Mezıszimuláció végeselem módszerrel Házi feladat Egy koaxiális kábel megszakadásakor keletkezı potenciál eloszlás és lépésfeszültség, különbözı elrendezések esetén.
Készítette: Molnár Dömötör
Bevezetés A választott feladatomban azzal a problémával foglalkozok, hogy ha egy földben húzódó koaxiális kábel megszakad, milyen potenciál eloszlás alakul ki, illetve mekkora lesz a lépésfeszültség. Habár a valóságban ez nem gyakran fordul elı, mert a kábel leföldelıdik, és a biztosíték miatt nem marad tovább feszültség alatt, elképzelhetı olyan eset, amikor a kábel megszakadásakor nem érintkezik a földdel, így kialakul valamekkora lépésfeszültség.
A koaxiális kábel, és a modellje Egy általános koaxiális kábel felépítése az ábrán látható. Van egy belsı vezetı ér, körülötte dielektrikum, körülötte egy vezetı henger, az árnyékolás, legkívül pedig egy mőanyag borítás. Problémám megoldását a Matlab PDE Toolbox csomagjával végzem. Ahhoz, hogy a problémám megoldható legyen, több elhanyagolást is kell tennem. Elıször is a PDE Toolboxban csak síkbeli elrendezés megadása lehetséges, ezért például kábel modellezési problémákat hengerkoordináták segítségével oldhatunk meg. Az én elrendezésem azonban nem hengerszimmetrikus, hiszen a kábeltıl fölfelé levegı van, lefelé pedig föld, ezért a következı elhanyagolást teszem: a kábelnek csak a keresztmetszetét nézem, a többi részét elhanyagolom. Így tehát gyakorlatilag olyan, mintha sík fémlemezek lennének a föld alatt, dielektrikum lemezekkel elválasztva.
A pontos elrendezés, modellezési problémák Nézzük meg elıször is egy ábrán, hogy hogyan is fog kinézni a szimulált terem keresztmetszete. Az ábra természetesen nem méretarányos, csak arra szolgál, hogy lássuk az elrendezést. Az ábra méreteinek megválasztását a következıkben ismertetem. A választott kábelem egy RG11/U típusú kábel. Azért éppen erre esett a választásom, mert ezt a kábeltípust gyakran használják föld alatti összeköttetésekre. Az általános méretei a követezıek: az ér átmérıje 1,63 mm, a dielektrikumé 7,2 mm (az érrel együtt), Az árnyékolóé kb. 8 mm, az egész kábel pedig 10,5 mm átmérıjő. A kábel dielektrikuma lehet polietilén, a köpeny készülhet gyakorlatilag bármilyen mőanyagból. Annak érdekében, hogy a peremfeltételeket könnyen megválaszthassam, kellıen nagy térben fogom szimulálni a kábelt: vízszintesen és függılegesen 10-10 méter hosszan. A kábel balról, középrıl jön be a térbe, és 5 méteren hosszan az ábrázolt tér (illetve annak a sík keresztmetszete) közepéig tart. A kábelt három elrendezésben szimulálom: 1, 10, majd 100 cm-re lesz a föld alá beásva. A kábelrıl leszakadt véget nem veszem bele a szimulációba. Annak érdekében, hogy a kábel erén és árnyékolásán lévı "feszültségkényszert" könnyen megvalósítsam, célszerően ezeket nem veszem bele a szimulációs térbe. 2. oldal
Molnár Dömötör
Az így keletkezett nagymérető térben azonban elég nehézkes a hálógenerálás: a hosszú és vékony dielektrikumban és köpenyben rengeteg elemet kéne felvenni, ezért a következı egyszerősítéseket teszem. A kábel belsejében a dielektrikum elegendıen hosszú, de viszonylag rövid távon legyen jelen, ezután a dielektrikum, az ér és az árnyékoló egy 'tömbként' húzódjon tovább. Ezt az elhanyagolást azért tehetem meg, mert a kábel belsejében kialakuló tér és potenciál nem része a probléma megoldásának, valamint bizonyos mélységbıl már nem szól bele a külsı térbe. Ha tehát elegendıen hosszú dielektrikumot meghagyunk, hogy a végén lévı elektromos teret és potenciál eloszlást már biztos ne zavarja a szakadás, ott egy homogén Neumann peremfeltétellel zárhatjuk le a kábelt. A másik elhanyagolást a köpennyel tesszük: ezt csak bizonyos távolságig "teszem rá" a kábelre, hiszen elegendıen hosszú távon már a nem léte nem szól bele lényegesen a térbe. Ezeket az elegendı hosszúságokat egyébként szimulációs úton állapítottam meg, figyelve, hogy ne legyen számottevı eltérés. A köpeny 55 cm hosszan vana kábelen, a kábel belsejét 5 cm mélyen szimulálom. A két elhanyagolást szemlélteti az alábbi ábra.
