LAPORAN INDIVIDU PRAKTIK PENGALAMAN LAPANGAN ( PPL ) LOKASI : SMA NEGERI 2 YOGYAKARTA

LAPORAN INDIVIDU PRAKTIK PENGALAMAN LAPANGAN ( PPL ) LOKASI : SMA NEGERI 2 YOGYAKARTA

Disusun Sebagai Tugas Akhir Pelaksanaan Kegiatan PPL

Dosen Pembimbing Lapangan:

Drs. Sugiyono, M.Pd.

Disusun oleh : FABRI HIDAYATULLAH 13301241074

PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2016

KATA PENGANTAR Puji syukur saya panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan kemudahan dalam melaksakan kegiatan PPL UNY 2016 dan menyelesaikan penulisan laporan sebagai gambaran kegiatan yang telah dilaksanakan. Laporan hasil PPL ini meliputi semua kegiatan dan observasi. Selain itu, laporan ini juga memuat masalah-masalah yang dihadapi selama PPL berlangsung. Penulisan laporan adalah tugas individu yang wajib dilaksanakan oleh seluruh mahasiswa peserta PPL Universitas Negeri Yogyakarta Tahun Akademik 2016/2017. Penulis menyadari sepenuhnya, bahwa penulisan laporan ini dapat diselesaikan berkat bantuan dari berbagai pihak, baik yang berupa bantuan moral maupun material. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Ismalia Tri Ratnawati, S.Pd selaku Guru Pembimbing Matematika yang telah memberikan bimbingan selama melaksanakan kegiatan PPL. 2. Bapak Prof. Rochmat Wahab, Ph. D selaku Rektor Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan izin kepada kami untuk melaksanakan PPL tahun 2016. 3. Pusat Layanan Praktik Pengalaman Lapangan dan Praktik Kerja Lapangan (PL PPL dan PKL) LPPMP UNY yang telah menyelenggarakan kegiatan PPL UNY 2016. 4. Bapak Drs. Sugiyono, M.Pd. selaku Dosen Pembimbing Lapangan (DPL) PPL jurusan yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan selama PPL berlangsung. 5. Bapak Kusworo, M.Hum selaku Kepala Sekolah SMA N 2 Yogyakarta yang sangat kami hormati, yang telah membimbing kami selama melaksanakan kegiatan PPL UNY tahun 2016. 6. Bapak Yulianta, S.Pd selaku koordinator PPL SMA N 2 Yogyakarta yang telah membimbing kami selama melaksanakan kegiatan PPL di SMA N 2 Yogyakarta. 7. Bapak dan Ibu Guru serta karyawan SMA N 2 Yogyakarta atas kerjasamanya selama ini. 8. Seluruh warga SMA N 2 Yogyakarta, khususnya siswa kelas XI-MIIA 2 dan XIMIIA 6. 9. Keluarga atas segala doa dan bantuannya selama ini, baik moral maupun materiil. 10. Teman-teman seperjuangan PPL UNY 2016 yang telah memberi semangat dan berbagi suka duka selama kegiatan PPL berlangsung dan atas kebersamaan yang telah terjalin selama ini. 11. Teman-teman seangkatan jurusan Pendidikan Matematika yang telah sama-sama berjuang dan saling memberi semangat dan dorongan. 12. Seluruh pihak yang tidak dapat disebutkan satu-persatu yang telah membantu pelaksanaan kegiatan PPL

ii

Laporan ini sebagai bukti bahwa penulis telah selesai melaksanakan Praktik Pengalaman Lapangan (PPL). Namun, penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan di laporan ini, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang dapat bermanfaat bagi semua pihak. Semoga laporan ini dapat bermanfaat khususnya bagi penulis dan bagi pembaca pada umumnya, amien.

Yogyakarta, 15 September 2016 Penulis,

Fabri Hidayatullah NIM. 13301241074

iii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .................................................................................................i HALAMAN PENGESAHAN LAPORAN PPL .......................................................ii KATA PENGANTAR ...............................................................................................iii DAFTAR ISI ..............................................................................................................v DAFTAR LAMPIRAN ..............................................................................................vi ABSTRAK .................................................................................................................vii BAB I

: PENDAHULUAN A. Analisis Situasi (Permasalahan dan Potensi Pembelajaran)...............1 B. Perumusan Program dan Rancangan Kegiatan KKN-PPL ................8

BAB II

: PERSIAPAN, PELAKSANAAN, DAN ANALISIS HASIL A. Persiapan ...........................................................................................16 B. Pelaksanaan PPL (Praktik Terbimbing dan Mandiri) ........................19 C. Analisis Hasil Pelaksanaan dan Refleksi ...........................................26

BAB III : PENUTUP A. Kesimpulan ........................................................................................29 B. Saran...................................................................................................30 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................32 LAMPIRAN ...............................................................................................................33

iv

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Hasil Observasi Pembelajaran Lampiran 2. Kartu Bimbingan PPL Lampiran 3. Matrix Kerja PPL Lampiran 4. RPP Lampiran 5. Soal Ulangan Harian Lampiran 6. Daftar Nilai Ulangan Harian Lampiran 7. Analisis Hasil Belajar

v

LAPORAN PRAKTIK PENGALAMAN LAPANGAN (PPL) DI SMA NEGERI 2 YOGYAKARTA OLEH: Fabri Hidayatullah 13301241074

ABSTRAK Praktik Pengalaman Lapangan (PPL) telah dilaksanakan di SMA Negeri 2 Yogyakarta selama dua bulan sejak 15 Juli – 15 September 2016. Tujuan Praktik Pengalaman Lapangan (PPL) adalah melatih mahasiswa agar memiliki pengalaman faktual tentang proses pembelajaran dan kegiatan kependidikan lainnya di sekolah, sebagai bekal untuk mengembangkan diri menjadi tenaga yang profesional yang memiliki pengetahuan, sikap dan keterampilan. Kegiatan yang telah dilaksanakan meliputi observasi pembelajaran di kelas yang dilaksanakan pada saat KBM berlangsung dan pembuatan perangkat pembelajaran yaitu membuat rencana pelaksanaan pembelajaran, soal dan pedoman penskoran ulangan harian, daftar hadir siswa, analisis hasil belajar dan daftar penilaian. Kegiatan praktik mengajar dimulai dari tanggal 15 Juli hingga 15 September 2016. Praktik Pengalaman Lapangan (PPL) dapat dilaksanakan dengan baik dan dapat memenuhi target frekuensi mengajar yang telah ditetapkan sebanyak minimal 8 kali pertemuan dengan materi yang berbeda, adapun praktikan sudah mencapai 12 kali pertemuan. Saran untuk keberhasilan PPL dari praktikan yaitu peningkatan kerjasama yang baik antara pihak universitas, sekolah dan praktikan itu sendiri agar tidak terjadi miss komunikasi dalam pelaksanaan PPL.

Kata kunci : PPL, SMA Negeri 2 Yogyakarta

vi

MATRIKS PROGRAM KERJA PPL UNY TAHUN: 2016

F01 Kelompok Mahasiswa

Universitas Negeri Yogyakarta NOMOR LOKASI NAMA SEKOLAH/LEMBAGA ALAMAT SEKOLAH/LEMBAGA

No

Program/Kegiatan

:SMA Negeri 2 Yogyakarta : Jl. Bener 30, Bener, Tegalrejo Telp. 563647 Kota Yogyakarta

R/P I

II

Jumlah Jam per Minggu VII III IV V VI

Jml Jam VIII

IX

R

P

1 Penyusunan Program PPL a. Observasi b. Pembuatan Matrik

R

10

P

10

R

4

P

4

10 2

12 4 4

2 Administrasi Pembelajaran/Guru a. Pembuatan Evaluasi Hasil Belajar d. Dll

R

2

P

2

P

1

1

R

4

1

1

1

1

1

1

1

1

P

4

1

1

1

1

1

1

1

1

R

3

3

3

3

3

3

3

3

P

3

5

5

5

5

5

5

3

R

3

3

3

3

3

3

3

P

3

5

3

3

3

3

3

R

3

3

3

3

3

3

3

P

3

2

2

2

2

2

2

R

3

3

3

3

3

3

3

2

3) Membuat RPP 4) Membuat LKS 5) Menyiapkan media

18-23 Juli

II

25-29 Juli

III

1-5 Agustus

IV

8-12 Agustus

V

15-19 Agustus

VI 22-Agu VIII 05-Sep

2 2

a. Persiapan

2) Mengumpulkan materi

I

VII 29-Agu

3 Pembelajaran Kokurikuler (Kegiatan Mengajar Terbimbing)

1) Konsultasi

Ket :

12 12 24 36 21 23 21 15 21

IX 12-Sep

##

5) Menyiapkan media

P

3

6

4

4

4

4

4

8 4

8 8

8 8

8 8

8 8

8 8

2

31

b. Mengajar terbimbing 1) Praktik Mengajar di kelas

R P

48 44

2) Penilaian dan evaluasi a) Ulangan Harian 1. Pembuatan kisi-kisi ulangan 2. Pembuatan soal ulangan 3. Penggandaan soal ulangan 4. Pelaksanaan ulangan 5. Pengoreksian ulangan 6. Input nilai ulangan

R

3

3

P

3

3

R

3

3

P

3

3

R

1

1

P

1

1

6 6 6 6 2 2

R

4

P

4

4 4

R

8

P

8

R

2

P

1

8 8 2

4

5

b) Tugas 1. Pengoreksian tugas dan input nilai

R P

1 4

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

6

1 1 1

2

19

c) Remidial dan Pengayaan 1. Pembuatan soal Remidial dan Pengayaan 3. Pelaksanaan Remidial dan Pengayaan 4. Pengoreksian remedial Pengayaan 3) Praktik Mengajar Pengganti Guru (Insidental) Pembelajaran Ekstrakurikuler 4

R P R P R P P

1 1 2

2 2 1 1 2

2 2 4 6

6 0

R a. Persiapan

1 1 1

0

0

0

0

0

0

0

0

4 a. Persiapan b. Pelaksanaan 5 Kegiatan Sekolah a. Upacara Bendera Hari Senin b. Upacara Bendera 17 Agustus c. Piket Harian Guru d. Piket Perpustakaan e. Piket TU f. PLS g. Upacara HUT SMADA & Jalan Sehat h. Peringatan Idul Adha 6

Pembuatan Laporan PPL Jumlah Jam Keseluruhan Mengetahui/Menyetujui, Kepala Sekolah

Kusworo,S.Pd, M.Hum NIP. 19640718 198803 1 007

P R P R P R P R P R P R P R P R P R P R P R P

0 0 0 1 1

2 2 4 4 4 4 4 4

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 1

2 3 4 4 4 4

2 2 4 4 4 4

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 1

2 2 4 4 4 4

1 0 2 2 4 4 4 4

3 3 1 0

2 2 4 4 4 4

2 2 4 4 4 4

2 2 4 4 4 4

16 17 32 32 32 32 4 4

0 3

0 3 0

0 6

10 2

6 10

10

12 301 354

Mahasiswa

Fabri Hidayatullah NIM. 13301241074

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Satuan Pendidikan

: SMA Negeri 2 Yogyakarta

Kelas / Semester

: XI / II

Mata Pelajaran

: Matematika

Topik

: Polinomial (Peminatan)

Pertemuan Ke-

: I - XI

Alokasi Waktu

: 11 x 2 jam pelajaran

A. Kompetensi Inti (KI) : KI 1

: Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya

KI 2

: Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

KI 3

: Memahami menerapkan dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

KI 4

: Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

B. Kompetensi Dasar dan Indikator : KI KI 3

Kompetensi Dasar (KD) 3.1 Mendeskripsikan

konsep

Indikator Pencapaian KD dan

3.1.1

menganalisis sifat operasi aljabar pada

polinomial

menerapkannya menyelesaikan

dan

pengertian

polinomial 3.1.2

dalam masalah

Menyebutkan

Menyebutkan contoh bentuk polinomial

3.1.3

matematika.

Menyebutkan

bagian-bagian

polinomial yang terdiri dari variabel, derajat, koefisien dari masing-masing

suku

dan

kontanta 3.1.4

Menghitung nilai polinomial dengan metode substitusi

3.1.5

Menghitung nilai polinomial dengan metode horner

3.1.6

Menggunakan

sifat

operasi

penjumlahan dan pengurangan pada

polinomial

mengetahui

untuk

bagian-bagian

polinomial 3.1.7

Menggunakan

sifat

operasi

penjumlahan dan pengurangan pada

polinomial

untuk

menghitung nilai polinomial 3.2 Mendeskripsikan aturan perkalian

3.2.1

dan pembagian polinomial dan menerapkan teorema sisa dan

Mengenal sifat perkalian pada polinomial

3.2.2

Menyebutkan

bagian-bagian

pemfaktoran polinomial dalam

polinomial hasil dari operasi

menyelesaikan

perkalian.

matematika

masalah 3.2.3

Mengenal

sifat

pada polinomial

pembagian

3.2.4

Menyebutkan hasil dan sisa bagi dari operasi pembagian polinomial

3.2.5

Menggunakan

aturan

pembagian polinomial untuk memahami teorema sisa 3.2.6

Menghitung

sisa

pembagian

hasil

polinomial

menggunakan teorema sisa 3.2.7

Menggunakan teorema dan

aturan

sisa

pembagian

polinomial untuk memahami teorema faktor 3.2.8

Menentukan pembagi

faktor-faktor

dari

polinomial

menggunakan teorema faktor. KI 4

4.1 Memecahkan

masalah

menggunakan sisa

dan

konsep faktorisasi

nyata

4.1.1

teorema

dari

dari

polinomial

Merancang model matematika permasalahan

nyata

polinomial 4.1.2

Menggunakan teorema sisa dan

teorema

faktor

untuk

menyelesaikan permasalahan nyata polinomial 4.2

Memecahkan

masalah

nyata

4.2.1

Memodelkan

permasalahan

dengan model persamaan kubik

nyata ke dalam persamaan

dan menerapkan aturan dan sifat

kubik

pada polinomial

4.2.2

Menentukan

akar-akar

dari

persamaan kubik menggunkan aturan dan sifat polinomial

C. Materi Ajar 1. Pengertian Polinomial 2. Menentukan nilai polinomial 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 = 𝑘 3. Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Polinomial 4. Pembagian Polinomial

5. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan suku banyak D. Metode Pembelajaran Pertemuan ke-1 Pedekatan

: scientific

Model pembelajaran : teman sejawat metode penemuan (discovery) Pertemuan ke-2 Pedekatan

: scientific

Model pembelajaran : cooperative learning dengan penemuan terbimbing Pertemuan ke-3 Pedekatan

: scientific


: scientific


: scientific


: scientific


: scientific


: scientific


: scientific

Model pembelajaran : cooperative learning dengan tipe TSTS (Two Stay Two Stray) Pertemuan ke-10 Pedekatan

: scientific

Model pembelajaran : cooperative learning dengan tipe TSTS (Two Stay Two Stray) Pertemuan ke-11 pendalaman materi Pertemuan ke-12 Tes Formatif materi polinomial

E. Kegiatan Pembelajaran Pertemuan I Kegiatan

Deskripsi

Alokasi Waktu

Pendahuluan

1. Sebagai apersepsi untuk mendorong rasa ingin 10 menit tahu dan berpikir kritis, siswa mengingat kembali tentang bentuk linear dan binomial dengan menyebutkan beberapa contoh bentuk linear dan binomial beserta alasannya. 2. Siswa membedakan atau mengklasifikasikan masing-masing bentuk aljabar tersebut ke dalam bentuk linear, binomial atau polinomial dari beberapa bentuk aljabar yang diberikan guru 3. Guru menyampaikan tujuan dari pembelajaran yaitu untuk mengenal bentuk umum polinomial dan menentukan bagian-bagiannya (variabel, derajat koefisien, dan konstanta)

Inti

70 menit

(Mengekplorasi) 1. Setelah siswa dapat membedakan bentuk linear, binomial dan polinomial, masing-masing siswa membuat satu contoh bentuk polinomial (Mengasosiasi) 2. Siswa saling bertukar soal satu dengan yang lainnya, dan masing-masing siswa mengerjakan soal tersebut secara individu menentukan bagianbagian polinomial (variabel, derajat, koefisien, kontanta). 3. Soal yang sudah dikerjakan masing-masing siswa dikembalikan kepada siswa pembuat soal, dan siswa

pembuat

soal

mengoreksi

pekerjaan

temannya sesuai dengan pengetahuannya.

