Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály

Név: ……………………………... Kód: ………....…………..………. Eredmény: ..……………………...

BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.

STATISZTIKA I. VIZSGA; NG – KM ÉS KG – TQM SZAKOKON

MINTAVIZSGA Feladatok Szerezhető pontszám Elért pontszám

1. 8

2. 21

3. 17

4. 28

5. 6

6. 20

Összesen 100

A megoldás részletes mellékszámítások hiányában NEM értékelhető! A számításokat KÉT tizedes jegyre, DE a százalékos formában értelmezhető mutatókat NÉGY (vagyis százalékos alakban két) tizedes jegyre kerekítse!

1. feladat (8 pont) Két ország (K és L) kiadásairól az alábbi adatokat ismerjük:  K ország kiadásai saját árain számítva 440 fitying (saját valutája)  L ország kiadásai saját árain számítva 396 fabatka (saját valutája)  K ország kiadásai 550 fabatka  L ország kiadásai 450 fitying Feladat: a) Azonosítsa be (a szokásos jelölésekkel) a megadott értékeket! b) Megfelelő mutatóval határozza meg hány fabatkát ér egy fitying? c) Melyik ország valutája erősebb? a)

q q q q

b)

K

p K  440

L

p L  396

K

p L  550

L

p K  450

q p q p q p (L / K )  q p

I pK ( L / K )  I pL

K

L

K

K

L

L

L

K



550  1,25 440



396  0,88 450

(2 pont) (4 pont) (2 pont)

I ( L / K )  I ( L / K )  I pL ( L / K )  1.25  0,88  1,0488 F p

K p

Egy egységnyi K országbeli valuta 1,0488 egységnyi L országbeli valutával egyenértékű, tehát 1 fitying 1,0488 fabatkát ér. c) K ország valutája erősebb, mivel ugyanazért a termékért kevesebb fityinget kell adni.

-1-

Statisztika1 – Mintavizsga 2. feladat (21 pont) Egy vállalat háromféle terméket forgalmaz. Az értékesítésről az alábbiakat ismerjük:

v0=q0p0

q1p0

v1=q1p1

iq

ip

iv

Bevétel (M Ft) Az árak 2011-ben Volumenindex Folyó Változatlan Folyó Termék a 2005. évi %(2005=100%) áron áron áron ában 2005-ben 2011-ben 2011-ben A 120 108 162 –10,00 0,9 +50,00 1,5 B 125 100 220 –20,00 0,8 +120,00 2,2 C 150 180 171 +20,00 1,2 –5,00 0,95 Együtt 395 388 553 –4,65 0,9535 +46,83 1,4683

Bevételváltozás (2005=100%) +35,00 +76,00 +14,00 +40,00

1,35 1,76 1,14 1,4

Ismert, hogy a vállalat bevétele 2005-ről 2011-re folyó áron 158 MFt-tal, azaz 40%-kal nőtt. Feladat: a.) Töltse ki a táblázat minden rovatát! (3 pont) b.) Jellemezze szövegesen a megfelelő mutatószámok alapján a vállalat bevételének, valamint a volumenek együttes átlagos változását! (12 pont) c.) A megfelelő mutatószám alapján határozza meg, hogy hány forinttal növelte/csökkentette az árváltozás a vállalat bevételét? (3 pont) d.) 2005 és 2011 között évente átlagosan hány százalékkal változott a bevétel? (3 pont) a) Felhasznált összefüggések: 158 / 0,4 = 395 =

v

0

108 / 120 = 0,9 100 / 0,8 = 125 395 – 120 – 125 = 150 180 / 150 = 1,2 b)

Iv 

v v

1



0

q p q p

iq 

q1 p0 q0 p0

ip 

q1 p1 q1 p0

395 + 158 = 395  1,4 = 553 = 162 / 108 = 1,5 100  2,2  220 553 – 162 – 220 = 171 171 / 150 = 1,14 (= 1,2  0,95 )

iv 

v

q1 p1 v1   iq  i p q0 p0 v0

1

162 / 120 = 1,35 (= 0,9  1,5 ) 0,8  2,2  1,76 (= 220 / 125) 171 / 0,95 = 180 108 + 100 + 180 = 388

553  1,4 2005-ről 2011-re a vállalat bevétele együttesen, átlagosan 40%-kal nőtt. 395

  v0  iq 120  0,9  125  0,8  150  1,2     0,9823    395  v0 0 0   2005-ről 2011-re az értékesített mennyiségek együttesen, átlagosan 1,77%-kal csökkentek bázis időszaki árakkal súlyozva.