Megjegyzés: habár a konstrukció több éles sarkot is tartalmaz, szingularitással nem kell számolnom, mert a potenciál bármilyen jó felbontás esetén sem mehet a kábel potenciálja fölé, így nem fog a végtelenbe tartani.
A térre felírt differenciálegyenlet Az alábbi két Maxwell-egyenletbıl indítottam a levezetést: dB (1) rot H = J + d D , (2) rot E = − . Mivel elektrosztatikai problémáról van szó, dB/dt=0, dt dt ezért (3) rot E = 0. Mivel divrot=0, így (1) egyenlet mindkét oldalának divergenciáját véve: dD (4) div ( J + ) = 0 . (3) egyenlet miatt be tudok vezetni egy skalárpotenciált: E = − gradϕ , így dt D = ε * E , J = σ * E alapján (4) egyenletbe behelyettesítve: d div (−σ * gradϕ + (−ε * gradϕ )) = 0 . Esetemben az érben 325V (230Vrms), 50Hz szinuszosan dt váltakozó feszültség van az árnyékoláshoz képest. Így a szinuszos változás bevezethetünk komplex csúcsértéket E-nek: E = Re{Eˆ * e jωt } , és komplex skalárpotenciált: Eˆ = − grad ϕ . A deriválást elvégezve megkapjuk a Parciális Differenciál Egyenletet: − div[(σ + jωε ) * grad ϕ ] = 0 3. oldal
Molnár Dömötör
Ez pont olyan alak, mint amilyen a PDE Toolbox elliptikus alakja, a megfelelı együtthatók értékeit az anyagoknak megfelelıen megadva szimulálni tudjuk majd a teret.
A peremfeltételek Mint azt már korábban említettem, a vizsgált terem a kábel méreteihez képest igen nagy: a kábel átmérıje 10mm, a tér keresztmetszete pedig 10m x 10m. Így a tér határain lévı peremfeltételeknek nyugodtan választhatok homogén Dirichlet, u=0 feltételt, mert olyan távol már biztos nulla lesz a potenciál. Választhatnék akár homogén Neumann feltételt is, szimulációs tapasztalatom szerint ilyen távol már teljesen mindegy, homogén Neumann és Dirichlet feltétel esetére is szinte teljesen ugyan azt a teret kaptam. A kábelnél az árnyékolás, és az ezt folytató tömb szélein szintén nulla a potenciál, így Dirichlet peremfeltételt választottam, míg a kábeléren konstans 315V-ot tettem, tehát ide is Dirichlet feltételt választottam. Az éren azért vettem fel konstans feszültséget, mert a PDE Toolbox-ban csak a t=0 idıpillanathoz tartozó komplex potenciálértékeket határozom meg, majd ezt exportálom Matlabba, és itt függvények segítségével egy egész periódus potenciálértékeit meghatározom. A dielektrikum végén, már ismertetett okok miatt, homogén Neumann feltételt szabok meg. A határfeltételeket egy nem méretarányos ábrával is szemléltetem.
4. oldal
Molnár Dömötör
A háló generálása, a PDE megoldása A PDE Toolbox automatikusan tud a síkra háromszöghálót tud elhelyezni. Én adaptív hálógenerálást használtam: 10-3 relatív hibáig. Az adaptáció kb. 3 percig tartott. A háló generálása után még meg kellett adni a PDE együtthatóit az egyes térrészekre a megfelelı, σ + jωε formátumban. Ezek az egyes anyagokra: Levegı: εr = 1, σ elhanyagolható Föld: σ = 10-6, εr = kb 10, de el is hanyagolható, mert 10-9 es nagyságrendő lesz Polietilén (és a köpeny is): εr = 2.3, σ elhanyagolható Már minden készen áll, a PDE Toolbox meg tudja oldani a PDE-t, és képes kirajzolni a mezıt (de csak a komplex U valósrészét) a t=0 idıpillanatra. Az eredmények a dokumentációm végén találhatóak. Ezek után a hálót, és a hálóhoz tartozó megoldást exportálni tudjuk Matlabba. A Matlabban ezután mindhárom elrendezésben csinálok egy animációt a potenciál-eloszlás periodikus szimulálására. Az "animu.m" fájl forráskódja a dokumentáció végén található. A lépésfeszültségeket a következı képen szimulálom: egy lépést fix, 80 cm hosszúnak veszek, és a szimulált térben, a föld felszínén a lépés közepét futtatom végig, és ábrázolom, hogy ha a két lábunk az adott ponttól jobbra és balra 40cm-re van, mekkora feszültségkülönbség hat ránk. A lépésfeszültség idıbeli változásáról is animációt készítettem az "animlepes_[szam]cm.m" fájlokkal, ebbıl az elsı, 1 cm-es fájl forráskódja látható a dokumentáció végén csatolva. Minden animációból, amit készítettem avi fájlt is létrehoztam a "createavi.m" fájl segítségével.