4. Hasil koreksi diserahkaan lagi kepada siswa yang mengerjakan soal tersebut untuk diperbaiki jika ada ketidaksesuaian dalam mengerjakan 5. Siswa dapat berdiskusi dengan pengoreksi jika diperlukan. (Mengekplorasi) 6. Setiap siswa membuat satu bentuk polinomial 7. Siswa saling bertukar soal, dengan catatan tidak boleh berpasangan dengan pasangan sebelumnya (Mengasosiasi) 8. Setiap siswa mengidentifikasi bentuk polinomial yang didapatnya dari pertukaran soal dengan menyebutkan bagian-bagiannya 9. Siswa mengembalikan soal dan hasil pekerjaannya kepada siswa pembuat soal 10. Siswa pembuat soal mengoreksi hasil pekerjaan temannya tersebut 11. Hasil koreksi diserahkan kembali kepada siswa yang mengerjakan untuk diperbaiki jika ada yang kurang tepat. (Mengekplorasi) 12. Siswa dapat berdiskusi jika diperlukan (mengkomunikasi) 13. Guru meminta beberapa siswa untuk menuliskan bentuk polinomial beserta bagian-bagiannya hasil dari pekerjaan temannya di papan tulis. Dan menjelaskan sesuai dengan pengetahuannya Penutup

1. Siswa dengan bimbingan guru menyimpulkan 10 menit bentuk umum polinomial dan menentukan bagianbagian (variabel, derajat, koefisien, kontanta) dari polinomial.

2. Untuk penguatan kesimpulan yang di dapat, guru memberikan dua contoh bentuk polinomial dan bersama siswa menentukan bagian-bagiannya. a. −2𝑡 5 + 𝑡 3 + 6𝑡 2 + 10 Derajat = 5 Variabel = 𝑡 Koefisien 𝑡 5 = -2 Koefisien 𝑡 3 = 1 Koefisien 𝑡 2 = 6 Konstanta = 10 b. 2𝑥 3 + 𝑥 2 + 9𝑥 + 10 Derajat = 3 Variabel = 𝑥 Koefisien 𝑥 3 = 2 Koefisien 𝑥 2 = 1 Koefisien 𝑥 = 9 Konstanta = 10 3. Guru mengkorfirmasi pemahaman siswa dengan bertanya “apa yang kalian pelajari pada pertemuan kali ini?” 4. Siswa diberikan kesempatan untuk bertanya jika masih belum paham terhadap materi yang dipelajari 5. Guru menyampaikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya yaitu menentukan nilai polinomial. 6. Guru memberikan salam.

Pertemuan II Kegiatan Pendahuluan

Alokasi

Deskripsi

Waktu

1. Guru memberikan salam sebelum membuka 10 menit pelajaran 2. Salah satu siswa memimpin doa sebelum pelajaran di mulai 3. Guru mengecek kehadiran dan kesiapan siswa 4. Sebagai apersepsi untuk mendorong rasa ingin tahu dan berpikir kritis, guru memberikan masalah yang berkaitan dengan polinomial dan siswa menggali informasi yang ada pada masalah tersebut. Temperatur 𝑇 dalam ℃ dari suatu reaksi elektrokimia dinyatakan

sebagai

𝑇(𝑡) = 𝑡 3 − 7𝑡 2 + 10𝑡 + 8

dengan 𝑡 adalah waktu dalam menit. Tentukan temperaturnya ketika reaksi tersebut berangsung seama 2 menit!

Masalah tersebut juga disajikan pada LKS 1 untuk dapat dicermati. 5. Siswa mengingatkan kembali tentang bentuk polinomial dengan menyebutkan contoh bentuk polinomial. 6. Siswa menyelidiki kaitan permasalahan yang diberikan guru dengan bentuk polinomial. 7. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran, yaitu menentukan nilai polinomial. Inti

1. Siswa

dibagi

menjadi

beberapa

kelompok, 70 menit

masing-masing kelompok terdiri atas 3-4 siswa.

2. Setiap

kelompok

dibagikan

LKS

tentang

penentuan nilai polinomial yang terdiri atas 2 aktivitas kelompok dan 1 aktivitas individu. 3. Setiap kelompok mengerjakan LKS 1 dengan berdiskusi serta bimbingan guru jika diperlukan. 4. Dari permasalahan yang disajikan pada LKS 1 yang juga disampaikan guru sebagai apersepsi siswa menggali informasi dengan mengungkapkan apa yang siswa pikirkan tentang masalah tersebut, dengan harapan siswa akan termotivasi untuk belajar dengan baik. 5. Siswa menentukan bentuk penyelesaian dari permasalahan tersebut sesuai dengan pengetahuan yang dimiliki 6. Siswa mengingat kembali nilai fungsi dengan menentukan nilai dari beberapa fungsi yang disajikan pada Aktivitas 1 LKS 1 sebagai apersepsi menentukan nilai polinomial 7. Setelah siswa bisa menentukan nilai polinomial dengan

metode

subtitusi,

siswa

belajar

menentukan nilai polinomial dengan cara horner dengan mengikuti langkah-langkah yang tersaji pada Aktivitas 2 LKS 1. 8. Dari aktivitas 1 dan aktivitas 2, siswa menganalisis kaitan penggunaan metode subtitusi dan horner dalam menentukan nilai polinomial. 9. Setiap

kelompok

mempresentasikan

hasil

diskusinya dengan bagian-bagian tertentu (5 kelompok Aktivitas 1, 2 kelompok Aktivitas 2 dan 1 kelompok penarikan kesimpulan).

10. Kelompok lain yang berpendapat lain diberikan kesempatan untuk bertanya atau menanggapi. 11. Guru meluruskan pendapat atau jawaban yang kurang tepat. (Mengeksplorasi) 12. Jika semua kegiatan pada Aktivitas 1 dan Aktivitas 2 sudah dibahas semua, setiap siswa mengerjakan soal pada Aktivitas 3 secara individu untuk memantapkan pemahaman siswa tentang nilai polinomial. 13. Diberikan waktu 15 menit untuk menyelesaikan soal yang ada. 14. Pekerjaan siswa dikumpulkan secara kolektif dalam kelompok masing-masing. Penutup

1. Siswa menyimpulkan bagaimana menentukan 10 menit nilai polinomial dengan metode subtitusi dan horner dengan bimbingan guru 2. Siswa menjawab permasalahan yang diberikan guru pada awal pembelajaran 3. Siswa diberikan kesempatan untuk bertanya jika masih belum paham terhadap materi yang dipelajari 4. Guru menyampaikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya. 5. Guru memberikan salam.

Pertemuan III Kegiatan Pendahuluan

Deskripsi

Alokasi Waktu

1. Guru memberikan salam sebelum membuka 10 menit pelajaran

2. Salah satu siswa memimpin doa sebelum pelajaran di mulai 3. Guru mengecek kehadiran dan kesiapan siswa 4. Siswa mengingat kembali tentang polinomial yang dipelajari pada pertemuan sebelumnya, dan guru menanyakan “Bagaimana menjumlahkan dan mengurangkan

bentuk

polinomial?”

untuk

mendorong rasa ingin tahu siswa dan bersikap kritis. 5. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran Inti

1. Siswa

dibagi

menjadi

beberapa

kelompok, 70 menit

masing-masing kelompok terdiri atas 3-4 siswa. 2. Setiap kelompok dibagikan LKS tentang operasi penjumlahan dan pengurangan pada polinomial yang terdiri atas 3 aktivitas kelompok dan 1 aktivitas individu. 3. Setiap kelompok mengerjakan LKS 2 dengan berdiskusi secara bertahap untuk setiap aktivitas 4. Untuk

tahap

pertama,

setiap

kelompok

mengerjakan Aktivitas 1 6. Untuk memahami sifat operasi penjumlahan polinomial siswa melakukan operasi penjumlahan dari beberapa contoh yang tersaji dalam Aktivitas 1 LKS 2. 7. Siswa menganalisis sifat operasi penjumlahan aljabar berdasarkan hasil diskusi kelompok atas soal-soal yang dikerjakan. 8. Siswa melakukan operasi penjumlahan polinomial yang tersaji pada LKS sesuai dengan hasil analisis kelompoknya masing-masing

5. Selama diskusi

kelompok, guru memantau

kegiatan siswa dalam diskusi kelompok dan memberikan bimbingan jika diperlukan. 6. Jika Aktivitas 1 selesai dikerjakan, hasil diskusi kelompok pada Aktivitas 1 ditukar dengan kelompok yang lain 7. Setiap kelompok melakukan koreksi atas hasil diskusi

kelompok

yang

lain

tersebut

dan

menuliskan tanggapannya pada tempat yang tersedia pada LKS 8. Hasil koreksi dikembalikan kepada kelompok asal dan kelompok asal melakukan perbaikan atas hasil diskusinya jika ada koreksi dari kelompok korektor. 9. Salah satu kelompok menyimpulkan hasil dari kegiatan yang dilakukan pada Aktivitas 1 10. Kelompok yang lain yang memiliki jawaban yang berbeda diberikan kesempatan untuk bertanya atau menanggapi 11. Guru meluruskan pendapat atau jawaban yang kurang tepat 12. Untuk tahap kedua, setiap kelompok mengerjakan Aktivitas 2 9. Untuk memahami sifat operasi pengurangan polinomial siswa melakukan operasi pengurangan dari beberapa contoh yang tersaji dalam Aktivitas 2 LKS 2. 10. Siswa menganalisis sifat operasi pengurangan aljabar berdasarkan hasil diskusi kelompok atas soal-soal yang dikerjakan.

11. Siswa melakukan operasi pengurangan polinomial yang tersaji pada LKS sesuai dengan hasil analisis kelompoknya masing-masing 13. Selama diskusi

kelompok, guru memantau

kegiatan siswa dalam diskusi kelompok dan memberikan bimbingan jika diperlukan. 14. Jika sudah selesai, maka hasil diskusi kelompok pada Aktivitas 2 ditukar dengan kelompok lain yang berbeda dengan kelompok pada Aktivitas 1 15. Setiap kelompok melakukan koreksi atas hasil diskusi

kelompok

yang

lain

tersebut

dan

menuliskan tanggapannya pada tempat yang tersedia pada LKS 16. Hasil koreksi dikembalikan kepada kelompok asal dan kelompok asal melakukan perbaikan atas hasil diskusinya jika ada koreksi dari kelompok korektor. 17. Salah satu kelompok menyimpulkan hasil dari kegiatan yang dilakukan pada Aktivitas 2 18. Kelompok yang lain yang memiliki jawaban yang berbeda diberikan kesempatan untuk bertanya atau menanggapi 19. Guru meluruskan pendapat atau jawaban yang kurang tepat 20. Untuk tahap ketiga, setiap kelompok mengerjakan Aktivitas 3 untuk menentukan derajat polinomial hasil operasi penjumlahan dan pengurangan. 21. Siswa diskusi dalam kelompok masing-masing untuk disajikan

menyelesaikan

permasalahan

yang

22. Siswa membuat beberapa operasi penjumlahan dan pengurangan polinomial dan memperhatikan derajat dari masing-masing polinomial dan derajat dari hasil operasi penjumlahan dan pengurangan polinomial. 23. Siswa menganalisis data yang didapat dari contoh yang diberikan 24. Siswa menyimpulkan sifat derajat dari hasil operasi penjumlahan dan pengurangan polinomial 25. Salah satu kelompok menyimpulkan hasil dari kegiatan yang dilakukan pada Aktivitas 3 26. Kelompok yang lain yang memiliki jawaban yang berbeda diberikan kesempatan untuk bertanya atau menanggapi 27. Guru meluruskan pendapat atau jawaban yang kurang tepat. (Mengasosisasi) 28. Jika semua kegiatan pada Aktivitas 1 sampai Aktivitas 3 sudah dibahas semua, setiap siswa mengerjakan soal pada Aktivitas 4 secara individu. 29. Diberikan waktu 15 menit untuk menyelesaikan soal yang ada. 30. Pekerjaan siswa dikumpulkan secara kolektif dalam kelompok masing-masing. Penutup

1. Siswa menyimpulkan sifat operasi penjumlahan 10 menit dan pengurangan bentuk polinomial dengan bimbingan guru 2. Siswa diberikan kesempatan untuk bertanya jika masih belum paham terhadap materi yang dipelajari

3. Guru menyampaikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya. 4. Guru memberikan salam.

Pertemuan IV Kegiatan Pendahuluan

Deskripsi

Alokasi Waktu

1. Guru memberikan salam sebelum membuka 10 menit pelajaran 2. Salah satu siswa memimpin doa sebelum pelajaran di mulai 3. Guru mengecek kehadiran dan kesiapan siswa 4. Guru mengingatkan kembali tentang materi yang dipelajari pada pertemuan sebelumnya dan menanyakan “operasi apa yang belum kalian pelajari untuk bentuk polinomial?” 5. Siswa menyebutkan operasi yang belum dan akan dipelajari 6. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran

Inti

1. Siswa dibentuk ke dalam beberapa kelompok, 125 menit masing-masing kelompok terdiri atas 4 siswa. 2. Setiap kelompok dibagikan LKS 3 tentang operasi perkalian dan pembagian pada polinomial 3. Siswa mengingat kembali tentang konsep operasi perkalian dan pembagian dari bilangan bulat dan sifat distributif pada perkalian dengan melakukan Aktivitas 1 pada LKS 3 untuk dapat melakukan operasi pada polinomial 4. Siswa menentukan derajat polinomial hasil operasi perkalian polinomial dengan menganalisis beberapa contoh hasil perkalian polinomial

5. Siswa membuat kesimpulan derajat polinomial 6. Selama diskusi

kelompok, guru

memantau

kegiatan siswa dalam diskusi kelompok dan memberikan bimbingan jika diperlukan. (Mengkomunikasi) 7. Guru memberikan kesempatan kepada kelompok yang ingin mempresentasikan hasil diskusi kelompoknya di depan kelas 8. Kelompok yang lain yang memiliki jawaban yang berbeda diberikan kesempatan untuk bertanya atau menanggapi (Mengasosiasi) 9. Salah satu siswa menyimpulkan bagaimana cara menentukan hasil perkalian bentuk polinomial serta derajat dan bagian-bagiannya hasil perkalian polinomial sesuai dengan pengetahuannya 10. Setelah

semua

kelompok

paham

perkalian

polinomial, guru memberikan 5 soal tentang perkalian polinomial yang tersaji pada Aktivitas 3 LKS 3 . 11. Setiap kelompok diberikan waktu 25 menit untuk menyelesaikan soal yang diberikan dan harus dikumpulkan kepada guru yang akan diambil nilainya sebagai nilai kelompok. Penutup

1. Siswa menyimpulkan sifat operasi polinomial 10 menit perkalian bentuk polinomial serta menentukan derajat dan bagian-bagiannya hasil perkalian polinomial 2. Siswa diberikan kesempatan untuk bertanya jika masih belom paham terhadap materi yang dipelajari


Pertemuan V Kegiatan Pendahuluan

Alokasi

Deskripsi

Waktu

1. Guru memberikan salam sebelum membuka 10 menit pelajaran 2. Salah satu siswa memimpin doa sebelum pelajaran di mulai 3. Guru mengecek kehadiran dan kesiapan siswa 4. Guru mengingatkan kembali tentang materi yang dipelajari pada pertemuan sebelumnya menetukan hasil perkalian polinomial 5. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran

Inti

(Mengekplorasi)

70 menit

1. Siswa dibagi menjadi delapan kelompok dengan nama kelompok masing-masing A, B, C, D, E, F, G atau H, dan masing-masing kelompok terdiri dari empat siswa. 2. Setiap siswa pada masing-masing kelompok berhitung dari angka 1-4. 3. Setiap kelompok dibagikan LKS 4 tentang operasi pembagian pada polinomial 4. Siswa

berdiskusi

dalam

kelompok

untuk

menyelesaikan permasalahan pada LKS 5. Selama diskusi berlangsung guru memantau jalannya diskusi dan membimbing jika ada kelompok yang mengalami kesulitan. 6. Siswa melakukan operasi pembagian bilangan bulat dengan cara bersusun atau pistol kemudian menentukan hasil bagi dan sisanya 7. Dengan cara yang analog dengan operasi pembagian bilangan bulat, siswa melakukan

operasi pembagian polinomial dengan cara bersusun atau pistol untuk menentukan hasil bagi dan sisanya. 8. Dari hasil operasi pembagian dengan bersusun, siswa menentukan letak polinomial yang dibagi, pembagi, hasil bagi dan sisa baginya. 9. Untuk menentukan bentuk identitas pembagian, awalnya siswa merubah beberapa bilangan dan bentuk polinomial ke dalam bentuk pembagi, hasil bagi dan sisa. Misalnya: 21 = 5 × 4 + 1

Untuk beberapa contoh yang tersaji pada LKS 4 Aktivitas 2 10. Siswa menganalisis pola yang terbentuk untuk setiap bilangan atau bentuk polinomial 11. Siswa

menentukan

identitas

pembagian

berdasarkan analisis pola yang terbentuk 12. Untuk menentukan derajat polinomial pada identitas

pembagian

yang

meliputi

derajat

polinomial yang dibagi, pembagi, hasil bagi dan sisanya siswa menyajikan hasil pembagian polinomial

yang

dikerjakan

pada

kegiatan

sebelumnya ke dalam tabel seperti yang tersaji di LKS. 13. Siswa menganalisis pola atau kaitan antara yang satu yang lain, sehingga dapat menentukan derajat dari derajat polinomial yang dibagi, pembagi, hasil bagi dan sisanya. 14. Siswa berdiskusi menentukan cara pembagian dengan horner.

