43
Kapitola 7 Mˇerˇení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem 7.1
Úvod
Tíhové zrychlení je zrychlení volného pádu ve vakuu. Závisí na zemˇepisné šíˇrce a nadmoˇrské výšce. Jako normální tíhové zrychlení gn se definuje hodnota gn = 9.80665
m , s2
což je tíhové zrychlení na 45◦ severní zemˇepisné šíˇrky pˇri hladinˇe moˇre. Mezi jednoduché, ale pˇresné metody stanovení jeho velikosti patˇrí mˇerˇ ení pomocí kyvadel. Kyvadla je možné rozdˇelit na dvˇe základní skupiny .
7.1.1
Matematická kyvadla
Jde hmotný bod zavˇešený na nehmotném závˇesu. Pro periodu kyvu T matematického kyvadla, za pˇredpokladu, že výchylka kyvadla nepˇresáhne 4◦ , platí:
l , T = 2π g
kde
g = tíhové zrychlení l = délka kyvadla .
(7.1)
V praxi je možné matematické kyvadlo aproximovat zavˇešením velmi malé, tˇežké koule na co nejlehˇcí, dobˇre ohebný závˇes. Takto realizovaným kyvadlem je možné tíhové zrychlení mˇerˇ it podle vztahu (7.1) s pˇresností okolo 1 %.
7.1.2
Fyzikální kyvadla
Fyzikální kyvadlo muže ˚ být každé tuhé tˇeleso libovolného tvaru, které se muže ˚ volnˇe otáˇcet okolo osy neprocházející jeho tˇežištˇem. Pohybová rovnice fyzikálního
44
Barton, ˇ Kˇrivánek, Severa
kyvadla je:
J
d2 φ(t) = −m g d sin φ(t) , d t2
kde
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
J =
moment setrvaˇcnosti tˇelesa vzhledem k ose otáˇcení
d =
vzdálenost tˇežištˇe tˇelesa od osy otáˇcení
⎪ ⎪ ⎪ φ(t) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
(7.2)
výchylka kyvadla, závisí na cˇ ase t, mˇerˇ í se od klidové polohy
Pokud se omezíme na malé výchylky, φ(t) ≤ 4◦ , je možné ve vztahu (7.2) nahradit sin φ(t) −→ φ(t) a získáme tak rovnici d2 φ(t) + ω 2 φ(t) = 0 , 2 dt
kde ω 2 =
mgd , J
ω = úhlová frekvence .
(7.3)
Vyˇrešením diferenciální rovnice (7.3) je možné získat vztah pro periodu kyvu:
2π J T = = 2π . ω mgd
(7.4)
Problém ale je s urˇcením momentu setrvaˇcnosti kyvadla J. Pokud se použije zvláštní, reverzní kyvadlo, není jej nutné znát.
7.1.3
Reverzní kyvadlo
Obrázek 7.1: Reverzní kyvadlo Reverzní kyvadlo je znázornˇeno na obrázku 7.1. Jde o kyvadlo, které se muže ˚ kývat okolo dvou rovnobˇežných os, ležících v rovinˇe obsahující hmotný stˇred kyvadla. Pokud osy nejsou okolo hmotného stˇredu položeny symetricky a pˇritom doba kyvu pro obˇe osy je shodná, pak vzdálenost obou os je rovna délce matematického kyvadla, které má stejnou dobu kyvu. Vzdálenosti os se rˇ íká redukovaná délka lr reverzního kyvadla a osy se nazývají sdružené.
7.2
Experimentální uspoˇrádání
V praxi je reverzní kyvadlo tyˇc opatˇrená dvˇema rovnobˇežnými bˇrity O1 a O2 vzdálenými o vzdálenost lr . Na jednom konci je posuvný tˇežký pˇrívažek Z, zajišt’ující
Mˇerˇ ení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem
45
asymetrii os vuˇ ˚ ci hmotnému stˇredu kyvadla. Dá se nalézt taková poloha závaží Z, pˇri které budou doby kyvu pro oba bˇrity shodné. Pˇrívažek Z se posouvá rotací po uvolnˇení aretaˇcního šroubu. Po pˇresunu do nové polohy je nutné pˇrívažek opˇet zajistit dotažením aretaˇcního šroubu. Urˇcit pˇresnou polohu pˇrívažku je možné grafickou metodou. Mˇerˇ íme doby kyvu T1 a T2 kolem os R1 a R2 v závislosti na poloze = poˇctu otáˇcek n pˇrívažku Z od jeho nulové polohy, tedy od dorazu u bˇritu R2 . Dobu kyvu urˇcíme pomocí optické závory a programu ISES. Obslužný program spustíme kliknutím na ikonu s popisem ISES. Po startu programu vybereme z menu Experiment možnost Nový experiment. Program otevˇre okno Parametry experimentu, znázornˇené ne obrázku 7.2. Dobu mˇerˇ ení nastavíme na 180 s. Dále nasta-
Obrázek 7.2: Parametry experimentu víme Start mˇerˇení – z podmenu vybereme Trigger. Zkontrolujeme, zda program rozpoznal optickou závoru – Vstupní kanál A. Kyvadlo zavˇesíme na bˇrit R1 , vychýlíme jej k dorazu na optické závoˇre a necháme kývat. Kliknutím na ikonu OK se toto menu uzavˇre. Mˇerˇ ení se spustí automaticky a zastaví se po uplynutí nastaveného cˇ asu.
