MEGBÍZHATÓSÁG-ELMÉLET

PHARE HU03/IB/EN03-TL

MEGBÍZHATÓSÁG-ELMÉLET

Definíciók A legszélesebb körben elfogadott definíció szerint a megbízhatóság egy elem (termék, rendszer stb.) képessége arra, hogy meghatározott működési feltételek mellett meghatározott időtartamig vagy ciklusszámban működjön. Ez a képesség valószínűséggel kifejezve határozható meg, ahol a megbízhatóság definíciója a következő: a megbízhatóság annak valószínűsége, hogy egy termék vagy rendszer egy adott időpontban vagy meghatározott időtartamban, megadott környezeti és felhasználási körülmények között működve kielégítően (azaz meghibásodás nélkül és a meghatározott teljesítményhatárok között) látja el eredeti funkcióját. A használhatóságot a megbízhatóság és a karbantarthatóság kombinációjának tekinthetjük. Ha nem végzünk karbantartást vagy javítást, a megbízhatóságot pillanatnyi használhatóságnak tekinthetjük. A használhatóság meghatározásánál a következő definíciókat használhatjuk: a használhatóság annak valószínűsége, hogy egy termék vagy rendszer bármely időpontban kielégítően működik, ahol a teljes időbe beleértjük az üzemidőt, az aktív javítási időt, az adminisztrációs időt és a logisztikai időt. Másféleképpen definiálva: a használhatóság annak valószínűsége, hogy egy rendszer a kívánt időben, adott feltételek mellett el tud látni egy meghatározott funkciót vagy feladatot. A karbantarthatóság annak valószínűsége, hogy az előírt eljárásoknak és erőforrásoknak megfelelően végzett karbantartás esetén egy termék vagy rendszer adott időtartamon belül megfelel meghatározott feltételeknek.

A meghibásodás és a megbízhatóság kapcsolata Egy rendszer valamely egységének meghibásodása azt jelenti, hogy az egység a továbbiakban nem képes ellátni a kívánt funkciót. Tegyük fel, hogy a meghibásodásig tartó T működési idő valószínűségi sűrűségfüggvénye f(t). A meghibásodások eloszlási függvénye annak a valószínűsége, hogy egy elem a [0,t] időintervallumban meghibásodik.

[„where” : ahol] A megbízhatósági függvény vagy túlélési függvény egy, a [0,t] időintervallum alatt meg nem hibásodó egység valószínűsége.

Annak valószínűsége, hogy ugyanaz az egység a t ≤ τ ≤ t + ∆t időintervallumban meghibásodik, azonos azzal a feltételes valószínűséggel, hogy t idő előtt nem következik be meghibásodás, de a t ≤ τ ≤ t + ∆t intervallumban igen, vagyis

.

3.1


Az egység meghibásodási rátája:

Valamely egység átlagos működési ideje a meghibásodásig (MTTF):

Ha az egység egy olyan rendszerben van, amelyet meg lehet javítani, vagy ki lehet cserélni, akkor célszerűbb a meghibásodások közötti átlagos működési időt (MTBF) használni. Ha a javításhoz vagy cseréhez szükséges idő sokkal rövidebb, mint az MTTF, akkor az MTBF nagyjából megegyezik az MTTF értékével.

Ha a javításhoz vagy cseréhez szükséges idő nem elhanyagolható mértékű, akkor az átlagos javítási idővel (MTTR) is számolni kell.

A meghibásodás és a megbízhatóság kapcsolata: Összefoglalás Kifejezések átszámítása -

=

-

=

-

=

-

=

Megbízhatósági paraméterek értékelése mintaadatok alapján Jelölje n(t) azoknak az egységeknek a számát, amelyek t idő előtt nem hibásodtak meg, és legyen N a megfigyelt egységek teljes száma. Ekkor R(t) = P(T>t) =

n(t ) . N

Eszerint a t időpontban fennálló megbízhatóság a t időpontban még működő egységek átlagos mértéke. Innen már egyszerűen megkapjuk a meghibásodási valószínűség képletét: F(t) = 1 -

n(t ) N − n(t ) = , N N 3.2


és a valószínűségi sűrűségfüggvényt: f(t) =

dF(t ) 1 dn(t ) = − , dt N dt

amelyekből már levezethető a minket érdeklő képlet:

f (t ) ≡ lim

∆t → 0

n(t ) − n(t + ∆t ) . N∆t

Látható, hogy f(t) az eredeti N sokaság méretének megfelelően normalizált. Sok esetben több információt nyújt, ha az n(t) értékének megfelelően normalizáljuk a túlélők számát. Tehát a meghibásodási (veszély) rátát a következőképpen határozhatjuk meg:

n(t ) − n(t + ∆t ) . ∆t →0 n(t )∆t

z(t ) ≡ lim Feladat

Gyakoroljuk a megbízhatósági jellemzők kiszámítását olyan esetben, amikor egy rendszerelem két meghibásodása közötti hibamentes működési időtartamának mintája adott. A minta mérete 30 értékből áll össze, az időegységek pedig évek.

