ST1 - Úkol 1 P°íklad 1
Myslivecký spolek po°ádá sv·j tradi£ní ples. Mimo jiné bylo nakoupeno lahvové víno
podle rozpisu v Tabulce 1.1. P°edpokládá se (podle historických zku²eností), ºe v²echny láhve budou prodány. Prodejní cena jedné láhve bude pro v²echny druhy stejná. V jaké má být vý²i, aby byl zisk z prodeje vína minimáln¥ 25% ? Tabulka 1.1
Odr·da
Nakoupeno lahví (ks)
Nákupní cena (K£/ks)
Merlot
25
62
Frankovka
30
58
Tramín
18
60
Pálava
15
56
Chardonnay
21
59
[Minimáln¥ 74 K£/láhev]
P°íklad 2
Soukromý autodopravce m¥°il spot°ebu nafty vozidel ve £ty°ech pobo£kách své rmy.
V kaºdé pobo£ce byla zji²t¥na pr·m¥rná spot°eba v²ech vozidel a její rozptyl. Spo£ítejte celkovou pr·m¥rnou spot°ebu
X
a celkový rozptyl spot°eby
S 2X .
Pot°ebné údaje jsou v Tabulce 1.2.
Tabulka 1.2 2
Pobo£ka
Pr·m¥rná spot°eba (l/100km)
Rozptyl spot°eby (l/100km)
P1
35
10,2
Po£et vozidel 8
P2
31
8,8
12
P3
34
9,0
6
P4
30
9,1
4
[X = 32,52 l/100km,
P°íklad 3
S 2X =
2
13,1 (l/100km) ]
Klient si zaloºil v bance termínovaný vklad s úrokovou sazbou 2,2% p.a. Po uplynutí
jednoho roku byla sazba zm¥n¥na na 1,5% p.a. Po uplynutí druhého roku banka vyhlásila sazbu 2,0% p.a. Jaké bylo pr·m¥rné ro£ní úro£ení tohoto vkladu ? Nab¥hlé úroky se po roce vºdy p°ipisují k jistin¥ a tento nový z·statek je dále úro£en aktuální sazbou, úroky se nedaní.
.
[X G = 1,90032% p.a.]
1
ST1 - Úkol 2 P°íklad 1
V Tabulce 2.1 jsou známky z písemné práce z matematiky. Kdo má vy²²í relativní
variabilitu známek ? Dívky, nebo chlapci ? Tabulka 2.1
Skupina
Známky
SX
X
VX
Chlapci
3 2 4 4 3 4 4 4 1 3
0,98
3,2
0,306
Dívky
4 4 2 2 2 4 1 4 3 2
1,08
2,8
0,385
[V¥t²í relativní variabilitu známek mají dívky.]
P°íklad 2
V jistém dom¥ byl provedem pr·zkum, jakou zna£ku auta mají jeho obyvatelé - viz
Tabulka 2.2. Jaká je variabilita zna£ky auta ? Spo£ítejte v²echny charakteristiky variability nominální prom¥nné, které znáte. Tabulka 2.2
Zna£ka Po£et
Audi
Fiat
Ford
Kia
Opel
koda
bez auta
3
1
2
2
3
5
3
[Mutabilita = 0,87; NomVar = 0,83; DorVar = 2,29; NormDorVar = 0,76.]
P°íklad 3
Spo£ítejte mutabilitu a nominální varianci prom¥nné
MHD,
která je na listu
ListC1 .
[Mutabilita = 0,72; NomVar = 0,709.]
P°íklad 4 List_E.
Spo£ítejte ²ikmost a ²pi£atost v¥ku fotbalist· - prom¥nné
F_Fotbal
a
[α(X) = 0,872;
1
F_Vek β(X)
na listu
= -0,436.]
Dále se takto budeme odkazovat na prom¥nné v souborech programu Statgraphics, které jsou ve°ej-
n¥ p°ístupné na webu http://eduro.webzdarma.cz/sta1.html v sekci DATA KE CVIENÍM. nebo na adrese http://multiedu.tul.cz/~jiri.rozkovec v adresá°i p°íslu²ného p°edm¥tu (ST1, ST1_P, STA, STA1).