15. Siswa menentukan hasil bagi dan sisa bagi dari pembagian

polinomial

oleh

(𝑥 − 𝑘)dengan

melakukan operasi pembagian bersusun dan horner. 16. Siswa menganalisis hasil operasi pembagian bersusun dan horner untuk menentukan mana yang termasuk hasil bagi dan mana sisa bagi pada horner berdasarkan hasil yang diperoleh dari pembagian bersusun. 17. Siswa menentukan hasil bagi dan sisa bagi dari pembagian polinomial oleh (𝑎𝑥 − 𝑏) dan 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 yang dapat difaktorkan dengan melakukan analisis menggunakan identitas pembagian. 18. Guru menunjuk siswa dengan no urut 3 pada kelompok A (siswa A3) untuk mempresentasikan hasil dikusi pada Aktivitas 1. Sehingga, untuk hasil diskusi Aktivitas 1 menjadi tanggung jawab semua siswa dengan nomor urut 3 pada setiap kelompok. 19. Begitu juga untuk Aktivitas 2 dan 3, guru menunjuk siswa dari nomor dan kelompok yang berbeda. 20. Guru memberikan kesempatan kepada siswa atau kelompok lain untuk bertanya atau menanggapi. 21. Jika semua kegiatan pada Aktivitas 1 sampai Aktivitas 3 sudah dibahas semua, setiap siswa mengerjakan soal pada Aktivitas 4 secara individu. 22. Diberikan waktu 15 menit untuk menyelesaikan soal yang ada.

23. Pekerjaan siswa dikumpulkan secara kolektif dalam kelompok masing-masing Penutup

1. Siswa

menyimpulkan

operasi

pembagian 10 menit

polinomial serta menentukan hasil dan sisa pembagiannya dengan bimbingan guru. 2. Siswa diberikan kesempatan untuk bertanya jika masih belom paham terhadap materi yang dipelajari 3. Guru menyampaikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya. 4. Guru memberikan salam.

Pertemuan VI Kegiatan Pendahuluan

Deskripsi

Alokasi Waktu

1. Guru memberikan salam sebelum membuka 10 menit pelajaran 2. Salah satu siswa memimpin doa sebelum pelajaran di mulai 3. Guru mengecek kehadiran dan kesiapan siswa 4. Siswa mengingatkan kembali tentang materi yang dipelajari pada pertemuan sebelumnya tentang aturan pembagian polinomial serta penentuan hasil dan sisa baginya 5. Untuk mendorong rasa ingin tahu siswa, guru memberikan permasalahan yang berkaitan dengan teoremas sisa dan teorema faktor: Bilangan 39 bersisa 1 jika dibagi 2, bersisa 0 jika dibagi 3, bersisa 3 jika dibagi 4 dan bersisa 4 jika dibagi 5.

Bilangan 39 mempunyai faktor-faktor 1, 3, 13 dan 39. Bagaimana dengan bentuk polinomial? Apakah bentuk

polinomial

Bagaimana

juga

menentukan

mempunyai sisa

faktor?

hasil

bagi

polinomial?

6. Siswa diminta untuk memikirkan masalah tersebut dan menentukan cara menyelesaikannya sesuai dengan pengetahuan siswa. 7. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran Inti

1. Siswa

dibagi

menjadi

beberapa

kelompok, 70 menit

masing-masing kelompok terdiri atas 4 siswa. 2. Setiap kelompok dibagikan LKS 5 tentang teorema sisa 3. Siswa mencermati masalah yang ada pada LKS untuk memunculkan rasa ingin tahu siswa 4. Siswa mencermati kaitan masalah yang disajikan dengan materi yang akan dipelajari 5. Dari permasalahan tersebut siswa mencoba memikirkan penyelesaian dari permasalahan yang ada. 6. Siswa diberikan dua permasalahan polinomial untuk mencari sisa pembagian polinomial dan menentukan nilai polinomial untuk pembuat nol pembaginya 7. Dari hasil yang didapat, siswa mencermati kaitan dari

sisa

pembagian

polinomial

dan

nilai

polinomial untuk pembuat nol pembaginya 8. Dari hasil analisisnya, siswa menjelaskan teorema sisa

9. Untuk memperkuat pemahaman siswa tentang teorema

sisa

dan

penerapannya,

siswa

mengerjakan soal pada LKS dan mebuat satu contoh

penerapan

teorema

sisa

beserta

penyelesaiannya. 10. Setiap

kelompok

mempresentasikan

hasil

diskusinya. 11. Kelompok lain yang berpendapat lain diberikan kesempatan untuk bertanya atau menanggapi. 12. Guru meluruskan pendapat atau jawaban yang kurang tepat. Penutup

1. Siswa

menyimpulkan

teorema

sisa

untuk 10 menit

menentukan sisa bagi 2. Siswa diberikan kesempatan untuk bertanya jika masih belom paham terhadap materi yang dipelajari 3. Guru menyampaikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya. 4. Guru memberikan salam.

Pertemuan VII Kegiatan Pendahuluan

Deskripsi 1.

Alokasi Waktu

Guru memberikan salam sebelum membuka 10 menit pelajaran

2. Salah satu siswa memimpin doa sebelum pelajaran di mulai 3. Guru mengecek kehadiran dan kesiapan siswa

4.

Siswa mengingatkan kembali tentang materi yang dipelajari pada pertemuan sebelumnya tentang aturan pembagian polinomial serta penentuan hasil dan sisa baginya

5. Untuk mendorong rasa ingin tahu siswa, guru memberikan permasalahan yang berkaitan dengan teoremas sisa dan teorema faktor: Bilangan 39 bersisa 1 jika dibagi 2, bersisa 0 jika dibagi 3, bersisa 3 jika dibagi 4 dan bersisa 4 jika dibagi 5. Bilangan 39 mempunyai faktor-faktor 1, 3, 13 dan 39. Bagaimana dengan bentuk polinomial? Apakah bentuk

polinomial

Bagaimana

juga

menentukan

mempunyai sisa

faktor?

hasil

bagi

polinomial?

6. Siswa diminta untuk memikirkan masalah tersebut dan menentukan cara menyelesaikannya sesuai dengan pengetahuan siswa. 7. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran Inti

1.

Siswa dibagi menjadi beberapa kelompok, 70 menit masing-masing kelompok terdiri atas 4 siswa.

2. Setiap kelompok dibagikan LKS 5 tentang teorema sisa dan teorema faktor yang terdiri atas 2 aktivitas kelompok dan 1 aktivitas individu 3. Siswa mencermati masalah yang ada pada LKS untuk memunculkan rasa ingin tahu siswa 4. Siswa mencermati kaitan masalah yang disajikan dengan materi yang akan dipelajari 5. Dari permasalahan tersebut siswa mencoba memikirkan penyelesaian dari permasalahan yang ada.

6. Siswa diberikan dua permasalahan polinomial untuk mencari sisa pembagian polinomial dan menentukan nilai polinomial untuk pembuat nol pembaginya 7. Dari hasil yang didapat, siswa mencermati kaitan dari

sisa

pembagian

polinomial

dan

nilai

polinomial untuk pembuat nol pembaginya 8. Dari hasil analisisnya, siswa menjelaskan teorema sisa 9. Untuk memperkuat pemahaman siswa tentang teorema

sisa

dan

penerapannya,

siswa

mengerjakan soal pada LKS dan mebuat satu contoh

penerapan

teorema

sisa

teorema

faktor,

beserta

penyelesaiannya. 10. Untuk

menentukan

siswa

mengingat kembali tentan faktor dari suatu bilangan. 11. Siswa memberikan beberapa contoh faktor suatu bilangan dan bukan faktor 12. Dari contoh yang disebutkan, siswa mecermati kaitan faktor dan bilangannya dengan sisa hasil bagi bilangan tersebut oleh faktornya. 13. Dari hasil perngamatan dan mengingat kembali tentang teorema sisa, siswa menyimpulkan teorema faktor. 14. Setiap

kelompok

mempresentasikan

hasil

diskusinya. 15. Kelompok lain yang berpendapat lain diberikan kesempatan untuk bertanya atau menanggapi. 16. Guru meluruskan pendapat atau jawaban yang kurang tepat.

17. Jika semua kegiatan pada Aktivitas 1 dan Aktivitas 2 sudah dibahas semua, setiap siswa mengerjakan soal pada Aktivitas 3 secara individu. 18. Diberikan waktu 15 menit untuk menyelesaikan soal yang ada. 19. Pekerjaan siswa dikumpulkan secara kolektif dalam kelompok masing-masing. Penutup

1. Siswa menyimpulkan teorema sisa dan teorema 10 menit faktor untuk menentukan sisa bagi dan faktor dari polinomial. 2. Siswa diberikan kesempatan untuk bertanya jika masih belom paham terhadap materi yang dipelajari 3. Guru menyampaikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya. 4. Guru memberikan salam.

Pertemuan VIII Kegiatan Pendahuluan

Alokasi

Deskripsi

Waktu

1. Guru memberikan salam sebelum membuka 10 menit pelajaran 2. Salah satu siswa memimpin doa sebelum pelajaran di mulai 3. Guru mengecek kehadiran dan kesiapan siswa 4. Guru mengingatkan kembali tentang materi yang dipelajari

pada

pertemuan

sebelumnya

menyelidiki teorema faktor 5. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran Inti

(Mengekplorasi)

70 menit

1. Siswa dibagi menjadi delapan kelompok dengan nama kelompok masing-masing A, B, C, D, E, F, G atau H, dan masing-masing kelompok terdiri dari empat siswa. 2. Setiap siswa pada masing-masing kelompok berhitung dari angka 1-4. 3. Setiap kelompok dibagikan LKS 7 tentang operasi pembagian pada polinomial (Lampiran 7) 4. Siswa

berdiskusi

dalam

kelompok

untuk

menyelesaikan permasalahan pada LKS 5. Selama diskusi berlangsung guru memantau jalannya diskusi dan membimbing jika ada kelompok yang mengalami kesulitan. 6. Guru menunjuk siswa dengan no urut 3 pada kelompok A (siswa A3) untuk mempresentasikan hasil dikusi pada Aktivitas 1. Sehingga, untuk hasil diskusi Aktivitas 1 menjadi tanggung jawab semua siswa dengan nomor urut 3 pada setiap kelompok. 7. Begitu juga untuk Aktivitas 2 dan 3, guru menunjuk siswa dari nomor dan kelompok yang berbeda. 8. Guru memberikan kesempatan kepada siswa atau kelompok lain untuk bertanya atau menanggapi.

Penutup

1. Siswa menyimpulkan bagaimana menentukan 10 menit akar rasional dari persamaan polinomial dengan bimbingan guru. 2. Siswa diberikan kesempatan untuk bertanya jika masih belom paham terhadap materi yang dipelajari


Pertemuan IX Kegiatan Pendahuluan

Alokasi

Deskripsi

Waktu

1. Guru memberikan salam sebelum membuka 10 menit pelajaran 2. Salah satu siswa memimpin doa sebelum pelajaran di mulai 3. Guru mengecek kehadiran dan kesiapan siswa 4. Guru mengingatkan kembali tentang materi polinomial tentang akar rasional suatu persamaan polinomial 5. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran

Inti

(Mengeksplorasi) 1. Siswa

dibagi

70 menit menjadi

beberapa

kelompok,

masing-masing kelompok terdiri atas 4 siswa.

2. Setiap kelompok mencari tau tentang hubungan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan suku banyak

3. Setiap kelompok mencari 3 soal dan membuat pembahasan mengenai jumlah dan hasil kali akarakar persamaan suku banyak (Mengasosiasi) 4. Setiap kelompok menganalisis dan menyelesaikan soal yang dibuat dengan berdiskusi

5. Selama diskusi, guru memantau kegiatan dan peran aktif siswa dalam berdiskusi 6. Setelah semua kelompok selesai menyelesaikan permasalahan yang diberikan, masing-masing kelompok dibagi menjadi 2 untuk menjadi anggota tuan rumah dan anggota tamu. (Mengkomunikasi) 7. Hasil diskusi ditempat di tempat yang disediakan 8. 2 anggota tamu berkunjung ke kelompok lain untuk memperhatikan hasil diskusi kelompok lain dan diberikan kesempatan untuk bertanya dan menanggapi jika ada pendapat yang berbeda 9. Sedangkan dua anggota lain sebagai anggota tuan rumah tetap berada di kelompoknya untuk menunggu hasil diskusi kelompoknya jika ada anggota kelompok lain yang berkunjung dan menjawab

serta

menjelaskan

jika

anggota

tamunya bertanya atau menanggapi. 10. Setelah semua kelompok terkunjungi, semua anggota tamu kembali ke kelompoknya masingmasing. 11. Beberapa siswa menjelaskan hasil dari diskusi kelompok dan hasil kunjungannya ke kelompok lain 12. Guru meluruskan jika ada jawaban atau pendapat yang kurang tepat Penutup

1. Bersama guru, siswa menyimpulkan kegiatan 10 menit yang dilakukan selama pembelajaran 2. Siswa diberikan kesempatan untuk bertanya jika masih belom paham terhadap materi yang dipelajari

3. Guru menyampaikan bahwa pertemuan depan akan diadakan tes formatif materi polinomial 4. Guru memberikan salam.

Pertemuan X

Kegiatan Pendahuluan

Deskripsi

Alokasi Waktu

1. Guru memberikan salam sebelum membuka 10 menit pelajaran 2. Salah satu siswa memimpin doa sebelum pelajaran di mulai 3. Guru mengecek kehadiran dan kesiapan siswa 4. Guru mengingatkan kembali tentang materi polinomial secara keseluruhan dengan meminta beberapa siswa mengajukan pertanyaan dan siswa lainnya menjawab 5. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran

Inti

(Mengeksplorasi) 1. Siswa dibagi menjadi beberapa kelompok, masing-masing kelompok terdiri atas 4 siswa. 2. Setiap kelompok diberikan 3 permasalahan nyata yang berkaitan dengan polinomial (Mengasosiasi) 3. Setiap kelompok menganalisis dan menyelesaikan soal yang diberikan dengan berdiskusi 4. Selama diskusi, guru memantau kegiatan dan peran aktif siswa dalam berdiskusi 5. Setelah semua kelompok selesai menyelesaikan permasalahan yang diberikan, masing-masing

70 menit

kelompok dibagi menjadi 2 untuk menjadi anggota tuan rumah dan anggota tamu. (Mengkomunikasi) 6. Hasil diskusi ditempat di tempat yang disediakan 7. 2 anggota tamu berkunjung ke kelompok lain untuk memperhatikan hasil diskusi kelompok lain dan diberikan kesempatan untuk bertanya dan menanggapi jika ada pendapat yang berbeda 8. Sedangkan dua anggota lain sebagai anggota tuan rumah tetap berada di kelompoknya untuk menunggu hasil diskusi kelompoknya jika ada anggota kelompok lain yang berkunjung dan menjawab

serta

menjelaskan

jika

anggota

tamunya bertanya atau menanggapi. 9. Setelah semua kelompok terkunjungi, semua anggota tamu kembali ke kelompoknya masingmasing. 10. Beberapa siswa menjelaskan hasil dari diskusi kelompok dan hasil kunjungannya ke kelompok lain 11. Guru meluruskan jika ada jawaban atau pendapat yang kurang tepat Penutup

1. Bersama guru, siswa menyimpulkan kegiatan 10 menit yang dilakukan selama pembelajaran 2. Siswa diberikan kesempatan untuk bertanya jika masih belom paham terhadap materi yang dipelajari 3. Guru menyampaikan bahwa pertemuan depan akan diadakan tes formatif materi polinomial 4. Guru memberikan salam.

F. Alat dan Sumber Belajar 1. Media Papan tulis, LCD Proyektor, spidol, dan penghapus 2. Sumber Belajar -

Sukino.2013.Matematika kelompok peminatan.Jakarta : Erlangga

-

Lembar Kegiatan Siswa (LKS) (terlampir)

-

Sumber belajar lain yang relevan

G. Penilaian Proses dan Hasil Belajar 1. Penilaian aspek pengetahuan (terlampir) Teknik penilaian

:

tes

Bentuk instrumen

:

soal uraian

2. Penilaian aspek keterampilan (terlampir) Teknik penilaian

:

tes

Bentuk instrumen

:

soal uraian

Mengetahui,

Yogyakarta, 25 Juli 2016

Guru mata pelajaran,

Mahasiswa

Ismalia Tri Ratnawati, S.Pd

Fabri Hidayatullah

NIP 19640423 200012 2 002

NIM 13301241074

Lampiran 1

PENILAIAN ASPEK PENGETAHUAN

LEMBAR PENILAIAN ASPEK PENGETAHUAN

Sekolah

:

SMA Negeri 2 Yogyakarta

Mata Pelajaran

:

Matematika (Peminatan)

Kelas

:

XI

Materi Pokok

:

Polinomial

Alokasi Waktu

:

1 x 2 jam pelajaran

Indikator Pencapaian Kompetensi Mengidentifikasi umum

polinomial

Teknik

Bentuk

Instrumen

Penilaian Instrumen bentuk

Tes

dan

Soal Uraian

unsur-unsurnya

Sebutkan nama variabel, derajat, dan koefisien-koefisien

dari

tiap-tiap

suku pada polinomial berikut: a. 2𝑡 3 − 5𝑡 2 + 4𝑡 − 7 b. 2 − 3𝑥 + 6𝑥 2 + 3𝑥 4

Menentukan nilai

Tes

polinomial

Soal Uraian

Jika

𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 − 3𝑥 3 + 𝑥 2 −

𝑚𝑥 − 13 dan 𝑓(−1) = −4, maka tentukan nilai dari 𝑓(2) − 2𝑓(1)!

