastaly v d˚usledku toho, že jeho poptávka po penˇezích bude vˇetší nebo menší než normální.



Když skuteˇcná poptávka po penˇezích bude menší než normální, nastanou ztráty z neuspokojení potˇreb, protože relativnˇe málo penˇez nebude staˇcit na nákupy, které zprostˇredkují uspokojení potˇreb ekonomického subjektu. Když naopak skuteˇcná poptávka po penˇezích bude vˇetší než normální, nastanou ztráty z neuložení penˇežních prostˇredk˚u. Oboje ztráty nazveme ztrátami z nerovnováhy nebo náklady na nerovnováhu, protože normální poptávku po penˇezích m˚užeme považovat za urˇcitý stav rovnováhy. Pˇrístup ekonomické teorie mˇeˇrení tˇechto ztrát nem˚uže být úˇcetní. Tyto ztráty budeme mˇeˇrit ponˇekud spekulativním zp˚usobem a to kvadratickou odchylkou skuteˇcné poptávky po penˇezích od normální poptávky násobenou jistou transformaˇcní konstantou a ≥ 0, což vyjádˇríme výrazem a(Mt − Mt∗ )2 . Výše uvedený výraz nazveme náklady na nerovnováhu. Uvˇedomíme si, že náklady na nerovnováhu nejsou úˇcetní kategorií, ale kategorií užitku. D˚uležitá je velikost odchylky, nikoli její znaménko a to, že náklady rostou se cˇ tvercem odchylky skuteˇcné poptávky po penˇezích od normální. Dalším cˇ initelem, který je brán ekonomickým subjektem v úvahu, jsou náklady na pˇrizp˚usobení skuteˇcné poptávce v cˇ ase t neboli tzv. transakˇcní náklady. Dejme tomu, že ekonomický subjekt má v cˇ ase t−1 na hotovosti a na bˇežném úˇctu k dispozici peníze ve velikosti Mt−1 . Poptávka po penˇezích v cˇ ase t je však Mt . Pˇredpokládáme-li nerovnost mezi obˇema veliˇcinami, potom pˇrirozeným cílem ekonomického subjektu je pˇrizp˚usobit svoji penˇežní zásobu normálnímu stavu. To se ovšem neobejde bez dodateˇcných náklad˚u. Je-li Mt−1 < Mt , potom ekonomický subjekt musí obstarat dodateˇcné peníze bud’ pˇrevodem z termínových depozit, nebo pˇrijetím úvˇeru, pˇrípadnˇe prodejem cenných papír˚u, které má ve svém vlastnictví. Všechny postupy jsou spjaty s tzv. transakˇcními náklady. Pˇredˇcasné výbˇery z termínovaných depozit, pokud jsou v˚ubec povoleny, jsou penalizované. Poskytnutí úvˇeru je spojeno s placením úroku a prodej cenných papír˚u s brokerskými poplatky. Dále je nutné do transakˇcních náklad˚u kalkulovat cˇ asové ztráty atd. Pokud je Mt−1 > Mt , potom ekonomickému subjektu vznikají náklady s pˇremˇenou nadbyteˇcných penˇez do alternativních výnosových aktiv. To znamená, že subjekt bud’ zˇrizuje termínované vklady, nebo nakupuje cenné papíry. I tyto náklady mají podobu brokerských poplatk˚u, cˇ asových ztrát aj. Filosofie mˇeˇrení transakˇcních náklad˚u je podobná jako u náklad˚u na nerovnováhu. Mˇeˇríme vlastnˇe jejich úˇcinek, který je samozˇrejmˇe ve vztahu k ekonomickému subjektu negativní, jako kvadratickou odchylku penˇežní zásoby z minulého období od



skuteˇcné poptávky po penˇezích v cˇ ase t, což vyjadˇrujeme výrazem b(Mt − Mt−1 )2 . Výše uvedený výraz nazveme struˇcnˇe transakˇcními náklady poptávky po penˇezích. Ekonomický subjekt vytváˇrí svoji skuteˇcnou poptávku po penˇezích na základˇe minimalizace celkových náklad˚u, které jsou souˇctem náklad˚u na nerovnováhu a transakˇcních náklad˚u, kterou oznaˇcíme C. Hledáme tedy minimum funkce C(Mt ) = a(Mt − Mt∗ )2 + b(Mt − Mt−1 )2 ,

(2.42)

kde a > 0, b > 0 jsou parametry. Vzájemný vztah mezi nimi ovlivˇnuje preferenci náklad˚u na nerovnováhu vzhledem k transakˇcním náklad˚um. Je-li a relativnˇe veliké vzhledem k b, znamená to, že náklady na nerovnováhu mají vˇetší váhu ve funkci celkových náklad˚u a transakˇcní náklady menší. Je-li b relativnˇe veliké v˚ucˇ i a, znamená to vˇetší váhu transakˇcních náklad˚u. Je nutné zd˚uraznit, že v uvedené úloze za promˇennou (neznámou) považujeme skuteˇcnou poptávku po penˇezích M (t). Veliˇcina normální poptávka po penˇezích Mt∗ je dána vztahem (2.41) a považujeme ji za parametr. Podobnˇe veliˇcina M (t − 1) je penˇežní zásoba z minulého ˇ období a je tedy také parametrem úlohy. Rešením úlohy (2.42) získáme veliˇcinu Mt , kterou, jak pˇredpokládáme, bude ekonomický subjekt realizovat, což znamená, že vytvoˇrí hotovostní z˚ustatky a z˚ustatky na bˇežných úˇctech právˇe ve velikosti veliˇciny M (t). Podobnˇe veliˇcina M (t − 1) vznikla v období t − 1 jako ˇrešení úlohy na minimalizaci nákladové funkce. Tato veliˇcina byla podle pˇredpokladu ekonomickým subjektem realizována a tak se stala penˇežní zásobou pro cˇ as t − 1, která vstupuje do úlohy pro okamžik t jako parametr. Pˇristoupíme k ˇrešení úlohy. Funkci (2.42) derivujeme, položíme rovnou nule a dostaneme C 0 (Mt ) = 2a(Mt − Mt∗ ) + 2b(Mt − Mt−1 ) = 0. Vypoˇcítáme M (t) a budeme mít Mt =

b a Mt∗ + Mt−1 . a+b a+b



Z pˇredchozího vzorce je patrné, že ekonomický subjekt vytváˇrí svoji skuteˇcnou poptávku po penˇezích jako vážený pr˚umˇer normální a zpoždˇené poptávky po penˇezích. Ze vzorce též plyne, že cˇ ím je vˇetší koeficient a, tím skuteˇcná poptávka po penˇezích je bližší normální poptávce po penˇezích. Když položíme µ0 = a/(a + b) a µ1 = b/(a + b), výše uvedená rovnice pˇrejde ve tvar Mt = µ0 Mt∗ + µ1 Mt−1 ,

(2.43)

kde µj ∈ (0, 1), j = 0, 1 a µ0 + µ1 = 1. *** Poznámka: Dosadíme-li z rovnice (2.41) do rovnice (2.42), dostaneme makroekonomický model poptávky po penˇezích, který má tvar Mt = µ0 (k0 + k1 Yt + k2 Rt ) + µ1 Mt−1 . Protože koeficienty výše uvedené rovnice nejsou urˇceny, m˚užeme uvažovat bez újmy na pˇresnosti vyjádˇrení jednodušší tvar Mt = c0 + c1 Yt + c2 Rt + c3 Mt−1 , kde platí, že cj = µ0 kj ,

j = 1, 2 a c3 = µ1 .

(2.44)

Zavedeme-li náhodný šum , dostaneme makroekonometrický model poptávky po penˇezích tvaru Mt = c0 + c1 Yt + c2 Rt + c3 Mt−1 + t ,

(2.45)

kde koeficienty odhadneme vhodnou statistickou metodou. P˚uvodní koeficienty µj , j = 0, 1 a ki , i = 0, 1, 2 vypoˇcteme z rovnic (2.44). Je nutné si uvˇedomit jednu vˇec. Z modelu dílˇcího pˇrizp˚usobení daného rovnicí (2.43) m˚užeme dospˇet k rovnici (2.45), avšak to neznamená, že každá taková rovnice je modelem dílˇcího pˇrizp˚usobení. Modelem dílˇcího pˇrizp˚usobení je jenom v pˇrípadˇe, je-li odhad parametru c3 v intervalu (0,1). *** Nyní pˇrijmeme velice d˚uležitý pˇredpoklad, který spoˇcívá v tom, že reálný národní d˚uchod Y a nominální úroková míra R se nebudou mˇenit v cˇ ase. Potom se ovšem normální reálná pop-



távka po penˇezích též nebude mˇenit v cˇ ase a tedy pro všechna t ≥ 0 m˚užeme psát M ∗ (t) = M∗ . Z dynamické ekonomické teorie dobˇre víme, že rovnice (2.43) popisuje dynamický ekonomický systém. U dynamických systém˚u nás zajímají dva velmi podstatné problémy. Tím prvním je urˇcení rovnovážného stavu systému, a tím druhým studium podmínek, za jakých se systém do rovnovážného stavu dostane. Pˇripomeneme, že stav rovnováhy systému je takový stav, kdy promˇenné charakteristické pro systém se nemˇení v cˇ ase. Dále pˇripomínáme, že systémy, které jsou schopny se za urˇcitých podmínek udržet dostateˇcnˇe blízko stavu rovnováhy, nazýváme systémy stabilní. Ty systémy , které se za urˇcitých podmínek v pr˚ubˇehu cˇ asu stavu rovnováhy neomezenˇe blíží, nazýváme systémy asymptoticky stabilními.

¯ , dosadíme do Rovnovážnou hodnotu poptávky po penˇezích oznaˇcíme symbolem M rovnice (2.43) místo promˇenných Mt a Mt−1 a dostaneme ¯ = µ0 M ∗ + µ1 M ¯. M

(2.46)

Odtud vypoˇcteme ¯ = M

µ0 M∗ . 1 − µ1

¯ = M ∗ . Podaˇrilo se nám nejenom vypoˇcíst Vzhledem k tomu, že platí µ0 + µ1 = 1, potom M rovnovážný stav systému, ale i dospˇet k závˇeru, že u tohoto modelu dílˇcího pˇrizp˚usobení je rovnovážná poptávka po penˇezích totožná s normální poptávkou. To je d˚uvod proˇc právˇe u tˇechto systém˚u vystaˇcíme jenom s jedním pojmem, a to rovnovážná poptávka po penˇezích.

Nejefektivnˇejší postup pro rozbor stability systému je konstrukce rovnice ve fluktuacích. Rovnici ve fluktuacích sestrojíme tak, že od rovnice (2.43) odeˇcteme rovnici (2.46) a dostaneme xt = µ1 xt−1 ,

(2.47)

¯ , t = . . . , −1, 0, 1, . . . Dejme tomu, že máme k dispozici kde jsme položili xt = Mt − M poˇcáteˇcní penˇežní poptávku v cˇ ase 0, kterou znaˇcíme M0 . Pro poˇcáteˇcní fluktuaci potom ¯ . Z rovnice (2.47) vyjádˇríme x(t) rekurentnˇe, cˇ ímž dostaneme platí x0 = M0 − M xt = µt1 x0 .



2 1.8 1.6 1.4

x

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

5

10

t

15

20

Obrázek 2.14: Vývoj fluktuací pro x0 = 2 a µ1 = 0.75.

V pˇrípadˇe, že rovnice (2.43) popisuje model dílˇcího pˇrizp˚usobení, je 0 ≤ µ1 ≤ 1 a tedy platí lim xt = 0.

t→∞

Fluktuace tedy monotónnˇe smˇeˇrují k nule a odtud plyne, že hodnoty poptávky po penˇezích monotónnˇe smˇeˇrují k rovnovážné hodnotˇe. Systém je tedy asymptoticky stabilní. Obrázek 2.14 ukazuje vývoj fluktuací penˇežní poptávky v modelu dílˇcího pˇrizp˚usobení pro µ1 = 0, 75 a pro poˇcáteˇcní fluktuaci x0 = 2. Empirické výzkumy ukazují, že poptávka po penˇezích osciluje. Tyto oscilace nemohou být systematicky vysvˇetleny modelem dílˇcího pˇrizp˚usobení tak, jak jsme ho vyložili. Nyní stojíme pˇred problémem, jestli by nebylo úˇcelné rozšíˇrit model dílˇcího pˇrizp˚usobení tak, aby jeho ˇrešení oscilovalo. To umožníme zavedením zpoždˇení o dvˇe období do modelu. Tato úprava základního modelu dílˇcího pˇrizp˚usobení spoˇcívá v zavedení nákladové funkce rozšíˇrené o tˇretí kvadratický cˇ len. Tento cˇ len vyjadˇruje následující myšlenku. Pokud pˇrír˚ustky penˇežní zásoby budou každé období stejné, nevzniknou žádné dodateˇcné náklady na pˇrizp˚usobení. Pokud se ale pˇrír˚ustky penˇežní zásoby budou mˇenit, vzniknou ekonomickému subjektu další náklady v d˚usledku nepravidelnosti r˚ustu nebo poklesu penˇežní zásoby. Tedy pravidelnˇe rostoucí nebo klesající penˇežní zásoba (tj. rostoucí nebo klesající se stejnými pˇrír˚ustky) vyžaduje menší náklady na pˇrizp˚usobení než nepravidelnˇe rostoucí. Rozšíˇrená nákladová funkce bude mít tento tvar C(M (t)) = a(Mt − Mt∗ )2 + b(Mt − Mt−1 )2 + c(∆Mt − ∆Mt−1 )2 ,

(2.48)



kde c > 0 je váha nákladu na pˇrizp˚usobení rychlosti. Protože platí, že ∆Mt = Mt − Mt−1

,

∆Mt−1 = Mt−1 − Mt−2 ,

pˇrejde vztah (2.48) ve vztah C(Mt ) = a(Mt − Mt∗ )2 + b(Mt − Mt−1 )2 + c(Mt − 2Mt−1 + Mt−2 )2 , Ekonomický subjekt rozhoduje pro takovou poptávku po penˇezích, aby byla minimalizována nákladová funkce. Proto derivujeme výše uvedenou nákladovou funkci, její derivaci položíme rovnou nule a dostaneme C 0 (Mt ) = 2a(Mt − Mt∗ ) + 2b(Mt − Mt−1 ) + 2c(Mt − 2Mt−1 + Mt−2 ) = 0. Odtud vypoˇcteme poptávku po penˇezích Mt v následujícím tvaru Mt =

b + 2c c a Mt∗ + Mt−1 − Mt−2 . a+b+c a+b+c a+b+c

Definujeme-li µ0 = a/(a + b + c), µ1 = (b + 2c)/(a + b + c) a µ2 = c/(a + b + c), výše uvedená rovnice poptávky po penˇezích pˇrejde v rovnici Mt = µ0 Mt∗ + µ1 Mt−1 − µ2 Mt−2 ,

(2.49)

kde µ0 ∈ (0, 1) ,

µ1 ∈ (0, 2) ,

µ2 ∈ (0, 1) ,

µ0 + µ1 − µ2 = 1.

(2.50)

První, tˇretí a cˇ tvrtý výrok o parametrech µj , j = 0, 1, 2 ve vztazích (2.50) plynou bezprostˇrednˇe z definice parametr˚u. Druhý výrok dokazujeme takto 0<

b + 2c 2a + 2b + 2c < = 2. a+b+c a+b+c

***



Poznámka: Dosadíme-li z rovnice (2.41) do rovnice (2.49) dostaneme makroekonomický model poptávky po penˇezích, který má tvar mMt = µ0 (k0 + k1 Yt + k2 Rt ) + µ1 Mt−1 + µ2 Mt−2 . Protože koeficienty výše uvedené rovnice nejsou urˇceny, m˚užeme uvažovat bez újmy na pˇresnosti vyjádˇrení jednodušší tvar Mt = c0 + c1 Yt + c2 Rt + c3 Mt−1 + c4 Mt−2 , kde platí, že cj = µ0 kj , j = 0, 1, 2 a c2+j = µj ,

j = 1, 2.

Zavedeme-li náhodný šum , dostaneme makroekonometrický model poptávky po penˇezích tvaru Mt = c0 + c1 Yt + c2 Rt + c3 Mt−1 + c4 Mt−2 + t ,

(2.51)

kde koeficienty odhadneme vhodnou statistickou metodou. P˚uvodní koeficienty µj , j = 0, 1, 2 a ki , i = 0, 1, 2 vypoˇcteme z rovnic (2.51). Oˇcekáváme samozˇrejmˇe, že hypotéza dílˇcího pˇrizp˚usobení je reálná, takže vypoˇctené hodnoty µ1 ∈ (0, 2) a µ2 ∈ (0, 1).

***

Pˇredpokládejme, že reálný národní d˚uchod a nominální úroková míra se nebudou mˇenit v cˇ ase. Potom podle rovnice (2.41) se M ∗ nebude rovnˇež mˇenit v cˇ ase a tedy rovnice (2.49) pˇrejde ve tvar Mt = µ0 M ∗ + µ1 Mt−1 − µ2 Mt−2 .

(2.52)

Jsou-li empiricky zjištˇeny poˇcáteˇcní stavy penˇežní zásoby v cˇ ase t = −1 a t = 0, které pˇrirozenˇe znaˇcíme symboly M−1 a M0 , m˚užeme prostˇrednictvím rovnice (2.52) vypoˇcítat trajektorii vývoje systému. Výpoˇcet provádíme tak, že v rovnici (2.52) položíme t = 1 a dostaneme M1 = µ0 M∗ + µ1 M0 − µ2 M−1 .



Pˇripomínám, že nezávisle promˇenné M−1 a M0 byly zjištˇeny empiricky. Dále v rovnici (2.52) položíme t = 2 a dostaneme M2 = µ0 M ∗ + µ1 M1 − µ2 M0 . Zde veliˇcina M0 je pozorována a veliˇcina M1 získána v pˇredešlém výpoˇctu. Takto m˚užeme pokraˇcovat a volit t = 3, 4, . . . , cˇ ímž dostaneme M3 , M4 , . . . .

Rovnovážný stav systému je stav, kdy promˇenná charakteristická pro systém se nemˇení ¯ , dosadíme do rovnice (2.52) a tak dostaneme v cˇ ase. Položíme tedy Mt = M ¯ = µ0 M∗ + µ1 M ¯ − µ2 M ¯. M

(2.53)

¯ , dostaneme Vypoˇcteme-li z této rovnice M ¯ = M

µ0 M ∗. 1 − µ1 + µ2

Vzhledem k tomu, že µ0 + µ1 − µ2 = 1 je µ0 = 1 − µ1 + µ2 a tedy výše uvedená rovnice ¯ = M ∗ . Tedy i v pˇrípadˇe, kdy kromˇe pˇrizp˚usobení stavu bereme rovnováhy pˇrejde ve vztah M v úvahu i pˇrizp˚usobení rychlosti, je rovnovážný stav totožný s normálním stavem. Fluktuace ¯. penˇežní poptávky od jejího rovnovážného stavu jsou definovány vztahem xt = Mt − M Odeˇcteme-li od rovnice (2.49) rovnici (2.53), dostaneme rovnici ve fluktuacích xt = µ1 xt−1 − µ2 xt−2 .

(2.54)

Zatímco rovnici (2.47) jsme ˇrešili rekurentnˇe, na rovnici (2.54) budeme aplikovat teorii lineárních diferenˇcních rovnic s konstantními koeficienty (Kaˇnka, M., Henzler, J., 1997) Pˇríslušná charakteristická rovnice po pˇrevedení všech cˇ len˚u na pravou stranu má tvar λ2 − µ1 λ + µ2 = 0. Nejdˇríve budeme uvažovat pˇrípad, kdy diskriminant této kvadratické rovnice bude kladný, tj. D = µ21 − 4µ2 > 0.



Pˇripomeneme, že µ1 =

b + 2c a+b+c

,

µ2 =

c , a+b+c

dosadíme do pˇredešlé nerovnosti, upravíme a dostaneme ekvivalentní vyjádˇrení b2 − 4ac > 0. Tato nerovnost, která je ekvivalentní s pˇredpokladem kladného diskriminantu, nastane v pˇrípadˇe, kdy ekonomický subjekt ohodnocuje bud’ náklady na nerovnováhu nebo náklady na rychlost pˇrizp˚usobení pˇredchozí penˇežní zásoby k souˇcasné nízko vzhledem k náklad˚um na pˇrizp˚usobení stavu pˇredchozí penˇežní zásoby k souˇcasné.

Koˇreny charakteristické rovnice za pˇredpokladu kladného diskriminantu jsou dány následujícími vztahy p µ21 − 4µ2 , 2 p µ21 − 4µ2 µ1 λ2 = + . 2 2

µ1 − λ1 = 2

Protože µ2 > 0 a µ21 − 4µ2 > 0, musí nutnˇe být λ1 > 0. Dále z obou vztah˚u pro λ1 a λ2 plyne, že λ2 > λ1 . Vzhledem k (2.50) platí µ1 − µ2 < 1 a tedy µ1 λ2 = + 2

p p µ21 − 4µ2 µ21 − 4µ2 + 4µ2 µ1 < + = µ1 − µ2 < 1. 2 2 2

Závˇerem jsme dospˇeli k poznatku, že platí 0 < λ1 < λ2 < 1.

(2.55)

Je-li diskriminant charakteristické rovnice kladný, potom obecné ˇrešení diferenˇcní rovnice (2.54) má tvar xt = C1 λt1 + C2 λt2 . ¯ a x0 = M0 − M ¯ dostaneme ˇ Rešení vzhledem k poˇcáteˇcním podmínkám x−1 = M−1 − M tak, že za C1 a C2 dosadíme cˇ ísla, která dostaneme jako ˇrešení soustavy rovnic −1 x−1 = C1 λ−1 1 + C 2 λ2 ,



x0 = C 1 + C 2 . Není samozˇrejmˇe problém vyjádˇrit poptávku po penˇezích jako souˇcet rovnovážné poptávky a fluktuací. ¯ + xt = M ¯ + C 1 λt + C 2 λt . Mt = M 1 2 Skuteˇcnost, že platí nerovnost (2.55) má za d˚usledek mizející fluktuace, tj. systém je asymp¯. toticky stabilní a konverguje monotónnˇe k bodu rovnováhy M

V pˇrípadˇe, že µ21 − 4µ2 = 0, má charakteristická rovnice k rovnici (2.54) jeden dvojnásobný koˇren λ = µ1 /2, pro který ˇ platí 0 < λ < 1, jak plyne z podmínek (2.50). Rešení rovnice (2.54) je dáno vztahem xt = λt (C1 + C2 t). Z výše uvedené rovnice je patrné, že posloupnost {xt }∞ t=1 konverguje k nule protože λ = µ1 /2 < 1, jak plyne z podmínek (2.50). Od urˇcitého okamžiku dokonce monotónnˇe. Z poˇcáteˇcních podmínek x−1 = λ−1 (C1 − C2 ), x0 = C 1 , vypoˇcteme konstanty C1 , C2 . Poptávka po penˇezích v cˇ ase t = 1, 2, 3 . . . je dána souˇctem rovnovážné poptávky po penˇezích a fluktuace ¯ + λt (C1 + C2 t). Mt = M Zbývá poslední pˇrípad, kdy diskriminant charakteristické rovnice k rovnici (2.54) je záporný, tj. µ21 − 4µ2 < 0. V tomto pˇrípadˇe ˇrešení charakteristické rovnice je dáno vztahy µ1 −i λ1 = 2

p 4µ2 − µ21 , 2



µ1 λ2 = +i 2

p

4µ2 − µ21 . 2

Když zapíšeme výše uvedená imaginární cˇ ísla v polárním tvaru dostaneme λ1 = ρ(cos ϕ − i sin ϕ), λ2 = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), kde ρ=

√

µ2

,

µ1 ϕ = arccos √ . 2 µ2

Rovnice (2.54) má v pˇrípadˇe záporného diskriminantu ˇrešení xt = ρt (C1 cos tϕ + C2 sin tϕ). Posloupnost {ρt }∞ t=1 je konvergentní, jelikož ρ =

√

µ2 a µ2 < 1. Posloupnost {(C1 cos tϕ +

∞ C2 sin tϕ)}∞ t=1 je omezená a tedy trajektorie {xt }t=1 konverguje k nule.

Konstanty C1 a C2 vypoˇcteme z poˇcáteˇcních podmínek x−1 = C1 ρ−1 cos(−1) + C2 ρ−1 sin(−1), x0 = C 1 . Trajektorii poptávky po penˇezích dostaneme jako souˇcet rovnovážné poptávky po penˇezích a fluktuace ¯ + xt = M ¯ + ρt (C1 cos tϕ + C2 sin tϕ). Mt = M Podle výše uvedeného vzorce poptávka po penˇezích osciluje a konverguje k rovnovážné hodnotˇe. Pokud je diskriminant charakteristické rovnice systému dílˇcího pˇrizp˚usobení s rychlostí pˇrizp˚usobení záporný, systém osciluje a vzhledem k vlastnosti parametru µ2 je asymptoticky stabilní. Oscilace systému je d˚usledkem goniometrických funkcí v ˇrešení diferenˇcní rovnice popisující chování systému. Závˇerem lze ˇríci, že pokud chceme vybudovat co nejjednodušší teorii na principech dílˇcího pˇrizp˚usobení, která vysvˇetluje oscilaci ekonomických veliˇcin, je nezbytné zahrnout dvojnásobné zpoždˇení do dynamiky modelu. Modely s jednoduchým zpoždˇením nejsou, jak jsme vidˇeli, schopny vysvˇetlit oscilace ekonomických veliˇcin.



ˇ ROVNOVÁHA NA PENEŽNÍM TRHU

3

V této kapitole se budeme zabývat problematikou rovnováhy na penˇežním trhu ve vztahu k trhu komoditnímu. Jako nástroj zkoumání použijeme modelu IS-LM. Model IS-LM budeme formulovat jako nelineární model s tím, že jednotlivé statické a dynamické varianty modelu budou vyloženy v pˇríslušných cˇ ástech této kapitoly. V první cˇ ásti zformulujeme nelineární statický model IS-LM. Ukážeme na nˇem vytˇesˇnovací úˇcinek (crowding out effect) a jeho souvislost se známým principem le-Chatelierovým-Samuelsonovým. Ve druhé cˇ ásti kapitoly se budeme vˇenovat nespojité nelineární dynamice modelu IS-LM. V cˇ ásti tˇretí se seznámíme se spojitým dynamickým nelineárním modelem IS-LM. Ve druhé a tˇretí cˇ ásti této kapitoly vynikne skuteˇcnost, že velmi jednoduché struktury se mohou vyznaˇcovat složitým chováním. Zde zavedené nelineární dynamické systémy vytváˇrejí oscilace ekonomických veliˇcin i pˇri stabilní penˇežní nabídce. Zmˇeny v úrovni penˇežní nabídky, která je v modelu konstantní, vedou k zásadním zmˇenám v chování systému.

3.1

Nelineární statický model IS-LM

Modely IS-LM jsou tvoˇreny dvˇemi rovnicemi rovnováhy. První rovnice popisuje rovnováhu mezi nabídkou a poptávkou na komoditním trhu a druhá rovnice rovnováhu na penˇežním trhu. Agregovaná poptávka na komoditním trhu je popsána rovnicí Z = = C + G + I + X, kde symbolem Z znaˇcíme agregovanou poptávku, symbolem C poptávku domácností po zboží a službách, symbolem G vládní poptávku po zboží a službách, symbolem I poptávku po investicích a symbolem X cˇ istý vývoz, tedy rozdíl vývozu a dovozu. Agregovaná nabídka je dána rovnicí Y = C + S, kde Y je hodnota finálního produktu mˇeˇrená napˇr. hrubým domácím produktem a S jsou úspory. Symbolem T oznaˇcíme danˇe, takže S − T znaˇcí soukromé úspory. Rovnováha mezi nabídkou a poptávkou je vyjádˇrena vztahem Z = Y , což po dosazení dá C + G + I + X = C + S. Pokud na komoditním trhu vznikne nerovnováha, pˇredpokládáme keynesovský vyrovnávací proces, který p˚usobí následujícím zp˚usobem. V pˇrípadˇe, kdy je nadbytek agregované



nabídky, tj. C + + G + I + X < C + S, dojde k tomu, že firmy omezují produkci a tím snižují nabídku až do okamžiku obnovení rovnováhy. V pˇrípadˇe, že agregovaná poptávka je vˇetší než agregovaná nabídka, což odpovídá nerovnosti C + G + I + X > C + S, a jsou volné kapacity, dojde k r˚ustu výroby a tedy i nabídky až do okamžiku obnovení rovnováhy. Další rovnice modelu IS-LM popisuje rovnováhu na penˇežním trhu. Penˇežní trh je tvoˇren poptávkou po penˇezích. Poptávka po penˇezích závisí na d˚uchodu pˇredstavovaném nominálním hrubým domácím produktem P Y a nominální úrokové míˇre R. Poptávka po penˇezích je dána poptávkovou funkcí M d = L(P Y, R). Nabídku penˇez považujeme za exogenní promˇennou a oznaˇcíme ji M s . Rovnice rovnováhy penˇežního trhu má tvar: M s = L(P Y, R).

(3.1)

Rovnˇež i na penˇežním trhu p˚usobí síly, které tento trh smˇeˇrují k rovnováze. Z keynesovského hlediska je vyrovnávacím cˇ initelem penˇežního trhu úroková míra. Vyrovnávací mechanismus úrokové míry p˚usobí takto. Je-li pˇrevaha nabídky penˇez nad poptávkou po penˇezích M s > L(P Y, R), dojde k poklesu úrokové míry. Klesající úroková míra zp˚usobí r˚ust poptávky po penˇezích až do okamžiku obnovení rovnováhy popsané rovnicí (3.1). Pokud na penˇežním trhu pˇrevažuje poptávka M s < L(P Y, R), dojde k r˚ustu úrokové míry a tedy k poklesu poptávky po penˇezích až do okamžiku obnovy rovnováhy dané rovnicí (3.1). Pˇripomínáme, že cenovou hladinu považujeme za stálou a tedy nebude na úkor obecnosti, když ji položíme rovnou 1. Potom rovnice rovnováhy na komoditním a penˇežním trhu píšeme ve tvaru I + G + X = S,

M s = L(Y, R).



Vládní výdaje a cˇ istý vývoz považujeme za konstantní veliˇciny. D˚uvod tohoto pˇredpokladu je zjednodušení systému za úˇcelem pˇrehlednˇejšího výkladu. Souˇcet vládních výdaj˚u a cˇ istého vývozu nazveme autonomními výdaji. Autonomní výdaje oznaˇcíme symbolem A, pro který platí A = G+X. Potom ovšem rovnice rovnováhy komoditního trhu dostane tvar I +A = S. Investice I, o kterých budeme mluvit jako o soukromých investicích, budou klesající funkcí úrokové míry. Úspory budou ve shodˇe s keynesovskou teorií funkcí d˚uchodu Y . Za tˇechto pˇredpoklad˚u rovnice pro komoditní trh dostane tvar I(R) + A = S(Y ).

(3.2)

Výše uvedená rovnice definuje kˇrivku v rovinˇe os souˇradných, kde na vodorovné ose nanášíme finální produkt a na kolmé ose nanášíme úrokovou míru. Tato kˇrivka, kterou nazýváme IS kˇrivkou, je v ekonomické interpretaci množina všech dvojic úrokových mˇer a d˚uchodu, které vyrovnávají komoditní trh. Za urˇcitých podmínek (nikoli vždy) je možné explicitní vyjádˇrení kˇrivky, které dostaneme tak, že z rovnice (3.2) vypoˇcítáme Y jako funkci R, tj. Y = ϕ(R).

SS 0 S1

I I +A 0 I1 + A I0

S2

A 0

R1

R2

R

0

Y2

Y1 Y0 Y

R R2

R1

0

Y2

Y1 Y0 Y

Obrázek 3.1: Odvození kˇrivky IS z kˇrivky investic a kˇrivky úspor



Grafické odvození IS kˇrivky je možné z tzv. Hicksova grafu, který se nalézá na obrázku 3.1. Na nákresu (a) najdeme v rovinˇe os souˇradných R, I graf funkce I nakreslený teˇckovanou cˇ arou a graf funkce I + A nakreslený plnou cˇ arou. Funkce I je klesající funkce úrokové míry s tím, že pro úrokovou míru nulovou nabývají soukromé investice hodnotu I0 a pro úrokovou míru vˇetší nebo rovnou R2 jsou soukromé investice nulové. Graf funkce I + A je z geometrického hlediska posunem grafu funkce I smˇerem vzh˚uru o veliˇcinu A. Na obrázku 3.1 (b) je v rovinˇe os souˇradných Y, S nakreslen graf funkce úspor S. Funkce úspor je rostoucí konvexní funkce zaˇcínající v poˇcátku os souˇradných. Tato vlastnost funkce úspor plyne ze vztahu S = Y − C, kde C je nelineární spotˇrební funkce, která splˇnuje standardní požadavky kladené na spotˇrební funkce a to, že je konkávní a že C(0) = 0. Na obrázku 3.1 (c) je nakreslen graf kˇrivky IS v rovinˇe os souˇradných, kde na vodorovnou osu umist’ujeme finální produkt a na kolmou osu umist’ujeme úrokovou míru. Kˇrivku IS odvodíme z grafu funkce I(R) + A a grafu funkce S(Y ) umístˇených na nákresech (a) a (b), pˇriˇcemž vycházíme z pˇredpokladu, že úroková míra je nezávisle promˇenná. Na obrázku 3.1 (a) vidíme, že nulové výši úrokové míry odpovídají investice ve výši I0 + A. Tˇemto investicím odpovídají úspory ve výši S0 , jak vidíme na obrázku 3.1 (b) a úspory ve velikosti S0 vyvolá produkt Y0 . Nulové úrokové míˇre tedy odpovídá produkt o velikosti Y0 . Dvojice (Y0 , 0) vyrovnává komoditní trh a je tedy podle definice kˇrivky IS jejím bodem, jak vidíme na obrázku 3.1 (c). Úroková míra R2 je kritickou úrokovou mˇerou, která je natolik vysoká, že pˇri jejím nasazení ustává soukromá investiˇcní cˇ innost a z˚ustávají pouze autonomní investice ve velikosti A. Tˇemto autonomním investicím odpovídají úspory ve stejné velikosti, jak vidíme na obrázku 3.1 (b) a tyto úspory jsou vyvolány d˚uchodem ve velikosti Y2 . Tento d˚uchod také odpovídá jakékoli úrokové míˇre vˇetší než R2 , jak znázorˇnuje kˇrivka IS na obrázku 3.1 (c). Nyní zvolíme libovolnou úrokovou míru R1 ∈ (0, R1 ). Jedna z možných voleb R1 je na obrázku 3.1 (a). Úrokové míˇre R1 odpovídají investice ve výši I1 + A. Rovnovážné úspory se ustanoví ve výši S1 = I1 + A. Tˇemto úsporám odpovídá d˚uchod Y1 . Uspoˇrádaná dvojice R1 a Y1 vytváˇrí další bod kˇrivky IS, jak je možné vidˇet na obrázku 3.1 (c). Nyní své úsilí zamˇeˇríme na odvození kˇrivky LM . Kˇrivka LM je tvoˇrena dvojicemi hodnot hrubého domácího produktu a úrokových mˇer, které vyrovnávají poptávku po penˇezích s jejich nabídkou. Poptávka po penˇezích je dána rovnicí M d = L(Y, R),

(3.3)



kde funkce L je rostoucí v promˇenné Y a klesající v promˇenné R. Keynesovská teorie d˚uslednˇe oddˇeluje transakˇcní a spekulativní poptávku po penˇezích, takže poptávková funkce po penˇezích je aditivní a rovnice dostane tvar M d = L1 (Y ) + L2 (R), kde L1 je funkce transakˇcní poptávky po penˇezích a L2 funkce spekulativní poptávky po penˇezích. Nabídka penˇez je vnˇejší promˇennou, kterou znaˇcíme symbolem M s . Rovnice rovnováhy na penˇežním trhu bude mít tvar M s = L(Y, R).

