S Z E P E S I
TAMÁS
B M E Műszer- és M é r é s t e c h n i k a G U T T E R M U T H Telefongyár
Tanszék
M I K L Ó S
Műszerfejlesztés
Lineáris aktív hálózatok topológiai analízise ETO: 513.83:621.372.57
A lineáris h á l ó z a t o k a t leíró csomóponti, illetve hurok egyenletek m á t r i x a i és a hálózat topológiája k ö z ö t t kölcsönös és egyértelmű kapcsolat áll fenn. A hálózat különböző paramétereinek számítása e mátrix-egyen letekben szereplő m á t r i x o k megfelelő aldeterminánsainak kifejtésével történik. Bonyolult hálózatok esetén a n a g y m é r e t ű determinánsok m i a t t ez a szá m í t á s igen hosszadalmas. A topológiai formulák segítségével lehetővé válik e determinánsok kiszámí t á s a felírásuk, illetve kifejtésük nélkül. A passzív hálózatokra vonatkozó topológiai formulák a m ú l t század végéről, Kirchofftól és Maxwelltől származ nak. Ezeket az összefüggéseket azonban a k t í v háló zatokra csak az elmúlt 15 évben kezdték általánosí tani. Az a k t í v hálózatokra vonatkozó topológiai formulák akkor a legszemléletesebbek, ha a b e n n ü k levő a k t í v elemeket nulloros helyettesítőképpel modellezzük. Ilyen hálózatokra vonatkozó topológiai módszert 5 éve publikáltak először [3]. 1. A felhasznált jelölések a következők Aj: A: B: T: T / y_í, : k ii
U: U„: E: g
I: I: g
I Y: y+: Z: D: D, : h
;
M'\ n:
m
indefinit incidencia m á t r i x r e d u k á l t incidencia m á t r i x hurok m á t r i x gráf fája gráf k-fája melyben az í, / csomópontok valamint az /, m csomópontok külön részben vannak. ágfeszültségek oszlop vektora csomóponti feszültségek oszlopvektora az egyes á g a k b a n levő feszültség generá torok oszlopvektora ágáramok oszlopvektora az egyes csomópontok és a referencia csomópont közti áramgenerátorok oszlop vektora h u r o k á r a m o k oszlopvektora á g a d m i t t a n c i a m á t r i x (diagonál) csomóponti admittancia m á t r i x ágimpedancia m á t r i x (diagonál) hálózatdetermináns az i és / csomópont közötti csatolás determináns M m á t r i x transzponált] a a hálózat csomópontjainak száma
B e é r k e z e t t : 1971. X I . 15.
56
N: a: r:
a hálózatban levő nullorok száma a hálózat ágainak száma referencia csomópont
2. A passzív hálózatokra vonatkozó topológiai tételek összefoglalása Az alapvető topológiai, illetve gráfelméleti ismere teket feltételezzük, ezek bármely a t é m á v a l foglal kozó k ö n y v bevezető részében megtalálhatók [12, 2]. Mindössze A k é t , számunkra legfontosabb tulajdon ságára emlékeztetünk. a) A b á r m e l y nemszinguláris (n — l)-ed r e n d ű aldeterminánsa mindig megfelel a gráf egy fájá nak, a kapcsolat kölcsönös és egyértelmű. A gráf egy fájához t a r t o z ó szubgráf determi n á n s á n a k értéke csak + 1 lehet. b) det AA' = a. gráf fáinak számával. A k é t tétel bizonyítása közismert. Ugyancsak köz ismert a csomóponti, illetve a hurok egyenletek szár m a z t a t á s a , de a teljesség kedvéért végigvezetjük a gondolatmenetet a csomóponti egyenletekre. K i indulva Kirchoff I . törvényéből, a csomóponti transzformációból, és az O h m - t ö r v é n y b ő l : AI=l
g
V=A'V
U=ZI + E .
n
?