Az eredmény értékelése A szimulációk eredményeként kapott potenciáleloszlást megfigyelve különös jelenségeket vehetünk észre. Nem meglepı, hogy a potenciáleloszlás pulzál, az viszont igen, hogy a kábel mentén érdekes, ellenkezı potenciálú helyek alakulnak ki. Ezek szerintem nem feltétlenül valódi értékek, lehetséges, hogy a szimuláció hiábja, vagy valamelyik elhanyagolás miatt keletkezett. Legvalószínőbbnek azt tartottam, hogy a külsı borítás végessége okozza ezt, ám a problémát leszimuláltam teljes külsı borítással is, és a jelenség mégis fellépett. Érdekes továbbá, hogy a potenciál a második, 10 cm mélyen lévı kábel esetében terjed a legtovább. A lépésfeszültségek, amint látszik, nem halálosak, és ahogy várni lehetett, minél mélyebbre ássuk a kábelt, ánnál kevesebb. A második és harmadik esetben a görbék szépek, és valószínüleg nagyjából reálisak, azonban az elsı esetben a földfelszín még közel van az elıbb már leírt negatív potenciálú helyhez, így ez belezavar a görbébe. Érdekes megfigyelni, hogy ha megfelelı helyre állunk (majdnem pont a megszakadt kábel fölé), a lépésfeszültség pont nulla is lehet.
5. oldal
Molnár Dömötör
A potenciál-eloszlás, valamint a lépésfeszültség a t=0 pillanatban, ha a kábel 1 cm mélyen van a földben:
6. oldal
Molnár Dömötör
10 cm mélyen van a földben:
7. oldal
Molnár Dömötör
100 cm mélyen van a földben:
8. oldal
Molnár Dömötör
Az "animu.m" fájl: % Animaciot keszit a potencial-eloszlas valtozasarol egy periodus alatt. % Az adatmezoben leteznie kell a halo 'p', 'e', 't', illetve a megoldas % 'u' valtozojanak. A kepek szama az 'n' valtozoval allithato be. n=20; maxu=max(abs(u)); newplot; title('Allitsa be az animacio meretet, majd nyomjon le egy billentyut!') disp('Allitsa be az animacio meretet, majd nyomjon le egy billentyut!'); pause; cmap=load('hot-cold.dat'); for k=1:n, ur=real(u*exp(i*(k-1)*2*pi/n)); %kiszamolja a feszultseg valoserteket egy pillanatra pdeplot(p,e,t,'xydata',ur,'xystyle','interp', ... %pdeplottal kirajzolja 'contour','off','mesh','off','colormap','jet',... 'levels',[-maxu:maxu/10:maxu]); axis tight, set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]); axis off caxis manual; caxis([-10 10]); colorbar; M(k)=getframe(gcf); %lementi a kepeket end clf; axes('Position',[0 0 1 1]); movie(M,50); %lejatsza a kepeket
9. oldal
Molnár Dömötör
Az "animlepes_1cm.m" fájl: % p,t,u kell % A kepek szama az 'n' valtozoval allithato be. n=20; newplot; title('Allitsa be az animacio meretet, majd nyomjon le egy billentyut!') disp('Allitsa be az animacio meretet, majd nyomjon le egy billentyut!'); pause; x=0:0.001:10; y=0.01525; %ez itt a fold y koordinataja uxy=tri2grid(p,t,u,x,y); %megallapitjuk az ertekeket a pontokban xmm=401:1:9601; %xmm lesz az x koordinata, millimeterben (a lepes kozepenek helye) maxu=0; for k=1:n, %kiszamoljuk a maximalis lepesfeszultseget temp=max( real(uxy(xmm-400)*exp(j*2*pi*(k-1)/n))-real(uxy(xmm+400)*exp(j*2*pi*(k1)/n)) ); if (temp>maxu) maxu=temp; end end for k=1:n, %kiszamoljuk az ertekeket (*exp(jwt) valoserteke a potencial, ezt kell a ket lab kozott kivonni) plot(xmm,real(uxy(xmm-400)*exp(j*2*pi*(k-1)/n))-real(uxy(xmm+400)*exp(j*2*pi*(k1)/n))); axis manual axis([0 10000 -maxu maxu]); M(k)=getframe(gcf); end axes('Position',[0 0 1 1]); movie(M,10);
10. oldal
Molnár Dömötör
A "createavi.m" fájl: aviobj = avifile('out.avi'); for i=1:length(M) aviobj = addframe(aviobj,M(i)); end aviobj = close(aviobj);
11. oldal
Molnár Dömötör