(3.4)

Tato rovnice je implicitním zadáním zadáním kˇrivky LM. Její explicitní zadání získáme tak, že z rovnice (3.4) vypoˇcteme R jako funkci Y , pokud to ovšem je možné. Vˇetšina používaných poptávkových funkcí je takového tvaru, že to možné je. Podobnˇe jako v pˇredchozím pˇrípadˇe, kdy jsme graficky odvozovali kˇrivku IS, odvodíme kˇrivku LM z kˇrivky poptávky po penˇezích. V této knize se budeme pˇridržovat keynesovského stanoviska, totiž, že funkce poptávky po penˇezích je souˇctem funkce transakˇcní poptávky závislé na Y a spekulativní poptávky závislé na R. Na obrázku 3.3 jsou nám k dispozici tˇri nákresy. Na nákresu (a) je graf transakˇcní poptávky po penˇezích. Na vodorovné ose máme hrubý domácí produkt Y , na kolmé ose transakˇcní poptávku po penˇezích L1 . Na kolmé ose jsme rovnˇež vyznaˇcili velikost penˇežní nabídky M s . Na vodorovné ose je vyznaˇcena úroveˇn hrubého domácího produktu Y2 , pˇri které je veškerá penˇežní nabídka pohlcena transakˇcní poptávkou po penˇezích. Na nákresu (b) je na vodorovné ose nanesena nominální úroková míra a na ose kolmé spekulativní poptávka po penˇezích znaˇcená L2 . Minimální úroková míra je oznaˇcena symbolem Rµ . Kˇrivku LM v nákresu (c) sestrojíme následujícím zp˚usobem. Je-li hrubý národní produkt nula, potom odpovídající transakˇcní poptávka je nulová a tudíž na spekulativní poptávku po penˇezích zbyde celá nabídka M s . Aby byla pohlcena spekulativní poptávkou, ustanoví se úroková míra relativnˇe nízko ve výši R0 , jak vidíme na nákresu (b). Nulovou velikost hrubého domácího produktu a odpovídající velikost úrokové míry R0 pˇreneseme do nákresu (c). Potom zvolíme libovolnˇe kladnou úroveˇn hrubého národního



produktu, ovšem menší než Y2 . Na nákresu (a) je zvolená úroveˇn hrubého domácího produktu oznaˇcena Y1 . Této úrovni odpovídá transakˇcní poptávka po penˇezích ve velikosti M1 . Pro spekulativní poptávku po penˇezích zbývá cˇ ást penˇežní nabídky ve velikosti M s −M1 . Odpovídající rovnovážná úroková míra se ustanoví ve velikosti R1 . Dvojici [Y1 , R1 ] pˇreneseme do nákresu (c), kde tvoˇrí bod kˇrivky LM . Zvolíme-li na nákresu (a) velikost hrubého domácího produktu Y2 , potom odpovídající transakˇcní poptávka pohltí celou nabídku penˇežní, jak vidíme na nákresu. Rovnovážná spekulativní poptávka po penˇezích pak musí být nulová, což se stane, když úroková míra konverguje k nekoneˇcnu, jak vidíme na nákresu (b). To znamená, že hrubému domácímu produktu ve velikosti Y2 odpovídá nekoneˇcná úroková míra, což máme znázornˇeno na nákresu (c). Kˇrivka LM na obrázku 3.2 zpoˇcátku roste velice pomalu, potom roste rychleji až postupnˇe pˇrechází ve velmi strmý r˚ust.

L1

L2

Ms

Ms

M1 M s − M1 0

Y1

Y2

Y

0

RµR0

R1

R

R

R1 R0 r Rµb 0

Y1

Y2

Y

Obrázek 3.2: Odvození kˇrivky LM z kˇrivky transakˇcní poptávky po penˇezích a kˇrivky spekulativní poptávky po penˇezích



3.2

ˇ Komparativní statika v modelu IS-LM a vytˇesnovací úˇcinek

Kˇrivka IS je implicitnˇe definována rovnicí (3.2). Na tuto rovnici budeme nyní nahlížet jako na rovnici o tˇrech neznámých veliˇcinách, totiž A, R a Y . Z této rovnice vypoˇcteme veliˇcinu Y jako funkci veliˇcin R a A. Okamžitá citlivost veliˇciny Y na veliˇcinu A za podmínky konstantní veliˇciny R je dána parciální derivací ∂Y /∂A. Pro její výpoˇcet použijeme rovnici (3.2) a vˇetu o derivaci implicitnˇe zadané funkce. Platí ∂Y 1 = 0 . ∂A S (Y )

(3.5)

Veliˇcinu 1/S 0 (Y ) nazýváme nelineárním investiˇcním multiplikátorem, který ekonomicky interpretujeme jako zmˇenu finálního produktu pˇri okamžité zmˇenˇe autonomních investic za podmínky zachování rovnováhy na komoditním trhu. Pro ˇradu cˇ tenáˇru˚ je bližší ekvivalentní výraz 1/(1 − C 0 (Y )), který vznikne, položíme-li S(Y ) = Y − C(Y ), kde C znaˇcí výdaje na spotˇrebu. Pokud by výdaje na spotˇrebu byly lineární funkcí hrubého domácího produktu tvaru C = C0 + cY , rovnice (3.5) pˇrejde v rovnici ∂Y 1 = , ∂A 1−c což je výraz pro lineární multiplikátor. Jestliže výraz ∂Y /∂A vyjádˇríme pˇribližnˇe podílem diferencí ∆Y /∆A, potom místo rovnice (3.5) budeme mít 1 ∆Y ≈ 0 ∆A S (Y ) nebo ∆Y ≈

1 S 0 (Y

)

∆A.

Výše uvedený výraz ˇríká, pokud se A zvýší o ∆A, potom Y se zvýší o 1 S 0 (Y

)

∆A.

Investiˇcní multiplikátor je vlastnˇe posun kˇrivky IS v d˚usledku zmˇeny A, který m˚užeme sledovat na obrázku 3.2. Na nákresu (a) vidíme posun investiˇcní kˇrivky o veliˇcinu ∆A. Po tomto posunu investice odpovídající úrokové míˇre R1 nejsou I1 , ale I10 . Tˇemto investicím



odpovídají na nákresu (b) úspory o velikosti S 0 , kterým odpovídá velikost hrubého domácího produktu Y 0 . To znamená, že úrokové míˇre R1 odpovídá po zvýšení autonomních investic A o ∆A, zvýšení hrubého domácího produktu o ∆Y = Y10 − Y1 . Tento závˇer platí pro libovolnou hodnotu úrokové míry, což znamená, že celá kˇrivka IS se posune doprava, jak ukazuje nákres (c).

I

I00

S

I0

S0 S1

A0 A

S2

0

R1

R

R2 R

IS

0

Y2

Y1 Y0 Y

IS 0

R2

R1

0

Y2

Y1Y0 Y00 Y

Obrázek 3.3: Posun kˇrivky IS v d˚usledku r˚ustu autonomních výdaj˚u A

Komparativní statiku modelu LM zkoumáme vzhledem ke zmˇenám parametru M s , tedy zmˇeny rovnovážného hrubého domácího produktu a rovnovážné úrokové míry na penˇežním trhu zkoumáme vzhledem ke zmˇenám penˇežní nabídky. Citlivost hrubého domácího produktu na zmˇenu penˇežní nabídky pˇri nemˇenné úrokové míˇre zjistíme z rovnice (3.3). Tato rovnice implicitnˇe zadává Y jako funkci dvou promˇenných M s a R. Podle vˇety o implicitnˇe



zadané funkci platí ∂Y 1 . = 0 s ∂M L1 (Y )

L1

L2

M 0s Ms

Ms

M1

0

M 0s − M1 M s − M1 Y2 Y20 Y

Y1

0

R

Rµ R0 0R10R1 R0

R

LM R1 R0 0R1 R0 0 b Rµ 0

LM 0

Y1

Y2 Y20

Y

Obrázek 3.4: Posun kˇrivky LM v d˚usledku zmˇeny penˇežní zásoby Na obrázku 3.4 vidíme tento posun graficky znázornˇený. Na nákresu (a) se bod M s posune do bodu M 0s . Potom bod Y2 se posune do bodu Y20 . Zvýšení nabídky penˇežní má závažný d˚usledek pro spekulativní poptávku po penˇezích, jak je možné vidˇet na nákresu (b). Je-li hodnota hrubého domácího produktu nulová, transakˇcní poptávka je nulová. To znamená, že pokud systém má být v rovnovážném stavu, musí být celá nabídka pohlcena spekulativní poptávkou, což se stane pˇri úrokové míˇre R00 , jak vidíme na nákresu (b). Zde také zaznamenáme, že platí R00 < R0 . Podíváme se opˇet na nákres (a). Úrovni hrubého domácího produktu Y1 odpovídá transakˇcní poptávka po penˇezích ve velikosti M1 . Na uspokojení spekulativní poptávky zbývá nyní M 0s − M1 , což je samozˇrejmˇe více než M s − M1 . Aby zbytek nabídky ve velikosti M 0s − M1 byl pohlcen spekulativní poptávkou, rovnovážná úroková míra se musí ustálit na hodnotˇe R10 < R1 , jak vidíme na nákresu (b).



Jestliže hrubý domácí produkt dosáhne velikosti Y20 , penˇežní nabídka v hodnotˇe M 0s je odˇcerpána transakˇcní poptávkou. To znamená, že úroková míra se bude blížit k nekoneˇcnu. Nová kˇrivka LM 0 odpovídající penˇežní nabídce M 0s se nalézá vpravo od kˇrivky LM , která odpovídá penˇežní nabídce M s , jak vidíme na nákresu (c). R˚ust penˇežní nabídky tedy zp˚usobuje posun kˇrivky LM doprava.

R

IS

LM

¯ R

0

Y¯

Y

Obrázek 3.5: Nelineární model IS-LM

Pokud uvažujeme rovnice (3.2) a (3.4) zároveˇn, hovoˇríme o modelu IS-LM. Dvojici ¯ která ˇreší soustavu rovnic (3.2), (3.4), nazveme rovnovážným stavem systému IS-LM. Y¯ , R, Grafické znázornˇení tohoto systému najdeme na obrázku 3.5, kde jsou nakresleny kˇrivky IS ¯ Nelineární systém a LM v rovinˇe os souˇradných Y a R a vyznaˇcen bod rovnováhy [Y¯ , R]. IS-LM umožˇnuje komplexní charakteristiku úˇcinnosti fiskální a mˇenové politiky. Protože tato charakteristika je obsahem elementárních uˇcebnic makroekonomie, uvádíme ji velice struˇcnˇe, spíše pro osvˇežení pamˇeti. Pohledem na obrázek 3.5 zjistíme, že pokud se kˇrivka IS nalézá hodnˇe vlevo, což odpovídá ekonomice v situaci deprese, je bod rovnováhy v témˇeˇr vodorovné cˇ ásti kˇrivky LM . Zvýšení autonomních výdaj˚u vyvolá posun kˇrivky IS doprava a relativnˇe velké zvýšení rovnovážného hrubého domácího produktu a relativnˇe malé zvýšení rovnovážné úrokové míry. Zvýšení penˇežní nabídky vyvolá posun kˇrivky LM doprava. Tento posun vyvolá malý pokles úrokové míry a malé zvýšení finální produkce. Takto jsme dospˇeli k závˇeru, že pokud je kˇrivka IS hodnˇe vlevo, což se stává v depresi, je užití fiskální expanze úˇcinné a užití mˇenové expanze neúˇcinné vzhledem ke zmˇenám finální produkce. Podobnˇe m˚užeme pˇri myšlenkových experimentech s obrázkem 3.5 dojít k závˇeru, že v pˇrípadˇe, že kˇrivka IS je položena hodnˇe vpravo, což odpovídá konjunktuˇre, je fiskální



restrikce neúˇcinná a mˇenová restrikce úˇcinná. Zde totiž kˇrivka IS protíná kˇrivku LM v její témˇeˇr kolmé cˇ ásti. Tuto cˇ ást, kterou vˇenujeme statickému nelineárnímu modelu, IS-LM zakonˇcíme výkladem problematiky vytˇesˇnovacího úˇcinku. Dejme tomu, že v systému IS-LM se zmˇení autonomní investice A. Tím je narušena rovnováha na komoditním trhu. Pˇredpokládejme, že k obnovení rovnováhy na komoditním trhu dojde za podmínky nemˇenné úrokové míry R skrze zmˇenu hrubého domácího produktu Y . Velikost této zmˇeny, která je nutná k obnovˇe rovnováhy na komoditním trhu za podmínky nemˇenného R, je dána vztahem (3.5). Zmˇena Y zp˚usobí nerovnováhu na penˇežním trhu, protože zmˇena Y vyvolá zmˇenu transakˇcní poptávky po penˇezích. Na penˇežním trhu zaˇcnou p˚usobit síly smˇeˇrující k obnovˇe rovnováhy, které zmˇení úrokovou míru tak, aby došlo k obnovˇe rovnováhy na penˇežním trhu. Obnova rovnováhy na penˇežním trhu probíhá za pˇredpokladu zachování rovnováhy na trhu komoditním. Tuto situaci ukazuje obrázek 3.6 pro pˇrípad zvýšení autonomních investic. Snížení probíhá obdobnˇe. V d˚usledku zvýšení A dochází k posunu kˇrivky IS na kˇrivku IS 0 . Za pˇredpokladu konstantní úrokové míry se rovnovážný bod E posunuje do bodu E 0 , protože Y¯ se posune v d˚usledku zmˇeny A do Y¯ 0 . Nový stav rovnováhy E 0 je stavem rovnováhy na komoditním trhu (leží na kˇrivce IS), není však stavem rovnováhy na penˇežním trhu (neleží na kˇrivce LM ). Proces obnovení rovnováhy na penˇežním trhu probíhá tak, že úroková míra a hrubý domácí produkt se mˇení pˇri zachování rovnováhy na komoditním trhu, což je graficky vyjádˇreno pohybem bodu rovnováhy z E 0 do E 00 po oblouku kˇrivky IS 0 .

R

IS

IS 0

LM

Y¯

Y¯ 00 Y¯ 0

¯ 00 R ¯ R

0

Y

Obrázek 3.6: Vytˇesˇnovací úˇcinek v modelu IS-LM

Ekonomický smysl vytˇesˇnovacího úˇcinku spoˇcívá v tom, že okamžitý úˇcinek kladného pˇrír˚ustku autonomních investic je redukován úbytkem soukromých investic v d˚usledku klad-



ného pˇrír˚ustku úrokové míry. To znamená, že pˇrír˚ustek hrubého domácího produktu pˇred obnovením rovnováhy na penˇežním trhu je vˇetší než pˇrír˚ustek hrubého domácího produktu po obnovení rovnováhy na penˇežním trhu. Po spíše intuitivním vyjádˇrení vytˇesˇnovacího úˇcinku pˇrejdeme k pˇresnˇejšímu výkladu. Rovnováha na komoditním trhu je vyjádˇrena rovnicí (3.2). Okamžitý pˇrír˚ustek hrubého domácího produktu pˇred obnovením rovnováhy na penˇežním trhu je dán výrazem (3.5). Po obnovení rovnováhy platí obˇe rovnice, totiž (3.5) a (3.4). Za pˇredpokladu konstantní penˇežní nabídky M s tyto rovnice implicitnˇe zadávají hrubý domácí produkt Y a úrokovou míru R jako funkce autonomních výdaj˚u A. Derivujeme-li rovnici (3.2) podle A, dostaneme

1 + I 0 (R)

dY dR = S 0 (Y ) . dA dA

(3.6)

Dále zderivujeme rovnici (3.4) podle A a dostaneme 0 = ∂1 L(Y, R)

dR dY + ∂2 L(Y, R) , dA dA

(3.7)

kde jsme symbolem ∂1 L(Y, R) oznaˇcili parciální derivaci poptávky po penˇezích L podle promˇenné hrubého domácího produktu a symbolem ∂2 L(Y, R) parciální derivaci L podle promˇenné úrokové míry v bodˇe (Y, R). Z rovnice (3.7) vypoˇcteme dR ∂1 L(Y, R) dY =− . dA ∂2 L(Y, R) dA Dosadíme-li do rovnice (3.6), dostaneme

∂1 L(Y, R) dY dY 1 + I (R) − = S 0 (Y ) . ∂2 L(Y, R) dA dA 0

Odtud dostaneme dY = dA

∂1 L(Y, R) I (R) + S 0 (Y ) ∂2 L(Y, R) 0

−1 .

Aproximujeme-li výraz dY /dA podílem diferencí ∆Y /∆A, po úpravˇe dostaneme ∆Y ≈

∂1 L(Y, R) I (R) + S 0 (Y ) ∂2 L(Y, R) 0

−1 ∆A.



Srovnejme výraz dY /dA s výrazem ∂Y /∂A a zjistíme, že dY ∂Y > . ∂A dA Tuto cˇ ást kapitoly zakonˇcíme pˇríkladem, který cˇ ásteˇcnˇe ilustruje pˇredchozí výklad.

***

Pˇríklad 1: Uvažujme ekonomický systém, kde investiˇcní funkce je dána výrazem I = 4, 4 − 60R, A = 2, S = 0, 01Y 2 , L = 0, 4Y − 50R a M s = 6. Rovnice rovnováhy pro komoditní trh má tvar 4, 4 − 60R + 2 = 0, 01Y 2 , a rovnice pro penˇežní trh 6 = 0, 4Y − 50R. Z této rovnice vypoˇcteme R a dostaneme R = 0, 008Y − 0, 12. Dosazením do rovnice rovnováhy pro komoditní trh a její úpravou dostaneme 13, 6 − 0, 48Y = 0, 01Y 2 . Odtud velmi snadno zjistíme, že Y = 20. Dosazením do rovnice pro R dostaneme R = 0, 04. Tyto hodnoty jsou bodem rovnováhy systému IS-LM. Pˇredpokládejme dále, že v ekonomice našeho pˇríkladu došlo ke zvýšení autonomních investic o 8 %. Protože A = 2, dojde ke zvýšení autonomních investic o hodnotu 0,16. Dejme tomu, že naším úkolem bude zjistit, jaké bude zvýšení hrubého domácího produktu Y pˇred obnovením a po obnovení rovnováhy na penˇežním trhu. Pˇrír˚ustek hrubého domácího produktu pˇred obnovením rovnováhy na penˇežním trhu bude dán vztahem ∆Y ≈

1 S 0 (Y

)

∆A.



Dosadíme-li funkci úspor z našeho pˇríkladu, výše uvedená rovnice pˇrejde ve tvar ∆Y ≈

1 ∆A. 0, 02Y

Dosadíme rovnovážnou hodnotu Y = 20 a zmˇenu velikosti autonomních investic ∆A = 0, 16 a tak dostaneme ∆Y ≈ 0, 4. Po obnovení rovnováhy na penˇežním trhu je pˇrír˚ustek hrubého domácího produktu urˇcen rovnicí ∆Y ≈

∂1 L(Y, R) I (R) + S 0 (Y ) ∂2 L(Y, R) 0

−1 ∆A.

Dosadíme-li funkci úspor a funkci poptávky po penˇezích z našeho pˇríkladu, dostaneme −1 0, 4 + 0, 02Y ∆A. ∆Y ≈ −60 −50 Po dosazení rovnovážné hodnoty Y = 20 a zmˇeny autonomních investic ∆A = 0, 16 obdržíme ∆Y ≈ 0, 18. *** ˇ Ctenáˇ r, který podrobnˇeji cˇ etl knihu (Samuelson, P. A., 1947), se seznámil s tzv. principem le-Chatelierovým. Tento princip je v Samuelsonovˇe knize formulován pro podnik maximalizující zisk, jehož produkce je popsána víceˇcinitelovou produkˇcní funkcí. Rovnovážný bod je bodem globálního maxima ziskové funkce, má však tu vlastnost, že vyhovuje tzv. dodateˇcným omezením. Reakce firmy na zmˇeny cen výrobních cˇ initel˚u je nejvˇetší pˇri neexistenci dodateˇcných omezení a s jejich r˚ustem se zmenšuje. Tento výklad le-Chatelierova principu je nazván principem le-Chatelierovým-Samuelsonovým. Vytˇesˇnovací úˇcinek v modelu IS-LM pˇripomíná princip le-Chatelier˚uv-Samuelson˚uv. U principu le-Chatelierova-Samuelsonova jde o dvˇe koncepce rovnováhy nˇejakého systému, totiž užší, kterou nazveme vnitˇrní rovnováhou, a širší, kterou nazveme vnˇejší rovnováhou. Vnitˇrní rovnováhou je bod rovnováhy firmy pˇri neexistenci dodateˇcných omezení. Vnˇejší rovnováha je rovnováha firmy pˇri dodateˇcných omezeních. Reakce systému na zmˇenu vnˇejších parametr˚u (zde cen výrobních cˇ initel˚u) je taková, že systém obnoví vnitˇrní rovnováhu (zde zmˇení vektor vstupujících výrobních cˇ initel˚u tak, že zisk je maximální). Ovšem tím je narušena vnˇejší rovnováha. Po obnovˇe vnˇejší rovnováhy je



reakce systému menší než pˇred obnovou vnˇejší rovnováhy. U vytˇesˇnovacího úˇcinku se jedná o podobný proces. Rovnováhu na komoditním trhu považujeme za vnitˇrní rovnováhu, rovnováhu na obou trzích za vnˇejší. Proces obnovy rovnováhy na vnitˇrním trhu (r˚ust finální produkce v d˚usledku zmˇeny autonomních výdaj˚u) naruší rovnováhu vnˇejší (vzniklá nerovnováha na penˇežním trhu). Proces znovuobnovení vnˇejší rovnováhy oslabí p˚uvodní reakci systému (pˇrír˚ustek produkce v d˚usledku zmˇeny autonomních výdaj˚u je menší). Jak princip le-Chatelier˚uvSamuelson˚uv, tak i vytˇesˇnovací úˇcinek jsou obecnˇe týmž principem.

3.3

Dynamický nespojitý model IS-LM

Rovnost nabídky a poptávky na komoditním trhu bude popsána výrazem I(Rt ) + A = S(Yt ).

(3.8)

Z dynamického hlediska úroková míra v cˇ ase t oznaˇcená Rt vyvolá investiˇcní poptávku ve velikosti I(Rt ). Tato investiˇcní poptávka vyvolá produkci v takové velikosti Yt , aby úspory S(Yt ) se rovnaly celkovým investicím I(Rt ) + A. Zmínˇené reakce probíhají rychle v rámci období t. Trh penˇežní je popsán rovnicí nabídky penˇez a poptávky po penˇezích. L(Rt , Yt−1 ) = M s .

(3.9)

Tuto rovnici lze vysvˇetlit jako popis následujícího procesu. Vyplacený d˚uchod je roven finálnímu produktu ve výši Yt−1 . Existuje zpoždˇení výdaj˚u za d˚uchodem (tzv. Robertsonovo zpoždˇení), takže d˚uchod je použit na výdaje v cˇ ase t. V pˇrípadˇe existence Robertsonova zpoždˇení je ovšem podstatné zd˚uraznit, že neexistuje pˇrímá souvislost mezi penˇežní poptávkou a d˚uchodem. Ta existuje pouze nepˇrímo spojením pˇrímých závislostí penˇežní poptávky na zamýšlených výdajích a zamýšlených výdaj˚u na d˚uchodu. Existuje-li tedy zpoždˇení výdaj˚u za d˚uchodem, musí existovat zpoždˇení poptávky po penˇezích za d˚uchodem. Vyrovnávacím cˇ initelem je úroková míra, která v této interpretaci reaguje okamžitˇe a stanoví se v takové výši, aby poptávka po penˇezích byla vyrovnána s nabídkou penˇez. Výše uvedenou rovnici lze však interpretovat odlišnˇe. Poptávka po penˇezích nereaguje na d˚uchod Yt−1 se zpoždˇením, ale okamžitˇe. Úroková míra, která vyrovnává



nabídku penˇez s poptávkou po penˇezích však reaguje tak pomalu, že uplyne jedno období, než se ustanoví v rovnovážné velikosti. K ˇrešení dynamického modelu IS-LM, kde máme jedno zpoždˇení ve veliˇcinˇe Y , musíme mít zadánu poˇcáteˇcní podmínku ve formˇe pozorované (tedy známé) hodnotˇe Y0 . Rovnovážný ¯ které ˇreší soustavu rovnic stav dynamického systému IS-LM nastává pˇri hodnotách Y¯ , R ¯ + A = S(Y¯ ), I(R) ¯ = M s. L(Y¯ , R) Z vˇety o implicitní funkci víme, že první rovnice definuje implicitnˇe funkci, kterou zapíšeme jako R = f1 (Y ) a druhá rovnice definuje implicitnˇe funkci R = f2 (Y ). Grafy tˇechto funkcí jsou pˇrirozenˇe kˇrivky IS a LM . Smˇernice teˇcen tˇechto kˇrivek v bodˇe rovnováhy jsou dány derivacemi explicitních funkcí v bodˇe rovnováhy, tj. f 0 (Y¯ ) a f 0 (Y¯ ). Podle vˇety o derivaci 1

2

implicitní funkce platí S 0 (Y¯ ) f10 (Y¯ ) = 0 ¯ , I (R) ¯ ∂1 L(Y¯ , R) f20 (Y¯ ) = − ¯ . ∂L(Y¯ , R) Z výše uvedených vzorc˚u a pˇredpoklad˚u o investiˇcní funkci, funkci úspor a funkci poptávky po penˇezích plyne, že f 0 (Y¯ ) < 0 a f 0 (Y¯ ) > 0. Sklony kˇrivek IS a LM , které jsou absolut1

2

ními hodnotami derivací funkcí fi , i = 1, 2, mají tvar −

S 0 (Y¯ ) ¯ , I 0 (R)

−

¯ ∂1 L(Y¯ , R) ¯ . ∂2 L(Y¯ , R)

(3.10)

Dynamický systém IS-LM máme graficky znázornˇen na obrázku 3.7(a). Všechna ˇrešení (Yt , Rt ) rovnice (3.8) leží na kˇrivce IS a všechna ˇrešení Yt−1 , Rt rovnice (3.9) leží na kˇrivce LM . Výchozí stav je Y0 . Odpovídající rovnovážná úroková míra na penˇežním trhu je R1 , protože bod (Y0 , R1 ) je rovnovážným bodem penˇežního trhu a tedy musí ležet na kˇrivce IS. Rovnovážná úroveˇn hrubého domácího produktu, která odpovídá veliˇcinˇe R1 na komoditním trhu, je Y1 . Hodnotˇe této veliˇciny, jak vidíme na obrázku, odpovídá veliˇcina R2 , která vyrovná penˇežní trh. Na komoditním trhu této veliˇcinˇe odpovídá veliˇcina Y2 jejíž hodnota vyrovnává investice s úsporami. Z obrázku je patrná oscilace a konvergence hrubého domácího



produktu a úrokové míry k rovnovážným hodnotám. Intuitivnˇe pocit’ujeme, že tato konvergence je d˚usledkem vˇetšího sklonu kˇrivky IS, než je sklon kˇrivky LM . Na obrázku 3.7(b) posloupnost úrokové míry a hrubého domácího produktu osciluje a diverguje, což je d˚usledkem toho, že sklon kˇrivky LM je vˇetší než sklon kˇrivky IS.

R

IS

R

LM

¯ R

¯ R

→

Y¯ (a)

0

Y

0

IS

LM

→

Y

Y¯ (b)

Obrázek 3.7: Stabilní a nestabilní dynamický nespojitý IS-LM model

Pˇresné odvození podmínek stability dynamického nelineárního modelu IS-LM dˇelá potíže, kterým se vyhneme linearizací daného systému. Platí totiž, že jestliže linearizace systému je asymptoticky stabilní, potom p˚uvodní systém je lokálnˇe asymptoticky stabilní. Slovo „lokálnˇe“ je podstatné, protože námi uˇcinˇené závˇery budou platit pouze v dostateˇcnˇe blízkém okolí bodu rovnováhy. Systém linearizujeme tak, že provedeme Taylor˚uv rozvoj funkcí I, S ¯ se zanedbáním cˇ len˚u druhého ˇrádu. Takto rovnice a L v okolí rovnovážného bodu (Y¯ , R) (3.8), (3.9) pˇrejdou v rovnice 0 ¯ ¯ + I 0 (R)(R ¯ ¯ ¯ ¯ I(R) t − R) = S(Y ) + S (Y )(Yt − Y ),

¯ + ∂1 L(Y¯ , R)(Y ¯ t−1 − Y¯ ) + ∂2 (Rt − R) ¯ = M s, L(Y¯ , R) kde symboly ∂1 , ∂2 jsme po ˇradˇe oznaˇcili parciální derivace funkce L podle promˇenných Y a R. Jestliže položíme ¯ − I 0 (R) ¯ R, ¯ i1 = −I 0 (R), ¯ s0 = S(Y¯ ) − S 0 (Y¯ )Y¯ , i0 = I(R) ¯ − ∂1 L(Y¯ , R) ¯ − ∂2 L(Y¯ , R), ¯ s1 = S 0 (Y¯ ), l0 = L(Y¯ , R)



¯ l2 = −∂2 L(Y¯ , R), ¯ l1 = ∂1 L(Y¯ , R), pˇrejde výše uvedená linearizovaná soustava rovnic ve tvar i0 − i1 Rt = s0 + s1 Yt ,

(3.11)

l0 + l1 Yt−1 − l2 Rt = M s .

(3.12)

Vzhledem k tomu, že investiˇcní funkce I je klesající v úrokové míˇre, funkce úspor S je rostoucí v hrubém domácím produktu, funkce poptávky po penˇezích L je rostoucí v hrubém domácím produktu a klesající v úrokové míˇre, platí, že iι > 0,

lι > 0,

ι = 1, 2. Rovnice

(3.11) a (3.12) implicitnˇe zadávají pˇrímku ISL a LM L linearizovaného systému IS-LM. Jejich explicitní vyjádˇrení získáme výpoˇctem Rt z rovnic (3.11) a (3.12). Rt =

Rt =

i0 − s0 s1 − Y1 , i0 i1

l0 − M s l1 + Yt−1 . l2 l2

Sklon, který definujeme jako absolutní hodnotu smˇernice, je u pˇrímky IS s1 /i1 a pˇrímky ¯ je spoleˇcným bodem kˇrivek modelu LM l1 /l2 . Využijeme-li výraz˚u (3.10) a toho, že (Y¯ , R) IS-LM a pˇrímek linearizovaného modelu, dojdeme k závˇeru, že pˇrímky jsou teˇcnami kˇrivek ¯ Konstrukce linearizovaného modelu je ukázána na obrázku 3.8. Linearizov bodˇe (Y¯ , R). vaný systém na tomto obrázku je asymptoticky stabilní, tudíž nelineární systém je lokálnˇe asymptoticky stabilní.

R

IS

¯ R

ISL " c " c " LM L c " c" " " cc " " c " c

0

LM

Y¯

Y

Obrázek 3.8: Linearizace nelineárního modelu IS-LM.



Vezmˇeme v úvahu výše uvedenou soustavu dvou rovnic. Dosadíme-li z pˇredešlé první rovnice za Rt do rovnice druhé, dostaneme i 0 − s0 s1 l0 − M s l1 + Yt−1 = − Y1 . l2 l2 i0 i1 Po úpravˇe máme Yt =

i0 − s0 i1 (l0 − M s ) l1 i1 − − Yt−1 . s1 s1 l2 l2 s1

Pro stav rovnováhy Y¯ platí i0 − s0 i1 (l0 − M s ) l1 i1 ¯ Y¯ = − − Y. s1 s1 l2 l2 s1 Odeˇctením obou rovnic dostaneme rovnici ve fluktuacích xt = − kde xt = Yt − Y¯ ,

l1 i1 xt−1 , l2 s1

t = 0, 1, . . . . Rekurentní metodou odvodíme pˇredpis xt = −

i1 s1 l1 l2

t ,

ze kterého plyne, že posloupnost {xt }∞ t=0 osciluje. Pokud platí i1 s1 < 1, l1 l2 posloupnost {xt }∞ t=0 konverguje k 0. Pokud i1 s1 ≥ 1, l1 l2 posloupnost diverguje. V pˇrípadˇe nerovnosti typu < je systém asymptoticky stabilní, v pˇrípadˇe rovnosti je stabilní a v pˇrípadˇe nerovnosti typu > je systém nestabilní.

Vzhledem k tomu, že i1 /s1 je sklon pˇrímky IS linearizovaného systému a l1 /l2 sklon pˇrímky LM , asymptotická stabilita nastane, když sklon u IS je vˇetší než u LM . Stejné sklony odpovídají neasymptotické stabilitˇe a vˇetší sklon u LM než u IS je ekvivalentní s nestabilitou linearizovaného systému.



R

¯ R R00 R0 0Y0

−→ −→ Y00 Y¯

Y

Obrázek 3.9: Limitní cyklus v nelineárním dynamickém nespojitém modelu IS-LM

Nyní pˇrejdeme k výkladu zajímavého jevu, který m˚uže nastat u nˇekterých nelineárních dynamických systém˚u. Tímto jevem je existence limitního cyklu. V tomto pojednání si ho ukážeme pouze graficky na specifickém nelineárním modelu IS-LM na obrázku 3.9. Na tomto obrázku je nakreslen model s nekonvexní kˇrivkou IS a nestabilním bodem rovnováhy. O nestabilitˇe bodu rovnováhy se m˚užeme pˇresvˇedˇcit tím, že sklon kˇrivky IS v bodˇe rovnováhy je menší než sklon kˇrivky LM . Oscilace, které zaˇcínají v bodˇe Y0 , který je nedaleko bodu rovnováhy, mají explozivní charakter, po urˇcité dobˇe se však ustálí na limitním cyklu. Pokud trajektorie hrubého národního produktu zaˇcne dostateˇcnˇe daleko od bodu rovnováhy, oscilace jsou tlumené a ustálí se opˇet na limitním cyklu. Obrázek 3.9 poskytuje intuitivní východiska pro poznatky o mˇenové politice. Jestliže se dostateˇcnˇe sníží penˇežní zásoba M s , potom se kˇrivka LM posune doleva až do polohy, kde sklon kˇrivky IS v bodˇe rovnováhy bude vˇetší než sklon kˇrivky LM a systém bude stabilní s tlumenými oscilacemi. Pokud se penˇežní zásoba dostateˇcnˇe zvýší, kˇrivka LM se posune doprava do polohy, kde je opˇet sklon kˇrivky IS vˇetší než sklon kˇrivky LM . Systém je opˇet stabilní. Z pˇredešlého výkladu plyne, že model IS-LM je pro dostateˇcnˇe malou penˇežní zásobu stabilní, pro urˇcitou pˇrimˇeˇrenou výši penˇežní zásoby nestabilní s limitním cyklem a pro dostateˇcnˇe velkou penˇežní zásobu opˇet stabilní. Vztah mezi dynamikou penˇežní nabídky a dynamikou hrubého domácího produktu, pˇrípadnˇe dynamikou úrokové míry je ve svˇetle nelineárních model˚u ponˇekud složitˇejší než v tradiˇcní ekonomické teorii. Z hlediska dynamických nelineárních model˚u, jak vidíme ve výše uvedeném pˇríkladˇe, ovlivˇnuje dynamiku



hrubého domácího produktu už pouhá úroveˇn penˇežní zásoby a nikoli pouze její dynamika, jak by se z naivních pozic dalo oˇcekávat.

