l)| FFERENCIÁLEGYENLET-RENDSZERREL KAPCSOLATOS CAUCHY-FELE PROBLÉMA LP [a, b]-BELI EGYÜTT!-IATO FÜGGVÉNYEKKEL OBÁDOVICS J. GYULA Kézirat beérkezett: 1 969. december 19-én.
I. Bevezetés lclentse WS:) [a,b] (l<.p<+ °°) az [a,b] intervallumon értelmezett olyan ıııggvéııyvektorok halmazát, melyeknek n - 1- edik deriváltja létezik, abszolút foly ılzııos és a majdnem mindenütt létező n -edik derivált Lp[a,b]-beli, [5], [6]. trı) A WP vektortérben értelmeztük a következő normákat:
ı f 11°”wg,, ="'1 igo ıf9
(zz)ı,,+ ııf<"> ıılp.
(Ö) llfllwpj z nÉ ııf“°ııLp , “in
(1) (2)
C
(C)
llfllwm) = ||fl|C(„_1) + llf
P
(n)
||Lp,
(3)
P
.ıım-lyuk egymással ekvivalensek. Bizonyítható, hogy e normákkal a WS:) tér Hfmıwh-tér.` legyenek az
ıço) = 1f;,(x)1 mXm
ıııppvı-ııyı1ı:itı`ixok 1:0, 1.2,. . . ,n-1 mellett LP [a, b]-beli függvénymátrixok, azaz \'.1I!1 A„.:h-rm“ı1v1'ı`. ll-'. .S'.«ımzar. ˇ!'crm(fszetmdrm1án_yOk, 2.?(!97ó), 15-37
15
F;-(x)ELp[a,b],
(ı'=0,1,2,...,n-1),
továbbá vezessük be az mXm típusú egységmátrixra az
F„(×) = [Ö„l mXm
jelölést, ahol 6,, a szokásos Kronecker-féle szimbólum. Legyen az
y=J×(x) függvényvektor m komponensű oszlopvektor és értelmezzük a következő n-ed rendű közönséges lineáris differencíáloperátort:
1,, :_
ŠM=
(,,),,® =y<"> +F„_1(z)y("-1>+ . . .+F, (z)y=+F.,(x)y.
-FJ
Az Pl-(x) függvénymátrixokat az L differenciáloperátor együttható-mátrigÍa)inak nevezzük. Válasszuk az L operátor értelmezési tartományául a Wgı) [a, b]-beli függvény Vektorok halmazát, vagyis legyen -
D(L)= wg” [a, D1. 1.1. T ETEL. Minden y(x) G Wgû függvényvektor esetén Ly(x) E LP és L E Wgı) -> Lp lineáris korlátos operátor, vagyis létezik olyan K állandó, hogy minden y(x) E Wgû mellett
ııLyııLp < K ııyııww ,
(s)
P
ahol llyllwm) az (1), (2), (3) egyenlőséggel értelmezett bármelyik normát jelenti B IZONYÍ TÁS. Legyen y(x) E Wgı), akkor
-1
Ly =r(”) + :Él F1-(x)y('7, amiből
ıtLyııLp < ııy ( " 1 ııLp + "'1 šo ııF,.y'0 ııLp.
16
(6)
A |tı| (6) egyenlőtlensége alapján
ıF,(x>y“> (x>ı,, < ıf«`.(x>ı,, ıy“)(x)ı,,
(-Š-+ -Š-=ı).
(7)
Az. A (24) egyenlőtlensége alapján, ha a a=y(Ü (x) és p'=q,
ıy<“ (xi 1,, < mlfs ıyf” (xi ı,, < „zl/ff
max ıyf” (x) 1,, (8) x É [a, b]
A K, = ml” jelölés mellett (7)-ből (8) alapján az
ıF,(x) yi” (x) 1,, < K, ıF.-(x) 1,, max
ıyf” (x) 1,,
x E [a, b]
fzllvı-ıılñtlcnséget kapjuk, melyből az
(0
b
(Ü
P
"Fly "L = I(|F}(×)y (×)lp) dx P
1/11
6
< Kl
max
lym (x)|
x E [a, b]
<
||Fi||L
P
P
euvvıılllllcııség adódik, így (6)-ból
-1
ııLyııL < ııy(">ııL 1+ K, 'Íz ıı1=;.ııL P
P
I=0
max ıy(°(x)ı _ P x G [a, b]
P
Vczessük be a Kl=Kl max ||F,||L állandót,akkoraz l P
ııı.yıı,_p < ııy ( zz ) (LP + K, ııyııC(„_,, P
zzllwıılfeitlcnséget nyerjük, amiből már leolvasható, hogy létezik o1yan.K állandó, lıııgy
() ııı.yııLp < Kııyııăg, , .mııhfıl a [6] 3.1. tétele alapján a bizonyítandó 1.1. tétel már következik. legyen f (x) G Lp[a, b] adott függvényvektor, akkor az
y“”+ F.-. (xi y<"`1>+ . .. + F. (zo y' + 1-`„(x)y = fo:) vııp_y tıwltlcıı 32.
Ly=f(x)
wı
egyenletet n-ed rendű közönséges lineáris (m ismeretlen függvényt tartalmazó) differenciálegyenlet-rendszernek nevezzük. Rövidség kedvéért (9) egyenletet a továbbiakban n-edrendű differenciálegyenletnek nevezzük. Ha f(x)E 0, akkor a (9) egyenletet homogén egyenletnek szokás nevezni. A differenciálegyenlet-rendszerekre vonatkozó klasszikus egzisztencia és unicitás tételek folytonos együtthatófüggvények mellett nyernek igazolást. Mivel a mi esetünkben az f(x) és az F,-(x) együtthatómátrixok Lp[a,b]-beliek, ezért az említett egzisztencia és unicitás tételek jelen esetben nem alkalmazhatók. Az 1.1. tételből következik, hogy az f(x) és P}(x) E Lp[a,b],(i=0, 1, 2,.. ...,n-1) feltételek mellett (amit a továbbiakban egyszer s mindenkorra kikötünk) a (9) egyenlet megoldását célszerű a Wgı) [a,b] függvényvektor-térből keresni. Mivel az 1.1. tételből csak az következik, hogy az L operátor értékkészlete LPben fekszik, azaz
R(L) C L,,1zz,b1, ezért az eddigiekből természetesen nem következik, hogy a (9) egyenletnek minden f(x) G LP esetén létezik y(x) E WS” megoldása. A későbbiek folyamán kimutatjuk, hogy R(L)=Lp[a, b] (l.a. 4. pontot), amiből már lçõvetkezik 3 (9) egyenlet WS” -beli megoldásának létezése minden f(x) E Lp[a,b] mellett. DEFINÍCIÓ. A (9) egyenletre vonatkozó Cauchy-féle vagy más szóval kezdetiérték-problémán a következő feladatokat értjük: Keressük meg a (9) egyenlet olyan y (ll) E WS” [a, b] megoldását, amelyre teljesülnek az alább1`j`elrétclek.`
yf'7(zz)=z~,..
