LOKALISASI ORE
Lucia Ratnasari Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, Semarang 50275
Abstract. Let R be a noncommutative ring and S be a multiplicative subset of R . The right (left) ring of quotients does not exist for every S . A necessary condition of existence right (left) ring of quotients is S right (left) permutable and right (left) reversible. A multiplication subset S is called a right (left) denominator if it is right (left) permutable and right (left) reversible. The ring R has a right (left) ring of quotients with respect to S if and only if S is a right (left) denominator set. We can construct right (left) ring of quotients by using Ore localizations. Keywords: ring of quotients, permutable, reversible, denominator, Ore localization.
1. PENDAHULUAN Jika R ring komutatif dan S himpunan bagian multiplikatif dari R dengan e ∈ S , 0 ∉ S maka lokalisasi dari R terhadap S menghasilkan suatu ring komutatif RS dan suatu homomorfisma ring ϕ : R → RS , sehingga untuk setiap s ∈ S , ϕ (s ) unit di RS . Ring komutatif RS disebut ring hasil bagi dari R [2]. Jadi prosedur lokalisasi dari R terhadap S menghasilkan ring hasil bagi RS dan RS memuat R . Dalam penulisan ini dipelajari hal yang sama untuk ring nonkomutatif. Ore menemukan syarat perlu dan cukup untuk eksistensi ring hasil bagi untuk ring nonkomutatif. Pengkonstruksian ring hasil bagi untuk ring nonkomutatif dilakukan melalui proses lokalisasi Ore [3]. 2. LOKALISASI ORE Suatu homomorfisma α : R → R ' disebut S − inverting jika α ( S ) ⊆ U ( R ' ) dengan U ( R ' ) himpunan unit dalam R ' .
Definisi 2.1. [3] R’ disebut ring hasil bagi kanan (terhadap S ⊆ R ) jika ada homomorfisma ring ϕ : R → R ' sedemikian sehingga :
a) ϕ adalah S – inverting. b) Setiap elemen dari R’ mempunyai bentuk ϕ (a )ϕ ( s ) −1 dengan a ∈ R dan s ∈ S . c) Ker ϕ = { r ∈ R : rs = 0 untuk suatu s ∈ S } Disini R ' tidak selalu ada. Jika R ' ada maka dapat disimpulkan dua syarat perlu pada S . Dua syarat perlu yang ditambahkan pada S ditemukan oleh Ore adalah sebagai berikut.
Sifat 2.2. [3] Jika R ' ada maka aS ∩ sR ≠ φ .
(∀a ∈ R ) (∀s ∈ S )
Bukti. Jika R ' ada maka ϕ( s )−1 , ϕ( a ) ∈ R' se-
ϕ ( s ) −1 ϕ (a) ∈ R ' . Dari Definisi 2.1.b. maka ϕ ( s ) −1 ϕ (a ) dapat ditulis dalam bentuk ϕ (r )ϕ ( s ' ) −1 dengan r ∈ R dan s ' ∈ S , dan diperoleh ϕ (as ' ) = ϕ ( sr ) , jadi ϕ (as ' − sr ) = 0 . Dengan Definisi 2.1.c. hingga
maka (as ' − sr ) s " = 0 untuk suatu s " ∈ S . Akibatnya akan diperoleh as' s" = srs" . ∈ aS ∩ sR Himpunan S yang memenuhi sifat ini di-
215
Lucia Ratnasari (Lokalisasi Ore)
sebut permutable kanan atau himpunan Ore kanan . Sifat 2.3. [3] Jika R ' ada maka untuk a ∈ R berlaku jika s ' a = 0 untuk suatu s ' ∈ S maka as = 0 untuk suatu s ∈ S . Bukti. Diketahui s ' a = 0 sehingga ϕ( s' a ) = ϕ( s' )ϕ( a ) = 0 . Karena R ada maka ϕ S − inverting sehingga ϕ (a ) = 0 dan dari Definisi 2.1.c diperoleh as = 0 untuk suatu s ∈ S . '
Himpunan S yang mempunyai sifat ini disebut reversible kanan. Jadi jika R ' ada, maka S permutable kanan dan reversible kanan.
Definisi 2.4. [3] Jika S adalah permutable kanan dan reversible kanan maka S disebut himpunan denominator kanan. Selanjutnya diperoleh syarat perlu dan cukup untuk eksistensi ring hasil bagi kanan untuk ring nonkomutatif.
Teorema 2.5. [3] Ring R mempunyai ring hasil bagi kanan terhadap S ⊆ R jika dan hanya jika S himpunan denominator kanan. Bukti. (⇒) Karena R mempunyai ring hasil bagi kanan maka S adalah permutable kanan dan reversible kanan. Dari Definisi 2.4. diperoleh S adalah himpunan denominator kanan. (⇐) Ring hasil bagi kanan dinotasikan dengan RS −1 karena elemen dari RS −1 akan merupakan pembagi kanan dengan bentuk as −1 ( a ∈ R dan s ∈ S ) maka konstruksinya dimulai dengan membentuk RxS . Didefinisikan suatu relasi ~ pada RxS sebagai berikut. Jika (a, s ), (a ' , s ' ) ∈ RxS , maka 216
(a, s ) ~ (a ' , s ' ) ⇔ ada b, b ' ∈ R sedemikian sehingga sb = s ' b ' ∈ S dan ab = a ' b ' ∈ R . (2.1) Akan dibuktikan bahwa ~ adalah relasi ekuivalensi i. Refleksif. Karena untuk setiap b = b ' ∈ R berlaku sb = sb ' ∈ S dan ab = ab ' ∈ R menurut (2.1) maka (a, s ) ~ (a, s ) . ii. Simetris Jika (a, s ) ~ (a ' , s ' ) maka ada b ,b' ∈ R sehingga sb = s ' b'∈ S dan ab = a ' b'∈ R atau ada b, b ' ∈ R sehingga s ' b' = sb ∈ S dan
a ' b' = ab ∈ R . Jadi ada
c = b' ,
c' = b ∈ R sehingga s ' c = sc ' ∈ S dan a ' c = ac ' ∈ R , dari (2.1) diperoleh ( a' , s ' ) ~ ( a , s ) . iii. Transitif. Diketahui (a, s ) ~ (a ' , s ' ) maka ada b, b'∈ R sehingga ab = a ' b'∈ R dan sb = s' b' ∈ S .
Juga (a ' , s ' ) ~ (a '' , s '' ) maka ada
c, c'∈ R sehingga a ' c = a '' c ' ∈ R dan s' c = s'' c' ∈ S . Karena S permutable kanan,
dari ( s 'c) S ∩ ( s 'b ' ) R ≠ φ maka ada r ∈ R dan t ∈ S sehingga s' b' r = s' ct ∈ S . Dengan menggunakan reversible kanan akan diperoleh b ' rt ' = ctt ' untuk suatu t '∈ S . Sekarang sbr = s ' b' r = s ' ct = s ' ' c' t ∈ S sehingga s (brt ') = s ' ' (c' tt ') ∈ S a(brt ') = a' b' rt ' = a' ctt ' = a' ' (c' tt ') a(brt ') = a' ' (c' tt ') ∈ R . Jadi ada d = brt ' , d ' = c' tt ' ∈ R sehingga sd = s ' ' d '∈ S dan ad = a ' ' d '∈ R . Terbukti jika (a, s ) ~ (a ' , s ' ) dan (a ' , s ' ) ~ (a '' , s '' ) maka (a, s ) ~ (a '' , s '' ) . Dari (2.1), jika diambil b' = 1 akan terlihat bahwa (a, s ) ~ (ab, sb) asalkan sb ∈ S . Notasi untuk kelas ekuivalensi dari a (a, s ) ditulis atau as −1 . Himpunan dari s semua kelas-kelas ekuivalensi dinotasikan dengan RS −1 .
Jurnal Matematika Vol. 9, No.3, Desember 2006:215-219
Untuk mendefinisikan penjumlahan dalam RS −1 akan diselidiki bahwa setiap a a dua pecahan 1 , 2 dapat disamakan pes1 s 2 nyebutnya. Karena S permutable kanan maka s1 S ∩ s 2 R ≠ φ jadi ada r ∈ R dan s ∈ S sedemikian sehingga s 2 r = s1 s ∈ S . a as a a r Selanjutnya dari 1 = 1 dan 2 = 2 s1 s1s s2 s2 r a a a s + a2 r didefinisikan 1 + 2 = 1 dengan s1 s 2 t t = s1 s = s 2 r . (2.2) Operasi penjumlahan diatas adalah well defined dan selanjutnya dapat dibuktikan bahwa ( RS −1 ,+) merupakan grup abelian. Didefinisikan ϕ : R → RS −1 dea ngan ϕ (a ) = . Akan ditunjukkan bahwa e ϕ merupakan homomorfisma grup yaitu, a+b a b ϕ ( a + b) = = + = ϕ (a ) + ϕ (b) e e e Kerϕ = a ∈ R ϕ (a ) = 0 RS −1 = {a ∈ R as = 0 untuk suatu s ∈ S } Selanjutnya akan didefinisikan perkalian a pada RS −1 . Untuk mengalikan 1 dengan s1 a2 digunakan s1 R ∩ a 2 S ≠ φ maka s2 terdapat r ∈ R dan s ∈ S sedemikian −1 sehingga s1 r = a 2 s atau s1 a2 = rs −1 . a a ar Diperoleh definisi 1 ⋅ 2 = 1 . (2.3) s1 s 2 s 2 s Perlu diingat (a1 s1−1 )(a 2 s 2−1 ) akan menjadi
a1 ( s a ) s = a1 (rs ) s = a1 r (s 2 s ) . Operasi perkalian diatas adalah well defined dan selanjutnya dapat dibuktikan bahwa ( RS −1 ,+,•) adalah ring . e adalah identitas perAkan ditunjukkan e kalian dalam RS −1 . −1 1 2
−1 2
−1
−1 2
−1
Ambil =
a1 e ar = 1 es s1 e a = a1s1−1 = 1 . s1
a1 ∈ RS −1 , maka s1
a1 r = a1 r.s −1 s
Pemetaan ϕ : R → RS −1 didefinisia kan ϕ (a ) = , sehingga e ab ϕ( ab ) = e a b = ⋅ e e = ϕ( a )ϕ( b ) Karena ϕ (a + b) = ϕ (a ) + ϕ (b) dan ϕ ( ab ) = ϕ ( a )ϕ ( b ) maka ϕ merupakan homomorfisma ring. e ( s ∈ S ) adalah Juga diperoleh s s invers dari ϕ ( s ) = . e Jadi: a) ϕ adalah S – inverting. a b) = ϕ (a )ϕ ( s ) −1 . s c) Kerϕ = { a ∈ R : as = 0 untuk suatu s ∈ S }.