Kifejezve I-t, Z = Y felhasználásával l=YV-YE , ezt behelyettesítve, és átrendezve kapjuk a csomó ponti mátrixegyenletet: 1
g
(AYA')V
n
= l + AYE . g
Hasonló gondolatmenettel m á t r i x egyenlet: (BZB')I =-BE h
(1)
g
felírható +
g
a
hurok
BZl . g
Mind a k é t egyenletrendszer egyértelműen jellemzi a hálózatot, de a hurokegyenlet-rendszer alkalmazása nem planár gráfokra problematikus, ezért a t o v á b biakban a csomóponti mátrixegyenletet fogjuk hasz nálni. Az egyszerűbb tárgyalásmód kedvéért tegyük fel, hogy a hálózat nem tartalmaz feszültséggenerá tort, ekkor (1) a következő a l a k ú : (AYA')V =l . n
g
(2)
Tételezzük fel továbbá, hogy a hálózat 3-pólus, t e h á t rendelkezik referencia csomóponttal — mint látni fogjuk az 5. részben ez nem jelent megszorítást, mert a nullorok bevezetésével a különbség 3 és 4-pólusok között automatikusan megszűnik —, vala-
SZEPESI T.—GUTTERMUTH
M.: LINEÁRIS AKTÍV HÁLÓZATOK TOPOLÖGIA1
mint korlátozzuk a t á r g y a l á s t első közelítésben a hálózat z-paramétereinek s z á m í t á s á r a (az 5. rész ben az univerzális p a r a m é t e r e k bevezetésével ez a megszorítás is megszűnik). Feladatunk t e h á t z - p a r a m é t e r kiszámítása, z — = U /I j / = 0. M i n d a feszültség, mind az á r a m a referencia csomóponthoz értendő. Zy(2)-ből Cramerszabállyal s z á m í t h a t ó : Z y = D - / D . £),-,• det {AYA)ből az í. oszlop és / . sor törlésével állítható elő, jelölése det (AYAXj. D = det (AYA) ahol a bemenet és k i menet szakadással van lezárva. L á t h a t ó t e h á t , hogy a feladat {AYA') és (AYA')Z'j m á t r i x szorzatok d e t e r m i n á n s á n a k kiszámítása, anélkül, hogy kifejte nénk őket. (AYA')-t t o v á b b i a k b a n Y+-al jelöljük. B e l á t h a t ó , hogy reciprok hálózatokra Y a h á r o m m á t r i x összeszorzása nélkül azonnal felírható: diagonál elemei az egyes csomópontokba befutó admittanciák összegei pozitív előjellel, míg a nem diagonális elemek a sor és oszlop indexeknek megfelelő k é t csomópont k ö z ö t t elhelyezkedő a d m i t t a n c i á k össze gei, negatív előjellel. A lineáris hálózatokra v o n a t k o z ó összes topológiai tétel a Binet—Cauchy-tételen alap szik, mely a k ö v e t k e z ő t mondja k i : egy kxl m é r e t ű és egy Ixk m é r e t ű m á t r i x szorzatának AxA m é r e t ű determinánsa egyenlő a k é t m á t r i x megfelelő helyen levő kXk m é r e t ű aldeterminánsai szorzatának össze gével (A=sí). A tétel bizonyítása sok helyen p l . [13]-ban is m e g t a l á l h a t ó . í;
i
g i
iS
g / / Í J Í Í
í ;
+
A tételben szereplő feltételt A és A definíciószerűen teljesíti, de AY és A' is, hiszen A az .4Y-tól csak szorzótényezőkben különbözik, s t r u k t ú r á b a n nem. Képezve AY minden (n — l)-ed r e n d ű s z u b m á t r i x á t , ezek determinánsai közül csak azok nem zérus é r t é k ű ek, amelyek megfelelnek egy fának. N y i l v á n a szubm á t r i x minden egyes oszlopa meg van szorozva a neki megfelelő ág a d m i t t a n c i á j á v a l — hiszen Y diagonál m á t r i x , — azaz a fáknak megfelelő szubdeterminánsok értéke (az összes y t kiemelve) ±1. ahol y a fában szereplő i. ág a d m i t t a n c i á j a . Mivel A A transzponáltja, nyilván azonos aldeterminánsok lesznek zérus, + 1 , i l l . —1 értékűek. T e h á t (AYA)-b&n csak pozitív előjelű tagok szerepelnek. Ez minden szimmetrikus Y mátrix-szal rendelkező, azaz minden reciprok h á r o m pólusra érvényes. Ahálózat der
t
+
F
t e r m i n á n s t e h á t D = _2 D =^
yTf,
n-1
II
Ufí>
v a
gy
m