(z`=o,ı,2,...,„-1),
ahol ce, cl, ez. . _ . , cn__1 adott Em-beli Vektorok. 2. A differenciálegyenlet-rendszerre vonatkozó Cauchy-féle probléma visszavezetése integrálegyenlet-rendszerre Ebben a pontban megmutatjuk, hogy az 1. pontban kitűzött Cauchy-féle probléma megoldása ekvivalens egy alkalmas módon választott lineáris integrálegyenlet-rendszer megoldásával. Az ekvivalenciát itt úgy kell érteni, hogy ameny-
18
ııyiben a Cauchy-problémának létezik megoldása, úgy e megoldásból előállithzıtó az integrálegyenlet-rendszernek is egy megoldása és megfordítva. A) Tegyük fel először, hogy az 1. pontban kitűzött (fauchy-problémának létezik egy y(x) E Wıfm [a,b] megoldása, azaz y(x) függvényvektorra fennáll az
Ly=y("*(x)*ÍÉŠP}(x)y“)(×)§f(x).
(xõıebıj
(10)
azonosság, valamint y(x) eleget tesz az
yffl (zz)=zz,
(z`=o,1,2,...,„-1)
(ıı)
kezdeti feltételeknek. Alkalmazzuk az y(x) függvényvektorra az általános Taylor-formulát, akkor ıız.
egyerılőséget nyerjük, ahol a (11) kezdeti feltételek gyelembevételével n-1 c-
.
12.,-, (×)= 30 ff (x-8)'
(13)
és V,,_ly 0*)
(x-r)"`1
t dt. (X) = lx 1"(n_1)! y Ü) ()
A (10) és (12) egyenlőségekből az
Ly(x) = LP„_l (X) + L V,,_l yi” (I) šf(×) azonosságot kapjuk, ahol bevezetve a
goz) =f(x)- L z»,,-l (x)
(14)
jelölést, a következő azonossághoz jutunk:
L V„_ly<'” (x)Eg(x).
(IS)
de n-1
L V„_1y("> (z)=y("> (x)+ iso F,(x) V„_,._1 yi” (x). Vezessük be a
l )
„-1 (x-t)l"“
V(.z,z)=._š0 í__;__l__í_ F,(x)
(10)
jelölést, akkor
L V„-,y<"> (x) = y<"> (zz)-Í Vo. z)y<"> (odf, 6'
amelyből (15) alapján a következő azonosságot nyerjük: X
y<">(x)-1 V(x,f))»<"> (nd: Ezo).
(xõ1«z.b1).
(17)
A (17) azonosság fennállása azt jelenti, hogy az y(") (x) függvényvektor kielégíti a
~r(x)-,Í V(×.f) v=(f)df = s(x)
(18)
ún. Volterra-féle integrálegyenlet-rendszert, ahol
[A (x)l ez (X) ' v>(X) = 1 „,() „
L9
xj
m komponensu ismeretlen függvényvektor, g(x) a (14) egyenlőséggel értelmezett függvényvektor, V(x, t) a (16) egyenlőséggel de niált mXm típusú függvénymátrix. Nyilvánvaló, hogy a g(x) függvényvektor, valamint a V(x, t) függvénymátrix az Ly = f(x) differenciálegyenlet-rendszer együtthatómátrixaiból, jobboldalából és a kezdeti feltételekből egyértelműen meg vannak határozva. ,_
,-
Megjegyezzük még, hogy az 1.1. tétel alapján g(x) E LP [a, b], továbbá könnyen igazolható, hogy létezik olyan v(x) E LP [a, b] függvény, amelyre
ıV(x.r)| ,, < v(x).
