Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet
Dr. Kövesi János, Erdei János, Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter
KVANTITATÍV MÓDSZEREK Példatár
Budapest, 2013
Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítási alapok ................................................................................................ 3 Műveletek eseményekkel ....................................................................................................... 3 Feltételes valószínűség ........................................................................................................... 3 Teljes valószínűség tétele ....................................................................................................... 4 Bayes-tétel .............................................................................................................................. 6 Fa diagram .............................................................................................................................. 7 Események függetlensége ...................................................................................................... 7 II. Valószínűségi változó. Elméleti eloszlások........................................................................... 9 Binomiális eloszlás ................................................................................................................. 9 Poisson-eloszlás ................................................................................................................... 10 Exponenciális eloszlás.......................................................................................................... 11 Normális eloszlás ................................................................................................................. 12 III. Leíró statisztika .................................................................................................................. 14 IV. Első- és másodfajú hiba ..................................................................................................... 16 V. Becslés ................................................................................................................................. 16 VI. Hipotézisvizsgálatok .......................................................................................................... 20 Nemparaméteres próbák ....................................................................................................... 20 Paraméteres próbák .............................................................................................................. 22 Paraméteres és nemparaméteres feladatok ........................................................................... 26 VII. Kétváltozós korreláció- és regresszióelemzés .................................................................. 27 VIII. Döntéselmélet .................................................................................................................. 29 Döntés bizonytalan körülmények között .............................................................................. 29 IX. Rang-módszerek alkalmazása ............................................................................................ 32 X. Felhasznált irodalmak.......................................................................................................... 37
2
I. Valószínűségszámítási alapok Műveletek eseményekkel 1. Határozza meg az alábbi események valószínűségét! Egy szabályos kockát egyszer feldobva páratlan számot kapunk: Egy szabályos érmét kétszer feldobva legalább az egyik dobás fej: Egy jól megkevert, 52 lapos francia kártya csomagból vagy egy ászt, vagy a káró 10-est, vagy a pikk 2-est húzzuk ki: Két szabályos kockával egyszerre dobva a kapott számok összege 7: Pókernél öt lapot kiosztva pókert-t (4 azonos kártya) vagy flush-t (5 azonos színű kártya) kapunk kézbe osztáskor: 2. Egy kísérlet során feldobunk egy érmét és egy kockát. Ha az A esemény az, hogy az érme feldobásának eredménye „fej” lesz, B esemény pedig az, hogy a kockán levő szám „3 vagy 6” lesz, fogalmazza meg a következő események jelentését: a) A b) B c) A + B d) A ⋅ B e) P ( A B ) f)
P( A + B)
Feltételes valószínűség 1. Egy szállítmány 96%-a megfelel az előírásoknak, s ezek 75%-a első osztályú. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiválasztott darab első osztályú? 2. Ha nagyon sok kétgyermekes család közül véletlenszerűen választunk egyet, és megtudjuk, hogy legalább az egyik gyermek leány, mekkora a valószínűsége annak, hogy van fiú is a családban?
3
3. Egy telefonfülke előtt állunk és várjuk, hogy az előttünk beszélő befejezze a beszélgetést. Az illető beszélgetési időtartama (τ) véletlen esemény, melyre érvényes a következő:
P (τ < t ) = 1 − e
−
t 3
a) Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a beszélgetés 3 percnél tovább tart! b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a beszélgetés további 3 percnél tovább tart, feltéve, hogy 3 percnél tovább tartott? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a beszélgetés t+3 percnél tovább tart, feltéve, hogy t percnél tovább tartott? 4. Egy kockát kétszer feldobnak. Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7 lesz? Elvégzik az első dobást. Eredményül páros szám adódott (ezt közölték velünk). Mekkora a valószínűsége ezek után annak, hogy a két dobás összege 7 lesz? Melyik valószínűség a nagyobb? 5. Egy 32 lapos kártyacsomagból 4 lapot húzunk egymás után, visszatevés nélkül. Mennyi a valószínűsége, hogy az első kettő király, a harmadik felső, a negyedik pedig ász? 6. Valamilyen vegyszerrel szúnyogirtást végeztek. Azt tapasztalták, hogy az első permetezésnél a szúnyogok 80%-a elpusztult, az életben maradottakban azonban annyi ellenállóképesség fejlődött ki, hogy a második permetezés során már csak a szúnyogok 40%-a pusztult el. A harmadik irtás során a szúnyogok 20%-a pusztult már csak el. Mennyi a valószínűsége, hogy egy szúnyog három irtószer-alkalmazást túléli? Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy szúnyog még két irtószer-alkalmazást túlél, feltéve, hogy az elsőt túlélte?
Teljes valószínűség tétele 1. Három urnában fehér és fekete golyók vannak elhelyezve. Az elsőben 2 fehér és 3 fekete; a másodikban 3 fehér és 4 fekete; a harmadikban 4 fehér és 5 fekete golyó van. A kísérlet abban áll, hogy véletlenszerűen kiválasztunk egy urnát: legyen 1/2, 1/3 és 1/6 rendre az első, a második és a harmadik urna kiválasztásának a valószínűsége. Ezután a kiválasztott urnából véletlenszerűen kihúzunk egy golyót úgy, hogy mindegyik golyó kihúzásának a valószínűsége egyenlő legyen. Mennyi annak a valószínűsége, hogy fehér golyót húzunk? 2. Két urnában golyók vannak. Az egyikben 5 fehér és 4 piros, a másikban 5 piros és 7 fehér. Az egyik urnából kiveszünk két golyót. Feltételezve, hogy a két urna közül egyenlő valószínűséggel választunk, mennyi a valószínűsége annak, hogy mindkét golyó fehér színű lesz? Ugyanilyen feltételek mellett, mennyi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott két golyó közül legalább az egyik fehér lesz?
4
3. Azonos fajta autórádió előlapokból két tételünk van. Az első tétel 26, a második 32 darabból áll. Mindkét tételben egy-egy hibás darab van. Az első tételből egy véletlenszerűen kiválasztott darabot átteszünk a másodikba. Ezután a második tételből választunk egyet találomra, és ezt megvizsgáljuk. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a darab selejtes? 4. Mikrohullámú sütők forgótányérjának kísérleti gyártását végzik egy gyárban. Három tétel mikrohullámú sütő készül el. Az első két tétel a teljes mennyiség egy-egy negyedét, a harmadik tétel pedig a felét adja. A minőségellenőrzés során kiderül, hogy az előírt működési óraszámot az első tétel 12%-a, a másodiknak 21%-a, a harmadiknak 28%-a éri el. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiszemelt mikrohullámú sütő az előírt ideig működik? 5. Egy műhelyben három műszakban termelnek azonos fajta árut. Egy napon az összes termelt áruból az első műszakban 40%, a másodikban és a harmadikban 30-30% készült. Az első műszakban készült áruk 5%-a, a másodikban gyártottak 7%-a, a harmadikban termeltek 10%-a hibás. A három műszakban elkészült teljes mennyiségből a minőségellenőr találomra kiválaszt egy darabot, és megvizsgál. Mennyi a valószínűsége, hogy ez hibátlan? 6. Egy egyetemi évfolyamon végzett felmérésből tudjuk, hogy a női hallgatók 60%-a, a férfi hallgatók 40%-a dohányzik. Valaki így okoskodik: „Ha egy személyt véletlenszerűen kiválasztunk, az a személy vagy nő, vagy férfi. A két esemény egymást kizárja. Annak a valószínűsége tehát, hogy a kiválasztott személy dohányzik, egyenlő a 0,6 és 0,4 valószínűségek összegével, tehát 1-gyel.” Hol a hiba? 7. Egy irodában 3 munkatárs dolgozik párhuzamosan azonos típusú ügyiratok intézésén. Az első naponta 10 aktával végez, a második napi 15, a harmadik napi 25 aktával. Az egyes munkatársaknál naponta átlagosan 0,3; 0,9; 0,5 db hibásan kezelt ügyirat található. Az összesített napi mennyiségből találomra kiveszünk egy aktát. Mekkora a valószínűsége, hogy az akta hibás? 8. Három műszak azonos terméket gyárt. Egy adott napon az összes termékből az I. műszakban 40%, a II. és III. műszakban 30-30% készült. A selejtarányok az egyes műszakokban: I. műszak = 5%, II. műszak = 7%, III. műszak = 10%. A napi termelésből a MEO egy darabot kiválaszt. Mekkora a valószínűsége, hogy az hibátlan?