2
ST1 - Úkol 3 - Pravd¥podobnost P°íklad 1
Jaká je pravd¥podobnost, ºe v kladném trojciferném £ísle ABC pro cifry A, B, C platí,
ºe A = B < C ? [P
P°íklad 2
=
36 900
=
0,04]
V krabi£ce je 6 modrých a 9 £ervených kuli£ek. Náhodn¥ vytáhneme bez vracení 5
kuli£ek. Kolik je moºností, ºe 3 z nich jsou modré a 2 £ervené? A jaká je pravd¥podobnost tohoto jevu? [720 moºností,
P°íklad 3
P = 0, 239760]
Jaká je pravd¥podobnost, ºe sázející vyhraje první cenu v loterijní h°e, kde se losuje 5
£ísel ze 35 ? První cena znamená, ºe uhodne v²ech p¥t vylosovaných £ísel. [P
P°íklad 4
tverci
J
o stran¥
a
bod kruhu ohrani£eného kruºnicí
opí²eme kruºnici
k,
k.
= 3, 08 · 10−6 ]
Jaká je pravd¥podobnost, ºe náhodn¥ vybraný
není prvkem £tverce
J
? Nápov¥da: zkuste pouºít geometrické
pojetí pravd¥podobnosti. [P
3
=1−
2 π
= 0, 363]
ST1 - Úkol 4 - Pravd¥podobnost P°íklad 1 tupn¥
A, B, C . P (A) = 0, 92, P (B) = 0, 97, P (C) = 0, 90. Na st°elnici jsou t°i st°elci
Pravd¥podobnost, ºe st°elec trefí ter£, je posKaºdý st°elec vypálí na ter£ jednu ránu. Jaká je
pravd¥podobnost t¥chto jev·:
1. ter£ zasáhl pouze st°elec B, 2. v ter£i není ani jeden zásah, 3. v ter£i jsou alespo¬ dva zásahy. [1.
P (AC ∩ B ∩ C C ) = 0, 00776
P°íklad 2
2.
P (AC ∩ B C ∩ C C ) = 0, 000024
3.
P (Z ≥ 2) = 0, 98708.]
Pan Higgins cestoval se svým oblíbeným kufrem z Anglie do Austrálie. Nejprve let¥l
se spole£ností
D
pak se spole£ností
z Londýna do Singapuru. Potom se spole£ností
F
E
ze Singapuru do Darwinu a
z Darwinu do Brisbane. Pravd¥podobnost, ºe doty£ná letecká spole£nost ztratí
zavazadlo, je postupn¥
P (D) = 0, 002, P (E) = 0, 010, P (F ) = 0, 008.
Jaká je pravd¥podobnost, ºe
se pan Higgins v Brisbane nesetkal se svým kufrem ? [P
4
= 0, 01988416]
5
P°íklad 3
Jsou dány jevy A a B , u kterých je známo:
1. Jsou jevy A a B nezávislé ? Nejsou, protoºe
P (A) = 13 , P (B) = 14 , P (A ∩ B) = 16 .
P (A)P (B) 6= P (A ∩ B).
2. Vypo£t¥te: 2 3,
(a)
P (AC ) =
(b)
P (A ∪ B) =
(c)
P (AC ∪ B C ) =
(d)
P (AC ∩ B) =
(e)
P (AC ∪ B) =
5 12 , 5 6,
1 12 , 11 12 .
Nápov¥da: znázorn¥te jevy pomocí Vennových diagram· jako podmnoºiny pravd¥podobnostního prostoru.
P°íklad 4
Z balí£ku 32 mariá²ových karet (hraje se s nimi nap°. hra Pr²í ) náhodn¥ vytáhneme 2
karty. Jaká je pravd¥podobnost, ºe druhá vytaºená karta je král, kdyº karty taháme
1. s vracením ? 2. bez vracení ? [1.
Roz²í°ení
P = 0, 125
2.
P = 0, 125]
Úkolu 3.
P°íklad 5
V autosalónu nabízejí ur£itý model auta celkem v 8 r·zných barvách. Jaká je pravd¥podob-
nost, ºe si 5 zákazník·, kte°í si tento model objednají, vybere pro své auto kaºdý jinou barvu ?
[P (A) = 0, 205]
P°íklad 6
V regálu je 66 ºárovek, z toho 2 vadné. Zákazník si náhodn¥ vybere 5 ºárovek. Jaká je
pravd¥podobnost, ºe mezi nimi je nejvý² jedna vadná ?
[P (X ≤ 1) = 0, 995]
P°íklad 7
Rovnostrannému trojúhelníku T je vepsána kruºnice k ohrani£ující kruh C . Jaká je
pravd¥podobnost, ºe náhodn¥ vybraný bod trojúhelníku T je i prvkem kruhu C ?
