Máté: Számítógépes grafika alapjai

Máté: Számítógépes grafika alapjai

3D koordináta-rendszerek

3D transzformációk - homogén koordináták

z

(x,y,z) megadása homogén koordinátákkal: (x,y,z,1)

z

y

x

(x,y,z,w) = (x’,y’,z’,w’), ha van olyan α, hogy x’ = α·x, y’ = α·y, z’ = α·z és w’ = α·w

y x

y

z

x

Ha w=0: (x, y, z, 0) végtelen távoli pont Kapcsolat: (x, y, z) - egyenes a 4-dimenziós térben, aminek a w=1 3D térrel való metszete a homogén koordináta

jobbkezes jobb-sodrású

balkezes bal-sodrású

Ha w≠0: (x/w, (x/w y/w, y/w z/w, z/w 1) a szokásos jelölés

1

3D eltolás ⎛1 ⎜ ⎜0 T (d x , d y , d z ) = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝

mert

2

3D skálázás (nagyítás/kicsinyítés) ⎛ sx ⎜ ⎜0 S (s x , s y , sz ) = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝

0 0 dx ⎞ ⎟ 1 0 dy ⎟ 0 1 dz ⎟ ⎟ 0 0 1 ⎟⎠

3

3D forgatások − sin ξ cos ξ 0 0

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 1 ⎟⎠

0 ⎛1 ⎜ ⎜ 0 cos ξ R x (ξ ) = ⎜ 0 sin ξ ⎜ ⎜0 0 ⎝

0 − sin ξ cos ξ 0

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 1 ⎟⎠

0 sin ξ 1 0 0 cos ξ 0 0

⎛1 ⎜ ⎜0 SH xy (shx , shy ) = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝

0 shx 1 shy 0 1 0

0

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 1 ⎟⎠

⎛ x ⎞ ⎛ x + shx z ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ y + shy z ⎟ SH xy (shx , shy ) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ z z ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 1 ⎟⎠ 5

01_bevez

4

mert

Az Y-tengely körül ⎛ cos ξ ⎜ ⎜ 0 R y (ξ ) = ⎜ − sin ξ ⎜ ⎜ 0 ⎝

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 1 ⎟⎠

3D nyírás

Az x-tengely körül 0 0 1 0

⎛ x ⎞ ⎛ x ⋅sx ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ y ⋅sy ⎟ S (s x , s y , s z )⎜ ⎟ = ⎜ z z⋅ s z ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 0 ⎛1 / s x ⎜ s 0 1 / 0 ⎜ y S −1 (s x , s y , s z ) = ⎜ 0 0 1 / sz ⎜ ⎜ 0 0 0 ⎝

T −1 (d x , d y , d z ) = T (− d x ,−d y ,−d z )

⎛ cos ξ ⎜ ⎜ sin ξ Rz (ξ ) = ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎝

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 1 ⎟⎠

0 0 sz 0

mertt

⎛ x ⎞ ⎛ x + dx ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ y + dy ⎟ T (d x , d y , d z )⎜ ⎟ = ⎜ z z + dz ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A z-tengely körül

0 sy 0 0

6

1


3D kompozíció-mártix

VETÍTÉSEK

A legáltalánosabb kompozíció alakja:

⎛ t11 t12 ⎜ t ⎜t M = ⎜ 21 22 t t ⎜ 31 32 ⎜0 0 ⎝

t13 t14 ⎞ ⎟ t 23 t 24 ⎟ t33 t34 ⎟ ⎟ 0 1 ⎟⎠

Transzformációk, amelyek n-dimenziós objektumokat kisebb dimenziós terekbe visznek át. Pl.

y

3D→2D

x

MP kiszámításához a mátrix szorzáshoz képest most is meg lehet takarítani műveleteket.

z

8

7

Vetítések fajtái /1 perspektívikus • A •B • A’ • B’

Vetítések fajtái /2

párhuzamos • A • • A’ B B’ •

vetítési sík vetítés középpontja

vetítés vetítési sík középpontja a végtelenben

Perspektívikus

Párhuzamos

Vetítési középpont

Vetítési irány

kevésbé realisztikus közel áll látásunkhoz mérhető távolságok, általában: nem mérszögek változnak hetők a távolságok (rövidülés) és a szögek

9

10

Perspektív vetítések /2

Perspektív vetítések /1 A vetítési síkkal nem, de egymással párhuzamos egyenesek vetületei egy pontban metszik egymást = távlatpont

1.