ás
jelöléssel
ahol a h á l ó z a t n a k megfelelő gráf összes
fáinak száma. A D j csatolás-determináns számítása bonyolultabb, mert a neki megfelelő (AYA)Zj = = (A-iYA'~J) m á t r i x nem szimmetrikus. Megvizsgál va először (AiY)-t ez (n— 2)Xa méretű mátrix. Az i. oszlop törlésének t7, = 0 felel meg, azaz az í. csomópontot az r-el összekötöttük. A-jY nem szinguláris (n — 2)-ed r e n d ű aldeterminánsainak en nek a m ó d o s í t o t t gráfnak az n— 2 elemű fái felelnek meg. Ugyanakkor A~ ' nem szinguláris a l d e t e r m i n á n sainak természetesen olyan m ó d o s í t o t t gráf fái felel nek meg, amely az eredeti gráfból az i. és az r csomó pontok rövidrezárásával jön létre. Az (AYA')Zj-ben természetesen csak azok a fák (ill. a nekik megfelelő determinánsok) fognak szerepelni, amelyek közösek mind a k é t m ó d o s í t o t t gráfban. A módszer t e h á t : először az z, majd a /. csomópontot az r-el összekötve, t
ANALÍZISE
az így módosult gráfok összes n — 2 elemű fáit k i keressük. Amely fák mind a k é t gráfban szerepelnek, azok á g - a d m i t t a n c i a szorzatainak összege adja D,y-t. A közös fák előjelei reciprok hárompólusok esetén csak pozitívak lehetnek. K é t - p ó l u s p á r o k esetén negatív előjelű szorzat is szerepelhet, az előjel meg állapítását a 4. részben t á r g y a l j u k . Az egységes t á r g y a l á s m ó d , és az e r e d m é n y egy szerűbb megfogalmazása érdekében definiáljuk a M á k f o g a l m á t : egy gráf TM,b,c-d,e,í M á j á n olyan fát é r t ü n k amely n csomópont esetén n — k á g a t tartalmaz, (ebből következik, hogy a fa k db nem összefüggő szubgráfból áll) és a vesszővel elválasztott csomópontok külön részben helyezkednek el. Definiáljuk az m-ed r e n d ű A-f á t (m ==A) a k ö v e t k e z ő k é p p e n : Tua,b-c,d... m-ed r e n d ű A~fán olyan A-fán olyan A-fát é r t ü n k , melyben az indexben k i emelt, külön részben levő csomópontok közül tet szőleges m s z á m ú t összekötve (A —m)-fát kapunk. Visszatérve D - b e n szereplő közös fákra, ezek az eredeti gráfnak olyan fái, melyek n — 2 á g a t tartal maznak, és akkor is fák maradnak, ha az z, vagy /. csomópontot az r-el rövidre zárjuk. A z r-ed r e n d ű A-fa definícióját figyelembe véve az előzőkben defi niált közös fák az eredeti gráf olyan első r e n d ű 2-fái, melyekben az z" és / csomópontok és az r csomópont külön részben szerepelnek. Azaz D,-y = /;
F
=^
yTjzuj . A passzív hálózatokról most á t t é r ü n k r
az a k t í v hálózatok analízisére. 3. Aktív hálózatok modellezése nuUorokkal N u l l á t o r n a k nevezzük a következő egyenletrend szerrel jellemezhető k é t p ó l u s t : U —1^ = 0, 1 = 0 ( l a á b r a ) . N o r á t o r n a k nevezzük a következő egyen letrendszerrel jellemezhető k é t - p ó l u s t : U —U = tet szőleges, / = tetszőleges (lí» á b r a ) . Egy nullátor és egy norátor közös elnevezése nullor. A rövidzár, a szakadás, a nullátor és a n o r á t o r együttesen teljes rendszert alkot (2. á b r a ) . A t á b l á z a t b ó l l á t h a t ó , hogy soros nullátor-norátor szakadással, p á r h u z a m o s nullátor-norátor rövidzárral ekvivalens. A nullátor és a n o r á t o r önduális elemek. Minden a k t í v elem model lezhető nullorok és passzív elemek segítségével [5, 8]. Ha a lineáris hálózatba egy n u l l á t o r t helyezünk, a hálózat elveszti egy szabadságfokát, nem teljesül nek r á a Kirchoff-egyenletek. H a egy n o r á t o r t helye z ü n k a hálózatba, plusz egy szabadság fokot biztosí2
2
y
-2 IH141-SG1\
J
1.