Gyakorisági hisztogram

6,4 2,0 5,2 6,4 16,7 1,1 3,2 0,2 3,0 3,4

0,6 2,5 6,3 1,5 0,7 15,7 1,5 3,8 0,7 2,7

1,3 3,3 4,7 6,6 6,5 1,5 4,7 2,4 7,5 1,4

7 6 5 4 3 2 1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Válaszolja meg a következő kérdéseket: Mekkora a rendszerelem megbízhatósága t = 5 évnél? Mekkora a meghibásodási ráta t = 5 évnél? Milyen a valószínűségi sűrűségfüggvény t = 5 évnél? Mekkora az átlagos meghibásodási ráta? Vizsgálják meg azt az esetet, amikor a megfigyelt rendszerelemek száma 100, és a 30 meghibásodást tartalmazó minta a 100 megfigyelt rendszerelem meghibásodásaiból áll össze. Vagyis a megmaradt 70 rendszerelem továbbra is megfelelően üzemel.

3.3


Exponenciális eloszlással leírt megbízhatóság Az exponenciális eloszlás egyike a rendszeregységek megbízhatóságának leírására használt legelterjedtebb eloszlásoknak. Tegyük fel, hogy egy egység megbízhatósága az idő múlásával exponenciális arányban romlik. , ahol λ egy pozitív konstans. Ekkor a megbízhatósági és meghibásodási függvények a következőképpen foglalhatók össze: Megbízhatósági függvény

A meghibásodás eloszlásfüggvénye

A meghibásodás sűrűségfüggvénye

Meghibásodási ráta

Átlagos működési idő a meghibásodásig

Rendszer-megbízhatóság (soros rendszer)

Kumulatív meghibásodási ráta

3.4


Készenléti üzemmódú, tartalékolással rendelkező rendszerek Attól függően, hogy milyen a tartalékegységek állapota az üzembe lépés előtt, az egység tartalékolási szintjét az alábbi kategóriák egyikébe lehet sorolni: (1) Aktív tartalékolás: a tartalékegységekre ugyanazok a szabályok vonatkoznak, mint az alapegységekre, és megbízhatóságuk független attól, hogy mikor lépnek az alapegység helyébe. (2) Teljesen inaktív készenléti tartalékolás: a tartalékegységek kezdetben ki vannak kapcsolva, és – elméletileg – nem hibásodhatnak meg, amíg az elsődleges egységek helyébe nem lépnek. (3) Részlegesen bekapcsolt készenléti tartalékolás: a tartalékegységek részlegesen bekapcsolt állapotban vannak addig a pillanatig, amikor az elsődleges egységek helyébe lépnek. A készenléti idő alatt meghibásodhatnak, de ennek kisebb a valószínűsége, mint az alapegység meghibásodásának. Előfordulhat, hogy az aktív tartalékolású rendszerek nem hatékonyak. Ezeknél a rendszereknél elég, ha n rendszerelemből egyszerre k darab üzemképes, mivel azonban már kezdetben mind az n darab üzemel, bármelyik meghibásodhat. Egy lehetséges megoldás a tartalék rendszerelemek használata. Ezeknél a rendszereknél kezdetben csak k rendszerelem üzemel. Pontosan annyi, amennyi a teljes rendszer üzemeltetéséhez szükséges. Valamelyik rendszerelem meghibásodása esetén mindig van azonnal beüzemelhető „készenléti” tartalék. Ennek alapján ezeket készenléti üzemmódú, tartalékolással rendelkező rendszereknek nevezzük. Tegyük fel, hogy a rendszerünk k működőképes rendszerelemet igényel, és kezdetben n-k elérhető tartalék rendszerelemünk van. Amikor egy működő elem meghibásodik, egy kapcsoló aktiválja az egyik tartalék vagy készenléti elemet (s ezzel működő elemmé teszi). A rendszer egészen addig működni fog, amíg k-nál kevesebb működőképes alkarész nem marad. Más szóval a rendszer addig működik, amíg n-k+1 elem meg nem hibásodik. Most csak azt az esetet fogjuk vizsgálni, amikor egy üzemképes elemre van szükség (speciális eset, ahol k = 1), és n-1 készenléti (tartalék) elem áll rendelkezésre. Feltételezzük, hogy a kapcsoló (DS) pillanatszerűen és 100 %-os megbízhatósággal szabályozza a készenléti elemek működésbe lépését. Az alábbi ábrán látható modellt használjuk ennek a helyzetnek a szemléltetésére.