Menganalisis sifat operasi penjumlahan dan

Tes

Soal

Diketahui polinomial 𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 −

Uraian

2𝑥 2 + 5𝑥 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 +

pengurangan pada

5.

polinomial

tentukan:

Jika

ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 2𝑔(𝑥),

a. ℎ(𝑥) b. ℎ(3) − ℎ(−1)

Menerapkan teorema sisa

Tes

dan teorema faktor dalam menyelesaikan

Soal

Jika 𝑓(𝑥)dibagi oleh 𝑥 2 − 2𝑥 dan

Uraian

𝑥 2 − 3𝑥 masing-masing mempunyai

masalah

sisa −2𝑥 + 1 dan 5𝑥 − 2, maka

matematika

tentukan sisa pembagian 𝑓(𝑥) oleh 𝑥 2 − 5𝑥 + 6! Diketahui (𝑥 + 1) merupakan faktor dari polinomial 𝑝(𝑥) = 2𝑥 3 − 5𝑥 2 − 𝑐𝑥 + 3. Tentukan: a. Nilai c b. Faktor linear yang lain

Mercancang model

Tes

matematika dari

Soal

Selembar karton berbentuk persegi

Uraian

panjang berukuran 24cm × 16cm.

permasalahan nyata

Keempat

polinomial

berbentuk persegi dengan sisi 𝑥 cm kemudian

Menerapkan polinomial menyelesaikan

masalah serta

pojoknya

melipatnya

dipotong

untuk

membuat sebuah kotak terbuka. 𝑉(𝑥)menyatakan

a. Jika volume

kotak,

maka

tentukan rumus untuk 𝑉(𝑥) b. Jika kotak

diinginkan adalah

volume 512 cm3 ,

tentukan nilai 𝑥 yang bulat

KUNCI JAWABAN DAN PEDOMAN PENSKORAN

Rubrik No. 1.

Kunci Jawaban

Penilaian

Sebutkan nama variabel, derajat, dan koefisien-koefisien dari tiap-tiap suku pada polinomial berikut: a. 2𝑡 3 − 5𝑡 2 + 4𝑡 − 7 b. 2 − 3𝑥 + 6𝑥 2 + 3𝑥 4 Jawab: a. Variabel = t Derajat = 3 Koefisien 𝑡 3 =2

5

2

Koefisien 𝑡 = -5 Koefisien 𝑡 = 4 Konstanta = -7 b. Variabel = 𝑥 Derajat = 4 Koefisien 𝑥 4 = 3

5

2

Koefisien 𝑥 = 6 Koefisien 𝑥 = -3 10

Konstanta = 2 2.

Jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 − 3𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑚𝑥 − 13 dan 𝑓(−1) = −4, maka tentukan nilai dari 𝑓(2) − 2𝑓(1)! Jawab: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 − 3𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑚𝑥 − 13 𝑓(−1) = 2(−1)4 − 3(−1)3 + (−1)2 − 𝑚(−1) − 13

3

−4 = 2(1) − 3(−1) + (1) − 𝑚(−1) − 13 −4 = 2 + 3 + 1 + 𝑚 − 13 −4 = 𝑚 − 7 Jadi,

3

⇒ 𝑚 = 7−4= 3 13

𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 − 3𝑥 3 + 𝑥 2 − 3𝑥 − 13 𝑓(2) = 2(2)4 − 3(2)3 + (2)2 − 3(2) − 13 3

𝑓(2) = 2(16) − 3(8) + (4) − 3(2) − 13 𝑓(2) = 32 − 24 + 4 − 6 − 13 𝑓(2) = −7 𝑓(1) = 2(1)4 − 3(1)3 + (1)2 − 3(1) − 13 𝑓(1) = 2(1) − 3(1) + (1) − 3(1) − 13 𝑓(1) = 2 − 3 + 1 − 3 − 13

3

𝑓(1) = −16

Jadi, 𝑓(2) − 2𝑓(1) = −7 − 2(−16) 𝑓(2) − 2𝑓(1) = −7 + 32

2

𝑓(2) − 2𝑓(1) = −25

3.

Diketahui polinomial 𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5𝑥 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5. Jika ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 2𝑔(𝑥), tentukan: a. ℎ(𝑥) b. ℎ(3) − ℎ(−1) Jawab: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5 a. ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 2𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) = (3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5𝑥) − 2(𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5) ℎ(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5𝑥 − 2𝑥 3 + 2𝑥 2 − 5

5

ℎ(𝑥) = 𝑥 3 + 5𝑥 − 5 Jadi, ℎ(𝑥) = 𝑥 3 + 5𝑥 − 5 b. ℎ(𝑥) = 𝑥 3 + 5𝑥 − 5 ℎ(3) = 33 + 5(3) − 5 = 27 + 15 − 5 = 37

12 5

ℎ(−1) = (−1)3 + 5(−1) − 5 = −1 − 5 − 5 = −11 Maka, ℎ(3) − ℎ(−1) = 37 − (−11) = 37 + 11 = 48

4.

2

Jika 𝑓(𝑥)dibagi oleh 𝑥 2 − 2𝑥 dan 𝑥 2 − 3𝑥 masing-masing mempunyai sisa −2𝑥 + 1 dan 5𝑥 − 2, maka tentukan sisa pembagian 𝑓(𝑥) oleh 𝑥 2 − 5𝑥 + 6! Jawab: 𝑓(𝑥)dibagi oleh 𝑥 2 − 2𝑥 = 𝑥(𝑥 − 2) sisa −2𝑥 + 1, artinya 𝑓(0) = −2(0) + 1 = 1

3

𝑓(2) = −2(2) + 1 = −3 𝑓(𝑥)dibagi oleh 𝑥 2 − 3𝑥 = 𝑥(𝑥 − 3) sisa 5𝑥 − 2, artinya 𝑓(0) = 5(0) − 2 = −2

3

𝑓(3) = 5(3) − 2 = 13 𝑓(𝑥) dibagi oleh 𝑥 2 − 5𝑥 + 6, karena pembaginya berderajad 2 maka hasilnya berderajad 2 misalnya 𝑠(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Sehingga 𝑓(𝑥) oleh 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) sisanya 𝑠(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, artinya: 𝑓(2) = 2𝑎 + 𝑏 = −3

5

𝑓(3) = 3𝑎 + 𝑏 = 13 Dengan eliminasi dan substitusi, di dapat 𝑎 = 16 dan 𝑏 = −35 Jadi, sisa pembagian 𝑓(𝑥) oleh 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 adalah 16𝑥 − 35

2

13 5.

Diketahui (𝑥 + 1) merupakan faktor dari polinomial 𝑝(𝑥) = 2𝑥 3 − 5𝑥 2 − 𝑐𝑥 + 3. Tentukan: a. Nilai c b. Faktor linear yang lain Jawab:

12

a. (𝑥 + 1) merupakan faktor dari 𝑝(𝑥) = 2𝑥 3 − 5𝑥 2 − 𝑐𝑥 + 3, artinya 𝑝(−1) = 0 𝑝(−1) = 2(−1)3 − 5(−1)2 − 𝑐(−1) + 3 = 0 𝑝(−1)

=

−2 − 5 + 𝑐 + 3 = 0

𝑝(−1)

=

𝑐=4

5

b. 𝑝(𝑥) = 2𝑥 3 − 5𝑥 2 − 4𝑥 + 3

-1

2

-5 -2

-4 7

3 -3 +

3

2

-7 6

3 -3

2 -1 Diperoleh bahwa

0

5

0 +

2𝑥 3 − 5𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 3)(2𝑥 − 1)

2

Jadi, faktor linear lainnya adalah (𝑥 − 3) dan (2𝑥 − 1) Total Skor Maksimal

Nilai Pengetahuan =

𝟐×𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐬𝐤𝐨𝐫 𝟏𝟐

60

PENILAIAN ASPEK KETRAMPILAN

LEMBAR PENILAIAN ASPEK KETRAMPILAN

Sekolah

:

SMA Negeri 2 Yogyakarta

Mata Pelajaran

:

Matematika (Peminatan)

Kelas

:

XI

Materi Pokok

:

Polinomial

Alokasi Waktu

:

2 x 2 jam pelajaran

Keterampilam yang dikembangkan meliputi indikator-indikator sebagai berikut: Pertemuan ke-10 a. Merancang model matematika dari permasalahan nyata b. Menerapkan sifat-sifat operasi polinomial dalam menyelesaikan permasalahan nyata c. Menyelesaikan permasalahan nyata dengan tepat

Indikator perkembangan KETERAMPILAN Pertemuan ke-10 1. Kurang terampil jika tidak dapat dapat merancang model matematika dari permasalahan nyata yang diberikan, menerapakan sifat operasi polinomial dan menyelesaikan masalah tersebut dengan tepat. 2. Baik jika dapat dapat merancang model matematika dari permasalahan nyata yang diberikan, menerapakan sifat operasi polinomial tetapi tidak dapat menyelesaikan masalah tersebut dengan tepat 3. Sangat baik jika dapat dapat merancang model matematika dari permasalahan nyata yang diberikan, menerapakan sifat operasi polinomial dan menyelesaikan masalah tersebut dengan tepat.

Bubuhkan tanda √ pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan. No.

Nama Siswa

Keterampilan KB

B

SB

KUNCI JAWABAN SOAL KETERAMPILAN (LKS 8)

Penyelesaian Masalah 1 Selembar karton berbentuk persegi panjang berukuran 22cm × 18cm. Keempat pojoknya dipotong berbentuk persegi dengan sisi 𝑥 cm kemudian melipatnya untuk membuat sebuah kotak terbuka. c. Jika 𝑉(𝑥)menyatakan volume kotak, maka tentukan rumus untuk 𝑉(𝑥) d. Jika diinginkan volume kotak adalah 576 cm3 , tentukan nilai 𝑥 yang bulat

Ilustrasi:

22 cm 𝑥 cm 𝑥 cm

18 cm

a. Diketahui :

Panjang kotak : (22 − 2𝑥) cm Lebar kotak

: (18 − 2𝑥) cm

Tinggi kotak : 𝑥 cm Maka, volume kotak 𝑉(𝑥) adalah volume kotak 𝑉(𝑥) = panjang × lebar × tinggi volume kotak 𝑉(𝑥) = (22 − 2𝑥) × (18 − 2𝑥) × 𝑥 volume kotak 𝑉(𝑥) = (22 − 2𝑥)(18 − 2𝑥)𝑥 volume kotak 𝑉(𝑥) = 4𝑥 3 − 80𝑥 2 + 396𝑥 Jadi, rumus untuk volume kotak yang dinyatakan dengan 𝑉(𝑥) adalah 𝑉(𝑥) = 4𝑥 3 − 80𝑥 2 + 396𝑥

b. Jika diinginkan volume kotak 576 cm3 , maka 576 = 4𝑥 3 − 80𝑥 2 + 396𝑥

0 = 4𝑥 3 − 80𝑥 2 + 384𝑥 − 396 Dengan menggunakan teorema faktor di dapat 𝑥 = 3 cm

Penyelesaian Masalah 2 Energi kinetik (𝐸𝑘 ) dari suatu benda yang bergerak, dengan massa 𝑚 dan kecepatan dirumuskan sebagai: 1 𝐸𝑘 = 𝑚𝑣 2 2 Kecepatan 𝑣̅ dari sebuah prototipe roket saat waktu 𝑡 menit dirumuskan 𝑣̅ = 𝑡 + 2. Massa roket tersebut menjadi berkurang bersamaan dengan bahan bakar mulai terbakar. Jika 𝑚 = 12 − 0,1𝑡, tentukan a. Energi kinetik roket dalam bentuk 𝑡 b. Energi kinetik roket dalam waktu 4 menit

Jawaban: a. Energi kinetik roket dalam bentuk 𝑡 1 2

𝐸𝑘 = 𝑚𝑣 2 dengan 𝑣̅ = 𝑡 + 2 dan 𝑚 = 12 − 0,1𝑡 Maka: 1 𝐸𝑘 = (12 − 0,1𝑡)(𝑡 + 2)2 2 1 𝐸𝑘 = (12 − 0,1𝑡)(𝑡 2 + 4𝑡 + 4) 2 1 𝐸𝑘 = (12𝑡 2 + 48𝑡 + 48 − 0,1𝑡 3 − 0,1𝑡 2 − 0,4𝑡) 2 1 𝐸𝑘 = (−0,1𝑡 3 + 11,09𝑡 2 + 47,06𝑡 + 48) 2 b. Energi kinetik roket dalam waktu 4 menit 1 𝐸𝑘 = (−0,1(4)3 + 11,09(4)2 + 47,06(4) + 48) 2 1 𝐸𝑘 = (−6,4 + 177,44 + 188,24 + 48) 2 1 𝐸𝑘 = (407,28) 2 𝐸𝑘 = 203,64

Lampiran 2 1. Pengertian Polinomial Bentuk umum polinomial: 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎0 𝑥 0 𝑎𝑛 ≠ 0, 𝑛 ∈ bilangan cacah Keterangan: 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛−2 , … , 𝑎0

= koefisien polinomial

𝑎𝑛 = koefisien utama 𝑎0 = koefisien tetap (konstanta) 𝑛 = derajat polinomial Suatu polinomial dapat dipandang sebagai fungsi dari x: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎0 𝑥 0 2. Menentukan nilai polinomial 𝒇(𝒙) untuk 𝒙 = 𝒌 a. Metode Substitusi Misal 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 maka nilai 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 = 𝑘 adalah 𝑓(𝑘) = 𝑎𝑘 3 + 𝑏𝑘 2 + 𝑐𝑘 + 𝑑 b. Metode Pembagian Sintetik (Horner) Langkah-langkah menentukan nilai polinomial 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 = 𝑘 adalah -

Tuliskan semua koefisien dari 𝑥 pangkat tertinggi sampai 𝑥 pangkat terendah

-

Tuliskan 𝑘 pada baris pertama di sebelah kiri sis tegak

-

Tuliskan koefisien utama di bawah garis mandatar, kemudian kalikan berturut-turut dengan 𝑘

𝑘

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

𝑎𝑘

𝑎𝑘 2 + 𝑏𝑘

𝑎𝑘 3 + 𝑏𝑘 2 + 𝑐𝑘

𝑎𝑘 + 𝑏

𝑎𝑘 2 + 𝑏𝑘 + 𝑐 𝑎𝑘 3 + 𝑏𝑘 2 + 𝑐𝑘 + 𝑑

+ 𝑎

3. Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Polinomial Misal: 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) merupakan suatu polinomial yang berderajat 𝑚 dan 𝑛, maka:  𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) merupakan bentuk polinomial berderajat maksimum 𝑚 atau 𝑛 Suku-suku pada 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dapat dijumlahkan atau ditambahkan untuk suku-suku yang berderajat sama.

 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) merupakan bentuk polinomial berderajat maksimum (𝑚 + 𝑛)

4.

Pembagian Polinomial Ada tiga cara melakukan pembagian bentuk polinomial: a. Identitas Pembagian Polinomial yang dibagi = pembagi × hasil bagi + sisa hasil bagi 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥). 𝐻(𝑥) + 𝑆(𝑥) Misal : derajat 𝐹(𝑥) = 𝑛 }𝑛 > 𝑚 derajat 𝑃(𝑥) = 𝑚 Maka: derajat 𝐻(𝑥) = 𝑛 − 𝑚 derajat 𝑆(𝑥) maks (𝑚 − 1) b.

Cara Bersusun/pistol 𝐻(𝑥) 𝑃(𝑥)

𝐹(𝑥) ⋮ 𝑆(𝑥)

c. Cara Horner a. Pembagian polinomial oleh (𝑥 − 𝑘) b. Pembagian polinomial oleh (𝑎𝑥 − 𝑘) c. Pembagian polinomial oleh (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) dengan 𝑎 ≠ 0 Pembagian polinomial oleh

(𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) dapat menggunakan horner

untuk pembagi yang dapat difaktorkan, sedangkan untuk pembagi yang tidak dapat difaktorkan dapat menggunakan identitas pembagian atau cara bersusun/pistol

d. Teorema Sisa -

Jika suatu polinomial 𝐹(𝑥) berderajat 𝑛 dibagi 𝑥 − 𝑘, maka sisanya 𝐹(𝑘)

-

Jika suatu polinomial 𝐹(𝑥) berderajat 𝑛 dibagi 𝑎𝑥 + 𝑏, maka sisanya 𝑏

𝐹 (− 𝑎)

-

Jika pembagi 𝐺(𝑥) dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor linear (𝑥 − 𝑐)(𝑥 − 𝑑), sisa pembagian polinomial 𝐹(𝑥) oleh(𝑥 − 𝑐)(𝑥 − 𝑑) adalah 𝑆(𝑥) = 𝑝𝑥 + 𝑞 dengan 𝑝 =

𝐹(𝑐)−𝐹(𝑑) 𝑐−𝑑

dan 𝑞 =

𝑐𝐹(𝑑)−𝑑𝐹(𝑐) 𝑐−𝑑

atau 𝑆(𝑥) =

𝑥−𝑑 𝑥−𝑐 . 𝐹(𝑐) + . 𝐹(𝑑) 𝑐−𝑑 𝑑−𝑐

e. Teorema Faktor Misalkan 𝐹(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎0 𝑥 0 -

(𝑥 − 𝑘) merupakan faktor dari 𝐹(𝑥) jika dan hanya jika 𝐹(𝑘) = 0 dan 𝑎

(𝑎𝑥 + 𝑏) merupakan faktor dari 𝐹(𝑥) jika dan hanya jika 𝐹 (− ) = 0 𝑏

LEMBAR KEGIATAN SISWA I

Kelompok Anggota

: ……………................ :

1. .................................................... 2. ....................................................