(M Gta. 121)-
(19)
Valóban, a V(x, t) függvénymátrix (16) alatti értelmezéséből nyilvánvaló, hogy rt-1
ıV(x,z)ı,.,<.M-i§0ı1=;(x)ı,,,. 20
b..-
M=
max
o<ız<„-1
Š--Ég-)f
"-
arníből az együtthatómátrixokra tett feltevés alapján az állítás már következik. B) Tegyük fel most, hogy a (17) integrálegyerılet-rendszernek létezik lcgulıtbl egy (,o(x) G Lp[a,b] függvényvektor megoldása. Jelentse pn-1 (x) a (13) egyenlőséggel értelmezett polirıom vektort, akkor megmutatjuk, hogy az
.v(×)=P,,-l(×)+ V„_l (v(x)
(20)
egyenlőséggel értelmezett y(x) függvényvektor megoldása a Cauchy-problémának. A [6] 2.2. lemma alapján
y(x) E wý” tzzbı y('7(a)=c,
(z'=o,1,2,...,„-1)
(21)
továbbá a [6] (16) egyenlősége figyelembevételével
Ly(x) =LP„_l (x)+ L V„_l (0(x) =LP„_l (x)+ (0(x) + n-1
+1330 P1-(X) V,,_,-_l ~.0(r), amiből (16) alapján
L) (x) = Lp,,_, (x) + (zo) -Í V(x. f) (»(»)df. Ű
(22)
Mivel a feltevés szerint (p(x) megoldása a (18) integrálegyenlet-rendszernek. ezért (22)-ből
Ly (x) = L t',,_l (X) + 8(x). amelyből a g(x) függvényvektor (14) alatti értelmezése alapján az
1-y(x) =f(X),
(X G 10,111)
egyenlőséghez jutunk, amiből (21) figyelembevételével már következik, hogy az y(x) függvényvektor megoldása a Cauchy-problémának. A fenti A) és B) pontokban kapott eredményeket összefoglalva, fennáll a következő
2l
3.1. '|` I'-1'|ll-' I... Ha valamely y(x) Ez H-';)") [a.,b_| liggvényıfektor ım'golıla.w a (U) egyenletre vonatkozó Cauchy-problémanak, akkor a zp(x)= ym' (_x) ,`ı`ggı*ény-
rektor LP la, b ]-beli megoldása a (18) ıˇntegralegrenlet-rendszernek. Megforclítva, ha valamely zp(_x) G Lp [a, b] függvényvektor kı`elégı'tz` a (18) integralegyenlet-rendszert, akkor a (20) egyenlőséggel értelmezett y(x) függvényvektor WS” [a, b]-beli megoldása a (9) egyenletre vonatkozó Cauchy-problémának. 3. lntegrálegyenlet-rendszer megoldásának egzisztencia és unicitás tétele Legyenek
v,,s(x,t)
(r,s=1,2,...,m)
azašxšb, aštšb négyzetben értelmezett olyan komplex értékű kétváltozós függvények, amelyekhez létezik olyan v(x) E Lp[a, b] nemnegatív függvény,hogy a Í/(JC, F) = [vrs (X, Ü]
(23)
mXm egyenlőséggel értelmezett függvénymátrixra fennáll a lV(x, t) lp é v(x)
(x, t G [a, b])
(24)
egyenlőtlenség. Megjegyezzük, hogy a (16) egyenlőséggel értelmezett függvénymátrix a (19) egyenlőtleııség alapján rendelkezik a fenti tulajdonságokkal. A (23) magmátrix segítségével értelmezzük a következő ún. Volterra típusú integráloperátort: P
1 r
\
x Í ~r>z(x) . V80=f V(Xzf) w(f)df„ v>(x)= - § a
t
Ltpm
(25)
(x) Š
J
Legyen a V operátor értelmezési tartománya
D(V)=Lp[a,b]. 3.1. LEMMA. Létezik olyan K>0 állandó, hogy bármely ıp(x) G Lp[a,b] függvényvektor esetén fennáll a következő egyenlőtlenség: 22
lV«P(X.)|p=ã K`v(x)š |«p(f)|p dr
(X G lf1zb|)-
(20)
B IZONYÍTÁS. Legyen tp(x) E LP [a,b] tetszőleges függvényvektor, akkor ıı lo] 3.2 lemmája alapján
ıwıp = ıfG Vu, 1) «p(r)dfı,, < Íıı/(x ,o tm) 1,, dr. ű
(27)
A (24) és [6] (6) egyenlőtlenség gyelembevételével
ıvtz. f) W) ı,, <. ı V(x.z~> ıp ~ mz) ıq < v(x) - ml” mr) ı,,. ( .§.
P
= 1},
Q
amiből a K = :nm jelölés mellett (27) felhasználásával (26)-hoz jutunk. 3.2. L EMMA. Legyen f(t) tetszőleges mérhető, Lebesgue-mtegrálhatıl függ vény az [a, b] intervallumban és legyen I1 = l és
fe
fız-ı
'2
1,,= f f(z,,„,) ( f f(f,,_2)-„if ftmzffıı..-zff,,-,)«1z,,_,. Ú
Ű
0
(k= 2, 3,... és tk E [a,b]). akkor minden k= 1, 2, 3, . . . és bármely tk E [a, b] mellett fennáll a következő azonosság:
I"`
1 (tl ff (zz--1)' .fm d)'*'1 Í- "
“ 283'
B IZONYÍTÁS. Nyilvánvaló, hogy a (28) azonosság k= l és k = 2 mellett fennáll. Tegyük fel, hogy (28) fennáll valamely k>2 természetes egész szám mellett. Legyen tk E [a,b] tetszőleges pont és szorozzuk meg a (28) azonosság mindkét oldalát f(tk)-val, majd az így nyert egyenlőséget tk szerint integráljuk az [a, tk,1] intervallumban, akkor az l Ik.|.1:
Ík+ı
tk
ál f(Ík) (ál f(-")Í-Ü)
k`1 dfk
( (2))
egyenlőséget nyerjük. Mivel majdnem minden tk E [a, b] esetén cl
Íız
---(f f(f)dr) =f(fz,). dlk a 2!
ezért (29)-ből következik, hogy _
1
1
fız
'««+1r„t-„z lzäš f(””'>
k Íıvı
l
'fm
k
='zi.I?
~
ami azt jelenti, hogy a (29) azonosság k+ 1 mellett is fennáll. 3.3. L EMMA. Léteznek K0 és M nem negatív állandók, hogy minden zp(x) (5 Lp [a, b] függvényvektor mellett fennáll a következő egyenlőtlense'g: K-1
|Vl<`p(x)|pŠ_ K0
||`0||Lp. v(x),
(k=2,3,...,x E [a,b])
(30) B IZONYÍTÁS. Először megmutatjuk, hogy létezik olyan K állandó, hogy minden x E [a,b] és k = 1, 2, _ .. ınellettf-.fezn-náll a
u*ang
on
egyenlőtlenség, ahol I1( x) E 1 és k 2 2 esetén x
Í -
1k(z)=j ız-(fm) ('Ílv(zk_2)...[}2v(z,)ar,1...afk_2)azk_1. Mivel
x b f|tp(t)|p dtš fl«,a(t)|p dt
(x E [a,b]),
ezért (26)-ból
ıVaon„
(xõrabn.