C1 C2 DS … Cn Ábra. Készenléti üzemmódú, tartalékolással rendelkező rendszer Ha Ti-vel jelöljük az i-edik rendszerelem meghibásodásig tartó működési idejét, akkor a Ti értékek függetlenek és egyenletesen oszlanak el i = 1, 2, 3,..., n értékekre. Így Ri(t) minden elemre azonos. Legyen T = a teljes rendszer meghibásodásáig hátralévő idő. Mivel a rendszer csak akkor hibásodik meg, ha már mind az n elem meghibásodott, és az i + 1-dik elemet csak akkor helyezzük működésbe, ha az i-edik elem meghibásodik, könnyen belátható, hogy T = T1 + T2 +…+ Tn

3.5


Más szóval a rendszer meghibásodásának idejét egyszerűen kiszámíthatjuk, ha ismerjük az egyes rendszerelemek meghibásodásig tartó működési idejét. Végül meghatározhatunk egy valószínűségi változót: X = egy készenléti üzemmódú, tartalékolással rendelkező rendszer azon rendszerelemeinek száma, amelyek t idő előtt meghibásodnak. Most a rendszer megbízhatósága egyszerűen annak valószínűsége, hogy kevesebb, mint n alkatrész hibásodik meg a (0, t) intervallumban. Más szóval R(t)=P(X
Javítható rendszerek használhatósága A használhatóságnak három definíciója van: 1. Pillanatnyi (pontszerű) használhatóság: a(t) annak valószínűsége, hogy a rendszer (vagy rendszerelem) a t időpontban működőképes. 2. Határértékes pillanatnyi használhatóság: a definíciója

a = lim a(t ) . t →∞

3. Átlagos használhatóság: a definíciója egy meghatározott T időszakaszra

a=

∫

1 T a(t )dt . T 0

Meghatározhatjuk a határértékes átlagos használhatóságot is:

∫

1 T a(t )dt . T →∞ T 0

a l = lim

Ennek a definíciónak azonban korlátozottak az alkalmazási lehetőségei. Most pedig vegyük szemügyre közelebbről a használhatóság három definícióját. Pillanatnyi használhatóság. A pillanatnyi használhatóság leggyakrabban használt modellje az exponenciális eloszlás

 t  a(t ) = exp  − λ(θ )dθ  ,  0 

∫

ahol a(t) annak valószínűsége, hogy a rendszerelem működőképes állapotban lesz a t időpontban feltéve, hogy a t = 0 időpontban működőképes. Ezt megfordítva a q(t) használhatatlanságot így határozhatjuk meg: q(t) = 1-a(t). Fontos, hogy megértsük a rendszerek (és rendszerelemek) alább meghatározott általános típusait.

3.6


1. Nem javítható rendszerek. Idetartozik a fent bemutatott modell, amelyben λ(θ) a pillanatnyi meghibásodási rátát jelöli. 2. Időtől független rendszerek. A meghibásodás valószínűsége és a javítási idő (ha van) független az időtől. 3. Javítható rendszerek, amelyek esetében azonnal felismerik a meghibásodást (észlelt meghibásodások). 4. Javítható rendszerek, amelyek esetében a meghibásodást vizsgálattal állapítják meg (rendszeres időközönként vizsgált rendszerként is ismert).

 

Az 1. típusú rendszereknél a(t ) = exp  −



∫ λ(θ)dθ  jelöli a rendszer használhatóságát. t

0

2. típusú rendszereknél a használhatóság és a használhatatlanság értékét a következő egyenletekből kaphatjuk meg:

a=

Tu Td és q = , Tu + Td Tu + Td

ahol Tu = üzemképességi idő és Td = üzemképtelenségi idő. Ez egyértelműen ideális eset, ami ritkán fordul elő a gyakorlatban. A 3. típusú rendszereknél, mivel a rendszerek javíthatóak, a használhatóság számításába belevesszük a javítási rátát is. Ezekben az esetekben a(t) értékét az alábbi közönséges differenciálegyenletrendszerből kaphatjuk meg:

da(t ) = − λ(t )a(t ) + μ(t )q(t ), dt dq(t ) = λ(t )q(t ) + μ(t )a(t ), dt ahol λ(t) a meghibásodási ráta és µ(t) a javítási ráta. A fenti differenciálegyenlet-rendszer megoldása a következő eredményt adja:

a(t ) =

μ λ + exp[− (λ + μ )t ]. λ+ μ λ+ μ

Vegyük észre, hogy µ=1/TR, ahol TR a javítási idők átlaga, amelyet gyakran átlagos javítási időnek (MTTR) is neveznek. A 4. típusú rendszerek esetében megkaphatjuk az a(t) értékét feltéve, hogy az η vizsgálati intervallum, a vizsgálat θ időtartama és a javítás TR időtartama rögzített. Ennek az esetnek a modellezése meglehetősen bonyolult, és nem fogjuk itt tárgyalni. Az egyszerűség kedvéért a pillanatnyi használhatóság függvényét ábrázolhatjuk közelítőleges formában is. Ez jelentősen leegyszerűsíti a használhatósági számításokat. Egy rendszeres időközönként ellenőrzött rendszerelem esetében például, ha a javítási és ellenőrzési szakaszok az üzemidőhöz képest nagyon rövidek, és feltételezzük, hogy az ellenőrzés és a vizsgálat tökéletes, a rendszer használhatatlanságának kiszámítása során figyelmen kívül hagyhatjuk e szakaszok időtartamát. Ezt a használhatatlansági egyenlet Taylor-féle kiterjesztése segítségével tudjuk bemutatni.

3.7


Ebben az esetben a használhatósági és a használhatatlansági függvények értéke a következőképpen alakul minden T ellenőrzési intervallumban: a(t) ≈ 1 - λt, és q(t) ≈ λt. Az egyenlet felhasználásával készített, a használhatatlanságot az idő függvényeként ábrázoló grafikon alakja az alábbi ábrán láthatóhoz lesz hasonló. Nyilvánvaló, hogy amennyiben az ellenőrzési és a javítási időtartamok hosszúak, a hatásukat figyelembe kell venni.

Közelítő pillanatnyi használhatatlanság

T

t

Ábra. Közelítő pillanatnyi használhatatlanság rendszeresen ellenőrzött elemek esetében

Határértékes pillanatnyi használhatóság. Könnyen használhatósági egyenletnek van határértéke. Például:

belátható,

hogy

némely

pillanatnyi

 μ λ  μ . a = lim a(t ) = lim + exp[− (λ + μ )t ] = t →∞ t →∞ λ + μ λ+ μ   λ+ μ Ezzel ekvivalens:

a=

MTBF . MTBF + MTTR

Ezt az egyenletet néha a konstans meghibásodási rátájú javítható rendszer aszimptotikus használhatóságának is nevezik. Átlagos használhatóság. A definíció alapján az átlagos használhatóság egy T idő alatti használhatóság állandó mértéke. A nem vizsgált elemeknél T bármilyen érték lehet (ideális esetben ez az előírt üzemidő). Vizsgált elemeknél a T általában a vizsgálati (vagy ellenőrzési) intervallum vagy a Tm működési időtartam. Ezért a nem javítható elemeknél, ha a vizsgálati intervallum T, akkor használhatjuk a pillanatnyi használhatóság közelítő kifejezését konstans λ értékkel. Ha feltételezzük, hogy a ≈ 1 − λt (ami csak akkor igaz, ha λt < 0,1), akkor

a=

∫

1 T 1 (1 − λt )dt = 1 − λT . T 0 2

Ennek megfelelően bármilyen rendszertípushoz elő lehet állítani ilyen átlagolt használhatósági értékeket. A következő táblázat különböző típusú elemek átlagos használhatatlanságát mutatja.

3.8


Elem típusa Időfüggetlen, konstans Nem javítható Javítható, észlelt meghibásodás Javítható, rendszeres időközönként ellenőrzött

Átlagos használhatatlanság q

Átlagos használhatóság a

1 λTm 2 λτ 1 + λτ T T 1 λT0 + fr R + t T T 2

1 λTm 2 λτ 1 + λτ T T 1 1 − λT0 + fr R + t T T 2 1−

λ = konstans meghibásodási ráta (1/óra) Tm = előírt üzemidő (óra) τ = átlagos üzemképtelenségi idő v. MTTR (óra) T = ellenőrzési intervallum (óra) TR = átlagos javítási idő (óra) Tt = átlagos ellenőrzési időtartam (óra) fr = a javítások ellenőrzési intervallumonkénti gyakorisága T0 = üzemidő (üzemképességi) = T – TR – Tt. A használhatósági számítások néhány gyakorlati esete Jelölje Tij a j-edik üzemperiódus (véletlen) hosszúságát, amelynek átlaga az i-edik komponensnél Tî , és Dij a j-edik csere (véletlen) időigényét, amelynek átlaga az i-edik elem esetében Dˆ i , ahol j = 1, 2,…; i = 1, 2,…, n, és n a vizsgált rendszer elemeinek száma. A következő ábra az üzemelési és csereidőszakok váltakozását mutatja be.