3.4

Spojitý dynamický model IS-LM

Statický model IS-LM, který byl vyložen v první cˇ ásti kapitoly, ponˇekud zobecníme v tom smyslu, že investiˇcní funkce a funkce úspor budou funkcemi dvou promˇenných Y a R a na druhé stranˇe ho zjednodušíme tak, že budeme pˇredpokládat A = 0. Tedy místo výrazu I(R) + A budeme mít I(Y, R) a místo S(Y ) uvažujeme S(Y, R). Poptávková funkce po penˇezích L z˚ustane nezmˇenˇena. Spojitý dynamický model prezentujeme jako soustavu dvou diferenciálních rovnic, z nichž první popisuje dynamiku komoditního trhu a druhá popisuje dynamiku trhu penˇežního. Neznámými tˇechto rovnic jsou funkce cˇ asu Y a R. Rovnice, která popisuje dynamiku komoditního trhu a kde vynecháváme psaní argumentu t, má následující tvar: Y˙ = α[I(Y, R) − S(Y, R)],

α > 0.

Výše uvedená rovnice neˇríká nic jiného, než že pˇrevaha investiˇcní poptávky nad úsporami, která jak již víme je ekvivalentní s pˇrevahou agregované poptávky nad agregovanou nabídkou, vede k r˚ustu finální produkce. Podobnˇe pˇrevaha úspor vede k poklesu finální produkce. Tuto rovnici podˇelíme Y a dostaneme I(Y, R) S(Y, R) Y˙ =α − . Y Y Y Podíl I(Y, R)/Y ekonomicky interpretujeme jako investiˇcní míru a podíl S(Y, R) jako sklon k úsporám. Nyní položíme ln Y == y. Jestliže ve shora uvedené rovnici položíme Y = ey ,

i(y, R) =

I(ey , R) , ey

s(y, R) =

S(ey , R) , ey

pˇrejde rovnice dynamiky komoditního trhu ve tvar y˙ = α[i(y, R) − s(y, R)].

(3.13)



Dynamika penˇežního trhu je popsána rovnicí

L(Y, R e = Ms R˙

β ,

β > 0.

Jedná se o tzv. geometrické pˇrizp˚usobení. Je-li poptávka po penˇezích vˇetší než nabídka, je výraz na pravé stranˇe rovnice vˇetší než jedna, tedy R˙ musí být kladné, aby i výraz na levé stranˇe rovnice byl vˇetší než jedna. Je-li naopak poptávka po penˇezích menší než nabídka penˇez, je R˙ záporné. Výše uvedená diferenciální rovnice tedy reprezentuje ekonomicky evidentní jev, že pˇri pˇrevaze poptávky po penˇezích nad nabídkou úroková míra roste a pˇri pˇrevaze nabídky klesá. Rovnici dynamiky penˇežního trhu zlogaritmujeme, položíme l(y, R) = ln L(ey , R),

ms = ln M s

a dostaneme R˙ = β[l(y, R) − ms ].

(3.14)

¯ systému dostaneme jako ˇrešení rovnic Rovnovážný bod [¯ y , R] ¯ − s(¯ ¯ 0 = α[i(¯ y , R) y , R)], ¯ − ms ]. 0 = β[l(¯ y , R) ¯ Výše uvedené rovnice dostaneme z rovnic (3.13) a (3.14) tak, že položíme y = y¯ a R = R. Rovnice m˚užeme samozˇrejmˇe upravit na tvar ¯ = s(¯ ¯ i(¯ y , R) y , R), ¯ = ms . l(¯ y , R)

Další rozbor modelu budeme provádˇet pˇri platnosti následujících pˇredpoklad˚u. O funkcích i, s a l. O funkci i pˇredpokládáme, že bude souˇcinem dvou funkcí, z nichž první je funkcí R a znaˇcíme ji g. Druhá je funkcí y a znaˇcíme ji f . Platí tedy i(y, R) = g(R)f (y). Funkce g bude ve tvaru g(R) =

λ , (1 + R)k



0.4 0.35 0.3 0.25

i 0.2 0.15 0.1 0.05 0 −4

−2

0

2

y

4

6

8

10

Obrázek 3.10: Pr˚ubˇeh logistické investiˇcní funkce pˇri R = 0, a = 1 + e4 , b = a/0.4, f0 = 1/a

kde λ > 0 je libovolná konstanta vyjaˇrující intenzitu reakce investic na úrokovou míru. Funkce f bude logistickou funkcí y, která vyhovuje diferenciální rovnici df (y) = f (y)[a − bf (y)] dy s poˇcáteˇcní podmínkou f (0) = f0 , kde a, b > 0 a 0 < f0 < a/b. Snadno zjistíme, že funkce f má tvar f (y) =

af0 . bf0 + (a − bf0 )e−ay

Funkce i takto nabude následujícího tvaru i(y, R) =

λ af0 · . k (1 + R) bf0 − (a − bf0 )e−ay

Výše uvedená funkce je definována pro y ∈ (−∞, ∞). Graf funkce i pro pevnˇe zvolené R je ukázán na obrázku 3.10. Idea závislosti i na y je vcelku jednoduchá a realistická. Závislost je rostoucí. Pro malé hodnoty y se míra investic i blíží k nule a pro hodnˇe veliké hodnoty se blíží k hodnotˇe a/b. Funkce s a l pˇredpokládáme jako lineární s(y, R) = s0 + s1 y + s2 R, l(y, R) = l0 + l1 y − l2 R,



kde s0 , si > 0, i = 1, 2, li > 0, i = 0, 1, 2 jsou parametry soustavy. Dosazením tˇechto funkcí do soustavy diferenciálních rovnic (3.13) a (3.14) dostaneme

λ af0 y˙ = α · − s0 − s1 y − s2 R , (1 + R)k bf0 − (a − bf0 )e−ay

(3.15)

R˙ = β[l0 + l1 y − l2 R − ms ].

(3.16)

Výše uvedenou soustavu, která popisuje specifický systém IS-LM, budeme dále analyzovat. Nejdˇríve se pokusíme popsat její dynamiku pokud možno pomocí obrázk˚u a verbálních prostˇredk˚u. Potom se pokusíme nakreslit fázový portrét soustavy (3.15) a (3.16). Obrázky, které budou ilustrovat výklad dynamiky výše uvedeného systému IS-LM vycházejí z rovnic (3.15), (3.16), kde jsme dosadili α = 2, 2 β = 0, 1 k = 1 f0 = 0, 5 a = 10 b = 10 λ = 0, 42 s0 = 0, 12, s1 = 0, 8, s2 = 1, 6, l0 = 0.03, l1 = 0, 1, l2 = 0, 6, m = 0 a tak dostali 0, 42 1 · − (0, 12 + 0, 8y + 1, 6R) , y˙ = 2, 2 (1 + R)k 1 + e−10y

(3.17)

R˙ = 0, 1(0, 03 + 0, 1y − 0, 6R).

(3.18)

−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0.4

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.35 i(.,R0)

0.3

s(.,R0)

0.25

i,s

0.2 0.15 0.1 0.05 0 y10

y

y20

y30

Obrázek 3.11: Pr˚ubˇehy funkce i a s pro R = 0, 05

¯ = [0, 0, 05]. Pro bod rovnováhy výše uvedeného dynamického systému IS-LM platí [¯ y , R] Na obrázku 3.11 je nakreslen pr˚ubˇeh restrikce funkce i a funkce s na promˇennou y pˇri



¯ = 0, 05. Za tˇechto podmínek existují tˇri pr˚useˇcíky investiˇcní rovnovážné úrokové míˇre R kˇrivky a kˇrivky úspor oznaˇcené y10 , y20 a y30 . Tyto hodnoty vyrovnávají komoditní trh. Body yj0 , j = 1, 3 jsou body stabilní rovnováhy komoditního trhu a bod y20 je bod nestabilní rovnováhy. Jestliže se produkt vychýlí vlevo od bodu yj0 , j = 1, 3, systém se dostane do situace, kdy investice jsou vˇetší než úspory. Na obrázku je tato situace znázornˇena tím, že ¯ leží nad grafem funkce s(., R). ¯ vlevo od bodu y 0 , j = 1, 3 graf funkce i(., R) j

Pˇrevaha investiˇcní poptávky nad úsporami je impulsem pro zvýšení produkce a systém se vrací zpˇet ke stavu yj2 , j = 1, 3. Jestliže se produkt vychýlí vpravo od yj , i = 1, 3, ekonomika se dostane do stavu pˇrevahy úspor nad investicemi, což je na obrázku znázornˇeno ¯ se nalézá nad grafem funkce i(., R). ¯ tím, že graf funkce s(., R) Pˇrevaha úspor nad investiˇcní poptávkou je impulsem pro omezení finální produkce a tak se systém vrací zpˇet k bodu yj0 , j == 1, 3. Jestliže se finální produkce vychýlí vlevo od bodu y20 , nastane situace, kdy úspory budou vˇetší než investice, což je na obrázku znázornˇeno ¯ leží nad grafem funkce i(., R). ¯ To bude impulsem pro další pokles tím, že graf funkce s(., R) výroby až do bodu stabilní rovnováhy y10 . Jestliže se finální produkce vychýlí vpravo od bodu ¯ y20 , dojde k pˇrevaze investic nad úsporami, což je znázornˇeno tím, že graf funkce i(., R) ¯ To je impuls k dalšímu r˚ustu výroby až do bodu stabilní leží nad grafem funkce s(., R). rovnováhy y30 . ¯ je bodem rovnováhy systému IS-LM, musí podle definice vyrovnávat Protože bod [¯ y , R] komoditní i penˇežní trh. Vzhledem k tomu, že y¯ vyrovnává trh komoditní, musí se y¯ rovnat právˇe jedné ze tˇrí hodnot yi0 , i = 1, 2, 3 uvedených na obrázku 3.11. Naši numerickou úlohu modelu IS-LM jsme zformulovali právˇe tak, aby platilo y¯ = y2 , tedy bod rovnováhy je nestabilní. Dejme tomu, že v nˇejakém poˇcáteˇcním okamžiku došlo k vychýlení systému z bodu ¯ kde y0 > y20 . Za tˇechto podmínek dojde k r˚ustu finální produkce rovnováhy do bodu [y0 , R], až do bodu stabilní rovnováhy komoditního trhu y30 . Produkt o velikosti y30 je vˇetší než y¯ a ¯ musí být vˇetší než nabídka penˇez. tedy poptávka po penˇezích, která jí odpovídá pˇri daném R, To podle rovnice (3.16) povede k pohybu úrokové míry smˇerem nahoru. Restrikce obou investiˇcních funkcí pro pohyblivé R oznaˇcíme i(., R) a s(., R). Pˇripomínám že funkce i(., R) mají s vyšším R pomalejší r˚ust a menší supremum. Necháme-li R r˚ust, pohybuje se graf funkce s(., R) doleva a graf funkce i(., R) doprava, pˇriˇcemž dochází k jeho deformaci ve smyslu pomalejšího r˚ustu a zmenšování suprema. Grafy obou funkcí se tedy



od sebe vzdalují. Jejich (pohyblivé) pr˚useˇcíky oznaˇcené y1 , y2 a y3 mají pˇri r˚ustu R následující vlastnosti. Pˇrednˇe, produkce systému setrvává v bodˇe y3 , bod y1 se pohybuje stále více doleva, bod y2 doprava a bod y3 doleva. Body yi , i = 2, 3 se tedy pohybují smˇerem k sobˇe až splynou, což nastane pˇri hodnotˇe úrokové míry R1 . Tuto situaci ukazuje obrázek 3.12(a). Produkce systému setrvává na hodnotˇe y31 , dalším, avšak nerealizovaným bodem rovnováhy komoditního trhu je bod y11 . Pˇri hodnotˇe úrokové míry R1 je poptávka po penˇezích stále vˇetší než nabídka penˇez. To ovšem vede k dalšímu r˚ustu úrokové míry a tedy i k dalšímu pohybu grafu funkce s(., R) doleva a grafu restrikce funkce i(., R) doprava a tedy k následné ztrátˇe rovnováhy v bodˇe y3 , jak ukazuje obrázek 3.12(b). Tento obrázek ukazuje situaci pˇri úrokové míˇre R2 . Systém zaujal na komoditním trhu novou stabilní rovnováhu v bodˇe y12 . O stabilitˇe rovnováhy se pˇresvˇedˇcíme snadno pohledem na obrázek, protože napravo je graf funkce s(., R2 ) nad grafem funkce i(., R2 ), což znamená pˇrevahu nabídky nad poptávkou a následné omezení výroby. Nalevo od bodu y12 je graf funkce s(., R2 ) pod grafem restrikce funkce i(., R2 ), což znamená pˇrevahu poptávky a následný r˚ust produktu. 0.5 −0.2

−0.1

0

0.4

0.1

0.2

−0.1

0

0.4

s(.,R1)

0.3

0.1

0.2

s(.,R2)

0.3

i(.,R1)

i,s 0.2 0.1 0

0.5 −0.2

i,s

i(.,R2)

0.2 0.1

y1 1

y

y12

0

y12

y

Obrázek 3.12: Pohyby kˇrivky i a s pˇri r˚ustu R

Zaujetí stabilní rovnováhy na komoditním trhu v bodˇe y1 je situací, kdy finální produkce je relativnˇe malá, a tedy pˇri odpovídající struktuˇre systému dojde k tomu, že poptávka po penˇezích klesne pod nabídku penˇez. Podle rovnice (3.16) zaˇcne úroková míra klesat. Graf funkce s(., R) se zaˇcne pohybovat doprava a graf restrikce funkce i(., R) se bude pohybovat doleva. Systém nejdˇríve obnoví stav na obrázku 3.12 (a), potom projde stavem vyznaˇceným na obrázku 3.11, pˇriˇcemž jeho rovnovážná finální produkce bude v (pohyblivém) bodˇe y1 .



0.4 −0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.5

i(.,R−1)

0.3 0.2

0.3 0.2

0

0.1

2

y−1

y

0.1

0.2

0.3

i(.,R−2)

i,s

0.1

−0.1

0

0.4

s(.,R−1)

i,s

−0.1

y3

0

−1

s(.,R−2)

y3−2

y

Obrázek 3.13: Pohyby kˇrivky i a s pˇri poklesu R

Systém dospˇeje až ke stavu na obrázku 3.13(a), kde pˇri úrokové míˇre R2 máme rovnovážné body komoditního trhu y13 a y23 . Pˇripomínám, že hodnota rovnovážné produkce je y13 a že pˇri této produkci je stále poptávka po penˇezích menší než nabídka penˇez, tedy pokles úrokové míry pokraˇcuje. Graf restrikce funkce s(., R) pokraˇcuje v pohybu doprava a graf restrikce funkce i(., R) v pohybu doleva a tak dojde ke ztrátˇe rovnováhy v bodˇe y13 a pˇri úrokové míˇre R4 nastane pohyb produkce do bodu y34 , což ukazuje obrázek 3.13(b). Bod y34 je bodem stabilní rovnováhy na komoditním trhu. Finální produkce y34 je tak veliká, že odpovídající poptávka po penˇezích pˇrevýší nabídku penˇez a podle rovnice (3.16) dojde k r˚ustu úrokové míry a pohybu grafu restrikce funkce s doleva a restrikce funkce i doprava smˇerem k situaci nakreslené na obrázku 3.11 a celý dynamický proces se opakuje. Mezi lineárními a nelineárními systémy jsou podstatné rozdíly. Chování nestabilních lineárních systém˚u má explozivní charakter. Naproti tomu u nˇekterých nestabilních nelineárních systém˚u je možný ustálený režim chování daleko od bodu rovnováhy. Tedy i když pohyb systému zaˇcne velmi blízko bodu rovnováhy, vzdaluje se od nˇej, ale nikoli neomezenˇe, nýbrž se ustálí v nˇejakém režimu. Pˇrípadnˇe pohyb zaˇcne ve velké vzdálenosti od bodu rovnováhy, zaˇcne se sice k nˇemu plížit, avšak nedojde až sem, ale pˇrejde do ustáleného režimu daleko od bodu rovnováhy. Na obrázku 3.14 jsou nakresleny kˇrivky IS-LM modelu popsaného rovnicemi (3.15) a (3.16). Kˇrivku IS, jak bylo již ˇreˇceno, dostaneme z rovnice (3.15) tím, že položíme y˙ = 0



−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.065

LM 0.06

R2 R1

0.055

IS

R

R0

0.05

0.045 R−1 R−2

0.04

1 1 y12 y1 y0

y2−1

y

y20

y21

y30 y3−1 y3−2

0.035

Obrázek 3.14: Konstrukce kˇrivky IS a LM

pro všechna t a tím dostaneme implicitní zadání kˇrivky IS. Pˇredstavu o jejím pr˚ubˇehu snadno získáme pomocí obrázk˚u 3.12 a 3.13. ¯ odpovídají tˇri pr˚useˇcíky grafu funkce s(., R) ¯ Vezmˇeme obrázek 3.12, zde úrokové míˇre R ¯ které jsme oznaˇcili y 0 , y 0 a y 0 . Ke každému R ∈ h0, ∞) existují jeden až tˇri a funkce i(., R), 1

2

3

pr˚useˇcíky graf˚u funkcí i(., R) a s(., R). Geometrická místa bod˚u [y, R], kde y je horizontální souˇradnice pr˚useˇcíku graf˚u funkcí ¯ i(., R) a s(., R) tvoˇrí kˇrivku IS, kterou m˚užeme vidˇet na obrázku 3.14. Položíme R0 = R. Pro lepší pochopení dané problematiky jsou vyznaˇceny tˇri body, totiž [y10 , R0 ], [y20 , R0 ] a ¯ a funkce i(., R) ¯ tak, jak jsou [y30 , R0 ], které odpovídají pr˚useˇcík˚um graf˚u funkce s(., R) nakresleny na obrázku 3.11. Body [y11 , R1 ] a [y21 , R1 ] odpovídají dvˇema spoleˇcným bod˚um grafu funkce i(., R1 ) a s(., R1 ), jak jsou nakresleny na obrázku 3.12 (a). Bod [y12 , R2 ] je jediným pr˚useˇcíkem grafu 1 funkce i(., R2 ) a s(., R2 ), jak vidíme na obrázku 3.12 (a). Obdobnˇe body [y−1 , R−1 ] a 2 [y−1 , R−1 ] jsou obrazem spoleˇcných bod˚u grafu funkcí i(., R−1 ) a s(., R−1 ) nakreslených 3 na obrázku 3.13 (a). Bod [y−2 , R−2 ] odpovídá jedinému pr˚useˇcíku graf˚u funkcí i(., R−2 ) a

s(., R−2 ). Pˇredešlý výklad dává návod, jak sestrojit kˇrivku IS. Libovolný bod této kˇrivky sestrojíme tak, že po volbˇe úrokové míry ve velikosti R sestrojíme grafy funkcí i(., R) a s(., R). Podle polohy tˇechto graf˚u dostaneme bud’ jeden, dva, nebo tˇri spoleˇcné body, u kterých pˇreˇcteme y-ové souˇradnice (R máme zvoleno) a nakreslíme je do roviny os souˇradných jako body o



souˇradnicích y a R. Provedeme-li tento postup pro všechna R, dostaneme kˇrivku IS tak, jak je nakreslena na obrázku 3.14. Kˇrivka LM je velmi jednoduchá protože její implicitní rovnice je lineární. Staˇcí zvolit dva body vyhovující této rovnici a spojit je cˇ arou. Spoleˇcný bod kˇrivky IS a pˇrímky LM je bodem rovnováhy systému IS-LM. Systém diferenciálních rovnic (3.15), (3.16) vytváˇrí v rovinˇe os souˇradných y a R vektorové pole, ve kterém s každým bodem o souˇradnicích [y, R] je dán i vektor jeho dalšího ˙ Hodnotu tohoto vektoru dostaneme dosazením daného bodu [y, R] do diferpohybu (y, ˙ R). enciálních rovnic. Šipky, které na obrázku 3.15 svírají pravý úhel, vyznaˇcují pˇribližnˇe smˇer pohybu. V podstatˇe ukazují, jestli pohyb bude doprava nahoru, doprava dol˚u atd. Jejich konstrukce je snadná, jak dále ukážeme. Na obrázku vidíme, že kˇrivky IS a LM rozdˇelují rovinu os souˇradných na cˇ tyˇri oblasti. V každé oblasti se nalézá jedna dvojice pravoúhlých šipek. Vezmˇeme napˇríklad oblast, ve které se nacházejí body pod kˇrivkou LM , ale nad kˇrivkou IS. Skuteˇcnost, že bod leží nad kˇrivkou IS znamená, že jeho úroková míra je vyšší, než rovnovážná a tedy poptávka po investicích nižší než úspory, z cˇ ehož podle rovnice (3.15) plyne y˙ < 0. Zápornému okamžitému pˇrír˚ustku y odpovídá vodorovná šipka, která vychází z daného bodu doleva. To, že bod leží pod cˇ arou LM znamená, že jeho úroková míra je nižší než rovnovážná (tentokrát z hlediska rovnováhy na penˇežním trhu) a tedy poptávka po penˇezích je vyšší než nabídka penˇez, což podle rovnice (3.16) vede k r˚ustu úrokové míry. Tuto situaci schematicky znázorˇnujeme šipkou vycházející z daného bodu nahoru. Podobným zp˚usobem sestrojíme pravoúhlé dvojice šipek ve zbývajících tˇrech oblastech. Pravoúhlé dvojice šipek charakterizují základní typ pohybu bodu v dané oblasti. Pod pojmem základní typ pohybu rozumíme pohyb vpravo nahoru, vlevo dol˚u atd. Na fázovém portrétu soustavy jsou nakresleny dvˇe fázové trajektorie, jedna pro poˇcáteˇcní bod P = [y(0), R(0)] = [−0, 1, 0.06] a druhá pro poˇcáteˇcní bod P ∗ = [y ∗ (0), R∗ (0)] = [0, 05, 0, 045]. Obˇe trajektorie se asymptoticky blíží limitnímu cyklu. Bod rovnováhy systému znaˇcený E leží uvnitˇr limitního cyklu. Odpovídající cˇ asový vývoj pro poˇcáteˇcní bod [y(0), R(0)] = [0, 05, 0, 045] je nakreslen na obrázku 3.16. Je nutné si uvˇedomit, že logistický pr˚ubˇeh investiˇcní funkce nemusí nutnˇe vyvolat limitní cyklus. Ten je kromˇe toho zp˚usoben dalšími cˇ initeli. Staˇcí napˇríklad zmˇenit hodnotu penˇežní zásoby a limitní cyklus m˚uže pˇrejít ve stabilní rovnovážný bod. Za úˇcelem pˇredvedení tohoto



0.065 LM [y(0),R(0)]

IS

0.06

B

0.055

R 0.05

E

0.045 [y*(0),R*(0)] A 0.04

0.035

−0.2

−0.1

0

y

0.1

0.2

Obrázek 3.15: Fázový portrét spojitého nelineárního modelu IS-LM v pˇrípadˇe limitního cyklu. 0.2

0.065

0.15 0.06

0.1 0.055

0.05

R

y

0

0.05

−0.05 0.045

−0.1 0.04

−0.15 −0.2 0

50

100

t

150

200

0.035 0

50

100

t

150

200

ˇ Obrázek 3.16: Casový pr˚ubˇeh logaritmu produktu a úrokové míry. jevu byly provedeny experimenty s rovnicemi (3.17) a (3.18), kde poˇcáteˇcní podmínky byly zvoleny v hodnotách y(0) = 0, 05 a R(0) = 0, 045 a kde byla obmˇenˇ ována numerická hodnota penˇežní zásoby. Zd˚urazˇnuji, že r˚ust penˇežní zásoby posunuje pˇrímku LM doprava. Na základˇe teoretického rozboru1 , který tady ovšem z d˚uvod˚u jeho obtížnosti neprovádíme, docházíme k závˇeru, že systém je nestabilní v pˇrípadˇe, když pˇrímka LM protíná kˇrivku IS mezi body A a B. Jednu z takových možností ukazuje obrázek 3.15, kde pro hodnotu penˇežní zásoby ms = 0, 48 pˇrímka LM protíná kˇrivku IS mezi body A a B. Pokud tomu tak není a pr˚useˇcík kˇrivky IS a pˇrímky LM leží bud’ vlevo od bodu A nebo vpravo od bodu B, systém vykazuje stabilní chování, jak vidíme na obrázku 3.18, kde jsou ukázány dva pˇríklady takového chování. Na tomto obrázku na nákresu (a) vidíme fázovou 1

Viz Sladký, K.– Kodera, J.– Vošvrda, M., 1999



0.06

0.3

[y(0),R(0)]

0.2

R

0.1

0.05

y 0 −0.1

0.04 −0.2

−0.1

0

0.1

y

0

0.2

50

100

t

150

200

0.06

R 0.05

0.04

0

50

100

t

150

200

Obrázek 3.17: Stabilní chování dynamického spojitého systému IS-LM pˇri m = −0.1 trajektorii systému pro penˇežní zásobu m = 0, 1. Na nákresu (b) najdeme cˇ asový vývoj úrokové míry R a logaritmu produktu y. Nákres (c) ukazuje fázovou trajektorii systému pro penˇežní zásobu ms = −0, 1 a nákres (d) odpovídající cˇ asový vývoj úrokové míry a logaritmovaného produktu.



0.4

0.06 0.2

y

R

0

0.05 −0.2

0.04

−0.2

−0.1

0

0.1

y

0

0.2

50

100

t

150

200

0.05

R

0.04

0

50

100

t

150

200

Obrázek 3.18: Stabilní chování dynamického spojitého systému IS-LM pˇri m = 0.1



4

MODELOVÁNÍ INFLACE

V této kapitole se budeme zabývat teoretickou analýzou inflace. Naším cílem bude podat pˇrehled nejznámˇejších model˚u, a to jak statických, tak i dynamických, at’ už spojitých a nebo nespojitých. V první cˇ ásti se budeme vˇenovat neoklasickému statickému modelu inflace. Na tomto modelu budeme moci jasnˇe rozpoznat základní rys neoklasické teorie, totiž nezávislost reálného sektoru na penˇežním, což ekonomové dobˇre znají pod pojmem penˇežní neutralita. D˚usledkem neutrality penˇez je stanovisko neoklasické ekonomické teorie, že inflace je cˇ istˇe penˇežním jevem, tedy r˚ust cenové hladiny je zp˚usoben r˚ustem penˇežní nabídky. Jak uvidíme, neoklasický model z první cˇ ásti kapitoly je schopen vysvˇetlit prudký nár˚ust inflace v pˇrípadˇe, kdy dochází k „pˇrepnutí“ stacionárního tempa r˚ustu penˇežní nabídky na vyšší (z hlediska dalšího vývoje) stacionární hodnotu. Další cˇ ást kapitoly obsahuje jednoduchý diskrétní dynamický model inflace, který se skládá ze dvou diferenˇcních rovnic. Tento model se vyznaˇcuje stabilitou pro ekonomicky pˇrípustné hodnoty parametr˚u. V této cˇ ásti kapitoly kromˇe zmínˇeného jednoduchého modelu inflace budeme analyzovat i model ponˇekud složitˇejší, postavený na principech cenového oˇcekávání a to pomˇernˇe známý model Cagan˚uv (Cagan, P., 1956). Tento model je založen na rovnici rovnováhy penˇežního trhu a rovnici adaptivního oˇcekávání cen. Výsledná rovnice modelu je diferenˇcní rovnice prvního ˇrádu, jejíž stabilita bude rovnˇež pˇredmˇetem našeho zájmu. Poslední cˇ ást této kapitoly je vˇenována pomˇernˇe známému spojitému dynamickému modelu inflace. Model je tvoˇren soustavou dvou nelineárních diferenciálních rovnic, z nichž první popisuje pˇrizp˚usobení penˇežního trhu rovnováze a druhá adaptivní oˇcekávání cenové hladiny. Model je pˇreveden na neautonomní diferenciální rovnici druhého ˇrádu, jejíž zajímavé vlastnosti jsou studovány. Jako neznámá v této rovnici vystupuje oˇcekávaná inflace. Funkce jako rozdíl tempa r˚ustu reálné produkce a tempa r˚ustu penˇežní zásoby hrají úlohu parametru. Pokud tyto promˇenné oscilují a oscilace pˇresáhnou urˇcitou mez, pˇrechází vývoj inflace z nelineárních kmit˚u v aperiodický vývoj.



4.1

Statický model inflace

Model je postaven na principech neoklasické teorie. Je tvoˇren reálným a penˇežním sektorem. Reálný sektor obsahuje rovnici rovnováhy na komoditním trhu a rovnice, které popisují trh práce. Tyto rovnice jsou rovnice nabídky a poptávky po práci a rovnice rovnováhy na trhu práce. Další rovnicí modelu je produkˇcní funkce, která tvoˇrí spojovací cˇ lánek mezi trhem práce a komoditním trhem. Nyní uvedeme a podrobnˇe popíšeme zmínˇené rovnice. Jako první uvádíme rovnici rovnováhy na komoditním trhu. Symbolem Y oznaˇcíme reálnou produkci, symbolem r reálnou úrokovou míru a symbolem T objem daní. Dále symbolem A oznaˇcíme autonomní výdaje, které v našem abstraktním modelu zahrnují státní výdaje a cˇ istý export. Symboly C a I oznaˇcují reálnou spotˇrebu domácností a reálnou investiˇcní poptávku. Reálná spotˇreba domácností závisí na disponibilním d˚uchodu, což je rozdíl produkce a daní, tj. Y − T , a na úrokové míˇre r. Závislost reálné spotˇreby na úrokové míˇre plyne ze vztahu Y = C + S, kde S jsou reálné úspory pozitivnˇe závislé na disponibilním d˚uchodu a úrokové míˇre, tudíž i C musí záviset na tˇechto promˇenných a to tak, že s r˚ustem disponibilního d˚uchodem roste a s r˚ustem úrokové míry klesá. Reálné investice závisejí na produkci a úrokové míˇre. S r˚ustem produkce investice rostou a s r˚ustem úrokové míry klesají. Rovnice rovnováhy na komoditním trhu má tvar Y = C(Y − T, r) + I(Y, r) + A.

(4.1)

Další rovnice modelu je rovnicí rovnováhy na penˇežním trhu. Symbol M s znaˇcí nabídku penˇez a symbol P cenovou hladinu. Symbol R oznaˇcuje nominální úrokovou míru a symbol L reálnou poptávku po penˇezích závislou na nominální úrokové míˇre a reálné produkci, pˇriˇcemž s r˚ustem nominální úrokové míry klesá reálná poptávka po penˇezích a s r˚ustem produkce roste. Rovnice rovnováhy na penˇežním trhu má následující tvar: M = L(Y, R). P

(4.2)

Výraz nalevo v této rovnici znaˇcí reálnou nabídku penˇez. Reálná poptávka po penˇezích závisí, jak již bylo ˇreˇceno, na nominální úrokové míˇre. Závislost na nominální úrokové míˇre zd˚uvodníme tak, že subjekt, který požaduje peníze, se rozhoduje mezi penˇezi, jejichž reálná výnosnost je dána zápornou oˇcekávanou mírou



1600 1400 1200 1000 800

Y 600 400 200 0 0

20

40

L

60

80

100

Obrázek 4.1: Pr˚ubˇeh jednoˇcinitelové produkˇcní funkce

inflace1 a alternativním aktivem, které je zastoupeno dluhopisy, jejichž reálná výnosnost je dána reálnou úrokovou mírou. Subjekt se rozhoduje na základˇe rozdílu mezi obˇema reálnými výnosnostmi r a −π daného r − (−π) = r + π = R. Tˇretí rovnice modelu je ve své podstatˇe definiˇcní rovnicí tvaru R = r + π.

(4.3)

ˇ Ctvrtá rovnice modelu je produkˇcní funkce o jednom výrobním cˇ initeli, kde výrobním cˇ initelem je zamˇestnanost n neboli množství použité práce. Funkce je rostoucí a konkávní v promˇenné N a platí f (0) = 0. Funkce je dána vztahem Y = f (N )

(4.4)

a její pr˚ubˇeh je znázornˇen na obrázku 4.1. Nyní popíšeme slíbenou sadu tˇrí rovnic, které popisují trh práce. Symboly N d a N s znaˇcíme poptávku po práci a nabídku práce a symbolem W reálnou mzdu. První rovnice je rovnice poptávky po práci. Poptávkou po práci rozumíme požadavky podnikatel˚u na zamˇestnance. Poptávka po práci závisí na výši reálné mzdy, protože podnikatel zamˇestná dalšího pracovníka jenom v tom pˇrípadˇe, pokud pˇrír˚ustek produkce, který plyne z jeho zapojení do produkce, bude vˇetší nebo roven reálné mzdˇe. Poptávka po práci je tedy implicitní funkcí reálné mzdy, která je dána rovnicí popisující vztah mezi mezním produktem práce a reálnou 1

Pˇripomínáme, že oˇcekávanou míru inflace znaˇcíme symbolem π.



160 140 120

Y’

100 80 60 40 20 0 0

20

40

L

60

80

100

Obrázek 4.2: Pr˚ubˇeh mezního produktu práce

10 9 8 7 6

W

5 4 3 2 1 0 0

10

20

N

30

40

50

60

Obrázek 4.3: Funkˇcní závislost nabídky práce na mzdˇe

mzdou f 0 (N d ) = W. Na obrázku 4.2 je graficky znázornˇen pr˚ubˇeh mezního produktu práce f 0 a skuteˇcnost, že každé hodnotˇe reálné mzdy W odpovídá jistá hodnota poptávky po práci N d . Rovnice nabídky práce vyjadˇruje vztah mezi nabídkou práce a reálnou mzdou N s = h(W ).



