Mágneses szuszceptibilitás mérése
Mérő neve: Márkus Bence Gábor Mérőpár neve: Székely Anna Krisztina Szerda délelőtti csoport Mérés ideje: 10/19/2011 Beadás ideje: 10/26/2011
1
1.
A mérés rövid leírása
Mérésem során adott anyagminták mágneses szuszceptibilitásának meghatározása volt a feladatom. Ezt az úgy nevezett Gouy-módszerrel végeztem. Ez azt jelentette, hogy a mintákat egy elektromágnes által keltett inhomogén mágneses térbe helyeztük, majd mértük a mágneses indukció nagyságát és a mintára ható erőt. Előbbit egy, a mérés elején hitelesített Hall-szondával végeztem, az erőt pedig egy nagy pontosságú analitikai mérleggel mértem. Az így mért adatok segítségével kiszámoltam a szuszceptibilitást.
2.
Méréshez használt eszközök • Hall-szonda hitelesítéséhez szükséges minta • Hall-szonda • Áramgenerátor • Digitális voltméter • Leybold fluxméter • Mettler analitikai mérleg • 0.7 T maximális mágneses teret előállító elektromágnes • 19-es számú réz, 11-es számú alumínium és grafit minták • Mobil-szonda
3. 3.1.
Rövid elméleti összefoglaló Anyagok mágneses tulajdonságai
Ismert, hogy az anyagok, külső H mágneses tér hatására dipólmomentumot vesznek fel. Ezt legkönnyebben egy M mágnesezettség vektorral tudjuk jellemezni. Kis térerősségek és izotróp anyagok esetén igaz lesz az alábbi kapcsolat a mágnesezettség és a térerősség között: M = µ0 χH,
2
Vs ahol µ0 = 4π10−7 Am a levegő permeabilitása, χ pedig az anyag szuszceptibilitása. Fennáll továbbá a térerősség és az indukció között az alábbi összefüggés: B = µH.
Amennyiben a térben található minta, az összefüggés az alábbiak szerint módosul: B = µH + M. Mivel µ = µ0 µr = µ0 (1 + χ), ahol µr a relatív permeabilitás. Ilyen módon: B = µ0 (1 + χ)H. Ezek alapján az anyagokat három csoportba oszthatjuk: 1. Diamágneses anyagok: Diamágnesnek azokat az anyagokat nevezzük melyek szuszceptibilitása kicsi, de negatív. Tehát a mágnesezettség vektor a térrel ellentétes irányt zár be: −1 ≪ χ < 0. 2. Paramágneses anyagok: Paramágnesnek nevezzük azon anyagokat melyek kicsiny, ám pozitív előjelű szuszceptibilitással rendelkeznek: 0 < χ ≪ 1. 3. Ferromágneses anyagok: A ferromágneses anyagok esetén χ ≫ 1, ekkor a szuszceptibilitás már a külső tér χ(H) függvénye (egy bizonyos telítési értékig).
3.2.
A Hall-effektus kihasználása
Mivel a mintát egy inhomogén mágneses térbe helyezzük, ezért, ahhoz, hogy a mágneses szuszceptibilitást meg tudjuk határozni mérnünk kell a mágneses indukció nagyságát a két mágnespofa között. Itt használjuk ki a Hall-effektust, ami alapján állandó IH Hall-áram esetén a mérhető UH Hallfeszültség arányos lesz a mágneses térrel: UH = B 3
RH IH , d
ahol d a félvezető vastagsága, B pedig a mágneses indukció nagysága. A Hall-szondát, amit mérésem során használtam először hitelesíteni kellett. Ez azt jelenti, hogy meghatározzuk a B(UH ) függvényt. Ennek a fentebb látottak értelmében egy egyenesnek kell lennie. Mivel azonban parazita feszültség is létrejön, így a görbe egy konstans értékkel el lesz tolva: B = αUH + β. Itt UH -t tudjuk mérni a szondára kapcsolt voltméterrel. B értékét a fluxusváltozásból tudjuk meghatározni, az alábbi módon: B=
ϕ . nF
A ϕ fluxusváltozást a Leybold fluxméterrel tudjuk mérni, tekercs n menetszáma, adott volt, az átlagos menetfelületet, F -et pedig az alábbi módon számíthatjuk ki: π F = (rk2 + rk rb + rb2 ). 3 Ezen ismereteket felhasználva már a mérőegyenes α és β paramétere meghatározhatóak.