ami azt jelenti, hogy a (31) egyenlőtlenség fennáll k =l mellett. Tegyük fel, hogy (31) fennáll valamely k természetes egész szám mellett. Alkalmazzuk a (26) egyenlőtlenséget tp(x) helyett Vkolx)-re, úgy az
X R v>(f;„)|p dtk Il/zız+ı =.0(X)lp = |V(Vız v0)|p<.Kv(x) IIV 0
egyenlőtlenséget nyerjük, amiből az indukciós feltevés alapján
»+1 s0(X)lp
IV*
Š K
1-:+1
Ö
«
X
G
G
=K”1lwan a p a~nxr1k+l to ' `1
~
v(x)' f |*„0(f)lp dl' f V(Ík)1k(Íı;)CÍÍk =
ami azt jelenti, hogy a (31) egyenlőtlenség k + l mellett is fennáll. A 3.2. lemma alapján minden k= 1, 2, . _ . és x E [a,b]mellett 1
x
Í,,(X)=z;:`l")`!` (ál v(f)äf)
k-1
,
melynek alapján (31)-ből a
ıvwziıp <ı<'f~f'”ız.«»(f>ı dz~»(x> -i-(l'»(f>a>'“" a P (lt-1)! a egyenlő enséghez jutunk. Itt vezessük be az b
M = k ~ f v(t) dt 0
jelölést, akkor a k-1 (t)|,, dt . v(x)
(32)
egyenlőtlenséget nyerjük. Végül a Hölder-egyenlőtlenség alapján
b H f |,0(r)| dr<(b-a) “Í - llzpllL , a
P
P
így a K0=K(b -a)”q jelölés bevezetésével (32)-ből (30) már következik. 3.1. T ETEL. Jelentse V a (25) egyenlőséggel értelmezett Volterra-tipusú integráloperátort, akkor tetszőleges g(x) G Lp[f1, b]fÜ82Vë"J'V@kÍ0l' menfff 0
v(x) - V v(x) = e(-I)
(33)
Volterra-típusú integrálegyenlet-rendszernek létezik - éspedig egyetlen - tp(x) E Lp la, b] megoldása; e megoldás előállítható
z.z»(x>=;š:'0 V'°g(x)
(84)
alakban, ahol a sor LP- normában is és majdnem minden x E [a, b] mellett közönséges értelemben is konveıgens B IZONYÍTÁS. A (30) egyenlőtlenség alapján tetszőleges tp(x)ELp[a,b] függvényvektor mellett k-ı k
_j
k
||V tpllllp-I
f-\
P
lllp
IV talp) dxí
M
šK0|lv||Lp ---W l|tpl|Lp,
Íãv_`°_
25
uıvihől a K1 = K0||v|lL
jelölés bevezetésével a P
uv* Hp ı
(k-1,2....)
(35)
egyenlőtlenséget nyerjük. A (35) egyenlõtlenségből egyrészt következik, hogy V E LP->Lp lineáris korlátos operátor, másrészt fennáll a következő egyenlőtlenség: Mk-1
ııV'fıı
(ız=ı,2,...),
(36)
A (36) egyenlőtlenség alapján a +5300 Vk sor operátor normában konvergens (itt V°=I, ahol I az egységoperátor LP-> LP -ben), így a sor összege lineáris korlá tos operátor. Jelentse S a sor összegét, azaz
:Mt fi-
S=_
akkor nyilván D(S) =Lp, S E LP-*LP lineáris korlátos operátor és egyszerűen igazolható, hogy SÜ-V)= (I- V)S=I,
amiből következik, hogy (I - V)`1 létezik, és
Š (1-V)`1= s= _ Vlf. *M O
Ezek után tekintsük a (33) integrálegyenlet-rendszert, amely az
(Í"' V) (P = 8(I)
(37)
alakban írható. Fentiek alapján nyilvánvaló, hogy a (37) integrálegyenlet-rendszernek minden g(x) E Lp[a,b] függvényvektor mellett létezik - éspedig egyetlen v(x) E Lp[a, b] megoldása, mely előállítható
v(x) = (1- VT* 8 = ZZMŠ V* ze)
(88)
alakban, ahol a sor LP normában konvergens. Mivel a (30) egyenlőtlenség alapján juk-1
ıV'°z(x)ı,,< K0 Ü-C-:~1-3; l 8lI,_p ~ v(x). 26
(39)
ezért a (38) sor közönséges értelemben is konvergens minden olyan x E |a,b] mellett, amelyre v(x)<+<×>,amiav(x) G LP[a,b] feltevés miatt majdnem ııılııdcıı x E5 |a,b] mellett teljesül. K ÖVETKEZMENY. A bizonyított tételből következik, hogy a (25) egyen lőséggel értelmezett V operátor teljesíti a következő feltételeket: a) V G LP-*LP lineáris korlátos operátor, b) I - Vleképezi az egész LP teret az egész LP térre kölcsönösen egyértelmű módon, c) (1-- V)`1 E LP->LP lineáris korlátos operátor. l. MEGJEGYZES. Mivel az Lg, térben a normában való koııvvrgcııelıı ıı mııjtl nem mindenütt való egyenletes konvergencia, ezért p= +00 esetén ıı (.13) vgwıılvı (34) alatti megoldását előállító sor majdnem minden x E |a,b] ıııcllett (~gy(~ııl«tesen konvergens. II. MEGJEGYZES.Haa(_23) alatti V(x, t) magmátrix folytoııos n`ııt<..\~xl)_
aštšb négyzetben, akkor nyilvánvalóan létezik az [a, b] lntervallıııııbıııı tıılv tonos olyan v(x) függvény, amely mellett a (24) egyenlőtlenség feııııztll. It-gyıılt lvl továbbá, hogy a (33) integrálegyenlet-rendszer jobboldalán álló g(x) t`üggvéııyv(-ktm is folytonos [a,b]-ben. Ebben az esetben a 3.1. tétel bármely l
hogy a (38) sor egyenletesen konvergens [a, b ]-ben. Mivel a sor tagjai nyilván folytonos függvényvektorok, ezért a sor összege is folytonos, így fennáll a kövctlcezñ 3.2. T ETEL. Ha a (23) egyenlőséggel értelmezett V(x, t) magmátrix folytonos az a <x éb, a
Lv =
CD
F,-(x) .vw = f(x)
y(*7(zz)=z.-I.,
(40)
(z`=O,1,2,...,„~ı)
Cauchy-féle probléma megoldhatósága ekvivalens a 27
X
v(x)-f V(x„t) v(f)ät=s(x) Ű
(4l)
Volterra-tipusú integrálegyenlet-rendszer megoldhatóságával, ahol V(x t)= "Él (x_ Ü"-H F.(x),
(42)
g(x) =f(x)-Lp„-, (8).
(48)
'
:zo (zz-z`-1)!
