Laboratorní úloha č. 2 Vzájemná induktivní vazba dvou kruhových vzduchových cívek - Faradayův indukční zákon
Max Šauer
14. prosince 2003
Obsah 1 Popis úlohy
2
2 Úkol měření
2
3 Postup měření
2
4 Teoretický rozbor
5
4.1
Vlastní indukčnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4.2
Vzájemná indukčnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.3
Závislost vzájemné indukčnosti na úhlu natočení . . . . . . . . . . .
6
4.4
Zjednodušený výpočet vzájemné indukčnosti . . . . . . . . . . . . .
7
5 Naměřené a vypočtené hodnoty
8
5.1
Napětí a proud v primárním obvodu . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
5.2
Závislost vzájemné indukčnosti na úhlu natočení . . . . . . . . . . .
8
5.3
Vlastní indukčnost primární cívky . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
5.4
Vzájemná indukčnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
6 Závěr
9
1
1
Popis úlohy
Měřený model je složen ze dvou koncentrických kruhových vzduchových cívek, které je možno vůči sobě vzájemně natáčet. Cívky mají relativně malou tloušťku a výšku ve vztahu k poloměru, jejich magnetické pole lze přibližně považovat za pole buzené elementárním závitem. Vnější cívka (primární) je napájena přes ampérmetr střídavým napětím z N F funkčního generátoru. Úbytek napětí na ampérmetru je využit k zobrazení průběhu proudu na osciloskopu, napětí na cívce je měřeno voltmetrem V 1. Vnitřní napájecí cívka (sekudární) je připojena na voltmetr V 2, kterým lze měřit velikost indukovaného napětí a osciloskop, na kterém lze sledovat tvar indukovaného napětí.
2
Úkol měření 1. Z napětí a proudu v primárním obvodu vypočítejte velikost vlastní indukčnosti primární cívky 2. Z indukovaného napětí v sekundární cívce a proudu v primární cívce vypočítejte velikost vzájemné indukčnosti cívek 3. Změřte závislost vzájemné indukčnosti cívek na úhlu natočení mezi primární a sekundární cívkou 4. Vypočítejte vzájemnou indukčnost mezi cívkami za předpokladu, že magnetické pole je po celé ploše sekundární cívky konstatní a je rovno magnetickému poli uprostřed primární cívky. Primární cívku uvažujte při tomto výpočtu jako elementární závit (tloušťka a výška cívky je zanedbatelná vůči polomměru cívky) 5. Srovnejte naměřenou a vypočítanou hodnotu vzájemné indukčnosti cívek a posuďte, do jaké míry platí zjednodušující předpoklady výpočtu z bodu 4)
3
Postup měření 1. Porovnejte schéma zapojení se skutečným zapojením přístrojů a podívejte se, který přístroj co měří 2
NF generátor funkcí by měl být nastaven při měření vlastní a vzájemné indukčnosti na sinusový tvar napětí, bez rozmítání kmitočtu. Pro měření vlastní a vzájemné indukčnosti je vhodný kmitočet asi 1 kHz a nastavená amplituda výstupního napětí generátoru naprázdno 10 V, což je maximální napětí, které je generátor schopen dodat. Při pozorování průběhů nesinusových veličin budícího proudu a indukovaného napětí je vhodné velikost kmitočtu snížit asi na 100 Hz. Při vyšším kmitočtu vyhlazuje indukčnost příliš silně průběh protékajícího proudu, což má za důsledek to, že se nepovede dobře vybudit trojúhelníkový ani obdélníkový průběh proudu. Voltmetry a ampérmetr by měly být orientačně nastaveny na tyto rozsahy: Voltmetr 1, napěťový rozsah AC Voltmetr 2, napěťový rozsah AC Ampérmetr v primárním obvodu AC
20 2 200
V V mA
Osciloskop: první kanál paralelně s ampérmetrem - snímá tvar proudu druhý kanál paralelně s voltmetrem 2 - snímá indukované napětí 2. Změřte napětí a proud na primární cívce. Tyto hodnoty poslouží k výpočtu vlastní indukčnosti primární cívky L1 3. Změřte proud v primární cívce a napětí na sekundární cívce v závislosti na úhlu natočení cívek. Hodnoty indukovaného napětí umožní vypočítat vzájemnou indukčnost v závislosti na úhlu natočení. 4. Sledujte na osciloskopu časový průběh napětí a proudu. Tvar budícího proudu měňte přepínáním tvaru výstupního napětí na generátoru. Při sinusovém budícím proudu je napětí posunuto o úhel π2 . Indukované napětí se mění v závislosti na úhlu natočení, při natočení o úhel π2 je indukované napětí nulové, při otočení civky o 180◦ se změní smysl indukovaného napětí. Při trojúhelníkovém budícím proudu má indukované napětí obdélníkový průběh a při obdélníkovém průběhu má indukované napětí tvar kladných a záporných pulsů v místě změny proudu.
