Metody rekonstrukce obrazu a

Metody rekonstrukce obrazu a odstranění šumu z obrazu Jan Švihlík [email protected] +420 224 352 113

České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra radioelektroniky

Obsah ¾

Konvoluce - Definice, vlastnosti, konvoluční teorém, implementace

¾

Modely šumů - Aditivní, multiplikativní, transformace modelů

¾

Druhy šumů v obraze - Gaussovský, Heavy-tailed, sůl a pepř, kvantizační, Poissonovský

¾

Potlačení aditivního šumu - Konvoluční filtrace, maska ve spektru, mediánová filtrace

¾

Potlačení signálově závislého šumu - Homomorfní filtr, Anscombova transformace

¾

Rekonstrukce obrazu - Inverzní filtr, Wienerův filtr

X37OBF

Jan Švihlík ([email protected])

Konvoluce Definice – 1D konvoluční integrál f (t ) ∗ g (t ) =

∞

∫ f (τ ) g ( t − τ )

−∞

Definice – 2D konvoluční integrál f ( x, y ) ∗ g ( x, y ) =

∫ f (α , β ) g ( x − α , y − β ) dα d β ×

Vlastnosti konvoluce - komutativnost

f ∗g = g∗ f c1 f ∗ c2 g = c1c2 ( f ∗ g ) f ∗ ( g1 + g2 ) = f ∗ g1 + f ∗ g 2 f1 ∗ [ f 2 ∗ f3 ] = [ f1 ∗ f 2 ] ∗ f32 37ZOF

- Násobení konst. - Distributivnost vůči sčítání - asociativnost


Konvoluce Konvoluční teorém ¾

Konvoluci předmětů odpovídá součin jejich spekter a součinu předmětů odpovídá konvoluce konvoluce spekter. F ( u, v ) = FT { f ( x, y )}

G ( u, v ) = FT { g ( x, y )} f ( x, y ) ∗ g ( x, y ) ∼ F ( u, v ) ⋅ G ( u, v ) f ( x, y ) ⋅ g ( x, y ) ∼ F ( u, v ) ∗ G ( u, v ) ¾

Běžná filtrace lze díky konvolučnímu teorému převést na násobení spekter filtrovaného signálu a impulsové odezvy filtru.

X37OBF


Konvoluce Diskrétní konvoluce Mr Nr

c ( i, j ) = ∑∑ r ( m, n ) ⋅ h ( i − m, j − n ), m =0 n =0

0 ≤ i < Mr + Mh − 1,0 ≤ j < Nr + Nh − 1, ¾

r a m představují konvolvované matice, Mr a Nr jsou rozměry matice r, Mh a Nh jsou rozměry matice h.

Implementace diskrétní konvoluce ¾

Posun konvolučního jádra přes obrazovou matici, počítání součtů součinů mezi koeficienty konv. jádra a obrazovou maticí. Nutnost ošetřit okraje matice – nuly, ozrcadlení pův. signálu apod. Jádro

X37OBF


Obrazová matice

Základní metody pro potlačení šumu v obraze

X37OBF


Modely šumu Model aditivního šum

y = x+n

Model multiplikativního šum y = x⋅n

Transformace modelů e y = e x + n = e x ⋅ en log ( y ) = log ( x ⋅ n ) = log ( x ) + log ( n )

X37OBF


Druhy šumů v obraze se vyskytující Gaussovský šum ¾

Hustota pravděpodobnosti Gaussovského šumu se střední hodnotou µ a rozptylem σ2 je dána

¾

2

1 2 e 2σ , x ∈ ( −∞, ∞ ) σ 2π Gaussovský model lze použít zejména na limitní případy některých obrazových šumů, kupř. Poissonovský šum. pn ( x ) =

¾

−( x − µ )

Testovací obrázek Brada kontaminovaný Gaussovským aditivním šumem se σ = 20.