I q0 

1

v v i

0



388  0,9823  98,23% 395

553  0,9255  92,55% 162 220 171 1   0,9 0,8 1,2 q 2005-ről 2011-re az értékesített mennyiségek együttesen, átlagosan 7,45%-kal csökkentek tárgy időszaki árakkal súlyozva. I q1 

1



I qF  I q0  I q1  0,9823  0,9255  0,9535  95,35% 2005-ről 2011-re az értékesített mennyiségek együttesen, átlagosan 4,65%-kal csökkentek. -2-

Statisztika1 – Mintavizsga c)

K p   q1 p1   q1 p0  553  388  165 Az árváltozás miatt 165M Ft-tal nőtt a vállalat bevétele.

d) 6

1,4  1,0577

2005 és 2011 között a vállalat bevétele évente átlagosan 5,77%-kal nőtt.

3. feladat (17 pont) Egy vállalat három gyárban állítja elő ugyanazt a terméket. A vezérigazgató 2008 végén elégedetlen a magas fajlagos előállítási költséggel, ezért az üzemvezetőket megbízza, hogy csökkentsék a vállalatnál a fajlagos önköltséget. A 2011-es beszámolók szerint az egyes üzemeknek egy új technológia bevezetésével sikerült csökkenteniük. A vezérigazgató örömmel olvasta a beszámolókat és nyugodt szívvel dőlt hátra a székében, hogy a vállalat jó irányba fejlődik.

B0

A1

V0

V1

k

i

Az előállított Egy előállított termékre jutó költség Az összköltség termékek Gyár megoszlása (%) 2008-ban 2008-ban 2008-ban 2008-ban megoszlása (%) 2011-ben (Ft/db) (Ft/db) (Ft/db) (Ft/db) 2008-ban

I. II. III. Együtt

40,00 35,00 25,00 100,00

18,50 36,50 45,00 100,00

30 40 50 38,5

27 38 49 39

–3 –2 –1 +0,5

–10,00 –5,00 –2,00 +1,3

V0

V1

K

I

Feladat: a.) Töltse ki a táblázat hiányzó adatait! (5 pont) b.) A megfelelő mutatószámok kiszámítása és értelmezése után válaszolja meg, hogy: Igaza van-e a vezérigazgatónak? Milyen tényezők és milyen mértékben befolyásolták a fajlagos önköltség alakulását? (10 pont) c.) Mit jelentene a fenti példában az, hogy I” = 1? (2 pont) a) 100 – 18,5 – 36,5 = 45 38 / 40 = 0,95

V1 

A A V

1

1

 B V B 0

27 – 30 = –3 50 – (–1) = 50  0,98 = 49

100 1   39 18,5 36,5 45 0,185 0,365 0,45     27 38 49 27 38 49



1

V0 

30  0,9  27 1 / 0,02 = 50

0

összefüggésből kapjuk a

38,5 

0

amiből x  35 . -3-

38 – (–2) = 40

39  38,5  0,5 39 / 38,5  1,013

40  30  x  40  (60  x)  50 100

egyenletet,

Statisztika1 – Mintavizsga b)

V1 39   1,013 V0 38,5 2008-ról 2011-re a vállalatnál az egy előállított termékre jutó költség együttesen, átlagosan 1,3%-kal nőtt, tehát nincs igaza a vezérigazgatónak. (Bár az egyes gyárakban csökkent, de az egész vállalatnál nőtt a fajlagos önköltség.) I

A változás annak köszönhető, hogy 1. minden gyárban csökkent az egy előállított termékre jutó költség, 2. az előállított termékek összetétele megváltozott.