3
Obrázek 1: Schema zapojení
Obrázek 2: Základní rozměry modelu
4
4
Teoretický rozbor
4.1
Vlastní indukčnost
V případě, že je primární cívka na svorkách buzena ze zdroje harmonického napětí s časovým průběhem u1 (t) = Um1 · sin(ωt) (1) o úhlovém kmitočtu ω = 2πf
(2)
a zanedbáme-li úbytek napětí na činném odporu cívky, je svorkové napětí v ustáleném stavu rovno indukovanému napětí v cívce a je úměrné časové změně magnetického toku, který cívkou prochází, tedy u1 (t) = N1 ·
d Φ1 (t) dt
s cívkou je tedy vázán spřažený magnetický tok o velikosti Um1 π N1 · Φ1 (t) = · sin ωt − ω 2
(3)
(4)
který je zpožděn za napětím o úhel π2 . Uvážíme-li, že vlastní indukčnost udává podle statické definice závislost mezi vybuzeným magnetickým tokem a budícím proudem: N1 · Φ1 (t) = L1 · i1 (t) odpovídá magnetickému toku proud procházející cívkou Um1 π π · sin ωt − = Im1 · sin ωt − i1 (t) = ω · L1 2 2
(5)
(6)
Tento vztah platí za předpokladu, že je indukčnost konstantní, nezávislá na velikosti proudu. Podmínka je splněna u vzduchových cívek, proud procházející cívkou je v tomto případě harmonický. Kdyby byla cívka nasazena na feromagnetické jádro, proud procházející primární cívkou by vlivem nelineární magnetické charakteristiky obsahoval i vyšší harmonické složky. Amplituda primárního proudu je : Im1 =
Um1 ω · L1
5
(7)
vlastní indukčnost primární cívky je : L1 =
4.2
Um1 U1 = ω · Im1 ω · I1
(8)
Vzájemná indukčnost
Část toku vybuzeného primární cívkou se váže se sekundární cívkou o Zavedemeli vzájemnou indukčnost jako vztah mezi budícím proudem v primární cívce a magnetickým tokem procházejícím sekundární cívkou N2 · Φ12 = M12 · I1 bude magnetický tok spřažený se sekundární cívkou roven π N2 · Φ12 = M12 · i1 (t) = M12 · Im1 · sin ωt − 2
(9)
(10)
V sekundární cívce se časovou změnou magnetického toku indukuje napětí : u2 (t) = N2 ·
d d Φ12 (t) = M12 i1 (t) = ω · M12 · Im1 · sin(ωt) dt dt
(11)
Amplituda indukovaného napětí je Um2 = ω · M12 · Im1
(12)
a vzájemná indukčnost potom M12 =
4.3
Um2 U2 1 = · ω · Im1 I1 ω
(13)
Závislost vzájemné indukčnosti na úhlu natočení
Indukční vazba mezi cívkami je největší v případě, že jsou cívky v jedné rovině. Magnetická indukce primární cívky v tomto případě protíná kolmo plochu sekundární cívky, tomu odpovídá i největší magnetický tok sekundární cívkou. Měníme-li vzájemné natočení cívek, prochází plochou sekundární cívky magnetický tok, jehož velkost je úměrná průmětu magnetické indukce do plochy sekundární cívky. 6
Označíme-li M12max vzájemnou indukčnost při maximální vazbě, je skutečná vzájemná indukčnost závislá na úhlu natočení podle následujícího vztahu: M12 (α) = M12max · cos(α)
(14)
Pro úhel α = π2 jsou cívky na sebe kolmé a induktivní vazba mezi nimi je nulová. Pro úhel α = ±π jsou cívky v jedné rovině, vzájemná indukčnost je maximální a rovna M12max .