3.3.
Gouy-módszer
A mágnespofák közé helyezett mintára, az inhomogén tér következtében az alábbi erő hat: 1 1 F = (χ − χ0 )Aµ0 H 2 = (χ − χ0 )AB 2 , 2 2µ0 ahol A a minta keresztmetszete, χ0 = 3.77 · 10−7 pedig a levegő szuszceptibilitása. Vegyük észre, hogy F és B 2 között lineáris kapcsolat áll fent. Ennek értelmében az így illeszthető egyenes megadja az anyag szuszceptibilitását: χ = χ0 +
2µ0 η, A
ahol η az illesztett egyenes meredeksége.
4
4. 4.1.
Mérési eredmények Hall-szonda hitelesítése
Hitelesítéshez az alábbi paraméterekkel rendelkező mérőtekercset használtam: n 194 rk (mm) 4.8 ± 0.01 rb (mm) 3.15 ± 0.01 F (mm2 ) 50.35 ± 0.25 Itt ∆F -et a parciális hibaszámítás módszerét alkalmazva számoltam ki: ∆F =
π [(2rb + rk )∆rb + (rb + 2rk )∆rk ] = 0.25 mm2 . 3
Mérésem megkezdése előtt a Hall-áramot rögzítettem, RIH = 50.1 ± 0.1 mV, IH = 5.01 ± 0.01 A-on. B kiszámításához szükséges: nF = 9767.9 mm2 = 9.7679 · 10−3 m2 . A Hall-szonda hitelesítéséhez mért adatok és a számolt indukció: I (A) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Hall-szonda hitelesítése UH (mV) ϕ (mVs) B (T) −2.2 0.1 0.010 23 1.11 0.114 49.1 2.17 0.222 75.3 3.21 0.329 101.7 4.24 0.434 126.9 5.24 0.536 152.6 6.25 0.640 175.4 7.3 0.747 196.9 8.1 0.829
Ahol ∆I = 0.1 A, ∆UH = 0.1 mV, ) mVs. B maximális abszolút ( ∆ϕ = 0.01 ∆ϕ = 0.1B. A B(UH ) függvény hibáját megadhatjuk: ∆B = B ϕmin + ∆F F megillesztve:
5
Mért pontok
0,8
Illesztett egyenes 0,7
0,6
B (T)
0,5
0,4
0,3
0,2
Value Intercept
0,1
Slope
Standard Error
0,0184
0,00256
0,00411
2,14343E-5
0,0
0
25
50
75
100
U
H
125
150
(mV)
1. ábra. Hall-szonda B(UH ) függvénye A kapott illesztési paraméterek: B = αUH + β, T α = 4.11 ± 0.02 , V β = 0.018 ± 0.002 T. Tehát a hitelesítési egyenes egyenlete: [ ] T −3 B [T] = 4.11 · 10 UH [mV] + 0.018 [T]. mV
6
175
200
Innen meghatározható, egy a Hall-szondát jellemző állandó (ezt lehet közelítéssel végezni, vagy egy újabb egyenes illesztésével): UH =
RH IH B, d
UH = HB. IH B értékeire egy origón átmenő egyenest kell illesztenünk. Innen: H=
RH V = 47.03 ± 0.35 . d AT
40
U /I H
35
H
transzformált pontok
Illesztett egyenes Value
30
Intercept
47,03312
0,35213
25
20
H
U /I
H
(mV/mA)
Slope
Standard Error 0 --
15
10
5
0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
B (T)
2. ábra. Hall-szonda H állandója
7
0,7
0,8
4.2.