5
Bayes-tétel 1. 10 azonos alakú doboz közül az első 9-ben 4-4 golyó van, mégpedig 2 fehér és 2 kék. A tizedik dobozban 5 fehér és 1 kék golyó van. Az egyik találomra kiválasztott dobozból véletlenszerűen kiveszünk egy golyót. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a tizedik dobozból való, ha a kivett golyó fehér? 2. Egy forgácsoló üzemben elkészült munkadarabok 96%-a felel meg a súlyszabványnak. A minőségellenőrzés során az elkészült munkadarabok egy részét megvizsgálták, a súly szempontjából szabványos darabok 98%-a bizonyult alakra jónak, a nem szabványos súlyú darabokból pedig 5%-ot nyilvánítanak alakra jónak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy darab, amely a minőségellenőrzésen alakra jónak bizonyult, megfelel a súlyszabványnak? 3. Egy biológiai kísérlet során 100 egyedet három – 20, 30 ill. 50 egyedből álló – csoportokra osztanak. Az első csoport egyedeit gyenge, a másodikét közepes, a harmadikét erős hatóanyaggal oltják be. A csoportokat ezután külön tárolják. Az oltás hatására az első csoportból 3, a másodikból 10, a harmadikból pedig 39 megy keresztül valamilyen változáson. Ezután a csoportok elkülönítését megszüntetik. Ha az összes egyedből egyet találomra kiválasztunk és ennek vizsgálata azt mutatja, hogy nem ment keresztül változáson, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott egyed a második csoportból való? 4. Tudjuk, hogy egy gyakorlatban résztvevő 18 lövész négy csoportba sorolható úgy, hogy közülük öten 0,8, heten 0,7, négyen 0,6, és ketten 0,5 valószínűséggel találnak a céltáblára. Véletlenül meglátunk közülük egy lövészt, aki egy lövést ad le, de ez nem talál a céltáblára. Melyik csoporthoz tartozik a legnagyobb valószínűséggel a lövész, és mennyi ez a valószínűség? 5. Egy üzemből kikerülő áru 75% valószínűséggel I. osztályú. A készterméket megvizsgálják. Annak valószínűsége, hogy a vizsgálat során az I. osztályú terméket nem I. osztályúnak minősítik 2%. Annak a valószínűsége, hogy egy nem I. osztályú terméket I. osztályúnak minősítenek 5%. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy olyan termék, amelyik egy vizsgálat során I. osztályú minősítést kapott, valóban I. osztályú? 6. Egy folyóban bekövetkező halpusztulásért 3 ipari üzem lehet felelős. Tapasztalatok szerint a mérgező anyag kibocsátásának valószínűsége az egyes üzemeknél: 20%, 50% és 30%. A mérések szerint az egyes üzemek szennyvízkibocsátása esetén a halpusztulás valószínűsége: 60%, 15% és 25%. Mennyi a halpusztulás valószínűsége? Mekkora bírságot rójon ki a 2 500 000 Ft-os halkárért a bíróság az egyes cégekre, ha nem ismert a szennyezés kibocsátója?
6
Fa diagram 1. Egy multinacionális vállalat nagyszámú végzős hallgatót vesz fel minden évben, s az első évben különböző tréning ill. oktatási programokat szervez számukra. Az új belépők 30%-a egy általános menedzsment programon, 10%-a MBA programon és a többiek vállalati belső tréningeken vesznek részt. Az elmúlt tíz év adatait feldolgozva azt találták, hogy az MBA-re járók 60%-a, az általános menedzsment programon résztvevők 20%-a, míg a belső tréningeken résztvevőknek csak 5%-a került menedzseri pozícióba. a) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy véletlenül kiválasztott belépő a következő tíz évben menedzseri beosztást kap! b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy már tíz éve a vállalatnál dolgozó menedzser MBA képzésre járt az első évben!
Események függetlensége 1. Ketten lőnek céltáblára. A találat valószínűsége az első személy esetében 0,7; a második esetében 0,6. A találatok egymástól függetlenek. Ha mindketten egy-egy lövést adnak le, mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább egy találat van a céltáblán. 2. Két, egymástól függetlenül dolgozó szerszámgépen azonos fajta alkatrészeket gyártanak. Az első gépen 0,8, a második gépen 0,7 valószínűséggel kapunk első osztályú alkatrészeket, az ugyanazon a gépen gyártott alkatrészek is függetlenek egymástól. Az első gép gyártmányaiból 3, a második gép gyártmányaiból pedig 2 alkatrészt választunk találomra és megvizsgáljuk őket. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mind az 5 első osztályú? 3. Két dobozban golyók vannak, amelyek csak színeikben különböznek. Az első dobozban 5 fehér, 11 fekete és 8 piros, a másodikban 10 fehér, 8 fekete és 6 piros golyó van. Mindkét dobozból találomra kiveszünk egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két kiválasztott golyó azonos színű? 4. Három szabályos kockát dobunk fel egyszerre. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mindhárom kockán a felülre kerülő pontérték legalább öt? 5. Frici és Gizi a következő feltételek mellett játszanak önálló játszmákat. Frici kezdi a játékot, és 0,3 valószínűséggel nyerhet az első játszmában. Ha nem nyeri meg az első játszmát, akkor Gizi következik és ebben a második játszmában 0,5 valószínűséggel győzhet. Ha győz, akkor a játéknak vége. Ha azonban Gizi veszít, akkor ismét Frici következik, és 0,2 valószínűséggel nyerheti meg a harmadik játszmát. Ha Frici a harmadik játszmában veszít, a játék döntetlenül ér véget. Melyik játékosnak van nagyobb esélye a győzelemre a játékban?
7
6. Két kockával dobunk. Jelentse A azt az eseményt, hogy az első kockával párost dobunk, B azt az eseményt, hogy a második kockával páratlant dobunk és C azt az eseményt, hogy mindkettővel párost, vagy mindkettővel páratlant dobunk. A, B és C események teljesen függetlenek-e? 7. Az éves bérek vizsgálata során, egy felmérés eredményeként az alábbi adatokat kaptuk. Éves bér < £6000 £6000 - £10000 > £10000 Összesen Férfi 30 50 80 160 Nő 50 50 40 140 Összesen 80 100 180 300 a) Tegyük fel, hogy a nem és az éves bér függetlenek egymástól. Határozza meg, s fa diagramon ábrázolja az egyes események valószínűségeit! 300 esetet feltételezve számolja ki az esetek várható számát! b) Határozza meg a valószínűségeket a függetlenség feltételezése nélkül, a tapasztalati adatoknak megfelelően! c) Vizsgálja meg a függetlenséget a függetlenség definícióját felhasználva!
8
II. Valószínűségi változó. Elméleti eloszlások Binomiális eloszlás 1. Valaki találomra kitölt egy totószelvényt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az első hét mérkőzéshez az 1, 2, x lehetőségek közül legalább 5 helyre egyest választ? 2. Mennyi a valószínűsége annak, hogy ha egy családban 10 gyerek születik, akkor közülük éppen öt fiú lesz? 3. Egy üzemben elektromos biztosítékokat gyártanak. A tapasztalat szerint átlagban ezek 15%-a hibás. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy 10 darab véletlenszerűen kiválasztott biztosíték között a) nincs selejtes, b) legalább egy selejtes van, c) nincs 1-nél több selejtes! 4. Fej vagy írás játékkal kapcsolatos két eseményt tekintünk. Az egyik esemény: négy dobásból 3 fej, a másik: nyolc dobásból 5 fej. Állapítsuk meg, hogy melyik esemény valószínűsége nagyobb szabályos pénzdarab használata esetén! 5. Egy biztosító társaság egyetemistáknak kínál gépkocsi biztosításokat, s a korábbi évek tapasztalatai szerint a biztosítottak 3%-a okozott balesetet. Feltételezve, hogy nem változtak meg a körülmények, mekkora a valószínűsége, hogy az adott biztosítónál szerződött 300 egyetemista közül legfeljebb 5 okoz balesetet ebben az évben? 6. Tegyük fel, hogy korábbi évek tapasztalatai alapján egy ügynök általában minden 5. érdeklődőnek tud eladni egy adott terméket. Egy átlagos héten 20 érdeklődővel beszél. Mennyi a heti eladás várható értéke? Mekkora a heti eladás szórása? Az ügynök külön prémiumot kap, ha egy héten 8-nál több terméket ad el. Mekkora ennek a valószínűsége? 7. Az UEFA szigorú előírásai alapján állít elő a Minőségi Bőr Kft. labdarugó labdákat 500 darabos tételekben. Az átadás-átvételi eljárás során két előírás szerint járhatunk el: a) két 10 darabos mintában egyetlen hibás darab sem lehet, b) három 20 darabos mintában mintánként legfeljebb 1 darab selejtes lehet. c) Melyik eljárást választaná az UEFA és melyiket a Minőségi Bőr Kft. helyében, ha a selejtarány várhatóan 5 %? 8. Mekkora véletlen visszatevéses mintát kell vennünk 1% selejtet tartalmazó terméktételből, ahhoz, hogy a mintába 95% valószínűséggel legalább egy selejtes termék is kerüljön?
9
9. Egy hagyományos repülőgépet négy egymástól független motor hajt. Hosszútávú vizsgálatok azt mutatják, hogy egy motor repülés közbeni meghibásodásának valószínűsége 5%. A repülőgép még be tudja fejezni az utat, ha 3 motor működik. Mekkora a valószínűsége egy adott repülőúton, hogy a) nem történik motor hiba? b) legfeljebb 1 motor hiba történik? c) motorhiba miatt lezuhan a gép?