RS −1 adalah ring hasil bagi kanan dari R terhadap S.
Akibat (Ranicki). Jika S adalah himpunan denominator kanan maka ϕ : R → RS −1 adalah homomorfisma S – inverting universal. Khususnya ada isomorfisma tunggal g : Rs → RS −1 sehingga g ε = ϕ ngan ε : R → Rs .
de-
Contoh
Z Z 1. Misal: R = dan S = { n.I : 0 Z 0 ≠ n∈Z } S permutable kanan jika (∀a ∈ R ) ( ∀s ∈ S ) aS ∩ sR ≠ φ .
217
Lucia Ratnasari (Lokalisasi Ore)
z z2 a= 1 ∈R , 0 z3 n 0 s = n1 I = 1 ∈S 0 n1
Ambil sebarang z1 , z 2 , z 3 ∈ Z
0 ≠ n1 ∈ Z maka n1 sR = 0
0 z1 n1 0
z2 z 4
n1z1 n1z2 = n1z3 0 dengan n1 z1 , n1 z 2 , n1 z 3 ∈ Z dan z1 z 2 n 0 aS = 0 z 3 0 n z1n z2 n = 0 z3 n dengan z1n, z 2 n, z 3 n ∈ Z . Terlihat bahwa (∀a ∈ R ) (∀s ∈ S ) aS ∩ sR ≠ φ . Jadi S permutable kanan. z1 z 2 Untuk a = ∈ R dengan 0 z3 z1 , z 2 , z3 ∈ Z jika
n1 0
0 z1 n1 0
z 2 0 0 = untuk suz 3 0 0
n1 0 atu ∈ S maka 0 n1 z1 z 2 n 2 0 0 0 0 z 0 n = 0 0 untuk su 3 2 n 2 0 atu ∈S . 0 n2 Jadi S reversible kanan. Karena S permutable kanan dan reversible kanan maka RS −1 ada. Dengan menggunakan homomorfisma ϕ : R → RS −1 yang didefinisikan dengan ϕ (r ) = rI −1 diperoleh: 1. Untuk n.I ∈ S maka (n.I ) −1 adalah invers dari ϕ (n.I ) .
218
2. Setiap elemen dalam RS −1 berbentuk ϕ (r )ϕ (n.I ) −1 dengan r ∈ R dan n.I ∈ S . Jadi z z 1 0 −1 2 −1 RS = 1 n 0 1 0 z 3 z z2 1 n = Q Q . = n z 3 0 Q 0 n
dengan n ≠ 0 dan z1 , z 2 , z3 , n ∈ Z
z 3. Kerϕ = r = 1 0
z2 ∈R: z 3
z 2 0 0 = z 3 0 0 z z 4. Kerϕ = r = 1 2 ∈ R : 0 z3 z1 z 2 n1 0 0 0 0 z 0 n = 0 0 3 1
z1 ϕ 0
0 n untuk suatu 1 ∈S 0 n1 Q Q Jadi RS −1 = , dan R termuat 0 Q dalam RS −1 . Dengan cara yang sama dapat dikonstruksikan ring hasil bagi kiri jika S permutable dan reversible kiri.
3. KESIMPULAN Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa 1. Syarat perlu dan cukup untuk eksistensi ring hasil bagi kanan (kiri) pada ring nonkomutatif R adalah S mempunyai sifat permutable dan reversible kanan (kiri). 2. Jika S mempunyai sifat permutable kanan (kiri) dan reversible kanan (kiri) maka dapat dikonstruksikan ring hasil bagi kanan RS −1 (ring hasil bagi kiri S −1 R ).
Jurnal Matematika Vol. 9, No.3, Desember 2006:215-219
4. DAFTAR PUSTAKA [1] Adkins, A, W Weintraub, H,S. (1992) ,Algebra An Approach via Module Theory, Springer–Verlag, New York. [2] Hungerford, W, T. (1984), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Springer–Verlag, New York.
[3] Lam, Y, T. (1998), Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathematics, Springer–Verlag, New York. [4] Ranicki, A. (2005), Noncommutative Localization in Algebra and Topology, ICMS Edinburgh.
219
