MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. december 7.

Ha hibát találsz, kérlek jelezd a [email protected] e-mail címen!

Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így add tovább! 3.0 Unported Licenc feltételeinek megfelelően szabadon felhasználható.

1

A jegyzet Bozzay Árpád és Varga Sándor B szakirányos hallgatók Modellek és algoritmusok 2014/1 féléves előadásjegyzete alapján készült. Nem tartalmazza a megjegyzéseket, példákat, bizonyításokat, csupán a definíciókat, kimondott tételeket és állításokat.

1. Előadás 1.1. Inverz függvény tétel 1.1 Tétel (Globális). I ⊂ R nyílt intervallum, f : I → R. Tegyük fel, hogy f differenciálható, és f 0 > 0 az egész I-n. Ekkor ∃ f −1 és differenciálható is, és (f −1 )0 (y) =

1 f 0 (f −1 (y))

.

1.2 Tétel (Lokális). I ⊂ R nyílt intervallum, f : I → R. Tegyük fel, hogy ∃ a ∈ I, hogy f folytonosan differenciálható a-ban, és f 0 (a) > 0. Ekkor ∃ U = K(a), V = K(f (a)), f : U → V bijekció, és 1

(f −1 )0 (x) =

f 0 (f −1 (x))

x ∈ V.

1.1.1. Általánosítás 1.3 Tétel (Inverz függvény tétel). Ω ⊂ Rn nyílt, f : Ω → Rn . Tegyük fel, hogy i, f folytonosan differenciálható Ω-n, ii, ∃ a ∈ Ω, det f 0 (a) 6= 0. Ekkor ∃ U ⊂ Ω nyílt , V ⊂ Rn nyílt, a ∈ U, f (a) ∈ V, f : U → V bijekció, és (f

−1 0



0

) (x) = f (f

−1

−1

(x))

(x ∈ V ).

1.2. Implicit függvény tétel f ∈ R2 → R, H := {(x, y) : f (x, y) = 0}. y kifejezhető-e? 1.4 Definíció. f ∈ R2 → R, H := {(x, y) : f (x, y) = 0}. Ha ∃ U1 , U2 nyílt halmazok, ϕ : U1 → U2 , hogy f (x, ϕ(x)) = 0, akkor ϕ kielégíti az f (x, y) = 0 implicit egyenletet.

2. Előadás 2.1 Tétel (Implicit függvény tétel, speciális eset). Ω ⊂ R2 nyílt, f : Ω → R. Tegyük fel, hogy i, f folytonosan differenciálható Ω-n, ii, ∃ (a, b) ∈ Ω, f (a, b) = 0, δ2 f (a, b) 6= 0. Ekkor 2

i, ∃ U1 , U2 , ⊂ R nyílt, a ∈ U1 , b ∈ U2 , ∃ ϕ : U1 → U2 bijekció, ϕ(a) = b és f (x, ϕ(x)) = 0 (x ∈ U1 ), ii, ϕ folytonosan differenciálható, és −δ1 f (x, ϕ(x)) δ2 f (x, ϕ(x))

ϕ0 (x) =

(x ∈ U1 ).

2.2 Tétel (Implicit függvény tétel, általános eset). Ω1 ⊂ Rn1 , Ω2 ⊂ Rn2 , f : Ω1 × Ω2 → Rn2 . Tegyük fel, hogy i, f folytonosan differenciálható Ω1 × Ω2 -n, ii, ∃ a ∈ Ω1 , b ∈ Ω2 , f (a, b) = 0, det δ2 f (a, b) 6= 0. Ekkor i, ∃ U1 ⊂ Ω1 , U2 ⊂ Ω2 nyílt halmazok, ∃ϕ : U1 → U2 bijekció, ϕ(a) = b és f (x, ϕ(x)) = 0

(x ∈ U1 ),

ii, ϕ folytonosan differenciálható és 0

−1



ϕ (x) = − δ2 f (x, ϕ(x))

· δ1 f (x, ϕ(x))

(x ∈ U1 ).