'
amelyben n-1
p,,-, (x) = 30
C-
-
(x~4)'.
(44)
A 3. pontban nyert eredmények alapján már könnyen igazolható a következő fontos 4.1. T ETE L. Legyen 1 Š p < + °° tetszőleges rögzített szám, legyenek Fı.(x) E LP[a, b] (i = 0, 1, 2, . . . ,n-l)adottfüggvénymátrixok,f(x) E LP[a, b] adott függvényvektor, és c0,c1, _ . . ,cP_ı adott vektorok, akkor a (40) Cauchy-féle problémának létezik egy és csak egy y(x) EE Wšm [a, b] megoldása.
B ızonví-ms. Tekintsük z (42) magmátfıx áııaı ınaukztıı JC
V(4=fd V(x,r)~4(r)dt
(45)
Volterra-tipusú integráloperátort, értelmezve a függvényvektorokból álló LP [a, b] térben, azaz
D(V)=1.P[zz,b]. Figyelembe véve a (19) egyenlőtlenséget, a (45) operátorra alkalmazhatók a 3. pontban nyert eredmények, így az 3.1. tétel alapján a (41) integrálegyenletrendszernek létezik egy és csak egy (v(x) E LP [a,b] megoldása, mely előállítható
v(x) = (1- V)`*g= ,go V'“g(x)
(46)
alakban. Ekkor a 2.1. tétel alapján az
y(x)=P„_, (X)+ V„_,v>(x)
(47)
egyenlőséggel értelmezett függvényvektor Wg” [a,b]-beli megoldása a (40) Cauchyproblémának, amivel megmutattuk, hogy a (40) Cauchy-problémának létezik legalıibb egy megoldása. Megjegyezzük, hogy (47)-ben pP_l(x)a(44) egyenlőséggel értelmezett polinomvektort jelenti, míg 28
V
5-:
z-K - --Íélf-)-tl (na:
"dwm l':ı'~_..,× (n-l)"0
(48)
'
Megmutatjuk, hogy a (40) Cauchy-problémának csak egyetlen megoldása létezik. Tegyük fel ugyanis, hogy két y,(x) és y, (x) E Wg')[a,b| megoldása létezne, akkor az J*'o(-75) =.Vı(1')".Vz(x)
függvényvektorra az
LJ«'0(I)š0z
(X G l zbl)
yf,Ü(a)=0,
(i=0,1,2,...,n--l)
(49)
feltételek teljesülnek, ami azt jelentené, hogy y0(x) megoldása volna egy olyan (40) Cauchy-feladatnak, amelyben f(x)š 0; és c,-=0,(i= 0, 1,2, _ . _ ,n l ). A 2.1. tétel első fele értelmében ekkor a (p(x)=yÉ")(x) függvényvektoı kielégítené a (41) integrálegyenlet-rendszert, amelyben most (43) és (44) alııpjiııı
z(x)š0Ekkor a (41) integrálegyenlet-rendszer megoldásának unicitása alapján ~P(X)=J*l)")(x)=0 volna majdnem minden x E [a,b] mellett, amiből könnyen belátható, hogy y0( x ) legfeljebb (n- 1)-ed fokú polinom, de akkor (49) alapjıiıı J'o(x)šÜ=
3232
J*ı(x)šJ'2(x)-
M EGJEGYZES. Ha az F;.(x ), (i = 0,1, 2, _ . . ,n - l) együtthatómátrixok és
és az f(x) függvényvektor folytonosak az [a, b] intervallumban, akkor a (42)cgyeıı lőséggel értelmezett V(x, t) magmátrix és a (43) egyenlőséggel értelmezett g(x) függvényvektor folytonos [a,b] intervallumban, így a 3.2. tétel alapján a (4l) integrálegyenlet-rendszer (p(x) megoldása is folytonos [a,b]~ben és így a (47) egyenlőséggel értelmezett y(x) függvényvektor n-szer folytonosan differeneııillızıtzl megoldása a (40) Cauchy-feladatnak. Igy fennáll a következő klasszikus 4.2. T ÉTEL. Haaz f(x) és Fi(x) E C[a,b] (jt: (J. l, 2, ._ .n l),akl„.=t( a (40) Cauchy-feladatnak létezik egy és csak egy y(x) E CV” ja, bl megoldasa 5. A Cauchy-féle probléma megoldásának előállítása és a homogén egyenlet alaprendszere Állítsuk elő a (40) Cauchy-féle probléma megoldását a differenciálegyenletrendszerben szereplő ismert függvények segítségével.
.ıv
A (43), (46) és (47) egyenlőségek alapján a (40) alatti Cauchy-probl('ma megoldása előállítható a következő alakban:
J* (X) = P„-, (X) + V„-,(Í"` V)`1 l.f(X)-1-P,,-,(X)l»
(50)
ahol pP_1(x) a (44) alatti polinomvektort, VP_1 a (48) alatti Volterra-tipusú integráloperátort jelenti. Az (50)-ből egyszerű átalakítással a Cauchy~probléma megoldását a következő alakban kapjuk:
y(x) = ll- V,,-,(Í- V)`1L]P„_,(X)+ V„_, U- V)" f(x)-
(51)
Értelmezzük az L0 operátort a következő módon:
Lo = a(x))»“>. Én
Š
és
(F,,(x)=1)
(82)
0 =
9
ahol l$lfP") jelenti a lt/PÜ tér [6] 2. pontjában definiált alterét. Nyilvánvaló, hogy o az L0 operátor a Még) térben értelmezett L operátor leszűkítése a WP” altérre. 5.1. T ETEL. Az (52) egyenlőséggel értelmezett L0 operátorra fennállnak a következő állítások: O O a) L0 E Pl/gm-> LP lineáris korlátos operátor, melyre D(L.,) = Wg') és =
.
