Kvázistacionárius jelenségek

0-0

Kvázistacionárius jelenségek ”Majdnem időben állandó” = lassú (periodikus) változás. Időben lassan változó mezők: eltolási áram elhanyagolható a konduktív áram mellet

∂D ~ |~| ∂t

Maxwell-egyenletek: ~ 1 ∂B ~ rot E = − c ∂t ~ = 4πρ div D Kontinuitási egyenlet: div~ = 0.

4π ~ c ~ =0 div B ~ = rot H

0-1 ⇒ töltéssűrűség nem változik az idő folyamán ⇒ áramsűrűség normális komponense folytonosan változik különböző határán (töltés nem áramlik át vezetőből szigetelőbe) ⇒ vezető minden keresztmetszetén ugyanakkora áram folyik át ~ 6= ~0 miatt az elektromos térnek nincs potenciálja (mágneses tér rot E változása örvényes elektromos mezőt indukál). Fontos gyakorlati alkalmazás: váltóáramú körök. Elektromos erőművekben: forgási energia ,→ elektromágneses energia.

1

1.

ELEKTROMÁGNESES INDUKCIÓ

0-2

Elektromágneses indukció

Oersted (1820): elektromos töltésáramlás mágneses mező forrása (mágneses momentumokat igyekszik elforgatni). Faraday (1831): időben változó mágneses tér elektromos teret kelt. ”Mi hasznát vehetjük vajon egy újszülöttnek?” Állandó mágneses térben a tér irányára merőleges tengely körül forgatható vezető kereten áramot vezetünk oda-vissza ⇒ forgatónyomaték hat a keretre (megsokszorozható, ha több meneten át vezetjük az áramot: galvanométerek, elektromos motorok, stb.). Fordítva: keretetet forgatva áram indukálódik benne! Indukált feszültség: indukált áramot fenntartó elektromotoros erő.

1

0-3


Fluxus-szabály: zárt vezető keretben indukált feszültség arányos a keret által közrezárt mágneses fluxus változási sebességével (de független a vezető ellenállásától ⇒ vezetőre nincs is szükség). ˆ ~ r=− E·d~

´ ~ ~f d B·d dt

ˆ =−

~ ∂B ·d~f ∂t

Egy pontra zsugorítva (differenciális alak) ~ ∂B ~ rot E = − ∂t Lenz–törvény: indukált feszültség minden esetben a fluxus megváltozását igyekszik csökkenteni (energiamegmaradás).

1


0-4

Nyugalmi indukció: nyugvó vezetékek, időben változó mágneses tér. Mozgási indukció: mozgó vezetékek (pl.: csúszó sín) időben állandó mágneses mezőben. Töltéshordozókra ható mágneses Lorentz–erő felfogható mint egy elektromos mező hatása: elektromotoros erő. Nyugalmi és mozgási indukció relativitása. Indukált Foucault–áramok (örvényáramok) disszipatív hatása. Váltakozó áramú generátor: elektromos motorban áram lép fel a keret forgatásakor. Jedlik (1861): dinamó–effektus.

2

2.

INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK

0-5

Indukciós együttható és váltóáramú körök

Időben változó elektromos áram

időben változó mágneses tér

indukált elektromos áram. Ha egy hálózatban a k-adik vezetőkör elektromotoros ereje Ek , ellenállása Rk , a benne folyó áram Ik , míg a rajta átmenő fluxus Φk , akkor (Ohmtörvény) 1 dΦk Rk Ik = Ek − c dt ~ mágneses tér Vezetőkörben folyó I erősségű áram ⇒ I-vel arányos H ⇒ vezetőkörön átmenő Φ fluxus arányos I-vel. Φi = c

X k

Lik Ik

2


0-6

Lik = Lki a kölcsönös indukciós együttható (Lii elnevezése: önindukciós együttható). Függetlenek az Ik áramoktól (vezetőkörök kölcsönös viszonyát jellemzik). Általánosított Ohm-törvény: X dIj 1 dΦk = Ek − Lkj Rk Ik = Ek − c dt dt j Elsőrendű közönséges differenciálegyenlet-rendszer az áramerősségek meghatározására. Példa: RL-kör (R ohmikus ellenállásból és L önindukciójú tekercsből álló áramkör). I(t) az áramerősség és E(t) az elektromotoros erő ⇒ dI L = E(t) − RI(t) dt

2


Ha E(t) = E0 (időben állandó), akkor E0 dI 1 R E0 d I− = = (E0 − RI) = − I− dt R dt L L R amelynek általános megoldása (τ =