2.3 Definíció. 

n2

δ2 f (a, b) = R

3y



δ1 f (a, b) = Rn1 3 y

0 7→ f (a, y) y=b 0 7→ f (x, b) x=a

∈ Rn2 ×n2 , ∈ Rn2 ×n1 .

3. Előadás 3.1. Feltételes szélsőérték 3.1 Definíció. f -nek feltételes lokális minimuma (maximuma) van a c ∈ H pontban a gi = 0 feltételekre nézve, ha ∃ K(x), f (x) ≥ f (c) (f (x) ≤ f (c)) ∀ x ∈ K(c) ∩ H. 3.2 Tétel (Szükséges feltétel feltételes lokális szélőértékre). U ⊂ Rn nyílt, f, gi : U → R, i = 1, . . . , m. Tegyük fel, hogy i, f, gi folytonosan differenciálható, i = 1, . . . , m, ii, f -nek létezik feltételes lokális szélsőértéke c ∈ H-ban, iii, gi0 (c) vektorok lineárisan függetlenek. Ekkor ∃ λ1 , . . . λm ∈ R, hogy L0 (c) = 0, ahol L(x) = f (x) + λ1 g1 (x) + . . . + λm gm (x).

3

3.3 Tétel (Elégséges feltétel feltételes lokális szélsőértékre). U ⊂ Rn nyílt, f, gi : U → R, i = 1, . . . , m. Tegyük fel, hogy i, f, gi folytonosan differenciálható, i = 1, . . . , m, ii, L0 (c) = 0, c ∈ H, iii, gi0 (c) vektorok lineárisan függetlenek, iv, L00 (c) feltételesen pozitív azaz hL00 (c) · h, hi > 0 ∀ h ∈ Rn \ {0}, amelyre  definit,  g1  .  0  g (c) · h = 0, ahol g =  ..  . gm Ekkor f -nek létezik feltételes lokális minimuma c-ben.

4. Előadás 4.1. Differenciálegyenletek 4.1 Definíció (Szakaszonként folytonosan differenciálható függvény). [α, β] ⊂ R korlátos, zárt intervallum, ϕ : [α, β] → Rn szakaszonként folytonosan differenciálható, ha ϕ folytonos, és ∃ α = t0 < t1 < . . . < tn = β, hogy ϕ folytonosan differenciálható (ti ,ti+1 )

(i = 0, . . . , n − 1). 4.2 Definíció (Összefüggő halmaz). D ⊂ Rn összefuggő halmaz, ha ∀ x, y ∈ D : ∃ ϕ : [α, β] → D szakaszonként folytonosan differenciálható függvény, hogy ϕ(α) = x és ϕ(β) = y

([α, β] ⊂ R).

4.3 Definíció (Tartomány). D ⊂ Rn tartomány, ha D nyílt, és összefüggő. 4.4 Definíció (Differenciálegyenlet). D ⊂ Rn+1 tartomány, f : D → Rn folytonos. Az x0 (t) = f (t, x(t)) egyenletet elsőrendű explicit differenciálegyenletnek nevezzük, ahol x : I → Rn folytonosan differenciálható, I ⊂ R nyílt intervallum, és (t, x(t)) ∈ D ∀ t ∈ I. 4.5 Definíció (Kezdeti érték probléma). D ⊂ Rn+1 tartomány, f : D → Rn folytonos, (τ, ξ) ∈ D, τ ∈ R, ξ ∈ Rn . Az x0 (t) = f (t, x(t)) feladatot kezdeti érték problémának nevezzük. 4.6 Tétel (Peano egzisztencia tétel). D ⊂ Rn+1 , f : D → Rn folytonos, (τ, ξ) ∈ D. Az x0 (t) = f (t, x(t)), x(τ ) = ξ kezdeti érték problémának létezik megoldása.

4

5. Előadás 5.1 Definíció. D ∈ Rn+1 tartomány, f : D → Rn folytonos, (τ, ξ) ∈ D. Az x0 (t) = f (t, x(t)), x(τ ) = ξ kezdeti érték probléma globálisan egyértelműen oldható meg, ha ϕ és ψ is megoldás, akkor ϕ(t) = ψ(t) ∀ t ∈ Dϕ ∩ Dψ . 5.2 Definíció. Ha az x0 (t) = f (t, x(t)), x(τ ) = ξ kezdeti érték probléma globálisan egyértelműen oldható meg, akkor legyen ϕ˜ = ∪ϕ, azaz Dϕ˜ = ∪ I és ϕ(t) ˜ := ϕ(t), t ∈ Dϕ˜ ∩ Dϕ . I=Dϕ ϕ mo.

A ϕ˜ neve teljes megoldás. 5.3 Definíció. Az x0 (t) = f (t, x(t)), x(τ ) = ξ kezdeti érték probléma lokálisan egyértelműen oldható meg, a (τ, ξ) ∈ D ponton, ha ∃ K(τ, ξ) ⊂ D környezet, hogy a feladatot, illetve f -t erre szűkítve a kezdeti érték probléma globálisan egyértelműen oldható meg. 5.4 Megjegyzés. Ha x0 (t) = f (t, x(t)), x(τ ) = ξ globálisan megoldható ⇒ lokálisan megoldható, de ha lokálisan megoldható ; globálisan megoldható. 5.5 Tétel. Ha az x0 (t) = f (t, x(t)), x(τ ) = ξ kezdeti érték probléma ∀ (τ, ξ) ∈ D esetén lokálisan egyértelműen oldható meg, akkor globálisan egyértelműen is. 5.6 Definíció. D ⊂ Rn+1 tartomány, f : D → Rn folytonos függvény kielégíti a 2. változójában a lokális Lipschitz feltételt a (τ, ξ) ∈ D pontban, ha ∃ K(τ, ξ) ⊂ D környezet, és L > 0, hogy kf (t, u) − f (t, u¯)k ≤ Lku − u¯k ∀ (t, u), (t, u¯) ∈ K(τ, ξ) (t ∈ R; u, u¯ ∈ Rn ). 5.7 Tétel (Picard-Lindelöff tétel). Tegyük fel, hogy D ⊂ Rn+1 tartomány, f : D → Rn folytonos függvény kielégíti a lokális Lipschitz feltételt a (τ, ξ) ∈ D pontban. Ekkor az x0 (t) = f (t, x(t)), x(τ ) = ξ kezdeti érték probléma lokálisan egyértelműen oldható meg a (τ, ξ) pontban. 5.8 Tétel. x0 (t) = f (t, x(t)), x(τ ) = ξ kezdeti érték proléma ekvivalens az x(t) = ξ +

Z t

f (s, x(s))ds

τ

integrálegyenlettel. 5.9 Tétel. Ha a Picard-Lindelöff tétel feltételei ∀ (τ, ξ) ∈ D pontban teljesülnek, akkor x0 (t) = f (t, x(t)), x(τ ) = ξ kezdeti érték probléma globálisan egyértelműen oldható meg ∀ (τ, ξ) ∈ D esetén. 5.10 Tétel. Ha f : D → Rn folytonosan differenciálható, akkor kielégíti a Lipschitz feltételt ∀ (τ, ξ) ∈ D-ben. 5

6. Előadás 6.1. Szeparábilis differenciálegyenlet 6.1 Definíció. I1 , I2 ⊂ R nyílt intervallum, f : I1 → R, g : I2 → R folytonos függvények. Az x0 (t) = f (t) · g(x(t)) differenciál egyenletet szeparábilis (vagy szétválasztható változójú) differenciálegyenletnek nevezzük. 6.2 Tétel. Ha 0 ∈ / Rg , akkor az x0 = f · g ◦ x szeparábilis differenciálegyenlet az x(τ ) = ξ kezdeti értékkel globálisan egyértelműen megoldható.