,
o o
3
o
•.
ábra
g
.
*
•
tetsz-
O
tetsz.
térsz.
• x. tetsz.
O \HW-SG
Z>
%. ábra
57
H Í R A D Á S T E C H N I K A X X I I I . É V F . 2. S Z .
\H1h1-SG3\
t u n k , t e h á t egy egyensúlyi egyenlet r e d u n d á n s lesz. H a azonban párosával helyezzük a n u l l á t o r o k a t és n o r á t o r o k a t egy lineáris hálózatba, az egyensúlyi egyenletek teljesülnek, felírhatok például a csomó ponti egyenletek. Ideális nullátor és n o r á t o r csak végtelen érzékenységgel (tehát gyakorlatilag nem) realizálható [7]. P é l d a k é p p e n a 3a á b r á n egy invertáló ideális feszültség vezérelt áramgenerátor, a 3ö á b r á n egy bipoláris tranzisztor (/-paraméteres helyettesítő képe, és a 3c á b r á n egy ideális aszimmetrikus ü z e m m ó d b a n h a s z n á l t műveleti erősítő helyettesítő képe l á t h a t ó . Összefoglalva, a nullorok olyan fiktív áramköri elemek, melyekkel (passzív elemekkel e g y ü t t ) minden a k t í v hálózat modellezhető. E l ő n y ü k , hogy a topoló giai szemlélettel igen jó összhangban vannak, és a topológiai formulák nullorok alkalmazása esetén szemléletes tartalmat nyernek. Mivel a nullorok sok kal általánosabb, absztraktabb elemek a vezérelt generátoroknál, egy adott követelmény teljesítő á r a m k ö r legegyszerűbb és legáltalánosabb helyettesí tő képe a nulloros. E b b ő l az elvi helyettesítő képből a k o n k r é t realizálások r e d u n d á n s nullorok (pl. a soros nullátor-norátor) behelyezésével a d ó d n a k [8]. Az összes publikált N I C realizálás pl. a N I C nulloros he lyettesítő képéből s z á r m a z t a t h a t ó változat. 4. Nullorokat tartalmazó aktív hálózatokra vonatkozó topológiai összefüggések
az Y+ előtt álló A m á t r i x k é t sora összeadásának. Ez a módosított incidenciamátrix pedig a hálózat gráfjából a norátorok rövidre-zárásával és a nullá torok megszakításával létrejövő gráfnak felel meg. Jelölése A°. Hasonlóan Y k é t oszlopának össze adása, az Y+ u t á n álló A' megfelelő k é t oszlopának összeadását jelenti, az ennek megfelelő gráf az eredetiből a nullátorok rövidrezárásával és a norá torok megszakításával nyerhető. Jelölése A' . Ezekkel a jelölésekkel a csomóponti mátrix-egyenlet +
0
(A„YA' )V =I 0
n
(3)
g
Hasonló gondolatmenettel nyerhető a hurok-egyen letrendszer mátrix-egyenlete is. (B ZB'JI =-V 0
h
(4)
g
A t o v á b b i a k b a n det ( Y ) topológiai úton történő előállításával foglalkozunk. Az előző fejezet alapján nyilvánvaló, hogy A„ nem szinguláris (n — N— l)-ed r e n d ű szubmátrixainak megfelelnek az eredeti gráf olyan N-ed r e n d ű JV + l-fái, amelyekben minden norátor k é t végpontja külön részgráfban van. Az N norátor rövidrezárásával ezek az i V + l - f á k pontosan az n—N csomópontú egyszerűsített gráf fái lesznek. Hasonló gondolatmenettel A' nemszinguláris szubmárixainak megfelelnek a passzív gráf olyan iV-ed rendű N + l-íái, melyekben a nullátorok végpontjai külön részgráfokban vannak. A Binet — Cauchy-tétel értelmében det (A^YA' )-ban az A„ és A' közös A?" + l-fái szerepelnek csak. T e h á t +
0
0
0