Poisson-eloszlás 1. Kalácssütéskor 1 kg tésztába 30 szem mazsolát tesznek. Mennyi a valószínűsége, hogy egy 5 dkg-os szeletben kettőnél több mazsolaszem lesz? (Feltételezzük, hogy a mazsolák száma Poisson-eloszlást követ.) 2. Egy nyomdai korrektúrában 400 oldalon átlagosan 400 sajtóhiba van. A tapasztalat szerint egy anyagrészben lévő hibák számának eloszlása csak az anyagrész hosszától függ. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiemelt oldalon legalább három sajtóhiba van? 3. Egy augusztusi éjszakán átlagosan 10 percenként észlelhető csillaghullás. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy negyedóra alatt két csillaghullást látunk? (Feltételezzük, hogy a csillaghullások száma Poisson-eloszlást követ.) 4. Egy elektronikus műszer 1000 alkatrészből áll. Egy alkatrész a többitől függetlenül 0,001 valószínűséggel romlik el egy év alatt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább két alkatrész romlik el egy év alatt? 5. Egy telefonközponthoz 600 előfizető tartozik. Tegyük fel, hogy 0,005 a valószínűsége annak, hogy valamelyik előfizető egy meghatározott órában kapcsolást kér. Mennyi a valószínűsége annak, hogy abban az órában épp 4 előfizető kér vonalat? 6. Egy orsózógépen 100 munkaóra alatt átlagosan 3 szakadás következik be. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy ilyen időtartam alatt a szakadások száma túllépi az átlagot? (A szakadások Poisson-eloszlás szerint következnek be.) 7. Egy készülék meghibásodásainak átlagos száma 10000 működési óra alatt 10. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a készülék 200 működési óra alatt nem romlik el! 8. Egy készülék szavatossági ideje egy év. A készülék 2000 darab azonos, különlegesen
megbízható elemet tartalmaz, amelyek a szavatossági idő alatt egymástól függetlenül 0,0005 valószínűséggel romlanak el. A szavatosság alapján a gyártó vállalat az egy éven belül bekövetkezett meghibásodások javítására esetenként a teljes ár 1/4 részét fizeti vissza. Ha a javítások száma az év során eléri az ötöt, akkor a gyártó vállalat a már kifizetett négy javítási költségen felül a teljes árat is visszafizeti. Számítsuk ki, hogy előreláthatólag az eredeti vételár hány százaléka marad a gyártó vállalatnál!
10
9. 100 méter hosszú szövetanyagon átlagosan 5 hibát találtunk, s a mérések a szövethibák számát Poisson eloszlásúnak mutatták. 300 méter hosszú szövetet 4 méter hosszú terítékekre osztanak. Minden 4 méteres darabból egy-egy öltöny készül. A hibátlan öltönyt darabonként 40000 forintért árusítják, a szövethibásat 30000 forintért. Várhatóan hány hibátlan van a 300 méteres szövetvégből készült öltönyök között? Mennyi az öltönyök eladásából származó árbevétel?
Exponenciális eloszlás 1. Bizonyos típusú izzólámpák tönkremeneteléig eltelt égési időtartam hosszát tekintsük valószínűségi változónak. Megállapították, hogy ez a valószínűségi változó exponenciális eloszlást követ, és szórása 1000 óra. Határozzuk meg a valószínűségi változó várható értékét! Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy egy kiválasztott izzólámpa 3000 órán belül nem megy tönkre! 2. Egy intézet külföldről rendel könyveket. Az ehhez szükséges devizára várni kell, a tapasztalatok alapján ½ évet. A várakozási idő exponenciális eloszlású. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az intézet egy negyedéven belül megkapja a könyveket? 3. Egy szövőgép automatikusan megáll, ha legalább egy fonalszakadás történik. Legyen ξ a gép megindulásától az első fonalszakadásig eltelt idő. A ξ-re tett megfigyelések szerint az exponenciális eloszlású, várható értéke 2,5 óra. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy munkanap alatt, amely 8 órából áll, a gép egyszer sem áll fonalszakadás miatt? 4. Egy szövőgép 400 szállal dolgozik. Az egyes szálak élettartama, tehát amíg el nem szakad, exponenciális eloszlású, minden szálra ugyanazzal a λ=1/150 paraméterértékkel, és feltehető, hogy a szakadások egymástól függetlenek. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a gép fonalszakadás miatt a megindulástól számított 3 órán belül megáll? 5. Egy üzletbe átlagosan 30 vevő érkezik óránként. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két egymás után érkező vevő ideje között eltelt idő 2 percnél több. Mennyi a valószínűsége, hogy ez az időtartam 3 percnél kevesebb? Mekkora a valószínűsége annak, hogy ez az időtartam 1 és 3 perc közé esik? 6. Egy automatizált gépsor hibamentes működésének valószínűsége 120 működési órára 0,9. Tegyük fel, hogy a működési idő exponenciális eloszlású. Számítsa ki a λ meghibásodási rátát és a működési idő várható értékét, valamint annak a valószínűségét, hogy a gépsor a 150. és a 200. óra között meghibásodik.
11
7. Egy radioaktív anyag (sugárforrás) bomlási viszonyait vizsgáljuk. Legyen a valószínűségi változó egy tetszőleges atom bomlásáig eltelt idő és annak valószínűsége, hogy az anyag egy tetszőleges atomja x éven belül elbomlik: P( ξ 〈 x ) = 1 − e − x / 2 ,
ha x〉0
Határozza meg a valószínűségi változó várható értékét, szórását, valamint a bomlás felezési idejét! Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy tetszőleges atom túléli a 3 évet! 8. Számítsa ki az F(x=1/λ) eloszlásfüggvény értéket!
Normális eloszlás 1. Egy vállalatnál az alkalmazottak heti bére normális eloszlású $100 várható értékkel és $10 szórással. Mekkora a valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott dolgozó a) 95 és 135 dollár között keres? b) 112,5 dollárnál többet keres? c) 80 dollárnál kevesebbet keres? d) Mekkora heti fizetést kap a legjobban kereső 20%-ba tartozó dolgozók közül, a legkevesebbet kereső? 2. Egy vizsgálat szerint a felnőtt korú férfiak testmagassága N(174cm; 7cm) eloszlást követ. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott férfi testmagassága: a) nagyobb, mint 190 cm, b) 170 és 185 cm közé esik, c) mekkora a testmagasság szórása, ha tudjuk, hogy a férfiak 5%-ának a testmagassága 168 cm alatt van? 3. Egy termék élettartama N(13év; 1év) eloszlású. a) Teljesíti-e az élettartam azt az elvárást, hogy a 11 évnél korábban meghibásodó termékek aránya legfeljebb 1% legyen? b) Ha nem, akkor hogyan kell megváltoztatni a várható értéket, ill. a szórást, hogy teljesítsék az előírást? c) Termékfejlesztés eredményeképpen egy új termék élettartama N(16év; 0,9év) eloszlással jellemezhető. Mekkora garanciális időt adjon a cég ahhoz, hogy a termékek legfeljebb 5%-a menjen tönkre a garancia alatt? 4. A munkapadról kikerülő termék hossza normális eloszlású valószínűségi változó µ=20cm és σ=0,2cm paraméterekkel. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy termék hossza 19,7 és 20,3 közé esik? Milyen pontosságot biztosíthatunk 0,95 valószínűséggel a munkadarabok hosszára? 5. Valamely szolgáltató vállalathoz naponta beérkező megrendelések ξ száma a tapasztalatok szerint közelítőleg normális eloszlásúnak tekinthető σ=10 szórással. Mekkora a megrendelések várható száma, ha tudjuk, hogy P (ξ < 20) = 0,1 ?
12
6. Bizonyos típusú rádiócsöveket, amelyeknek az élettartama normális eloszlású, µ=160 és σ=20 óra paraméterekkel, négyesével dobozokba csomagolnak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy ilyen dobozban lévő 4 cső mindegyike 180 óránál tovább fog működni? Mennyi annak a valószínűsége, hogy a 4 cső közül kettőt kivéve, az egyik 180 óránál tovább fog működni a másik meg nem? 7. A Jólfizetünk Rt. új üzeménél megvizsgálták a dolgozók fizetését, s azt találták, hogy a fizetés N(135000Ft, 10000Ft) eloszlású. Legnagyobb versenytársuk közelben működő üzeménél azt tapasztalták, hogy 115 000 Ft-nál a dolgozók legfeljebb 1%-a kap kevesebbet. Teljesíti-e az új üzem ezt az elvárást? Ha nem, mekkora legyen a szórás ill. a várható érték hogy teljesítsék? A bérfejlesztés után megismételve a vizsgálatot a fizetések eloszlása N(140000Ft, 8000Ft). Legfeljebb mennyit keres a cégnél a legrosszabbul kereső 5%? 8. Export konyak töltésénél az 510 ml alatti palackok aránya legfeljebb 3% lehet. Megvizsgáltak egy n=20000 db-os tételt: x =532,4 ml, σ=6 ml. Határozzuk meg az optimális töltési szintet. Mekkora az adott tételnél a töltési veszteség értéke, ha á=1000 Ft/palack? 9. A bélszínrolót négyesével csomagolják tasakokba. A rolók súlya N(50gr., 5gr.) eloszlást követ. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a tasak valamennyi rolója 55 grammnál nehezebb?