Pada lembar kegiatan ini, kalian akan belajar untuk:

3. .................................................... 4. ....................................................

1. Menentukan nilai polinomial dengan metode substitusi 2. Menentukan nilai polinomial dengan metode Horner

MASALAH 1

Temperatur 𝑇 elektrokimia

dalam ℃ dari suatu reaksi

dinyatakan

sebagai C:\Documents 𝑇(𝑡) = 𝑡 3 − and Settings\noka\Desktop\kimia.jpg

7𝑡 2 + 10𝑡 + 8 dengan 𝑡 adalah waktu dalam menit. Tentukan temperaturnya ketika reaksi tersebut berangsung selama 2 menit!

Tuliskan apa yang kalian pikirkan tentang permasalahan tersebut di atas

Sebutkan cara yang bisa kalian gunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut di atas!

Aktivitas 1 Untuk menentukan nilai suatu polinomial, ingat kembali bagaimana menentukan nilai fungsi dengan mengerjakan soal-soal berikut berikut: 1. Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3, maka 𝑓(𝑎) = ⋯ 𝑓(2) = ⋯ 𝑓(−2) = ⋯ 2. Jika diketahui 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 3, maka 𝑔(𝑎) = ⋯ 𝑔(2) = ⋯ 𝑔(−2) = ⋯ 3. Jika diketahui ℎ(𝑥) = −2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 13, maka 𝑔(𝑎) = ⋯ 𝑔(2) = ⋯ 𝑔(−2) = ⋯ 4. Jika diketahui 𝑓(𝑥) = −5𝑥 4 + 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5𝑥 − 1, tentukan 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 = 2 𝑓(… ) =…………………………………………….. 5. Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 4𝑥 5 − 3𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5𝑥 − 9, tentukan 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 = 2 𝑓(… ) =…………………………………………….

Dari aktivitas 1 yang sudah kalian kerjakan, bisakah kalian menyelesaikan permasalahan pada masalah 1? Tuliskan strategi penyelesaiannya dan tentukan hasilnya!

Kegiatan yang kalian lakukan pada Aktivitas 1 merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menetukan nilai dari suatu polinomial, yaitu metode substitusi. Ada dua metode dalam menentukan nilai polinomial, yaitu metode Subtitusi dan metode Horner.

Untuk menetukan nilai polinomial dengan metode Horner, ikuti kegiatan pada Aktivitas 2!

Aktivitas 2 1. Menentukan nilai fungsi polinomial 𝒇(𝒙) = −𝟓𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏 untuk 𝒙=𝟐

Dari fungsi polinomial tersebut, didapat informasi sebagai berikut: 𝑓(𝑥) merupakan fungsi polinomial berderajat ………… dengan masing-masing koefisien suku-sukunya adalah: …….. = koefisien 𝑥 4 …….. = koefisien 𝑥 3 …….. = koefisien 𝑥 2 …….. = koefisien 𝑥 …….. = konstanta  Tuliskan semua koefisien dari suku pangkat tertinggi sampai suku pangkat terendah pada baris teratas dari kiri ke kanan pada bagan di bawah ini …..

…...

…...

…..

……

…..

…..

…..

……

…..

…..

…..

……

…..

…..

+

 Tuliskan nilai 𝑥 pada baris pertama di sebelah kiri sisi tegak …..

…...

…..

……

…..

…..

…..

……

…..

….. +

…...

…..

……

…..

…..

 Tuliskan koefisien utama (koefisien dari suku pangkat tertinggi) di bawah garis mendatar di paling kiri sejajar. Kemudian kalikan berturut-turut dengan nilai 𝑥 …..

…...

…..

……

…..

…..

…..

……

…..

….. +

…...

…..

……

…..

…..

Nilai Polinomial

𝑓(𝑥)untuk x=2 2. Menentukan nilai fungsi polinomial 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟓 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟗 untuk 𝒙=𝟐 Dari fungsi polinomial tersebut, di dapat informasi sebagai berikut: 𝑓(𝑥) merupakan fungsi polinomial berderajat ………… dengan masing-masing koefisien suku-sukunya adalah: …….. = koefisien 𝑥 5 …….. = koefisien 𝑥 3 …….. = koefisien 𝑥 2 …….. = koefisien 𝑥 …….. = konstanta

 Tuliskan semua koefisien dari suku pangkat tertinggi sampai suku pangkat terendah pada baris teratas dari kiri ke kanan pada bagan di bawah ini …..

…...

…..

……

…..

…..

…...

…..

……

…..

…..

….. +

…...

…..

……

…..

…..

……

 Tuliskan nilai 𝑥 pada baris pertama di sebelah kiri sisi tegak …..

…...

…..

……

…..

…..

…...

…..

……

…..

…..

….. +

…...

…..

……

…..

…..

……

 Tuliskan koefisien utama (koefisien dari suku pangkat tertinggi) di bawah garis mendatar di paling kiri sejajar. Kemudian kalikan berturut-turut dengan nilai 𝑥 …..

…...

…..

……

…..

…..

…...

…..

……

…..

…..

….. +

…...

…..

……

…..

 Didapat nilai polinomial 𝒇(𝒙) untuk 𝑥 = 2 adalah……

…..

……

Dari Aktivitas 1 dan Aktivitas 2, apa yang bisa kalian simpulkan? Adakah hubungan hasil perhitungan nilai polinomial pada Aktivitas 1 nomor 4 dengan Aktivitas 2 nomor 1 dan Aktivitas 1 nomor 5 dengan Aktivitas 2 nomor 2. Jelaskan menurut pengamatanmu!

Dari kegiatan dan pengamatan yang kalian lakukan, apa yang dapat kalian simpulkan? Jelaskan!

Kembali ke Masalah 1, tentukan temperaturnya ketika reaksi tersebut berangsung seama 2 menit!

 Kerjakan soal-soal pada Aktivitas 3 ini secara mandiri sebagai tugas individu  Kerjakan di buku tugas masing-masing  Jika sudah seleasi, kumpulkan pekerjaan kalian secara kolektif dengan kelompok masing-masing

SOAL 1. Tentukan nilai polinomial berikut untuk yang disebutkan dengan menggunakan

metode Substitusi dan Horner: a.

𝑓(𝑥) = 3𝑥 5 − 2𝑥 4 + 2𝑥 2 + 2𝑥 + 4 untuk 𝑥 = −2

b. 𝑔(𝑥) = 2𝑥 4 − 5𝑥 3 + 2𝑥 2 + 7 untuk 𝑥 = 3 2

c. ℎ(𝑥) = 6𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 + 7 untuk 𝑥 = 3 2. Diketahui polinomial f(x) = x 4 + 2x 3 − 3x 2 + mx + 8. Jika f(−3) = 5, tentukan: a. Nilai m b. Nilai f(−1) + 3f(1) 3. Buatlah satu bentuk polinomial dan tentukan nilainya (dengan menentukan nilai tertentu) menggunakan metode subtitusi dan horner. Bandingkan hasil keduanya!

LEMBAR KEGIATAN SISWA 2

Kelompok Anggota

: ……………................ :

1. .................................................... 2. .................................................... Pada lembar kegiatan ini, kalian akan belajar untuk:

3. .................................................... 1. Menggunakan sifat operasi penjumlahan pada polinomial 4. .................................................... 2. Menggunakan sifat operasi pengurangan pada polinomial 3. Menentukan derajat polinomial hasil operasi penjumlahan pada polinomial 4. Menentukan derajat polinomial hasil operasi pengurangan pada polinomial 5. Menyelesaikan soal yang berkaitan dengan sifat operasi penjumlahan dan pengurangan polinomial

“Sifat Operasi Penjumlahan pada Polinomial” MASALAH 1 Perhatikan berbagai bentuk aljabar berikut: a. 2𝑎 + 9 b. 3𝑎 + 9 + 3𝑎 + 3 c. 2𝑥 2 + 3𝑥 + 3𝑥 2 + 3 d. 2𝑥 2 + 3𝑥 + 32 + 3 Menurut kalian, apa yang harus dilakukan untuk menyederhanakan aljabar tersebut?

Coba kalian tulis hasil penyederhanaan aljabar dari masalah 1 tersebut!

Setelah mengetahui cara menjumlahkan bentuk aljabar tersebut, coba kalian tuliskan bagaimana menjumlahkan bentuk polinomial? Adakah perbedaaan penjumlahan bentuk aljabar pada Masalah 1 dengan penjumlahan pada bentuk polinomial?

Coba sederhanakan bentuk polinomial berikut dengan mnenggunakan sifat operasi penjumlahan seperti yang kalian jelaskan sebelumnya a. 4𝑥 5 + 6𝑥 4 + 5 + 3𝑥 4 + 5𝑥 5 + 13 b. 2𝑥 5 + 6𝑥 4 + 5 + 3𝑥 4 + 5𝑥 5 + 13 + 3𝑥 5 + 4 c. 2𝑥 4 + 6𝑥 3 + 5 + 3𝑥 4 + 10𝑥 5 + 13 + 2𝑥 5 + 6𝑥 4 + 5 + 34 + 5𝑥 5 + 13

 Tukarkan hasil diskusi kelompok kalian dengan kelompok yang lain.  Koreksi hasil pekerjaan kelompok teman kalian  Berikan tanggapan jika ada hasil yang kurang tepat pada tempat yang disediakan, tuliskan nama anggota kelompok korektor.  Kembalikan hasil koreksi kalian kepada kelompoknya

KOMENTAR KELOMPOK LAIN:

KElOMPOK KOREKTOR: a…………………………………… b. …………………………………. c…………………………………… d……………………………………

Setelah melakukan Aktivitas 1 dan menyelesaikan beberapa permasalahan yang berkaitan dengan sifat operasi penjumlahan, serta mendapatkan tanggapan dari kelompok lain, coba tuliskan kesimpulan yang kalian peroleh tentang sifat operasi penjumlahan.

“Sifat Operasi Pengurangan pada Polinomial” MASALAH 2 Perhatikan berbagai bentuk aljabar berikut: a. 2𝑎 − 9 b. 3𝑎 − 7 − 4𝑎 − 3 c. 2𝑡 2 − 4𝑡 − 3𝑡 2 − 9𝑡 − 7 d. 82 − 3𝑥 − 2𝑥 2 − 3𝑥

Menurut kalian, apa yang harus dilakukan untuk menyederhanakan bentuk aljabar tersebut? Adakah persamaan dengan sifat operasi penjumlahan aljabar?

Coba kalian tulis hasil penyederhanaan aljabar dari Masalah 2 tersebut!

Setelah mengetahui cara mengurangkan bentuk aljabar tersebut, coba kalian tuliskan bagaimana mengurangkan bentuk polinomial? Adakah perbedaaan pengurangan bentuk aljabar pada Masalah 2 dengan pengurangan pada bentuk polinomial? Bagaimana kaitan sifat operasi penjumlahan pada polinomial yang sudah kalian temukan pada Aktivitas 1 dengan pengurangan pada polinomial?

Coba sederhanakan bentuk polinomial berikut dengan mnenggunakan sifat operasi pengurangan seperti yang kalian jelaskan sebelumnya a. 4𝑥 3 − 6𝑥 4 − 5 − 3𝑥 3 − 5𝑥 5 − 3 b. −2𝑥 3 − 6𝑥 4 − 5 − 3𝑥 4 − 7𝑥 3 − 9 − 3𝑥 5 − 4 c. 24 − 6𝑥 3 − 5 − 3𝑥 4 − 10𝑥 2 − 13 − 2𝑥 4 − 6𝑥 3 − 5 − 34 − 5𝑥 5 − 11

 Tukarkan hasil diskusi kelompok kalian dengan kelompok yang lain.  Koreksi hasil pekerjaan kelompok teman kalian  Berikan tanggapan jika ada hasil yang kurang tepat pada tempat yang disediakan, tuliskan nama anggota kelompok korektor.  Kembalikan hasil koreksi kalian kepada kelompoknya

KOMENTAR KELOMPOK LAIN:

KElOMPOK KOREKTOR: a…………………………………… b. …………………………………. c…………………………………… d…………………………………… Setelah melakukan Aktivitas 2 dan menyelesaikan beberapa permasalahan yang berkaitan dengan sifat operasi pengurangan pada polinomial, serta mendapatkan tanggapan dari kelompok lain, coba tuliskan kesimpulan yang kalian peroleh tentang sifat operasi Pengurangan.

Dari kegiatan yang sudah kalian lakukan, maka dapat disimpullkan bahwa

Pada polinomial, suku-suku yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan adalah suku-suku yang memiliki……………………………….. atau sukusuku yang …………….

“Menentukan Derajat Polinomial Hasil Operasi Penjumlahan dan Pengurangan” Menurut kalian, bagaimana derajat polinomial hasil dari operasi penjumlahan polinomial? Jelaskan dan berikan 2 operasi penjumlahan polinomial serta selidiki derajatnya!

Bagaimana pula dengan derajat polinomial hasil dari operasi pengurangan polinomial? Jelaskan dan berikan 2 operasi pengurangan polinomial serta selidiki derajatnya!

Jadi, dari Aktivitas 3 yang sudah kalian kerjakan dapat disimpulkan bahwa:

Jika diketahui polinomial 𝒇(𝒙) berderajat m dan 𝒈(𝒙) berderajat n dengan m>n, maka o 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) berderajat ………… o

𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) berderajat …………


SOAL 1. Diketahui polinomial 𝑓(𝑥) = 4𝑥 4 − 2𝑥 3 + 5𝑥 − 10 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 4𝑥 + 12, tentukan: a.

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

b. 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) c. Derajat 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) dan (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 2. Diketahui polinomial 𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 − 2𝑥 3 + 5𝑥 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 + 8. Jika ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 2𝑔(𝑥), tentukan; a. Polinomial ℎ(𝑥) b. Derajat polinomial 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), dan ℎ(𝑥) c. Koefisien 𝑥 3 dari polinomial ℎ(𝑥)


Kelompok Anggota

: ……………................ :

1. .................................................... 2. .................................................... Pada lembar kegiatan ini, kalian akan belajar untuk: 1. Mengenal sifat operasi perkalian polinomial

3. .................................................... 4. ....................................................

2. Menentukan derajat hasil operasi perkalian polinomial 3. Menggunakan sifat operasi perkalian polinomial

“Sifat Operasi Perkalian pada Polinomial” Untuk memahami sifat operasi perkalian pada polinomial, coba cari solusi dari beberapa contoh berikut: a. 2 × 1 =…. b. 2 × (1 + 3) = (… × … ) + (… × … ) = ⋯ + ⋯ = ⋯ Atau Karena 1 dan 3 sejenis yaitu sama-sama konstanta maka (1 + 3) boleh dijumlahkan, sehingga 2 × (1 + 3) = ⋯ × … = ⋯

c. 2 × (𝑥 + 1) Apakah 𝑥 dan 1 merupakan suku sejenis?....................... Maka, kedua suku tersebut ……………. Dijumlahkan Sehingga, dengan menggunakan sifat distributif maka 2 × (𝑥 + 1) = (… × … ) + (… × … ) = ⋯ + ⋯ = ⋯ d. 𝑥 2 × (𝑥 4 − 64) = ⋯

e. (2𝑥 2 + 8) × (𝑥 4 − 2) = ⋯

“Menentukan Derajat Polinomial Hasil Operasi Perkalian Polinomial”

Coba ingat kembali tentang derajat polinomial hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada polinomial Jika diketahui polinomial 𝒇(𝒙) berderajat m dan 𝒈(𝒙) berderajat n dengan m>n, maka o 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) berderajat ………… o

𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) berderajat …………

Bagaimana dengan derajat polinomial hasil operasi perkalian pada poliomial? Tuliskan pendapat sementara kalian!

Untuk menentukan derajat polinomial dari operasi perkalian polinomial, kerjakan soal-soal berikut dan analisis derajat masing-masing polinomial!

Tentukan perkalian dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) jika diketahui 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sebagai berikut: a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 dan 𝑔(𝑥) = 5 b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 dan 𝑔(𝑥) = 3𝑥 3 − 1 c. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 4 dan 𝑔(𝑥) = −2𝑥 3 − 1 d. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 𝑥 + 4 dan 𝑔(𝑥) = −2𝑥 5 + 2𝑥 2 + 5 Jawab: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

1.