Vizsgáljuk meg, hogy m i a következménye egy Fi Ft passzív hálózat Y+ m á t r i x á r a nézve, ha a hálózat k é t csomópontja közé nullátort helyezünk. A k é t /=1 /=1 csomópont potenciálját a nullátor azonossá teszi, (5) t e h á t visszagondolva a (2) egyenletre Y a k é t csomó pontnak megfelelő oszlopát össze kell adni. H a az A, B stb.-vel a nullátorok végpontjait, a, b stb.-vel a egyik a referencia csomópont, akkor a másik csomó norátorok végpontjait jelöltük. D, - számításánál pontnak megfelelő oszlopot törölni kell. Egy norátor a(AoY/ló) m á t r i x i. oszlopát, és /. sorát még el kell k é t csomópont közé való helyezésével, a k é t csomó hagyni. Ez ekvivalens azzal, ha az i csomópont és pontra külön-külön nem mond semmit a csomóponti a referencia csomópont közé egy plusz nullátort és a egyenlet, mert a norátor á r a m a h a t á r o z a t l a n . H a /. és a referencia csomópont közé egy plusz n o r á t o r t nullort fog tartal azonban a k é t csomópontnak megfelelő sort Y - b a n helyezünk. A hálózat így N+í összeadjuk, a norátor h a t á r o z a t l a n á r a m a kiesik, és az mazni, a determináns kiszámításában t e h á t (N+ l)-ed egyenletrendszer megoldható. H a az egyik csomópont rendű A^+2-fák szerepelnek. a referencia csomópont, a m á s i k n a k megfelelő sort törölni kell. T e h á t ha passzív hálózatba N nullort ^i]—^y^NÍzii,r,-A,,A,• • ^2yTjN + 2l] r-a a,• • (6) helyezünk, ez Y+ megfelelő N számú sorának és N számú oszlopának összevonását eredményezi. Ez nyil H á t r a van még az egyes N+l, i l l . AT+2-fák előjelé v á n v a l ó a n a m á t r i x r a n g j á t N-el csökkenti. Hasonló nek kérdése. M i n t a 2. pontban említettük, az egyes an a 2. ponthoz meg kell vizsgálni, hogy a fenti fák előjele passzív esetben mindig pozitív (3-pólus műveletek hogyan vihetők á t a topológiára, illetve a esetén), mert A és A' azonos felépítésű és így a meg topológiára jellemző A (és A') m á t r i x r a . H a Y+ felelő helyen levő aldeterminánsainak előjele azonos. m á t r i x k é t sorát összeadjuk (norátor), az megfelel ^Nonreciprok esetben azonban A és A' nem azonos +
y
+
x
58
lt
SZEPESI
T.—GUTTERMUTH
M.: LINEÁRIS A K T Í V HÁLÓZATOK TOPOLÓGIAI
felépítésű (Y+ nem szimmetrikus), ezért az azonos A'-fákhoz (azonos á g a k a t t a r t a l m a z ó fák) nem azonos s z u b m á t r i x tartozik. í g y a k é t aldetermináns ellen tétes előjelű is lehet és ekkor a nekik megfelelő közös A-fa ág-admittancia szorzatának előjele negatív. Az előjelek megállapítása a Davies által javasolt fatranszformációs módszerrel t ö r t é n h e t [3]. A mód szer a k ö v e t k e z ő : Az i r á n y í t o t t gráf M á i b a n zárjuk rövidre először a n o r á t o r o k a t (A*,-nak megfelelő gráf), majd a nullátorokat (/ló-nak megfelelő gráf). A k é t gráfon (amennyiben nem azonos felépítésűek) addig hajtjuk végre az alább felsorolt elemi transzformációkat, még a k é t gráf teljesen azonos nem lesz. Ekkor a megfelelő k é t aldetermináns is azonos lesz, t e h á t az előjel a transzformációból kiadódó előjel lesz. A h á rom transzformáció a k ö v e t k e z ő : 1. Szimbólum csere, ez nyilván A*, illetve A' deter m i n á n s b a n oszlop, i l l . sorcserével j á r , t e h á t negatív előjelet eredményez. 