6.2. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet 6.3 Definíció. I ⊂ R nyílt intervallum, f, g : I → R folytonos. Az x0 + f x = g differenciálegyenletet elsőrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. 6.4 Tétel. Az x0 + f · x = g lineáris differenciálegyenlet az x(τ ) = ξ kezdeti értékkel globálisan egyértelműen megoldható. 6.5 Tétel. Legyen ψ0 az inhomogén egyenlet (x0 +f ·x = g) megoldása. Ekkor ψ0 megoldása az inhomogén ⇔ ψ = ψ0 + ϕ, ahol ϕ megoldása a homogén.

7. Előadás 8. Előadás 8.1. Az x0 = Ax homogén lineáris DER megoldása Csak akkor létezik megoldóképlet, ha A állandó mátrix, azaz ∀ ai,j állandó. 8.1 Tétel. Tekintsük az x0 = Ax differenciálegyenlet rendszert és legyen A állandó mátrix. Tegyük fel, hogy A-nak ∃ n db lineárisan független sajátvektora: s1 , . . . , sn , a hozzátartozó sajátértékek: λ1 , . . . , λn . Ekkor si eλi t (i = 1, . . . , n) a differenciálegyenlet rendszer alaprendszere. 8.2 Megjegyzés. Hasonló tétel igaz, ha A-nak ∃ n db különböző sajátértéke.

8.2. Az x0 = Ax inhomogén lineáris DER megoldása Jelölje Mih az x0 = Ax + b egyenlet teljes megoldásainak halmazát. Legyen Ψ0 ∈ Mih . 8.3 Tétel. Ψ ∈ Mih ⇔ Ψ = Ψ0 + ε, ahol ε ∈ Mh . 8.4 Tétel.

i, Az x0 = Ax + b differenciálegyenlet rendszer összes megoldása: Ψ(t) = Φ(t) · c + Φ(t)

Z t

Φ(s)−1 b(s)ds

τ

(c ∈ Rn ).

ii, Ha Ψ(τ ) = ξ, akkor −1

Ψ(t) = Φ(t) · Φ(τ )

· ξ + Φ(t)

Z t τ

6

Φ(s)−1 b(s)ds.

8.3. Magasabb rendű differenciálegyenlet 8.5 Definíció. D ⊂ Rn+1 tartomány, h : D → R folytonos. Az y (n) (t) = h(t, y(t), y 0 (t), . . . , y (n−1) (t)) feladatot n-ed rendű differenciálegyenletnek nevezzük. Jel: y (n) = h ◦ (id, y, y 0 , . . . , y (n−1) ). 8.6 Tétel. φ megoldása az y (n) = h ◦ (id, y, y 0 , . . . , y (n−1) ) differenciálegyenletnek ⇔ Ψ megoldása az x0 = f ◦ (id, x) differenciál egyenlet rendszernek. 8.7 Definíció. Az y (n) = h◦(id, y, y 0 , . . . , y (n−1) ), y(τ ) = ξ1 , y 0 (τ ) = ξ2 , . . . , y (n−1) (τ ) = ξn feladatot kezdeti érték problémának nevezzük. 8.8 Tétel. A differenciálegyenlet rendszerekre tanult tételek (picard-Lindelöff, Peano) igazak maradnak n-ed rendű differenciál egyenletekre is.

9. Előadás 9.1. Magasabbrendű lineáris differenciálegyenlet 9.1 Definíció. Legyen a0 , . . . an−1 , b : I → R folytonos és korlátos függvények. Ekkor az y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y 0 + a0 y = b egyenletet n-ed rendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. 9.2 Tétel. ϕ kielégíti az y (n) +an−1 y (n−1) +. . .+a1 y 0 +a0 y = b lineáris differenciálegyenletet ⇔ Ψ kielégíti az x0 = Ax + b lineáris differenciálegyenlet rendszert. 9.3 Definíció. A differenciálegyenlet homogén, ha b = 0, inhomogén különben. (ezmitőldef?:O) 9.4 Tétel. Tekintsük az y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y 0 + a0 y = 0 differenciálegyenletet. Ekkor i, Mh ⊂ C h (I, R), Mh altér, dim Mh = h, ii, ϕ1 , . . . ϕn ∈ Mh lineárisan függetlenek ∀ t ∈ I-re ⇔    det   

ϕ1 (t) ϕ01 (t) .. . (n−1)

ϕ1

... ...