L R

a relaxációs idő)

t E0 − Rt I− = Ae L = A exp − R τ Másrészt (I(0) = I0 az áramerősség értéke t = 0 időpontban) E0 I0 − =A R így

I(t) =

E0 I0 − R

t E 0 exp − + τ R

0-7

2


0-8

Az áramerősség exponenciálisan telítődik, aszimptotikusan megközelítve a stacioner I∞ =

E0/R

értéket (folyamat sebességét a τ relaxációs idő

határozza meg). Ha kikapcsoljuk a feszültségforrást (E0 = 0), akkor az áramerősség exponenciálisan csökken (tranziens jelenség): indukált elektromotoros erő – a Lenz–törvénynek megfelelően – bekapcsoláskor csökkenti, míg kikapcsoláskor növeli a kör elektromotoros erejét (negatív visszacsatolás). E(t) = E0 cos ωt periodikus gerjesztés esetén R E0 dI + I(t) = cos ωt dt L L Inhomogén lineáris egyenlet általános megoldása = homogén egyenlet általános megoldása + inhomogén egyenlet partikuláris megoldása.

2


0-9

t + Ip (t) I(t) = A exp − τ t Homogén egyenlet A exp − τ megoldása a tranziens jelenségeket írja le, a hosszú idejű (stacioner, azaz aszimptotikus) viselkedésért a partikuláris megoldás a felelős. Keressük a partikuláris megoldást Ip (t) = A cos ωt + B sin ωt alakban (A és B integrációs állandók). Fenti alakot az egyenletbe behelyettesítve: E0 (A cos ωt + B sin ωt) + τ (−Aω sin ωt + Bω cos ωt) = cos ωt R

2

INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK E0 A + Bωτ = R B − Aωτ = 0

megoldása E0 E0 R E0 R √ A= = 2 =√ 2 2 2 R(1 + ω 2 τ 2 ) R + ω 2 L2 R +ω L R2 + ω 2 L2 E0 ωL E0 ωτ E0 ωL √ = 2 B= =√ 2 2 2 R(1 + ω 2 τ 2 ) R + ω 2 L2 R +ω L R2 + ω 2 L2 Válasszuk δ-t úgy, hogy R R2 + ω 2 L2 ωL sin δ = √ R2 + ω 2 L2

cos δ = √

0-10

2


0-11

Partikuláris megoldás Ip (t) = √ δ = arctan

ωL R

E0 E0 cos (ωt − δ) (cos δ cos ωt + sin δ sin ωt) = 2 2 2 Z R +ω L

a fáziskésés (ωL az induktív ellenállás), míg p Z = R2 + ω 2 L2

az impedancia. Hosszú idő után a tranziens tagok eltűnnek, és csak a (partikuláris megoldásból származó)

1 I∞ (t) = E(t − δ/ω) Z

stacioner tag marad meg. A P (t) = E(t) I(t) teljesítmény átlagértéke (T =

2π ω

a periódusidő)

2


1 P = T

ˆT

2π

ω E02 P (t) dt = 2π Z

0

Mivel

ˆT cos2 (ωt) dt = 0

0-12

ˆω

cos ωt cos(ωt − δ) dt 0

π ω

ˆT és

cos(ωt) sin(ωt) dt = 0 0

ezért E02 P = cos δ 2Z δ=

π 2

esetén P = 0, a Joule-hő eltűnik (”wattnélküli” áram, pl. csen-

gőinduktorban vagy terheletlen transzformátorban), ha az R ohmikus ellenállás sokkal kisebb az ωL induktív ellenállásnál: R ωL.

2


0-13

Transzformátor: induktíve csatolt primér és szekunder áramkör. Primér körben E(t) elektromotoros erő hatására I1 (t) áram folyik, amely I2 (t) áramot gerjeszt a szekunder körben. dI1 dI2 − L12 + E(t) dt dt dI1 dI2 R2 I2 (t) = −L21 − L22 dt dt

R1 I1 (t) = −L11

ezért dI1 dI2 dI1 L22 dI1 −L22 = −L21 − E(t)−R1 I1 (t)−L11 R2 I2 (t) = −L21 dt dt dt L12 dt dI1 L22 L22 =− (E(t)−R1 I1 (t))− L21 − L11 L12 L12 dt

2


0-14

Lij indukciós együttható arányos mindkét kör menetszámával ⇒ ha primér tekercs menetszáma n1 és szekunderé n2 , akkor n2 L22 L12 = = L11 n1 L12 Primér kör ellenállása általában elhanyagolható (R1 = 0 a hővesztesség minimalizálása végett), így R2 I2 (t) = −

L22 n2 E(t) = − E(t) = E ∗ (t) L12 n1

Olyan, mintha szekunder körben E ∗ (t) elektromotoros erő keltené az áramot, a primér körével ellentétes fázisban ⇒ arányosan megnövelt (csökkentet) elektromotoros erő.