Tato závislost je znázornˇena na obrázku 4.3 i s obvyklým bodem zvratu Wr , za nímž dochází s r˚ustem mezd k poklesu nabídky práce, což je zd˚uvodnˇeno tím, že pˇri r˚ustu mezd za urˇcitou hranicí subjekty nabízející práci dávají pˇrednost volnému cˇ asu. Reálnou mzdu nanášíme na kolmou osu, jak je v ekonomické teorii obvyklé. Rovnováha na trhu práce je dána rovnicí N d = N s. Obdobnˇe jako další trhy i trh práce disponuje se silami obnovujícími rovnováhu. Zde je vyrovnávacím cˇ initelem reálná mzda. Pˇrevaha nabídky práce nad poptávkou po práci vede k poklesu reálné mzdy a k r˚ustu poptávky po práci a tedy k poklesu nabídky práce (platí pouze pˇred bodem zvratu) až do okamžiku obnovy rovnováhy. Podobný závˇer je možné uˇcinit pro pˇrevahu poptávky. Pro skuteˇcnou zamˇestnanost N platí N = min[N d , N d ], což znamená, že je skuteˇcnˇe zamˇestnáno minimum z hodnot poptávky po práci a nabídky práce. Protože však pˇredpokládáme rovnováhu na trhu práce, platí rovnice N = N d = N s. Tuto rovnici rovnováhy na trhu práce využijeme k eliminaci promˇenných z rovnic poptávky po práci a nabídky práce, a tak pro popis rovnovážné situace na trhu práce vystaˇcíme pouze se dvˇema rovnicemi, a to s rovnicí poptávky po práci na rovnovážném trhu f 0 (N ) = W

(4.5)

a rovnicí nabídky práce na rovnovážném trhu práce N = h(W ).

(4.6)

Za vnˇejší neboli exogenní promˇenné modelu považujeme promˇenné T , A, M s a oˇcekávanou inflaci π. Vnitˇrními neboli endogenními promˇennými potom z˚ustávají promˇenné Y , r, R, P , N a W . Poˇcet vnitˇrních promˇenných je roven šesti a poˇcet rovnic je také šest. Pokud za exogenní promˇenné dosadíme známé hodnoty, dostaneme šest rovnic o šesti neznámých.



ˇ Rešení uvedeného modelu probíhá následujícím zp˚usobem. Rovnice (4.5) a (4.6), které tvoˇrí soustavu o dvou neznámých N a W , vyˇrešíme a dostaneme hodnoty zamˇestnanosti a reálné mzdy. Hodnotu zamˇestnanosti N dosadíme do produkˇcní funkce (4.4) a dostaneme hodnotu produktu Y . Produkci Y dosadíme do rovnice (4.1) a tuto rovnici vyˇrešíme vzhledem k promˇenné r. Veliˇcinu r dosadíme do rovnice (4.3) a dostaneme nominální úrokovou míru R. Nominální úrokovou míru spolu s finální produkcí dosadíme do rovnice (4.2). Tato rovnice má jedinou neznámou P . Vyslovený postup ˇrešení m˚uže posloužit jako hypotéza o procesu rovnováhy ve studovaném systému popsaném rovnicemi (4.1)-(4.6), který by mohl probíhat asi takto: Nejdˇríve dojde k zaujetí rovnováhy na trhu práce v rámci kterého je urˇcena zamˇestnanost a reálná mzda. Výše zamˇestnanosti urˇcí pˇres produkˇcní funkci finální produkci. Finální výroba je totožná s nabídkou na komoditním trhu a spolu s reálnou úrokovou mírou urˇcuje reálnou poptávku. Zatímco finální produkce je urˇcena zamˇestnaností, reálná úroková míra je stanovena tak, aby vyrovnala komoditní trh. Vzhledem k tomu, že podle našich pˇredpoklad˚u je oˇcekávaná míra inflace vnˇejší promˇennou, je urˇcena rovnˇež nominální úroková míra. Finální výroba spolu s nominální úrokovou mírou urˇcí reálnou poptávku po penˇezích na penˇežním trhu. Cenová hladina hraje na penˇežním trhu neoklasických model˚u roli vyrovnávacího cˇ initele, tudíž se p˚usobením tržních sil ustanoví v takové výši, aby vyrovnala reálnou nabídku penˇez s reálnou poptávkou po penˇezích. Nyní v uvažovaném systému prostudujeme procesy, které zp˚usobí inflaci. Bezprostˇrední pˇríˇcinou inflace bude r˚ust penˇežní nabídky, která podle našeho pˇredpokladu poroste stacionárním tempem µ, takže její vývoj v cˇ ase je dán rovnicí M s (t) = M s eµt .

(4.7)

Výše uvedenou rovnici spíše vyjadˇrujeme v logaritmickém tvaru ms (t) = ms + µt,



kde jsme položili ms (t) = ln M s (t) a ms = ln M s . Cenová hladina se pˇrizp˚usobí tomuto tempu v tom smyslu, že poroste stejným tempem µ. Její vývoj v cˇ ase bude tedy dán vztahem P (t) = P eµt nebo po zlogaritmování p(t) = p + µt, kde p(t) = ln P (t) a p = ln P . Za pˇredpokladu, že pˇri daných hodnotách vnˇejších promˇenných T, A, M s vnitˇrní promˇenné Y, r, R, N, W a P ˇreší náš model, potom pro každé t pˇri hodnotách vnˇejších promˇenných T, A, M s (t) ˇreší vnitˇrní promˇenné Y, r, R, W a P (t) rovnˇež náš model. Reálné ekonomické veliˇciny Y, r, N a W z˚ustávají nemˇenné, nezmˇenˇena je i nominální úroková míra R, v cˇ ase se mˇení nominální veliˇciny M s (t), P (t), a to stacionárním tempem r˚ustu, jak ukazují výše uvedené rovnice. Pˇri takových zmˇenách veliˇcin z˚ustane rovnováha modelu zachována, jak se snadno pˇresvˇedˇcíme dosazením do rovnice (4.1)-(4.6). Tento výklad velice názornˇe vysvˇetluje podstatu inflace jako cˇ istˇe penˇežního jevu. V tomto pojetí, které je typické pro neoklasickou ekonomickou teorii, je pˇríˇcinou inflace r˚ust penˇežní nabídky, na kterou reaguje cenová hladina, které se zase p˚usobením zákonitostí trhu práce pˇrizp˚usobují nominální mzdy. Pˇred studiem problematiky zmˇen temp r˚ustu penˇežní nabídky a jejich vlivu na zmˇeny cenové hladiny, nominální mzdy a nominální úrokové míry objasníme, jak oˇcekávaná inflace π závisí na tempu r˚ustu penˇežní zásoby, pokud pˇredpokládáme racionalitu chování ekonomických subjekt˚u. Ekonomický subjekt studuje chování modelu, tudíž ví, že v d˚usledku r˚ustu penˇežní nabídky stacionárním tempem µ cenová hladina poroste rovnˇež stacionárním tempem µ. To znamená, že pro jeho oˇcekávání inflace bude platit π = µ. Pˇredpokládejme nyní, že od poˇcáteˇcního okamžiku 0 penˇežní nabídka poroste stacionárním tempem r˚ustu µ0 . Co se stane v pˇrípadˇe zmˇeny mˇenové politiky centrální banky, která bude spoˇcívat v pˇrechodu stacionárního tempa r˚ustu penˇežní zásoby z hodnoty µ0 na hodnotu µ1 > µ0 ? Pˇredpokládáme, že k této zmˇenˇe dojde v okamžiku t1 > 0. Pro lepší názornost použijeme rovnici (4.7) v logaritmickém tvaru ms (t) = ms + µt.



m, p p(t) = p + µt

m(t) = m + µt

0

t

t1

Obrázek 4.4: Vývoj penˇežní nabídky v cˇ ase R @ @

0

Π0

@ @ @00 r Π @ E@ 0 r @ E @ @ r @ E @ @ Ω0 + π @ @@ @ Ω0 + π @

Y

Obrázek 4.5: D˚usledek zmˇeny tempa r˚ustu penˇežní nabídky na komoditním a penˇežním trhu Protože se v okamžiku t1 mˇení µ0 na µ1 , dostaneme po cˇ ástech lineární závislost, která má v intervalu [0, t1 ] tvar ms (t) = ms + µ0 t a pro t1 ≥ t tvar ms (t) = ms (t1 ) + µ1 (t − t1 ). Grafické znázornˇení vývoje penˇežní nabídky najdeme na obrázku 4.4. Na kolmou osu nanášíme logaritmus penˇežní zásoby a na vodorovnou cˇ as. Na grafu po cˇ ástech lineární závislosti penˇežní nabídky na cˇ ase zˇretelnˇe vidíme okamžik pˇrepnutí a to, že v nˇem nastává strmˇejší r˚ust penˇežní nabídky. Vzhledem k tomu, že tempo r˚ustu nabídky penˇez urˇcuje oˇcekávání inflace, dojde v okamžiku t1 ke zmˇenˇe oˇcekávání inflace z π0 = µ0 na π1 = µ1 . Jelikož podle pˇredpok-



ladu je µ1 > µ0 , musí být π1 > π0 . V okamžiku t1 též dojde ke zvýšení nominální úrokové míry z hodnoty R0 = r + π0 na hodnotu R1 = r + π1 . Tento skok v nominální úrokové míˇre vyvolá pokles reálné poptávky po penˇezích, což znamená narušení rovnováhy na penˇežním trhu, která je vyjádˇrena rovnicí (4.2). Rovnováha na penˇežním trhu je obnovena tak, že vzroste cenová hladina ˇreknˇeme na P ∗ , což vyvolá pokles reálné nabídky penˇez na úroveˇn reálné poptávky. Reálné veliˇciny se nemˇení, jak plyne ze soustavy (4.1)-(4.6). To, jak se zmˇena tempa r˚ustu penˇežní zásoby z µ0 na µ1 v cˇ ase t1 odrazí ve vývoji cenové hladiny, najdeme na obrázku 4.5. Obrázek obsahuje kˇrivku IS a LM . Obˇe kˇrivky jsou zadány explicitnˇe. Explicitní zadání kˇrivky IS dostaneme tak, že z rovnice (4.1) vypoˇcítáme r jako funkci Y r = Ω(Y ). K obˇema stranám rovnice pˇriˇcteme oˇcekávanou míru inflace a dostaneme R = Ω(Y ) + π. Úroková míra R je klesající funkcí produkce, jak se snadno pˇresvˇedˇcíme z rovnice (4.1), která tuto funkci pˇri ostatních veliˇcinách nemˇenných zadává implicitnˇe. Zvýšíme-li Y , musíme snížit R, aby rovnice z˚ustala v platnosti. Platí to ovšem jen za pˇredpokladu, pokud C neroste tak rychle jako Y , tedy pokud reálné úspory S = Y − C rostou s r˚ustem Y , což je reálný ekonomický pˇredpoklad. Explicitní zadání kˇrivky LM dostaneme tak, že z rovnice (4.2) vypoˇcteme R jako funkci Y , kterou vyjádˇríme následujícím vztahem Ms R = Π Y, P

.

Grafy obou zmínˇených funkcí oznaˇcené symboly Ω + π a Π vidíme na obrázku 4.5. V pr˚useˇcíku obou kˇrivek se nalézá bod rovnováhy, který jsme oznaˇcili symbolem E. Zvýšení oˇcekávání inflace v cˇ ase t1 z π0 na π1 se na obrázku projeví posunem pˇrímky Ω + π0 do polohy Ω + π1 . Bod rovnováhy E se však nepˇresune do bodu E 0 , kde je nový pr˚useˇcík s posunutou pˇrímkou, protože by došlo k narušení rovnováhy na trhu práce, jejímž je hodnota produkce Y d˚usledkem.



m, p p(t) = p + µt

m(t) = m + µt

0

t1

t

Obrázek 4.6: Pomalé pˇrizp˚usobení cen pˇri zmˇenˇe tempa r˚ustu penˇežní zásoby Nový stav systému se tedy ustanoví v bodˇe E 00 , což je sice stav rovnováhy na trhu komoditním, ale nikoli na penˇežním. Na penˇežním trhu však existuje vyrovnávací cˇ initel a tím je cenová hladina. Její r˚ust vyvolá zmenšení veliˇciny M s /P . Zmenšení této veliˇciny vyvolá posun pˇrímky znaˇcené Π nahoru, protože pokud snížíme hodnotu M s /P , musí dané hodnotˇe y odpovídat vyšší hodnoty R. Pˇrímka Π se posune až do cˇ árkované pozice Π0 , kde pr˚useˇcíkem obou kˇrivek je bod E 00 , kterému odpovídá hodnota R zvýšená o pˇrír˚ustek oˇcekávané inflace a rovnovážná hodnota Y . Roste-li nabídka penˇez v cˇ asovém intervalu [0, t1 ] tempem r˚ustu µ0 a v okamžiku t1 se toto tempo zvýší na µ1 , jak ukazuje po cˇ ástech lineární cˇ ára ms na obrázku 4.4, roste cenová hladina v intervalu [0, t1 ] podle vztahu p(t) = p + µ0 t a pro t ≥ t1 podle vztahu p(t) = p∗ + µ(t − t1 ), kde p∗ = P ∗ . Graf cˇ asového vývoje logaritmu cenové hladiny najdeme na obrázku 4.4. Na tomto obrázku pˇredpokládáme okamžité pˇrizp˚usobení cen rovnováze. Na obrázku 4.6 je tento pˇredpoklad uvolnˇen, ceny se pˇrizp˚usobují pomalu, jak ukazuje silnˇe vytažená cˇ ára od okamžiku t1 , na které je vidˇet, že existují cˇ asová období, kdy míra inflace je vˇetší nejen než µ0 , ale dokonce i než µ1 . Není tˇežké ukázat, že pokles tempa r˚ustu penˇežní nabídky v daném cˇ asovém okamžiku vede k náhlému poklesu cenové hladiny.



4.2

Nespojitá dynamika inflace

Nejdˇríve se budeme zabývat velmi jednoduchým modelem inflace postaveným na principech reakce cenové hladiny na nerovnováhu mezi skuteˇcnou a pˇrirozenou finální produkcí a reakce finální produkce na nerovnováhu mezi tempem r˚ustu penˇežní zásoby, které v rámci modelu považujeme za konstantní, a mírou inflace. Reakci cenové hladiny popisuje rovnice ∆ρt = β(yt − y ∗ ),

(4.8)

kde ρ je pozorovaná (nikoli oˇcekávaná) míra inflace a β > 0. Symbolem yt oznaˇcujeme logaritmus skuteˇcné finální produkce a symbolem y ∗ logaritmus pˇrirozené finální produkce. Uvedená rovnice ˇríká, že pokud je skuteˇcná produkce vyšší než pˇrirozená, vede to k pˇreˇcerpání zdroj˚u a urychlení inflace, tj. ∆ρ > 0. Pokud je tomu naopak, existují pˇrebyteˇcné zdroje, což zpomaluje inflaci ∆ρ < 0. Druhá rovnice modelu popisuje reakci hrubého domácího produktu na diferenci mezi tempem r˚ustu penˇežní nabídky a pozorované míry inflace. Tato rovnice má tvar ∆yt = µ − ρt .

(4.9)

Snadno vysvˇetlíme, že rovnice (4.9) vznikla z rovnice popisující rovnováhu na penˇežním trhu Mts V = Yt Pt za podmínky konstantní rychlosti obˇehu penˇežního V . Výše uvedenou rovnici logaritmujeme a dostaneme mst + v = yt + pt , kde logaritmy daných veliˇcin jsme nahradili malými písmeny. Napíšeme-li tuto rovnici v diferencích, dostaneme ∆mst = ∆yt + ∆pt = ∆yt + ρ.

(4.10)

Tuto rovnici dále upravíme z ohledem na pˇredpoklad stacionárního r˚ustu penˇežní zásoby Mts tempem µ. Tento pˇredpoklad je ekvivalentní se vztahem Mts = M s (1 + µ)t ,



0.3

0.2

ρ 0.1

0

4.6

4.8

5

y

5.2

5.4

5.6

Obrázek 4.7: Fázový portrét nespojitého dynamického modelu inflace

kde M0s je hodnota penˇežní nabídky v poˇcáteˇcním období. Po zlogaritmování pˇrejde tento vztah ve vztah mst = ms0 + t ln(1 + µ), což po provedení diferencí dá ∆mst = ln(1 + µ) ≈ µ.

Zpˇetným dosazením do rovnice (4.10) a úpravou dostaneme rovnici (4.9). Tato rovnice tedy není nic jiného než upravená a našim požadavk˚um pˇrizp˚usobená rovnice rovnováhy penˇežního trhu. Je pˇretvoˇrena do takového tvaru, aby bylo názornˇe ukázáno, jak rozdíl míry inflace a tempa r˚ustu penˇežní zásoby je vysvˇetlen r˚ustem domácího produktu. Rovnovážný stav systému popsaného rovnicemi (4.8) a (4.9) je dán vztahy y¯ = y ∗ a ρ¯ = µ. Pˇri jejich platnosti domácí produkt neroste ani neklesá a míra inflace z˚ustává konstantní, rovná stacionárnímu tempu r˚ustu penˇežní zásoby. Rozbor stability systému provedeme následujícím zp˚usobem. V rovnici (4.8) položíme ∆ρt = ρt − ρt−1 a tak dostaneme ρt − ρt−1 = β(yt − y ∗ ).



Tuto rovnici napíšeme pro pˇredcházející období f ρt−1 − ρt−2 = β(yt−1 − y ∗ ).

Obˇe rovnice odeˇcteme, což povede k výsledku ρt − 2ρt−1 + ρt − 2 = β(yt − yt−1 ) = β(µ − ρt ). Po úpravˇe dospˇejeme k následující rovnici vývoje systému (1 + β)ρt − 2ρt−1 + ρt−2 = βµ. Pro rovnovážný stav systému rovnice pˇrejde ve tvar (1 + β)¯ ρ − 2¯ ρ + ρ¯ = βµ. Odeˇctením rovnic dostaneme rovnici ve fluktuacích xt (1 + β)xt − 2xt−1 + xt−2 = 0, kde xt = ρt − ρ¯. Tuto rovnici dále upravíme vydˇelením výrazem 1 + β a dostaneme rovnici xt − 2

1 1 xt−1 + xt−2 = 0. 1+β 1+β

K této rovnici je charakteristickou rovnicí λ2 − 2

1 1 λ+ = 0. 1+β 1+β

Pro diskriminant D charakteristické rovnice platí D=

4 4 − < 0. 2 (1 + β) 1+β

Skuteˇcnost, že D < 0 znamená oscilace veliˇcin ρ a y. Protože absolutní cˇ len charakteristické rovnice 1 < 1, 1+β



veliˇciny ρ a y oscilují tlumenými oscilacemi. Obrázek 4.7 ukazuje fázový portrét systému pˇri β = 0, 2, µ = 0, 04 a y ∗ = 5 a poˇcáteˇcních podmínkách y0 = 5, 5, ρ == 0, 05. Stabilita systému je patrná ze spirálovitého tvaru fázové trajektorie, která míˇrí k bodu rovnováhy. Nyní pˇrejdeme ke Caganovu dynamickému modelu inflace. Nejdˇríve objasníme teoretická východiska tohoto dynamického modelu, potom pˇrejdeme k analýze stability a nakonec se zmíníme o Caganových empirických odhadech rovnic v nejzajímavˇejších pˇrípadových studiích inflace. Základní východisko konstrukce Caganova modelu inflace je rovnice rovnováhy na penˇežním trhu. Budeme ji psát v obvyklém tvaru Mts = K0 Ytk1 (1 + Rt )−k2 , Pt kde Yt znaˇcí hodnotu reálného hrubého domácího produktu, což je výjimka z naší dohody, že ve vˇetšinˇe pˇrípad˚u velká písmena znaˇcí nominální veliˇciny. Zlogaritmujeme-li výše uvedenou rovnici a položíme-li ln Mts = mst ,

ln Pt = pt ,

ln K0 = k0 ,

ln(1 + Rt ) ≈ Rt = rt + πt ,

dostaneme mst − pt = k0 + k1 yt − k2 rt − k2 πt . Jestliže reálný hrubý domácí produkt a reálná úroková míra je konstantní, pˇrejde pˇredešlá rovnice v rovnici mst − pt = γ − απt ,

(4.11)

kde jsme položili k0 + k1 yt − k2 rt = γ,

k2 = α.

Další rovnicí Caganova modelu inflace je rovnice adaptivního oˇcekávání inflace πt = πt−1 + β(∆pt − πt−1 ), β > 0,

(4.12)

kde symbolem πt znaˇcíme oˇcekávání inflace v cˇ ase t pro cˇ as t + 1, tj. πt = pet+1 − pt . Symbol pet+1 znaˇcí oˇcekávanou cenovou hladinu.



Jak ukazuje pˇredešlá rovnice, adaptivní oˇcekávání pro cˇ as t + 1 se vytváˇrí tak, že se vezme oˇcekávání πt a to se opraví chybou vyjádˇrenou rozdílem mezi oˇcekáváním inflace pro období t a skuteˇcné inflace z tohoto období. Rovnici adaptivního oˇcekávání inflace upravíme na tvar πt = (1 − β)πt−1 + β∆pt .

(4.13)

Rovnici (4.11) zpozdíme o jedno období a po úpravˇe dostaneme −απt−1 = mst−1 − pt−1 − γ. Rovnici (4.13) vynásobíme −α a po dosazení z výše uvedené rovnice máme −απt = (1 − β)(mst−1 − pt−1 − γ) − αβ∆pt .

Použijeme opˇet rovnici (4.11), ze které vypoˇcteme −απt , dosadíme do výše uvedené rovnice a po úpravˇe dostaneme mst − pt = βγ + (1 − β)(mst−1 − pt−1 ) − αβ(pt − pt−1 ).

(4.14)

Provedeme úpravu výše uvedené rovnice tak, aby veliˇcina pt byla na levé stranˇe, cˇ ímž dostaneme

mst − mst−1 + βmst−1 − βγ 1 − β − αβ + pt−1 . pt = 1 − αβ 1 − αβ

(4.15)

Pˇredpokládejme nyní, že od urˇcitého okamžiku bude mˇenová politika centrální banky stabilizovaná, tedy penˇežní nabídka bude konstantní, oznaˇcíme ji ms a tak výše uvedená rovnice pˇrejde v rovnici pt =

βms − βγ 1 − β − αβ + pt−1 . 1 − αβ 1 − αβ

Tato rovnice bude mít ve stavu rovnováhy, který oznaˇcíme p¯, tvar p¯ =

βγ + βms 1 − β − αβ + p¯. 1 − αβ 1 − αβ



Po odeˇctení obou pˇredešlých rovnic dostaneme rovnici ve fluktuacích, které znaˇcíme xt = pt − p¯. xt =

1 − β − αβ xt−1 , 1 − αβ

kterou nepatrnˇe upravíme a dostaneme xt = 1 −

β 1 − αβ

xt−1 .

Z rovnice pro dynamiku fluktuací odvodíme podmínky stability systému. Za pˇredpokladu, že známe hodnotu poˇcáteˇcního stavu systému p0 , vypoˇcteme i hodnotu poˇcáteˇcní fluktuace x0 = p0 − p¯. Na výše uvedenou rovnici použijeme rekurentní postup a dostaneme xt = 1 −

β 1 − αβ

t x0 .

Podmínka pro asymptotickou stabilitu je z výše uvedené rovnice zˇrejmá. Platí 1 − β < 1. 1 − αβ Protože z ekonomických d˚uvod˚u je nutnˇe α, β > 0, bude výše uvedená podmínka ekvivalentní s podmínkou β<

1 2

1 . +α

Phillip Cagan ve své práci o hyperinflaci použil výše uvedeného modelu k ekonometrickým experiment˚um s hyperinflaˇcním vývojem v nˇekolika evropských zemích, z nichž v nˇekterých inflace probˇehla dvakrát. Pˇrehled o tˇechto zemích, obdobích, kdy v nich probíhala inflace a pr˚umˇerné mˇesíˇcní míˇre inflace udává následující tabulka 4.1 Pro každou z výše uvedených zemí a každé období hyperinflace byly provedeny odhady pro rovnici (4.14) standardní metodou nejmenších cˇ tverc˚u. Pˇrehled odhadnutých parametr˚u pro každou zemi a období udává následující tabulka 4.2. Z výše uvedené tabulky jsou patrné následující závˇery. Inflace je stabilní ve všech pˇrípadech vyjma Nˇemecka a Ruska. Ani v jednom pˇrípadˇe se nejedná o oscilace, stabilní pˇrípady jsou zároveˇn monotónnˇe asymptoticky stabilní. Benett T. McCallum ve své knize (McCallum, B. T., 1989) kritizuje postup Phillipa Cagana pˇri odhadu rovnice (4.14). Ve své kritice zd˚urazˇnuje, že promˇenná mst je pokládána za



Tabulka 4.1: Historie hyperinflace ve svˇetˇe Zemˇe Rakousko Nˇemecko ˇ Recko Mad’arsko (1) Mad’arsko (2) Polsko Rusko

Období X 1921-VIII 1922 VIII 1922-XI 1923 XI 1943-XI 1944 III 1923-II 1924 VIII 1945-VII 1946 I 1923-I 1924 XII 1921-I 1924

Mˇesíˇcní míra inflace 47,1 322,0 365,0 46,0 19800,0 81,1 57,0

Pˇrevzato Cagan, P., 1956

Tabulka 4.2: Vypoˇctené parametry pro výše uvedené zemˇe Pˇrípad Rakousko Nˇemecko ˇ Recko Mad’arsko (1) Mad’arsko (2) Polsko Rusko

α

β

8.55 5.46 4.09 8.70 3.63 2.30 3.06

0.05 0.20 0.15 0.10 0.15 0.30 0.35

β 1 − αβ 0.928 3.170 0.611 0.230 0.670 0.032 5.920

1−

Pˇrevzato Cagan, P., 1956

exogenní promˇennou a pt za endogenní, potom ovšem ∆pt nem˚uže být exogenní promˇenná a tedy nem˚uže být na levé stranˇe odhadované rovnice. Z tohoto a ještˇe dalších d˚uvod˚u, které nezmiˇnujeme pro jejich cˇ istˇe ekonometrickou podstatu, nemohou být numerické výsledky odhadu spolehlivé. Tolik McCallum. Jinak Cagan˚uv model vˇcetnˇe jeho aplikace na hyperinflaci ve vybraných zajímavých pˇrípadech pˇredstavuje práci pr˚ukopnickou a ve všech ohledech pˇrínosnou v oblasti studia inflace.

4.3

Spojitý dynamický nelineární pˇrístup

V této cˇ ásti kapitoly se zabýváme modelem, který je v jistém smyslu spojitou analogií Caganova modelu. Tento model analyzuje inflaci a ukazuje, jak závažnˇe m˚uže pohyb exogenních veliˇcin, totiž penˇežní nabídky a reálného domácího produktu, ovlivnit pr˚ubˇeh inflace.



0.5

0.4

0.3

θ 0.2

0.1

0 −4

−2

0

2

π

4

6

8

Obrázek 4.8: Pr˚ubˇeh funkce θ.

Studovaný model obsahuje dvˇe rovnice, které popisují dynamiku penˇežního trhu a dynamiku adaptivního oˇcekávání inflace. První rovnice je rovnicí popisující dynamiku penˇežního trhu. Tato rovnice zobrazuje p˚usobení pˇrímého (Marshallova) pˇrizp˚usobovacího mechanismu, který je dobˇre znám ze základních ekonomických studií. p(t) ˙ = α[ms (t) − md (t)],

(4.16)

kde p(t) je logaritmus cenové hladiny v okamžiku t. Symbol ms (t) oznaˇcuje logaritmus nabídky penˇez, kterou považujeme za vnˇejší promˇennou. Veliˇcina md (t), která je logaritmem poptávky po penˇezích, je považována za vnitˇrní promˇennou. Rovnice (4.16) popisuje reakci cenové hladiny na nerovnováhu na penˇežním trhu. Je-li na penˇežním trhu rovnováha, cenová hladina, pˇresnˇeji ˇreˇceno její logaritmus, se nemˇení. Pˇrevaha nabídky penˇez nad poptávkou po penˇezích vede k r˚ustu cenové hladiny, zatímco pˇrevaha poptávky vede k poklesu cenové hladiny. U veliˇciny poptávky po penˇezích se musíme na okamžik zastavit, abychom definovali její vztah k cenám, a k hrubému domácímu produktu. Vyjdeme ze známé Fisherovy rovnice poptávky po penˇezích, tvaru M d (t) =

1 P (t)Y (t), V (π(t))



kde M d je poptávka po penˇezích, V rychlost obˇehu penˇežního, P je cenová hladina a Y reálný hrubý domácí produkt. Rychlost obˇehu penˇežního V , jak m˚užeme vidˇet ve výše uvedené rovnici, závisí na oˇcekávané inflaci. Ekonomická zkušenost nás vede k tomu, abychom pokládali rychlost obˇehu penˇežního za rostoucí funkci oˇcekávané inflace, která je definována pro hodnoty inflace z intervalu (−∞, ∞). Tuto funkci promˇenné π oznaˇcenou jako V budeme psát ve tvaru V (θ(π)) = K1 eθ(π) , kde θ bude logistická funkce2 tvaru θ(π) =

ln K2 − ln K1 , 1 + be−aπ

kde K2 > K1 > 0 a a, b jsou konstanty. Snadno zjistíme, že lim θ(π) = 0,

π→−∞

lim θ(π) = ln K2 − ln K1 .

π→∞

Pr˚ubˇeh funkce θ je ukázán na obrázku 4.8. Z výše uvedených podmínek pro limity funkce θ a z tvaru funkce V plyne, že lim V (π) = K1 ,

lim V (π) = K2 .

π→−∞

π→∞

Výše uvedené rovnice odpovídají ekonomickým zákonitostem, které p˚usobí tak, že pˇri vysoké inflaci je poptávka po penˇezích relativnˇe malá, protože ekonomické subjekty oˇcekávají znehodnocení penˇez, a tedy rychlost obˇehu penˇežního je relativnˇe vysoká, ˇreknˇeme K2 . Pˇri velmi malých hodnotách inflace (tj. π → −∞) je poptávka po penˇezích relativnˇe vysoká, tedy rychlost obˇehu penˇežního malá, ˇreknˇeme K1 . Na základˇe pˇredešlého výkladu píšeme rovnici poptávky po penˇezích ve tvaru Mtd =

1 K1

eθ(π(t))

P t Yt .

2

O jedné logistické funkci jsme se zmiˇnovali v kapitole šesté, kdy se jednalo o investiˇcní funkci v modelu IS-LM.



Jestliže tuto rovnici logaritmujeme a položíme ln M d (t) = md (t),

ln K1 = k1 ,

lnP (t) = p(t),

ln Y (t) = y(t),

dostaneme md (t) = p(t) + yt − k1 − θ(π(t)).

(4.17)

Dosadíme-li z výše uvedené rovnice, do rovnice (4.16), dostaneme p(t) ˙ = α[ms (t) − p(t) − y(t) + k1 + θ(π(t))].

(4.18)

Další rovnice modelu je vztah, který popisuje spojité adaptivní oˇcekávání inflace. π˙ = β[p(t) ˙ − π(t)].

(4.19)

Výše uvedená rovnice vyjadˇruje skuteˇcnost, že pokud je skuteˇcná míra inflace vˇetší než její oˇcekávání, potom oˇcekávání inflace pro nekoneˇcnˇe blízký okamžik se zvyšuje. Rovnici zpravidla upravujeme tak, že za p(t) ˙ dosadíme z rovnice (4.18) a dostaneme π˙ = β[α(ms (t) − p(t) − y(t) + k1 + θ(π(t))) − π(t)].