ϕn (t) ϕ0n (t)      

6= 0

(t) . . . ϕ(n−1) (t) n

(ezt valaki nézze már meg, mert a hozott anyag elég érdekes, van valahol "minden t eleme I-re" és egy "létezik t eleme I-re") 9.5 Tétel. Legyen Ψ0 ∈ Mih . Ekkor Ψ ∈ Mih ⇔ Ψ = Ψ0 + ϕ, ahol ϕ ∈ Mh .

7

9.6 Definíció. Az y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y 0 + a0 y = 0 differenciálegyenlet karakterisztikus polinomján a K(z) = z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 polinomot értjük. 9.7 Tétel. ϕ(t) = eλt ∈ Mh ⇔ λ gyöke K-nak. 9.8 Tétel. Ha K-nak ∃ n db különböző gyöke, λ1 , . . . λn , akkor ϕi (t) = eλi t , a differenciálegyenlet alaprendszere.

i = 1, . . . n

9.9 Definíció. Ha {ϕ1 , . . . , ϕn } ⊂ Mh lineárisan függetlenek, akkor ezt a differenciálegyenlet alaprendszerének nevezzük. 9.10 Tétel. Tegyük fel, hogy K(z) = (z − λ1 )m1 + (z − λr )mr , ahol λ1 , . . . , λn különbözőek, és m1 + . . . + mr = n. Ekkor ϕi,j (t) = ti eλj t , i = 1, . . . , r, i = 0, . . . , mj−1 alaprendszert alkot. 9.11 Tétel. Valós alaprendszer is van.

9.2. Az inhomogén állandó együtthatós differenciálegyenlet megoldása 9.12 Tétel. Ha c(t) kielégíti a Φ(t)c0 (t) = b(t) egyenletet, akkor c1 (t)ϕ1 (t) + . . . + cn (t)ϕn (t) ∈ Mih . 9.13 Tétel. Legyen P, Q polinom, α, β, c1 ,2 , A, B ∈ R. Ha α + β · i k-szoros gyöke k-nak (ha nem gyöke, akkor k = 0) és b(t) = P (t)eαt (c1 cos βt + c2 sin βt). Ekkor ϕ(t) = tk Q(t)eαt (A cos βt + B sin βt) ∈ Mih , ahol Q foka nagyobb mint P foka.

10. Előadás 10.1. Függvénysorozatok, függvénysorok A ⊂ R, fn : A → R, n ∈ N. 10.1 Definíció. Az (fn ) sorozatot függvénysorozatnak nevezzük, a vénysornak nevezzük, ahol ez alatt a X n



n∈N

fk ,

k=0

függvénysorozatot értjük.

8

P

fn sort pedig függ-

10.2 Definíció. Az (fn ) függvénysorozat konvergenciahalmaza: KH(fn ) := {x ∈ A : (fn (x)) konv. }, a

P

fn függvénysorozat konvergenciahalmaza: KH

X



fn := {x ∈ A :

X

fn (x) konv. }.

10.3 Definíció. Az (fn ) pontonkéni limesze: lim fn : KH(fn ) → R, A

P

x → lim fn (x).

fn összegfüggvénye: ∞ X

fn : KH

X



fn → R,

x→

∞ X

fn (x).