2. Ág irányítás csere, ez az előbbi determinánsok ban egy oszlop — 1-gyel való szorzását jelenti, negatív előjelet eredményez. 3. Ág elmozdítása hurok m e n t é n (az ág eredeti és módosított pozíciója a fa többi ágával e g y ü t t hurkot alkot). Mivel ha egy nyílfolytonos hurok ágainak megfelelő oszlopokat összeadjuk zérust kapunk, nyilván a hurkot lezáró új pozíció oszlopa a hurok többi ágainak meg felelő oszlopok alkalmas, lineáris kombináció jából előállítható. Ha az új pozíciójú ág irányí t á s a beleillik a hurokba, az előjel negatív, ha nem pozitív, mivel egy determináns sorainak összeadása nem változtatja meg a determináns • értékét. Végeredményben 0
(7)
/=1
ahol a ^ - b a n a közös J V + l - f á k szerepelnek, u, v, z jelentik az 1., 2. i l l . 3. transzformációból eredő negatív előjelek számát. (8) A jelölések a (7) egyenlet jelöléseivel azonosak.
ANALÍZISE
T e h á t D - b e n olyan elsőrendű 2-fák szerepelnek, melyekben a bemeneti csomópontpár k é t csomópont j á n a k és a kimeneti kapocspár k é t csomópontjának külön részben kell lenni. Ez megfelel a bemenetre és a kimenetre helyezett plusz norátor-nullátor p á r n a k . A fatranszformációból automatikusan a d ó d n a k a negatív előjelű tagok. Passzív hálózatoknál t e h á t a csatolásdetermináns egy nullor behelyezésével a 4. részben leírt módszerrel s z á m í t h a t ó , és ebben az eset ben teljesen közömbös, hogy 3-, vagy 4-pólusról van-e szó. A fentiekből az is következik, hogy az a k t í v hálózatokra a 4. pontban leírt számítási mód szer általános, t e h á t 4-pólusokra is érvényes, mivel ott nem h a s z n á l t u k k i , hogy a bemenetre helyezett n o r á t o r o k n a k és a kimenetre helyezett nullátorok nak közös pontja van. W ; ( ;
2. B á r a Z - p a r a m é t e r e k ismeretében bármely egyéb p l . (/-paraméter s z á m í t h a t ó , de egy (/-para méterhez az összes Z - p a r a m é t e r számítása szükséges (az (/-paraméterekben Az szerepel). B á r m e l y 4-pólus p a r a m é t e r közvetlen (két determináns h á n y a d o s a k é n t való) számítása legegyszerűbben az univerzális 4-pólus p a r a m é t e r e k bevezetésével válik lehetővé [1]. Mind a hat univerzális p a r a m é t e r n e k megfelel a hálózat egy adott lezárása mellett s z á m í t h a t ó hálózat-determináns. B á r m e l y 4-pólus p a r a m é t e r k é t univerzális p a r a m é t e r h á n y a d o s a k é n t adódik, azaz k é t megfelelő lezárás mellett s z á m í t o t t hálózat determináns h á n y a d o s a k é n t . A hat univerzális para méter és a nekik megfelelő lezárások a k ö v e t k e z ő k : G = det Í Y + x l J
Pf, = d e t f y + i L J
F
S = áet l. Y + j
u
v
[/
= det o Y+l
P a s s z í v esetben a D összege:
kí
u
F
t
z=i
a következő
f=i
F
F,
3
By—2y
^/A/+2/«,
n 2u
F,
F.
Pu 2y^jN+2u^
.
/=1
/=1
F,
fio
2 y T 2 y T f N + 2 i o
k é t fák
Fu
Ru 2yTfN+3i*e =
(9)
TfN+210
2yTfN+2io
=
u
—D
|^ Y+ j .