(4.20)

Spojitý dynamický model inflace je popsán rovnicemi (4.18) a (4.20). Tato soustava dvou diferenciálních rovnic pro p a π je neautonomní soustavou, protože obsahuje funkce y a ms , které pokládáme za vnˇejší promˇenné. Spojitý dynamický model inflace pˇrináší ˇradu zajímavých poznatk˚u. Pokud napˇríklad centrální banka ˇrídí penˇežní nabídku tak, že rozdíl jejího logaritmu a logaritmu hrubého reálného domácího produktu je konstantní, dostaneme místo rovnice (4.18) rovnici π˙ = β[α(κ − p(t) + θ(π(t))) − π(t)],

(4.21)

kde κ = ms (t) − y(t) − k1 . Pˇredpoklad o nemˇennosti rozdílu logaritm˚u zachycuje pˇrípad, kdy centrální banka dokonale pˇrizp˚usobuje tempo r˚ustu penˇežní zásoby tempu r˚ustu reálného hrubého domácího produktu. Za pˇredpokladu konstantní rychlosti penˇežního obˇehu by to znamenalo nemˇennost cen. U spojitého dynamického modelu pˇredpokládáme rychlost obˇehu penˇežního závislou na



15

4

p π

3

10

2

π

5

1 0 −1

0

−2 −5 0

20

40

t

60

80

0

100

4

p

8

12

Obrázek 4.9: Oˇcekávaná inflace a pr˚ubˇeh logaritmu cen ve spojitém modelu inflace oˇcekávání inflace, takže se m˚uže stát, jak ukazuje následující pˇríklad, že i když je pohyb penˇežní nabídky dokonale pˇrizp˚usoben pohybu reálného hrubého domácího produktu, pohyb cen je nelineárnˇe periodický. *** Pˇríklad 1: Pˇredpokládejme ekonomiku, kde inflace je popsána rovnicemi (4.17) a (4.20), kde α = 1.6, β = 0.7. Parametry funkce θ jsou dány pˇredpisy a = 1, b = 1 a konstanty K1 = 1 K2 = e1 2 a κ = 0.6. Na obrázku 4.9 nákresu (a) sledujeme nelineární oscilace oˇcekávané a skuteˇcné inflace. Na nákresu (b) je fázový portrét soustavy, který ukazuje limitní cyklus, ke kterému se blíží trajektorie soustavy vycházející z poˇcáteˇcního bodu P = [4, 5, 3, 5]. Kˇrivky na tomto nákresu jsou kˇrivkami dílˇcí rovnováhy systému a jsou popsány rovnicemi p˙ = 0 a π˙ = 0. *** Model inflace daný rovnicemi (4.18), a (4.20) vyjádˇríme jako jednorovnicový model tak, že rovnici (4.20) zderivujeme, obdržíme rovnici π ¨ = β[α(m ˙ s (t) − p(t) ˙ − y(t) ˙ + θ0 (π(t))π) ˙ − π(t)], ˙ do které dosadíme za p(t) ˙ z rovnice (4.18) a tak dostaneme 1 1 1 0 π ¨+ + − θ (π) π˙ + π = m ˙ s − y. ˙ αβ α β

(4.22)



Pˇrejdeme k rozboru pravé strany rovnice. Pˇredpokládejme periodicky oscilující tempo r˚ustu hrubého domácího produktu. Tento pˇredpoklad je samozˇrejmˇe velmi hrubou aproximací skuteˇcnosti, kdy tempo r˚ustu osciluje, perioda v tˇechto oscilacích je však obtížnˇe identifikovatelná, pˇrípadnˇe neidentifikovatelná. Teoreticky pˇredpokládaný vývoj tempa r˚ustu hrubého domácího produktu bude vystižen funkcí y(t) ˙ = ρ1 cos ωt. Pˇredpokládejme, že centrální banka ˇrídí penˇežní nabídku tak, že pro její tempo platí m(t) ˙ = ρ2 cos ωt. To znamená, že banka pˇri ˇrízení penˇežní zásoby kopíruje pˇresnˇe vývoj reálného hrubého domácího produktu co do kmitoˇctu ω, nikoli co do amplitudy, která u produkce je ρ1 , zatímco penˇežní zásoby je ρ2 , která je obecnˇe r˚uzná od ρ1 . Za tˇechto pˇredpoklad˚u platí m ˙ s (t) − y(t) ˙ = = (ρ1 − ρ2 ) cos ωt = ρ cos ωt, kde ρ = ρ2 − ρ1 a tak pro rovnici (4.22) platí 1 1 1 0 π ¨+ + − θ (π) π˙ + π = ρ cos ωt. αβ α β Nejdˇríve pˇredpokládejme, že ρ = 0. Z ekonomického hlediska je to pˇrípad, kdy se centrální bance podaˇrí dokonale uvést do souladu vývoj penˇežní nabídky s vývojem reálného hrubého domácího produktu i co do amplitudy, tedy ρ1 = ρ2 , což znamená, že ρ = 0. Výše uvedená rovnice pˇrejde ve tvar 1 1 1 0 π ¨+ + − θ (π) π˙ + π = 0. αβ α β Tato rovnice je autonomní rovnicí a jejím ˇrešením, jak ukážeme na pˇríkladˇe, mohou být trvalé periodické oscilace. Proto hovoˇríme o tzv. nenuceném oscilátoru. Z ekonomického hlediska se o nenucený oscilátor jedná pouze pˇri dokonalém vyladˇení nabídky penˇez s vývojem reálného hrubého domácího produktu. Pokud se to nepodaˇrí a dojde napˇríklad k tomu, že amplitudy se liší, potom ρ 6= 0. V takovém pˇrípadˇe je rovnice neautonomní. Jejím ˇrešením mohou být trvalé periodické oscilace, ovšem pro dostateˇcnˇe veliké |ρ| m˚uže dojít ke ztrátˇe periodiˇcnosti a aperiodického vývoje oˇcekávané inflace, jak ukazuje následující pˇríklad. *** Pˇríklad 2: Pˇredpokládejme, že volba parametr˚u z˚ustane stejná jako u Pˇríkladu 1. Na nákresu (a) v obrázku 4.10 najdeme vývoj oˇcekávané inflace pro ρ = 0, na nákresu (b) pro ρ = 0, 5



6

1

4

0

2

(b)

−1

π

π 0

−2

−2

−3

0

20

40

t

60

80

0

20

t

60

80

(c)

10

5

π 0

0

20

t

60

80

Obrázek 4.10: Vývoj oˇcekávané inflace v modelu nuceného oscilátoru a na nákresu (c) vývoj oˇcekávané inflace pro ρ = 10. Nákres (a) a (b) obsahuje pˇrípad nelineárních periodických oscilací, nákres (c) pˇrípad chaotického vývoje. *** Spojité dynamické nelineární modely inflace pˇredstavují spíše kvalitativní analýzu inflace. Pokud usilujeme o predikci inflace, potom spíše užíváme nespojitých model˚u. U spojité dynamiky inflace lze vysledovat spíše pokus o vysvˇetlení, že i v pˇrípadˇe, kdy pˇri ˇrízení penˇežní nabídky centrální banka dokonale sleduje vývoj hrubého reálného d˚uchodu, dochází k periodickému vývoji inflaˇcních oˇcekávání a tedy i k periodickému vývoji skuteˇcné inflace, který vypoˇcteme z rovnice (4.19). Z pohledu teorie spojitých nelineárních dynamických systém˚u není tedy inflace cˇ istˇe penˇežním jevem. Disproporce v ˇrízení penˇežní nabídky pouze pr˚ubˇeh inflace komplikují v tom smyslu, že pr˚ubˇeh inflace m˚uže ztratit periodicitu a pˇrejít v aperiodický vývoj, který se obtížnˇe pˇredpovídá.



Caganuv ˚ model s racionálním oˇcekáváním Na závˇer této kapitoly vyložíme ještˇe jeden tentokrát lineární spojitý model inflace, který souvisí s Caganovým modelem vyloženým v pˇredchozí cˇ ásti. Tento model se bude lišit od Caganova nespojitého modelu tím, že se bude jednat o spojitý pˇrístup k inflaci a místo adaptivního oˇcekávání inflace použijeme racionálního oˇcekávání. Ostatní principy, jak uvidíme, z˚ustávají obdobné a proto budeme hovoˇrit o spojitém Caganovˇe modelu inflace s racionálním oˇcekáváním. Oˇcekávaná anualizovaná míra inflace je πh (τ ) =

p(τ + h) − p(τ ) . h

Jestliže h → 0, potom πh → p(τ ˙ ), tedy okamžité oˇcekávání inflace je p(τ ˙ ). Model vychází z Fischerovi rovnice, kterou chápeme jako rovnici rovnováhy na penˇežním trhu M (τ )V (τ ) = P (τ )Y (τ )

(4.23)

kde M (τ ) je penˇežní zásoba, o které pˇredpokládáme, že je urˇcena centrální bankou, P (τ ) je cenová hladina a Y (τ ) je reálná produkce, o které pˇredpokládáme, že je konstantní. Nebude na úkor obecnosti našich úvah, když ji položíme rovnou jedné. V (τ ) je rychlost obˇehu penˇežního, která závisí na oˇcekávané inflaci. Pokud oˇcekávaná inflace je nulová, potom rychlost obˇehu penˇežního je rovná jedné. Tento pˇredpoklad není na úkor obecnosti našich úvah. Závislost V (τ ) na oˇcekávané inflaci pˇredpokládáme exponenciální, což je dáno vztahem V (τ ) = eαπ(τ ) . Jestliže navíc pˇredpokládáme oˇcekávání v nekoneˇcnˇe blízkém cˇ asovém okamžiku, je π(τ ) = p(τ ˙ ). Za výše uvedených pˇredpoklad˚u má logaritmovaná rovnice (4.23) tvar: m(τ ) = p(τ ) − αp(τ ˙ ),

(4.24)

kde m je logaritmus penˇežní zásoby, p je logaritmus cenové hladiny. Poˇcáteˇcní podmínka požaduje, aby ˇrešení výše uvedené rovnice v okamžiku, ˇreknˇeme θ, mˇelo hodnotu p(θ) = pθ . Zkrácená diferenciální rovnice k rovnici (4.24) má tvar



0 = p(τ ) − αp(τ ˙ ). Obecné ˇrešení zkrácené diferenciální rovnice je dáno τ

p(τ ) = Ce α ˇ Rešení rovnice (4.24) (použili jsme tzv. metodu variace konstanty) pro libovolné t < θ je: 1 p(t) = α

Z

θ

m(τ )e(t−τ )/α dτ + p(θ)e(t−τ )/α .

(4.25)

t

Jestliže od koneˇcného okamžiku θ z˚ustane penˇežní zásoba nemˇenná, projeví se to v nulovém oˇcekávání inflace a podle rovnice (4.24) nutnˇe bude m(τ ) = p(τ ) pro τ > θ a tedy i m(θ) = p(θ) a tak rovnice (4.25) pˇrejde v následující rovnici 1 p(t) = α

Z

θ

m(τ )e(t−τ )/α dτ + m(θ)e(t−τ )/α .

(4.26)

t

Za pˇredpokladu nekoneˇcného cˇ asového horizontu (θ → ∞) máme Z 1 θ p(t) = m(τ )e(t−τ )/α dτ α t Necht’ v intervalu [0, θ) je penˇežní zásoba konstantní a rovna m0 , v intervalu [θ, ∞) je opˇet konstantní a rovna mθ a mθ 6= m0 . Potom rovnice (4.26) pˇrejde ve tvar p(t) = m0 + (mθ − m0 )e(t−θ)/α Pomocí výše uvedené rovnice analyzujeme tˇri pˇrípady: 1. Neoˇcekávané oznámení budoucího zvýšení penˇežní zásoby: V cˇ ase t1 centrální banka oznamuje, že cˇ ase t2 zvýší penˇežní zásobu z p˚uvodní hodnoty m0 na m2 . To znamená, že v intervalu [t1 , t2 ) se cenová hladina bude pohybovat podle rovnice p(t) = m0 + (mθ − m0 )e(t−θ)/α , podmínkou p(θ) = mθ . V intervalu [t2 , ∞) bude platit p(t) = m2 . Vývoj cen na obrázku 4.3 je nakreslen pˇrerušovanou cˇ arou vedle penˇežní zásoby. Tento nákres na obrázku 4.3 je schematický. Ve skuteˇcnosti by pˇrerušovaný graf mˇel ležet o nˇeco níže, aby se vodorovné pˇrerušované cˇ áry kryly s vodorovnými plnými cˇ arami. 2. Neoˇcekávané doˇcasné zvýšení penˇežní zásoby: Doˇcasné zvýšení penˇežní zásoby vyhlašuje centrální banka v cˇ ase t1 s tím, že potrvá do cˇ asu



Obrázek 4.11: Reakce cenové hladiny na neoˇcekávané oznámení budoucího zvýšení penˇežní zásoby t2 , kdy se vrátí na p˚uvodní hodnotu. P˚uvodní hodnota penˇežní zásoby bude oznaˇcena m0 . Nová výše penˇežní zásoby vyhlášená neoˇcekávanˇe v cˇ ase t1 bude znaˇcena m1 . V cˇ ase t2 se penˇežní zásoba vrátí na p˚uvodní hodnotu, takže koncová podmínka pro výši cen v cˇ ase t2 bude p(t2 ) = m0 . Na obrázku 4.3 je patrné, jak po oznámení doˇcasného zvýšení nastává

Obrázek 4.12: Reakce cenové hladiny na neoˇcekávané doˇcasné zvýšení penˇežní zásoby cenový skok tak vysoký, aby se ceny pˇresnˇe navrátily do p˚uvodního stavu pˇred zvýšením. 3. Neoˇcekávané zvýšení penˇežní zásoby: Když se penˇežní zásoba neoˇcekávanˇe zvýší na novou úroveˇn m1 , nenastane pˇrechodové období jako v pˇredchozích pˇrípadech. V okamžiku t1 nastane pouze cenový skok.



Obrázek 4.13: Reakce cenové hladiny na neoˇcekávané zvýšení penˇežní zásoby



5

Neoklasické modely celkové dynamické rovnováhy

Neoklasické modely jsou z našeho hlediska vstupními modely do problematiky, na kterých se budeme uˇcit základní postupy teorie celkové stochastické dynamické rovnováhy. Využijeme toho, že metody neoklasické ekonomie pˇredstavují nejen jednu ze základních variant výkladu ekonomické zkušenosti, ale zároveˇn? i pˇrehledný logicky konzistentní a jednoduchý systém, který je obecnˇe pˇrijímán. Základní neoklasický model je modelem ekonomiky s homogenním produktem, která se bude skládat se spotˇrebitelského sektoru tvoˇreného jednou representativní domácností. O této domácnosti pˇredpokládáme, že její životnost je vˇecˇ ná a že za dobu své životnosti maximalizuje sv˚uj oˇcekávaný užitek. Pojmem oˇcekávaný užitek rozumíme souˇcet oˇcekávaných diskontovaných okamžitých užitk˚u. Maximalizace je vázána na rozpoˇcet domácnosti v nekoneˇcném cˇ asovém horizontu. Jakmile je užitek domácnosti maximalizován pˇri rozpoˇctové vyrovnanosti v nekoneˇcném cˇ asovém horizontu, hovoˇríme o dynamické rovnováze domácnosti. Sektor produkce je tvoˇren jednou firmou, která maximalizuje okamžitý zisk. Ten je maximalizován, jakmile mezní produkt práce a kapitálu se rovná mzdˇe a úrokové míˇre. V pˇrípadˇe, že zisk firmy je maximalizován, hovoˇríme o tom, že firma je v rovnováze. V procesu maximalizace užitku domácnost vytváˇrí své požadavky na spotˇrebu v pr˚ubˇehu nekoneˇcného cˇ asového horizontu a nabídku pracovní síly. Firma vytváˇrí v každém cˇ asovém horizontu své požadavky na pracovní sílu a svoji nabídku produkce. Poptávka a nabídka produkce a poptávka a nabídka pracovní síly je vyrovnána na trhu produkce a pracovní síly. Vyrovnávacím cˇ initelem na tˇechto trzích je cenová hladina a mzda.Analyzovaný model splˇnuje pˇredpoklady neoklasické teorie, která je založena na racionálním chování spotˇrebitele a výrobce a na okamžitém pˇrizp˚usobení cen a mezd tak, aby vyrovnaly trh statk˚u a pracovní trh.



5.1

Základní bezpenˇežní model

Výklad dané problematiky zahájíme velmi jednoduchým modelem, kde peníze hraj naprosto pasivní roli a jsou pˇripojeny až na závˇer modelu pomocí Fisherovy rovnice. Analýzu vedeme s použitím mikroekonomické metody, proto dˇelíme ekonomiku na jednotlivé složky.

5.1.1

Domácnost

Spotˇrebitelský blok modelu je tvoˇren jednou domácností s užitkovou funkcí o dvou promˇenˇ tedy nabývá všech celoˇcíselných. Pˇredpokládáme nekoneˇcnou životnost domácnosti. Cas ných hodnot. Dejme tomu, že za poˇcátek zvolíme okamžik 0. Potom uvažujeme všechny hodnoty budoucího cˇ asu, t = 0, 1, 2, . . . . První nezávislou promˇennou je spotˇreba v cˇ ase t, kterou znaˇcíme Ct . Druhou nezávisle promˇennou je poˇcet odpracovaných hodin Nt . Užitková funkce U je rostoucí v promˇenné Ct a klesající v promˇenné Nt . Spotˇrebitelský subjekt maximalizuje celkový užitek v nekoneˇcném cˇ asovém horizontu své životnosti. Celkový užitek získáme tak, že seˇcteme okamžité užitky za jednotlivá cˇ asová období, které diskontujeme kladným koeficientem β, který je menší než 1. Zpravidla diskontní koeficient nabývá hodnot blízkých jedné, ˇreknˇeme od 0, 9 do 1. Poˇcet odpracovaných hodin snižuje užitek spotˇrebitele, protože zvýšení poˇctu odpracovaných hodin omezuje volný cˇ as, což je spotˇrebitelem negativnˇe vnímáno. Výsledek je dán následujícím výrazem: E0

∞ X

β t U (Ct , Nt ).

(5.1)

t=0

Spotˇrebitel respektuje rozpoˇctové omezení, které je dáno rovnicí Pt Ct + Qt Bt = Bt−1 + Wt Nt − Ts .

(5.2)

Navíc je nutné splnit limitní podmínku lim Bt = 0, která znamená, že hodnota obligací Bt t→∞

se neomezenˇe s rostoucím cˇ asem snižuje k nule.



Nutné podmínky pro maximum užitkové funkce Pˇredpokládáme stejnomˇernou konvergenci funkcionální ˇrady (5.1.1) a omezené ˇrešení Ct , Lt , Bt potom lze derivovat Lagrange˚uv funkcionál

L = E0

"∞ X

# t

β u(Ct , Nt ) − µt (Pt Ct + Qt Bt − Bt−1 − Wt Nt + Ts )

(5.3)

t=1

podle Bt , Ct , Nt , položit tyto derivace rovny nule a získat tak nutné podmínky pro maximum. Derivaci provedeme podle s-té promˇenné. Abychom provedení této operace maximálnˇe zjednodušili, ponecháme ve výrazu (5.3) pouze ty složky, které obsahují promˇenné Bt , Ct ,Nt pro které t = s a ty promˇenné, kde t 6= s vynecháme, protože pˇri derivaci zmizí. Dostaneme: E0 [β s U (Cs , Ns ) − µs (Ps Cs + Qs Bs − Ws Ns + Ts ) + µs+1 Bs ]. Derivujeme postupnˇe podle Bs , Cs a Ls , cˇ ímž dostaneme ∂U (Cs , Ns ) − µs Ps = 0, ∂Cs ∂U (Cs , Ns ) βs + µs Ws = 0, ∂Ns Es (µs+1 ) − Qs µs = 0, βs

Úpravou výše uvedených podmínek dostaneme

βEs

∂U (Cs ,Ns ) ∂Ns − ∂U (C s ,Ns ) ∂Cs ! ∂U (Cs+1 ,Ns+1 ) Ps ∂Cs+1 ∂U (Cs ,Ns ) Ps+1 ∂Cs

=

Ws , Ps

= Qs .

(5.4)

(5.5)

Specifický pˇrípad užitkové funkce V dalším výkladu zvolíme specifický pˇrípad užitkové funkce s konstantní pružností U (Ct , Nt ) =

N 1+ϕ Ct1−σ − t , 1−σ 1+ϕ

σ ∈ (0, ∞), ϕ ∈ (0, ∞)



Za pˇredpokladu použití výše uvedeného tvaru užitkové funkce pˇrejdou rovnice (5.5) a (5.4) na rovnice Ws Csσ Nsϕ = Ps " # −σ Cs+1 Ps βEs = Qs . Cs Ps+1 První ze dvou výše uvedených vztah˚u zlogaritmujeme pro vˇetší pˇrehlednost položíme s = t a dostaneme (5.6) .Co se týˇce druhého výše uvedeného vztahu, zde je postup složitˇejší. Musíme provést logaritmickou linearizaci výrazu za stˇrední hodnotou, a pak využít toho, že E je lineární operátor a teprve poté dostaneme (5.7). σct + ϕnt = wt − pt ct = Et ct+1 −

(5.6) 1 (it − Et πt+1 − ρ), σ

(5.7)

kde ρ = − log β a it = − log Qt .

5.1.2

Úloha penˇez v modelu

Peníze v tomto modelu hrají roli exogenní promˇenné. Poptávka po penˇezích bude dána Fisherovou rovnicí pro urˇcení kvantity penˇez v obˇehu. Tato rovnice má tvar: Mtd Vt = Pt Yt . Pˇredpokládáme, že rychlost obˇehu penˇežního Vt závisí na úrokové míˇre it a tato závislost je dána rovnicí Vt = V0 (1 + it )η1 Po zlogaritmování a dosazení a následné úpravˇe máme: mdt − pt = yt − η0 − η1 it

(5.8)



5.1.3

Podnik

Podnik v tomto modelu maximalizuje okamžitý zisk. Výroba podniku je popsána produkˇcní funkcí o jednom cˇ initeli tvaru: . Yt = At L1−α t V dalším výkladu budeme pˇredevším využívat logaritmický tvar výše uvedené produkˇcní funkce: yt = at + (1 − α)lt

(5.9)

Technologický souˇcinitel At v rámci modelu považujeme za náhodnou veliˇcinu. Podnik pˇri výše uvedeném produkˇcním omezení maximalizuje zisk daný ziskovou funkcí Zt = Pt Yt − Wt Lt . Nutnou podmínku pro maximum zisku obdržíme tak, že první derivaci ziskové funkce podle pracovní síly Lt položíme rovnu nule a po úpravˇe dostaneme (1 − α)At L−α = t

Wt . Pt

Po zlogaritmování máme log(1 − α) + at − αlt = wt − pt .

(5.10)

Výše uvedenou rovnici nazveme podmínkou rovnováhy podniku. Pokud ji chápeme jako vyjádˇrení závislosti lt na reálné mzdˇe wt − pt hovoˇríme o poptávkové funkci po práci. Ještˇe bychom rádi pˇripomenuli, že logaritmus náhodného technologického souˇcinitele at je dán autoregresním procesem: at = ρa at−1 + εa , kde ρa ∈ (0, 1) a εa sleduje bílý šum.



Tržní rovnováha Podmínka tržní rovnováhy v našem elementárním modelu je dána rovnicí yt = ct ,

nt = lt .

(5.11)

Do levé strany rovnice rovnováhy dosadíme z rovnice rovnováhy spotˇrebitele (5.7) a do pravé strany této rovnice dosadíme z rovnice rovnováhy výrobce (5.10). Po dosazení dostaneme: σyt + ϕnt = at − αnt + log(1 − α).

(5.12)

Nyní použijeme zlogaritmovanou jednofaktorovou produkˇcní funkci, která má tvar: yt = at + (1 − α)nt . Z tohoto vztahu dosadíme za yt do rovnice (5.12)a úpravou dostaneme nt = Ψna at + ϑn , kde Ψna =

1 − σ) σ(1 − α) + ϕ + α

ϑn =

(5.13) log(1 − α) . σ(1 − α) + ϕ + α

Vypoˇcítáme-li z produkˇcní funkce nt , dostaneme nt =

1 (yt − at ). 1−α

Dosadíme-li z tohoto vztahu do rovnice (5.12), dostaneme yt = Ψya at + ϑy , kde

ψya =

1+ϕ σ(1 − α) + ϕ + α

ϕy =

(5.14) (1 − α) log(1 − α) . σ(1 − α) + ϕ + α

Rovnice rovnováhy na komoditním a pracovním trhu doplníme o rovnici rovnováhy na penˇežním trhu. Nabídku penˇez pokládáme za exogenní veliˇcinu a znaˇcíme ji Mt . Její logaritmus znaˇcíme malým písmenem, tedy mt . Rovnice rovnováhy na penˇežním trhu je Mt = Mtd ,

nebo v logaritmickém tvaru mt = mdt .



Z rovnice rovnováhy v logaritmickém tvaru dosadíme za mdt do rovnice (5.8) a dostaneme rovnici: mt − pt = yt − η0 − η1 it , která v následujících úvahách bude sloužit k analýze dynamiky cen v neoklasickém modelu celkové stochastické dynamické rovnováhy.

5.1.4

Determinace reálné úrokové míry a reálné mzdy

Pro odvození vztahu pro reálnou úrokovou míru v neoklasickém modelu použijeme pˇredevším vztahu (5.7),potom vztahu (5.11) a vztahu pro reálnou úrokovou míru rt = it −πt+1 . Ze vztahu (5.11) dosadíme do vztahu (5.7), kde využijeme vztahu pro reálnou úrokovou míru a tak dostaneme: rt = ρ + σEt ∆yt+1 = ρ + Ψya ∆at+1 . K odvození rovnice determinace reálné mzdy použijeme rovnici (5.6), kde položíme wt − pt = ωt a dosadíme z rovnice (5.13) a po úpravˇe dostaneme ωt = (1 − αΨna )at − αϑn + log(1 − α).

Z výše uvedených vztah˚u pro reálnou úrokovou míru a reálnou vidíme, že tyto veliˇciny závisí na technologické veliˇcinˇe at . Samozˇrejmˇe i pro veliˇcinu produkce yt platí totéž (viz (5.14). Rovnˇež poptávka po zamˇestnanosti (práci) závisí na technologické promˇenné at . Dynamika všech reálných veliˇcin modelu bude urˇcena dynamikou veliˇciny at . Dejme tomu, že technologická veliˇcina produkˇcní funkce at je ˇrízena autoregresním procesem at+1 = ρa at + εa , kde 0 < ρa < 1 je konstanta a εa je náhodná veliˇcina se stˇrední hodnotou 0. Dynamika této veliˇciny se promítne v pohybu všech reálných veliˇcin studovaného modelu.



Dynamika cen Výchozím bodem bude logaritmovaná Fisherova rovnice rovnováhy na penˇežním trhu mt − pt = yt − η0 − η1 it . Pˇripomínáme, že výraz η0 + η1 it je logaritmem rychlosti obˇehu penˇežního, o které pˇredpokládáme, že roste s nominální úrokovou mírou. Do Fisherovy rovnice dosadíme ze vztahu it = Et πt+1 + rt = Et pt+1 − pt + rt a tak dostaneme mt − pt = yt − η0 − η1 (Et pt+1 − pt + rt ) Odtud vyjádˇríme rovnici pro dynamiku cen pt =

1 η1 rt − yt + η0 η1 Et pt+1 + mt + . 1 + η1 1 + η1 1 + η1

Vyˇrešením této rovnice dostaneme pravidlo pro vývoj cen na základˇe pˇredpovˇedí vývoje penˇežní zásoby a reálných veliˇcin rt a yt . Pro ˇrešení výše uvedené diferenˇcní rovnice platí: k k ∞ ∞ X 1 X η1 η1 η1 rt+k − yt+k + η0 pt = . Et mt+k + Et 1 + η1 k=0 1 + η1 1 + η 1 + η 1 1 k=0 Výše uvedený vztah ukazuje, jak budoucí vývoj penˇežní zásoby a reálných veliˇcin ovlivˇnuje souˇcasnou cenovou hladinu.

Stacionární stav modelu Stacionární stav modelu je definován jako ˇrešení, kde se veliˇciny charakteristické pro model nemˇení v cˇ ase. Formálnˇe vyjádˇríme nemˇennost veliˇcin modelu vypuštˇením indexu t. Pˇri ˇrešení stacionárního stavu modelu použijeme rozpoˇctovou rovnici domácnosti, nutné podmínky pro maximum užitkové funkce domácnosti, ovšemže ve stacionárním stavu, produkˇcní funkci a nutné podmínky pro maximum zisku ve stacionárním stavu a podmínky rovnováhy. Stanovení cen ve stacionárním stavu bude provedeno na základˇe Fisherovy rovnice.



Zaˇcneme podmínkami pro domácnost. Rozpoˇctová rovnice pro stacionární stav domácnosti je upravená rovnice (5.1.1) pro konstantní veliˇciny. P C + QB = B + W N − T.

(5.15)

Nutné podmínky pro maximum užitkové funkce ve stacionárním stavu jsou upravené podmínky (5.5) a (5.4). Dosazením stacionárních hodnot dostaneme: ∂U (C,N )

W P

(5.16)

β = Q,

(5.17)

= − ∂U∂N (C,N ) ∂C

K sektoru domácností pˇripojíme poptávku domácností po penˇezích, kterou oznaˇcíme symbolem M d a která je výsledkem Fisherovy teorie: M d = (V0 )−1 Qη1 P Y.

(5.18)

Pokraˇcujeme technologickým omezením podniku, které je dáno ve formˇe produkˇcní funkce pro stacionární stav Y = ALα

(5.19)

a nutnou podmínkou pro maximum zisku ve stacionárním stavu (1 − α)AL−α =

W . P

(5.20)

Dále pˇripojíme podmínky tržní rovnováhy pro komoditní, pracovní a penˇežní trh: C = Y,

L = N,

M = M d,

(5.21)

kde M znaˇcí nabídku penˇez.

Model ve stacionárním stavu je dán rovnicemi (5.15)-(5.21). Tˇechto rovnic je celkem 9. Endogenní veliˇciny stacionárního modelu jsou Q, C, N, P, W, Y, L, M d , B. Exogenní veliˇciny jsou tˇri T, A a M . Snadno spoˇcteme, že máme stejný poˇcet endogenních veliˇcin a rovnic. Za jistých podmínek je ˇrešení soustavy dáno jednoznaˇcnˇe.



Pˇríklad V ekonomice s dokonalou konkurencí reprezentativní domácnost maximalizuje nekoneˇcnou ∞ X 1 ˇradu diskontovaných užitk˚u β t u(ct ), kde β je diskontní faktor a 0 < β < 1, β = , 1+ρ t=0 kde ρ je její subjektivní úroková míra, vzhledem ke svému následujícímu rozpoˇctovému omezení: ct + it = Rt kt + wt lt . Reprezentativní firma této ekonomiky má Cobbovu – Dou,(0 < α < 1 ), kde dynamika kapitálu je popsaná glasovu produkˇcní funkci yt = AKtα L1−α t vztahem: Kt+1 = (1 − δ)Kt + it , kde δ je míra depreciace, K0 je dána a Lt je normována na 1. • definujte rovnováhu dané ekonomiky pro cenový vektor (pt , wt , Rt ), • Pro tuto užitkovou funkci zkoumané domácnosti u(ct ) = log ct , Y = 500, I = 100, w= 320, C = 350 a reálnou úrokovou míru r = 0.04 (tyto hodnoty jsou považovány za hodnoty stálého stavu této ekonomiky) urˇcete hodnotu tˇechto parametr˚u: α, β, δ, R a K. ˇ Rešení Definice rovnováh S danou k0 rovnováha zkoumané ekonomiky je ˇrada {ct , it , kt , lt , yt }∞ t=0 taková, že • domácnost maximalizuje sv˚uj užitek (pˇresnˇeji nekoneˇcnou ˇradu svých diskontovaných užitk˚u), • firma maximalizuje sv˚uj zisk a • všechny dílˇcí trhy jsou v rovnováze, tj. yt = ct + it , Kt = kt , Lt = lt pro všechna t. Nutné podmínky rovnováhy Z definice rovnováhy plyne, že rovnováha je dosažena v bodˇe, kdy první derivace pˇríslušné ziskové a užitkové funkce jsou nulové. (Tyto funkce jsou konkávní a proto v bodˇe, kde jsou první derivace nulové, opravdu existuje maximum. Tuto podmínku už nemusíme ovˇeˇrit) Nejdˇríve ˇrešíme úlohu maximalizace zisku reprezentativní firmy, pro jednoduchost pˇredpokládejme, že cena produkce je 1.



Zisková funkce firmy je πt = Aktα lt1−α − Rt kt − wt lt (protože v rovnováze Kt = kt a Lt = lt , není tˇreba je dále rozlišovat). Ponˇevadž racionální firma volí takový objem kapitálu a práce, aby mohla maximalizovat sv˚uj zisk, musíme zderivovat její ziskovou funkci podle kt a lt . [kt ]: αAktα−1 lt1−α − Rt = 0 => Rt = αAktα−1 lt1−α [lt ]: (1 − α)Aktα lt−α − wt = 0 => wt = (1 − α)Aktα lt−α Ze vztah˚u získaných z nutných podmínek maximalizace zisku firmy je patrné, že cena kapitálu je rovna meznímu produktu kapitálu a mzda je rovna meznímu produktu práce, což je v souladu s teorií firmy z mikroekonomie. Úlohu maximalizace nekoneˇcné ˇrady diskontovaných užitk˚u reprezentativní domácnosti ˇrešíme pomocí Lagrangeovy funkce. Nejdˇríve však upravíme její rozpoˇctové omezení na tvar: ct + kt+1 = Rt kt + wt lt + (1 − δ)kt , a Lagrangeova funkce má následující podobu: L=

∞ X

β t [log(ct ) + λt (Rt kt + wt lt + (1 − δ)kt − ct − kt+1 )].

t=0

Domácnost m˚uže volit výši své spotˇreby a objem investice v každém období. Protože investice byla nahrazena kapitálem v dalším období, spotˇreba ct a kapitál kt+1 jsou ˇrídící (regulaˇcní) promˇenné a musíme Lagrangeovu funkci derivovat podle nich. (Je tˇreba si uvˇedomit, že kt+1 je ve skuteˇcnosti stavová veliˇcina a nahrazením it jí se z ní stává pseudoˇrídící promˇennou) [ct ]: β t[

1 1 + λt (−1)] = 0 => λt = ct ct

(5.22)

[kt+1 ]:

β t λt (−1) + β t+1 λt+1 (Rt+1 + 1 − δ) = 0 => λt = βλt+1 (Rt+1 + 1 − δ) Posunujeme-li vztah (1) o jedno období dopˇredu, dostaneme λt+1 =

(5.23)

1

a když jej dosadíme ct+1 do (2) a využíváme pˇredpoklad, že ve stálém stavu spotˇreba domácnosti z˚ustane konstantní, máme: 1 = β(R + 1 − δ).

(5.24)



Abychom mohli spoˇcítat β, musíme ještˇe jednou pˇredpokladu dokonalé konkurence, a to tak, že domácnost má dvˇe možnosti investování: bud’ ukládat své úspory za reálnou úrokovou míru r, nebo investovat do kapitálu s výnosností R, ale musí sv˚uj kapitál odepsat mírou odpisu δ. Protože je dokonale konkurenˇcním prostˇredí, výnosnost tˇechto dvou možností musí být ekvivalentní, tedy r = R – δ. Z toho plyne β=

1 1+r

(5.25)

α vypoˇcteme z podmínky maximalizace zisku firmy. Víme, že ve stálém stavu R = αAk α−1 l1−α => Rk = αy a také y = wl + Rk, z toho plyne, že Rk = y − wl a dosazujeme do pˇredchozí podmínky maximalizace zisku firmy, po malé algebraické úpravˇe získáváme: α=

y − wl y

V stálém stavu musí platit I = δk, z toho plyne δ =

(5.26) I RI RI = = . Dosadíme je do k Rk y − wl

rovnice (3) a po úpravˇe dostaneme: R=

δ=

1 β

−1

1−

I y−wl

(5.27)

RI y − wl

(5.28)

I δ

(5.29)

K=

Dosazujeme zadané hodnoty stálého stavu ekonomiky do vztah˚u (4) až (8), získáme následující parametry pro dané ekonomiky: α = 0.36, β = 0.96, δ = 0.05, R = 0.09 a k = 2000.

5.2

Dynamický model celkové rovnováhy s placením pˇredem

V této cˇ ásti se budeme zabývat modifikací modelu z pˇredešlé cˇ ásti. Zde zaˇcneme uvažovat peníze, které sehrají roli cˇ initele, který hraje aktivní úlohu pˇri výbˇeru optimální trajektorie.