13
III. Leíró statisztika 1. A táblázat a Budapesti Értéktőzsde hivatalos indexének (BUX) száz napi záró értékéből számított hozamadatait tartalmazza. Készítse el az alábbi adatbázis részletes leíró statisztikai elemzését! Napi hozamok 0,01896 0,0846 0,0529 -0,01877 0,00121 -0,01759
0,00613 0,00186 0,0102 0,00845 0,01508 0,03565
0,01091 -0,00024 0,0081 0,00448 -0,00322 0,02769
-0,01742 -0,02076 -0,0567 0,00602 0,019 0,02964
0,01328 0,01011 0,02865 0,01818 -0,01281 -0,01967
0,02415 0,00476 -0,01836 0,00567 -0,00413 0,00654
0,00805 0,00611 -0,01001 0,0018 -0,00676 0,00272
0,00754 -0,00015 0,0146 0,01303 0,00611 -0,01123
0,0011 0,03295 0,01182 0,01192 0,02417 0,0253
-0,00312 -0,00782 0,00729 0,00104 -0,00365 -0,01055
-0,01255 0,01269 0,00622 0,00248
0,02841 0,01359 0,02758 0,03258
0,04391 -0,00271 -0,01226 -0,01609
0,0581 -0,00041 0,0022 0,00087
-0,03858 0,02758 -0,00043 0,02823
0,00319 0,0008 0,00483 0,0143
-0,00307 0,00438 0,01527 0,01493
-0,00145 0,01244 0,00432 -0,00391
-0,00922 0,0044 0,02801 -0,01541
0,00016 0,00709 -0,00711 0,00524
Rangsor (oszloponként) -0,0567
-0,01281
-0,00413
-0,00024
0,0022
0,00524
0,00754
0,01269
0,01896
0,02841
-0,03858
-0,01255
-0,00391
-0,00015
0,00248
0,00567
0,00805
0,01303
0,019
0,02865
-0,02076
-0,01226
-0,00365
0,00016
0,00272
0,00602
0,0081
0,01328
0,02415
0,02964
-0,01967
-0,01123
-0,00322
0,0008
0,00319
0,00611
0,00845
0,01359
0,02417
0,03258
-0,01877
-0,01055
-0,00312
0,00087
0,00432
0,00611
0,01011
0,0143
0,0253
0,03295
-0,01836
-0,01001
-0,00307
0,00104
0,00438
0,00613
0,0102
0,0146
0,02758
0,03565
-0,01759
-0,00922
-0,00271
0,0011
0,0044
0,00622
0,01091
0,01493
0,02758
0,04391
-0,01742
-0,00782
-0,00145
0,00121
0,00448
0,00654
0,01182
0,01508
0,02769
0,0529
-0,01609
-0,00711
-0,00043
0,0018
0,00476
0,00709
0,01192
0,01527
0,02801
0,0581
-0,01541
-0,00676
-0,00041
0,00186
0,00483
0,00729
0,01244
0,01818
0,02823
0,0846
14
2. A 100 g-os Omnia kávé töltési folyamatának két különböző napon mért nettó tömegértékei az alábbiak (a mérések a gyártási folyamatot követve, sorrendben történtek, kb. 1/2 óra alatt, egy négymérleges Hesser gép 2.sz. mérlegének töltését figyelve): egyik nap: 101,8 100,7 101,1 102,2 101,3 101,7 100,6 101,4 101,4 101,8
101,0 101,2 100,6 99,7 100,9
101,2 101,2 100,6 101,3 102,4
100,1 101,3 101,5 101,4 100,8
100,4 101,1 102,8 101,2 100,6
100,5 100,9 101,8 100,2 101,3
100,2 101,3 101,4 102,1 101,4
103,3 101,2 101,8 101,9 102,1
100,1 102,1 102,3 101,0 101,4
másik nap: 100,4 99,3 100,2 100,3 98,5 100,2 99,7 99,8 99,0 100,7
100,5 99,6 100,4 98,1 99,2
100,2 100,2 99,8 101,6 100,5
100,7 100,1 100,4 100,5 102,2
100,4 98,6 99,7 99,9 100,1
99,6 101,3 100,0 100,2 100,8
100,3 99,1 101,2 101,4 100,2
99,4 99,5 100,8 100,3 100,3
101,2 100,3 98,7 99,6 99,8
Végezze el a statisztikai-szakmai elemzést! Számítsa ki az eloszlás statisztikai paramétereit! Mekkora a valószínűsége a tűréshatárokon való kivülesésnek, ha az alsó tűréshatár 98g, a felső tűréshatár pedig 102g? 3. Egy üdítőitalokat forgalmazó cég budapesti részlegénél dolgozó 26 értékesítési képviselő 2005. január havi teljesítménye (kiszállított mennyiség, ezer rekesz): 15,6 8,5 15,9
26,8 19,1 13,1
13,5 16,6 18,8
8,8 19,2 33,6
13,3 18,7 34,7
20,2 16,1 16,9
13,7 20,5 14,8
15,7 14,2 21,8
24,7 13,2
Számítsuk ki az átlagos teljesítményt, határozzuk meg a mediánt! Számítsuk ki az ismert szóródási mérőszámokat! Jellemezzük az eloszlás aszimmetriáját a Pearson-féle mutatóval! 4. Minőségellenőrzés keretében vizsgálták egy adott típushoz tartozó elektromos habverők élettartamát. A 120 megfigyelés eredménye: Élettartam (év) 5,0≤x<5,5 5,5≤x<6,0 6,0≤x<6,5 6,5≤x<7,0 7,0≤x<7,5 Összesen
Megfigyelések száma (db) 8 28 50 24 10 120
Ábrázoljuk a gyakorisági sort! Számítsuk ki a helyzeti középértékeket, az átlagot, a szórást, az aszimmetria egyik mérőszámát!
15
IV. Első- és másodfajú hiba 1. Egy tömeggyártásban előállított termék szélességi mérete szabályozott folyamatban µ0 = 920 mm és σ 0 = 1 mm. Legyen a névleges érték körül szimmetrikusan elhelyezkedő beavatkozási határ: BH = µ 0 ± 2σ 0 . a) Számítsa ki az elsőfajú hibát! b) Tételezzük fel, hogy egy veszélyes zavarhatás a beállítási szintet µ1 = 922 mm-re változtatja (a szórást nem befolyásolja). Mekkora lesz a szabályozás másodfajú hibája? c) A számításokat végezze el n = 1 és n = 4 elemű minták átlagára is! 2. Egy termék tömegének eloszlása N(100g; 1g). Mekkora szimmetrikus beavatkozási határokat használnak 15%-os kockázati szint mellett n=4 elemű minták számtani átlagára? Mekkora a másodfajú hiba, ha a folyamat N(100,5g; 1,2g)-ra állítódik el?
V. Becslés 1. Egy mosóporgyárban az egyik adagolóautomata 500g tömegű mosóport tölt papírdobozokba. A gép által töltött dobozokból vett minta adatai: 483g; 502g; 498g; 496g; 502g; 494g; 491g; 505g; 486g. A gép által töltött tömeg normális eloszlású, 8g szórással. Határozza meg a gép által töltött dobozok tömegének és a tömeg szórásának konfidencia intervallumát 98%-os megbízhatósági szint mellett! 2. Egy vállalatnál 2500 kereskedő dolgozik, s a vállalat szeretné megbecsülni, hogy évente átlagosan hány kilométert autózik egy kereskedő. Korábbi felmérésekből ismert, hogy az egy kereskedő által megtett út normális eloszlású 5000 km szórással. Véletlenszerűen kiválasztva 25 gépkocsit, azt találták, hogy átlagosan 14000 km-t futottak egy év alatt. Adjunk 95%-os megbízhatóságú intervallumbecslést a várható értékre! 3. Egy gyártó egy bizonyos instant kávé egy adott napon érvényes kiskereskedelmi árát szeretné felmérni, s ezért országszerte véletlen mintavétellel kiválasztottak 45 boltot. A felmérés után azt találták, hogy a kávé átlagára 1,95 dollár, 27 cent szórással. Adjunk 99%-os becslést a várható értékre!