b) Az L0 operátornak létezik L51 inverze, mégpedig L5* = VP_l(I- V)",
(53)
ahol L5* E LP-> R(L0) lineáris korlátos operátor. BIZONYÍTÁS. Az Ly = 0, ym (a) = 0, (Í = 0, 1,2, . . . , n -1) Cauchy-féle problémának az (51) egyenlőség alapján csak az y(%')E0amegoldása. Igy az Loy = 0 egyenletnek csak y = 0 megoldása van a WS” térben, amiből már L5* létezése következik. Legyen f(x) E LP [a, b] tetszőleges függvényvektor, akkor az Ly = f (x), ym (a) = 0, (i = 0, 1, 2, _ . . ,n - 1) Cauchy-probléma megoldása (51) alapján előállítható
y(x)= 14,-, (I- V)`* f(x)
(54)
alakban, amiből egyrészt következik, hogy R(L0)= LP,másrészt L51 = VP_l(I-V)"1. Fgntiek alapján az L0 operátor kölcsönösen egyértelmű módon képezi le az egész ll/án) Banach-teret az egész LP [a, b] Banach-térre, amiből Banach ismert tétele 30
alapján már következik, hogy L5' E LP-> Pl/3,) lineáris korlátos operátor. Azonban ez közvetlenül is leolvasható az L5' (53) egyenlőséggel értelmezett alakjából az alábbi lemma felhasználásával. 5.1. L EMMA. VP_1E LP-> illy) lineáris korlátos 0P6rátor. BIZONYÍTÁS. Legten tp(x)E LP tetszőleges függvényvektor, akkor a [6] 2.1. lemma alapján Í ) VP_ı(p E ll/P' és majdnem minden x E [a, b] mellett
a"
3,,-(V,,-,v)=~v(r), amiből az (1) egyenlőséggel értelmezett norma felhasználásával
n-1
WS!)
dxn
n-1
P
P
azaz (4) __ ll(p||Lp. |lVP_l(pllw(„)D Igy a [6] 3.1. tétele alapján létezik olyan K >0állandó,hogy az(l),(2),(3) egyenlőségekkel értelmezett bármely normára ll Vmıtpllwšn) Š K||(pl|Lp .
MEGJEGYZES. Könnyen igazolható, hogy
R(K,-,)= ק,">. továbbá Vi! inverz operátor létezik, mégpedig V4 = D" n-1 '
ahol
d„
___ D"-dx”
és
D(D")_._ WP"( ) .
Érdekes megemlíteni, hogy a fentiek figyelembevételével (33) alapján a követ kező azonosságot nyeıjük: 3 3l
L0
WD".
Az L0 operátor bevezetésével a (40) Cauchy-féle probléma (S1) alatti megoldása a következő alakban írható:
y(x) = (I-La* L)p„_, (z) + La* f(x).
(88)
Vizsgáljuk meg az (S5) egyenlőségben szereplő I -L5* L operátort. y(x) E lg/2") tetszőleges függvényvektor, akkor Ly = Loy, így
Ha
(r- L5* L)y = O. Ez azt jelenti, hogy az I- L51L operátor a ll/2") téren a zérus operátor. Nyilvánvaló továbbá. hogy tetszőleges y(x) E ll/(") eleme esetén (I -Lõ'L)y G W(g) , így I -LIŠL E Wgû -> Wgû lineáris operátor,pmelyről könnyen látható, hogy korlátos is. P Jelentse 1P_1[a, b] az [a, b] intervallumban értelmezett legfeljebb (n - l)-ed fokú polinom Vektorok halmazát. Legyen e p,S(x)= j(x-a)", D
(r=l,2,...,m) (s=0,l,2,..,n-1)
ahol er jelenti azt az Em-beli vektort, melynek r-edik koordinátája 1, a többi pedig zérus. Könnyen igazolható, hogy a
{Pzz<×>}z.)z s=
..,„. IO)-L1-ı~.>
.s~>`
., n -1
polinomok bázist alkotnak a PP_l[a, b] térben, amiből következik, hogy 1; _l[a,b] n m dimenziós lineáris vektortér. Tekintsük most az I-L5'L operátort csak aPP_l alapján nyilvánvaló, hogy
térben értelmezve. Fentiek
1-La* L E PM-> wjfl. Könnyen belátható, hogy a EH térben értelmezett I - L5* L operátornak létezik inverze. Ui. legyen p(x) E l;_1[a, b] olyan polinom vektor, melyre (I- L51 L) p(x) = 0, akkor ebből
v(x) =Lõ' L v(x)33.
(56)
Mivel L5' L p(x) G WP” ,ezért az (56) egyenlőség alapján p(x) G H/(PÜ, ıııııibñl következik. hogy p(x) = 0, amiből az (1 L5' L)" létezése már következik. Mivel egy invertálható operátor lineárisan független elemeket lineárisan iiiggrt len elemekbe visz át, ezért a fentiek alapján nyilvánvaló a következő 5.2. LEMMA. A 1-'im térben értelmezett I-L5'Loperátor R(l-L0'l.)kép~ tere n X m dimenziós altere WS” térnek. Ezek után tekintsük az Lyzoı
y(Í)(a)=(_'i
(l`=0,1,2,...,n-ˇI)
ún. homogén egyenletre vonatkozó Cauchy-féle problémát. Az (55) egyenlőség alapján az (57) alatti Cauchy-probléma megoldása előállítható y(x)=(1-L5'L)pP_l (x)
(58)
alakban. ahol pP_l(x) a (44) alatti polinomvektor, tehát pP_ı(x) G PPP. Ebből könnyen igazolható, hogy ha p(x) E 1; _! egy tetszőleges polinoın vektor, akkor az
v(x) = (I- La* 1-lvtx) egyenlőséggel értelmezett y(x) függvényvektor kielégíti az Ly == 0 egyenletet. tlı ıı_\ ii
vzmvz1õ,h0gyL51 L p(x) E ii/2"* , így LL,;'L p(x) -= L,-, 2,3 L pet), amibe) 1.)-(A) == L(1~ L6' L)r>(x) )= Lv(_x,)1zL51 LP tr) == 0A fentiek alapján nyilvánvaló a következő 5.2. T ETEL. Az Ly == 0 egyenlet minden y(x) E Wgl' ja, b] megoldása elo' állitható
y(x) = (Í
L6] 1-lP(X)
alakban, ahol p(x) E PPP . Figyelembe véve 5.2. lemmát, adódik a következő 5.3. T ÉTEL. Az Ly =`- 0 egyenletnek pontosan nXm lineáris független W;l"' beli megoldása van. D EFINÍCIÓ. Az Ly == Oegyenlet tetszőleges nXm számú lineárisan fügetlen WP" 4' -beli megoldását alaprendszemek nevezzük. Az 5.3. tétel tehát azt fejezi ki, hogy alaprendszer létezik. A 4.2. tétel alapján kimondható a következő klasszikus 5_4_ T ETEL, Ha f(x) és Ft-(x) E C [a, b] (i = 0, l, 2, . . . ,n 8- I), akkor
az Ly >= 0 egyenlet minden megoldása n-szer folytonosan differenciálható la. b] intervalJ]
lumban Igy az alaprendszer tagjai n-szer folytonosan differenciıllható függvények. Az 5. 2. és 5.3. tételek következményeként adódik az alábbi
K OVETKEZMENY. Legyen y,(x),y, (x), . . . ,y,,„,(x) az Ly = 0 egyenlet terszőleges alaprendszere, akkor az egenlet minden y(x) megoldása előállítható
v(x) =3. ., = . .MaP3,vi (X) alakban, ahol cl , ez, . . ., cPm tetszőleges állandók. 6. Komplex paramétert tartalmazó homogén differenciálegyenlet-rendszer megoldásának függése a paramétertől Legyen lt tetszőleges komplex paraméter és I a Wgú-beli egységoperátor. Vezessük be a következő jelölést:
L,=L-M, ahol L a (4) formulával definiált differenciáloperátor. 6.1. T ETEL. Az Lky = 0 egyenlet bármely y(x; lt) megoldása a lt komplex változó analitikus függvénye. B IZONYÍTÁS. Az 5. 2. tétel alapján az LA y = 0 egyenlet minden megoldása előállítható
.V(x, R) = (1- Lil) Li) v(x)
(59)
alakban, ahol p (x) tetszőleges, legfeljebb (n - l)-ed fokú polinom vektor és (53) alapján
1-ii = K.-z(I- V,,)`*.