1

0 Ti1

Di1

Ti2

Di2

Ti3

Idő, t

Ábra. Az i-edik rendszerelem meghibásodásainak és javításainak váltakozása. A rendszerek használhatóságának vizsgálatánál a modell a következőket feltételezi: Egy meghibásodott rendszerelem cseréje alatt minden más elem „működése felfüggesztésre kerül”. A meghibásodott elem cseréje után a többi elem folytatja működését. Ebben a pillanatban már nem „olyan jók, mint új korukban”, hanem csak annyira jók, amennyire akkor voltak, amikor a rendszer működése leállt.

3.9


A t növekedésével a használhatósági függvény eléri a következő stacionárius értéket (határértékes pillanatnyi használhatóság):

 a = 1 +  

n

∑ i =1

−1

 Dˆ i  1 + =  Tî  

1 ahol Dˆ i ≈ Ni

n

∑ i =1

λi μi

Ni

∑

1 Dij , Tî ≈ Ni j =1

−1

  ,   Ni

∑T , N ij

i

az i-edik komponens meghibásodásainak száma a [0,T]

j =1

időintervallum alatt, λi és µi az i-edik komponens átlagos meghibásodási rátája, illetőleg javítási rátája. Tudjuk, hogy egy rendszer átlagos használhatósága a [0,T] intervallumban megfelel azon időhányad várható értékének, amelyben a rendszer a [0,T] alatt ténylegesen működik, vagyis

a =

Tu T

Hogyan számoljunk, ha N vizsgált rendszerelemünk van? N

a=

1 N

N

∑a

i

=

i =1

∑ 1

N

Ti u

i =1

N

T

∑T 1

u

i

=

i =1

N

T

,

ahol Ti u az i-edik elem teljes működési ideje a [0,T] intervallumban. Ez az egyenlet általában csak akkor érvényes, ha az összes N elemet ugyanazon 0 időpontban hozzák működésbe, és azok jelenleg is működnek. A valóságban a különböző kezdő dátumok gyakran eltérnek és néhány rendszerelemet teljesen ki lehet vonni a működésből. Ezért az utolsó egyenletet így írhatjuk át:

1 a= N

N

∑ i =1

Ti u , Ti

ahol Ti az i-edik rendszerelem által üzemben töltött teljes naptári idő.

3.10


A rendszerelemek élettartama alatt bekövetkezett bonyolultabbnak tűnik, mint ahogy az alább is látható:

események

összessége

ennél

gyakran

5 4 3 2 1

t1s

t2s

t3s

t1f tmúlt

t4s t2f t5s

t4f tjelen idő

Ábra. Hasonló rendszerelemek csoportjának lehetséges élettartam-eseményei tiS – az i-edik szélturbina működésének kezdési ideje, tif – az i-edik működés megszakadása, tmúlt – az időadatok gyűjtésének kezdete, tjelen – jelen idő Ilyen esetben a használhatóságnak és a megbízhatóságnak csak az alsó és a felső határértéke becsülhető meg. A megbízhatóság sztochasztikus modellezése Nehéz feladat azon rendszerek működésének vizsgálata, amelyek különböző vizsgálati, javítási és kicserélési szabályzatok hatálya alá tartoznak. A rendszer (egy adott berendezés-konfiguráció) bármelyik pillanatban egy sor lehetséges állapot valamelyikében lehet. Egy állapot gyakran definiálható a kielégítően működő berendezések felsorolásával. A megkülönböztetett állapotok száma általában a rendszert alkotó berendezések számától és funkciójától függ. Az alább vázolt megbízhatósági modellekben a lehetséges állapotok számát végesnek tekintjük. Feltételezzük, hogy a rendszerelhasználódás jellege megfelel a markovi megközelítésnek; vagyis a rendszer jövőbeli működését csak annak jelenlegi állapota határozza meg, s ez nem függ múltbeli állapotaitól. Legalább két jó okunk van arra, hogy a Markov-modellt ajánljuk az elhasználódás leírásához. Először is, ha minden rendszerelem meghibásodása megközelítőleg exponenciális jelleget mutat, akkor az egész rendszer közelítő leírását megadhatjuk a Markov-folyamattal. Másodszor, sok fizikai rendszer első rendű közelítő leírása olyan, amelyben az ilyen rendszerek történetének ismerete a jövő szempontjából nem hordoz értékelhető információt. A Markov-folyamat ennek a folyamattípusnak a sztochasztikus megfelelője. Példa. Egy adott, radarral működő jelzőrendszer kulcseleme két azonos, párhuzamosan összekötött számítógépen alapul; vagyis mindkettő működik, bár csak egy van ténylegesen hasznos üzemben. A sürgős javításokat a számítógép meghibásodása esetén hajtják végre. Egy adott számítógép megelőző karbantartását t0 óra után ütemezzük be, ha az egyik számítógép aktív üzemben van, és a másik működésre készen áll. Ha az első számítógép meghibásodik (vagy a megelőző karbantartást végzik rajta), és a második az első megjavítása (a megelőző karbantartás befejezése) előtt meghibásodik, a következmény katasztrofális lehet a rendszer jellege miatt. Az egyszerűség kedvéért a rendszer lehetséges állapotait a következők szerint jelöljük. Legyen az egyik számítógép az A, a másik pedig a B.

