László István, Fizika A2 (Budapest, 2013) Előadás

László István, Fizika A2 (Budapest, 2013)

1 14. Előadás

14. Előadás 14.A Maxwell-egyenletek. Az elektromágneses hullámok Tartalmi kiemelés 1.Maxwell általánosította Ampère törvényét bevezetve az eltolási áramot. Eszerint ha a térben az áramok mellett változó elektromos tér is jelen van, akkor az Ampère-féle gerjesztési törvény az alábbiak szerint egészül ki: dΦ E H d s = I + ε ∑S 0 ∫C dt ahol az utolsó tag Φ E = ∫ EdA , az elektromos térerősség S

vektor S felületre számított fluxusa. Az előtte álló szummában az ugyanezen az S felületen átmenő áramokat kell előjelhelyesen összegezni. A formai hasonlóság miatt az dΦ e ε0 tagot eltolási áramnak nevezzük. A baloldali dt vonalintegrált az S felületnek a határvonalát képező C zárt görbére kell elvégezni. 2. A fény elektromágneses hullám. dΦ m és az Ampère-Maxwelldt C dΦ E törvény ∫ Bds = µ 0 (∑ I + ε0 ) lehetővé teszi a dt S C hullámegyenlet levezetését az elektromágneses hullámokra. 3.A Faraday-törvény ∫ Eds = −

E×B Poynting-vektor azt mutatja meg, hogy az µ0 elektromágneses energiaáramlás irányára merőleges egységnyi felületen, egységnyi idő alatt mennyi energia áramlik át.

4.Az S =

-1-


2 14. Előadás

5.Az elektromágneses hullámok mozgásmennyiséggel is rendelkeznek, melynek következményeként sugárzási nyomást fejtenek ki egy adott felületre.

-2-


3 14. Előadás

Bevezetés Az 1820-as évek előtti kísérleti és elméleti munkák lehetővé tették annak megállapítását, hogy a fény tranzverzális hullám. A hullám pontos természete azonban nem volt ismert. Az egyik kísérletében Faraday észrevette, hogy a mágneses tér hatott az üvegen áthaladó fényre. A XIX. században kétféle mértékegység rendszer létezett az elektromosságban. Az egyik a Coulomb-törvény által meghatározott erőből indult ki, a másik pedig a mágneses pólusok közötti analóg erőből. Ez a kétféle rendszer kétféle mértékegységet adott a töltésre. Ezen 1 kétféle töltésegység arányára pedig adódott, aminek 1 (ε0µ 0 )2 sebesség a dimenziója. Amikor megmérték a fény terjedési sebességét, arra is ez a számérték adódott. Ebből már gyanították, hogy a fény kapcsolatban van az elektromágneses jelenségekkel. A kapcsolatot Maxwell bizonyította matematikailag és Hertz kísérletileg.

James Clerk Maxwell (1831-1879)

Heinrich Hertz (1857-1894) -3-


4 14. Előadás

14.1Az eltolási áram Maxwell észrevette, hogy értelmezési problémák merülnek fel, ha az ∫ Bd l = µ 0 I Ampère-féle gerjesztési törvényt olyan áramkörre alkalmazzuk, amely kondenzátort is tartalmaz.

A kondenzátor lemezei közötti elektromos térerősség változásból ( b ábra ) következtessünk a lemezeken lévő töltésváltozásra, amiből jön a kondenzátor lemezein kívüli (a ábra ) áramerősség, amire viszont igaz az Ampère-féle gerjesztési törvény.