16
4. Egy vezeték nélküli, újratölthető csavarhúzókat gyártó vállalatnál felmérve a csavarhúzók működési idejét, azt normális eloszlásúnak találták. 15 csavarhúzó élettartamát megvizsgálva az átlag működési idő 8900 óra, s a szórás 500 óra. Adjuk meg a várható érték 95%-os konfidencia intervallumát. A cég az új reklámkampányában ki szeretné emelni, hogy a csavarhúzók 99%-a egy adott élettartamnál tovább működik. Maximum mekkora működési időt mondjon, ha nem akarja becsapni a vásárlókat? 5. Egy gépen töltött 2kg-os csomagok súlyának korábban 12,5g volt a szórása. Utóbb egy 20 elemű véletlen mintából 16g szórást kaptunk. Vizsgáljuk meg 5%-os és 1%-os szinten azt, hogy szignifikánsan nőtt-e a szórás? 6. Hesser-rendszerű töltőgépen első alkalommal töltenek 200g névleges tömegű újfajta enzimes mosóport. A töltőgép szórásának meghatározására 25 elemű mintát vettek, amelynek korrigált tapasztalati szórásnégyzete 144g2. Várhatóan milyen szórással tölthető nagy tömegben a mosópor? 7. Egy kutató laboratórium valamely 6 éves korban beadandó védőoltás dózisának beállításához 100 véletlenül kiválasztott gyermek testsúlyát mérte meg. A testsúly normális eloszlású változónak tekinthető. Testsúly, kg Gyerekek száma, db 15,1 – 17 4 17,1 - 19 20 19,1 – 21 55 21,1 – 23 14 23,1 - 25 7 Összesen 100 Becsülje meg 95%-os megbízhatósággal a 6 éves gyermekek várható testsúlyát és a 21 kg-nál súlyosabb gyerekek arányát! 8. Egy csővágó automata gépnek 1200mm hosszú csődarabokat kell levágnia. A gyártásközi ellenőrzés feladata, hogy megállapítsa, hogy a gép által gyártott darabok hosszmérete megfelel-e az előírásoknak. Előző adatfelvételekből ismert, hogy a gép által gyártott csődarabok hossza normális eloszlású valószínűségi változó 3mm szórással. A gyártásközi ellenőrzésre kiválasztottak egy 16 elemű mintát. A csődarabok hossza a mintában: 1208 1195 1205 1187
1204 1205 1202
1202 1194 1191
1202 1197 1195
1194 1193 1194
a.) 90%-os megbízhatósági szinten adjon intervallumbecslést a csődarabok hosszának várható értékére! b.) A minta alapján feltételezhető-e (95%-os megbízhatósági szinten), hogy a gép szórása nem haladja meg a korábbi felvételek során kapott értéket? 17
9. Egy vállalat szervezetének átvilágításakor 1500 szervezeti alkalmazott közül 225 munkatársat véletlenszerűen kiválasztottak, és több kérdés mellett megkérdezték tőlük, hogy mekkora fizetést tartanának kielégítőnek. A válaszok átlaga havi bruttó 250 ezer forint, 113 ezer forint szórással Becsüljük meg 95 és 99%-os megbízhatósággal, mekkora havi bruttó bérkifizetésre kell a cégnek felkészülnie, ha a kielégítőnek vélt szintet szeretné biztosítani! 10. Minőségellenőrzés keretében vizsgálták egy adott típushoz tartozó elektromos habverők élettartamát. A 120 megfigyelés eredménye: Élettartam (év) 5,0≤x<5,5 5,5≤x<6,0 6,0≤x<6,5 6,5≤x<7,0 7,0≤x<7,5 Összesen
Megfigyelések száma (db) 8 28 50 24 10 120
90%-os megbízhatósági szinten adjunk becslést az elektromos habverők élettartamára és az élettartam szórására! Becsüljük meg ugyanekkora szignifikancia szint mellett a 6 évnél hosszabb ideig működő elektromos habverők arányát! 11. Egy nagyvállalat személyzeti osztályvezetője azt gyanítja, hogy különbség van a szellemi és a fizikai dolgozók betegség miatti hiányzása között. A gyanú kivizsgálására véletlenszerűen kiválasztott 45 fizikai és 38 szellemi foglalkozású dolgozót és megvizsgálta az elmúlt egy évben mennyit hiányoztak betegség miatt. A kapott eredményeket az alábbi táblázat mutatja. 90%-os megbízhatósági szinten becsüljük meg a betegség miatti hiányzás várható értékei közötti eltérést.
Mintaszám Átlag Szórás
Fizikai 45 10,4 12,8
Szellemi 38 7,8 5,5
12. Egy új fogászati érzéstelenítő kipróbálására egy rendelőben véletlenszerűen kiválasztottak 10 páciens. 5 a hagyományos érzéstelenítőt kapta, 5 az újat. Kezelés közben megkérték a pácienseket, hogy egy 0-tól 100-ig terjedő skálán értékeljék, hogy mennyire érzik kellemetlennek a kezelést. (A magasabb érték nagyobb kellemetlenséget mutat.) Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza. Becsüljük meg a páciensek két csoportja közötti kellemetlenségi szint várható értékei különbségét 98%-os megbízhatósági szinten! (A kellemetlenségi szint normális eloszlással írható le, mindkét csoportban.)
Mintaszám Átlag Szórás
Hagyományos 5 60,33 15,82
18
Új 5 32,21 12,77
13. Egy tv műsort néző 400 felnőttből és 600 fiatalból álló mintából az derült ki, hogy 100 felnőttnek és 300 fiatalnak tetszett a műsor. Becsüljük meg 95%-os szinten azon felnőtt és fiatal nézők arányának különbségét, akiknek tetszett a műsor! 14. Egy urnában ismeretlen arányban piros és fehér golyók vannak. Az urnából 60 elemű véletlen visszatevéses mintát véve, a golyók 70%-a bizonyult pirosnak. Határozzuk meg a piros golyók tényleges arányának 95 és 99%-os konfidencia intervallumát! Mekkora mintát kellene vennünk, hogy 95 ill. 99%-osan biztosak lehessünk abban, hogy a tényleges arány nem tér el több mint 5%-al a mintabeli aránytól?
19
VI. Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbák 1. Egy érmét 200-szor feldobva 115 alkalommal fej 85-ször írás az eredmény. Vizsgálja meg 5%-os szinten azt a hipotézist, hogy az érme szabályos! (α=5%) 2. Egy adott évben az építőipari vállalatoknál bekövetkező halálos balesetek száma a következőképpen alakult: Balesetek száma Vállalatok száma
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
17
26
16
18
9
3
5
0
1
Leírható-e a balesetek száma Poisson-eloszlással? (α=10%) 3. Egy presszó tulajdonosa szerint a különböző erősségű világos sörök közül a hölgyek a gyengébb söröket kedvelik. Sejtésének igazolására felmérést végzett, melynek eredménye a következő táblázatban látható. Igaza van a tulajdonosnak? (α=5%)
Férfi Nő
Erős 20 10
Sör erőssége Közepes 50 55
Gyenge 30 35
4. Vizsgáljuk meg, hogy a Tisza Szegednél mért évi maximális vízállásai ugyanazt az eloszlást követték-e 1876-1925 között, mint 1926-tól 1975-ig! A méterben megadott adatok az alábbiak (α=10%):
V<5 5 ≤ V <6 6 ≤ V <7 7 ≤ V <8 8
Gyakoriság 1876-1925 5 11 13 13 8
20
Gyakoriság 1926-1975 10 11 13 10 6
5. Egy vállalatnál az átlagos heti túlóra-kifizetéseket vizsgálták. 80 véletlenszerűen kiválasztott dolgozó adatai alapján az átlagos túlórafizetés az alábbi eloszlást mutatja: Heti túlórabér [font] T<1 1≤T<2 2≤T<5 5 ≤ T < 10 10 < T
munkások száma 19 29 17 12 3
Leírhatók-e a heti-túlórakifizetések normális eloszlással? 6. Egy termelési folyamatban 4 gép működik 3 műszakban. Véletlen mintát véve a hibás termékekből, gépek és műszakok szerint csoportosították őket. Az eredményt az alábbi táblázat mutatja.
Műszak
Gépek A
B
C
D
I.
10
11
8
9
II.
16
9
13
11
III.
12
9
14
9
Van-e kapcsolat a selejtnagysága szerint a gépek és műszakok között? (α=10%)
7. Vizsgálja meg, hogy az alábbi pénzfeldobási kísérlet eredménye tekinthető-e véletlen sorozatnak! (F = fej, I = írás) F,F,I,I,F,F,F,I,I,F,F,F,F,I,I,F,I,F,F,I,I,F,F,F,I
21
8. Tekinthető-e véletlenszerűnek az alábbi minta? (A medián alatti és feletti értékek véletlenszerűen váltakoznak.) 14,2
9,6
4,7
9,1
11,3
2,6
16
10,5
12,4
7,9
3,6
2,4
8,4
2,5
3,5
25,6
1,5
5,5
4,5
22,1
23,2
2,8
24,8
4,8
10,3
4,1
9,4
4,2
4,6
6,5
9. Egy nagyváros közlekedésbiztonsági osztálya szeretné megvizsgálni, hogy változott-e egy bizonyos balesettípusban okozott kár nagysága az új közlekedési szabályok bevezetése után. Egy forgalmas kereszteződés baleseti statisztikái közül véletlenszerűen kiválasztottak 10-et az új szabály bevezetése előtti és 10-et az utána következő időszakból. Az egy balesetben okozott kár nagyságát az alábbi táblázat mutatja. Vizsgáljuk meg, hogy van-e változás a balesetben okozott kár nagyságát tekintve a szabály bevezetését követően! Kár a szabály bevezetése előtt, [eFt] 150 500 250 301 242 435 100 402 716 200
Kár a szabály bevezetése után, [eFt] 145 390 680 560 899 1250 290 963 180 550
Paraméteres próbák 1. Egy liter „A” márkájú benzin felhasználásával öt hasonló gépkocsi azonos feltételek mellett 11,5, 12,3, 10,2, 11,7 és 10,8 km-t tettek meg. Ugyanezek az autók a „B” márkájú benzinnel 10,3, 9,8, 11,4, 10,1 és 10,7 km-t mentek. Vizsgálja meg, hogy az 1l-rel megtehető km-ek számát tekintve az „A” márka jobb-e, mint a „B”? 2. Egy szárazelemeket gyártó vállalatnál megvizsgálták egy új típusú elemfajta élettartamát. A korábbi elemek élettartama 299 óra volt. Véletlen mintavétellel kiválasztva 200 új elemet, az átlagos élettartamuk 300 óra volt, 8óra szórással. Valóban megnőtt az elemek élettartama?