3.11


As(Bs) azt jelöli, hogy az A(B) számítógép készenléti állapotban működik; Aa(Ba) azt jelöli, hogy az A(B) számítógép aktív állapotban van; Ar(Br) azt jelöli, hogy az A(B) számítógépen sürgős javítást végeznek; Ap(Bp) azt jelöli, hogy az A(B) számítógépen megelőző karbantartást végeznek.

AsBa-2

AaBp-3 ArBp-4 AaBr-7

ArBr-6

ArBa-5

ApBr-8

ApBa-1

AaBs-0

Ábra. Két egységből álló rendszer állapottere A fenti ábrán a rendszer állapottér-diagramja látható. A rendszernek összesen kilenc lehetséges állapota van; ezeket 0 és 8 közötti számokkal jelöltünk. A rendszer 0. állapota például azt jelenti, hogy az A számítógép aktív használatban van, a B számítógép pedig készenléti állapotban működik. Ha a 0. állapotba kerülés pillanatától mért t0 időintervallumon belül nem történik semmilyen meghibásodás, az A számítógépen elkezdik a megelőző karbantartást, és ezzel a rendszer az 1. állapotba kerül. Ha nem történik meghibásodás, akkor a rendszer a téglalap külső élei mentén jelölt állapotokat veszi fel egymás után. Ha az aktív számítógép még a másik számítógép megelőző karbantartásának befejeződése előtt meghibásodik, a rendszer természetesen leáll. A rendszer működése szempontjából pontosan három kedvezőtlen állapot létezik, mégpedig a 4., 6. és 8. állapot. Bizonyos, a meghibásodásig hátralévő működési idővel, a javítás elvégzésének idejével stb. kapcsolatos ésszerű feltételezés miatt a rendszer működését egy ún. fél-Markov-folyamattal lehet leírni. A rendszer felhasználóját érdekelheti a rendszer átlagos működésképtelenségi ideje egy adott időintervallumban; annak valószínűsége, hogy a rendszer bármikor egyszerre több mint x percig üzemen kívül van; vagy esetleg egy megfelelő karbantartási ütemterv. Ahhoz, hogy ilyen információt kaphassunk, Markov-láncokat és fél-Markov-folyamatokat használunk. Markov-láncok Egy diszkrét paraméterű {X(t); t=0,1,…} sztochasztikus folyamatot vagy egy folytonos paraméterű {X(t); t ≥ 0} folyamatot Markov-folyamatnak nevezünk, ha bármely t1 < t2 < … < tn n-elemű időponthalmazra és bármely valós x1, x2, … , xn számra P[X(tn) ≤ xn X(t1)=x1, …, X(tn-1)=xn-1] = P[X(tn) ≤ xn X(tn-1)=xn-1].

3.12


Belátható, hogy ez azt jelenti: ha ismerjük a folyamat jelenlegi állapotát, akkor a folyamat jövőbeli állapotai a múlttól függetlenek. Egy diszkrét idejű Markov-láncot diszkrét értékű valószínűségi változók sorozatával {X (t n )}n =1 írhatunk le. A folyamat állapotait nemnegatív i = 0, 1, 2, …, m egész számokkal jelöljük. Így valamely i-ből j-be történő átmenet az i-nek nevezett állapotból a j-nek nevezettbe való változást jelenti. ∞

A Markov-láncot azzal határozzuk meg, hogy az állapotváltozók egylépéses átmeneti valószínűségeit megadjuk; vagyis meg kell adnunk az átmenet feltételes valószínűségét (amelyet átmenet-valószínűségnek nevezünk) az n időponthoz minden i, j = 0, 1, 2, …, m párra, az i állapotból a j állapotba való átmenethez. Ezt a valószínűséget így jelöljük:

pijn,n +1 = P [X (n + 1) = j X (n) = i ] . Ha az átmenet-valószínűségi függvények csak az időkülönbségtől függnek, vagyis

pijn,n +1 = pij0,1 = pij , akkor azt mondjuk, hogy a Markov-eljárás időben állandósult. Elő kell írni a folyamat kezdőállapotát is. A pij számokat szokás mátrix formában megadni, és ekkor a P = (pij) egyenlőségre mint a folyamat markovi átmeneti valószínűségi mátrixára utalhatunk. Világos, hogy a pij értékek kielégítik a következőket: pij ≥ 0, i, j = 0, 1, …, m, és

∑

m j =0

pij = 1 .