A . d Ha a kondenzátor pillanatnyi töltése Q és a lemezei közötti potenciálkülönbség ∆V , akkor Tehát a síkkondenzátor kapacitása C = ε0

Q és C Q Qd Ed = = C ε0A ∆V =

dQ =I dt

-4-


5 14. Előadás

E=

Q ε0A

EA =

Q ε0

Q ε0 dΦ E 1 dQ I = = dt ε0 dt ε 0

ΦE =

ε0

dΦ E =I dt

dΦ E = I D mennyiséget hívjuk eltolási áramnak. Ezt kell dt figyelembe venni az Ampère-törvényben ott, ahol az elektromos fluxus változik. Tehát vákuumban az Ampère-Maxwell-törvény a következő:

Az ε 0

∫ B ds = µ 0 ( ∑ I + ε 0 S

C

dΦ E ) dt

vagy az elektromos térerősség segítségével:

∫ H ds = ∑ I + ε 0 C

S

dΦ E dt

ahol az utolsó tag Φ E = ∫ EdA , az elektromos térerősség S

vektor S felületre számított fluxusa. Az előtte álló szummában az ugyanezen az S felületen átmenő áramokat kell -5-


6 14. Előadás

előjelhelyesen összegezni. A formai hasonlóság miatt az dΦ e ε0 tagot eltolási áramnak nevezzük. A baloldali dt vonalintegrált az S felületnek a határvonalát képező C zárt görbére kell elvégezni. 14.2A Maxwell-egyenletek (a)A Maxwell-egyenletek vákuumban

∫ EdA = S

1 Qi ∑ ε0 i

Gauss

∫ BdA = 0

Gauss

S

∫ Eds = − C

dΦ B dt

∫ B ds = µ 0 ( ∑ I + ε 0 C

S

Faraday dΦ E ) dt

Ampère-Maxwell

-6-


7 14. Előadás

(b)A Maxwell-egyenletek anyagban

∫ DdA = ∑ Q

Gauss

i

i

S

∫ Bd A = 0

Gauss

S

∫ Eds = − C

dΦ B dt

∫ H ds = ∫ JdA + C

S

Faraday dΦ D dt

Ampère-Maxwell

Ehhez járulnak az anyagegyenletek, melyek (i)izotróp lineáris közegben: D = ε r ε 0E , B = µ r µ 0 H , J = σE (ii)általános esetben: D = ε 0E + P , B = µ 0 H + µ 0M , J = σE P polarizációs vektor és M mágnesezettség.

Mindegyik esetben a Lorentz erő: F = q(E + v × B )

-7-


8 14. Előadás

14.3Az elektromágneses hullámok

ω=

2π , T

-8-

k=

2π λ


9 14. Előadás

∂2y 1 ∂2y = . A hullámegyenlet: ∂x 2 v 2 ∂t 2 A hullám terjedési sebessége: v A fenti egyenlet megoldása y = y 0 sin (kx − ωt + φ) Ugyanis ∂2y 2 = − k y 0 sin (kx − ωt + φ) 2 ∂x ∂2y 2 = − ω y 0 sin (kx − ωt + φ ) 2 ∂t A

∂2y 1 ∂2y = ∂x 2 v 2 ∂t 2 ω hullámegyenlet adja: v = k

A hullámegyenlet levezetése a Maxwell-egyenletekből Abban a tartományban keressük a Maxwell-egyenletek megoldását, ahol csak E = E y j elektromos tér és B = Bzk mágneses indukció található. Ebben a tartományban a Maxwell-egyenletek:

-9-


10 14. Előadás

∫ EdA = 0

Gauss

S

∫ Bd A = 0

Gauss

S

∫ Eds = − C

dΦ B dt

∫ Bds =µ0ε0 C

dΦ E dt

Faraday

Ampère-Maxwell

- 10 -


11 14. Előadás

A Faraday-törvény így alakul: dΦ B E ds = − ∫C dt (∆Bz ∆x∆y ) E y 2 ∆y − E y1∆y = − ∆t