A 4. és az 5. pontban leírtak alapján az egyes univerzális p a r a m é t e r e k r e adódó topológiai összefüggések (n csomópont és N nullor esetén)
— D.
ki
fí^det
v
Fi
Dki,ij=D
u r
A jelölések szakadással, rövidzárral, nullátorral, vagy n o r r á t o r r a l lezárt be-, illetve kimeneteket szimbolizálnak. H a a hat univerzális p a r a m é t e r szám í t á s á r a megadjuk a topológiai formulát, akkor az összes 4-pólus p a r a m é t e r t m e g h a t á r o z t u k . P l . a m á r számított Zij = Bfj/Gu, összhangban a 4. pontban leírtakkal.
5. Az eredmények általánosítása Az eddigi eredményeket k é t szempontból kell általánosítani. 1. A z eddig nyert 3-pólusra érvényes összefüggések általánosítása 4-pólusra. A h á l ó z a t d e t e r m i n á n s szem pontjából nyilván mindegy, hogy 3- vagy 4-pólusról van-e szó. Á csatolásdetermináns 4-pólus esetén (ha i. és /. a k é t bemeneti csomópont és k. és l. a k é t k i meneti csomópont)
B , = det £ Y+o I. j
u
Fis
n
2yT/N+3io
A képletekben /•» i l l . /0 jelöli, hogy az összes norátor,
59
H Í R A D Á S T E C H N I K A X X I I I . É V F . 2. SZ
ÜL nullátor v é g p o n t j a i n a k helyezkednie.
külön részben kell el
K ö n n y e n b e l á t h a t ó , hogy Fs
F,
/=1
/=1
e
mivel a k é t tag bemeneti rövidzár és kimeneti szaka dás mellett By és Fy iV + 2-fáinak m e t s z e t é t adja, ezek pedig pontosan Py iV + 2-fái.
4.
ábra
5.
ábra
Hasonló gondolatmenettel: F,
F,
N
/=1
.
/=1
"
T e h á t az összes univerzális p a r a m é t e r meghatározásá hoz összesen négyféle (iV-f-l)-ed r e n d ű iV + 2-fát, (By, Fy, Sy, Py), kétféle N-ed r e n d ű i V + 1 - f á t (Gy), és kétféle (iV + 2)-ed r e n d ű iV + 3-fát (Sy) kell keresni az n csomópontú, passzív á g a k a t t a r t a l m a z ó gráfban. 0. Érzékenységek Az egyes átviteli függvények (ül. négypólus para méterek) passzív elemekre v o n a t k o z ó — a vezérelt generátorok átviteli tényezői is passzív a d m i t t a n c i á k nulloros helyettesítő k é p esetén — érzékenysége a Bode-féle bilineáris tétel alapján u g y a n ú g y vizsgál h a t ó , m i n t nemtopológiai módszerek esetén. Nyilván való, hogy az adott átviteli függvény nevezőjében, és számlálójában szereplő fák ismeretében bármely elemre v o n a t k o z ó érzékenységfüggvény a megfelelő fák kiválogatásával előállítható.
A d e t ~ Y + o számításánál adódó közös h a r m a d r e n d ű L J 4-fák: abd, acd, abe, ade, abf. A y = M(S)/N(s),
M(s) =R (y E
+ SC.REÍR^
N(S) =R (lJue E
J
1
S^C.R.RE
- Ül2e + Ü21e +
fe) + +
2
2 2 e
+ (Rl + R )yile + lí sC
2
P é l d a k é p p e n m e g h a t á r o z z u k a 4. á b r á n l á t h a t ó a k t í v RC szűrő feszültségátviteli függvényét (U JU ha J = 0). A tranzisztort a 3b á b r á n l á t h a t ó teljes //-para méteres helyettesítőképpel vesszük figyelembe. A há lózat gráfja az 5. á b r á n l á t h a t ó 2
1
a
6-y =i/j? c — sC d — sC a
2
2
1
t-lhle 9-Vvie
j - Y Ay^U./U^By/Py
E
=
l/R
E
= det ~ Y+ l/del
[ Y+1 .