Minden számunkra érdekes mennyiség – például az i-ből első alkalommal j állapotba vezető lépések várható száma, a j állapot n lépésben való előfordulásainak várható száma stb. – kiszámítható a P függvényeiből álló mátrixokból. Példa. Az előző példában egy olyan sztochasztikus folyamatot mutattunk be, amelyet egy adott rendszer egymást követő javításai, megelőző nagyjavításai stb. hoztak létre. Összesen 9 állapottal kellett dolgoznunk, és t0 jelölte a megelőző nagyjavítások közötti ütemezett időt. Tegyük fel, hogy a javítás G eloszlása exponenciális, vagyis

t<0 0, G(t ) =  1 - exp(- μt), t ≥ 0. Egy számítógép meghibásodását okozhatják olyan hibák, melyeket a gép működése során is észlelni lehet, és olyan hibák is, amelyeket csak a gép kikapcsolása után, alapos vizsgálattal lehet felderíteni. Feltételezzük, hogy az első típusú meghibásodáshoz tartozó hibaeloszlás exponenciális, vagyis

t<0 0, F(t ) =  1 - exp(- λt), t ≥ 0. Az ütemezett megelőző karbantartásnak az a célja, hogy megtalálja azokat a meghibásodásokat, amelyeket a gép működése közben esetleg nem lehetne észlelni. A folyamatnak egy beágyazott Markov-lánca van, amelyet az alább megadott valószínűségi átmeneti mátrixszal jellemezhetünk. Például a p00 = 0, mivel a folyamat csak meghibásodás vagy megelőző nagyjavítás révén hagyhatja el az első állapotot. Továbbá, a p01 = exp(-2λt0) annak valószínűsége,

3.13


hogy a folyamat a 0. állapotból közvetlenül az 1. állapotba kerül, vagyis hogy nincs meghibásodás a [0,t0] időintervallumon belül. A 4. (8.) állapotból a rendszernek közvetlenül az 5. (7.) állapotba kell kerülnie, feltételezve, hogy a megelőző karbantartás alatt lévő számítógépnek legfeljebb d percre van szüksége ahhoz, hogy aktív üzembe álljon (d értéke kicsi). 0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

0

e −2 λt0

0

0

0

1 − e −2 λt0 2

0

1 − e −2 λt0 2

0

1

0

0

e − λγ

0

0

0

0

0

1 − e − λγ

2

0

0

0

e −2 λt0

0

1 − e −2 λt0 2

0

1 − e −2 λt0 2

0

3

e − λγ

0

0

0

1 − e − λγ

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

1

0

0

0

5

0

0

λ λ+ μ

0

0

0

λ λ+ μ

0

0

6

0

0

0

0

0

1 2

0

1 2

0

7

λ λ+ μ

0

0

0

0

0

λ λ+ μ

0

0

8

0

0

0

0

0

0

0

1

0

Ábra. Átmenet-mátrix

1 1 – átlagos működési idő a meghibásodásig, – sürgős javítás átlagos időtartama, γ – megelőző λ θ karbantartás átlagos időtartama, t0 – ütemezett megelőző karbantartás időszaka, d – az egyik egység megelőző karbantartásához szükséges átkapcsolási idő.

Esettanulmány: A meghibásodási ráta modellezése Egy, több szivattyút tartalmazó technológiai rendszer kockázatelemzését végezzük. Az egyes szivattyúk meghibásodási valószínűségének becsléséhez egy olyan vizsgálat eredményeit vesszük alapul, ahol 10 szivattyút folyamatosan, a meghibásodásig működtettek. A vizsgálat eredményeit az alábbi táblázatban adjuk meg, ahol közöljük az egyes szivattyúk meghibásodásáig tartó időt (évben).Táblázat: A szivattyúk meghibásodásáig eltelt idő

3.14


Működési idő a meghibásodásig 0,24 3,65 1,25 0,2 1,79 0,6 0,74 1,43 0,53 0,13

Szivattyú 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A minta adataiból kiszámíthatjuk a megfigyelt meghibásodási idők átlagértékét. Ez 1,06 évre jön ki, és ezért a meghibásodások éves száma (a meghibásodási ráta) a 0,95 reciprok érték. Ha például feltételezzük, hogy csak az első év alatt meghibásodott szivattyúk számát használjuk (vagy csak az áll rendelkezésünkre), akkor az ahhoz tartozó meghibásodási ráta 2,46 lesz. Az illeszkedésvizsgálat használata alátámasztja az exponenciális eloszlású meghibásodási idők hipotézisét, vagyis a valószínűségi sűrűségfüggvény a következő lesz:

f (t ) = 0.95 exp( −0.95t )