4.4
Zjednodušený výpočet vzájemné indukčnosti
Vzájemnou indukčnost je možno zjednodušeně vypočítat za předpokladu, že primární cívka vybudí takové magnetické pole, které je na ploše sekundární cívky konstantní a rovné magnetickému poli uprostřed primární cívky. Pole uprostřed primární cívky, která svými rozměry připomíná elementární závit, se snadno vypočte podle vztahu: N1 · I1 H1 = (15) 2 · r1 Tomu odpovídá magnetická indukce uprostřed primární cívky B1 = µ0 · H1 = µ0 ·
N1 · I1 2 · r1
(16)
Sekundární cívkou o poloměru r2 prochází magnetický tok Φ12 = B1 · π · r22 = µ0 ·
N1 · I1 · π · r22 2 · r1
(17)
s použitím definičního vztahu pro vzájemnou indukčnost potom platí: N2 · Φ12 = M12 · I1 N1 · N2 · I1 · π · r22 = M12 · I1 2r1 vzájemná indukčnost je tedy: µ0 ·
M12 = µ0
N1 · N 2 · π · r22 2r1
7
(18) (19)
(20)
5 5.1
Naměřené a vypočtené hodnoty Napětí a proud v primárním obvodu U1 = 4.251 V I = 90.28 mA
5.2
Závislost vzájemné indukčnosti na úhlu natočení úhel I1 U2 úhel I1 U2
5.3
[◦] [mA] [V] [◦] [mA] [V]
0 90.30 0.599 90 90.32 0.003
20 90.30 0.545 120 90.32 0.241
40 90.31 0.438 140 90.32 0.405
60 90.31 0.258 160 90.32 0.536
80 90.31 0.110 180 90.32 0.597
Vlastní indukčnost primární cívky
Podle vztahu (8) je tedy vlastní indukčnost primární cívky při 1kHz L1 =
5.4
U1 = 7.97 · 10−3 H 2πf · I1
Vzájemná indukčnost
Podle vztahu (13) odpovídá vzájemná indukčnost při 1kHz a α = 0◦ M12 =
1 0.599 U2 · = = 1.06 · 10−3 H −3 I1 2πf 90.30 · 10 · 2π · 1000
Vzájemná indukčnost podle bodu č.4 zadání úlohy odpovídá vztahu (20),tedy: 0
M12 = µ0 ·
160 · 100 · π · 0.13752 = 1.92 · 10−3 H 2 · 0.310
což při permeabilitě µ0 = 1.2567 · 10−6 NA−2 tvoří rozdíl 81.13%. 8
6
Závěr
V měření jsme stanovili vzájemnou indukčnost cívek, přičemž hodnota zjištěná v měření se od vypočtené liší o 81.31%, zjednodušující předpoklady z bodu č.4 zadání úlohy platí pouze řádově. Dále jsme během měření studovali proudový model elektrostatického pole, povrchový jev ve vodiči protékaném střídavým proudem a měřili jsme magnetické pole dlouhého solenoidu. Výsledky těchto měření jsou uvedeny v příloze.
9
Literatura [1] Jerhotová, Macháč, Škvor: Počítačové a laboratorní úlohy v elektromagnetickém poli, ČVUT 2002 [2] Coufalová, Chvojková, Němec, Novotný: Teorie elektromagnetického pole Příklady, ČVUT 1992
10