22
3. Egy betongyárban 4 cementgyárból (A, B, C, D) vásárolnak cementet. A cement minőségét próbakockák gyártásával ellenőrzik. A beérkező „500-as cement” szállítmányokból mintát véve a próbakockák nyomószilárdság adatai [kg/cm2-ben] az alábbiak: A szállító: 512, 716, 668, 726, 580 B szállító: 516, 664, 614, 586, 590 C szállító: 542, 684, 722, 600, 642 D szállító: 566, 744, 546, 610, 672. Van-e különbség a szállítók között? 4. Kétféle oldat (A és B) pH értékét szeretnénk összehasonlítani. Hatelemű mintát elemezve az A oldatból 7,52-es átlagos pH értéket kaptunk 0,024 szórással. Ötelemű minta alapján a B oldat átlagos pH értéke 7,49 volt 0,032 szórással. Vizsgálja meg, hogy van-e különbség a két oldat pH értékében! 5. Egy fővárosi kerületben a 2000 májusában házasságot kötő párok közül véletlenszerűen kiválasztottak 12 párt, és a párok mindkét tagját külön-külön megkérdezték, hogy hány gyermeket terveznek. Az eredmények a következők (a tervezett gyermekek száma a 12 házaspárnál): Házaspár 1 sorszáma Feleség 4 Férj 3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2 2
2 3
2 2
0 1
1 0
2 2
3 1
2 0
5 3
2 3
1 0
Vizsgáljuk meg, hogy 5%-os szignifikancia szinten van-e különbség a feleség és a férj által tervezett gyerekszám között! 6. Adott típusú hőmérsékletszabályozók minden egyes darabját – biztonsági okokból – a gyártóműnél végellenőrzéskor, valamint a megrendelőnél átvételkor ellenőrzik. Az ellenőrzött méret előírása 120±3°C. A megrendelőtől számos reklamáció érkezett a leszállított szabályozók pontosságára vonatkozóan. A gyártómű azt tűzte ki feladatul, hogy megvizsgálja a megrendelő hitelesítő műszerét: nem mutat-e ez olyan pontatlanságot, amely a kapcsolási pontok eltérését okozhatja? A vizsgálat érdekében a gyártó és a megrendelő együttes vizsgálattal 40-40 darab véletlenszerűen kiválasztott szabályozó értékét műszereivel meghatározta. A mérések eredményei a gyártó műszerén: x gy = 119,8°C ; s ∗gy = 1,54°C A megrendelő műszerén: x M = 121,2°C ; sM∗ = 1,17°C A műszerek mérési pontossága (eltérése) okozhatja-e a reklamációban jelzett eltéréseket? (α=5%) 7. Az előző példában szereplő hőmérsékletszabályozók minősítésével kapcsolatos vizsgálatokat a gyártó és vevő jelenlétében vett véletlen mintákon végezték, és a méréseket mindkét műszeren azonos személy – a KERMI egy szakembere – végezte. A vizsgálatsorozat első tíz műszerén végzett mérésének tényleges eredményei az alábbiak voltak (Gy: a gyártó műszerén, M: a megrendelő műszerén mért értékeket mutatja):
23
1 Gy 119,7 M 120,9
2 117,4 119,8
3 121,0 122,4
4 118,8 120,1
5 122,4 123,4
6 119,0 123,6
7 117,8 119,1
8 118,9 118,9
9 122,7 124,5
10 119,8 120,6
Van-e szignifikáns eltérés a két méréssorozat eredményei között 1%-os szignifikancia szinten? 8. Egy automata gépsor által töltött dobozokból 10 elemű mintát veszünk. A mintába került 10 doboz grammban kifejezett töltősúlya a következő: 255g, 242g, 245g, 253g, 249g, 251g, 250g, 255g, 245g, 246g. Ellenőrizzük, hogy a gépsor teljesíti-e a 250g várható értékű specifikációt 1%-os szignifikancia szinten! 9. Két iskolában (A és B) a tanulók intelligencia szintjét hasonlítják össze. Mindkét iskolából 25-25 fős véletlen mintát vettek. A két minta adataiból a számítások eredményei: x A = 117
s ∗A = 18 x B = 112 s B∗ = 13,4 Vizsgáljuk meg 1%-os szignifikancia szinten, hogy van-e eltérés a két iskola tanulóinak intelligencia szintje között! 10. Egy konzervgyárban két automata tölt lekvárt 0,5 literes üvegekbe. A gyártásközi ellenőrzés során véletlen mintát vettek mindkét gépről. A mintákra vonatkozó eredmények: Gép
Mintaelem-szám
I. II.
32 37
Átlagos töltési mennyiség, ml 503 495
Töltési tömeg szórása, ml 8,2 7,6
Döntse el 5%-os szignifikancia szinten, hogy tekinthető-e azonosnak a két gépen a töltési tömeg szórása és átlaga! 11. Egy kutatás során azt vizsgálták, hogy az üzleti környezetet hogyan ítélik meg az egyes vállalkozások vezetői. A kérdőíves vizsgálat során a vállalkozások mérete alapján 3 csoportba (A, B, C) sorolták a megkérdezett vezetőket, akik válaszait egy 100 pontos skálán értékelték. Az értékelési skálán kapott pontszámok normális eloszlásúnak tekinthetők. A vizsgálat során mindhárom kategóriában 8 vállalkozást kérdeztek meg.
24
Vállalkozás méret
Átlag Korrigált tap. szórás
A. Kis- és mikrovállalkozások 45 39 52 43 51 43 47 48 46 4,375
B. Közepes vállalatok 63 66 61 68 72 64 58 60 64 4,567
C. Nagyvállalatok 62 65 61 74 69 66 70 69 67 4,342
Vizsgálja meg, hogy a vállalatméret szerinti csoportok között van-e eltérés a kapott pontszámok között! 12. Valamely terméket akkor vesz át a vevő, ha a selejtarány legfeljebb 2%-os. Egy nagyobb szállítmányból vett 100 db-ból álló mintában 3 db selejtes terméket találtak. Állítsa fel a hipotéziseket, és tesztelje az előírást 5%-os szignifikancia szinten! Hozzon döntést az átvételt illetően! 13. Egy illatszerboltban 10 nap alatt változatlan minőségű és változatlan árú 460 db szappant adtak el, ebből 138 db volt „Amo” márkájú. Miután az „Amo” szappan csomagolását megváltoztatták, újabb 10 napos megfigyelés szerint 400 eladott szappan között 160 db volt „Amo” márkájú. Állapítsa meg 1%-os szignifikancia szinten, hogy az új csomagolás növelte-e az „Amo” szappan piaci részesedését! 14. Egy gyorséttermi akció célja, hogy hatására a vásárlók 20%-a vásárolja meg az adott terméket. 350 vásárlót tartalmazó véletlen mintában 65-en megvásárolták a szóban forgó terméket. Ellenőrizzük, hogy sikeresnek tekinthető-e az akció 5%-os szignifikancia szinten!
25
Paraméteres és nemparaméteres feladatok 1. Véletlenszerűen kiválasztott 120 db mikrohullámú sütő élettartam szerinti megoszlását mutatja a következő táblázat: Élettartam, év
db 8 28 44 25 15 120
-5 5-6 6-7 7-8 8Összesen A mintából számított jellemzők:
x = 6,36év s ∗ = 0,67év
a) 5%-os szignifikancia szinten ellenőrizze azt az állítást, hogy mikrohullámú sütők élettartama normális eloszlást követ! b) Teljesül-e 5%-os szignifikancia szinten az a minőségi előírás, hogy az élettartam átlaga meg kell, hogy haladja a 6 évet! 2. Egy sörgyártó vállalatnál a sör névleges térfogata 500ml kell, hogy legyen, és a térfogat szórása legfeljebb 10ml lehet. Egy 100 elemű véletlen mintából ellenőrzik a szállítmányt. A minta adatai a következők: Térfogat, ml -480 480-490 490-500 500-510 510-520 520Összesen A mintából számított jellemzők:
db 5 20 30 24 16 5 100 x = 499,1ml s ∗ = 12,6ml
a) 5%-os szignifikancia szinten tesztelje azt a hipotézist, hogy a betöltött sör térfogat szerinti eloszlása normálisnak tekinthető! b) A minta alapján ellenőrizze az átlagos töltősúlyra vonatkozó hipotézis teljesülését!
26
VII. Kétváltozós korreláció- és regresszióelemzés 1. 9 kereskedelmi vállalatnál vizsgálták az árbevétel és az eredmény közötti kapcsolatot. Árbevétel
Eredmény millió Ft 12 14 14 21 25 35 44 55 50
440 469 518 644 750 890 999 1228 1262
Ismertek továbbá az alábbi részeredmények: Részeredmények
∑d d ∑d ∑d ∑ ( y − yˆ ) ∑ ( yˆ − y ) x
41118
y
2 x
789850
2 y
2188
2
47,5
2
2135,78
a) Írja fel a lineáris regressziófüggvényt és értelmezze a b1 paramétert! b) Számítsa ki és értelmezze a regressziós becslés relatív hibáját! c) Határozza meg, hogy a bruttó árbevétel hány százalékban magyarázza az eredmény szóródását! d) Vizsgálja meg az eredmény árbevétel-rugalmasságát az átlagos szinten! Értelmezze az eredményt! e) Adjon konfidenciaintervallumot 95%-os megbízhatósági szinten az 1000 millió Ft-os árbevételhez tartozó eredmény nagyságára! f) Vizsgálja mindkét tanult módszerrel, hogy a regressziófüggvény szignifikáns-e! 2. 10 elemű minta alapján vizsgálták a Suzuki Sedan 1.3GL típusú gépkocsik életkora és eladási ára közötti kapcsolatot. Életkor (év)
3
1
6
4
4
5
0
1
7
2
Eladási ár (ezer Ft) 1720 1800 1350 1600 1500 1550 2000 1750 1300 1700
a) Határozza meg a két ismérv kapcsolatát leíró lineáris regressziófüggvényt!