E y 2 − E y1 = −

(∆Bz ∆x ) ∆t

E y 2 − E y1 ∆B =− z ∆x ∆t ∂E y ∂B =− z ∂x ∂t

- 11 -


12 14. Előadás

Az Ampère-Maxwell-törvény pedig így alakul: dΦ E B d s = µ ε 0 0 ∫C dt

(− Bz 2 + Bz1 )∆z = µ 0ε0 ∆E y Bz 2 − Bz1 = −µ 0ε0 ∆x ∆t

∆E y ∆x∆z ∆t

∂E ∂Bz = −µ 0ε 0 y ∂x ∂t Tehát ebben az esetben a következő egyenleteket kaptuk: ∂E y ∂B =− z ∂x ∂t ∂E ∂Bz = −µ 0ε 0 y ∂x ∂t Az első egyenletet deriváljuk x szerint, a másodikat pedig t szerint. Ekkor kapjuk:

- 12 -


13 14. Előadás

∂ 2E y ∂ 2 Bz =− ∂x 2 ∂x∂t ∂ 2E y ∂ 2 Bz = −µ 0ε 0 2 ∂t∂x ∂t ebből jön: ∂ 2E y ∂ 2E y = µ 0ε0 2 2 ∂x ∂t Ha viszont az első egyenletet deriváljuk t szerint, a másodikat pedig x szerint. Ekkor kapjuk: ∂ 2 Bz ∂ 2 Bz = µ 0ε0 2 2 ∂x ∂t ∂2y 1 ∂2y Összehasonlítva ezen utóbbi két egyenletet a = 2 2 2 ∂x v ∂t Hullámegyenlettel, azt látjuk, hogy az elektromos térre és a mágneses indukcióra is olyan hullámegyenletet kaptunk, 1 amelynél a hullám terjedési sebessége: v = = c. µ 0ε0 Ez a terjedési sebesség éppen megegyezik a fénysebességgel. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy ezen hullámegyenletek megoldása: E y = E y 0 sin (kx − ωt ) Bz = Bz 0 sin (kx − ωt ) ∂E y ∂B a = − z egyenletből kapjuk, hogy: ∂x ∂t E y = cBz

- 13 -


14 14. Előadás

- 14 -


15 14. Előadás

E×B Poynting-vektor azt mutatja meg, hogy az µ0 elektromágneses energiaáramlás irányára merőleges egységnyi felületen, egységnyi idő alatt mennyi energia áramlik át.

Az S =

- 15 -


16 14. Előadás

14.4Az elektromágneses hullámok spektruma

kisfrekvenciák 10000m ≤ λ Rádióhullámok Hosszúhullám Középhullám Rövidhullám URH Mikrohullám

f ≤ 104 Hz

103 m ≤ λ ≤ 104 m 104 Hz ≤ f ≤ 105 Hz 102 m ≤ λ ≤ 103 m 105 Hz ≤ f ≤ 106 Hz 10m ≤ λ ≤ 102 m 106 Hz ≤ f ≤ 107 Hz 1m ≤ λ ≤ 10m 107 Hz ≤ f ≤ 108 Hz 10−3 m ≤ λ ≤ 1m 108 Hz ≤ f ≤ 1011 Hz

Optikai színkép Infravörös 10−6 m ≤ λ ≤ 10−3 m 1011 Hz ≤ f ≤ 1014 Hz Látható 4 × 10−7 m ≤ λ ≤ 7.8 × 10−7 m 4 × 1014 Hz ≤ f ≤ 8 × 1014 Hz Sugarak Ultraibolya 10−8 m ≤ λ ≤ 10 −7 m 1014 Hz ≤ f ≤ 1015 Hz Röntgen-sugár 10−9 m ≤ λ ≤ 10−8 m 1015 Hz ≤ f ≤ 1017 Hz γ sugárzás 10−11 m ≤ λ ≤ 10−9 m 1017 Hz ≤ f ≤ 1019 Hz kozmikus sugárzás 10−13 m ≤ λ ≤ 10−11 m

- 16 -

1019 Hz ≤ f ≤ 10 21 Hz

László István, Fizika A2 (Budapest, 2013) Előadás

Recommend Documents