Szuszceptibilitás mérése
Három anyag szuszceptibilitását kellett megmérnem: a 19-es számú réz mintáét, a 11-es számú alumínium mintáét, és egy grafit mintáét. 4.2.1.
A 19-es réz minta
Első lépésként meg kellett határoznom a minta keresztmetszetét. Mivel henger alakú, így az átmérőét kellett, lemérnem. Az alábbi táblázat tartalmazza a mérési adatokat: 2r (mm)
Réz rúd adatai 7.85 7.91 8.07 7.93 8.01 7.92
Ahol ∆2r = 0.01 mm. Az adatokból kiszámolható az átlagos sugár és keresztmetszet: r = 3.98 ± 0.06 mm, A = r2 π = 49.76 ± 0.12 mm2 . A belógatáskor mért adatok: I (A) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Réz minta mért és számolt adatai UH (mV) F/g (mg) B (T) B 2 (T2 ) −2.9 0 0.006 4.2 · 10−5 23.7 −0.3 0.116 0.0134 49.2 −0.9 0.221 0.0487 75 −1.8 0.327 0.1067 101.5 −3.1 0.436 0.1897 126.9 −4.7 0.54 0.2916 153.7 −7 0.65 0.4226 175.5 −8.7 0.74 0.5472 197.1 −10.8 0.828 0.6864
Számolásom során g = 9.81
m -tel s2
számoltam.
8
F (µN) 0 −2.9 −8.8 −17.7 −30.4 −46.1 −68.7 −85.3 −105.9
0
Value Intercept Slope
Standard Error 0 --
-156,8247
1,19406
-50
F (
N)
-25
-75
Transzformált pontok Illesztett egyenes
-100
0,0
0,1
0,2
0,3
B
0,4 2
0,5
0,6
0,7
2
(T )
3. ábra. 19-es réz minta F (B 2 ) grafikonja Az F (B 2 ) függvényre egyenest illesztve megkapjuk a keresett szuszceptibilitást: η = −156.8 ± 1.2 χ = χ0 +
µN , T2
2µ0 η = −7.92 · 10−6 ± 0.08 · 10−6 . A
Itt a hibát a [1] könyvben leírtak alapján számoltam, χ0 hibáját elhanyagolva. Az eredményből látszik, hogy a réz diamágnesként viselkedik, pont ahogy vártuk.
9
4.2.2.
A 11-es alumínium minta 2r (mm)
Alumínium rúd adatai 7.77 7.75 7.75 7.76 7.75 7.75
Ahol ∆2r = 0.01 mm. Az adatokból kiszámolható az átlagos sugár és keresztmetszet: r = 3.88 ± 0.01 mm, A = 47.29 ± 0.02 mm2 . A belógatáskor mért adatok: I (A) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Alumínium minta mért és számolt adatai UH (mV) F/g (mg) B (T) B 2 (T2 ) F (µN) −2.9 0 0.006 4.2 · 10−5 0 23.3 0.5 0.114 0.013 4.9 47.7 1.8 0.214 0.046 17.7 75 4.1 0.327 0.1067 40.2 100.7 7.3 0.432 0.1869 71.6 127.4 11.4 0.542 0.2938 111.8 152.5 15.9 0.645 0.4163 156 175.2 20.7 0.738 0.5453 203.1 196.8 25.8 0.827 0.6843 253.1
10
250
Transzformált pontok Illesztett egyenes Value
200
Intercept Slope
Standard Error 0 --
372,73964
1,29491
F (
N)
150
100
50
0
0,0
0,1
0,2
0,3
B
0,4 2
0,5
0,6
2
(T )
4. ábra. 11-es alumínium minta F (B 2 ) grafikonja Az illesztett görbe meredeksége és az abből számolt szuszceptibilitás: µN , T2 χ = 19.81 · 10−6 ± 0.08 · 10−6 . η = 372.7 ± 1.3
Látszik tehát, hogy az alumínium paramágnesként viselkedik.