Sestrojení modelu

Užitková funkce v modelu z hotovostními platbami pˇredem bude podobnˇe jako v bezhotovostním neoklasickém modelu mˇeˇrit užitek spotˇreby a ztráty užitku v d˚usledku práce. Tak jako v pˇredešlém pˇrípadˇe pˇredpokládáme jednoho reprezentativního spotˇrebitele (domácnost) a jednoho reprezentativního výrobce. Tvar funkce okamžitého užitku bude Cobb˚uvDouglas˚uv v logaritmickém tvaru s tím, že množství práce bude normováno, tj. lt ∈ [0, 1]. Okamžitý užitek je tedy dán výrazem u(ct , lt ) = log ct + B log(1 − lt ), kde symboly ct , lt po po ˇradˇe znaˇcí poptávku po spotˇrebˇe a nabídku práce. Velikost nabídky práce je vyjádˇrena cˇ asem po který jednotlivec pracuje, tedy maximální možná nabídka práce za cˇ asové období je 1. Spotˇrebitel zpravidla nabízí množství menší než jedna. Rozdíl 1 − lt je volný cˇ as. Užitková funkce u je rostoucí v promˇenné ct a 1 − lt , tedy samozˇrejmˇe klesající v promˇenné lt . Zvláštností tohoto modelu je, že obsahuje tzv. podmínku hotovostního placení pˇredem. Tato podmínka je dána rovnicí: pt ct ≤ mt−1 + (gt − 1)Mt−1 . V modelu symboly pt , mt a Mt znaˇcí cenovou hladinu, poptávku po penˇezích a nabídku penˇez. Symbol gt oznaˇcuje index r˚ustu penˇežní nabídky tj. gt = Mt /Mt−1 . Rovnice vyjadˇruje, že výdaje na nákup zboží subjekt jsou hrazeny penˇežním z˚ustatkem, který máme k dispozici tj. z˚ustatkem minulého období a novˇe vytvoˇrenými penˇezi, což je druhý sˇcítanec na pravé stranˇe rovnice. Jednoduchou úpravou se pˇresvˇedˇcíme, že se skuteˇcnˇe jedná o pˇrír˚ustek penˇežní zásoby. Využijeme pˇritom definice indexu r˚ustu penˇežní zásoby gt : (gt − 1)Mt−1 = Mt − Mt−1 . Další omezením modelu je rozpoˇctové omezení: ct + kt+1 +

mt−1 + (gt − 1)Mt−1 mt = wt lt + rt kt + (1 − δ)kt + . pt pt



Výše uvedenou rovnici a nerovnici dále upravíme. Za tímto úˇcelem položíme m ˆt =

mt Mt

pˆt =

pt Mt

a

gt =

Mt Mt−1

Potom podmínka platby pˇredem a rozpoˇctové omezení pˇrejdou ve vztahy: m ˆ t−1 + gt − 1 , gt

pˆt ct ≤ ct + kt+1 +

(5.30)

m ˆt m ˆ t−1 + gt − 1 = wt lt + rt kt + (1 − δ)kt + pˆt pˆt gt

(5.31)

Za specifický tvar užitkové funkce volíme: ∞ X

β t [log ct + B log(1 − lt )]

(5.32)

t=0

Použitím Kuhn-Tuckerovy vˇety lze dokázat, že má-li užitková funkce tvar (5.32), je nerovnost(5.30) splnˇena jako rovnice, což zároveˇn umožní redukci rovnice (5.31) m ˆ t−1 + gt − 1 , gt

(5.33)

m ˆt = wt lt + rt kt + (1 − δ)kt pˆt

(5.34)

pˆt ct = kt+1 +

ˇ Rešení úlohy

Sestrojíme Lagrangeovu funkci k úloze (5.32)-(5.34). Funkce má tvar: ∞ X

m ˆ t−1 + gt − 1 1 + L= β log ct + B log(1 − lt ) + λt pˆt ct − gt t=1 m ˆt 2 +λt kt+1 + − (1 − δ)kt − wt lt − rt kt pˆt t

(5.35)



Lagrangeovu funkci derivujeme podle promˇenných ct , lt , kt+1 , m ˆ t . Dostaneme tak nutné podmínky pro vázané maximum funkce (5.32) vzhledem k rovnicím (5.33) a (5.34). 1 1 ∂L t 1 =β + λt pˆt = 0 ⇒ + λ1t pˆt = 0 ∂ct c c t t 1 ∂L 1 = βt − B − λ2t wt = 0 ⇒ − B − λ2t w = 0 ∂lt 1 − lt 1 − lt ∂L = β t λ2t − β t+1 λ2t+1 (1 − δ + rt+1 ) = 0 ⇒ ∂kt+1 ⇒ λ2t − βλ2t+1 (1 − δ + rt+1 ) = 0 ∂L 1 1 = β t λ2t − β t+1 λ1t+1 =0⇒ ∂m ˆt pˆt gt+1 1 1 ⇒ λ2t − βλ1t+1 =0 pˆt gt+1

(5.36) (5.37) (5.38) (5.39) (5.40) (5.41)

Z rovnic (5.36) a (5.37) odvodíme dvˇe následující rovnice pro Lagrangeovy multiplikátory λ1t aλ2t : λ1t = −

1 , p t ct

λ2t = −

B . wt (1 − lt )

Výše uvedené vztahy použijeme na úpravu rovnic (5.38) a (5.40) a tak dostaneme rovnice B 1 =β wt (1 − lt ) pˆt ct gt+1 wt lt 1 = (1 − δ + rt+1 ) β wt+1 lt+1

(5.42) (5.43)

Eliminací Lagrangeových multiplikátor˚u jsme zredukovali nutné podmínky (5.36)-(5.40) na rovnice (5.42 a (5.43. Model je tedy nyní tvoˇren rovnicemi (5.33), (5.34), (5.42) a (5.43).

Firma je popsána produkˇcní funkcí Cobbovou-Douglasovou ve tvaru. Yt = At Ktθ L1−θ . Pˇredpokládáme volnˇe konkurenˇcní prostˇredí a maximalizaci zisku každého výrobce, takže reálná mzda se rovná meznímu produktu práce a reálná úroková míra se rovná meznímu produktu kapitálu. wt = (1 − θ)At Ktθ L−θ t ,

rt = θAt Ktθ−1 Lt1−θ .

(5.44)



Z pˇredešlých úvah vidíme, že spotˇrebitel maximalizuje dynamicky definovanou úlohu, zatímco firma maximalizuje okamžitý zisk.

Podmínky rovnováhy Symbolem Yt znaˇcíme výrobu a symbolem ct poptávku po po komoditách a službách. Dále symbol Lt znaˇcí poptávku firem po práci a lt nabídku práce se strany domácností. Poptávku firem po kapitálu znaˇcíme Kt a nabídku kapitálu od domácností znaˇcíme kt . Nabídka penˇez je znaˇcena Mt a poptávka domácností po penˇezích je znaˇcena mt . Podmínky tržní rovnováhy jsou dány rovnicemi: Yt = ct + kt+1 − kt + δkt , Lt = lt , Kt+1 = kt+1 , Mt = mt

(5.45)

nebo, což je totéž m ˆ = 1.

Stacionární stav modelu "Cash in advance" Stacionární stav modelu nazýváme takové ˇrešení rovnic (5.33), (5.34), (5.42) až (5.45), které se nemˇení v cˇ ase. Toto ˇrešení dostaneme tak, že využijeme výše uvedených podmínek tržní rovnováhy a do zmínˇených rovnic dosadíme konstantní hodnoty jednotlivých veliˇcin, které oznaˇcíme r, w, L, K, c a pˆ. Po dosazení rovnice (5.33), (5.34), (5.42) až (5.44) dostávají následující tvar: 1 = 1 − δ + r, β B 1 =β , w(1 − L) gcˆ p pˆc = 1, 1 + δK = rK + wL, pˆ θ K w = (1 − θ)A , L θ−1 K r=θ , L Stacionární tempo r˚ustu penˇežní zásoby g a konstantní technologický cˇ initel A považujeme za exogenní veliˇciny.



Pˇríklad Reprezentativní domácnost v tomto modelu maximalizuje oˇcekávanou hodnotu nekoneˇcné ∞ X c1−θ t ˇrady budoucích užitk˚u E0 β u(ct , 1−lt ) daných užitkovou funkcí u(ct , 1−lt ) = t + 1−θ t=0 1−ω (1 − lt ) A , kde β je osobní diskontní míra (0 < β < 1) a θ, ω a A jsou známé parametry. 1−ω mt mt−1 + Tt Maximalizace je provádˇena pˇres rozpoˇctové omezení ct +it + = Rt kt +wt lt + , Pt Pt kde kromˇe známých promˇenných mt pˇredstavuje penˇežní zásobu vytváˇrenou v období t pro období t + 1, podobnˇe mt−1 je penˇežní zásoba vytvoˇrená v pˇredchozím období, Tt je transmt−1 + Tt ferová platba a Pt je cenová hladina v období t, a hotovostní omezení Pt ct = Pt znamenající, že spotˇreba v období t je možné pouze z penˇežní zásoby vytvoˇrené z pˇredchozího období a z transferové platby Tt (odtud je název modelu cash in advance odvozen). Reprezentativní firma má opˇet Cobbovu - Douglasovu produkˇcní funkci yt = ρt Ktα L1−α , t kde technologický pokrok je náhodný proces popsaný vztahem ln ρt+1 = ln ρt + t+1 , kde t+1 ∼ N (0, σ2 ) a dynamika kapitálu je popsaná vztahem: Kt+1 = (1 − δ)Kt + it , kde δ je odpisová míra (také známý parametr), K0 a ρ0 jsou také známé. Úkol: • definujte rovnováhu této ekonomiky opˇet s pˇredpokladem dokonalé konkurence • urˇcete podmínky rovnováhy, • urˇcete hodnoty všech promˇenných ve stálém stavu této ekonomiky, • proved’te log linearizace dynamiky promˇenných kolem jejich stálého stavu.

ˇ Rešení Definice rovnováhy S danou k0 a ρ0 rovnováha této ekonomiky je ˇrada {ct , it , kt , lt , yt , mt }∞ t=0 taková, že - domácnost maximalizuje oˇcekávanou hodnotu nekoneˇcné ˇrady budoucích užitk˚u, - firma maximalizuje sv˚uj zisk a - všechny dílˇcí trhy jsou v rovnováze, tj. yt = ct + it , Kt = kt , Lt = lt a trh penˇez je v rovnováze pro všechna t. b) Z definice rovnováhy plyne, že rovnováha je dosažena v bodˇe, kdy první derivace pˇríslušné ziskové a užitkové funkce jsou nulové. (Tyto funkce jsou konkávní a proto v bodˇe, kde jsou první derivace nulové, opravdu existuje maximum. Tuto podmínku už nemusíme provˇeˇrit)



Nejdˇríve ˇrešíme úlohu maximalizace zisku reprezentativní firmy a pro jednoduchost pˇredpokládejme, že cena produkce je 1. Zisková funkce firmy je πt = ρt ktα lt1−α − Rt kt − wt lt (protože v rovnováze Kt = kt a Lt = lt , není tˇreba je dále rozlišovat). Ponˇevadž racionální firma volí takový objem kapitálu a práce, aby mohla maximalizovat sv˚uj zisk, musíme zderivovat její ziskovou funkci podle kt a lt . (Aˇckoliv technologický pokrok ρt není konstanta, firma jeho pr˚ubˇeh nem˚uže ovlivnit. Náhodnost technologického pokroku však vede k tomu, že domácnost neví dopˇredu, jaká bude produkce yt v budoucnu, proto místo maximalizace nekoneˇcné ˇrady svých diskontovaných užitk˚u m˚uže pouze optimalizovat její oˇcekávanou hodnotu) [kt ]: αρt ktα−1 lt1−α − Rt = 0 => Rt = αρt ktα−1 lt1−α [lt ]: (1 − α)ρt ktα lt−α − wt = 0 => wt = (1 − α)ρt ktα lt−α Úlohu maximalizace oˇcekávané hodnoty diskontovaných užitk˚u reprezentativní domácnosti ˇrešíme pomocí Lagrangeovy funkce. Nejdˇríve však upravíme její rozpoˇctové omezení na tvar: ct + kt+1 +

mt−1 + Tt mt = Rt kt + wt lt + (1 − δ)kt + , Pt Pt

a Lagrangeova funkce má následující podobu: 1−θ ∞ X ct (1 − lt )1−ω t β L = E0 +A + 1−θ 1−ω t=0 ∞ X mt mt−1 + Tt t E0 β λt Rt kt + wt lt + (1 − δ)kt + − ct − kt+1 − Pt Pt t=0 ∞ X mt−1 + Tt β t µt + E0 − ct . Pt t=0 Domácnost m˚uže volit výši své spotˇreby, objem investice, penˇežní zásobu pro pˇríští období a množství práce nabízené firmˇe v každém období. Protože investice byla nahrazena kapitálem v dalším období, spotˇreba ct a kapitál kt+1 , penˇežní zásoba mt a množství práce lt jsou ˇrídící (regulaˇcní) promˇenné a musíme Lagrangeovu funkci derivovat podle nich. (Je tˇreba si uvˇedomit, že kt+1 je ve skuteˇcnosti stavová veliˇcina a nahrazením it jí se z ní stává jakousi pseudoˇrídící promˇennou) První derivace Lagrangeovy funkce podle regulaˇcních promˇenných jsou: [ct ]: −θ β t [c−θ t + λt (−1) + µt (−1)] = 0 => ct = λt + µt

(5.46)



[lt ]: β t [−A(1 − lt )−ω + λt wt ] = 0 => A(1 − lt )−ω = λt wt

(5.47)

[kt+1 ]: −β t λt + β t+1 Et λt+1 (Rt+1 + 1 − δ) = 0 => λt = βEt λt+1 (Rt+1 + 1 − δ)

(5.48)

[mt ]: −β t λt

λt+1 + µt+1 λt λt+1 + µt+1 1 + β t+1 Et = 0 => = βEt Pt Pt+1 Pt Pt+1

(5.49)

Výpoˇcet stálého stavu ekonomiky Pˇredpokládá se, že se ekonomika v každém období nachází v rovnováze, jak je definovaná výše a postupnˇe se ustaluje na stav, kdy její promˇenné z˚ustávají konstantní (odtud ten název stálý stav). Pro výpoˇcet rovnovážného stavu ekonomiky obvykle pˇredpokládáme, že ρ = 1. Z rovnice (3) s využitím pˇredpokladu, že v rovnováze λt je konstantní. Pak m˚užeme vypoˇcíst ihned R=

1 −1+δ β

(5.50)

Z podmínky maximalizace zisku firmy plyne, že y y R R = α => = . k k α Využíváme také pˇredpoklad, že ρ = 1 a upravujeme produkˇcní funkci na 1−α 1−α l l y y=k ⇒ = k k k 1 1−α 1 l y 1−α R => = = k k α V rovnováze platí y = c + i = c + δk c c R y => = + δ => = − δ. k k k α Když ekonomika je v stálém stavu, z rovnice (1) plyne c−θ = λ + µ a rovnici (4) upravujeme na podobu



λ=β

λ+µ . 1+π

Dosazujeme je do rovnice (2) i s využitím druhé podmínky maximalizace zisku firmy, dostaneme tuto relaci: −ω

A(1 − l)

c−θ (1 − α)k α l−α . =β 1+π

Tento vztah dále upravujeme −α 1 − α c−θ −θ k A(1 − l) = β k 1 + π k −θ l θ α −θ 1−α c l k => A(1 − l)−ω lθ = β 1+π k k l θ−α −θ l 1−α c . A(1 − l)−ω lθ = β 1+π k k −ω

l c a známe, takže celou pravou stranu rovnice známe, proto urˇcitˇe najdeme k k rovnovážnou hodnotu pro l. Pak opˇet pomocí tˇechto pomˇer˚u vypoˇcteme zpˇet k, y ,c, i a Pomˇery

pˇrípadnˇe w. Log-linearizace promˇenných kolem jejich stálého stavu D˚uvod log-linearizace: je velice obtížné vyˇrešit nelineární makroekonomické modely analyticky a analytická ˇrešení nemusí vždy existovat. Proto je tˇreba pˇrevést p˚uvodní nelineární modely na lineární modely. Jejich linearizace však je spojená s nepˇresností. Urˇcitá pˇresnost je zachována pouze v úzkém okolí urˇcitého bodu. Z tohoto d˚uvodu se nejˇcastˇeji linearizují ekonomické modely v okolí stálého stavu pomocí Taylorova rozvoje. Log-linearizace je speciální pˇrípad linearizace ekonomických model˚u kolem jejich stálého stavu, kdy pomocí logaritmické funkce pˇrevádíme p˚uvodní úrovˇnové hodnoty ekonomických promˇenných na odpovídající relativní pˇrír˚ustkové veliˇciny a místo dynamiky p˚uvodních úrovˇnových promˇenných studujeme dynamiku jejich relativních zmˇen okolo stálého stavu. Nˇekteré duležité ˚ vzorce pro log-linearizaci Necht’ xt je hodnota urˇcité ekonomické promˇenné v cˇ ase t a x je její odpovídající hodnota v stálém stavu. Platí: xt = elnxt



xt xt − x xt − x x˜t = log xt − log x = log = log 1 + ≈ = x˜t x x x xt xt = xelog x = xex˜t ex˜t ≈ 1 + x˜t ex˜t +b˜yt ≈ 1 + x˜t + b˜ yt x˜t y˜t ≈ 0 Nˇekteré jednoduché log-linearizace yt = ct + it => y y˜t = c˜ ct + i˜it yt = ρt ktα lt1−α ˜

˜

Dosazením yt = yey˜t , zt = zez˜t , kt = kekt , lt = lelt dostaneme: ˜

˜

˜

˜

yey˜t = zez˜t (kekt )α (lelt )1−α = zk α l1−α ez˜t +αkt +(1−α)lt . Protože ve stálém stavu platí y = zk α l1−α , proto ˜ ˜ ey˜t = ez˜t +αkt +(1−α)lt => y˜t = z˜t + αk˜t + (1 − α)˜lt

Nyní log-linearizujeme tento výraz (druhá podmínka rovnováhy resp. derivace L podle lt ) A(1 − lt )−ω = λt wt . Nejdˇríve jej upravujeme následovnˇe: A(1 − lt )−ω = λt wt = λt (1 − α)

yt => A(1 − lt )−ω lt = (1 − α)λt yt lt

˜

Dosazením lt = ley˜t , λt = λeλt , yt = key˜t dostaneme: #−ω " ˜ lt 1 − le ˜ ˜ ˜ ˜ A(1 − lelt )−ω lelt = Al(1 − l)−ω elt = (1 − α)λyeλt +˜yt 1−l Protože v stálém stavu platí: Al(1 − l)−ω = (1 − α)λy Pokrátíme je na obou stranách a dostaneme: # " ˜ −ω 1 − lelt ˜ ˜ elt = eλt +˜yt 1−l



"

˜

1 − lelt Dále upravujeme výraz 1−l "

#−ω ˜

elt následovnˇe: ˜

1 − lelt 1−l

#−ω

˜

= elt −ω ln

˜

˜

elt = elt +ln[ 1−l(1+˜ lt ) 1−l

˜

˜ 1−lelt −ω ] 1−l

1−l−l˜ lt

= elt −ω ln 1−l l ˜ l ˜ ˜ ˜ = elt −ω ln(1− 1−l lt ) = elt +ω 1−l lt .

Tedy musí platit: ˜

l

˜

˜

elt +ω 1−l lt = eλt +˜yt Z toho plyne, že l l ˜lt + ω ˜lt = ˜lt 1 + ω ˜ t + y˜t =λ 1−l 1−l

5.3

Model s penˇezi v užitkové funkci

Na rozdíl od modelu s podmínkou placení pˇredem, který už zahrnuje peníze (ve srovnání se základním modelem), model s penˇezi v užitkové funkci uvažuje peníze jako urˇcitý typ aktiva. Užiteˇcnost této komodity spoˇcívá v jeho likviditˇe, to znamená, že slouží jako prostˇredek nákupu komodit. Je tedy užiteˇcné držet urˇcitou zásobu tohoto specifického aktiva, abychom pˇredešli ztrátám z odložení nákupu komodit, v d˚usledku jeho nedostatku. Peníze a jejich tvorbu musíme rovnˇež zahrnout do rozpoˇctové rovnice domácnosti. Užitková funkce, která zahrnuje spotˇrebu komodit, nabídku práce a reálné peníze, obecný tvar: E0

∞ X

β t U (Ct , Lt , Mt /Pt )

(5.51)

t=0

kterou maximalizujeme za rozpoˇctové podmínky: Pt Ct + Qt Bt + Mt ≤ Bt−1 + Wt Lt + Mt−1 − Zt , Pˇripomínáme Pt je cenová hladina,Ct je komoditní spotˇreba, Qt = 1/(1 + it ), Bt zásoba obligací v cˇ ase t, úroková míra (náhodná veliˇcina), Mt poptávka po penˇežní zásobˇe, Wt nominální mzda, Wt nominální mzda, Lt nabídka práce od domácností, Zt paušální daˇn.



Položíme-li At = Mt−1 + Bt−1 , výše uvedená rozpoˇctová rovnice pˇrejde ve tvar: Pt Ct + Qt At+1 + (1 − Qt )Mt ≤ At + Wt Lt − Zt

(5.52)

Promˇennou A nazveme celková aktiva domácnosti. Budeme pˇredpokládat, že jejich diskontovaná hodnota v pr˚ubˇehu cˇ asu bude konvergovat k nule: lim β t At+1 = 0.

t→∞

(5.53)

Separabilní užitková funkce Analýzu modelu s penˇezi v užitkové funkci zaˇcneme specifickým tvarem funkce okamžitého užitku (tj. užitková funkce pro jedno období t), tzv. separabilní užitkovou funkcí. Ct1−σ (Mt /Pt )1−ν L1+ϕ Mt , Lt ) = + − t U (Ct , Pt 1−σ 1−ν 1+ϕ Nutné podmínky formulujeme pro úlohu (5.51)-(5.53), kde funkce okamžitého užitku bude separabilní, tj. bude mít výše uvedený tvar. Nutné podmínky dostaneme tak, že sestrojíme Lagrangeovu funkci a její derivace podle Ct , Mt , Lt a At+1 položíme rovny nule. Wt = Ctσ Lϕt Pt 1 Mt σ/ν = Ct (1 − exp(−it ))− ν Pt ( ) −σ Ct+1 Pt Qt = βEt . Ct Pt+1

(5.54) (5.55) (5.56)

Nutné podmínky podobnˇe jako v základním logaritmicky linearizujeme. Rovnice (5.54) a (5.56) nedˇelají problémy a kromˇe toho jsme jejich logaritmickou linearizaci povedli v cˇ ásti 1.1. Rovnice (5.55) je pro nás nová, ukážeme tedy její logaritmickou linearizaci v blízkém okolí stacionárního stavu. Stacionární ˇrešení dostaneme tak, že za hodnoty promˇenných v rovnicích (5.54)-(5.56) dosadíme konstanty C, M, L,, hodnoty P, W budou také konstantní. Nezapomínáme, že platí Qt ≈ exp(−it ), tedy pro stacionární hodnotu Q platí Q ≈ exp(−i). Zlogaritmujme rovnici (5.55), pak dostaneme tvar: mt − pt =

σ 1 ct − log(1 − exp(−it )) ν ν

(5.57)



Ve stacionárním stavu ovšem platí: m−p=

1 σ c − log(1 − exp(−i)) ν ν

(5.58)

Vzorec (5.57) obsahuje nelineární cˇ len, je to ten s logaritmem. Provedeme s ním úpravu rozvinutím podle Taylora. Uvažujeme pouze dva první cˇ leny, zbytek zanedbáme, cˇ ímž dostaneme: log(1 − exp(−it )) ≈ log(1 − exp(−i)) +

1 (it − i) exp(i) − 1

Zpˇetným dosazením do (5.57) a odeˇctením (5.58) od (5.57) dostáváme m ˜ t − p˜t =

1 σ c˜t − ˜ιt , ν νi

pokud ovšem položíme m ˜ t = mt − m, p˜t = pt − p, c˜t = ct − c, ˜ιt = it − i. Jestliže pˇredpokládáme, že pružnost užitku vzhledem k penˇez˚um je stejná jako pružnost užitku vzhledem ke komoditám tedy ν = σ pˇrejde výše uvedený vztah v rovnici m ˜ t − p˜t = c˜t −

1 ˜ιt , νi

která je Fisherovou rovnicí poptávky po penˇezích ve fluktuacích od rovnovážného stavu. Do tvaru ve fluktuacích velice snadno dostaneme rovnice (5.54) a (5.56) tak, že uvedené rovnice pˇrevedeme na lineární tvar v logaritmech, odeˇcteme od nich tytéž rovnice v rovnovážném tvaru a dostaneme: σ˜ ct − ϕ˜lt = w˜t − p˜t , c˜t = Et c˜t+1 −

1 (˜ιt − Et πt+1 ). σ

Model s neseparabilní užitkovou funkcí Neseparabilní užitkovou funkcí pˇredpokládáme ve tvaru složené funkce U (Ct ,

X 1−σ L1+ϕ Mt , Lt ) = t − t Pt 1−σ 1+ϕ



Souhrnný index spotˇreby a reálných penˇez Xt je dán " Xt = (1 − ϑ)Ct1−ν + ϑ Xt =

Ct1−ϑ

Mt Pt

Mt Pt

1 1−ν # 1−ν

, ν 6= 1,

(5.59)

ϑ , ν = 1.

Nadále budeme pracovat pouze se vztahem (5.59) Všimnˇete si definice výše uvedené užitkové funkce. Tato funkce mˇeˇrí užitek souhrnného indexu spotˇreby a penˇez (první promˇenná) a užitku práce (druhá promˇenná). Užitek roste s r˚ustem souhrnného indexu spotˇreby a penˇez a klesá s r˚ustem práce. Souhrnný index spotˇreby a penˇez je konstruován jako funkce CES nebo jako funkce Cobb-Douglasova. Pˇripojíme ještˇe rozpoˇctovou rovnici tvaru: Pt Ct + Qt At+1 + (1 − Qt )Pt

Mt = At + Wt Lt − Zt . Pt

Po sestrojení Lagrangeovy funkce a parciálních derivacích podle promˇenných Ct , Mt /Pt , Lt a At+1 a po následujících úpravách dostáváme tyto nutné podmínky pro maximální trajektorie. −(σ−ν)

(1 − ϑ)−1 Lϕt Ctν Xt

=

Wt , Pt

ν1 1 Mt ϑ (1 − exp(−it ))− ν Ct = , 1−ϑ Pt ( ) −1 1−σ Ct+1 Xt+1 Pt = Qt . βEt Ct Xt Pt+1

(5.60)

(5.61) (5.62)

Vztah (5.60) logaritmujeme a tak dostaneme: σ˜ ct + ϕ˜lt + (1 − σ)(˜ ct − x˜t ) = w˜t − p˜t .

(5.63)

Všimnˇeme si, výše uvedenou rovnici jsme dostali tak, že rovnici (5.60) jsme zlogaritmovali, na levé stranˇe jsme pˇriˇcetli a zároveˇn odeˇcetli σct a po menší úpravˇe jsme dostali (5.63).

Nyní se pokusíme dokázat, že platí následující vztah: c˜t − x˜t = χ (˜ ct − m ˜ t + p˜t )

(5.64)



kde c˜t = ct − c, m ˜ t = mt − m, p˜t = pt − p a 1

1

χ=

ϑ ν (1 − β)1− ν 1

(5.65)

1

1

(1 − ϑ) ν + ϑ ν (1 − β)1− ν

Malá písmena znaˇcí logaritmy a malá písmena bez cˇ asového indexu znaˇcí logaritmy stálých stav˚u. Pro provedení d˚ukazu použijeme definiˇcního vztahu (5.59) pro Xt ). Dostaneme:

Xt Ct

1−ν

= (1 − ϑ) + ϑ

Mt Pt C t

1−ν .

(5.66)

Pro stálý stav máme:

X C

1−ν

= (1 − ϑ) + ϑ

M PC

1−ν .

Provedeme úpravu (5.66): 1−ν 1−ν 1−ν 1−ν X Xt C M Mt P C = (1 − ϑ) + ϑ . C Ct X PC Pt C t M Další úprava. Co p˚ujde, vyjádˇríme v logaritmech a provádíme linearizaci. 1−ν 1−ν X M [1 + (1 − ν)(˜ xt − c˜t ] = (1 − ϑ) + ϑ [1 + (1 − ν)(m ˜ t − c˜t − p˜t )]. C PC Po rozsáhlejších úpravách máme: 1−ν 1−ν M X (˜ xt − c˜t ) = ϑ(m ˜ t − c˜t − p˜t ). C PC Další úprava:

X C

1−ν

(˜ ct − x˜t ) =

M PC

1−ν ϑ(˜ ct + p˜t − m ˜ t ).

Odtud: " (˜ ct − x˜t ) =

M PC

1−ν 1−ν # X : ϑ(˜ ct + p˜t − m ˜ t ). C

Vezmeme nutnou podmínku: 1 Mt = Ct [1 − exp(−it )]− ν Pt

ϑ 1−ϑ

ν1 .

Tato podmínka ve stálém stavu po úpravˇe bude mít tvar (nezapomínáme, že exp(−i) = β): ν1 M ϑ − ν1 = (1 − β) . PC 1−ϑ



Potom ovšem:

X C

M PC

1−ν = (1 − β)

1− ν1

1−ν = (1 − ϑ) + ϑ (1 − β)

ϑ 1−ϑ

1− ν1

ν1 −1 .

ϑ 1−ϑ

ν1 −1 .

Dále platí:

M PC

ν1 −1 1 1−ν 1−ν ϑ (1 − β)1− ν 1−ϑ X : =χ= ν1 −1 1 ϑ C (1 − ϑ) + ϑ (1 − β)1− ν 1−ϑ

Po další úpravˇe: 1

χ=

1

(1 − β)1− ν ϑ ν 1

1

1

(1 − ϑ) ν + ϑ ν (1 − β)1− ν

Pˇripomínáme, že kdybychom použili pro vyjádˇrení souhrnného indexu spotˇreby a penˇez Xt Cobb˚uv-Douglas˚uv tvar tj. ν = 1, dostali bychom χ = ϑ, jak snadno zjistíme dosazením do výše uvedeného vzorce. Využitím výše uvedeného vztahu ve vztahu (5.63) dostaneme w˜t − p˜t = σ˜ ct + χ˜lt + (ν − σ/)[˜ ct − (m ˜ t − p˜t )] Výše uvedenou rovnici dále upravíme využitím logaritmovaného a upraveného vztahu (5.61) c˜t − (m ˜ t − p˜t ) = η0 + ηit a dostaneme w˜t − p˜t = σ˜ ct + ϕ˜lt + χη(1 − σ/ν)˜ιt . Tento výraz dále upravíme na w˜t − p˜t = σ˜ ct + ϕ˜lt + ω˜ιt ,

(5.67)

kde jsme položili ω = χη(ν − σ). Pˇredpoklad neseparovatelnosti zp˚usobí, že reálná mzda závisí na úrokové míˇre, což u neoklasického modelu a modelu se separabilní funkcí nenastane. K podobným závˇer˚um dojdeme pˇri linearizaci a další úpravˇe vztahu (5.62). Vztah



(5.62) vyjádˇríme v logaritmech a linearizujeme ho za použití Taylorova rozvoje. Dostaneme: (1 + ρ)(1 − ˜ιt ) = 1 − (Et ct+1 − ct ) + (ν − σ)(Et xt+1 − xt ) − (Et pt+1 − pt ). Úpravou tohoto vztahu s využitím vztahu (??)dostaneme: ct = Et ct+1 − 1 − {(it − Et πt+1 − χ(ν − σ)Et [∆ct+1 − ∆(mt+1 − pt+1 )] − ρ} = σ 1 = Et ct+1 − (it − Et πt+1 − ωEt ∆it+1 − ρ). σ

(5.68)

Linearizace výše uvedeného vztahu umožní analyzovat vztah mezi spotˇrebou, oˇcekávanou spotˇrebou a úrokovou mírou.

Mˇenová politika v modelu V této sekci budeme studovat chování modelu za podmínky, že další složkou modelu je centrální banka, jejíž mˇenová politika spoˇcívá v cílování inflace, což znamená, že banka na základˇe historické, nebo oˇcekávané inflace stanoví úrokovou míru. Abycho splnili náš zámˇer budeme redukovat, pˇredchozí model na dvˇe rovnice, které budou obsahovat promˇenné modelu ve fluktuacích. Pro tuto redukci využijeme podmínku tržní rovnováhy ct = yt . Tato tržní rovnováha má ve stacionárním stavu tvar c = y. Platí tedy c˜t = y˜t , kde pro fluktuace c˜t a y˜t platí c˜t = ct − c a y˜t = yt − y Podmínka rovnováhy firmy (5.10) ve fluktuacích dává rovnici: w˜t − p˜t = y˜t − ˜lt . Spojením rovnice (5.67) a výše uvedené rovnice pˇri splnˇení podmínky tržní rovnováhy c˜t = y˜t dostáváme σ y˜t + ϕ˜lt + ϑη(1 − σ)˜ιt = y˜t − ˜lt . Dosazením ze vztahu (5.9) eliminujeme lt a po vhodném souhrnném oznaˇcení parametr˚u píšeme: y˜t = Ψya a ˜t + Ψyi˜ιt

(5.69)

Výše uvedená rovnice vyjadˇruje lineární závislost produkˇcní mezery y˜t na technologické mezeˇre a ˜t a mezeˇre úrokové míry ˜ι. Nyní obrátíme pozornost k rovnici (5.68) upravíme ji s



využitím podmínek rovnováhy na rovnici: yt = Et yt+1 −

1 (it − Et πt+1 − ηEt ∆it+1 − ρ). σ

(5.70)

Celý model s penˇezi v užitkové funkci, který je je po redukci tvoˇren dvˇema rovnicemi o tˇrech neznámých veliˇcinách, totiž (5.69) a (5.70). Rovnice popisují model celkové rovnováhy se dvˇema složkami a to domácností a podnikem. Nyní model rozšíˇríme o centrální banku, jejíž chování je popsáno tzv. reagenˇcní rovnicí centrální banky, která vyjadˇruje vztah mezi inflací a úrokovou mírou: it = ρ + Φπ πt + υt ,

(5.71)

kde υt je veliˇcina zahrnující p˚usobení vnˇejších vliv˚u, které narušují politiku banky. Promˇenné at a υt jsou exogenní veliˇciny, o kterých pˇredpokládáme, že jsou generovány stacionárním procesem. at = ρa at−1 + at ,

υt = ρυ υt−1 + υt .

(5.72)

Pokraˇcujeme úpravou rovnice.Nejdˇríve ji upravíme na tvar: Et ∆yt+1 =

1 (it − Et πt+1 − ηEt ∆it+1 − ρ). σ

(5.73)

Z této rovnice musíme dostat pryˇc promˇennou ∆it+1 a πt+1 . To provedeme u ∆it+1 pomˇernˇe snadno pomocí rovnice (5.69). Pˇrepíšeme ji do tvaru v prvních diferencích a dostaneme Et ∆yt+1 = Ψya Et ∆at+1 + Ψyi Et ∆it+1 . Z výše uvedené rovnice vypoˇcítáme Et ∆it+1 a provedeme substituci v rovnici (5.72). Podobným zp˚usobem musíme z rovnice (5.73) dostat pryˇc promˇenou Et πt+1 . Toho dosáhneme snadno substitucí z rovnice (5.71) do rovnice (5.69), které pˇred tím vyjádˇríme v diferencích. Ze vzniklé rovnice vyjádˇríme Et πt+1 a dosadíme do rovnice (5.73). Problém je jenom v tom, že místo promˇenných at a υt máme jejich diference zprava, ale tˇech se zbavíme pomocí rovnic (5.72). Vzniklá soustava bude soustava rovnic (5.69)-(5.71) v promˇenných ∆yt+1 , πt , it , at a υt . Tato soustava rovnic je lineární a m˚užeme z ní vypoˇcítat promˇenné ∆yt+1 , πt , it



jako lineární funkce promˇenných at a υt . πt = −S11 at − S12 υt , it = −S21 at − S22 υt , ∆yt+1 = S31 at + S32 υt .