n=0

n=0

10.4 Definíció. Az (fn ) függvénysorozat egyenletesen konvergens, ha ∀ ε > 0 ∃ n0 , ∀ n, m ≥ n0 ∀ x ∈ A : |fn (x) − fm (x)| < ε. 10.5 Tétel. Az (fn ) sorozat egyenletesen konvergens, akkor és csak akkor, ha ∃ f : A → R, ∀ ε > 0 ∃ n0 , ∀ n ≥ n0 ∀ x ∈ A : |fn (x) − f (x)| < ε. Az (fn ) függvénysorozat egyenletes konvergenciájáról szóló tételben megjelenő f -et az (fn ) egyenletes hatásfüggvényének nevezzük. Jele: fn ,→ f . 10.6 Megjegyzés. fn → f pontonként A-n, akkor és csakis akkor, ha ∀ x ∈ A, ∀ ε > 0 ∃ n0 , ∀ n ≥ n0 : |fn (x) − f (x)| < ε. 10.7 Tétel. fn ,→ f ⇒ fn → f pontonként A-n, de fn ,→ f : fn → f pontonként A-n. 10.8 Tétel. fn : A → R. Tegyük fel, hogy fn ∈ C(A), n ∈ N, és (fn ) egyenletesen konvergens. Ekkor f = lim fn ∈ C(A). 10.9 Tétel (Weierstrass-tétel). fn : A → R. Tekintsük a fn függvénysort és a P számsort. Tegyük fel, hogy sup|fn ()| ≤ an n ∈ N, és an konvergens. P

P

an

x∈A

Ekkor

P

fn egyenletesen konvergens.

10.10 Definíció.

P

fn egyenletesen konvergens, ha (sn ) egyenletesen konvergens, ahol sn :=

n X

fk .

k=0

10.11 Tétel. fn : [a, b] → R, n ∈ N. Tegyük fel, hogy fn ∈ R[a, b], n ∈ N, és (fn ) egyenletesen konvergens. Ekkor f := lim fn ∈ R[a, b] és 9

Z b a

f = lim

Z b a

fn .

10.12 Tétel. fn : [a, b] → R, n ∈ N. Tegyük fel, hogy fn ∈ R[a, b], n ∈ N, és egyenletesen konvergens. Ekkor f :=

∞ X

fn ∈ R[a, b] és

Z b

f=

a

n=0

∞ Z b X n=0 a

fn .

10.13 Tétel. fn : (a, b) → R, n ∈ N. Tegyük fel, hogy 1. fn ∈ D(a, b)

(∀ n ∈ N,

2. ∃ x0 ∈ (a, b) : (fn (x0 )) konvergens, 3. (fn0 ) egyenletesen konvergens. Ekkor 1. (fn ) egyenletesen konvergens, 2. f = lim fn ∈ D(a, b), 3. f 0 = lim fn0 .

11. Előadás 11.1. Fourier-sorok 11.1 Definíció. A

n X

(ak cos kx + bk sin kx)

k=0

polinomot trigonometrikus polinomnak nevezzük, a X

ak cos kx + bk sin kx

k=0

sort pedig trigonometrikus sornak nevezzük. 11.2 Definíció. R2π := {f : R → R, f 2π-szerint periodikus és f ∈ R[0, 2π]}, C2π := {f : R → R, f 2π-szerint periodikus és f ∈ C}. 11.3 Definíció. f, g ∈ R2π ortogonális, ha hf, gi :=

Z 2π

f g = 0.

0

11.4 Definíció. A {ϕn : n ∈ N} rendszer ortogonális, ha hϕn , ϕm i =

Z 2π 0

ϕn ϕm =

 0 :

n 6= m 1 : n = m

.

11.5 Tétel. Az {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . .} rendszer ortogonális. 11.6 Tétel. Az

1 cos x sinx cos 2x sin 2x { √ , √ , √ , √ , √ . . .} π π π π 2π

rendszer ortonormált. 10

P

fn

11.7 Definíció. Az {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . .} rendszert trigonometrikus rendszernek nevezzük. 11.8 Tétel. A trigonometrikus rendszer teljes C2π -ben, azaz, ha h ∈ C2π és Z 2π