A A i

100  0,9533 18,5 36,5 45 1   0,9 0,95 0,98 Ha az előállított termékek összetétele mindkét évben ugyanaz lett volna (csak az egyes gyárak fajlagos költségei változtak volna), akkor 2008-ról 2011-re a vállalatnál 4,67%-kal csökkent volna az egy előállított termékre jutó költség. I 

1



Vagy: 2008-ról 2011-re gyáranként átlagosan 4,67%-kal csökkent az egy előállított termékre jutó költség.

I 1,013   1,0626 I  0,9533 Ha az egyes gyárak egy előállított termékre jutó költségei nem változtak volna (csak az előállított termékek összetétele változott volna), akkor 2008-ról 2011-re a vállalatnál 6,26%-kal nőtt volna az egy előállított termékre jutó költség. I  

Vagy: Az előállított termékek összetételének megváltozása miatt 2008-ról 2011-re a vállalatnál 6,26%-kal nőtt az egy előállított termékre jutó költség.

c) Az előállított termékek gyárak szerinti összetétele nem változott 2008-ról 2011-re.

-4-

Statisztika1 – Mintavizsga 4. feladat (28 pont) Egy városban működő vállalkozásokat vizsgáltuk a foglalkoztatottak száma alapján. Az alábbiakat ismerjük: h 10 10 10 20 20

Dolgozók száma (fő) – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 80 81 – Összesen

xi 35 45 55 70 90

Vállalatok száma (db) 21 24 36 51 18 150

f i'

g i (%)

g i' (%)

si

21 45 81 132 150 –––

14 16 24 34 12 100

14 30 54 88 100 –––

735 1080* 1980 3570 1620 8985

Feladat: a) Töltse ki a táblázat minden rovatát! (4 pont) b) Jellemezze szövegesen az ismert eloszlásjellemzők – középértékek, szóródás és aszimmetria – kiszámítása alapján a dolgozók számának eloszlását! (18 pont) c) Nevezze meg és értelmezze az alábbi mutatót: (3 pont) D7 = 69 fő Neve: Hetedik decilis Értelmezés: A vállalatok 70%-a legfeljebb 69 főt foglalkoztat. Vagy: A vállalatok 30%-a legalább 69 főt foglalkoztat. Értelmezze a feladat szövege alapján a *-gal jelzett értéket! (3 pont) Nevezze meg a mutatót: Értékösszeg. Összesen 1080 fő dolgozik azoknál a vállalatoknál, amelyeknél a foglalkoztatottak száma több mint 40 fő, de legfeljebb 50 fő. a)

fi f s i  f i  xi g i  i n n 81 / 0,54 = 150 = n f1 = 150  0,14  21 f2 = 1080 / 45 =24 f3 = 81 – (21+24) = 36 f4 = 150 – (21+24+36+18) = 51 stb.

Felhasznált összefüggések:

b)

gi 

21  35  24  45  ...  18  90 8985   59,9  60 150 150 A vállalatok átlagosan 60 főt foglalkoztatnak. Vagy: A vállalatoknál a dolgozók átlagos száma 60 fő. x

(Megjegyzés: az átlagot általában NEM kell egészre kerekíteni!!!)

75  45  10  58,33 36 A vállalatok fele legfeljebb 58,33 főt foglalkoztat. (A vállalatok fele legfeljebb 58 főt foglalkoztat.) Vagy: A vállalatok fele legalább 58,33 főt foglalkoztat. (A vállalatok fele több mint 58 főt foglalkoztat.) Me  50 

Mivel nem egyenlő hosszúak az osztályközök, így a módusz meghatározásához a gyakoriságokat módosítani kell! (36  24) Mo  50   10  55,33 (36  24)  (36  25,5) A legtöbb vállalat kb. 55,33 főt foglalkoztat. Vagy: A vállalkozások által foglalkoztatottak tipikus létszáma 55 fő (vagy 55,33 fő). -5-

Statisztika1 – Mintavizsga



21  (35  59,9) 2  24  (45  59,9) 2  ...  18  (90  59,9) 2  16,48 150

16,48  0,2751 59,9 Az egyes vállalkozások által foglalkoztatottak száma átlagosan 16,48 fővel tér el a vállalkozások átlagos foglalkoztatotti számától, ami az átlagos létszám 27,51%-a, azaz a létszám közepes mértékben szóródik. V