11
0,7
4.2.3.
Grafit rúd 2r (mm)
Grafit rúd adatai 7.80 7.73 7.78 7.72 7.74 7.73
Ahol ∆2r = 0.05 mm. Az adatokból kiszámolható az átlagos sugár és keresztmetszet: r = 3.88 ± 0.03 mm, A = 47.17 ± 0.02 mm2 . A belógatáskor mért adatok: I (A) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Grafit rúd mért és számolt adatai UH (mV) F/g (mg) B (T) B 2 (T2 ) −2.9 0 0.006 4.2 · 10−5 23.1 −0.2 0.113 0.0129 48.4 −4 0.217 0.0472 72.6 −11.9 0.317 0.1004 101.3 −26.7 0.435 0.189 127.3 −45.3 0.54 0.2933 152.5 −68 0.645 0.4163 175.2 −92.5 0.738 0.5453 196.6 −118.7 0.826 0.683
12
F (µN) 0 −2 −39.2 −116.7 −261.9 −444.4 −667.1 −907.4 −1164.4
0
Value
Standard Error
Intercept -200
Slope
0 --1643,969
34,38031
F (
N)
-400
-600
-800
Transzformált pontok -1000
Illesztett egyenes
-1200 0,0
0,1
0,2
0,3
B
0,4
2
0,5
0,6
0,7
(T ) 2
5. ábra. Grafit rúd F (B 2 ) grafikonja Az illesztett görbe meredeksége és az abből számolt szuszceptibilitás: µN , T2 χ = −87.6 · 10−6 ± 1.85 · 10−6 . η = −1644 ± 34
Látszik tehát, hogy a grafit diamágnesként viselkedik, viszont a mérésünk itt már jóval pontatlanabb. Ennek oka vélhetően a kristályszerkezeti hibák miatt lehet, azaz a rács nem szabályos, hanem a rétegek térben egymástól el vannak csúszva és forogva.
4.3.
Mobil-szondás mérés
Mérésem utolsó részeként meg kellett mérnem egy mobil Hall-szonda segítségével a mágneses indukció helyfüggését, azaz felvenni az elektromágnes x tengelymenti profilját. Mivel a szonda teljes hitelesítéséhez nincs kellő mennyiségű adatom (fluxust hely és mérőeszköz hiányában nem tudtam mérni), így 13
azt a közelítést veszem, hogy az UH Hall-feszültség és a B indukció között csak egy konstans szorzóbeli különbség van. Hogy B értékére ne kapjunk negatív értékeket, aminek nyilván nincs valós fizikai értelme, az UH értékeket konstans 3 mV-tal feltoltam. Ekkor a görbéről látható, hogy a konstans szakasz után ∼ x1n -es viselkedést mutat. Ezekre, hogy meg is bizonyosudjunk görbét is illesztettem. A mért pontok: x (cm) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15
UH (mV) 104 104 104 103.8 103.6 103.4 103.2 103.1 103 103 102.6 100.3 79.2 44.2 25.4 16.4 11 7.5 5.1 3.2 1.9 0.8 0.1 −0.5 −1 −1.4 −1.7 −2 −2.2 −2.4 −2.5
14
100
Transzformált pontok 5
Illesztett 1/r -es görbe
60
40
U
H
+ 3mV (mV) ~ B
80
20
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
x (cm)
6. ábra. Mobil-szondás mérés Látható, hogy a konstans rész utánni pontok jól illeszkednek az illesztett ∼ r15 -nes görbére. Az, hogy n = 5, a kiszórt tér nagyságától függ, ami pedig a mágnespofák alakjától, megmunkálásától és távolságától.
Hivatkozások [1] Havancsák Károly: Mérések a klasszikus fizika laboratóriumban, ELTE Eötvös kiadó, Budapest, 2003.
15