X37OBF


Druhy šumů v obraze se vyskytující Heavy-tailed šum ¾

Hustota pravděpodobnosti (tzv. dvojitá exponenciála) Heavy-tailed šumu se střední hodnotou µ a rozptylem σ2 je dána 1 pn ( x ) = e 2σ

¾

¾

− x−µ

σ

,

x ∈ ( −∞, ∞ )

Tento druh šumu vzniká zejména v případě nedokonalého splnění centrálního limitního teorému (kupř. náhodné proměnné přispívající ke generaci Gaussovské náhodné proměnné nejsou zcela nezávislé). Porovnání hp Gaussovské a heavy-tailed. Z obr. je zřejmé, že Gaussovská hp jde k nule mnohem rychleji. 0.1 Heavy-Tailed Gaussian

pn(x)

0.08 0.06 0.04 0.02 0 -30

-20

-10

0

10

20

30

x

X37OBF


Druhy šumů v obraze se vyskytující Šum sůl a pepř ¾

Pravděpodobnost, že dojde ke změně bitu V na W při průchodu kanálem je dána P ( V − W = 2i ) = ε ,

i = 0,1,..., B − 1.

¾

Tento druh šumu vzniká zejména při přenosu obrazu digitálním kanálem, kdy se změní některé hodnoty pixelů na nulové, popř blízké nule nebo naopak na hodnoty blízké 255. γ γ P ( y = a) = 1− γ , P ( y = 255) = , P ( y = 0) = , 2 2

¾

Pouze změna MSB způsobí vznik černých a bílých bodů. MSE zapříčiněné změnou MSB lze vyjádřit 2 ε ( 2B-1 ) = ε 4B-1

¾

Obrázek Brada kontaminovaný šumem sůl a pepř s γ = 0.05.

X37OBF


Druhy šumů v obraze se vyskytující Kvantizační šum ¾

Kvantizační šum je modelován jako uniformní s kvant. krokem ∆ a hp ∆ ∆ 1 , − ≤ n ≤  pn ( x ) =  ∆ 2 2, 0, jinde 2

pn(x)

1.5

1

0.5

0 -1

-0.5

0

x

¾

0.5

1

Tento druh šumu vzniká transformací spojité náhodné veličiny na diskretní náhodnou veličinu, popř. transformací diskretní náhodné veličiny na diskrétní náhodnou veličinu s menší bitovou hloubkou. Random threshold Floyd-Steinberg dither Fixed threshold

X37OBF


Druhy šumů v obraze se vyskytující Poissonovský šum (Photon counting) ¾

Hp Poissonovského šumu je dána P ( Ω = k ) = pn ( k ; λ ) =

¾

λ k e− λ k!

,

k = 0, 1, 2,...

Tento druh šumu se vyskytuje kupř. na sensorech, které pracují jako čítač fotonů (CCD). Sensor v daném časovém intervalu načítá náhodný počet fotonů pohybující se kolem střední hodnoty λ. 0.2

pn(k)

0.15

0.1

0.05

0

0

5

10

15

k

X37OBF


Potlačení aditivního šumu Máme

Chceme

POTLAČENÍ ŠUMU

Konvoluční filtrace ¾

¾

Patří mezi nejjednodušší metody pro potlačení šumu. Metoda je založena na odfiltrování kmitočtových složek mimo pásmo užitečného signálu. Redukujeme prostorovou rozlišovací schopnost. Jednoduché konvoluční jádro provádějící průměrování. Filtrované

Gauss σ = 20 1 1 1 1  1 1 1  9 1 1 1 X37OBF


Potlačení aditivního šumu Maska ve spektrální rovině ¾

Patří mezi nejjednodušší metody pro potlačení šumu. Metoda je založena na aplikace masky ve spektru signálu. Na rozdíl od konvolučních filtrů, může maska realizovat libovolné typy filtrů.

¾

Masky, které mají ve spektru ostré rozhraní způsobí v prostorové doméně vznik nežádoucích artefaktů. C (u, v) = R(u, v) ⋅ H (u, v) = R(u, v) ⋅ H (u, v) ⋅ Φ(u, v), Gauss σ = 20

X37OBF

Filtrované


Potlačení aditivního šumu Mediánová filtrace ¾

Patří mezi nelineární metody. Obrazový bod je nahrazen mediánem spočteným v poli mediánu.

¾

Medián m náhodné proměnné X je dán P ( X ≤ m ) ≥ 0.5 ≤ P ( X ≥ m ) .