Egypontos perspektív vetítés y y z-tengely t l távlatpont

y

Elsődleges távlatpont: valamelyik fő(tengely) irányhoz tartozó távlatpont

x z

z

x

vetítési középpont

11

01_bevez

• x

z

vetítési sík 12

2


Perspektív vetítések /2 1.

Párhuzamos vetítések

Egypontos perspektív vetítés

A párhuzamosság megmarad

y

Osztályozásuk a vetítési irány és a vetítési sík egymáshoz viszonyított helyzete szerint:

y z-tengely t l távlatpont x • vetítési középpont

z

• x

z

vetítési sík

1.

Merőleges (ortografikus)

2.

Tetszőleges irányú 14

13

Párhuzamos (ortografikus) /1

Példa

Felülnézet

Oldalnézet Előlnézet A párhuzamosság megmarad, a távolságok megmaradnak vagy számíthatók 15

16

Párhuzamos /2 Axonometrikus (nem merőleges egyik tengelyre sem); szög nem marad meg, távolság számítható Izometrikus (a vetítési irány (dx, dy, dz) minden tengellyel ugyanakkora szöget zár be), azaz

|dx| = |dy| = |dz|, ±dx = ±dy = ±dz Amfiteátrium Jerash-ban

y 120° 120° z 120° x

8 ilyen irány létezik 17

01_bevez

18

3


Tetszőleges irányú /1

Izometrikus vetítés

A vetítési sík normálisa és a vetítési irány nem párhuzamos

y

Leggyakoribb fajtái: - kavalier x - kabinet Vetítési irány z

A vetítési sík normálisa 19

20

Tetszőleges irányú /2

Tetszőleges irányú /3 Kabinet:

Kavalier:

a vetítési irány és a vetítési sík

a vetítési irány és a vetítési sík szöge = 45° y

1

1

1

y

szöge = arctg(2) = 63,4° 1

y 1/2

y

1

1/2

1

1 x

1 z

α 30°

z

α 45°

1

x z

1 α 45°

x z

α 30°

x

21

3-D megjelenítés specifikálása /1 Szükséges:

- látótér - vetítés

3-D megjelenítés specifikálása /2

megadása

3D referencia koordináta rendszer (VRC)

Vetítési sík megadása: egy pontjával - referencia pont (VRP) és a normálisával (VPN) v a fölfelé mutató vektor (VUP) vetülete irányába mutat v

n

01_bevez

v megadása: VRP VUP O ó = VRP Origó u A tengelyek: n VPN n = VPN, v = VUP-nek a vetítési síkra eső vetülete u = olyan, hogy u, v, n jobb-kezes derékszögű koordináta rendszert határozzon meg

VRP

VUP VPN

22

u 23

24

4


3-D megjelenítés specifikálása /3 Ablak:

3-D megjelenítés specifikálása /4

Téglalap a vetítési síkon. Ami azon belül van, az megjelenik, a többi nem CW a közepe

PRP: vetítési referencia pont: (párhuzamos és perspektív vetítésre is) Perspektívikus vetítésnél v

v (Umax , Vmax) • CW

(Umin , Vmin) n

u

VRP n

VPN

VPN

• CW

u

• PRP = vetítési középpont

25

3-D megjelenítés specifikálása /5 DOP:

26

Látótér maghatározása első és hátsó vágási síkokkal /1

vetítési irány

Fajtái:

DOP DOP

• CW • PRP

n VPN

• VRP

• CW

• PRP

n

• VRP VPN

• párhuzamos (ortografikus) • párhuzamos (tetszőleges irányú) • perspektivikus

DOP ‫ ק‬VPN

DOP || VPN

27


első vágási sík


hátsó vágási sík

vetítési sík

Párhuzamos (tetszőleges irányú):

első l ő vágási sík

VRP

vetítési sík ík

hátsó vágási sík

DOP

VRP

VPN

VPN

DOP F elő-táv

B utó-táv

F elő-táv 29

01_bevez

28

B utó-táv 30

5


Vetítések matematikai leírása

Látótér maghatározása első és hátsó vágási síkokkal /4 Perspektivikus: hátsó vágási sík

vetítési sík

l ő első vágási sík

VRP

VPN B utó-táv

F elő-táv

31

32

Perspektivikus vetítések /2

Perspektivikus vetítések /1 y

x

Hasonló háromszögekből:

P(x, y, z)

Az egyszerűség kedvéért tegyük fel hogy:

Pp(xp, yp, d) z

d x

a) A vetítési sík merőleges a z-tengelyre PRP = 0

yp y x , = , z d z z≠0 x y xp = , yp = , zd zd d

xp

z = d-nél,

xp

P(x, y, z)

•

z

d

=

vetületi síkok

z

yp •

P(x, y, z)

y 33

34

Perspektivikus vetítések /3 xp

Hasonló háromszögekből: ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ z d ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ z d ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ d ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠

Perspektivikus vetítések /4

yp y x , = , z d z z ≠ 0, x y xp = , yp = , zd zd d

=

⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ koordináta = ⎜ ⎟ = Pp , mivel ez homogén koordináta, z ⎜ ⎟ ⎜z d⎟ ⎝ ⎠

tehát M per

⎛1 ⎜ ⎜0 =⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝

0 0 1 0 0 1 0 1d

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠

, mert

b) A vetítési sík merőleges a z-tengelyre z = 0-ban x xp •

⎛x⎞ ⎛ x ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜y ⎟ ⎜ y ⎟ Mper ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ z z ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜1 ⎟ ⎜z d ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

P(x, y, z)

xp

yp x y , , = z d + + d z d z x y , y = , x = z p (z / d) +1 p (z / d) +1 d

d yp• y 35

01_bevez

Más lehetőség

=

P(x, y, z) 36

6


Párhuzamos orthografikus vetítés

Perspektivikus vetítések /5 xp

yp x y , = , d z +d d z +d tehát x y xp = , y = , (z / d) +1 p (z / d) +1 =

ezért

M ' per

⎛1 ⎜ ⎜0 =⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝

P ' per

⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ x ⎞ ⎟ ⎜ z / d +1 ⎟ ⎜ y ⎟ y ⎟=⎜ = ⎜⎜ ⎜ ⎟ z / d +1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ 1 ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ z / d + 1 ⎠ ⎝ ⎠

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0 1 d 1 ⎟⎠

0 1 0

0 0 0

⎛ xp ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ Mort ⎜ y p ⎟ ⎜ y ⎟ P = ⎜ ⎟ ⎯⎯→ ⎯ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = Pp , z z 0 ⎜ p⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜1 ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ahol h l

M ort

⎛1 ⎜ ⎜0 =⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝

0 0 0⎞ ⎟ 1 0 0⎟ (határértéke M’per-nek, d→∞). 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 1 ⎟⎠

37

38

3D megjelenítés implementálása /2


A 3D vágás drága művelet, ezért érdemes előtte a 3D objektumokat u.n. kanonikus látótérbe transzformálni (normalizálás), ahol a vágás egyszerűbb és gyorsabb.

3D objektumok 3D objektumok kanonikus VK-ban normalizálás látótérben, 3D vágás vetítés

2D megjelenített 2D vetített objektum transzformáció objektumok 39

40


3D megjelenítés implementálása /3 párhuzamos vetítésnél x vagy y első vágási sík

hátsó sík

1 1 -1

-z

perspektív vetítésnél

Kanonikus látótér vágási síkjai:

Kanonikus látótér vágási síkjai:

x = -1,

x=1

y = -1,

y=1

x = z,

x = -z

z = 0,

z = -1

y = z,

y = -z

z = -zmin,

z = -1

41

01_bevez

x vagy y első sík

1

hátsó sík

-z -1

42

7


Mátrix műveletek (OpenGL) Az OpenGL oszlopfolytonosan tárolja a mátrixokat Az egység mátrix:

GLfloat 1.0, 0.0, 0.0, 0 0 0.0,

M[] = { 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0 0.0, 0 0 0.0, 0

0.0, 0.0, 0.0, 1 1.0} 0}

⎛ a1 ⎜ ⎜ a2 ⎜a ⎜ 3 ⎜ ⎝ a4

Mátrix műveletek (OpenGL)

a5 a6 a7

a9 a10 a11

a8

a12

a13 ⎞ ⎟ a14 ⎟ a15 ⎟ ⎟ a16 ⎟⎠

Új aktuális mátrix betöltése:

void glLoadMatrix{fd}( T M[16] ); glMatrixMode(GL_MODELVIEW); glLoadMatrix(M);