2


0-15

Rezgőkör: sorosan kapcsolt R ohmikus ellenállás, L induktivitás és C kapacitású kondenzátor. Ha E(t) a kör elektromotoros ereje, I(t) a benne folyó áram erőssége, és Q(t) a kondenzátor fegyverzetein felhalmozódó töltés, akkor RI(t) = E(t) − L és I(t) =

dI Q(t) − dt C

dQ dt

E(t) = 0 esetén a megoldás (csillapított rezgés) Q(t) = q0 exp(−βt) sin(ωt+δ)

2


0-16

ahol r ω=

1 R2 − LC 4L2

R β= 2L a körfrekvencia és a csillapítási tényező (q0 és δ a kezdeti feltételek által meghatározott integrációs állandók).

3

A FÖLD MÁGNESES TERE

3.

0-17

A Föld mágneses tere

Gilbert (XVI. sz.): 1. Föld jó közelítéssel egy centrális mágneses dipólus; 2. pólusok a sarkok közelében találhatók (forgástengely és mágneses tengely szöge kb. 11°); 3. dipólnyomaték nagysága kb. a Földdel azonos tömegű acélmágnes momentumának fele! Valójában excentrikus dipólus (mágneses és tömegközéppont különbözik, a térerősség komponensei a mágneses egyenlítő átellenes pontjaiban eltérnek), dipólmező járuléka kb. 90%. Naptevékenység jelentős befolyása (ionoszférában áram indukálódik ⇒ háborgások, napfoltciklus).

3


0-18

Szekuláris (lassú) változások: pólusok vándorlása (átlagban a mágneses pólusok egybeesnek a földrajzi pólusokkal), dipólmomentum csökkenése. Paleomágneses vizsgálatok: kb. 2.5 milliárd éve létezik dipólmező, amely időről-időre megfordul (kb. félmillió évente, utolsó térfordulás vagy 700 ezer éve volt); fontos érv a lemeztektonika (kontinensvándorlás, óceáni kéreg szétterülése) mellett. Mágneses mező eredete: 1. ferromágneses elmélet (cáfolat: paramágneses átalakulás magas hőmérsékleten); 2. terresztrikus áramok (fenntartó elektromotoros erő, Joule-hő ??); 3. dinamóelmélet: differenciális rotáció a Föld képlékeny rétegeiben (külső mag) plazmaáramokat hozz létre, ezek önfenntartó mágneses mezőt indukálnak.

3


0-19

Magnetoszféra: Föld külső mágneses burka, ahol a töltött részecskék mozgását a mágneses tér határozza meg (alsó határa az ionoszféra). Nem szimmetrikus, elnyújtott cseppalakját a napszél alakítja: kiterjedése néhánytól 100-1000 földsugárnyi, térerősség nagysága kb. 3 − 7 × 10−2 T . Mágneses mező kettős sugárzási övezetbe (van Allen-övek) csapdázza a világűrből (napszél és kozmikus sugárzás) származó töltött részecskéket, amelyek 1 s-os periódusidővel oszcillálnak spirális pályákon a mágneses pólusok között. Pólusváltáskor sugárzási övek megszűnnek, de az ionoszféra továbbra is védelmet nyújt. Belső övezet: 1-6 ezer km, főleg protonok. Külső övezet: 15-25 ezer km, főleg elektronok. Ha a beeső részecskék sebessége kis szöget zár be az indukciós vektorral, akkor nem csapdázódnak, hanem az É-i és D-i 60-ik szélességi fokok fölött behatolnak a légkörbe és ionizálják azt ⇒ sarki fény.

3


0-20

Merkúr, Jupiter: hasonló jellegű mágneses mező. Neptunusz: momentuma az egyenlítői síkban. Vénusz, Hold, Mars: nincs számottevő mágneses mező. Dinamóeffektushoz valószínűleg gyors forgás (ellenpélda: Vénusz, Hold), plazmatikus mag (ellenpélda: Hold), és kellő méretű árapályt keltő kisérők szükségesek (ellenpélda: Mars).

Kvázistacionárius jelenségek

Recommend Documents