Dari hasil operasi polinomial tersebut, perhatikan derajat dari masing-masing polinomial dan hubungannya dengan derajat hasil perkaliannya. Sajikan dalam tabel berikut: Derajat Polinomial

No.

𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙)

𝒇(𝒙) × 𝒈(𝒙)

a.

…………..

…………..

…………..=………

b.

…………..

…………..

…………..=………

c.

…………..

…………..

…………..=………

d.

…………..

…………..

…………..=………

n

…………..=………

𝑚

e.

Dapatkah kalian menyimpulkan derajat hasil operasi perkalian polinomial? Tuliskan kesimpulan yang kalian temukan! Jika diketahui polinomial 𝒇(𝒙) berderajat m dan 𝒈(𝒙) berderajat n, maka 𝒇(𝒙) × 𝒈(𝒙) berderajat …………


1. Diketahui polinomial 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sebagai berikut. Tentukan hasil dari 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) dari polinomial yang diketahui: a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 4 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 + 2 b. 𝑓(𝑥) = −2𝑥 3 + −4 dan 𝑔(𝑥) = 3𝑥 5 − 2𝑥 2 + 2𝑥 2. Tanpa menjabarkan operasi perkalian polinomial berikut, tentukan derajat hasil perkalian polinomialnya: a. (4 − 3𝑥)(2𝑥 + 3)2 b. (5𝑥 3 + 4𝑥 − 3)2 c. (1 − 3𝑥)(2𝑥 2 + 4)(𝑥 3 − 5)

“Pembagian Polinomial dengan Metode Bersusun atau Pistol” memperhatikan kaidah penjumlahan dan pengurangan pada polinomial bahwa suku-suku yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan adalah suku-suku yang…………. , tentukan hasil dan sisa bagi dari pembagian polinomial berikut!

a. Pembagian 3𝑥 3 + 8𝑥 2 − 2𝑥 + 1 oleh 𝑥 + 2 3𝑥 3 + 8𝑥 2 − 2𝑥 + 1 dibagi oleh 𝑥 + 2 diperoleh hasil

𝑥+2

3𝑥 3 + 8𝑥 2 − 2𝑥 + 1

bagi ………………….. dengan sisa …………

………………….….

b. Pembagian 2𝑥 4 + 3𝑥 2 − 2𝑥 + 1 oleh 2𝑥 − 1

𝑥+2

3𝑥 3 + 8𝑥 2 − 2𝑥 + 1 ………………….….

2𝑥 4 + 3𝑥 2 − 2𝑥 + 1 dibagi oleh 2𝑥 − 1 diperoleh hasil


c. Pembagian 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 𝑥 + 2 oleh 𝑥 2 + 𝑥 + 3 𝑥2 + 𝑥 + 3

𝑥 3 + 4𝑥 2 − 𝑥 + 2 dibagi oleh 𝑥 2 + 𝑥 + 3 diperoleh hasil


𝑥 3 + 4𝑥 2 − 𝑥 + 2 ………………….….

Dari kegiatan yang sudah kalian lakukan, jika diketahui polinomial 𝑓(𝑥) dibagi oleh 𝑔(𝑥) memperoleh hasil ℎ(𝑥) dengan sisa 𝑠(𝑥) maka tempatkan masing-masing bagian sesuai dengan hasil yang kalian peroleh pada Aktivitas 4. ………………….… ………

………………….….

………………….….

“Pembagian Polinomial dengan Identitas Pembagian” Untuk mengetahui identitas pembagian, manipulasi bentuk bilangan yang akan dibagi kedalam bentuk hasil bagi, pembagi dan sisanya. a. Pembagian 21 oleh 5 hasilnya ……………….. sisanya …………… Dapat ditulis sebagai: 21 = 5 ×……. +………. b. Pembagian 32 oleh 5 hasilnya ……………….. sisanya …………… Dapat ditulis sebagai: 32 =……×……. +………. c. Pembagian 311 oleh 3 hasilnya ……………….. sisanya …………… Dapat ditulis sebagai: …………….=……×……. +………. d. Pembagian 15225 oleh 15 hasilnya ……………….. sisanya …………… Dapat ditulis sebagai: …………….=………..×…….…. +………. e. Pembagian 30063 oleh 21 hasilnya ……………….. sisanya …………… Dapat ditulis sebagai: …………….=………..×…….…. +………. f.

Pembagian (3𝑥 3 + 8𝑥 2 − 2𝑥 + 1) oleh (𝑥 + 2) hasilnya ……………….. sisanya …………… Dapat ditulis sebagai: ……………………….=………………..×…………………. +…………….

g. Pembagian (2𝑥 4 + 3𝑥 2 − 2𝑥 + 1) oleh (2𝑥 − 1 ) hasilnya ……………….. sisanya …………… Dapat ditulis sebagai: ……………………….=………………..×…………………. +…………… h. Pembagian (𝑥 3 + 4𝑥 2 − 𝑥 + 2) oleh (𝑥 2 + 𝑥 + 3) hasilnya ……………….. sisanya …………… Dapat ditulis sebagai: ……………………….=………………..×…………………. +…………….

Dari perhitungan yang sudah kalian kerjakan pada kegiatan di atas, tuliskan apa yang kalian pikirkan dan keterkaitan yang kalian temukan dari perhitungan tersebut:

Untuk menemukan identitas pembagian, hasil perhitungan pada kegiatan sebelumnya sajikan dalam tabel berikut: a.

𝟐𝟏

=

×

+

b.

32

=

×

+

c.

311

=

×

+

d.

15225

=

×

+

e.

30063

=

×

+

f.

3𝑥 3 + 8𝑥 2 − 2𝑥 + 1

=

×

+

g.

2𝑥 4 + 3𝑥 2 − 2𝑥 + 1

=

×

+

h.

𝑥 3 + 4𝑥 2 − 𝑥 + 2

=

×

+

↓

↓

Bilangan yang dibagi

=

↓

×

↓

+

Dari analisis yang kalian lakukan pada kegiatan di atas, maka dapat dirumuskan aturan pembagian polinomial yang disebut sebagai identitas pembagian, bahwa Misalkan polinomial 𝑓(𝑥) dibagi oleh 𝑔(𝑥) diperoleh hasil ℎ(𝑥) dan sisa 𝑠(𝑥), maka dapat dituliskan sebagai: ……………………….≡………………..×…………………. +…………….

Bagaimana dengan derajat hasil bagi dan sisa bagi dari pembagian polinomial? Untuk menentukan derajat dari masing-masing polinomial, hasil bagi dan sisanya perhatikan kembali hasil perhitungan dari Aktivitas 4 nomor f, g dan h

Derajat No.

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

ℎ(𝑥)

𝑠(𝑥)

a.

……….

……….

……=…...−…...

……=…..−…..

b.

……….

……….

……=…...−……

……=…...−…..

c.

……….

……….

……=..….−…...

……=.….−.….

↓

↓

↓ 𝑛

↓ 𝑚

Dari tabel di atas, dapat disimpulkan untuk derajat polinomial pada identitas pembagian bahwa:

Misalkan 𝑓(𝑥) polinomial berderajat 𝑛 dan 𝑔(𝑥) polinomial berderajat 𝑚 dengan 𝑛 > 𝑚. Jika 𝑓(𝑥) dibagi 𝑔(𝑥) diperoleh hasil ℎ(𝑥) dan sisanya 𝑠(𝑥), maka dapat dituliskan sebagai: ……………………….≡………………..×…………………. +…………….

Derajat 𝑓(𝑥) = ………… Derajat 𝑔(𝑥) = ………… Derajat ℎ(𝑥) = ………… Derajat 𝑠(𝑥) = maksimum …………

“Pembagian Polinomial dengan Cara Horner” Masih ingat cara menggunakan horner dalam menentukan nilai polinomial? Cara cepat untuk menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian polinomial, khususnya pembagian dengan bentuk linear adalah dengan cara pembagian sintetik atau cara Horner. Ada beberapa cara menentukan hasil dan sisa pembagian dengan menggunakan cara Horner dengan memperhatikan pembaginya. Untuk dapat menentukan hasil dan sisa bagi dari pembagian, lakukan kegiatan berikut dengan seksama.

a.

Pembagian polinomial oleh (𝒙 − 𝒌) Dasar pembagian polinomial dengan cara Horner adalah pembagian secara bersusun. Untuk memahaminya lakukan pembagian polinomial dengan cara bersusun: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 oleh 𝑥 − 𝑘

………………….… 𝑥−𝑘

𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑

………………….….

Dari hasil tersebut, coba lakukan pembagian dengan cara Horner Pembagian 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 oleh 𝑥 − 𝑘, maka pembuat nol fungsi pembaginya adalah = ……. Sehingga,

…..

…...

…..

……

…..

…..

……

….. +

…...

…..

……

…..

Bandingkan dengan cara bersusun, kemudian tulis hasil bagi, sisa bagi dan pembuat nol pambagi pada kotak-kotak yang tersedia. Tentukan hasil bagi dan sisa bagi dari pembagian 2𝑥 4 + 𝑥 3 + 𝑥 2 − 6 oleh 𝑥 − 3 Pembuat nol dari pembagi adalah = ……….. …..

…...

…..

……

…..

…..

…..

……

…..

….. +

…...

Diperoleh: ℎ(𝑥) =…………………….. 𝑠(𝑥) =……………………..

…..

……

…..

…..

Pembagian polinomial oleh (𝐚𝐱 − 𝐛) Untuk menentukan pembagian polinomial 𝑓(𝑥) oleh (𝑎𝑥 − 𝑏), ikuti kegiatan berikut: …

𝑏

(𝑎𝑥 − 𝑏) adalah pembagi, sehingga 𝑎𝑥 − 𝑏 = 𝑎 (… − ), dengan memisalkan = 𝑘 … 𝑎 Maka dapat dituliskan 𝑎𝑥 − 𝑏 =…………….. Pada kegiatan sebelumnya kalian sudah menemukan bahwa jika 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 − 𝑘) menghasilkan ………………….. dan sisanya ……………… Dengan identitas pembagian, maka dapat dituliskan: 𝑓(𝑥) ≡…………×………………+………… 𝑏

𝑓(𝑥) ≡…………×………………+………… karena 𝑘 = 𝑎, maka diperoleh 𝑓(𝑥) ≡…………×………………+………… 𝑓(𝑥) ≡ (𝑎𝑥 − 𝑏) ×………………+………… Dari penjabaran tersebut jika 𝑓(𝑥) dibagi (𝑎𝑥 − 𝑏) akan memperoleh hasil pembagian ……………. dan sisanya …………….. Untuk memahami konsep tersebut, coba tentukan hasil bagi dan sisa pembagian 2𝑥 4 + 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2𝑥 + 4 oleh 2𝑥 − 1 dengan menggunakan Horner. Bandingkan hasilnya dengan hasil pembagian dengan cara bersusun


Kelompok Anggota

: ……………................ :

1. .................................................... 2. .................................................... Pada lembar kegiatan ini, kalian akan belajar untuk: 1. Menyelidiki teorema sisa

3. .................................................... 4. ....................................................

2. Menyelidiki teorema faktor 3. Menentukan faktor-faktor dari polinomial 4. Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor untuk menyelesaikan masalah matematika

MASALAH 1 Bilangan 39 bersisa 1 jika dibagi 2, bersisa 0 jika dibagi 3, bersisa 3 jika dibagi 4 dan bersisa 4 jika dibagi 5. Bilangan 39 mempunyai faktor-faktor 1, 3, 13 dan 39.

Bagaimana dengan bentuk polinomial? Apakah bentuk polinomial juga mempunyai faktor? Bagaimana menentukan sisa hasil bagi polinomial?

“Menyelidiki

Teorema Sisa”

Teorema sisa dalam polinomial digunakan untuk menentukan sisa hasil bagi dari bentuk polinomial. Untuk memahami teorema sisa, terlebih dahulu lakukan kegiatan berikut:

1. Diketahui 𝑓(𝑥)3𝑥 3 + 8𝑥 2 − 2𝑥 + 1 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2, jika 𝑓(𝑥) adalah polinomial dan 𝑔(𝑥) sebagai pembaginya a. 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 sebagai pembaginya,maka pembuat nol pembaginya adalah….. b. Tentukan nilai polinomial untuk pembuat nol pembaginya c. Hitung sisa pembagian 𝑓(𝑥) oleh 𝑔(𝑥) Jawab:

2. Diketahui 𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 + 3𝑥 2 − 2𝑥 + 1

dan

𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1, jika 𝑓(𝑥) adalah

polinomial dan 𝑔(𝑥) sebagai pembaginya a. 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1 sebagai pembaginya,maka pembuat nol pembaginya adalah….. b. Tentukan nilai polinomial untuk pembuat nol pembaginya c. Hitung sisa pembagian 𝑓(𝑥) oleh 𝑔(𝑥) Jawab:

Dari kedua contoh di atas, apa yang bisa kalian peroleh? Tuangkan hasil yang kalian peroleh pada tabel berikut untuk menentukan Nilai 𝒇(𝒙)

Soal

𝒈(𝒙)

Pembuat nol pembagi

polinomial untuk pembuat nol pembagi

Sisa pembagian 𝒇(𝒙) oleh 𝒈(𝒙)

1. 2.

Amati hasil yang kalian sajikan dalam tabel di atas. Adakah hubungan antara nilai polinomial untuk pembuat nol pembagi dengan sisa pembagian 𝑓(𝑥) oleh 𝑔(𝑥)? Jika ada jelaskan hubungan keduanya!

Dari hubungan tersebut, kita dapat menentukan bunyi teorema sisa yaitu: Misalkan 𝑓(𝑥) adalah polinomial,  Jika 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 − 𝑘) maka sisanya ………………………………………………………………………………………  jika 𝑓(𝑥) dibagi (𝑎𝑥 − 𝑏) maka sisanya ………………………………………………………………………………………..

Untuk memahami konsep teorema sisa, kerjakan soal di bawah ini untuk menentukan sisa hasil pembagian polinomial dengan menggunakan teorema sisa: Polinomial 𝒇(𝒙) jika dibagi (𝒙 − 𝟐) sisa 5, dan jika dibagi (𝒙 − 𝟏) sisa 4. Tentukan sisa pembagian 𝒇(𝒙) oleh (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐)!

Buatlah satu contoh soal yang berkaitan dengan teorema sisa, kemudian tentukan penyelesaiannya!


Kelompok Anggota

: ……………................ :

1. .................................................... 2. .................................................... Pada lembar kegiatan ini, kalian akan belajar untuk: 1. Menyelidiki teorema faktor

3. .................................................... 4. ....................................................

2. Menentukan faktor-faktor dari polinomial 3. Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor untuk menyelesaikan masalah matematika

“Menyelidiki

Teorema Faktor”

Masih ingat dengan faktor dari suatu bilangan? Coba jelaskan yang dimaksud dari faktor dari suatu bilangan kemudian berikan beberapa contoh faktor dari suatu bilangan dan beberapa contoh yang bukan merupakan faktor dari suatu bilangan! Dan jelaskan alasannya!

Untuk menentukan teorema faktor, dari pengetahuan kalian tentang faktor suatu bilangan dan hasil pengamatan yang sudah kalian lakukan, coba sajikan contoh-contoh faktor dan bukan faktor yang kalian sebutkan ke dalam tabel berikut: Bilangan yang dibagi

Berikan tanda √ yang memenuhi

Pembagi

Faktor

Sisa

Bukan faktor

Cermati hasil dari tabel tersebut, adakah hubungannya dengan teorema sisa pada bentuk polinomial yang sudah kalian pelajari pada kegiatan sebelumnya? Jelaskan!

Ingat kembali tentang teorema sisa! Misalkan f(x) adalah polinomial,  Jika 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 − 𝑘) maka sisanya ………………………………………………………………………………………  jika 𝑓(𝑥) dibagi (𝑎𝑥 − 𝑏) maka sisanya ……………………………………………………………………………………….. Dari hasil kegiatan kalian ketahui bahwa sisa dari suatu bilangan oleh faktornya adalah…… Berlaku juga untuk bentuk polinomial, sisa pembagian polinomial oleh faktornya adalah…. Dengan memperhatian teorema sisa dan sisa pembagian polinomial oleh faktornya adalah ….. Maka dapat ditentukan suatu teorema yang dikenal dengan teorema faktor, yaitu:

Misalkan 𝑓(𝑥) adalah polinomial,  (𝑥 − 𝑘)merupakan

faktor

𝑓(𝑥)

dari

jika

dan

hanya

jika…………………………..……………………………………………………  (𝑎𝑥 − 𝑏)

merupakan

faktor

dari

𝑓(𝑥)

jika

dan

hanya

jika………………………………………………………………………………

 Kerjakan soal-soal pada Aktivitas 3 ini secara berkelompok  Setiap kelompok berdiskusi dengan anggota kelompoknya masing-masing

SOAL 1. Sebuah polinomial 𝑓(𝑥) jika dibagi (𝑥 − 4) bersisa 5 dan jika dibagi (𝑥 − 3) bersisa -2. Tentukan sisa pembagian 𝑓(𝑥) oleh 𝑥 2 − 7𝑥 + 12! 2. Polinomial 𝑝(𝑥) dibagi 𝑥 2 − 4 bersisa 3𝑥 − 6, tetapi jika dibagi 𝑥 2 + 2𝑥 − 15 bersisa 4𝑥 + 6. Tentukan: a. Sisa pembagian 𝑝(𝑥) oleh (𝑥 − 2)(𝑥 + 5) b. Sisa pembagian 𝑝(𝑥) oleh 𝑥 2 − 𝑥 − 6 3. Diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 𝑥 + 𝑏 habis dibagi (𝑥 − 3) dan bersisa -12 jika dibagi (𝑥 − 2). Tentukan: a. Nilai a dan b b. Aka-akar dari 𝑓(𝑥) = 0

LEMBAR KEGIATAN SISWA 4 Kelompok Anggota

: ……………................ :

1. .................................................... 2. ....................................................