A det £ Y x számításánál adódó közös h a r m a d r e n d ű
+
2lL
+1) +
+ ( R +í? )(y 7. Példa
+y )
lle
y +y l l e
2 1 e
1
y
1 2 e
)R
E
+
- ^l-R^BfeJ/ae +
+ (R^RE+R^Ey^e)
(1+-R2Í/11,)]
+
+ «C [REÍRl + R )(yile - Jl2e + y le + fe) + l
2
+R +R ] 1
2
2
2
+s C C [fí fi +fl fi +fl fi + 2
1
+ RlR E(yue R
2
2
1
2
1
B
2
E
- VwBa/iSw)]
M i n t az 5. részben k i m u t a t t u k a topológiai analízis során adott feltételeknek eleget tevő, (k— l)-ed r e n d ű A-fákat kell keresni. A módszer számítógépes kivitelezéséhez t e h á t elsősorban k-ía. kereső algo ritmus szükséges. Az irodalomban t ö b b ilyen algo ritmus t a l á l h a t ó , p l . Mayeda és Seshu [9] v á g a t m á t r i x o k a t alkalmazó, Chen és Mark [10] független hurkokat alkalmazó, vagy P á v ó [11] általánosított fákból /c-fákat kereső algoritmusa említhető. A k-ía kereső algoritmust k i kell egészíteni egy a ic-fák rendűségét vizsgáló résszel, erre a célra megfelel pl. a [ l l ] - b e n alkalmazott teljes ciklusvizsgálat kissé m ó d o s í t o t t formája. I R O D A L O M
+
4-fák: abd, acd, ade, agc, agb, — agf, ahc, ahb, ahe, ajc, ajb, ale, dgc, dgf, dhc, dhb, dhe, djc, djb, dje, cdb, cde, cdf, aec, afc, aeb, afb, bgc, — bgf, bhe, bhc, bjc, bje, bcf, bee.
60
[1] Hennyey Z.: Lineáris á r a m k ö r ö k e l m é l e t e . A k a d é m i a i K i a d ó , 1958. [2] Seshu, B.—Reed, M.: L i n e a r graphs and electrical networks. Addison-Wesley, 1961. [3] Davies, A. C: M á t r i x analysis of networks containing nullors. Electronics Letters 1966. 2. N . 2 48. o. 1966. 2. N . 3 91. o.
SZEPESI
T . — G U T T E R M U T H M.: LINEÁRIS
[4] Davies, A. C: Significance of nullators, norators and nullors in activ network theory. The R a d i o and Electro nic Engineer 1967. nov. 259—264. [5] Davies, A. C: Nullator-norator equivalent networks for controlled sources. Proc I E E E 55. 1967. 722. o. [6] Martinelli, G.: On the nullor. Proc. I E E E 53. 1965. 332. o. [7] Tellegen, B. D. H.: On nullators and norators. I E E E Trans. on C T . - 1 3 . 1966. 466. o. [8] Myers, B. R.: Nullor modell of the transistor. Proc. I E E E 53. 1965. 756. o. [9] Maijeda, W.—Seslw, S.: Generation of trees Without duplication. I E E E T r a n s . on C T . - 1 2 . 1965. 181—186. o.
AKTÍV HÁLÓZATOK
TOPOLÓGIAI
ANALÍZISE
[10] Chen, W. K.—Mark, S. K.: On the a l g e b r a i é relationship of trees, co-trees, circuits and cutset of a graph. I E E E T r a n s . on GT-16. 1969. 176—184. o. [ll]Pávó Imre: E g v gráf k-fáinak e l ő á l l í t á s a . Matematikai L a p o k , 1968. 3—4. 353—363. o. [12] Dr. Andrásfai B.: Gráfelmélet. Mérnöktovábbképző jegyzet, 1968. [13] Dr. Szendy K.: Modern h á l ó z a t s z á m í t á s i m ó d s z e r e k . Akadémiai Kiadó. [14] Brayshaw, G. S.: Topological analysis of networks containing nullators and norators. I E E E T r a n s . on GT.-16. 1969. m á j u s .