59,9  55,33  0,28 16,48 A vállalkozások foglalkoztatottak száma szerinti eloszlása enyhe bal oldali, jobbra elnyúló aszimmetriát mutat. Jellemzőbbek a kevesebb dolgozót foglalkoztató vállalatok. A

5. feladat (6 pont) Hogyan módosulnának az előző feladatban kiszámolt mutatók, ha mindegyik vállalat 5 fővel többet foglalkoztatna? Válaszát indokolja! Átlag: mivel a teljes értékösszeg 150  5  750 -nel nő, így az átlag 5 fővel nő, tehát 64,9 fő. Medián: mivel minden adat 5-tel nő, ezért a rangsor nem változik. A vállalatok alsó 50%-át ugyanazok alkotják, melyek így legfeljebb 63,33 főt foglalkoztatnának. Módusz: mivel minden adat 5-tel nő, ezért az eloszlást ábrázoló hisztogram 5 egységgel jobbra kerül, így a módusz is, vagyis a legtöbb vállalat kb. 60,33 főt foglalkoztatna. Szórás: mivel minden adat és az átlag is 5-5-tel nő, így az adatok átlagtól vett eltérései nem változnak, következésképpen a szórás sem változik. Relatív szórás: 16,48 / 64,9 = 0,2539 Aszimmetria mutató: mivel az átlag és a módusz is 5-5-tel nő, így a számláló nem változik, a nevező (szórás) nem változik, vagyis az A mutató értéke nem változik. Vagy: mivel minden vállalkozás 5-5 fővel növeli a létszámát, így az egymáshoz viszonyított helyzetük, azaz az eloszlásuk nem változik

-6-

Statisztika1 – Mintavizsga 6. feladat (20 pont) Egy kisvárosban működő strandon az egyik napon megvizsgálták a vendégeket. Az 500 strandoló 60%-a helybéli volt, a helybéliek 60%-a nő volt. Tudjuk továbbá, hogy 1 nem helybéli nőre 3 helybéli nő jutott. Feladat: a) Készítsen statisztikai táblát a fenti adatok alapján!

(4 pont)

A strand vendégeinek nem és lakóhely szerinti eloszlása a vizsgálat napján (fő) Nem Nő Férfi Összesen Lakóhely Helybéli 180 120 300 Nem helybéli 60 140 200 Összesen 240 260 500 b) Egészítse ki az alábbi mondatokat! (4 pont) Az előző feladatrészben szereplő tábla kombinációs tábla, mert csoportosító sorokat tartalmaz. A két ismérv között asszociációs kapcsolat van, mert mindkét ismérv minőségi ismérv. A vendégek neme névleges (nominális) skálán mérhető, továbbá alternatív ismérv, mivel két ismérvváltozata van. A feladat szövegének második mondatában megoszlási viszonyszámok, a harmadik mondatban koordinációs viszonyszám szerepel. c) Mutassa ki a két ismérv közötti kapcsolat szorosságát! Y

(4 pont)

180  140  60  120  0,56 180  140  60  120

A vendégek neme és lakóhelye között közepes erősségű sztochasztikus kapcsolat van. d) A helybéliek összesen 240 000 forintot, a nem helybéliek összesen 200 000 forintot költöttek a strandon. A megfelelő mutatószámok kiszámítása és értelmezése után határozza meg a lakóhely és a kiadások nagysága közötti kapcsolat szorosságát, ha ismert, hogy az egyes strandolók költségei átlagosan 38%-kal térnek el az átlagos kiadástól? (8 pont) Lakóhely Helybéli Nem helybéli Együtt Részátlagok: Főátlag:

Vendégek száma (fő) 300 200 500

240000 / 300 = 800 440000 / 500 = 880

Külső szórás:  K 

Átlagos kiadás (Ft/fő) 800 1000 880

200000/ 200 = 1000

300  (800  880) 2  200  (1000  880) 2  97,98 500

V  0,38  teljes szórás:   0,38  880  334,4 H

97,98  0,293  H 2  0,0858  8,58% 334,4

A lakóhely és az átlagos kiadás között gyenge sztochasztikus kapcsolat van. A lakóhely 8,58%-ban befolyásolja az kiadások alakulását. -7-