46
Barton, ˇ Kˇrivánek, Severa
Po ukonˇcení mˇerˇ ení stanovíme následujícím zpusobem ˚ frekvenci kyvu˚ f . V Menu zvolíme možnost Zpracování, dále Zpracování dat. Poté stiskneme ikonu na levé stranˇe okna se symbolem Sinusovka . Kurzorem myši najedeme na pole mˇerˇ ení a to na stˇred levé strany a stiskneme a držíme levé tlaˇcítko myši. Následným pohybem kurzoru myši doprava oznaˇcíme celé mˇerˇ ení a uvolníme tlaˇcítko. V pravém oknˇe se zobrazí hodnota vypoˇctené frekvence kyvu, ˚ viz obrázek 7.3. Skuteˇcná frekvence
Obrázek 7.3: Urˇcení frekvence kyvu˚ kyvu˚ f je poloviˇcní, protože optická závora zmˇerˇ í bˇehem periody dva pruchody ˚ kyvadla! Odtud se již pomocí vztahu T = 1/f vypoˇcte doba kyvu. Nyní se kyvadlo beze zmˇeny polohy pˇrívažku zavˇesí na osu R2 , opˇet se vychýlí a nechá se kývat. V hlavním menu mˇerˇ ícího programu stiskneme Experiment a vybereme možnost Nový experiment. Nastavení nového experimentu zachovává parametry experimetu pˇredchozího. Stiskem OK se spustí nové mˇerˇ ení. Po zmˇerˇ ení frekvence zpusobem ˚ popsaným výše a vypoˇctení periody kyvu na ose R2 provedeme zmˇenu polohy – otáˇcením pˇrívažku, zavˇesíme kyvadlo na osu R1 a celý postup zopakujeme. Do grafu vyneseme na vodorovnou osu polohu pˇrívažku, tedy poˇcet otáˇcek od krajní polohy dorazu a na svislou osu pˇríslušné doby kyvu pro každou osu. Získáme
Mˇerˇ ení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem
47
tak dvˇe kˇrivky, jejich pruseˇ ˚ cík pak urˇcuje takovou polohu n0 pˇrívažku, pro niž je doba kyvu T0 v rámci chyb mˇerˇ ení stejná pro obˇe osy. Pokud se budou doby kyvu pˇri nastavení pˇrívažku do n0 pˇresto lišit, provedeme nové mˇerˇ ení v okolí hodnoty n0 a stanovíme její novou a pˇresnˇejší polohu. V pˇrípadˇe nutnosti pˇresnˇejšího stanovení n0 je nutné zvýšit i pˇresnost urˇcení doby jednoho kyvu, což provedeme zvýšením poˇctu kyvu, ˚ jejichž dobu mˇerˇ íme.
7.3
Mˇerˇení a vyhodnocení
Zmˇerˇ íme doby kyvu kolem obou os alesponˇ pro pˇet ruzných ˚ poloh pˇrívažku Z, vždy po cca dvaceti otáˇckách. Hodnoty zapíšeme do tabulky a vyneseme do grafu, který využijeme pro stanovení polohy n0 pˇrívažku. n [ot]
T1 [s]
T2 [s]
1 .. .
x1 .. .
T11 .. .
T21 .. .
N
xN
T1N
T2N
Obrázek 7.4: Grafické urˇcení polohy pˇrívažku Pˇrívažek nastavíme tuto polohu, zmˇerˇ íme a vypoˇcteme periodu jednoho kyvu T0 opˇet pomocí programu ISES a optické závory. Pro zvýšení pˇresnosti mˇerˇ ení nastavíme v oknˇe Parametry experimentu dobu mˇerˇ ení 600 s.
48
Barton, ˇ Kˇrivánek, Severa
Dále zmˇerˇ íme vzdálenost bˇritu˚ os – redukovanou délku kyvadla lr . Tíhové zrychlení poté vypoˇcteme ve vztahu: g=
4 π2 lr . T02
Pokud urˇcí vedoucí cviˇcení, pak zpusobem ˚ naznaˇceným v cˇ ásti 1.4 urˇcíme krajní chybu κg tíhového zrychlení g. K výpoˇctu použijeme krajní chyby mˇerˇ ení doby kyvu κT0 a redukované délky κlr .
7.4
Závˇer a diskuse
V závˇeru uvedeme namˇerˇ enou hodnotu g spolu s krajní chybou κg a relativní chybou mˇerˇ ení ηg . Provedeme diskusi pˇresnosti mˇerˇ ení a porovnáme namˇerˇ enou hodnotu s tabelovanými hodnotami.
7.5
Kontrolní otázky
1. K cˇ emu je vhodné znát pˇresnˇe tíhové zrychlení? 2. Co je moment setrvaˇcnosti? 3. Proˇc se v rovnici (7.3) musíme omezit na maximální výkyv do 4◦ ? 4. Lze pˇresnˇe zmˇerˇ it dobu velkého množství kyvu, ˚ aniž bychom je museli poˇcítat? 5. Jak urˇcit poˇcet kyvu, ˚ jejichž dobu lze zmˇerˇ it i bez jejich poˇcítání? 6. Jaká je souvislost mezi matematickým a reverzním kyvadlem? 7. Je reverzní kyvadlo i fyzikálním kyvadlem? 8. Co je fyzikální kyvadlo? 9. Proˇc osa závˇesu fyzikálního kyvadla nesmí procházet jeho tˇežištˇem? 10. Víte co je to Foucaltovo kyvadlo? 11. Délka závˇesu matematického kyvadla se zdojnásobí. Jak se zmˇení jeho perioda?