27
b) Számítsa ki a kovarianciát, a lineáris korrelációs együtthatót, a regresszióbecslés relatív hibáját! c) Tesztelje a regressziófüggvényt 5%-os szignifikanciaszinten! d) Becsülje meg a 8 éves gépkocsik eladási árát 95%-os megbízhatósági szinten! 3. Egy egyéni vállalkozó fő tevékenységi körében teherszállítással foglalkozik. Munkájának elemzése során 10 véletlenszerűen kiválasztott fuvar alapján vizsgálta, hogy van-e összefüggés a szállítás időtartama és távolsága között. A megfigyelés eredménye az alábbi táblázatban található:. Szállítási távolság (km) 4 4 2 10 19 20 16 20 25 30 (x) Szállítási idő (perc) 10 13 8 20 27 35 22 40 45 50 (y) a) Határozza meg a két ismérv kapcsolatát leíró lineáris regressziófüggvényt! b) Számítsa ki a lineáris korrelációs együtthatót, a regresszióbecslés relatív hibáját, valamint a becsült paraméterek standard hibáit! c) Számítsa ki a szállítási idő rugalmasságát átlagos szinten! d) Adjon 95%-os intervallumbecsést a β1 regressziós együtthatóra! e) Tesztelje a regressziófüggvényt 5%-os szignifikanciaszinten! f) Becsülje meg a 12 km távolságra történő szállítások átlagos idejét! (95%-os szinten) g) Becsülje meg egy 12 km távolságra történő szállítás menetidejét! (95%-os szinten) 4. Egy farmer a felhasznált műtrágyafajták száma alapján szeretné előrejelezni a várható termésmennyiséget. Felhasznált műtrágya 1 2 4 5 6 8 10 Termés [t/ha]
2 3 4 7 12 10 7
Ismertek továbbá az alábbi részeredmények: Részeredmények Cov(xy) 7,082 sx 2,95 sy 3,42 2 d 60,857 ∑ x (megj.: a szórások korrigálatlan tapasztalati szórások)
a) Határozza meg a két ismérv kapcsolatát leíró lineáris regressziófüggvény paramétereit! b) Számítsa ki a lineáris korrelációs együtthatót és a determinációs együtthatót! c) Tesztelje a regressziófüggvényt 5%-os szignifikanciaszinten! d) Becsülje meg 7 fajta műtrágya alkalmazásával a termésmennyiséget 95%-os megbízhatósági szinten!
28
VIII. Döntéselmélet Döntés bizonytalan körülmények között 1. Adott az alábbi nyereség típusú döntési mátrix:
s1 s2 s3 s4
t1 100 20 40 -10
t2 60 70 60 20
t3 -40 80 200 20
t4 -20 60 60 70
Hogyan döntene bizonytalan körülmények között? 2. Egy vállalkozó automatizált gyártóberendezést kíván importálni. A gép megbízható működéséhez – többek között – egy kritikus alkatrész hibátlan működése szükséges. A szállító ajánlata szerint a berendezéssel együtt vásárolt tartalék alkatrészek ára: 10.000€/db. Egy-egy alkatrész utólagos beszerzésének a költsége viszont: 35.000€/db. A szállító adatai szerint az eddig eladott berendezések üzemeltetése során egy adott berendezés esetén legfeljebb 3 meghibásodás fordult elő. a) Hány tartalék alkatrészt vásároljon a vásárló, ha nincs információja a berendezés megbízhatóságáról? b) Hogyan alakul a vállalkozó döntése, ha megkapja az eddig eladott 231 db. berendezésről készült alábbi meghibásodási statisztikát. Meghibásodott alkatrészek száma Berendezések száma
0 135
1 56
2 3 27 13
3. Salvador elhatározta, hogy megtakarított pénzén motelt kíván építeni, de nem tudja még, hogy 20, 30, 40, vagy 50 szobát rendezzen-e be. Az előrelátható költségek a következők: A szobaszámtól független évi költségek: • Tereprendezés és közművesítés: 10000 peso • Feltételezik, hogy az építményeknek és közműveknek 10 évig kell tartaniuk, és a fix költségeket is 10 év alatt írják le, így a kezdeti tereprendezés és közművesítés költségének egy évre jutó hányada: 10 000 peso. • Javítási és karbantartási költségek (fix költségrész) évente: 1500 peso • Éjjeli őr évente (járulékos költségekkel): 6000 peso • Egy karbantartó évente (járulékos költségekkel): 8000 peso A fix költségek évi összege: 25500 peso.
29
A szobák számával arányos évi költségek: Építés, közművesítés, a szobák bebútorozása. Egy szoba költsége 40 000 peso és 10 éven keresztül azonos összeget írnak le. Különböző szobaszámok esetén: 10 szobánként egy alkalmazott: egy alkalmazott évi költsége a járulékos költségekkel együtt 6000 peso Karbantartás és javítások szobánként évi 150 peso Tűzbiztosítás (szobánként évi 25 peso) Összesen
20 80 000
30 120 000
40 160 000
50 200 000
12 000
18 000
24 000
30 000
3000
4500
6000
7500
500
750
1000
1250
95 500
143 250
191 000
238750
A kivett szobák R átlagos számával arányos évi költségek: Mosás, takarítás: 5 peso/nap/szoba Villany, gáz, víz: 5 peso/nap/szoba összesen
0 0 0 0
10 18000 18000 36000
20 36000 36000 72000
30 54000 54000 108000
40 72000 72000 144000
50 90000 90000 180000
0 0
10 219000
20 438000
30 657000
40 876000
50 1095000
Szobabér, bevételek Bevétel
Ezen számok alapján meghatározták az évi bevételt különböző R és S értékek esetén. A következő táblázat tartalmazza ezeket az értékeket. Nyereség (ezer pesoban kifejezve) S=20 S=30 S=40 S=50
0 -121 -168,75 -216,5 -264,25
10 62 14,25 -33,5 -81,25
20 245 197,25 149,5 101,75
30 245 380,25 332,5 284,75
40 245 380,25 515,5 467,75
Ebben a bizonytalan helyzetben Salvador milyen kritériumot válasszon?
30
50 245 380,25 515,5 650,75
4.
Egy könyvesbolt vezetője arról kíván döntést hozni, hogy a legújabb krimi bestsellerből hány példányt rendeljen. A krimik korábbi eladási tapasztalatára építve úgy véli, hogy 18-20 közötti darabot fog tudni értékesíteni. Minden egyes példány 3 dollárjába kerül, és 4 dollárért értékesíti azokat. Ha egyes példányokat nem tud értékesíteni, akkor a 1 dollárt visszakap az el nem adott példányok visszaküldésével. Függetlenül attól, hogy hány darabot rendel a szállítási és a kezelési költség 5 dollár. Készítsen döntési mátrixot a keresletek és megrendelések lehetséges kombinációit illetően! a) Hány példányszám mellett döntsön a könyvesbolt vezetője, ha nincs információja a keresleti szintek bekövetkezési valószínűségeit illetően? Legyen az optimizmus együttható 0,6! b) Múltbeli eladások alapján a könyvesbolt vezetője az alábbi szubjektív becsléseire alapozott valószínűségeket rendelte az egyes keresleti szintekhez. Hogyan döntsön ezen információk birtokában? Keresleti szint 18 19 20
Valószínűség 0,4 0,35 0,25 1
c) A kereskedő úgy döntött, hogy csak akkor rendel krimit, ha várhatóan 20-at el tud adni belőle. (Ha nem, akkor más típusú könyveket rendel.) Keresleti szint megítélésére gyors felmérést szokott végezni az ismerősök között. Az ismerősök által adott előrejelzés az esetek 75%-ában jelezte helyesen előre 20 könyv eladását. 19 könyv keresleténél az ismerősök 15% valószínűséggel jeleztek 20 könyvet, 18 könyv keresleténél pedig 10% valószínűséggel. A rendelések hány %-ban fog a kereskedő krimit rendelni? Hosszútávon mekkora lesz az árbevétele a krimik eladásából?