“

”

3. .................................................... 4. .................................................... Untuk menentukan akar persamaan polinomial, terlebih dahulu lakukan kegiatan berikut:

Tentukan akar rasional dari persamaan 𝑥 4 − 15𝑥 2 − 10𝑥 + 24 = 0 Jawab: i.

Tuliskan faktor dari koefisien 𝑎𝑜 =

ii. iii.

Tuliskan faktor dari koefisien 𝑎𝑛 = 𝑎 Kemungkinan akar rasional nya 0⁄𝑎𝑛 =

iv.

𝑎 cek menggunakan horner manakah nilai 𝑃( 0⁄𝑎𝑛 ) = 0

+

Maka kita dapatkan akar rasional pertama yaitu .... dengan hasil bagi : ℎ(𝑥) = ........ 𝑎 Untuk menentukan akar rasional yang lain kita cari ℎ( 0⁄𝑎𝑛 ) = 0 dengan cara yang sama

+

Maka kita dapatkan akar rasional kedua yaitu .... dengan hasil bagi : ℎ(𝑥) = ........ kita dapatkan persamaan kuadrat sehingga lebih mudah untuk mencari akar rasionalnya ℎ(𝑥) = =(

=0 )(

)=0

Jadi akar rasional dari persamaan 𝑥 4 − 15𝑥 2 − 10𝑥 + 24 = 0 adalah {... , ... , ... , ...} 𝑥 4 − 15𝑥 2 − 10𝑥 + 24 = 0 coba kita masukkan untuk 𝑥 = 1 𝑝(1) = 14 − 15(1)2 − 10(1) + 24 = 0 Atau bisa kita tuliskan koefisien dari masing-masing polinom 1 − 15 − 10 + 24 = 0 M jadi 𝑥 = 1 merupakan akar persamaan polinomial apabila jumlah .................

Tentukan akar rasional dari persamaan 𝑥 4 − 3𝑥 3 − 3𝑥 2 + 7𝑥 + 6 = 0 i.

Tuliskan faktor dari koefisien 𝑎𝑜 =

ii. iii.

Tuliskan faktor dari koefisien 𝑎𝑛 = 𝑎 Kemungkinan akar rasional nya 0⁄𝑎𝑛 =

iv.

𝑎 cek menggunakan horner manakah nilai 𝑃( 0⁄𝑎𝑛 ) = 0

+

Maka kita dapatkan akar rasional pertama yaitu .... dengan hasil bagi : ℎ(𝑥) = ........ 𝑎 Untuk menentukan akar rasional yang lain kita cari ℎ( 0⁄𝑎𝑛 ) = 0 dengan cara yang sama

+

Maka kita dapatkan akar rasional kedua yaitu .... dengan hasil bagi : ℎ(𝑥) = ........ kita dapatkan persamaan kuadrat sehingga lebih mudah untuk mencari akar rasionalnya ℎ (𝑥 ) =

=0 =(

)(

)=0

Jadi akar rasional dari persamaan 𝑥 4 − 3𝑥 3 − 3𝑥 2 + 7𝑥 + 6 = 0 adalah {... , ... , ... , ...}

𝑥 4 − 3𝑥 3 − 3𝑥 2 + 7𝑥 + 6 = 0 coba kita masukkan untuk 𝑥 = 1 𝑝(1) = (1)4 − 3(1)3 − 3(1)2 + 7(1) + 6 ≠ 0 jadi 𝑥 = 1 bukan merupakan akar persamaan polinomial kelompokan koefisien berpangkat genap dan koefisien berpangkat ganjil untuk 𝑥 = −1 𝑥 4 − 3𝑥 2 + 6 → 1 − 3 + 6 = 4 −3𝑥 3 + 7𝑥

→ 𝑥(−3𝑥 2 + 7) → −1( −3 + 7) = −1(4)

𝑝(−1) = (−1)4 − 3(−1)3 − 3(−1)2 + 7(−1) + 6 = 0 M jadi 𝑥 = −1 merupakan akar persamaan polinomial apabila jumlah kofisien ...........

sama dengan jumlah koefisien ........

KESIMPULAN Untuk menentukan akar rasional dapat kita cari dengan 3 cara : 1. Memiliki akar 𝑥 = 1 jika ..... 2. Memiliki akar 𝑥 = −1 jika ..... 3. cari faktor dari ....


Kelompok Anggota

: ……………................ :

1. .................................................... 2. .................................................... Pada lembar kegiatan ini, kalian akan belajar untuk:

3. .................................................... 1. Merancang model matematika dari permasalahan nyata 4. polinomial .................................................... 2. Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor untuk menyelesaikan permasalahan nyata polinomial 3. Memodelkan permasalahan nyata ke dalam persamaan kubik 4. Menentukan akar-akar dari persamaan kubik menggunkan aturan dan sifat polinomial

 Kerjakan soal-soal pada Aktivitas 1 ini secara berkelompok  Untuk mempermudah menyelesaikan permasalahan dalam Aktivitas 1, ikuti langkahlangkah penyelesaiannya sebagai berikut:  Cermati setiap permasalahn yang diberikan  Rancang model matematika dari permasalahan tersebut  Tentukan cara penyelesaian dari permasalahan tersebut  Tentukan penyelesaian dari permasalahan tersebut  Berikan kesimpulan dari permasalahan yang diberikan  Diskusikan dengan kelompok kalian masing-masing

MASALAH 1 Selembar karton berbentuk persegi panjang berukuran 22cm × 18cm. Keempat pojoknya dipotong berbentuk persegi dengan sisi 𝑥 cm kemudian melipatnya untuk membuat sebuah kotak terbuka. a. Jika 𝑉(𝑥)menyatakan volume kotak, maka tentukan rumus untuk 𝑉(𝑥) b. Jika diinginkan volume kotak adalah 576 cm3 , tentukan nilai 𝑥 yang bulat

MASALAH 2 Energi kinetik (Ek ) dari suatu benda yang bergerak, dengan massa m dan kecepatan dirumuskan sebagai: 1 Ek = mv 2 2 Kecepatan v̅ dari sebuah prototipe roket saat waktu t menit dirumuskan v̅ = t + 2. Massa roket tersebut menjadi berkurang bersamaan dengan bahan bakar mulai terbakar. Jika m = 12 − 0,1t, tentukan Energi kinetik roket dalam bentuk t Energi kinetik roket dalam waktu 4 menit

A

A. Tulis pilihan jawaban yang paling tepat!

1. Diketahui 𝑃(𝑥) = 2𝑥(3𝑥 2 − 6𝑥 + 1) dan 𝑄(𝑥) = 5𝑥 3 − 𝑥 2 + 5𝑥 − 3. Tentukan 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = ⋯ a. 11𝑥 3 + 13𝑥 2 + 7𝑥 + 3 d. 11𝑥 3 − 13𝑥 2 + 7𝑥 − 3 b. 11𝑥 3 − 13𝑥 2 − 7𝑥 − 3 e. 11𝑥 3 − 13𝑥 2 − 7𝑥 + 3 c. 11𝑥 3 + 13𝑥 2 + 7𝑥 − 3 2. Untuk polinom 𝑃(𝑥) = 4𝑥 4 + 3𝑥 3 – 6𝑥 2 + 5𝑥 − 3, maka nilai polinom untuk 𝑥 = 1 adalah... a. 0 d. 3 b. 1 e. 4 c. 2 3. Untuk polinom P(x) = 4x4 + 3x3 – 6x2 + 2x -5, maka hasil bagi dan sisa pembagian untuk pembagi x + 2 berturut-turut adalah... a.

4x3 + 5x2 + 4x + 6 dan -7

d. 4x3 - 5x2 + 4x + 6 dan 7

b.

4x3 - 5x2 + 4x + 6 dan 7

e. 4x3 + 5x2 + 4x - 6 dan – 7

c. 4x3 - 5x2 + 4x -6 dan 7

4.

165 × 165 × 165 + 235 × 235 × 235 165 × 165 + 235 × 235 − 165 × 235

=⋯

a. 70

d. 400

b. 165

e. 470

c. 235 5. Suku banyak 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 + (𝑎 − 2)𝑥 + 4 dibagi (𝑥 − 1) bersisa 10. Tentukan nilai 𝑎 ... a. 14

d. 6

b. 12

e. 4

c. 8 6. Nilai 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 yang memenuhi kesamaan

5𝑥 2 +6𝑥+8 4𝑥−𝑥 3

𝑎

𝑏

𝑐

= 𝑥 + 𝑥+2 − 𝑥−2 adalah .....

a. -2

d. −5

b. 0

e. 9

c. 2 7. Yang bukan merupakan faktor suku banyak berikut 4𝑥 3 + 16𝑥 2 − 𝑥 − 4 adalah.... a.

𝑥+4

d.

2𝑥 − 1

b.

2𝑥 + 8

e.

4−𝑥

c.

2𝑥 + 1

8. Yang merupakan faktor dari suku banyak berikut 2 𝑥 3 + 6𝑥 2 − 𝑥 − 3 adalah....

a. 𝑥 + 3 b. 2𝑥 + 1 c. 𝑥 − 3

d. 2𝑥 − 1 e. ( 𝑥 + 3 ) 𝑑𝑎𝑛 (2𝑥 − 1 )

9. Jika 𝑥 2 + 2𝑥 – 3 merupakan faktor suku banyak 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 7𝑥 2 − 𝑎 𝑥 + 𝑏 , maka 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑏 adalah.... a.

−8 𝑑𝑎𝑛 12

d.

−6 𝑑𝑎𝑛 12

b.

6 𝑑𝑎𝑛 − 12

e.

8 𝑑𝑎𝑛 12

c.

−8 𝑑𝑎𝑛 − 12

10. Salah satu akar persamaan suku banyak 2𝑥 3 − 𝑎𝑥 2 − 7𝑥 + 30 = 0 adalah 3. Jumlah akar yang lain adalah… a.

7 2

b. − c.

1

d. − 7 2

1 2

e. 0

2

B. Essay 1. Diketahui persamaan suku banyak berderajat tiga dengan akar-akar 𝑥1 , 𝑥2 dan 𝑥3 . Tentukan 𝑥1 3 + 𝑥2 3 + 𝑥3 3 jika suku banyak tersebut adalah 𝑥 3 + 5𝑥 2 − 4𝑥 − 20 = 0 2. Suku banyak berderajat 3 jika dibagi dengan (𝑥 2 − 𝑥 − 6 ) bersisa ( 5𝑥 − 2 ) , jika dibagi dengan (𝑥 2 + 4 𝑥 + 3 ) bersisa (3𝑥 + 4) maka suku banyak tersebut adalah...

3. Diketahui 𝑥 2 − 1 mermbagi habis suku banyak 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 + 𝑎𝑥 4 − 11𝑥 3 + 27𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 24. Tentukan semua faktor dari 𝑓(𝑥) !

B

A. Tulis pilihan jawaban yang paling tepat!

1. Diketahui 𝑃(𝑥) = 2𝑥(3𝑥 2 − 6𝑥 + 1) dan 𝑄(𝑥) = 5𝑥 3 − 𝑥 2 + 5𝑥 − 3. Tentukan 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = ⋯ a. 11𝑥 3 + 13𝑥 2 + 7𝑥 + 3 d. 11𝑥 3 + 13𝑥 2 + 7𝑥 − 3 b. 11𝑥 3 − 13𝑥 2 − 7𝑥 − 3 e. 11𝑥 3 − 13𝑥 2 − 7𝑥 + 3 c. 11𝑥 3 − 13𝑥 2 + 7𝑥 − 3 2. Untuk polinom 𝑃(𝑥) = 4𝑥 4 + 3𝑥 3 – 6𝑥 2 + 5𝑥 − 3, maka nilai polinom untuk 𝑥 = 1 adalah... a. 4 d. 1 b. 3 e. 0 c. 2 3. Untuk polinom P(x) = 4x4 + 3x3 – 6x2 + 2x -5, maka hasil bagi dan sisa pembagian untuk pembagi x + 2 berturut-turut adalah... a. 4x3 - 5x2 + 4x -6 dan 7

d. 4x3 - 5x2 + 4x + 6 dan 7

b. 4x3 - 5x2 + 4x + 6 dan 7

e. 4x3 + 5x2 + 4x - 6 dan – 7

c. 4x3 + 5x2 + 4x + 6 dan -7

4.

165 × 165 × 165 + 235 × 235 × 235 165 × 165 + 235 × 235 − 165 × 235

=⋯

a. 470

d. 165

b. 400

e. 70

c. 235 5. Suku banyak 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 + (𝑎 − 2)𝑥 + 4 dibagi (𝑥 − 1) bersisa 10. Tentukan nilai 𝑎 ... a. 4

d. 12

b. 6

e. 14

c. 8 6. Nilai 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 yang memenuhi kesamaan

5𝑥 2 +6𝑥+8 4𝑥−𝑥 3

𝑎

𝑏

𝑐

= 𝑥 + 𝑥+2 − 𝑥−2 adalah .....

a. -2

d. 9

b. 0

e. 5

c. 2 7. Yang bukan merupakan faktor suku banyak berikut 4𝑥 3 + 16𝑥 2 − 𝑥 − 4 adalah.... a.

𝑥+4

d.

2𝑥 − 1

b.

2𝑥 + 8

e.

2𝑥 + 1

c.

4−𝑥

8. Yang merupakan faktor dari suku banyak berikut 2 𝑥 3 + 6𝑥 2 − 𝑥 − 3 adalah.... a. 𝑥 − 3 d. 2𝑥 − 1 b. 2𝑥 + 1 e. ( 𝑥 + 3 ) 𝑑𝑎𝑛 (2𝑥 − 1 ) c. 𝑥 + 3 9. Jika 𝑥 2 + 2𝑥 – 3 merupakan faktor suku banyak 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 7𝑥 2 − 𝑎 𝑥 + 𝑏 , maka 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑏 adalah.... a.

8 𝑑𝑎𝑛 12

d.

−6 𝑑𝑎𝑛 12

b.

6 𝑑𝑎𝑛 − 12

e.

−8 𝑑𝑎𝑛 12

c.

−8 𝑑𝑎𝑛 − 12

10. Salah satu akar persamaan suku banyak 2𝑥 3 − 𝑎𝑥 2 − 7𝑥 + 30 = 0 adalah 3. Jumlah akar yang lain adalah… 7 a. − 2

d.

b.

e. 0

7 2

c. −

1 2

1 2

B. Essay 1. Suku banyak berderajat 3 jika dibagi dengan (𝑥 2 − 𝑥 − 6 ) bersisa ( 5𝑥 − 2 ) , jika dibagi dengan (𝑥 2 + 4 𝑥 + 3 ) bersisa (3𝑥 + 4) maka suku banyak tersebut adalah...

2. Diketahui persamaan suku banyak berderajat tiga dengan akar-akar 𝑥1 , 𝑥2 dan 𝑥3 . Tentukan 𝑥1 3 + 𝑥2 3 + 𝑥3 3 jika suku banyak tersebut adalah 𝑥 3 + 5𝑥 2 − 4𝑥 − 20 = 0

3. Diketahui 𝑥 2 − 1 mermbagi habis suku banyak 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 + 𝑎𝑥 4 − 11𝑥 3 + 27𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 24. Tentukan semua faktor dari 𝑓(𝑥) !

KUNCI JAWABAN KODE A PILIHAN GANDA A

PILIHAN GANDA B

1. D

6. D

1. C

6. E

2. D

7. E

2. B

7. C

3. C

8. A

3. A

8. C

4. D

9. E

4. B

9. A

5. D

10. C

5. B

10. D

ESSAY 1.

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 5𝑥 2 − 4𝑥 − 20 dengan akar-akar 𝑥1 , 𝑥2 dan 𝑥3

𝑓(𝑥1 ) = 𝑥1 3 + 5𝑥1 2 − 4𝑥1 − 20 = 0 → 𝑥1 3 = −5𝑥1 2 + 4𝑥1 + 20 𝑓(𝑥2 ) = 𝑥2 3 + 5𝑥2 2 − 4𝑥2 − 20 = 0 → 𝑥2 3 = −5𝑥2 2 + 4𝑥2 + 20 𝑓(𝑥3 ) = 𝑥3 3 + 5𝑥3 2 − 4𝑥3 − 20 = 0 → 𝑥3 3 = −5𝑥3 2 + 4𝑥3 + 20

+ 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −5(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ) + 4(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ) + 60 = −5[(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 )2 − 2(𝑥1 𝑥2 + 𝑥2 𝑥3 + 𝑥1 𝑥3 )] + 4(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ) + 60 3

𝑥1 3 + 𝑥2 3 + 𝑥3 3

3

5 2

2

3

4

2

2

5

= −5[(− 1) − 2 (− 1)] + 4(− 1) + 60 = −5(33) − 20 + 60 = −125 2.

𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 2 − 𝑥 − 6 ) bersisa ( 5𝑥 − 2 ) 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 2 + 4 𝑥 + 3 ) bersisa (3𝑥 + 4) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2)(𝑎𝑥 + 𝑏) + (5𝑥 − 2) … … 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 (𝑖) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)(𝑥 + 1)(𝑐𝑥 + 𝑑) + (3𝑥 + 4) … … 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 (𝑖𝑖) Persamaan (𝑖) 𝑓(3) = (3 − 3)(3 + 2)(3𝑎 + 𝑏) + (5(3) − 2) 𝑓(3) = 0 ∙ 5(3𝑎 + 𝑏) + 13 𝑓(3) = 13 𝑓(−2) = (−2 − 3)(−2 + 2)(−2𝑎 + 𝑏) + (5(−2) − 2) 𝑓(−2) = (−5) ∙ 0 ∙ (−2𝑎 + 𝑏) + (−12) 𝑓(−2) = −12 Persamaan (𝑖𝑖) 𝑓(3) = (3 + 3)(3 + 1)(3𝑐 + 𝑑) + (3(3) + 4) 𝑓(3) = 54𝑐 + 18𝑑 + 13 = 13 54𝑐 + 18𝑑 = 0 3𝑐 + 𝑑 = 0 … … 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 (𝑖𝑖𝑖) (−2 𝑓(−2) = + 3)(−2 + 1)(−2𝑐 + 𝑑) + (3(−2) + 4) 𝑓(−2) = 2𝑐 − 𝑑 − 2 = −12 2𝑐 − 𝑑 = −10 … … 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 (𝑖𝑣)

Eliminasi persamaan (iii) dan (iv) 3𝑐 + 𝑑 = 0 2𝑐 − 𝑑 = −10 5𝑐 = −10 𝑐 = −2

+

3(2) + 𝑑 = 0 𝑑=6 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)(𝑥 + 1)(𝑐𝑥 + 𝑑) + (3𝑥 + 4) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)(𝑥 + 1)(−2𝑥 + 6) + (3𝑥 + 4) = (𝑥2 + 4 𝑥 + 3 )(−2𝑥 + 6) + (3𝑥 + 4) = −2𝑥3 − 2𝑥2 + 21𝑥 + 22

3.

𝑥 2 − 1 mermbagi habis suku banyak 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 + 𝑎𝑥 4 − 11𝑥 3 + 27𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 24 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) membagi habis 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 + 𝑎𝑥 4 − 11𝑥 3 + 27𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 24 𝑓(1) = 15 + 𝑎(1)4 − 11(1)3 + 27(1)2 + 𝑏(1) − 24 = 0 𝑎+𝑏=7

𝑓(−1) = (−1)5 + 𝑎(−1)4 − 11(−1)3 + 27(−1)2 + 𝑏(−1) − 24 = 0 𝑎 − 𝑏 = −13 𝑎+𝑏=7 𝑎 − 𝑏 = −13 2𝑏 = 20 𝑏 = 10 𝑎 + 10 = 7 𝑎 = −3

𝑓(𝑥) = 𝑥 5 − 3𝑥 4 − 11𝑥 3 + 27𝑥 2 + 10𝑥 − 24 1 1 1 −1 1 1 2 1 1

−3 1 −2 −2 −1 −3 −3 2 −1

−11 27 −2 −13 −13 14

10 14 24

−13 14 3 10 −10 24

24 −24 0

−10 24 −2 −24 −12 0

−24 24 0

+

+

+

𝑥 2 − 𝑥 − 12 = 0 (𝑥 + 3)(𝑥 − 4) = 0 Faktor dari 𝑓(𝑥) 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ { 1 , −1 , 2 , −3 , 4}

−

DAFTAR NILAI SISWA KELAS XI PMIIA - 2

SMA NEGERI 2 YOGYAKARTA

12030 Zahra Saliha izzati

3

12031 ADHIKA BASTIAN BAGAS PRANANTA*

4

12032 ANGGI TASYA MARGARETHA MARPAUNG**

5

12037 CHRISTY GRACE UTAMI**

6

12038 CITTA ASTRI ANINDYAPUTRI**

7

12040 DINAN GALANDI CHRISTA**

8

12041 EDWIN**

9

12042 ELISABETH VENA ANDARISNA*

10

12043 ELLYCIA CELINE NATHALIA**

11

12047 HILLARY SEKARNINGRUM OMPUSUNGGU**

12

12053 RADEN AJENG PIETA MAESPUTRI WULANDARI*

13

12056 RENATA SMARA WENING LARASATI*

14

12058 RYAN ADE BAGUS*

15

12059 SALMA AUFA AZALIARAHMA

16

12060 SYAFIKA NURING FADIYAH

17

12061 VIDYA SYARIFAH

18

12062 ZAHRA RIZKY FITRIYANA

19

12077 FATIMAH ZAHRO MAULIDDIYAH

20

12078 HAFIDH RIDWAN FAKHRUDDIN

21

12079 HAIDAR KUSUMASTUTI

22

12081 MARTSA MAHANANI

23

12082 MAYTSA ATIKA AL MAGHFIROH

24

12083 MUHAMMAD RAZAK AL RASYID

25

12084 MUHAMMAD RIZKI FATHURROHMAN

26

12085 MUTHIA FAHIRATUNNISA AMANY

27

12086 NAFISAH FAZA QINTHARI

28

12087 RASYID AULIA ALBA

29

12088 RIVANO DAFFA PUTRA SURYADHARMA

30

12089 SANDY SETYAWAN KERTAGOSA

31

12090 VIGOR SYENA PURWANTO

32

12091 VITRIYA ARUM SARI

33

12092 YOGA AZIZSTRA ATHALLAH

80 86 93 70 80 92 77 100 96 76 82 91 84 78 76 72 65 63 88 82 71 90 81 79 78 91 68 80 78 72 82 76 70

R

P1

P2

U

R

P1

P2

P3

P1

P2

P3

P1

P2

P3

SIKAP KD KD KD …. …. ….

NR

KETERAM

U

KD….

PENGET

P2

86 84 92 80 88 96 92 98 78 88 88 86 80 84 82 96 80 84 92 88 84 80 84 80 82 96 80 80 80 80 88 84 92

KETERAMPILAN KD….

PAS / PAT

P1

P3

KD….

SIKAP SPIRIT SOSIAL UAL

88 84 80 80 88 84 90 92 82 88 88 86 80 88 82 82 82 84 90 90 84 80 84 80 82 92 80 80 80 88 84 90 88

90

88 90 96

90

88

84

88

Guru Mata Pelajaran

DAFTAR NILAI SISWA KELAS XI PMIIA - 6

SMA NEGERI 2 YOGYAKARTA PENGETAHUAN

NAMA

KETERAMPILAN

SIKAP

PAS / PAT

NO.

Mata Pelajaran : Matematika Peminatan MODUS

SEMESTER 1/2 TH. PELAJARAN 2016-2017

RERATA

2

12000 ANNISA RAHMA PRATIWI

P3

KD….

RERATA

1

NAMA

INDUK

PENGETAHUAN KD…. P3 P1 P2 U R

MODUS

URUT

KD….

RERATA

NO.

Mata Pelajaran : Matematika Peminatan RERATA

SEMESTER 1/2 TH. PELAJARAN 2016-2017

NR

1

12014 KRISTOFORUS GETA ARKANANTA PUTRA*

2

12024 ROSALINA DAMAYANTI

3

12025

SILMI AZIZA KARROGHI

4

12156

ADRIANUS BAYU ANGGARA GOZALI*

5

12157 ALEXANDER DEWANTA CHANDRA YOGATAMA*

6

12158 ALOYSIUS AMANDO**

7

12159 AURELIA SEKAR AYU SUKMA ISTIADJI*

8

12160 BENEDIKTUS SANDY PRADIPTA*

9

12161 CHATARINA DEVI ARISTI NUGRAHA*

10

12162

11

12163 DEBORA LAUDE SULUH**

12

12164 DESI KRISTIYANI**

13

12166 DINA CLARISSA KURNIAWAN*

14

12167 DIONESA ANARGYA RAHARJO*

15

12169 EUNIKE DIAN PAWESTRI**

16

12174 IVANA LESTIANA**

17

12175 KRISHNAMURTI DADI PRATOMO**

18

12176

19

12177 LUSIA MILENIA PRATIWI*

20

12178 MARIA BELLA AURIA SAMIRIN*

21

12179 MARIA EUGENIA SEKAR LARASATI*

22

12180 MARIA SEKAR KINASIH*

23

12181 NATALIE AUDREY SUSANTO*

24

12182 NATHALIA WIDYAROSITA*

25

12183 NATHANIA NASTITI KUSUMADEWI**

26

12185 RAPHAEL DISCKY ZUNDRIA PUTRA*

27

12190 ADEN NURIN FATIMAH

28

12191 ALFI KUSUMA DEWI

29

12250 SALSABILA PUTRI INDRASWARI

30

12252 TIARA DEWI PUSPITARINI

31

12253 YUSITA SHAFAHAYU MAYRIZKA

32

12254 ZULFA DHIYA' CHRISMARIZKI

CINTYA SEKAR AYU PERMATASARI**

KRISTIKA YUDHA PRIHANTARI **

76 84 92 80 88 96 92 88 78 88 88 86 92 82 96 82 84 92 70 84 80 84 80 82 92 80 80 75 88 84 92

KD…. P3

U

81 80 72 75 75 82 77 86 76 80 87 94 100 75 72 84 76 88 84 83 72 76 98 83 82 81 83 84 84 68 72 88

R

88

86

86

88

P1

P2

KD…. P3

U

R

P1

P2

P3 U

R

KD…. P1

86 94 92 80 88 90 84 80 82 80 80 94 92 82 80 82 80 80 80 84 80 88 80 82 82 80 92 82 80 88 84

P2

KD…. P3

P1

P2

KD…. P3

P1

P2

P3

KD KD KD …. …. ….

KETERAM

P2

PENGET

KD…. P1

PAS / PAT

NAMA

MODUS

INDUK

RERATA

URUT

RERATA

NO.

SIKAP SPIRIT SOSIAL UAL

PEMERINTAH KOTA YOGYAKARTA DINAS PENDIDIKAN


Bener Yegalrejo Kota Yogyakarta 55243

ANALISIS HASIL BELAJAR SISWA TAHUN PELAJARAN 2016-20177 Mata Pelajaran Kelas/Semester Materi Tes Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

: : : : :

Matematika X MIIA - 1/ 1 (GANJIL)

NIS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

12014 12024 12025 12156 12157 12158 12159 12160 12161 12162 12163 12164 12166 12167 12169 12174 12175 12176 12177 12178 12179 12180

=

75

=

32

Polinomial 0 0

No Urut

KKM

A. KETUNTASAN BELAJAR NAMA SISWA

NILAI Jumlah Peserta Tes

KRISTOFORUS GETA ARKANANTA PUTRA* ROSALINA DAMAYANTI SILMI AZIZA KARROGHI ADRIANUS BAYU ANGGARA GOZALI* ALEXANDER DEWANTA CHANDRA YOGATAMA* ALOYSIUS AMANDO** AURELIA SEKAR AYU SUKMA ISTIADJI* BENEDIKTUS SANDY PRADIPTA* CHATARINA DEVI ARISTI NUGRAHA* CINTYA SEKAR AYU PERMATASARI** DEBORA LAUDE SULUH** DESI KRISTIYANI** DINA CLARISSA KURNIAWAN* DIONESA ANARGYA RAHARJO* EUNIKE DIAN PAWESTRI** IVANA LESTIANA** KRISHNAMURTI DADI PRATOMO** KRISTIKA YUDHA PRIHANTARI ** LUSIA MILENIA PRATIWI* MARIA BELLA AURIA SAMIRIN* MARIA EUGENIA SEKAR LARASATI* MARIA SEKAR KINASIH*

81 80 72 75 75 82 77 86 76 80 87 94 100 75 72 84 76 88 84 83 72 76

siswa

(Y)

Banyaknya siswa yang memperoleh nilai >= KKM = 27 siswa

(X)

Banyaknya siswa yang memperoleh nilai < KKM = siswa 5 Ketuntasan Belajar

= ( 𝑋 100%

)/𝑌 𝑥

=

27 32

x 100%

=

84,38

%

B. DAYA SERAP = ( 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑤𝑎 𝑥 100) 𝑥 100%

=

)/(𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑖𝑠

2598

x 100%

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

12181 12182 12183 12185 12190 12191 12250 12252 12253 12254

NATALIE AUDREY SUSANTO* NATHALIA WIDYAROSITA* NATHANIA NASTITI KUSUMADEWI** RAPHAEL DISCKY ZUNDRIA PUTRA* ADEN NURIN FATIMAH ALFI KUSUMA DEWI SALSABILA PUTRI INDRASWARI TIARA DEWI PUSPITARINI YUSITA SHAFAHAYU MAYRIZKA ZULFA DHIYA' CHRISMARIZKI

Jumlah Nilai Jml Siswa >= KKM Jml Siswa < KKM

98 83 82 81 83 84 75 68 72 88

2598 27 5

3200 =

81,19

%

C. TINDAK LANJUT 1. Siswa yang memperoleh nilai >= KKM, diberikan pengayaan. 2. Siswa yang memperoleh nilai < KKM, diberikan remidi.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0

32

27

PEMERINTAH KOTA YOGYAKARTA DINAS PENDIDIKAN


Bener Yegalrejo Kota Yogyakarta 55243

ANALISIS HASIL BELAJAR SISWA TAHUN PELAJARAN 2016-2017 Mata Pelajaran Kelas/Semester Materi Tes Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

: : : : :

Matematika Peminatan XI MIIA - /2 1 (GANJIL)

KKM

=

75

=

33

Polinomial 0 0

No

A. KETUNTASAN BELAJAR

Urut

NIS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

12000 12030 12031 12032 12037 12038 12040 12041 12042 12043 12047 12053 12056 12058 12059 12060 12061 12062

NAMA SISWA

NILAI Jumlah Peserta Tes

ANNISA RAHMA PRATIWI Zahra Saliha izzati ADHIKA BASTIAN BAGAS PRANANTA* ANGGI TASYA MARGARETHA MARPAUNG** CHRISTY GRACE UTAMI** CITTA ASTRI ANINDYAPUTRI** DINAN GALANDI CHRISTA** EDWIN** ELISABETH VENA ANDARISNA* ELLYCIA CELINE NATHALIA** HILLARY SEKARNINGRUM OMPUSUNGGU** RADEN AJENG PIETA MAESPUTRI WULANDARI* RENATA SMARA WENING LARASATI* RYAN ADE BAGUS* SALMA AUFA AZALIARAHMA SYAFIKA NURING FADIYAH VIDYA SYARIFAH ZAHRA RIZKY FITRIYANA

80 86 93 70 80 92 77 100 96 76 82 91 84 78 76 72 65 63

siswa

(Y)

Banyaknya siswa yang memperoleh nilai >= KKM = 25 siswa

(X)

Banyaknya siswa yang memperoleh nilai < KKM = siswa 8

Ketuntasan Belajar

= ( 𝑋 100%

)/𝑌 𝑥

=

25 33

x 100%

=

75,76

%

B. DAYA SERAP = (

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖


19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

12077 12078 12079 12081 12082 12083 12084 12085 12086 12087 12088 12089 12090 12091 12092

FATIMAH ZAHRO MAULIDDIYAH HAFIDH RIDWAN FAKHRUDDIN HAIDAR KUSUMASTUTI MARTSA MAHANANI MAYTSA ATIKA AL MAGHFIROH MUHAMMAD RAZAK AL RASYID MUHAMMAD RIZKI FATHURROHMAN MUTHIA FAHIRATUNNISA AMANY NAFISAH FAZA QINTHARI RASYID AULIA ALBA RIVANO DAFFA PUTRA SURYADHARMA SANDY SETYAWAN KERTAGOSA VIGOR SYENA PURWANTO VITRIYA ARUM SARI YOGA AZIZSTRA ATHALLAH

Jumlah Nilai Jml Siswa >= KKM Jml Siswa < KKM

88 82 71 90 81 79 78 91 68 80 78 72 82 76 70

2647 25 8

= ( 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑤𝑎 𝑥 100) 𝑥 100%


=

2647 3300

x 100%

=

80,21

%

C. TINDAK LANJUT 1. Siswa yang memperoleh nilai >= KKM, diberikan pengayaan. 2. Siswa yang memperoleh nilai < KKM, diberikan remidi.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0

33

25

LAPORAN INDIVIDU PRAKTIK PENGALAMAN LAPANGAN ( PPL ) LOKASI : SMA NEGERI 2 YOGYAKARTA

Recommend Documents