¾

Jinak řečeno, medián posloupnosti (s lichým počtem členů) je definován jako hodnota členu, pro který platí, že polovina členů je větší a polovina menší než hodnota mediánu. Gauss σ = 20

Filtrované

¾Medián

lépe zachová hrany oproti konv.

Filt. ¾Hodí

X37OBF

se zejména pro impulsní šumy.


Potlačení signálově závislého šumu Multiplikativní Homomorfní filtr Po zlogaritmování aplikujeme běžné algoritmy pro odstranění aditivního šumu. Po odstranění šumu se na obrazovou matici aplikuje exponenciální převodní charakteristika. y = x⋅n

¾

log ( y ) = log ( x ) + log ( n )

Poissonovský Anscombova transformace ¾

Anscombova transformace provede tzv. stabilisaci variance a transformuje Poissonovská data I(λ) na přibližně Gaussovské s distribuční funkcí N(0,1). 3 AT {I ( λ )} = 2 I ( λ ) + . 8

¾

Pro odstranění Poissonovského šumu lze rovněž použít průměrování v čase – přímý odhad λ. Je nutné mít více realizací snímku. Popř. delší exposice.

X37OBF


Základní metody rekonstrukce obrazu

X37OBF


Rekonstrukce obrazu Obrazový systém Zobraz. systém

Obrazový sensor

Zprac. a přenos

Zobraz.

¾

Průchod signálu obrazovým systémem způsobí degradaci obrazu a ztrátu informace.

¾

Lineární funkční bloky se chovají většinou jako filtr DP, což způsobí omezení kmitočtového pásma.

¾

Lineární bloky zanáší šum do signálu.

¾

Impulsní odezva PSF(x,y) neznáme, máme pouze degradovaný snímek.

X37OBF


Rekonstrukce obrazu Inverzní filtr ¾

Inverzní filtr kompensuje přenosovou frekvenční charakteristiku obrazového systému H(u,v) (dekonvoluce). C(u,v) představuje spektrum degradovaného obrazu. C (u, v) = R(u, v) ⋅ H (u, v) + N (u, v)

¾

Inverzní filtr pro systém bez aditivního šumu N(u,v) lze rekonstrukční filtr HR(u,v) zapsat takto. 1 C (u, v) CR (u, v) = = R(u, v) H R (u, v) = H (u, v) H (u, v)

¾

Rekonstruovaný obraz CR(u,v) ze systému s aditivním šumem N(u,v) lze zapsat takto. N (u, v) CR (u, v) = R(u, v) + H R (u, v)

¾

V případě, že frekvenční přenosová charakteristika systému je DP, potom inverzní filtr je HP jehož přenos roste s kmitočtem nade všechny meze – šumové složky jsou v horní části pásma mimořádně zesíleny => šumová katastrofa.

X37OBF


Rekonstrukce obrazu Wienerův filtr ¾

Wienerův filtr je filtr při jehož použití nedochází k šumové katastrofě. Princip filtru vychází z minimalizace střední kvadratické chyby mezi původní r(x,y) obrazovou maticí a rekonstruovanou obrazovou maticí cr(x,y). MSE = E [ r ( x, y) − cr ( x, y)]

2

H R (u, v) =

H * (u, v)  S (u, v)  H * (u, v) ⋅ H (u, v) +  N  S ( u , v )  R 

¾

Nejjednodušší způsob jak odhadnout spektrální výkonovou hustotu původního nezkresleného obrazu SR(u,v) je uvažovat spektrální hustotu šumu SN(u,v) = σ2 z čehož lze určit S R (u, v) ≈ SC (u, v) − σ 2

¾

Rozptyl šumu můžeme odhadnout kupř. z jednolitých ploch v obraze.

X37OBF


Doporučená literatura [1] Klíma, M. – Bernas, M. – Hozman, J. – Dvořák, P.: Zpracování obrazové informace. První vydání. Praha: ČVUT, 1996. 177 stran. ISBN 80-0101436-3. [2] Gonzales, C – Woods, R.: Digital Image Processing. Second edition. New Jersey, 2002. ISBN 0-201-18075-8.

X37OBF


Děkuji za pozornost …?

X37OBF


Metody rekonstrukce obrazu a

Recommend Documents