Tegyük fel, hogy a megbízhatósági elemzést egy másik típusú szivattyúra vizsgáljuk, melyhez csak kevés specifikus meghibásodási adatunk van. Csak három meghibásodást észleltünk (ld. az alábbi táblázatot). Ezért úgy döntöttünk, hogy az általunk vizsgált szivattyúhoz előzetes információként egy másik típusú szivattyúra vonatkozó valószínűségi sűrűségfüggvényt használunk (mert az rendelkezésre áll). Táblázat: Az új szivattyúk meghibásodásáig eltelt idő Működési idő a meghibásodásig 3,2 3,5 3,3

Szivattyú 1 2 3

A probléma megoldásához a Bayes-féle megközelítést alkalmazzuk. Ebben a megközelítésben a valószínűség-eloszlás λ paraméterét ( f (t ) = λ exp( − λt ) ) nem pontos értéknek vesszük, hanem valószínűségi változónak tekintjük, melyhez egy h(λ) valószínűség eloszlás tartozik; ez utóbbit a λ paraméter előzetes valószínűség eloszlásának hívjuk. Ezekből le lehet vezetni a λ paraméter utólagos valószínűség eloszlását a Bayes-tétel egyik alakjának felhasználásával: ∧

L( λ x )h( λ)

∧

h( λ x ) =

∧

∫ L( λ x)h( λ)dλ

,

Λ

∧

ahol xˆ = ( x1, x 2 , x3 )T = (3.2,3.5,3.3)T , és L( λ x ) az a valószínűségi függvény, amelyet a meghibásodásig tartó működési következőképpen lehet kiszámítani:

időkre

elfogadott

3

L( xˆ λ) =

∏ λ exp(− λx ) . i

i =1

3.15

valószínűségi

sűrűségfüggvényre

a


Ha feltételezzük, hogy a λ paraméterre az előzetes valószínűség eloszlás normális eloszlást követ, amelynek paramétereit (vagyis az átlagos működési időt a meghibásodásig és a normál szórást) a 10 szivattyú-meghibásodás alapján becsültük meg, akkor ki tudjuk számítani a λ paraméter utólagos valószínűség eloszlását. Ezt mutatja a következő ábra: 2.5 2,5

2

Posterior Utólagos

1.5 1,5

Likelihood Valószínűség

1

Prior Előzetes

0.5 0,5

0 0

0.5 0,5

1

1.5 1,5

2

2.5 2,5

A meghibásodási ráta előzetes valószínűségi sűrűsége, a további minta valószínűsége és a meghibásodási ráta utólagos valószínűségi sűrűsége. Bayes szabálya különböző forrásokból származó információk kombinálásának módját adja meg, így a szubjektív információ és a kísérleti eredmények kombinálását teszi lehetővé a mennyiségi kockázatelemzésekben. Az ábrából látszik, hogy míg a bizonytalan meghibásodási rátára vonatkozó előzetes valószínűségsűrűség szimmetrikus (és mellesleg a negatív tartományban is értelmezhető!), addig az utólagos valószínűségi sűrűségfüggvényt erősen befolyásolja a valószínűségi függvény, és csak a meghibásodási ráta pozitív értékeit engedi meg. A meghibásodás valószínűségének becslése Előzetesen feltételezve, hogy a meghibásodásokig tartó működési idő exponenciális eloszlású, annak valószínűsége, hogy valamely szivattyú T időtartam alatt meghibásodik λ állandó meghibásodási ráta mellett: F(T λ) = 1 − exp( − λT ) . Mivel azonban a meghibásodási ráta bizonytalan, a meghibásodási ráta valószínűségüknek megfelelően súlyozott lehetséges értékein túl a meghibásodás valószínűségét is be kell venni a számításba, vagyis ∞

∫

∧

F(T ) = 1 − exp(− λT ) h( λ x )dλ , 0

megadva ezzel a meghibásodás teljes, feltétel nélküli valószínűségét. Ebben a példában a meghibásodás valószínűségére 0,38 adódik, ha a meghibásodási rátához az utólagos valószínűségi sűrűségfüggvényt vesszük alapul. Ez összevethető a meghibásodási valószínűség 0,61-os értékével, amelyet az előzetes valószínűségi sűrűségfüggvény felhasználásával kaptunk.

3.16

MEGBÍZHATÓSÁG-ELMÉLET

Recommend Documents