(60)
V,.,zz=;Í V, (z, z) ,„(z)az
(61)
ahol a
Volterra-tipusú integráloperátor mátrixa a (42) egyenlőséggel értelmezett magmátrixból csak annyiban tér el, hogy az ott szereplő Fg(x) függvénymátrix helyett most F0 (x)- lt! függvénymátrix áll, azaz V(x t)=V(x t)+)\ -(ıyil A , , (n-81)' ,
(62)
ahol V(x, t) a (42) egyenlőséggel értelmezett magmátrix. Igy a (61) egyenlőséggel értelmezett Volterra-tipusú operátor a következő alakban írható:
34
ahol V a (45) egyenlőséggel, a V„_, pedig a [6] (14) egyenlőséggel értelmezett Volterra tipusú integráloperátor a k = n -- l mellett. Mivel a (46) egyenlőség alapján (1_ V;()_ı :EE
Vgka
PV O
ezért (60)-ból és (63)-ból
Lšgzkgo 1/n_ı(V+)(K,_ı)".
((14)
Igy az L,y = 0 egyenlet minden megoldása (59) alapján a következő alakbuıı állítható elő:
y(x,)()=p(x)- z ıç,_,(v+)(ıç,_,)'°1.,p(zz). vw-
(ns)
CDM8
A rövidség kedvéért vezessük be az
4,, = ıç,_,(V+ )(V„_,)'“ 1., jelölést. Nyilvánvaló, hogy
Ak, E WP” -> R/Š” lineáris korlátos operátor, továbbá látható, hogy Ak, a A komplex változó polinomjzı. (65)-ből
y(x, K) = pa) -Ã 4,., v(x). alakban írható, ahol 3 É Ak, p(x) S0; li/(Pl) normában konvergens, amiből a (3) egyenlőséggel értelmezlétf (c)-norma alapján következik, hogy a sor egyenletesen konvergens [a, b]-ben minden IM < R mellett, ahol R > 0 tetszőleges valós szám. Mivel a sor taai A komplex változónak analitikus függvényei (polinomjai), ezért a sor összege s így az y(x, lt) függvényvektor is a lt komplex változó analitikus függvénye az ()rig(') körüli R sugarú körben. Mivel R tetszőleges, így y (x, Ă) az egész komplex lt síkon ann litikus függvény. Összefoglalás A dolgozat az LP [a, b]-beli együtthatómátrixokkal adott differenciálegyenletrendszerrel kapcsolatos Cauchy-féle problémát visszavezeti integrálegyenlet-rendszerre. majd igazolja az integrálegyenlet-rendszer megoldásának egzisztencia és unicitás tételét. .ifi
A kapott eredmények alapján nyer bizonyítást a differenciálegyenlet-rendszerre vonatkozó Cauchy-probléma megoldásának egzisztenciája és unicitása, valamint a megoldás előállítása a differenciálegyenlet-rendszerben szereplő ismert függvények segítségével. A dolgozat utolsó paragrafusa megadja, hogy rniként függ a komplex paramétert tartalmazó homogén differenciálegyerılet-rendszer megoldása a paramétertől. IRODALOM [1]
SZOBOLEV, SZ. L.: Nekotorie primenenija funkcionalnovo analiza v matematicseszkoj tizike. Izd-va lgu, 1950.
[2]
RISSZ, F.-SZEKEFALVI NAGY, B.: Lekcii po funkcionalnomu analizu, I. L. 1954.
[3]
KANTOROVICS, L. V.-AKILOV, G. L.: Funkcionalnij analiz v normirovannih prosztranszt-
[4]
vah. Fizmatgiz, 195 9. AHIEZER, N. M.-GLAZMAN, I.: Teoria linejnih operatorov v gilbertovom proctransztve, Izdvo „Nauka” M. 1966.
[5] [6]
OBÁDOVICS J. GY. Differenciálegyenlet-rendszerre vonatkozó kezdeti és peremértékprobtémákról. Kandidátusi értekezés. 1966. ÜBÁDÜVÍCS J- GY- Á l[',(n)[a, b] egyváltozós függvényvektortér definíciója és vizsgálata. MTA III. OSZI. Közl.