Pˇríklad Reprezentativní domácnost v tomto modelu maximalizuje oˇcekávanou hodnotu nekoneˇcné ∞ X mt mt t ˇrady budoucích užitk˚u E0 β u ct , , 1 − lt daných užitkovou funkcí u ct , , 1 − lt = P P t t t=0 mt ln ct + a ln − blt , kde β je osobní diskontní míra (0 < β < 1) a a a b jsou známé parametry Pt mt mt−1 + Tt mt−1 vzhledem k rozpoˇctovému omezení ct + it + = Rt kt + wt lt + , kde je Pt Pt Pt reálná penˇežní zásoba vytváˇrená z pˇredchozího období t − 1 pro souˇcasné období t, podobnˇe mt je penˇežní zásoba vytvoˇrená v tomto období pro další období t + 1, Tt je transfer a Pt je cenová hladina v období t. Reprezentativní firma má opˇet Cobbovu - Douglasovu produkˇcní funkci yt = ρt Ktα L1−α , t kde technologický pokrok je náhodný proces popsaný vztahem ln ρt+1 = ln ρt + t+1 , kde t+1 ∼ N (0, σ2 ) a dynamika kapitálu je popsaná vztahem: Kt+1 = (1 − δ)Kt + it , kde δ je odpisová míra, K0 a ρ0 jsou známé. Úkol • definujte rovnováhu této ekonomiky opˇet s pˇredpokladem dokonalé konkurence, • urˇcete podmínky rovnováhy, • urˇcete stálý stav této ekonomiky, • proved’te log linearizace dynamiky významných promˇenných kolem jejich rovnovážného stavu. ˇ Rešení Rovnováha S danou k0 a ρ0 rovnováha této ekonomiky je ˇrada {ct , it , kt , lt , yt , mt }∞ t=0 taková, že



• domácnost maximalizuje oˇcekávanou hodnotu nekoneˇcné ˇrady budoucích užitk˚u, • firma maximalizuje sv˚uj zisk a • všechny dílˇcí trhy jsou v rovnováze, tj. yt = ct + it , Kt = kt , Lt = lt a trh penˇez je v rovnováze pro všechna t. Podmínky rovnováhy Z definice rovnováhy plyne, že rovnováha je dosažena v bodˇe, kdy první derivace pˇríslušné ziskové a užitkové funkce jsou nulové. (Tyto funkce jsou konkávní a proto v bodˇe, kde jsou první derivace nulové, opravdu existuje maximum. Tuto podmínku už nemusíme testovat) Nejdˇríve ˇrešíme úlohu maximalizace zisku reprezentativní firmy a pro jednoduchost pˇredpokládejme, že cena produkce je 1. Zisková funkce firmy je πt = ρt ktα lt1−α − Rt kt − wt lt (protože v rovnováze Kt = kt a Lt = lt , není tˇreba je dále rozlišovat). Ponˇevadž racionální firma volí takový objem kapitálu a práce, aby mohla maximalizovat sv˚uj zisk, musíme zderivovat její ziskovou funkci podle kt a lt . (Aˇckoliv technologický pokrok ρt není konstanta, firma jeho pr˚ubˇeh nem˚uže ovlivnit. Náhodnost technologického pokroku však vede k tomu, že domácnost neví dopˇredu, jaká bude produkce yt v budoucnu, proto místo maximalizace nekoneˇcné ˇrady svých diskontovaných užitk˚u m˚uže pouze optimalizovat její oˇcekávanou hodnotu) [kt ]: αρt ktα−1 lt1−α − Rt = 0 => Rt = αρt ktα−1 lt1−α [lt ]: (1 − α)ρt ktα lt−α − wt = 0 => wt = (1 − α)ρt ktα lt−α Úlohu maximalizace oˇcekávané hodnoty diskontovaných užitk˚u reprezentativní domácnosti ˇrešíme opˇet pomocí Lagrangeovy funkce. Nejdˇríve však upravíme její rozpoˇctové omezení na tvar: ct + kt+1 +

mt−1 mt = Rt kt + wt lt + (1 − δ)kt + + Tt , Pt Pt

a Lagrangeova funkce má následující podobu: L = E0

∞ X

βt

t=0 mt mt−1 + Tt mt ln ct + a ln − blt + λt Rt kt + wt lt + (1 − δ)kt + − ct − kt+1 − . Pt Pt Pt



Domácnost m˚uže volit výši své spotˇreby, objem investice, penˇežní zásobu pro pˇríští období a množství práce nabízené firmˇe v každém období. Protože investice je nahrazena kapitálem v dalším období, spotˇreba ct a kapitál kt+1 , penˇežní zásoba mt a množství práce lt jsou ˇrídící (regulaˇcní) promˇenné (pozor na kapitál) a musíme Lagrangeovu funkci derivovat podle nich. První derivace Lagrangeovy funkce podle regulaˇcních promˇenných jsou: [ct ]: β

t

1 1 − λt = 0 => λt = ct ct

(5.74)

[lt ]: β t [−b + λt wt ] = 0 => λt wt = b

(5.75)

[kt+1 ]: −β t λt + β t+1 Et λt+1 (Rt+1 + 1 − δ) = 0 => λt = βEt λt+1 (Rt+1 + 1 − δ) [mt ]: β

t

λt a − mt Pt

+ β t+1 Et

λt+1 a λt λt+1 = 0 => = − βEt Pt+1 mt Pt Pt+1

(5.76)

(5.77)

Výpoˇcet stálého stavu ekonomiky Pro výpoˇcet stálého stavu ekonomiky se obvykle pˇredpokládáme, že ρ = 1. Z rovnice (3) s využitím pˇredpokladu, že v rovnováze λt je konstantní. Pak m˚užeme vypoˇcíst ihned R=

1 −1+δ β

(5.78)

Potom z podmínky maximalizace zisku firmy plyne, že y y R R = α => = . k k α Využíváme také pˇredpoklad, že ρ = 1 a upravujeme produkˇcní funkci na 1−α 1−α l y l y=k => = k k k 1 1−α 1 y 1−α R l = = . k k α

V stálém stavu platí, že



c y y = c + i = c + δk => = + δ k k c R => = − δ. k α Z podmínky maximalizace zisku firmy víme, že wt = (1 − α)

kt lt

α ,

proto v stálém stavu dostaneme α k . w = (1 − α) l Z rovnice (1) plyne 1 = λ, c a z (2) plyne 1 w =c= , λ b tedy α 1 α 1−α c = (1 − α) . b R

Následnˇe m˚užeme spoˇcítat y, k a l. αb α 1 = k= R − αδ c (1 − α) (R − αδ) R Rb y= k= α (1 − α)(R − αδ)

α 1−α R α

α 1−α R α

α+1 1 1−α 1−α R αb R l= k= α (1 − α)(R − αδ) α

a zbývá nám spoˇcítat m. Ze vztahu (4) vyplývá, že λt a λt+1 = + βEt Pt mt Pt+1 a víme, že λt =

1 . ct

Pak m˚užeme jej pˇrepsat na



a 1 1 = + βEt . ct Pt mt ct+1 Pt+1 Další úpravou pak dostaneme 1=

act Pt ct Pt + βEt . mt ct+1 Pt+1

Pt 1 acP β = , proto 1 = + . Odtud už je snadné Pt+1 1+π m 1+π vypoˇcítat rovnovážný reálný z˚ustatek penˇez vytvoˇrených v každém období α aπ a(1 + π)(1 − α) α 1−α m = c= . P 1+π−β b(1 + π − β) R V stálém stavu se ct už nemˇení a

Log-linearizace kolem stálého stavu Z pˇredchozího cviˇcení už víme, proˇc musíme log-linearizovat nelineární vztahy mezi ekonomickými promˇennými. Také už víme, jak máme postupovat, ale pro jistotu zopakujeme tyto d˚uležité vzorce pro log-linearizaci: xt xt − x xt − x x˜t = log xt − log x = log = log 1 + ≈ = x˜t , x x x xt = xelog

xt x

= xex˜t ,

ex˜t ≈ 1 + x˜t , ex˜t +b˜yt ≈ 1 + x˜t + b˜ yt , x˜t y˜t ≈ 0. Co už umíme: yt = ct + it => y y˜t = c˜ ct + i˜it yt = ρt ktα lt1−α => y˜t = ρ˜t + αk˜t + (1 − α)˜lt . Dnes budeme log-linearizovat tyto vztahy: λt w t = b λt = βEt λt+1 (Rt+1 + 1 − δ)



1 aPt 1 = + βEt ct mt ct+1 (1 + πt+1 ) Pˇrevedeme λt wt = b na tvar s relativními pˇrír˚ustky pomocí vzorce xt = xex˜t , dostaneme ˜

˜

λeλt wew˜t = λweλt +w˜t = be0 . Protože v rovnováze λw = b ˜t + w => λ ˜t = 0. S další rovnicí postupujeme zcela stejným zp˚usobem. i h ˜ ˜ ˜ λeλt = βEt λeλt+1 (ReRt+1 + 1 − δ) " # ˜ t+1 R R + 1 − δ (Re + 1 − δ) ˜ ˜ ˜ = βEt λeλt+1 (ReRt+1 + 1 − δ) = βλ(R + 1 − δ)Et eλt+1 . R+1−δ R+1−δ Protože v stálém stavu musí platit λ = βλ(R + 1 − δ), m˚užeme je pokrátit a dostaneme: " # ˜ R ˜ t+1 R ˜ t+1 +ln Re t+1 +1−δ E λ Re + 1 − δ t ˜ ˜ R+1−δ => eλt = Et eλt+1 =e R+1−δ " ˜ t = Et λ

# ˜ t+1 R Re + 1 − δ ˜ t+1 + ln λ . R+1−δ

Logaritmická funkce není lineární funkce, musíme ji zlinearizovat. Víme, že ex˜t ≈ 1 + x˜t , proto ˜

ReRt+1 + 1 − δ ln ≈ R+1−δ ln

˜ t+1 ) + 1 − δ ˜ t+1 R(1 + R R + 1 − δ + RR = ln R+1−δ R+1−δ ! ˜ t+1 ˜ t+1 RR RR = ln 1 + ≈ , R+1−δ R+1−δ

protože platí ln(1 + x) ≈ x. Dosadíme-li do vztahu v pˇrír˚ustkové formˇe, dostaneme: # " ˜ t+1 R R ˜ t = Et λ ˜ t+1 + λ . R+1−δ Poslední vztah nejdˇríve upravujeme na následující tvar (s využitím relací xt = lex˜t , ex ≈ 1 + x a ln(1 + x) ≈ x ):



1 a 1 1 = + βEt ˜ cec˜t cec˜t+1 (1 + πeπ˜t+1 ) m/P em/P t 1 + π 1 −˜ct a −m/P 1 ˜ −˜ c t+1 t + βE e = e e t c m/P c(1 + π) (1 + πeπ˜t+1 ) # " 1+π −˜ ct+1 +ln π ˜ t+1 a −m/P 1 1 −˜ct ˜ 1+πe ) . ( t + βE e = e e t c m/P c(1 + π) Protože 1+π ln = ln (1 + πeπ˜t )

1 (1+πeπ˜t+1 ) 1+π

(1 + πeπ˜t+1 ) = − ln 1+π

(1 + π(1 + π ˜t+1 )) 1 + π + π˜ πt+1 π˜ πt+1 π˜ πt+1 = − ln = − ln = − ln 1 + =− . 1+π 1+π 1+π 1+π Tedy: # " 1+π −˜ ct+1 +ln π ˜ 1 −˜ct a −m/P 1 ˜ (1+πe t+1 ) t + βE e = e e t c m/P c(1 + π) ππ ˜ t+1 1 −˜ct a −m/P 1 ˜ −˜ ct+1 − 1+π t + βEt e = e e c m/P c(1 + π) a 1 1 π˜ π t+1 ˜ (1 − c˜t ) = 1 − m/P Et 1 − c˜t+1 − . t +β c m/P c(1 + π) 1+π Jelikož v stálém stavu platí, že a 1 1 = +β , c m/P c(1 + π) odstranˇením této cˇ ásti z pˇredchozího vztahu tento finální zlog-linearizovaný vztah: ˜ am/P c˜t β π˜ πt+1 t = + Et c˜t+1 + . c m/P c(1 + π) 1+π



6

MODELY NOVÉ KEYNESOVSKÉ EKONOMIE

V této kapitole se zabýváme modely nové keynesovské ekonomie. Nejdˇríve vyložíme základní keynesovský model, který uvažuje uzavˇrenou ekonomiku a pak pˇrejdeme k modelu malé otevˇrené ekonomiky.

6.1

Uzavˇrený model nové keynesovské ekonomie

Užitková funkce modelu je vztažena k agregátu zboží, které subjekt spotˇrebovává. Množina druh˚u zboží spotˇrebovaného domácností má mohutnost kontinua, každé zboží je oznaˇceno reálným cˇ íslem i ∈ (0, 1). Užitek je vztažen k celému spotˇrebnímu koši, který je mˇeˇren souhrnným indexem 1

Z Ct =

−1

1− 1 Ct (i)di

.

0

Funkce okamžitého užitku je dána výrazem U (Ct , Nt ). Pˇripomínáme, že funkce je rostoucí v souhrnném indexu spotˇreby Ct a klesající v nabídce práce Nt . ∞ X

β t U (Ct , Nt ).

(6.1)

t=1

Celkový užitek je dán ˇradou diskontovaných okamžitých užitkových funkcí. Spotˇrebitel maximalizuje celkový užitek vzhledem k rozpoˇctovému omezení tvaru: Z

1

Pt (i)Ct (i)di + Qt Bt ≤ Bt−1 + Wt Nt + Zt . 0

Souhrnné indexy spotˇreby a cen V této cˇ ásti ponˇekud pˇredbˇehneme výklad o optimalizaci chování spotˇrebitele v nekoneˇcném cˇ asovém horizontu a budeme pˇredpokládat, že spotˇrebitel vybere jistou hodnotu indexu spotˇreby jako optimální pro daný cˇ asový okamžik. Pokud jsou dány ceny zboží pro každý bod uzavˇreného intervalu [0, 1], je dána i distribuce souhrnného spotˇrebitelského indexu do



jednotlivých druh˚u zboží. Druhy zboží vyplˇnují rovnˇež uzavˇrený interval [0, 1] Tato distribuce souhrnného indexu je ˇrešením následující optimalizaˇcní úlohy: Minimalizujte výdaje Z

1

Pt (i)Ct (i)di, 0

za podmínky Z

1

Ct =

1− 1 Ct (i)di

−1

.

0

Tuto podmínku upravíme na tvar: −1

Ct

1

Z

1− 1

Ct

=

(i)di

(6.2)

0

Veliˇcinu Ct považujeme za konstantu, takže výše uvedená úloha je tzv. isoperimetrickou úlohou variaˇcního poˇctu, která má hodnˇe specifický charakter. Sestrojíme Lagrange˚uv funkcionál, který má tvar: 1

Z

1

Z Pt (i)Ct (i)di − µ

L=

1− 1 Ct (i)di

−1

− Ct

.

0

0

Sestrojíme variaci výše uvedeného Lagrangeova funkcionálu, položíme ji rovnu 0 a po úpravˇe dostaneme: 1 −1 Pt (i) = 1 − µCt (i). Položíme λ=

1 1−

µ

a dostaneme: −1

Pt (i) = λCt (i). Odtud urˇcíme poptávkovou funkci po i-tém zboží: Ct (i) = λ Pt− (i).

(6.3)

Dosadíme do vztahu (6.2) a dostaneme −1

Ct

Z =

1

(λ

1 Pt− (i)t )1− di

=λ

0

−1

Z

1

Pt1− (i)di

(6.4)

0



Položíme-li Z Pt =

1 1−

1

Pt1− (i)di

0

pˇrejde výraz (6.4) ve tvar Ct = λ Pt− odtud máme λ =

Ct . Pt−

Staˇcí dosadit z výše uvedeného výrazu za λ ve výrazu (6.3) a dostaneme poptávkovou funkci po i-tém zboží.

Pt (i) Ct (i) = Pt

− Ct .

(6.5)

Jestliže pˇredpokládáme, že domácnosti se chovají podle poptávkové funkce (6.5)snadno dokážeme, že celkové výdaje domácnosti na nákup zboží se rovnají souˇcinu souhrnného indexu zboží a souhrnného cenového indexu. Z

1

Z Pt (i)Ct (i)di =

0

0

1

Pt (i) Pt (i) Pt =

−

Z

1

Ct di = 0

Pt1− (i) Ct di = Pt−

Pt1− C t = Pt C t . Pt−

Pˇredchozí úprava nás opravˇnuje pˇrepsat rozpoˇctovou rovnici domácnosti na následující tvar Pt Ct + Qt Bt ≤ Bt−1 + Wt Nt + Zt .

Odvození nutných podmínek pro domácnost Nejdˇríve odvodíme nutné podmínky pro spotˇrebitele v pˇrípadˇe obecného zadání užitkové funkce. Podobnˇe jako v pˇredchozích modelech sestrojíme Lagrangeovu funkci a její derivace podle Ct , Nt , Bt položíme rovny nule. Dostaneme následující vztahy: UN0 (Ct , Nt ) = λt Wt ,

UC0 (Ct , Nt ) = λt Pt ,

βEt λt+1 − Qt λt = 0.

Využitím toho, že druhou z výše uvedených rovnic m˚užeme posunout o jedno období dopˇredu, získáme vztah UC0 (Ct+1 , N+1 t) = λt+1 Pt+1 .



Z pˇredchozích vztah˚u m˚užeme eliminovat λt a λt+1 , cˇ ímž dostaneme Wt UN0 (Ct , Nt ) = , 0 UC (Ct , Nt ) Pt

Qt = βEt

UC0 (Ct+1 , Nt+1 ) Pt . UC0 (Ct , Nt ) Pt+1

V dalším výkladu použijeme jednoduchý tvar funkce okamžitého užitku: U (Ct , Nt ) =

Ct1−σ N 1+ϕ − t , 1−σ 1+ϕ

kde σ > 0 a ϕ > 0. V takovém pˇrípadˇe parciální derivace užitkové funkce pˇrejdou pˇrejdou ve tvar: UC0 (Ct , Nt ) = Ct−σ ,

UL0 (Ct , Nt ) = −Lϕt

Výše uvedené obecné nutné podmínky pˇrejdou pro náš pˇrípad jednoduchého tvaru užitkové funkce v podmínky: Lϕt Wt , −σ = Pt Ct

" Qt = βEt

Ct+1 Ct

−σ

# Pt . Pt+1

Po zlogaritmování první nutné podmínky a logaritmické linearizaci druhé nutné podmínky dostaneme: σct + ϕnt = wt − pt ,

ct = Et ct+1 −

1 (it − Et πt+1 − ρ). σ

(6.6)

Poptávka po penˇezích je urˇcena na základˇe Fisherovy rovnice poptávky po penˇezích. Poptávka po spotˇrebˇe ct je d˚usledkem rozhodnutí spotˇrebitele, které cˇ iní na základˇe optimalizacˇ ní úlohy, cenová hladina pt je dána exogennˇe a rychlost obˇehu penˇežního η0 − ηit závislá na úrokové míˇre rovnˇež. Rovnice poptávky po penˇezích má tvar: mt − pt = ct − η0 − ηit .

Firma Technologie firmy je dána následující jednoˇcinitelovou produkˇcní funkcí, kde výrobním cˇ initelem je zamˇestnanost i-té firmy Lt (i). Tvar produkˇcní funkce je stejný pro firmy, které vyrábˇejí jeden diferencovaný produkt. Každá firma je monopolem, který je vymezen diferencovaným produktem. Množina firem má mohutnost kontinua. Oznaˇcíme-li produkci i-té



firmy v cˇ ase t symbolem Yt (i), potom je Yt (i) = At L1−α (i). t

Dynamika a optimalizace cen Celá teorie cen je založena na dílˇcí pružnosti cen. Znamená to, množina firem je rozložena na dvˇe podmnožiny. Podmnožina míry 1 − θ je tvoˇrena firmami, které cenu mˇení. Tedy pravdˇepodobnost, že firma mˇení cenu je 1 − θ. Pravdˇepodobnost, že cena z˚ustane nezmˇenˇena je tedy θ. To ovšem zmˇení agregátní dynamiku cen. Do ní budou pˇrispívat jak ceny nezmˇenˇené, tak i ceny, které cenu mˇení. Model dynamiky cen by byl velmi složitý, což by ovlivnilo jeho použitelnost. Proto pˇrijímáme dva velmi zjednodušující pˇredpoklady. Pˇredevším, cenu budou mˇenit vždy firmy obdobné technologické struktury, takže zmˇenˇená cena bude stejná. Dalším pˇredpokladem bude, že rozdˇelení cen podle množiny index˚u firem z˚ustane stejné, takže index nemˇenících se cen z˚ustane stejný, bude redukován pouze vynásobením koeficientem θ. Tedy rovnice popisující dynamiku cen bude mít tvar: 1− 1 Pt = θPt−1 + (1 − θ)(Pt∗ )1− 1− . Po úpravˇe, která spoˇcívá v umocnˇení rovnice 1 − a jejím vydˇelení Pt−1 , dostaneme Π1− t

Pt∗ = θ + (1 − θ) Pt−1

1− ,

kde Πt = Pt /Pt−1 je inflaˇcní index. Za pˇredpokladu, že zmˇena ceny není veliká, tj. pomˇer Pt∗ /Pt−1 není pˇríliš odlišný od jedné a inflace je mírná, tj. index inflace se též neliší o mnoho od jedné, lze provést logaritmickou linearizaci výše uvedeného výrazu. Po provedení logaritmické linearizace dostaneme πt = (1 − δ)(p∗t − pt−1 ).

(6.7)

Firmy, které se rozhodnou ke zmˇenˇe cen v období t, zvolí cenu tak, by maximalizovaly souˇcasnou hodnotu diskontovaných zisk˚u. To znamená, že budou maximalizovat hodnotu



ˇrady max ∗

∞ X

Pt

θk Et Qt,t+k [Pt∗ Yt+k|t − Ψ(Yt+k|t )] .

(6.8)

k=0

vzhledem k poptávkovému omezení: Pt∗ = Pt+k

Yt+k|t

− Ct+k .

Výše uvedenou podmínku dosadíme do výrazu(6.8) a po dosazení derivujeme podle promˇenné Pt∗ . Po úpravˇe dostaneme ∞ X

θk Et Qt,t+k Yt+k|t (Pt∗ − Λψt+k|t ) = 0,

(6.9)

k=0

kde ψt+k|t ≡ Ψ0t+k|t znaˇcí mezní náklady v cˇ ase t + k firem reoptimalizujících cenu a Λ = /( − 1). Kdyby v každém období všechny podniky mˇenily cenu, tj. θ = 0 potom platí Pt∗ = Λψt . Nyní rovnici upravíme za úˇcelem její pozdˇejší logaritmické linearizace. Nejdˇríve rovnici (6.9) podˇelíme Pt−1 a dostaneme: ∞ X

∗ Pt θ Et Qt,t+k Yt+k|t − ΛM Ct+k|t Πt−1,t+k = 0, P t−1 k=0 k

kde jsme položili: Πt−1,t+k =

Pt+k Pt−1

a M Ct+k|t =

ψt+k|t . Pt+k

Veliˇcinu M C nazveme reálnými mezními náklady.

Výše uvedenou rovnici budeme logaritmicky linearizovat. Pˇredpokládejme takovou konstrukci modelu, že existuje stacionární ˇrešení s nulovou inflací, potom platí následující vztahy. Yt+k|t = Y, Pt∗ = Pt+k , Pt∗ = Pt−1 , M Ct+k|t = M C, Qt+k|t = β k .



Vezmeme-li v úvahu výše uvedené podmínky, dostaneme následující logaritmickou linearizaci výše uvedené rovnice kolem stacionárního stavu s nulovou inflací. p∗t

− pt−1

∞ X = (1 − βθ) (βθ)k Et [mc f t+k|t + (pt+k − pt−1 )].

(6.10)

k=0

Výše uvedenou rovnici pˇrepíšeme do pˇrehlednˇejšího tvaru. p∗t

= µ + (1 − βθ)

∞ X

(βθ)k E(mct+k|t + pt+k ),

k=0

kde jsme položili log M C = −µ.

Tržní rovnováha Budeme se zabývat nejenom podmínkami rovnováhy na jednotlivých trzích základního modelu nové keynesovské ekonomie, ale i d˚usledky této rovnováhy. Jako d˚usledek tržní rovnováhy odvodíme rovnici cenové dynamiky, pˇresnˇeji dynamiky inflace a dynamickou IS kˇrivku, tedy vztah mezi úrokovou mírou a produkˇcní mezerou. Podmínky rovnováhy máme v tomto modelu dvˇe a to rovnováhu na komoditním trhu a rovnováhu na pracovním trhu. Trh penˇežní neexistuje, model je konstruován tak, aby vyhovˇel podmínce endogenity penˇez a trh kapitálu neexistuje rovnˇež, protože kapitál neuvažujeme z d˚uvodu zjednodušení modelu.

Komoditní rovnováha Podmínka rovnováhy na kontinuu komoditních trh˚u má tvar: Yt (i) = Ct (i), i ∈ [0, 1], t = 1, 2, . . . . Z rovnováhy na jednotlivých komoditních trzích plyne i agregátní komoditní rovnováha Yt = Ct , t = 1, 2, . . . , kde Z Yt = 0

1

/(−1)

1−1/ Yt (i)di

Z , Ct =

1

/(−1)

1−1/ Ct (i)di

.

0



Rovnováhy na agregovaném komoditním trhu využijeme pro úpravu druhé rovnice (6.6). Tato rovnice je vyjádˇrena v logaritmech, proto výše uvedenou rovnici agregované komoditní rovnováhy na obou stranách zlogaritmujeme a dostaneme yt = ct . Do druhé rovnice (6.6) dosadíme a máme: yt = Et yt+1 −

1 (it − Et πt+1 − ρ). σ

(6.11)

Rovnováha na trhu práce je dána rovnicí 1

Z

Lt (i)di, t = 1, 2, . . . .

Nt = 0

Tuto podmínku dále upravíme tak že využijeme produkˇcních funkcí, ze kterých vypoˇcteme Lt (i) a pak použijeme poptávkové funkce. Dostaneme: Z Nt = 0

1

Yt (i) At

1/(1−α)

di =

Yt At

1/(1−α) Z 0

1

Pt (i) Pt

−/(1−α) di.

Po zlogaritmování výše uvedené rovnice máme (1 − α)nt = yt − at + dt , kde Z dt = (1 − α) log 0

1

Pt (i) Pt

−/(1−α) di.

Pˇredpokládáme, že zmˇena dt v cˇ ase není pˇríliš veliká, jeho konstantní složku zahrneme do at . Takže máme (1 − α)nt = yt − at .

Odvození rovnice pro inflaci Nejdˇríve odvodíme vztah mezi mezními náklady firmy a jejím mezním produktem. Snadno dokážeme, že: mct = (wt − pt ) − mpmt = (wt − pt ) − (at − αnt ) − log(1 − α) = = (wt − pt ) −

1 (at − αyt ) − log(1 − α). 1−α



To ovšem platí pro každý cˇ asový okamžik, tedy i pro okamžik t + k a dokonce pro každou skupinu firem, tedy i pro podniky reoptimalizující ceny v nˇejakém cˇ asovém okamžiku, ˇreknˇeme t. mct+k|t = (wt+k − pt+k ) − mpnt+k|t = = (wt+k − pt+k ) −

1 (at+k − αyt+k|t ) − log(1 − α). 1−α

Odeˇctením obou rovnic dostaneme: mct+k|t = mct+k +

α α (yt+k|t − yt+k ) = mct+k − (p∗ − pt+k ) 1−α 1−α t

(6.12)

Jestliže z výše uvedené rovnice dosadíme do rovnice (6.10) za mc f t+k|t dostaneme po úpravˇe: p∗t − pt−1 = (1 − βθ)Θ

∞ X

(βθ)k Emc f t+k +

k=0

∞ X (βθ)k Eπt+k , k=0

kde Θ=

1−α ≤ 1. 1 − α − α

Úpravou lze získat diferenˇcní rovnici tvaru: p∗t − pt = βθEt (p∗t+1 − pt ) + (1 − βθ)Θmc e t + πt . Jestliže použijeme (6.7) dostaneme: πt = βEt πt+1 + λmc f t,

(6.13)

kde λ=

(1 − θ)(1 − βθ) Θ. θ

Jestliže budeme ˇrešit rovnici (6.13) dostaneme: πt = λ

∞ X

β k mc f t+k .

(6.14)

k=0

Výše uvedená rovnice v podstatˇe je rovnicí nákladové teorie cen. Cena je urˇcena náklady, samozˇrejmˇe v rámci nového keynesovského modelu studovaného v rámci této kapitoly. Z pˇredchozího odvozování této rovnice víme, že byla odvozena v podmínkách ekonomiky v



rovnováze. Dynamika cen, jak vidíme ve výše uvedené rovnici, závisí na budoucím vývoji mezních náklad˚u a na konstantních koeficientech modelu. Nyní pˇristoupíme k odvozování Phillipsovy kˇrivky nové keynesovské ekonomie a k odvození dynamické IS kˇrivky, ve zkratce DIS.

Pˇrirozená úrovenˇ výroby Definici pojmu pˇrirozená úroveˇn výroby zaˇcneme vztahem mezi logaritmem reálnými mezních náklad˚u a mezním produktem práce. Tento vztah má následující tvar: mct =wt − pt − mpnt = (σyt + ϕnt ) − (yt − nt ) − log(1 − α) = 1+ϕ ϕ+α yt − at − log(1 − α) = σ+ 1−α 1−α

(6.15)

Jsou-li ceny flexibilní,tj. v každém cˇ asovém okamžiku všechny firmy v ekonomice reoptimalizují ceny, platí, že mc = −µ. Za této podmínky definujeme pˇrirozenou úroveˇn produkce vztahem ϕ+α 1+ϕ mc = σ + at − log(1 − α). ytn − 1−α 1−α

(6.16)

Výše uvedenou rovnici pˇrepíšeme do tvaru n ytn = ψya at + ϑny ,

(6.17)

kde ϑny = −

(1 − α)(µ − log(1 − α)) 1+ϕ >0 a ψ= . σ(1 − α) + ϕ + α σ(1 − α) + ϕ + α

Nyní obtížnˇe pozorovatelnou veliˇcinu fluktuace logaritmu mezních náklad˚u mct od logaritmu jejich stacionární hodnoty mc vyjádˇríme pomocí rozdílu mezi logaritmem skuteˇcné výroby yt a logaritmem pˇrirozené úrovnˇe výroby ytn . Tento rozdíl nazveme produkˇcní mezerou a znaˇcíme yˆt = yt − ytn . Za tímto úˇcelem odeˇcteme rovnici (6.16) od rovnice (6.15)a tak dostaneme: mc ft =

ϕ+α σ+ 1−α

(yt − ytn ).

(6.18)



Novokeynesovská Phillipsova kˇrivka Nyní dosadíme z (6.18) do (6.14) a dostaneme rovnici: πt = βEt πt+1 + κˆ yt ,

(6.19)

kde ϕ+α . κ=λ σ+ 1−α Tato rovnice je nazývána rovnicí novokeynesovské Phillipsovy kˇrivky. Míra inflace v cˇ ase t uvedená na levé stranˇe rovnice je ovlivnˇena oˇcekávanou inflací na pravé stranˇe rovnice a dodateˇcný pozitivní vliv dává veliˇcina produkˇcní mezery yˆt . Je-li produkˇcní mezera kladná, jedná se o situaci, kdy je ekonomika nad pˇrirozenou úrovní, což pˇrispívá k r˚ustu cen nad oˇcekávanou úroveˇn.

Rovnice dynamické IS kˇrivky Rovnici (6.11) pˇrepíšeme v podmínkách flexibilních cen a tak dostaneme: n ytn = Et yt+1 −

1 n n (it − Et πt+1 − ρ). σ

(6.20)

Ještˇe položíme rtn = int − Et πt+1 . Potom ovšem pˇredchozí rovnice pˇrejde ve tvar: n ytn = Et yt+1 −

1 n (r − ρ). σ t

Odtud dostaneme výraz pro rtn : n n rtn = ρ + σEt ∆yt+1 = ρ + σψya Et ∆at+1 .

(6.21)

Odeˇctením rovnice (6.20) od rovnice (6.11) dostaneme rovnici: 1 yˆt = − (it − Et πt+1 − rtn ) + Et yˆt+1 σ

(6.22)



Výše uvedenou rovnici m˚užeme dále upravit tak, že položíme rt = it − Et πt+1 a dostaneme 1 yˆt = − (rt − rtn ) + Et yˆt+1 . σ Když tuto rovnici vyˇrešíme pro budoucí období za podmínky, že lim Eˆ yt+τ = 0, dostaneme τ →∞

∞ 1X n yˆt = − (rt+k − rt+k ). σ k=0

Výše uvedená rovnice ukazuje vztah mezi produkˇcní mezerou a rozdílem reálné úrokové míry a pˇrirozené reálné úrokové míry. Rovnice samotná je formálnˇe odvozená v podstatˇe závisí na tom jestli ˇrada v rovnici je konvergentní nebo ne. Rovnice proto velký význam nemá. Rovnice (6.19) a rovnice (6.22) tvoˇrí model nové keynesovské ekonomie. Rovnice (6.19) vytváˇrí dynamiku cen za podmínky, že máme dánu evoluci produkˇcní mezery. Rovnice (6.22) vytváˇrí dynamiku výroby za podmínky, že je dána evoluce inflace. Rovnice tvoˇrí soustavu o dvou endogenních promˇenných, totiž produkˇcní mezery yˆt a inflace πt . V rovnicích je jedna exogenní promˇenná a to a to úrokový diferenciál rˆtn = rt −rtn . Ovšem nutno pˇripomenout, že pˇrirozená úroková míra je exogenní autonomní promˇennou urˇcenou rovnicí (6.21. Staˇcí tedy urˇcit it , která m˚uže být ovlivˇnována centrální bankou. Pravidlo, podle kterého centrální banka ovlivˇnuje úrokovou míru nazveme reagenˇcní rovnicí. Jakmile máme vytvoˇrenu reagenˇcní rovnici je model uzavˇren.

Analýza rˇ ešení modelu V následující cˇ ásti budeme analyzovat situaci, jak se mˇení inflace a produkˇcní mezera po jednorázovém mˇenovém šoku. Reakce na jiné šoky, napˇríklad reakce na technologický šok je podobná, ale zde se jí nebudeme zabývat, jenom pˇripomeneme, že technologický šok ovlivní pˇrirozenou úrokovou míru, která je následujícím modelu uvažována. Rovnovážná ˇrešení budou analyzována na základˇe pravidla úrokové míry, které je dáno reagenˇcní rovnicí



banky. Tato rovnice má tvar: it = ρ + φπ πt + φy yˆt + vt , kde parametry φπ a φy jsou urˇceny chováním centrální banky pˇri urˇcování úrokové míry. Parametr vt znaˇcí exogenní stochastickou promˇennou, která vyjadˇruje p˚usobení vnˇejších vliv˚u a o které pˇredpokládáme, že sleduje autoregresní proces vt = ρv vt + vt .

(6.23)

Promˇennou vt m˚užeme považovat za vnˇejší mˇenový šok. Z rovnic (6.19) a (6.22) a z výše uvedené rovnice vytvoˇríme následující systém dvou diferenˇcních rovnic:     E yˆ yˆ  t  = A  t t+1  + B(˜ rtn − vt ), Et πt+1 πt

(6.24)

kde r˜tn = rtn − ρ a matice A je dána vztahem 



σ 1 − βφπ , A = Ω σκ κ + β(σ + φy) a pro Ω platí Ω=

1 . σ + φy + κφπ

Rovnice 6.24 má ˇrešení právˇe, když její charakteristická cˇ ísla leží uvnitˇr jednotkového kruhu. V tomto pˇrípadˇe bude lim A = 0,

n→∞

∞ X

Ak = (I − A)−1 .

k=0

ˇ Rešení je dáno výrazem   yˆ  t  = (1 − ρA)−1 B(˜ rtn − vt ), πt

(6.25)

Pˇredpokládáme nyní, že v cˇ asovém okamžiku, dejme tomu t = 0 jednorázovˇe zap˚usobí vnˇejší mˇenový šok v0 . Tento šok ovlivní promˇennou vt , pro všechny cˇ asové okamžiky t, které následují po cˇ asovém okamžiku 0. Tento vliv se v d˚usledk˚u vlastností autoregresního procesu



(6.23) neustále oslabuje. Vliv vnˇejšího externího šoku v cˇ ase t je dán vztahem vt = ρtv v0 . Odezvy výrobní mezery a inflace na vnˇejší vlivy na úrokovou míru dává rovnice (6.25).