31
IX. Rang-módszerek alkalmazása 1. Kérjük, aláhúzással jelölje meg az alábbi tényezőpárosításokban, hogy melyik tényezőt tartja a kettő közül fontosabbnak egy feltételezett munkahely, vagy munkakör változtatás esetén. Érdekes munkafeladatok (G) Magas nyereségrészesedés (C) Előmeneteli lehetőség (H) Rendszeres prémium (B) Ne kelljen nagyon keményen dolgozni (D) Érdekes munkafeladatok (G) A jól végzett munka megbecsülése (K) Ne kelljen nagyon keményen dolgozni (D) Rendszeres prémium (B) Érdekes munkafeladatok (G) Jó munkafeltételek (J) Jó fizetés (A) Érdekes munkafeladatok (G) Rendszeres prémium (B) Jó fizetés (A) Magas nyereségrészesedés (C) Jó fizetés (A) A jól végzett munka megbecsülése (K) Jó viszony a vezetővel (F) Magas nyereségrészesedés (C) Jó viszony a munkatársakkal (E) Előmeneteli lehetőség (H) Jó viszony a munkatársakkal (E) Jó munkafeltételek (J) Jó viszony a vezetővel (F) Ne kelljen nagyon keményen dolgozni (D) Rendszeres prémium (B) Előmeneteli lehetőség (H) Jó munkafeltételek (J) Jó viszony a munkatársakkal (E) Jó viszony a munkatársakkal (E) A jól végzett munka megbecsülése (K) Jó fizetés (A) Ne kelljen nagyon keményen dolgozni (D) Előmeneteli lehetőség (H) Jó viszony a vezetővel (F) Jó viszony a munkatársakkal (E) Jó munkafeltételek (J)
A jól végzett munka megbecsülése (K) Jó viszony a vezetővel (F) Érdekes munkafeladatok (G) Jó munkafeltételek (J) Jó viszony a munkatársakkal (E) Jó munkafeltételek (J) Jó viszony a vezetővel (F) Érdekes munkafeladatok (G) Magas nyereségrészesedés (C) Magas nyereségrészesedés (C) Jó viszony a vezetővel (F) Előmeneteli lehetőség (H) Jó viszony a munkatársakkal (E) Érdekes munkafeladatok (G) Rendszeres prémium (B) Jó fizetés (A) Ne kelljen nagyon keményen dolgozni (D) Rendszeres prémium (B) Előmeneteli lehetőség (H) A jól végzett munka megbecsülése (K) A jól végzett munka megbecsülése (K) Jó munkafeltételek (J) Előmeneteli lehetőség (H) Jó viszony a munkatársakkal (E) Rendszeres prémium (B) Rendszeres prémium (B) Jó viszony a munkatársakkal (E) Rendszeres prémium (B) Jó fizetés (A) Magas nyereségrészesedés (C) Jó viszony a vezetővel (F) Ne kelljen nagyon keményen dolgozni (D) A jól végzett munka megbecsülése (K) Jó munkafeltételek (J) Ne kelljen nagyon keményen dolgozni (D) Ne kelljen nagyon keményen dolgozni (D) Jó fizetés (A) Jól végzett munka megbecsülése (K)
32
Jó viszony a vezetővel (F) Jó munkafeltételek (J) Jó fizetés (A) Magas nyereségrészesedés (C) A jól végzett munka megbecsülése (K) Magas nyereségrészesedés (C) Érdekes munkafeladatok (G)
Érdekes munkafeladatok (G) Magas nyereségrészesedés (C) Jó viszony a vezetővel (F) Ne kelljen nagyon keményen dolgozni (D) Előmeneteli lehetőség (H) Előmeneteli lehetőség (H) Jó fizetés (A)
33
A B C D E F G H J K Σ
Jó fizetés Rendszeres prémium Magas nyereségrészesedés Ne kelljen nagyon keményen dolgozni Jó viszony a munkatársakkal Jó viszony a vezetővel Érdekes munkafeladatok Előmeneteli lehetőség Jó munkafeltételek A jól végzett munka megbecsülése Összesen
A B C D E x x x x
F
G H
J
K
x x x x x x
34
a
a2
p
u
2. Egy piackutató cég szeretné megállapítani, hogy nyolc különböző dvd lejátszó közül melyek elégítik ki a legjobban a vevők igényeit. E célból egy szakértői bizottság 9, a fogyasztó szempontjából lényeges jellemző szerint rangsorolja a fenti készülékeket. A kapott rangszámokat a következő táblázat tartalmazza. Hogyan lehetne egyesített rangsort készíteni, amely minden jellemzőt egybefoglalva egy általános minősítést tükröz? Típus/jellemző
1.
2.
3.
4.
5.
6. 7. 8. 9. Ri
A
3
5
6
5
5
6
7
6
7
50
B
5
3
7
3
6
2
5
2
2
35
C
8
8
4
6
1
5
8
4
3
47
D
2
2
2
1
2
1
1
5
5
21
E
4
1
5
8
8
4
4
8
4
46
F G
1 6
6 7
3 8
2 4
4 7
7 8
2 6
3 7
6 8
34 61
H
7
4
1
7
3
3
3
1
1
30
3. Egy textilgyárban a fonalcsévék homogén festésének minősítése a következőképpen történik. Az egyes festett csévéket, amelynek a színhomogenitását kell ellenőrizni 10-10 részcsévére bontják. Az így nyert részcsévéket 10 betanított és a célra alkalmas munkás értékeli színárnyalat szerint. Ha az egy csévéből származó részcsévék között az értékelők nem tudnak különbséget tenni, a festés homogénnek tekinthető és felhasználható. Ellenkező esetben selejtes a fonal. Az értékelés szemmel történik, az értékelők az eredményt rangsor formájában adják meg. A megegyező színárnyalatú részcsévék a rangszámuk átlagát kapják. A B C D E F G H I J
1. 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5
2. 6 6 6 1 6 6 2 6 6 10
3. 4,5 4,5 9,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 9,5
4. 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5
5. 2 7 7 7 7 7 2 7 7 2
6. 8 8 8 2 5 5 2 2 5 10
7. 2,5 9,5 6,5 6,5 2,5 2,5 6,5 9,5 6,5 2,5
8. 7 7 7 2,5 2,5 2,5 2,5 7 7 10
9. 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5
10. 4 9 4 4 4 4 4 4 9 9
Ri 50,5 67,5 64,5 44 48 48 40 56,5 61,5 69,5
Ha szignifikáns a véleményegyezés a bírálók között, akkor feltehető, hogy az egyes részcsévék festése nem homogén. Ha a bírálók között nincs egyetértés, akkor a rangszámok csak a véletlen következtében ingadoznak, a festés tehát homogén. Vizsgálja meg, hogy homogénnek tekinthető-e a festés?
35
4. Egy tíztagú team teammunka eredményeként kiérdemelt jutalmát, az eredményhez való hozzájárulás arányában szeretné egymás között szétosztani. 7 kiválasztott teamtag rangsorolta a team tagjait és saját magát is. Az összegzett rangsort az alábbi táblázat tartalmazza. Hogyan lehetne eredő rangsort készíteni? A
B
C
D
E
F
G
Ri
A
1
1
1
1
1
1
1
7
B
5
5
6
7
8
5
6
42
C
3
2
2
3
2
2
4
18
D
4
6
5
6
7
7
5
40
E
7
7
9
8
6
9
9
55
F
2
3
3
2
3
4
3
20
G
8
8
7
5
10
8
8
54
H
9
10
8
10
5
10
10
62
I
6
4
4
4
4
3
2
27
J
10
9
10
9
9
6
7
60
5. Egy vállalat szociálpszichológiai vizsgálatot végeztetett 5 vezető beosztású műszaki dolgozójával. A következő kérdésekre keressük a választ: a) Az egyéni döntések mennyiben térnek el a csoportdöntéstől? b) A csoportdöntés hogyan befolyásolja az egyéni döntést? c) Milyen a csoport hatékonysága az adott témacsoportban folytatott vita során? d) A csoporttevékenységet tekintve ki játssza az informális vezető szerepét? A vizsgálat során 7 kiválasztott gyártmányt kellett rangsorolni előre megadott műszakigazdasági szempontok alapján. A gyártmányok kiválasztása úgy történt, hogy a hátrányok és előnyök közel azonosan legyenek, de az értékelésnél olyan szempontok is szerepet játszanak, amelyeket számszerűsíteni nem lehet. A vizsgálat menete: minden személy döntött a sorrendről (EED), közösen döntik el a sorrendet (CSD), a vita után minden személy egymástól függetlenül ismét rangsorolta a gyártmányokat (KED). Kovács
Kiss
Nagy
Szabó
Tóth
CSD
EED KED
EED
KED
EED
KED
EED
KED
EED
KED
A B C
1 2 3
6 1 3
2 1 3
2 4 7
1 2 7
1 3 2
1 3 2
7 2 1
1 3 2
3 2 5
3 2 5
D E F G
4 5 6 7
2 5 7 4
4 5 7 6
6 1 3 5
6 3 4 5
4 7 6 5
4 7 6 5
4 6 5 3
5 7 6 4
7 1 4 6
7 1 4 6
36
X. Felhasznált irodalmak
Ay János – Kupcsik József: Általános statisztika példatár. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1961 Denkinger Géza: Valószínűségszámítási gyakorlatok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1977 Gáspár László – Temesi József: Lineáris programozási gyakorlatok, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., Budapest, 1999 Hunyadi László – Vita László: Statisztika közgazdászoknak. Központi Statisztikai Hivatal, Budapest, 2002 Juhász Györgyné – Sándorné Kriszt Éva: Statisztika II. távoktatással (főiskolai jegyzet). Távoktatási Universitas Alapítvány, 2002 Kaufmann, A. –Faure, R.: Bevezetés az operációkutatásba, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1969 Kerékgyártó Györgyné – Mundruczó György – Sugár András: Statisztikai módszerek és alkalmazásuk a gazdasági, üzleti elemzésekben. Aula kiadó, Budapest, 2001 Kindler József – Papp Ottó: Komplex rendszerek vizsgálata, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1977 Korpás Attiláné dr. (szerk.): Általános statisztika II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002 Sincich, T.: Statistics by Example, Fourth Edition, Dellen Publishing Company, San Fransisco, 1990 Spiegel, M. R. : Statisztika, Elmélet és gyakorlat, Schaum-könyvek, Panem – McGraw-Hill, Budapest, 1995 Solt György: Valószínűségszámítás. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973 Szabó Gábor Csaba – Szűts István: Matematikai statisztika példatár I-II., Tankönyvkiadó, Budapest, 1987.
37