THE CAUCHY'S PROBLEM RELATED T0 THE DIFFERENTIAL EQUATION SYSTEM WITH COEFFICIENT FUNCTIONS IN LP[a, b[
OBADOVICS. J GY. Summary in the paper the Cauchyls problem related to the differential equation system, given with coefficient matrixes in L [a, b], is reduced to an integral equation system. then the existence and unıcıty theses ot the solutıon of the tntegral equatıon sy stern are verıfıed. On the basis ot the obtained results the existence and the unicity of the Cauchy`s problem and the production of solution by means of known functions included in the differentíal equation system are verified. The last paragraph of the paper gives out how the solutior of the homogeneous differential equation. containing complex paramerers, depe-nd on the paraméter.
DAS PROBLEM NACH CAUCHY BEZÜGLICH EINES DIFFERENTIAl.(}LF.lCHUNGSSYSTEMS MIT KOEFFIZIENT FUNKTIONEN IN l.p[a. lı] OBÁDOVICS. J. GY. Zusam menfassung In der Abhandlung wird das Problem nach Cauchy bezüglich des Differentialgelichungssystems, das mit den Einheitsmatrizen in LP [a, b] gegeben ist auf ein lntegralgleichungssystem ziirückgetiirt. dann werden die Existenz- und bnizitátsthesen der Lösung (les Integralgleichungssystems .lo
bestätigt. Auf Grund der erhaltenen Resultate wird die Existenz und die Unizlttlt der Löııung den Problems nach Cauchy bezüglich des Differentialgleichungssystems, und die Herstellung der Ltiııunı mit Hilfe der bekannten Funktionen, die in der Differentialgleichung inbegrlffen sind, beılllllgl. In dem letzten paragraph der Abhandlung wird bekannt gegeben, wie die Lösung des Homogenen Differential - gleichungssystems, das einen komplexen Paraméter enthält, von den Pıuımetern abhängig ist.
HPOBHEMA "HOMM" B CBHSH C CMCTEMAMM HMQQEPEHHMAHBHHX YPABHHHMH C HÃPAMETPHÜECHHMH QYHHHHHMH B
Ooaaoanu, H. P e a n M e B cTaTLe B onnan c cncreuou anööepeaunansnnx ypnnı olllllil aaaanx c napaMeTpnuecRnMn MaTpnuaMn B , npodnonı i "Komz" oTBoanTcn aasaa Ha cnereny narerpanzanx ypaznonn , ı ovou TGOPGMEI CYLHGCTBOEHHHH ill SIIIÁHCTBBHHOCTPI PGLIIGHPIH CVICTUMIJ ill nrovpanznux ypazaeanu Onpaazaerca Ha Ocnose noayuennux puays trnron aoKaanzaeTca cymecraoaaane n egnacrzeaaocrs peuenna uponinonn "Roma" OTHocnTeaLHO cncrenu znooepenunanzaax ypaanennn, n nonyueane emeann c nouonzn naEecTHnx öynxuzü, Haxoaamnxcv li 0 Vi 'cTeMe anšöepenunanzanx ypaaneanü. B nocaeaaen naparpawe _)Lno`i`o iı , san 8aBncnT pemeane rononeaaoü cncTeMn anööepeaunaasaux yprıiiiiııHnü eoaepnanmnx aonnnencnnü napanerp OT napaMeTpa.
A szerző címe: DR. OBĂDOVICS J. GYULA
igazgató, a matematikai tudományok kandidátusa Országos Vezetőképző Központ Számítástechnikai Intézete 1087. Budapest Vlll. Könyves Kálmán körút 48-S2
.l 'l
A NEHEZıPARı MŰSZAKI EGYETEM KÖZLEMÉNYEI
IV. sorozat
TERMESZETTUDOMÁNYOK 22. KÖTET - 1 - 3. FÜZET
MISKOLC 1976
SZERKESZTÖ BIZOTTSÁG: VINCZE ENDRE felelős szerkesztő BERECZ ENDRE, SZABÓ JÁNOS
A kiadásért felelős: Dr. Tajnafőí József rektorhelyettes Sajtó alá rendezte: Dr. Vincze Endre egyetemi tanár Technikai szerkesztő: Németh Zoltánné Megjelent az NME Közleményei Szerkesztőségének gondozásában Kézirat szedése: 1.976. június 25 - 1976. november 16., nyomása: 1977. január 5 - 1977. február 15 Példányszám: 450 Készült: IBM-72 composer szedéssel, rotaprint lemezről az MSZ 5601-59 és MSZ S602-55 szabványok szerint, 15 BI5 ív terjedelemben Engedély száma: MTTH-III-3183I1976. A sokszorosításért felelős: Tóth Ottó mb. üzemvezető Nyomdaszám: KSZ 77-1-NME
TARTALOMJEGYZÉK
Medvec Andrej ~ Szentirmai Zsolt: Anyagi pont kísérő trléderlıez vlıznnyltntt mozgása z z .ez z :~ z~ 2 ~Obádovics J. Gyula: Differenciálegyenlewendszerrel kapcsolatos Cauchy-féle prıılı léma Lp[a, b]>beli együttható fiiggvényekkel - - - -Vincze Endre: Valós kétkomponensű gyűrűk és testek előállítása függvéııyuıyııı letek segítségével ~ ~ ~ f ~ - - -V. Moszkalec - N. Rudakov - Szabó J.: Hőmérsékleteloszlás homogén ktlzellıeıı mozgó hőforrás esetén
1
1
~
- - - -
--
-
~
A
A
-~ ~
-
-
Vincze Endre: Kiegészítések az additív típusú függvényegyenletek elméletéhez, l. DO:-mány Mihály: Néhány megjegyzés a kétállapotú rendszerek mintavételes vízs-
gáızıáıõı ~
z~ z
A
ll W ltl
Mohamed Maher Ali Mohamed El-Naggar: Lineáris másodfajú operátoregyenletek numerikus megoldása javított iterációval, I. - - - - Mohamed Maker Ali Mohamed El-Naggar: Lineáris másodfajú operá toregyenletek megoldása javított iterációval, II.
I
e z - --
H9 ll3
l43
ı49
Dormány Mihály: Egy dichotom döntési probléma megoldása szekvenciális minta-
võıeıezésizijázzisszı
z
zz z
~ - - - - --
7- --
Hancsik Zsolt: Eljárások előírt térgörbére illeszkedő felület által burkolt forgás~ felület számítására - - - -- - --- - -- - - - - - - - --
189 l67