6.2

Model malé otevˇrené ekonomiky

V pˇredchozí cˇ ásti byly odvozen redukovaný tvar modelu nové keynesovské ekonomie, který je tvoˇren dynamickou IS kˇrivkou a Phillipsovou kˇrivkou nové keynesovské ekonomie. Zkoumaná ekonomika v pˇredchozí cˇ ásti je uzavˇrená. Produkˇcní funkce v novém keynesovském modelu byla zavedena ve zjednodušené podobˇe bez kapitálu. Z tohoto d˚uvody nejsou uvažovány investice, to znamená, že v rovnováze celá produkce slouží pouze spotˇrebˇe domácností a nikoli k obnovˇe a rozšíˇrení kapitálu, tedy yt = ct . Dále vliv na inflaci je jenom domácího p˚uvodu. V modelu malé otevˇrené ekonomiky, jak již z toho názvu vyplývá, rušíme pˇredpoklad uzavˇrenosti ekonomiky. Na rozdíl od modelu nové keynesovské ekonomie domácnost v malé otevˇrené ekonomice tedy m˚uže spotˇrebovávat jak produkty domácí výroby, tak i produkty dovážené ze zahraniˇcí na jedné stranˇe a na druhé stranˇe produkce domácí ekonomiky slouží nejenom domácí spotˇrebˇe, ale její cˇ ást jde také na vývoz. Proto už nem˚uže platit, že yt = ct a že cenová hladina nebo inflace je zp˚usobena pouze domácími faktory, ale je nutné uvažovat také faktory zahraniˇcního p˚uvodu. V modelu malé otevˇrené ekonomiky využíváme jak metodologický aparát, tak i výsledky modelu nové keynesovské ekonomie s tím, že musíme kvantifikovat vliv zahraniˇcních faktor˚u. Pˇripomínáme, že v modelu malé otevˇrené ekonomiky chápeme libovolnou ekonomiku jako jednu z nekoneˇcnˇe mnoha otevˇrených ekonomik ve svˇetˇe. To znamená taková malá a otevˇrená ekonomika (resp. její ekonomická politika) nem˚uže mít žádný vliv na ekonomiku celého svˇeta. Jinak ˇreˇceno pˇredpokládáme svˇet, ve kterém existuje kontinuum malých otevˇrených ekonomik. Každé z nich je pˇriˇrazeno cˇ íslo z intervalu [0, 1]. V tomto ideálním svˇetˇe se pˇredpokládá, že ve všech jeho ekonomikách domácnosti mají mají stejné preference, firmy stejnou technologii a tržní struktura je rovnˇež stejná.



Domácnost Reprezentativní tuzemská domácnost proto maximalizuje oˇcekávanou hodnotu toku budoucích diskontovaných užitk˚u E0

∞ X

β t U (Ct , Lt ),

t=0

kde Ct je kompozitní index spotˇreby definovaný následovnˇe: η−1

1

η−1

1

η

Ct = [(1 − α) η CD,tη + α η CZ,tη ] η−1 , kde α je podíl zahraniˇcních produkt˚u v domácí spotˇrebˇe. Index spotˇreby domácích produkt˚u CD,t je definovaný jako: 1

Z =(

CD,t

1

CD,t (j)1− dj) −1 ,

0

kde j ∈ [0, 1] a index spotˇreby dovážených produkt˚u z celého svˇeta CZ,t je definovaný jako: CZ,t

1

Z =(

1− 1

γ

Ci,t γ di) γ−1 ,

0

kde Ci,t je index zboží dováženého z konkrétní zemˇe i a je definován: Ci,t

1

Z =(

1

ε

Ci,t (j)1− ε dj) ε−1 .

0

Optimální alokace do jednotlivých produkt˚u domácí a zahraniˇcní výroby pˇri dané úrovni výdaj˚u je: CD,t (j) = Z = (

1

PD,t (j) PD,t

−ε

CD,t ; Ci,t (j) =

Pi,t (j) Pi,t

−ε Ci,t ,

1

PD,t (j)1−ε dj) 1−ε je cenový index domácích produkt˚u a obdobnˇe cenový 0 Z 1 1 index zahraniˇcních produkt˚u zemˇe i je Pi,t = ( Pi,t (j)1−ε dj) 1−ε . Spolu s podmínkou op0 Z 1 Z 1 timální alokace m˚užeme napsat: PD,t (j)CD,t (j)dj = PD,t CD,t a Pi,t (j)Ci,t (j)dj = kde PD,t

0

0

Pi,t Ci,t . Když zobecníme pro všechny zemˇe, z nichž dovážíme produkty, musí platit:

Ci,t =

Pi,t PZ,t

−γ CZ,t ,



Z = (

1

1

1−γ kde PZ,t Pi,t di) 1−γ je cenový index pro celý svˇet (všechny zemˇe) a také platí 0 Z 1 Pi,t Ci,t di = PZ,t CZ,t . Optimální alokace výdaj˚u na domácí a zahraniˇcní produkty z 0

celého svˇeta je

CD,t = (1 − α)

PD,t Pt

−η

Ct ;

CZ,t = α

PZ,t Pt

−η Ct ,

kde Pt je index cenové hladiny všech spotˇrebních zboží v domácí ekonomice (dále už jen celková cenová hladina) a je definován takto:

1

1−η 1−η 1−η Pt = [(1 − α)PD,t + αPZ,t ] .

Je patrné, že v tomto modelu pojem "malá"není založen na skuteˇcné velikosti této ekonomiky, ale na tom, že jedna ekonomika ve srovnání se svˇetem, který se skládá z nekoneˇcnˇe mnoha zemí, je vždy malá a tudíž nem˚uže ovlivnit cenu pˇrípadnˇe objem produkce. Protože musí platit Pt Ct = PD,t CD,t + PZ,t CZ,t , maximalizaˇcní úloha je provádˇena za této podmínky Pt Ct + Qt Bt ≤ Bt−1 + Wt Lt + Tt , což je formálnˇe stejné jako rozpoˇctové omezení pro domácnost v pˇredešlých modelech. S Ct1−σ Lt1+ϕ pˇredpokladem, že domácnost má tuto užitkovou funkci u(Ct , 1 − Lt ) = − , 1−σ 1+ϕ m˚užeme sestavit následující Lagrangeovu funkci: 1−σ ∞ X L1+ϕ t t Ct β E0 − + λt (Bt−1 + Wt Lt + Tt − Pt Ct − Qt Bt ) . 1 − σ 1 + ϕ t=0 Domácnost m˚uže volit svou výši spotˇreby, množství práce a množství nakoupených obligací v cˇ ase t (a tyto promˇenné, jak známo, jsou regulaˇcní promˇenné) a budeme urˇcit podmínky maximalizace sumy diskontovaných užitk˚u z první derivace Lagrangeovy funkce. [ct ] : β t [Ct−σ − λt Pt ] = 0

(6.26)

[Lt ] : β t [−Lϕt + λt Wt ] = 0

(6.27)

[Bt ] : −β t λt Qt + β t+1 Et λt+1 = 0.

(6.28)

Z první rovnice po úpravˇe dostaneme:



λt =

Ct−σ . Pt

Posunujeme-li o jedno období dopˇredu, dostaneme: λt+1 =

−σ Ct+1 . Pt+1

Dosazením λt a λt+1 do rovnice (3), po malé úpravˇe máme: −σ Ct+1 Pt Uc,t+1 Pt Qt = βEt = βEt . Uc,t Pt+1 Ct−σ Pt+1 Dosazením λt do rovnice (2) a po malé úpravˇe dostaneme: −

Wt Ul,t = = Lϕt Ctσ . Uc,t Pt

Jsou to známé Eulerovy rovnice vyjadˇrující intertemporální mezní míru substituce mezi spotˇrebami v souˇcasném a dalším období a intratemporální mezní míru substituce mezi prací a spotˇrebou v jednom období. Zlogaritmováním tˇechto dvou rovnic dostaneme Eulerovy rovnice v logaritmické podobˇe: wt − pt = σct + ϕlt ct = Et (ct+1 ) −

1 (it − Et (πt+1 ) − ρ), σ

(6.29) (6.30)

kde it = − ln Qt je krátkodobá úroková míra, ρ = − ln β je diskontní míra. Jelikož v malé otevˇrené ekonomice ct 6= yt (domácí spotˇreba se skládá ze spotˇreby produkt˚u jak domácího p˚uvodu, tak i zahraniˇcního p˚uvodu a cˇ ást domácí produkce se spotˇrebuje doma a další cˇ ást jde na vývoz), musíme najít vztah mezi domácí spotˇrebou a domácí produkcí, abychom mohli odvodit dynamickou IS kˇrivku pro malou otevˇrenou ekonomiku. Inflace domácího puvodu, ˚ celková inflace, reálný mˇenový kurz, smˇenná relace Efektivní smˇenná relace mezi domácí ekonomikou a svˇetovou ekonomikou je definována takto: Z 1 1 PZ,t 1−γ St = =( Si,t di) 1−γ , PD,t 0 kde Si,t je smˇenná relace mezi domácí ekonomikou a ekonomikou zemˇe i, Si,t =

Pi,t . PD,t

Logaritmická aproximace tohoto vztahu kolem stálého stavu je:



Z st =

1

si,t di, 0

kde st = ln St = pZ,t − pD,t . Analogicky, logaritmické vyjádˇrení pro celkovou cenovou hladinu je:

pt = (1 − α)pD,t + αpZ,t = pD,t + αst . Z pˇredchozího vztahu odvodíme následující relaci mezi inflací vyvolanou domácími faktory (dále jen domácí inflace) a celkovou inflací v domácí ekonomice (dále jen celková inflace): πt = πD,t + α∆st . Za pˇredpokladu, že platí zákon jedné ceny, plyne i Pi,t (j) = Pi,t (j)ERi,t ,

kde ERi,t je bilaterální nominální mˇenový kurz v cˇ ase t, tj. cena mˇeny zemˇe i vyjádˇrené v i jednotkách domácí mˇeny. Pi,t (j), Pi,t (j) jsou ceny zboží j doma (jako dovážený produkt v

domácí ekonomice) resp. v zemi i (jako domácí produkt zemˇe i). Zobecníme pro všechny i produkty dovážené ze zemˇe i, dostaneme: Pi,t = Pi,t ERi,t Dosadíme tento vztah do vz-

tahu cenového indexu zahraniˇcních produkt˚u všech zemí svˇeta a pˇrevedeme do logaritmické podoby, dostaneme

pZ,t = ert + p∗t , kde ert je logaritmus efektivního nominálního mˇenového kurzu (všech zahraniˇcních mˇen), p∗t je logaritmus cenového indexu celého svˇeta. Je tˇreba si podotknout, že pro celý svˇet není tˇreba rozlišit celkovou cenovou hladinu a (domácí) svˇetovou cenovou hladinu a odpovídající typy inflace. Dosadíme poslední vztah do vztahu pro smˇenné relace, dostaneme: st = ert + p∗t − pD,t . Zbývá nám jenom vztah pro efektivní reálný mˇenový kurz. Bilaterální reálný mˇenový kurz je definován takto:



RERi,t =

ERi,t Pti , Pt

kde Pti , Pt jsou celkové cenové indexy ekonomiky zemˇe i a domácí ekonomiky vyjádˇrené v domácí mˇenˇe.ZNecht’ rert je logaritmus efektivní reálného mˇenového kurzu (všech mˇen 1

reri,t di, kde reri,t = lnRERi,t , potom platí:

svˇeta) a rert = 0

Z rert =

1

(reri,t + pit − pt )di

0

= ert + p∗t − pt = st + pD,t − pt = (1 − α)st .

Sdílená spotˇreba se svˇetem Eulerova rovnice vyjadˇrující intertemporální mezní míru substituce ve spotˇrebˇe domácnosti:

Qt = βEt {

Uc,t+1 Pt }. Uc,t Pt+1

Tato podmínka musí také platit pro reprezentativní domácnost žijící v propojovaném svˇetˇe, tedy na následující podobu (pro naše vˇetší pohodlí vynecháváme operátor oˇcekávání):

Qt = β

i Ct+1 Cti

−σ

Pti i Pt+1

ERti . i ERt+1

Využíváme definici pro reálný mˇenový kurz a po malé úpravˇe dostaneme 1 Ct = ϑi Cti RERi,t , σ kde ϑi je konstanta specifická pro každou zemi a lze bez ztráty obecnosti pˇredpokládat, že rovná 1. Logaritmujeme tento vztah a dostaneme:

1 ct = c∗t + rert σ 1−α ∗ = ct + st , σ Z 1 ∗ ∗ kde ct je logaritmus svˇetové spotˇreby ct = cit di. 0



Firma Chování firmy (firem) se v tomto modelu (stejnˇe tak jako v modelu nové keynesovské ekonomie) vyznaˇcuje tˇemito rysy: • pˇripouští nedokonalou konkurenci (firmy mohou stanovit cenu svých produkt˚u) • dopˇredu hledící chování (provádˇejí optimalizaci na více období dopˇredu) • pˇripouští nepružnost cen (mohou, ale nemusí zmˇenit svoje ceny). Typická domácí firma vyrábí diferencovaný produkt s touto produkˇcní funkcí:

Yt (j) = At Lt (j), kde j je index firmy j v ekonomice.

Stanovení ceny firmou Stejnˇe jako v modelu Nové keynesovské ekonomie, tento model využívá Calvo˚uv zp˚usob nastavení cen k vyjádˇrení cenové strnulosti v ekonomice, tedy v každém období každá firma m˚uže upravit cenu svých výrobk˚u s pravdˇepodobností 1 − θ s tím, že tato cena kv˚uli nákladu jídelníˇck˚u bude platit k období a pravdˇepodobnost, že firma ponechává svou dosavadní cenu je θ. Cenový index domácích produkt˚u v ekonomice za pˇredpokladu, že všechny firmy, které ∗ zmˇení ceny, nastavují ji na úroveˇn PD,t , je:

Z

1−

PD,t−1 (i)

PD,t =

di + (1 −

∗ 1− θ)(PD,t )

1 1−

S(t)

1− ∗ 1− θPD,t−1 + (1 − θ)(PD,t )

1 1−

.

1− , dostaneme: Vydˇelíme obˇe strany tohoto vztahu PD,t−1

Π1− D,t

∗ PD,t = θ + (1 − θ)( )1− PD,t−1

(6.31)

kde ΠD,t je hrubá domácí inflace mezi obdobími t − 1 a t. Zlogaritmujeme tento vztah a následnˇe jej zlinearizujeme pomocí Taylorova rozvoje, dostaneme: πD,t = (1 − θ)(p∗D,t − pD,t−1 ).

(6.32)



∗ Firma, která si rozhodne nastavit novou cenu PD,t v období t, ˇreší následující optimalizaˇcní

úlohu: max ∗ PD,t

∞ X

∗ θk Et Qt,t+k (PD,t Yt+k|t − Ψt+k (Yt+k|t )) ,

k=0

vzhledem k této poptávce:

Yt+k|t = (

∗ PD,t ∗ )− Ct+k + Ct+k , PD,t+k

Ct+k −σ Pt ) je stochastický diskontní faktor, Ψ(.) je nákladová funkce Ct Pt+k je produkce firmy v období t + k a tato firma nastavuje novou cenu v období t.

kde Qt,t+k = β k ( a Yt+k|t

Podmínka maximalizace zisku této firmy je: ∞ X

∗ θ Et Qt,t+k Yt+k|t PD,t − k

k=0

ψt+k|t −1

= 0,

(6.33)

0

kde ψt+k|t = Ψt+k (Yt+k|t ) znaˇcí nominální mezní náklady firmy v období t + k a tato firma nastavuje novou cenu v období t. (Pokud θ = 0, pak neexistuje žádná cenová strnulost ∗ ψt+k|t a to nám umožˇnuje interpretovat a pˇredešlá podmínka zredukuje na PD,t = −1 jako požadovanou marži pˇri absenci cenové strnulosti). Výše podmínku maximalizace −1 zisku dále upravujeme dˇelením PD,t−1 a využíváme vztah definovaný pro domácí inflaci, dostaneme: ∞ X

k

θ Et Qt,t+k Yt+k|t

k=0

∗ PD,t − M Ct+k|t ΠD,t−1,t+k PD,t−1 − 1

= 0.

(6.34)

ψt+k|t znaˇcí reálné mezní náklady firmy v období t + k a tato firma nasPt+k ∗ PD,t tavuje novou cenu v období t. Ve stálém stavu s nulovou domácí inflací platí = 1 PD,t−1 ∗ a ΠD,t−1,t+k = 1, PD,t = PD,t+k , Yt+k|t = Y , M Ct+k|t = M C a Qt,t+k = β k . Z toho 1 −1 plyne, že 1 − M.M C = 0, kde M = , nebo M C = = a m˚užeme vyjádˇrit −1 M podmínku maximalizace zisku v logaritmickém tvaru kolem stacionárního stavu s nulovou

kde M Ct+k|t =

inflací pomocí Taylorova rozvoje následovnˇe: p∗D,t

− pD,t−1

∞ X = (1 − βθ) (βθ)k Et mc c t+k|k + (pD,t+k − pD,t−1 )

(6.35)

k=0



kde mc c t+k|k = mct+k|t − mc je logaritmus odchylky mezních náklad˚u od jeho hodnoty pro −1 je logaritmus požadované marže. Tuto rovnici lze pˇrepsat stálý stav mc = −µ a µ = ln na podobu: p∗D,t = µ + (1 − βθ)

∞ X (βθ)k Et [mc c t+k|t + pD,t+k ]. k=0

kde p∗D,t novˇe stanovená cena produktu v období t, pokud se firma rozhodne pro zvýšení ceny. Firmy, které upravují svoje ceny, budou tedy nastavovat ceny svých produkt˚u tak, aby rovnaly souˇctu požadované marže a váženého pr˚umˇeru oˇcekávaných budoucích nominálních mezích náklad˚u s tím, že ty váhy jsou úmˇerné pravdˇepodobnosti, že nastavená cena z˚ustane efektivní v horizontu k období, je θk . Poslední kroky odvození vypadají následovnˇe: nejdˇríve se vrátíme k vztahu:

p∗D,t − pD,t−1 = (1 − βθ)

∞ X (βθ)k Et Θmc c t+k|k + (pD,t+k − pD,t−1 ) , k=0

po malé úpravˇe dostaneme: p∗D,t

− pD,t−1 = (1 − βθ)Θ

∞ X

k

(βθ) Et mc c t+k +

k=0

kde Θ =

∞ X

(βθ)k Et πD,t+k ],

k=0

1−α < 1. Po další úpravˇe dostaneme 1 − α + α p∗D,t − pD,t−1 = βθEt {p∗D,t+1 − pD,t } + (1 − βθ)Θmc c t + πD,t .

(6.36)

Protože πD,t = (1 − θ)(p∗D,t − pD,t−1 ), další úpravou získáváme vztah mezi domácí inflací v cˇ ase t, budoucí inflací v cˇ ase t + 1 a diferencí mezních náklad˚u v pˇrítomnosti cenové rigidity a bez ní: πD,t = βEt πD,t+1 + λmc c t, (1 − θ)(1 − βθ) Θ. Je patrné, že domácí inflace nezávisí na žádném parametru θ charakterizujícím otevˇrenost ekonomiky. kde λ =

Rovnováha V rovnováze by mˇelo platit



Z

1

i Yt (j) = CD,t (j) + CD,t (j)di 0 !−γ # −ε " −η Z 1 i −η PZ,t PD,t PD,t PD,t (j) Ct + α Cti di = (1 − α) i i PD,t Pt ER P P i,t 0 t Z,t ! ε −γ ε−1 −ε Z 1 i −η PZ,t PD,t (j) PD,t 1− 1ε i i Yt (j) kde CD,t (j) = α Ct . Protože Yt = i PD,t ERi,t PZ,t Pti 0 !−γ −η Z 1 i −η PZ,t PD,t PD,t Cti di Yt = (1 − α) Ct + α i i Pt ER P P i,t Z,t 0 t !γ−η # −η " Z 1 PZ,t ERi,t PD,t η = (1 − α)Ct + α RERi,t Cti di i Pt P 0 D,t −η Z 1 PD,t η− σ1 i γ−η (St Si,t ) RERi,t di . Ct (1 − α) + α = Pt 0

V logaritmickém vyjádˇrení tato rovnice má následující podobu: yt = ct + αγst + α(η −

1 αω )rert = ct + st , σ σ

kde ω = σγ + (1 − α)(αη − 1). Podobnˇe platí i pro vyváženou produkci pro zahraniˇcní zemi αω i i: yti = cit + s . Agregujeme pro všechny zahraniˇcní zemˇe, dostaneme: σ t Z 1 Z 1 ∗ i yt = yt di = cit di = c∗t , 0

Z

0

1

protože

sit di = 0. Tedy,

0

1 st , σα αω σ . Dosadíme yt = ct + st do Eulerovy rovnice z úlohy maximalkde σα = 1 + α(ω − 1) σ izace užitku domácnosti yt = yt∗ +

ct = Et (ct+1 ) −

1 (it − Et (πt+1 ) − ρ) σ

dostaneme: αω αω 1 st = Et (yt+1 − st+1 ) − (it − Et (πt+1 ) − ρ) σ σ σ 1 αω yt = Et (yt+1 ) − (it − Et (πt+1 ) − ρ) − Et ∆st+1 σ σ 1 αΘ = Et (yt+1 ) − (it − Et (πD,t+1 ) − ρ) − Et ∆st+1 σ σ 1 ∗ = Et (yt+1 ) − (it − Et (πD,t+1 ) − ρ) + αΘEt ∆yt+1 , σα

yt −



kde Θ = ω − 1, jelikož rovnováze musí platit tyto dva vztahy: yt = cD,t + cZD,t a yt∗ = c∗t , kde cZD,t je index spotˇreby domácích produkt˚u v zahraniˇcí. To jsou r˚uzné formy IS kˇrivky pro malou otevˇrenou ekonomiku.

Obchodní bilance Pt 1 (Yt − Ct ) je cˇ istý export vyjádˇrený jako zlomek produktu ve stálém Y PD,t αω stavu, logaritmická aproximace je nxt = yt − ct − αst . Opˇet pomocí yt = ct + st m˚užeme σ je pˇrepsat do formy: Necht’ nxt =

nxt = α(

ω − 1)st . σ

Trh práce, mezní náklady firmy a dynamika inflace Z Necht’ Yt =

1

1− 1ε

Yt (j)

ε ε−1

dj

je index celkové domácí produkce. Analogicky jako u

0

indexu spotˇreby, lze odvodit index agregátní zamˇestnanosti :

Z Lt = 0

1

Yt Lt (j)dj = At

Z

1

0

Pt (j) Pt

−ε dj. Z

Logaritmická aproximace tohoto vztahu do prvního ˇrádu s tím, že dt = 0

druhého ˇrádu, je:

1

Pt (j) Pt

−ε dj je

yt = at + lt .

Phillipsova kˇrivka pro malou otevˇrenou ekonomiku V pˇredchozí cˇ ásti jsme odvodili následující Phillipsovu kˇrivku pro domácí inflaci: πD,t = βEt (πD,t+1 ) + λmc c t. Nás však zajímá celková inflace spíše než domácí inflace. Proto využíváme relaci mezi domácí a celkovou inflacemi, kterou jsme již odvodili k dosažení tohoto cíle. Platí: πt − α∆st = βEt (πt+1 − α∆st+1 ) + λmc ct πt = βEt (πt+1 ) + λmc c t + α(∆st − βEt ∆st+1 )



Poslední vˇec, kterou je tˇreba udˇelat, je nahradit odchylku od optimálních mezních náklad˚u produkˇcní mezerou, protože jsme zvyklí ji mít v této podobˇe.

Úloha minimalizace nákladu˚ Mezní náklady firem se stanoví z ˇrešení úlohy minimalizace náklad˚u, která je formulována takto:

min Wt Lt s.t. PD,t Yt ≤ Y0 . Podmínka minimalizace náklad˚u: Wt = λPD,t M P Lt = PD,t M C.M P Lt , kde λ jsou mezní náklady (podle definice Lagrange˚uv multiplikátor jsou mezní náklady pro firmu - náklady pˇri zvýšení produkce o jednu jednotku nad optimálním objemem produkce). Je známo, že chování firmy v novˇe keynesovském pojetí je spojeno s distorzemi. Jedna z nich je její síla na trhu zboží, která jí umožˇnuje nastavit monopolistickou cenu svých výrobk˚u. Jelikož pˇri flexibilních cenách musí platit: M P Lt =

Wt , PD,t

zatímco pˇri monopolistickém chování, jak je patrné, tato relace je: Wt = M C.M P Lt < M P Lt , PD,t −1 < 1. Abychom eliminovali tuto neefektivnost, musíme dotovat každé pracovní místo τ (τ je tedy míra státní podpory na jednoho zamˇestnance), aby (1 − τ )M C protože M C =

= 1, tedy: Wt = (1 − τ )M C.M P Lt . PD,t Druhá distorze v tomto modelu je spojená s nepružností cen. To, že firma neupraví svou cenu hned, vede k tomu, že se M C není konstantní v cˇ ase, tedy : Wt = (1 − τ )M Ct .M P Lt . PD,t Protože produkˇcní funkce firmy je Yt = At Lt , derivujeme ji podle Lt a máme M P Lt = At , dosazujeme do posledního vztahu a zlogaritmujeme jej, dostaneme: mct = −ν + wt − pD,t − at ,



kde ν = − ln(1 − τ ). Nejdˇríve upravujeme tento vztah takto: mct = −ν + (wt − pt ) + (pt − pD,t ) − at . Dále využíváme vztah mezi domácí a celkovou cenovou hladinou : pt − pD,t = αst a wt − pt = σct + ϕlt a dosazujeme je do pˇredchozího vztahu a dostáváme : mct = −ν + σct + ϕlt + αst − at . Protože yt = lt + at , yt = ct +

αω 1 st a yt = yt∗ + st , poslední vztah lze upravit na tuto σ σα

podobu: mct = −ν + σyt∗ + ϕyt + st − (1 + ϕ)at . Je patrné, že se mezní náklady firem zvyšují pˇri zvýšení smˇenné relace a svˇetové produkce. Obˇe veliˇciny ovlivˇnují reálnou mzdu prostˇrednictvím d˚uchodového efektu na nabídku práce a pˇres ni i domácí spotˇrebu. 1 Protože platí yt −yt∗ = st , dosazujeme tuto relaci do pˇredchozího vztahu a po malé úpravˇe σα dostaneme:

mct = −ν + (σ − σα )yt∗ + (σα + ϕ)yt − (1 + ϕ)at . Z tohoto vztahu vidíme, že v malé otevˇrené ekonomice zmˇena domácí produkce ovlivˇnuje mezní náklady firem prostˇrednictvím ϕ (zamˇestnanost) a σα (smˇenná relace). Svˇetová produkce ovlivˇnuje mezní náklady firem prostˇrednictvím σ (spotˇreba) a σα (smˇenná relace). Víme, že v prostˇredí flexibilních cen je mc = −µ a produkt je roven potenciálnímu produktu ytn , pak platí:

−µ = −ν + (σ − σα )yt∗ + (σα + ϕ)ytn − (1 + ϕ)at . Vyˇrešíme tuto rovnici pro potenciální produkt otevˇrené ekonomiky v podmínkách flexibilních cen a dostaneme pro potenciální produkt následující vztah:

ytn = Γ0 + Γa at + Γ∗ yt∗ , kde Γ0 =

ν−µ 1+ϕ αΘσα , Γa = a Γ∗ = − . Necht’ y˜t = yt − ytn , potom platí σα + ϕ σα + ϕ σα + ϕ



mc c t = (σα + ϕ)˜ yt . Phillipsova kˇrivka malé otevˇrené ekonomiky je potom tento vztah: πD,t = βEt {πD,t+1 } + κα y˜t ,

(6.37)

kde κα = λ(σα + ϕ). Chceme-li Phillipsovu kˇrivku s celkovou inflací, pak to bude: πt = βEt (πt+1 ) + κα y˜t + α(∆st − βEt ∆st+1 )

(6.38)

A dynamická IS kˇrivka je: y˜t = Et y˜t+1 −

1 (it − Et πt+1 − rtn ), σ

(6.39)

αΘσα ϕ ∗ Et ∆yt+1 . Tyto dvˇe rovnice jsou velmi podobné σα + ϕ dvˇema rovnicemi pro uzavˇrenou ekonomiku (pro snadnˇejší zapamatování). Vliv otevˇrenosti kde rtn = ρ + σα Γα (1 − ρα )at +

ekonomiky je schován v tˇech indexovaných parametrech. Je patrné, že ve srovnání s uzavˇrenou ekonomikou v malé otevˇrené ekonomice inflace (domácí složka) je citlivˇejší na produkˇcní mezeru a pˇrirozená úroková míra v domácí ekonomice závisí mj. také na produkci ve svˇetˇe.

Mˇenová politika v malé otevˇrené ekonomiky V modelu nové keynesovské ekonomie je optimální politika ta, která odstraˇnuje všechny neefektivnosti v ekonomice a tedy zajišt’uje y˜t = 0 a πt = 0. V malé otevˇrené ekonomice kromˇe tˇech zmínˇených opatˇrení existuje navíc ještˇe jedna možnost, která m˚uže zabránit vychýlení ekonomiky od tržní rovnováhy: možnost ovlivnit smˇennou relaci ve prospˇech domácích subjekt˚u. Tato možnost je d˚usledkem nedokonalé substitutability mezi domácími a zahraniˇcními produkty vyvolané nepružností cen. Za tˇechto podmínek je optimální politika ta, která plnˇe stabilizuje domácí inflaci a nechává mˇenový kurz volnˇe pohybovat, aby absorboval všechny výkyvy ve smˇenné relaci. Mˇenová politika v modelu malé otevˇrené ekonomiky vychází jako ˇrešení rovnice: xt = Axt+1 + B,



kde xt = (yt , πt )0 a A a B jsou matice koeficient˚u. Mˇenová politika m˚uže také koncipována ve formˇe pravidel podobných Taylorovu pravidlu. Uvádíme zde nˇekterá z nich níže: it = ρ + φπ πD,t , nebo it = ρ + φπ πt a ert = 0. Podle Galího a Monacelliho [15], výsledky jejich kalibrace modelu malé otevˇrené ekonomiky ukazují, že politika stabilizace mˇenového kurzu vede k vˇetší ztrátˇe blahobytu než první dva typy politiky ve formˇe Taylorova pravidla.



Literatura [1] Akerlof, G. A. – Milbourne, D., 1980. The Short-Run Demand for Money Economic Journal, 90 (360), pp. 885–900 [2] Allen, R. D. G., 1971. Matematická ekonomie. Academia, Praha, [3] Baumol, W. J., 1952. The Transaction Demand for Cash. An Inventory Approach. Quaterly Journal of Economics, 66, s. 545–556 [4] Blanchard, O. J.– Fischer, S., 1989. Lectures on Macroeconomics. Massachusetts Institute of Technology Press, Cambridge, Mass [5] Cagan, P., 1956. The Monetary Dynamics of Hyperinflation. in Studies in the Quantity Theory of Money. ed. Friedman M. University of Chicago Press, Chicago, [6] Callum, B. T., 1989. Monetary Economics, Theory and Policy. Macmillan Publishing Company, New York [7] Champ, B. – Freeman, S., 1994. Modeling Monetary Economies. John Willey & Sons, Inc, New York [8] Cuthbertson, K., 1988. The Supply and Demand for Money. Basil Blackwell Ltd, Oxford (UK) [9] Fábry, J. – Pelikán, J., 1994. Poznámka k deterministickémmu modelu zásob. In MME 94 – Matematické metody v ekonomice VŠE, Praha, s. 147–151 [10] Fisher, I., 1911. The purchasing Power of Money. Macmillan, New York [11] Flaschel, P. – Franke, R. – Semmler, W., 1997. Dynamic Macroeconomics. The MIT Press, Cambridge (Massachusetts) [12] Freixas, X. – Rochet, J. C., 1998. Microeconomics of Banking. The MIT Press, Cambridge (Massachusetts) [13] Friedman, M., 1956. The Quantity Theory of Money – A Restatement. In Studies in Quantity Theory of Money. The University of Chicago Press, Chicago



[14] Galí, J., 2008. Monetary Policy, Inflation, and the Business Cycle: An Introduction to the New Keynesian Framework. Princeton University Press, Princeton (US) [15] Galí, J., Monacelli T., 2005. Monatery Policy and Exchange Rate Volatility in a Small Open Economy. Review of Economic Studies 72 (3), pp 707 - 734 [16] Grandmont, J. M., 1986. Money and Value. Cambridge University Press, Cambridge (UK) [17] Kaˇnka, M. – Henzler, J., 1997. Matematika pro ekonomy (2). Ekopress, Praha ˇ [18] Keynes, J. M., 1963 Obecná teorie zamˇestnanosti, úroku a penˇez. Nakladatelství CSAV, Praha [19] Malinvaud, E., 1961. Lesons de Theorie Microeconomique. Dunod, Paris [20] McCandless, G., 2008. The ABCs of RBCs: An Introduction to Dynamic Macroeconomic Models. Harvard University Press, Massachusetts (US) [21] Patinkin D., 1991. Money, Interest and Prices. The MIT Press, Cambridge (Massachusetts) [22] Samuelson, P. A., 1947: Foundations of Economic Analysis. Harvard University Press, Cambridge (Massachusetts) [23] Sargent, T. J., Ljungqvist L., 2004. Recursive Macroeconomic Theory, 2nd Edition. MIT Press, Cambridge (Massachusetts) [24] Sprenkle, C. M. – Miller, M. H., 1980. The Precautionary Demand for Narrow and Broad Money. Economica, 47 pp. 407–421 [25] Tobin, J., 1956. The Interest Elasticity of Transaction Demand for Cash. Review of Economics and Statistic, 38, 1956, s. 241–247 [26] Tobin, J., 1958. Liquidity Preference as Behaviour Towards Risk. Review of Economics Studes, 25, s.68–75 [27] Turnovsky S., 2000. Methods of Macroeconomic Dynamics. MIT Press, Cambridge, Mass



[28] Walsh C. E., 2003. Monetary Theory & Policy. MIT Press, Cambridge, Massachusetts (US) [29] Woodford M., 2003. Interest and Prices: Foundations of a Theory of Monetary Policy. Princeton University Press, Princeton (US)



MONETÁRNÍ MAKROANALÝZA

Recommend Documents