// típus // betöltés

Az aktuális mátrix legyen az egységmátrix: void glLoadIdentity(void); Az aktuális mátrix szorzása: void glMultMatrix{fd}( T M[16] ); Pl.: GLfloat M[] = { 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 10.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0} glMatrixMode(GL_MODELVIEW); glMultMatrix(M); A szorzat lesz az új aktuális mátrix

43

44

Koordináta transzformációk (OpenGL) • Nézeti (Viewing) a néző (kamera) helyének a megadása • Modell (Modeling) az objektumok (modell) mozgatása • Modell Modell-nézet nézet (ModelView) a nézeti és a modell transzformációk együtt • Vetítési (Projection) a nézet vágása és látótérbe méretezése • Ablak az eredmény ablakra való leképezése

Nézeti koordináták (OpenGL) • A megfigyelő nézőpontja kezdetben (0, 0, 0) • A megfigyelő a z tengely negatív irányába néz. y

y

-z -x x

-x

z

x -y

-y

Ahogy a megfigyelő látja a modellt

Így látnánk oldalról a megfigyelőt a pozíciójának a z tengely irányába történő elmozdítása után 46

45

Nézeti (Viewing) transzformáció (OpenGL)

Nézeti (Viewing) transzformáció (OpenGL) void gluLookAt( GLdouble eyex, GLdouble eyey, GLdouble eyez, GLdouble centerx, GLdouble centery, GLdouble centerz, GLdouble upx, GLdouble upy, GLdouble upz) p (eyex, eyey, eyez) a szem pozíciója

Ez a transzformáció hajtódik végre először, ezt kell legelőször definiálni Nézőpont meghatározása • Kezdeti nézőpont (0, (0 0 0, 0) • gluLookAt paranccsal módosítható

(centerx, centery, centerz) referenciapont, ahová a szem néz (upx, upy, upz) felfelé mutató vektor (up-vektor, VUP) Pl.: gluLookAt(0.0,0.0,2.0, 0.0,0.0,0.0, 0.0,1.0,0.0); 47

01_bevez

48

8


Nézeti (Viewing) transzformáció (OpenGL)

Modell (Modeling) transzformáció (OpenGL)

A gluLookAt eljárás kiszámítja a megadott nézeti transzformáció inverzét, majd az aktuális mátrixot megszorozza a kapott inverz transzformációs mátrixszal. eltolás (transzláció)

Szokásos használata: glMatrixMode(GL_MODELVIEW); glLoad Identity(); gluLookAt(x,y,z,tx,ty,tz,0.0f,1.0f,0.0f);

forgatás (rotáció)

A modell vagy egy részének a transzformálására használjuk

skálázás

A csúcspont (vertex) koordinátákat kell csak transzformálni

49

Modell-nézeti dualitás (OpenGL)

50

Modell transzformációk (OpenGL) glMatrixMode(GL_MODELVIEW); void glRotate{fd}(T a, T x, T y, T z); a: forgatás fokban; (x, y, z): forgási tengely pl. 45 fokos forgatás az x-tengely körül:

glRotated(45, 1.0, 0.0, 0.0); void glTranslate{fd}(T x, x T y, y T z); (x, y, z): az eltolás vektora pl.: x-tengely mentén 50 egységgel való eltolás nézeti koordináta rendszer mozgatás

glTranslated(50, 0, 0);

modell koordináta rendszer mozgatás

A nézeti és a modell transzformációk duálisak, ezért elegendő lenne csak a modell koordináta rendszert transzformálni

void glScale{fd}(T x, T y, T z ); (x, y, z) skálázás mértéke a tengelyek mentén pl.: glScaled(0.5, 0.5, 0.5); 0.5-szörös uniform nagyítás

51

Orthografikus vetítés (OpenGL)

Vetítési (projection) transzformáció (OpenGL)

void glOrtho(double left, double right, double bottom, double top, double near, double far);

glMatrixMode(GL_PROJECTION);

Kétféle vetítési lehetőség

orthografikus

és

Orthogonális (ortografikus) vetítés vágási terének megadása

perspektivikus

Megadjuk a látóteret is Végrehajtás: új projekciómátrix = projekciómátrix · specifikált mátrix