Z 2π

h(x) cos kxdx =

0

h(x) sin kxdx = 0 ∀ k ≥ 0,

0

akkor h ≡ 0. 11.9 Tétel. Ha a X

ak cos kx + bk sin kx

k=0

sor egyenletesen konvergál, és f (x) =

∞ X

(ak cos kx + bk sin kx),

k=0

akkor 1 Z 2π f (x)dx, a0 = 2π 0 1 Z 2π ak = f (x) cos kx dx k ≥ 1 π 0 1 Z 2π bk = f (x) sin kx dx k ≥ 1. π 0 11.10 Definíció. f ∈ R2π . Az 1 Z 2π f (x)dx, a0 := 2π 0 Z 2π 1 ak := f (x) cos kx dx k ≥ 1 π 0 Z 2π 1 bk := f (x) sin kx dx k ≥ 1. π 0 számokat f Fourier-együtthatóinak nevezük. A X

ak cos kx + bk sin kx

k=0

sort f Fourier-sorának nevezzük. 11.11 Tétel (Da-Boir Reymond, Fejér). ∃ f ∈ C2π , hogy f Fourier-sora egy pontban divergens.

11

12. Előadás 12.1 Tétel. Az f ∈ C2π Fourier sora a X

ak cos kx + bk sin kx.

k=0

Ha a Fourier-sor egyenletesen konvergens, akkor ∞ X

f (x) =

ak cos kx + bk sin kx.

k=0 2 = {f : R → R | f 2π szeint periodikus, f ∈ C 2 }, azaz f kétszer 12.2 Definíció. C2π folytonosan differenciálható. 2 12.3 Tétel. Ha f ∈ C2π , akkor f Fourier-sora egyenletesen konvergens, és ∞ X

f (x) =

ak cos kx + bk sin kx.

k=0

12.4 Definíció. f szakaszonként folytonos a [0, 2π]-n, ha ∃ 0 > t0 < t1 < . . . < tn = 2π,

hogy f

(ti−1 ,ti )

folytonos (i = 1, . . . , n), és ∃ lim f = f (x + 0) és ∃ lim f = f (x − 0) (∀ x ∈ [0, 2π]). x+0

x−0

12.5 Tétel. Tegyük fel, hogy 1. f 2π szerint periodikus, 2. f szakaszonként folytonos a [0, 2π]-n, 3. egy adott x ∈ [0, 2π]-re ∃ f 0 (x + 0) = lim

t→x+0

és ∃ f 0 (x − 0) = lim

t→x−0

Ekkor

∞ X

f (t)−f (x) t−x

f (t)−f (x) . t−x

ak cos kx + bk sin kx =

k=0

f (x + 0) + f (x − 0) . 2

12.6 Következmény. Tegyük fel, hogy 1. f 2π szerint periodikus, 2. f szakaszonként folytonos a [0, 2π]-n, 3. f ∈ D(x) egy adott x-re. Ekkor

∞ X

ak cos kx + bk sin kx = f (x).

k=0

12

12.7 Tétel (Bessel-egyenlőség). Ha f ∈ R2π , akkor min kf (x) −

n X

(a0k k=0

cos kx +

b0k

sin kxk2 = kf (x) −

n X

(ak cos kx + bk sin kxk2 .

k=0

12.8 Tétel (Bessel-egyenlőtlenség). Ha f ∈ R2π , akkor kf k22

=

Z 2π

2

|f (x)| dx ≥

0

2πa20

+π

X ∞

a2k

+

b2k



.

k=1

12.9 Tétel. Ha f ∈ R2π , akkor ∞ X

(ak cos kx + bk sin kx) = f (x).

k=0

L2 normában, azaz lim kf (x) −

n→∞

Továbbá

ak cos kx + bk sin kxk2 = 0.

k=0

Z 2π 0

n X

|f (x)|2 dx = 2πa20 + π

∞ X

(a2k + b2k ).

k=1

(Perseral formula) 12.10 Tétel (Carlazon-tétel). Ha f ∈ R2π , akkor ∞ X

(ak cos kx + bk sin kx) = f (x)

k=0

majdnem minden x-re. 

12.11 Tétel. Ha f (x) =

π−x 2

2

, x ∈ [0, 2π], f (x + 2π) = f (x). Ekkkor

f (x) =

∞ π2 X cos kx + 12 k=1 k 2

egyenletes.

13