√ . P (T ∩ C) = π/ 3 3 = 0, 605
P°íklad 8*2
Na kruºnici k je umíst¥n bod A. Jaká je pravd¥podobnost, ºe náhodn¥ zvolená t¥tiva
této kruºnice, která prochází bodem A, je del²í, neº strana rovnostranného trojúhelníka vepsaného této kruºnici ? [Záleºí na mechanismu, který t¥tivu umis´oval. Bu¤
2
1 1 1 2 , nebo 3 , nebo 4 .]
Hv¥zdi£kou budou zna£eny p°íklady zajímavé z teoretického hlediska nebo p°íklady vy²²í obtíºnosti.
ST1 - Úkol 5 - Podmín¥ná pravd¥podobnost P°íklad 1
Z 32 mariá²ových karet vytáhneme bez vracení 3 karty. Jaká je pravd¥podobnost, ºe
t°etí karta není svr²ek (neboli m¥ni£) za podmínky, ºe aspo¬ jedna z prvních dvou vytaºených karet svr²ek je ? [P (A|B)
P°íklad 2*
Jsou-li jsou jevy
jsou také nezávislé, kdyº
P°íklad 3
A0
A, B
nezávislé, dokaºte, ºe dvojice jev·
zna£í dopln¥k k jevu
A
= 0, 902]
(A, B 0 ), (A 0 , B), (A 0 , B 0 )
atd.
Populace Kyp°an· se skládá ze 75% ek· a 25% Turk·. Víme, ºe 20% ek· a 10%
Turk· mluví anglicky. Jaká je pravd¥podobnost, ºe náhodn¥ vybraný Kyp°an mluví anglicky ? [P (A)
P°íklad 4 na
minci
= 0, 175]
A, B . Na minci A padne orel s pravd¥podobností 43 , 1 orel s pravd¥podobností . Hrᣠhodí mincí dvakrát. Jaká je pravd¥podobnost, 3
Hrᣠnáhodn¥ vybere jednu z mincí
B
padne
ºe orel padne dvakrát nebo ani jednou ? [P
6
= 0, 503]
ST1 - Úkol 6 - Diskrétní rozd¥lení P°íklad 1
P (X = xi ) X , t.j. x ˆ.
Je dána pravd¥podobnostní funkce
st°ední hodnotu
EX ,
xi
P (X = xi )
2
0,1
8
0,3
3
0,4
0
0,2
rozptyl
varX
a modus
diskrétní náhodné veli£iny
X.
Vypo£t¥te
P [EX
Dal²í p°íklady jsou pouze roz²í°ením
P°íklad 2
=
3,8;
varX =
8,76;
x ˆ=
3]
Úkolu 5.
Podnik má 100 sou£ástek od dodavatele D1, 200 sou£ástek od dodavatele D2 a 50
sou£ástek od dodavatele D3. Pravd¥podobnosti výskytu zmetku od jednotlivých dodavatel· jsou postupn¥ 0,01; 0,01; 0,03. Jaká je pravd¥podobnost, ºe náhodn¥ vybraný výrobek je zmetek ? Jaká je pravd¥podobnost, ºe vybraný zmetek je od dodavatele D3 ? [P (Z)
P°íklad 3*
=
1 3]
A, B , C . Její výb¥r cesty nezávisí na po£así. Pokud pr²í, pravd¥podobnost, ºe dorazí pozd¥ n¥kterou z cest A, B nebo C , je postupn¥ P (A) = 0, 06, P (B) = 0, 15, P (C) = 0, 12. Pokud nepr²í, odpovídající pravd¥podobnosti jsou P (A 0 ) = 0, 05, P (B 0 ) = 0, 10, P (C 0 ) = 0, 125. Sekretá°ka jde do práce jednou ze t°í cest
1. P°edpokládejte, ºe za slunného dne dorazí sekretá°ka pozd¥. Jaká je pravd¥podobnost, ºe si vybrala cestu C ? P°edpokládejte, ºe v p·m¥ru je jeden den ze £ty° dn· de²tivý.
2. P°edpokládejte, ºe v jistý den sekretá°ka dorazí pozd¥. Jaká je pravd¥podobnost, ºe je tento den de²tivý ? [1.
7
P = 0, 45
2.
P = 0, 285714]