2D eset:

void gluOrtho2D( double left, double right, double bottom, double top); 53

01_bevez

52

54

9


Perspektív vetítés (OpenGL)

Perspektív vetítés (OpenGL)

void glFrustum (double left, double right, double bottom, double top, double znear, double zfar); left, right: a bal és jobb oldali vágósík x koordinátája bottom, top: az alsó és felső vágósík y koordinátája

Szimmetrikus látótér megadása:

void gluPerspective (double fovy, double aspect, double near, double far); fovy: a látótér szöge y irányban aspect: w/h near, , far: a vágósíkok g távolsága g a megfigyelőtől g gy

znear, zfar: a közeli és távoli vágósík z koordinátája. Nézőpont: az origó: (0, 0, 0)

top

w h

vágási terület

left

w

right

bottom

near far

vágási terület

near far

55

Ablak (OpenGL)

56

Ablak (OpenGL)

2D-s leképzés az ablak egy téglalap alakú (viewport) részébe: void glViewport(GLint x, GLint y, GLsizei width, GLsizei height);

Alapértelmezés: (0, 0, winWidth, winHeight), ahol winWidth és winHeight az ablak méretei

a viewport bal alsó sarka az ablakban,

x, y:

width, height: a viewport mérete pixelben y

(150, 100)

-

y

(150 100) (150,

z=x

z=x vágási terület

ablak 300*200

vágási terület x (0, 0)

h

Ablak, Viewport 300*200 x

(0, 0) viewport 150*100 57

Perspektív vetítés (OpenGL) Pl.: Módosítsuk viewport-ot és a vágási teret perspektív vetítésnél void ChangeSize(GLsizei w, GLsizei h){ GLfloat fAspect; if(h == 0) h = 1; // ne ossszunk 0-val // az ablakon beállítjuk a viewport-ot glViewport(0, 0, w, h); f fAspect = (G (GLfloat)w/(GLfloat)h; fl ) /(G fl )h // vetítési mátrix glMatrixMode(GL_PROJECTION); glLoadIdentity(); // vágási tér megadás, perspektív vetítés gluPerspective(60.0f, fAspect, 1.0, 400.0); glMatrixMode(GL_MODELVIEW); glLoadIdentity(); } 59

01_bevez

58

Transzformációs mátrixok (OpenGL) ⎛ x0 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ y0 ⎟ ⎜ modelview ⎜ z ⎟ →⎜ mátrix ⎜ 0⎟ ⎜ ⎜w ⎟ ⎜ ⎝ 0⎠ ⎝

⎞ ⎛ xe ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ye ⎟ ⎜ ⎟ → ⎜ z ⎟ →⎜ ⎟ ⎜ e⎟ ⎜ ⎟ ⎜w ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ e⎠ ⎝ szem koordináták k di áták

eredeti koordináták k di áták

perspektív osztás

projekció mátrix

⎛ ⎛ xc / wc ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ → ⎜ yc / wc ⎟ → ⎜ ⎜z /w ⎟ ⎜ ⎝ c c⎠ ⎜ ⎝ normalizát (inhomogén) koordináták

viewport transzf. mátrix

⎞ ⎛ xc ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ yc ⎟ ⎟ →⎜ z ⎟ → ⎟ ⎜ c⎟ ⎟ ⎜w ⎟ ⎠ ⎝ c⎠ vágási koordináták

⎞ ⎟ ⎟ ⎟→ ⎟ ⎟ ⎠ 60

10


Mátrix vermek (OpenGL)

Mátrix vermek (OpenGL)

Mátrix módok: GL_PROJECTION, GL_MODELVIEW, GL_TEXTURE

Minden mátrix mód számára van egy mátrix verem Az aktuális mátrix a verem tetején lévő mátrix. A műveletek:

glGet(GL_MAX_MODELVIEW_STACK_DEPTH)

(Microsoft: maximális mélység 32) glGet(GL_MAX_PROJECTION_STACK_DEPTH)

(Microsoft: maximális mélység 2) GL_STACK_OVERFLOW, GL_STACK_UNDERFLOW

void glPushMatrix(void); Alapállapot: egységmátrix,

void glPopMatrix(void);

GL_MODELVIEW 61

62

Feladat (OpenGL)

Rajzoljuk meg egy kocka perspektivikus képét!

63

01_bevez

11

Máté: Számítógépes grafika alapjai

Recommend Documents