Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen függvény különböző rendű deriváltjait. A differenciálegyenlet megoldása azt jelenti, hogy találunk egy olyan függvényt (függvényeket) amely kielégíti az egyenletet. A fizika, kémia, biológia vagy közgazdaságtan számos alaptörvénye felírható differenciálegyenletekkel. A differenciálegyenleteket különbözőképpen osztályozhatjuk, vannak elsőrendű, másodrendű és magasabbrendű differenciálegyenletek, ezt az egyenletben található függvény legmagasabb rendű deriváltja adja meg. A közönséges differenciálegyenlet (DE) egy olyan differenciálegyenlet melyben a keresendő függvény csak egy változós. Ebben a fejezetben csak az első illetve másodrendű közönséges differenciálegyenletet tárgyaljuk.
Hogyan kapjuk meg egy elsőrendű DE általános megoldását? Tekintsük az alábbi elsőrendű DE-t
Ez egy nagyon egyszerű DE, de ezen keresztül is bemutathatjuk a Maple használatát a DE megoldásában. Megjegyeznénk, hogy az (1)-es DE egy kezdeti értékes DE. Ez azt jelenti, hogy az y (0) = 1 , ( y illetve x értéke 0, illetve 1), kezdeti érték felhasználásával egy konkrét (partikuláris) megoldást keresünk. Először a DE általános megoldását keressük meg. Első lépésként ismerjük meg azokat a parancsokat, amelyeket a Maple a megoldáshoz használ. Azok a parancsok amelyeket a Maple DE-hez használ a “DEtools” csomagban találhatóak. A DE megoldásainak (a megoldás görbéinek) ábrázolásához a parancsokat a “plots” csomag tartalmazza. Nézzük meg ezek szintaxisát:
A következő lépés a DE megadása. Ne felejtsük el, hogy az y függvény az x változótól függ, vagyis a bemenő adatnak y(x)-et tartalmaznia kell, hogy a Maple felismerje a változót. Használjuk az „ODE1” jelölést a DE-hez:
A DE megoldásához a dsolve parancsot használjuk. Ha nem ismerjük egy parancs pontos használatát, megkereshetjük a hozzá rendelt help fájlt, ehhez csak annyit kell tennünk, hogy közvetlenül a parancs elé ?-et írunk és megnyomjuk az Enter gombot. Lássuk akkor az (1)-es DE általános megoldását:
Az általános megoldásban szereplő _C1-el a Maple egy tetszőleges konstant jelöl. Ha a megoldás bonyolult, akkor a konstans a megoldás végén is állhat. A Mapleben lehetséges az általános megoldás görbéjének ábrázolása is, ehhez a következő parancsot kell használjuk:
A parancs első paramétere maga a DE, a második paraméter megadja a változót (y(x)- azaz y x-től függ), a harmadik és a negyedik bemeneti adat megadja a tartományt ahol ábrázoljuk x = −2..2, y = −2..2 . A többi paraméter opcionális,
akár ki is hagyható. Általában ha iránymezőt rajzolunk a “scaling=constrained” opciót használjuk, különben az irányvonalak torzulhatnak.
A DE partikuláris megoldásának kiszámítása A Maple segítségével olyan DE-t is megoldhatunk amelyhez kezdeti feltétel tartozik. A partikuláris megoldás meghatározásához is a dsolve parancsot használjuk. Használva az eredeti DE kezdeti értékét, lássuk milyen partikuláris megoldást kapunk:
Ha ábrázolni akarjuk a partikuláris megoldást is, akkor Deplot parancsot hasznájuk a következőképpen:
Másodrendű DE megoldása Maplel Kezdjük egy másodrendű állandó együtthatós homogén DE megoldásával. y ′′ + 2 y ′ + 10 y = 0
Az egyenlet azért homogén mert az ismeretlen függvény, y, és a deriváltjai is az egyenlet baloldalán helyezkednek el és a jobb oldal pedig 0. Először is beírjuk az egyenletet. Ezután újra segítségül hívjuk a DE megoldásához a “DEtools” és “plots” csomagokat ugyanúgy mint az elsőrendű DE megoldásánál.
Az előző fejezetben már bemutattuk, hogy diff(y(t),t,t) az y(t) második deriváltját adja meg. A DE megoldásához újra a dsolve parancsot használjuk. Az első argumentum a DE amit megakarunk oldani (a mi esetünkben (eq1) és a második argumentum a függvény amit keresünk y(t). Az előző fejezetből már tudjuk, hogy a dsolve parancs a megoldást a következő alakban adja meg : “ismeretlen függvény=megoldás”, ha azonban csak a megoldást szeretnénk látni az rhs parancsot kell használjuk ami csak a jobboldalt jeleníti meg. Jelöljük a megoldást “sol1”-el.
A megoldásban szereplő _C1-el és _C2-vel a Maple tetszőleges konstant jelöl.
Másodrendű kezdeti értékkel definiált feladat megoldása A következő lépés az előző másodrendű DE megoldása kezdeti feltétel mellett. Minden másodrendű DE-nek két kezdeti érték feltétele kell legyen. Oldjuk meg tehát a következő DE-t y′′ + 2 y′ + 10 y = 0 ,
y (0) = 3, y ′(0) = −5.
Akárcsak az előzőekben a dsolve parancsot használjuk a DE megoldására. Jelöljük a megoldást “sol2”-vel.
Ezzel megkaptuk a DE partikuláris megoldását, ha megakarjuk rajzolni, akkor ez a plot paranccsal megtehető:
Inhomogén, kezdeti érték feltétellel megadott másodrendű DE Végezetül oldjunk meg egy másodrendű inhomogén DE-t, melyhez kezdeti feltétel is tartozik. Legyen a következő DE:
Első lépésünk most is az, hogy megadjuk a DE-t és jelöljük ezt “eq2”-vel.
Akárcsak az előző feladatoknál a megoldáshoz a dsolve parancsot használjuk és jelöljük az általános megoldást “sol3”-al.
Mint láthatjuk ez a megoldás már sokkal bonyolultabb mint az előző feladatok megoldásai amiatt hogy ez már egy inhomogén DE. Felhasználva a kezdeti feltételeket keressük meg a DE partikuláris megoldását a dsolve paranccsal és jelöljük a megoldást “sol4”-el:
Nagyon bonyolult megoldást kaptunk, ezért ábrázoljuk, hogy átláthatóbb képet kapjunk a megoldás görbéjéről:
