KOTA TAHUN 2011 BIDANG STUDI MATEMATIKA WAKTU : 150 MENIT

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA TAHUN 2011 KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA

BIDANG STUDI MATEMATIKA WAKTU : 150 MENIT

A. PILIHAN GANDA 1. Nilai a. b. c. d. e.

1 2 3 = …. − + 8! 9! 10!

113/10! 91/10! 73/10! 71/10! 4/10!

JAWAB : C

1 2 3 9.10 2 × 10 3 − + = − + 8! 9! 10! 10! 10! 10! 90 − 20 + 3 = 10! 73 = 10!

2. Menggunakan angka-angka 1, 2, 5, 6 dan 9 akan dibentuk bilangan genap yang terdiri dari lima angka. Jika tidak ada angka yang berulang, maka selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah ... a. 70820 b. 79524 c. 80952 d. 81236 e. 83916 JAWAB : E Bilangan genap terbesar yang mungkin 96512 Bilangan genap terkecil yang mungkin 12596 Jadi selisih kedua bilangan tersebut = 96512 – 12596 = 83916

http://olimatik.blogspot.com e-mail: [email protected]

HAL 1

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) 3. Pada gambar berikut tabung berisi air, tinggi dan diameter tabung tersebut adalah 18 cm dan 6 cm. Kemudian ke dalam tabung dimasukkan 3 bola pejal yang identik (sama bentuk) sehingga bola tersbut menyinggung sisi tabung dan a i r d a l a m tabung keluar, maka sisa a i r di dalam tabung adalah ... cm . a. 51 π b. 52 π c. 53 π d. 54 π e. 55 π

JAWAB : D V Sisa air dalam tabung = V Tabung – 3 . V bola

4 3

2 3 V = π .r .t − 3. .π .r

4 3

2 3 V = π .3 .18 − 3. .π .3

V = 33 π (6 − 4) V = 54 π Jadi sisa ai r di dalam tabung adalah V = 54 π cm 4. Seorang ilmuwan melakukan percobaan terhadap 50 ekor kelinci. dan melaporkan hasilnya sebagai berikut: • 25 ekor diataranya kelinci jantan. • 25 ekor d i l a t i h menghindari jebakan, 10 ekor diantaranya jantan. • 20 ekor(dari total 50 ekor) berhasil menghindari jebakan, 4 ekor diantaranya jantan. • 15 ekor yang pernah dilatih berhasil menghindari jebakan, 3 ekor diantaranya jantan. Berapa ekor kelinci betina yang t i d a k pernah dilatih, tidak dapat menghindari jebakan? a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 JAWAB : B •

25 jan tan  25 betina

Banyaknya kelinci = 50 ekor 

Misalkan n(S) banyaknya kelinci betina, maka n(S) = 25 ekor •

10 jan tan  15 betina

Banyaknya kelinci yang pernah dilatih menghindari jebakan= 25 ekor 

Misalkan n(A) banyaknya kelinci betina yang pernah dilatih menghindari jebakan, maka n(A) = 15 ekor •

4 jan tan 16 betina

Banyaknya kelinci yang berhasil menghindari jebakan = 20 ekor 

Misalkan n(B) banyaknya kelinci betina yang berhasil menghindari jebakan, maka n(B) = 16 ekor


HAL 2

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) •

Banyaknya kelinci yang pernah dilatih dan berhasil menghindari jebakan

3 jan tan 12 betina

= 15 ekor 

Maka banyaknya kelinci betina yang pernah dilatih dan berhasil menghindari jebakan = n( A ∩ B ) = 12 ekor

n( A ∪ B ) = n( A) + n( B ) − n( A ∩ B ) n( A ∪ B ) = 15 + 16 − 12 n( A ∪ B ) = 19 Misalkan x banyaknya kelinci betina yang tidak pernah dilatih, dan tidak dapat menghindari jebakan , maka

x = n ( S ) − n( A ∪ B )

x = 25 − 19 x=6

Jadi banyaknya kelinci betina yang ti d a k pernah dilatih, tidak dapat menghindari jebakan adalah 6 ekor 5. Banyaknya bilangan bulat m sehingga ... a. b. c. d. e.

1 1 merupakan bilangan bulat adalah + 2+ x 2− x

2 3 5 6 7

JAWAB : D

1 1 2− x +2+ x + = 2 + x 2 − x ( 2 + x )( 2 − x ) 4 = 4− x

Agar bentuk terakhir merupakan bilangan bulat maka 4- m harus merupakan faktor dari 4 yaitu; -1, 1, -2 , 2, -4, 4 Jadi ada 6 bilangan bulat x yang memenuhi

6.

a. b. c. d. e.

Urutan tiga bilangan 24444 , 33333 , dan 42222 dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah …. 24444 , 42222 , 33333 24444 , 33333 , 42222 33333 , 42222 , 24444 42222 ,33333, 24444 33333 ,24444 , 42222

JAWAB : A 24444 = (24)1111 = 161111 33333 = (33)1111 = 271111 42222 = (42)1111 = 161111 Jadi urutan tiga bilangan tersebut dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah 24444 , 4 2222 , 33333


HAL 3

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) 7. Lima pasang suami istri akan duduk di 10 kursi secara memanjang. Banyaknya cara mengatur tempat duduk mereka sehingga setiap pasang suami istri duduk berdampingan adalah a. 3800 b. 3820 c. 3840 d. 3900 e. 3940 JAWAB : C Posisi duduk suami istri dapat digambarkan sebagai berikut: SAIA

SBIB

SCIC

SDID

SEIE

Banyak cara untuk mengatur pasangan suami istri = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 Karena posisi duduk masing-masing suami dan istrinya dapat dipertukarkan maka banyak cara = 25 = 32 Jadi banyaknya cara seluruhnya adalah = 120 x 32 = 3840 cara 8. Dalam sebuah kotak berisi 15 telur, 5 telur diantaranya rusak. Untuk memisahkan telur baik dan telur yang rusak dilakukan pengetesan satu persatu tanpa pengembalian. Peluang diperoleh telur rusak ke 3 pada pengetesan ke 5 adalah ... a. b. c. d. e.

80 1001 90 1001 100 1001 110 1001 120 1001

JAWAB : B Banyaknya telur = 15 Banyaknya telur baik (B) = 10 Banyaknya telur rusak (R) = 5 Peluang diperoleh telur rusak ke 3 pada pengetesan ke 5 kemungkinannya:

10 9 5 4 3 15 . . . . = 15 14 13 12 11 1001 5 4 10 9 3 15 Kasus II : P(RRBBR) = . . . . = 15 14 13 12 11 1001 10 5 9 4 3 15 Kasus III : P(BRBRR) = . . . . = 15 14 13 12 11 1001 5 10 4 9 3 15 Kasus IV : P(RBRBR) = . . . . = 15 14 13 12 11 1001 10 5 4 9 3 15 Kasus V : P(BRRBR) = . . . . = 15 14 13 12 11 1001 5 10 9 4 3 15 Kasus VI : P(RBBRR) = . . . . = 15 14 13 12 11 1001 Kasus I : P(BBRRR) =

Jadi peluang diperoleh telur rusak ke 3 pada pengetesan ke 5 adalah 6 ×


15 90 = 1001 1001

HAL 4

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) 9. Diketahui limas T.ABCD. panjang Rusuk AB 2 cm dan TA 4 cm. Jarak titik M dan rusuk TD adalah ... a. b.

5 6

c.

7

T T E

d. 2 5 e. 2 6

E D

C

JAWAB : C BD = TF =

2 2 + 22 = 2 2

A

B

D

F

B

2

4 2 − 2 = 16 − 2 = 14

L segitiga TBD = ½ . BD . TF = ½ . 2 2 . 14 L segitiga TBD =. 24 = 4.7 = 2 7 L segitiga TBD = 2 7 ½ . TD . BE = 2 7 ½ . 4 . BE = 2 7 BE =

7

Jadi jarak dari titik M dan rusuk TD adalah

7

10. Sembilan lingkaran kongruen terletak di dalam persegi seperti terlihat pada gambar. jika keliling sebuah lingkaran 62,8 cm dengan π = 3,14, maka luas daerah yang diarsir adalah …cm2 a. 344 b. 364 c. 484 d. 688 e. 728

JAWAB : A Keliling lingkaran = 62,8

π .D = 62,8 D=

62,8 = 20 3,14

r = 10 Perhatikan potongan gambar berikut! Luas A = L persegi – 4 . ¼ Luas lingkaran Luas A = 400 - π .10 Luas A = 400 - 3,14×100 2

A

Luas A =86 Luas arsiran pada gambar = 4 . Luas A


HAL 5

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) Luas arsiran pada gambar = 4 .86 Luas arsiran pada gambar = 344 Jadi Luas arsiran pada gambar 344 cm2 11. Suatu jam dinding selalu menghasilkan keterlambatan lima menit untuk setiap jamnya. Jika saat sekarang jam tersebut menunjukkan waktu yang tepat, maka jam tersebut akan menunjukkan waktu yang tepat setelah ...jam. a. 105 b. 110 c. 114 d. 124 e. 144 JAWAB : E Suatu jam akan menunjukkan waktu yang sama setelah 12 jam. 12 jam = 12 × 60 menit Karena setiap jam mengalami keterlambatan 5 menit, maka jam tersebut akan menunjukkan waktu yang tepat lagi setelah

12 × 60 = 144 jam 5

12. Di dalam kotak terdapat 18 bola identik (berbentuk sama), 5 berwarna hitam, 6 berwarna putih dan 7 berwarna hijau. Jika diambil dua bola secara acak, maka peluang yang terambil bola berwarna sama adalah ... a. b. c. d. e.

46 153 13 36 4 105 55 162 55 152

JAWAB : A Dari 18 bola terdiri 5 h (hitam), 6p (putih), dan 7j (hijau) Kejadian terambil 2 bola berwarna sama: {hh, pp, jj) Banyaknya kejadian = 5C2 . 6C0 . 7C0 + 5C0 . 6C2 . 7C0 + 5C0 . 6C0 . 7C2

5! 6! 7! + + 3!.2! 4!.2! 5!.2! 5.4 6.5 7.6 + + = 10 + 15 + 21 = 46 Banyaknya kejadian = 2 2 2 18! 18.17 = = 153 Banyaknya ruang sampel = 18C2 = 16!.2! 2 46 Jadi peluang terambil 2 bola berwarna sama= 153

Banyaknya kejadian =


HAL 6


13. Perhatikan gambar di atas, persegi ABCD dengan panjang sisi 14 cm menyinggung Lingkaran. Masing-masing sisi persegi dibuat setengah lingkaran dengan diameter sisi persegi tersebut. Jika π = 3,14, maka luas daerah yang diarsir adalah ... cm 2 a. 49 b. 56 c. 112 d. 178 e. 196 JAWAB : E AB = 14 cm, AC = 14 2 cm L arsiran = 4 . ½ .L. lingkaran (D=AB) – L. lingkaran (D = AC) + L. Persegi L arsiran = 2. π .r1

2

– π .r2 + 142

L arsiran = 2. π .7

2

– π (7 2 ) 2 + 196

2

L arsiran = 98 π – 98 π +196 L arsiran = 196 Jadi Luas arsiran = 196 cm2 14. Diketahui 2 2 x + 2 −2 x = 2 . Nilai 2 x + 2 − x = ..... a. 1 b. 2 c. 2 d. 3 e. 3 JAWAB : B (2x+2-x)2 = 22x+2.2x.2-x+2-2x (2x+2-x)2 = 22x+2.20+2-2x (2x+2-x)2 = (22x+2-2x) + 2 (2x+2-x)2 = 2+2 (2x+2-x)2 = 4 2x+2-x = ± 2 Karena 2x > 0 , 2-x > 0, maka jawaban yang memenuhi 2x+2-x = 2 15. Rataan usia kelompok guru dan profesor adalah 40 tahun. Jika rataan kelompok guru adalah 35 tahun sedangkan rataan kelompok profesor adalah 50 tahun, perbandingan banyaknya guru dengan profesor adalah . .. a. 2 : 1 b. 1 : 2 c. 3 : 2 d. 2 : 3 e. 3 : 4


HAL 7

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) JAWAB : A Misalkan x: banyaknya kelompok guru y: banyaknya kelompok profesor Rataan usia kelompok guru adalah 35 tahun , maka jumlah usianya =35x Rataan usia kelompok profesor adalah 50 tahun , maka jumlah usianya =50y Rataan usia kelompok guru dan profesor 40 tahun, maka 40.(x+y) = 35x+50y 40x+40y = 35x+50y 40x+40y = 35x+50y 40x-35x = 50y – 40y 5x = 10y x:y = 10:5 x:y = 2:1 Jadi perbandingan banyaknya guru dengan profesor adalah 2:1 16. Diketahui jajargenjang ABCD. T i t i k P dan Q terletak pada AC sehingga DP dan BQ tegak lurus AC. Jika panjang AD = 13 cm, AC = 25 cm dan luas jajargenjang tersebut adalah 125 cm2, maka panjang PQ adalah ... cm a.

1 2

b. 1 c.

2 3

d. e.

4 3

JAWAB : B

D

C Q

13

P A

B

AC = 25 cm L. Jajar genjang = 125 L. ADC = ½ . L. ABCD ½ . AC . DP =

125 2

25 . DP = 125 DP = 5 Karena BQ kongruen dengan DP maka BQ = DP = 5 cm Pada segitiga ADP berlaku teorema pythagoras sehingga AP = 12 cm Karena QC kongruen dengan AP maka QC = AP = 12 cm PQ = AC – 2 (AP)


HAL 8

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) PQ = 25 – 2 (12) PQ = 1 cm Jadi panjang PQ = 1 cm

54 + 14 5 + 12 − 2 35 + 32 − 10 7 = ...

17.

a. 10 b. 11 c. 12 d. 5 6 e. 6 6 JAWAB : C

( x + y) + 2 x × y = x + y ( x − y ) + 2 x × y = x − y , dengan x > y 54 + 14 5 = ( 49 + 5) + 2 49.5 = 49 + 5 12 − 2 35 = (7 + 5) − 2 7.5 = 7 − 5 32 − 10 7 = ( 25 + 7 ) − 2 25.7 = 25 − 7

54 + 14 5 + 12 − 2 35 + 32 − 10 7 =

49 + 5 + 7 − 5 + 25 − 7 = 7 + 5 = 12

18. Hasil penju mlahan 1! + 2' + 3! + ... + 2 0 1 1 ! adalah suatu bilangan yang angka satuannya adalah ... a. 3 b. 4 c. 5 d. e.

6 7

JAWAB : A 5! = 120 6!=720 7!=1440, DST Ternyata angka satuan dari 5!, 6!, 7!, ….,dan 2011! Selalu 0 Akibatnya angka satuan dari 1! + 2' + 3! + ... + 2011! Hanya ditentukan oleh angka satuan dari 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 Jadi angka satuan yang dimaksud adalah 3 19. Lima orang akan pergi ke pantai menggunakan sebuah mobil berkapasitas 6 tempat duduk. Jika hanya ada dua orang yang bisa menjadi sopir. maka banyaknya cara mengatur tempat duduk di dalam mobil adalah ... a. 60 b. 120 c. 180 d. 240 e. 280 JAWAB : D Karena hanya ada2 orang yang bisa menjadi sopir maka banyak cara mengatur tempat duduk sopir = 2 cara Banyak cara mengatur 4 orang penumpang dengan sisa 5 tempat duduk = 5C4 . 4! = 5 × 24 Jadi banyak cara mengatur tempat duduk di dalam mobil = 2 × 5 × 24=240 cara


HAL 9

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) 20. Sebuah bingkai foto yang berbentuk persegi diputar 45o dengan sumbu putar titik perpotongan diagonal-diagonalnya. Jika panjang sisi persegi adalah 1 cm. Luas irisan antara bingkai foto sebelum dan sesudah diputar adalah ... cm2. a. 1 + 2 2 b. 2 + 2 2 c. 1 d. 2 − 2 2 e. 2 2 − 2 JAWAB : E A B

D

C

F E

Diagonal persegi = AE = 2AD = AE – DF

2

2AD = 2 – 1 Segitiga ADC siku-siku samakaki sehingga DC = AD, Akibatnya: BC = 2 DC BC = 2 AD BC = ( 2 – 1) L segitiga ABC = ½ .BC . AD L segitiga ABC = ½ . ( 2 – 1) . ½ . ( 2 – 1) L segitiga ABC = ¼ ( 2 – 1)2 Luas arsiran = L persegi – 4 . L segitiga ABC Luas arsiran = 1 × 1 – 4 . ¼ ( 2 – 1)2 Luas arsiran = 1 – (2 - 2 2 + 1) Luas arsiran = – 2 + 2 2 Luas arsiran = 2 2 – 2 Jadi luas irisan antara bingkai foto sebelum dan sesudah diputar adalah 2 2 – 2 cm2


HAL 10


B. ISIAN SINGKAT 1. Lima permen identik (berbentuk sama). satu rasa apel. dua rasa jeruk dan dua rasa jahe akan dibagikan kepada lima sekawan Anto, Bono, Carli, Dodo dan Edo, sehingga masing-masing mendapat satu permen. Peluang Anto mendapat permen rasa jahe adalah ... JAWAB : Banyak cara menyusun 5 permen dengan 1 rasa apel, 2 rasa jeruk, dan 2 rasa jahe adalah permutasi 5 unsur dengan ada unsur yang sama. n(S) =

5! = 30 1!. 2!.2!

Jika Anto mendapat satu permen rasa jahe maka sisa 4 permen (1 rasa apel, 2 rasa jeruk, dan 1 rasa jahe) harus dibagi kepada 4 kawannya. Banyak cara menyusun adalah permutasi 4 unsur dengan ada unsur yang sama. n(A)=

4! = 12 1!.2!.1!

Jadi peluang Anto mendapat permen rasa jahe adalah =

n( A) 12 2 = = n( S ) 30 5

2. Jumlah angka-angka dari hasil kali bilangan 999999999 dengan 12345679 adalah ... JAWAB : 999999999 × 12345679 = 111111111 × 9 × 12345679 999999999 × 12345679 = 111111111 × 111111111 999999999 × 12345679 = 12345678987654321 Jumlah angka-angkanya = 2(1+2+3+4+5+6+7+8)+9 = 2(36) + 9 = 81

3. Perhatikan gambar berikut. ABCD persegi dengan panjang sisi sisinya adalah 2 cm. E adalah titik tengah CD dan F adalah titik tengah AD. Luas daerah EDFGH adalah ...

A

B G

F

H

D

C

E

JAWAB :

2

A 1

B

G Q

F

H

1

P

D

1

E

1

C

EDFQ merupakan persegi dengan panjang sisi 1 cm EF = DQ = BQ =

2

QP=FP=DP=PE = ½ 2


HAL 11

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) BP = BQ + QP =

2 +½ 2 =

Pada segitiga BPE berlaku :

3 2 2

BQ QH = BP PE 2 QH = 3 1 2 2 2 2 1 QH = 2 3 GH = 2QH = 2.

1 2 2= 2 3 3

Luas daerah EDFGH = L segitiga DEF + L trapesium EFGH Luas daerah EDFGH = ½ 1 . 1 + ½ .QP(GH + EF)

1 1 1 2  + . 2 + 2 2 2 2 2 3  1 1 2 1 2. 2+ 2. 2 Luas daerah EDFGH = + 2 4 3 4 1 1 1 1 Luas daerah EDFGH = + + = 1 2 3 2 3 1 2 Jadi luas daerah EDFGH= 1 cm 3 Luas daerah EDFGH =

4. Nilai jumlahan bilangan berikut adalah … 12 – 22 + 32 –42 + 52 –….–20102 + 20112 JAWAB: S =12 – 22 + 32 –42 + 52 –….–20102 + 20112 S = (1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6)+…..+(2009-2010)(2009+2010) + 20112 S = –3 + (–7 )+(–11)+…+(–4019) + 20112 S = –1(3+7+9+….+4019) + 20112 Perhatikan bahwa 3 + 7 + 9 + ….+ 4019 adalah deret aritmetika, maka Un = a + (n – 1)b 4019 = 3 + (n – 1).4 4n – 4 = 4016 4n = 4020 n = 1005

1005 (3 + 4019)) + 20112 2

S = − 1(

S= –1005 . 2011 + 20112 S= 2011(–1005 + 2011) S= 2011 . 1006 S= 2023066 Jadi Nilai jumlahan bilangan tersebut adalah 2023066 5. Jika barisan x1, x2, x3, …. Memenuhi: x1+ x2+ x3 +…..+xn = n3 untuk semua n bilangan asli, maka x100 = ... JAWAB : x1+ x2+ x3 +…..+xn = n3 x1+ x2+ x3 +………..+x100 = 1003 (x1+ x2+ x3 +………..+x99) + x100 = 1003


HAL 12

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) 993 + x100 = 1003 x100 = 1003 - 993 x100 = (100 – 99)(1002 + 100 . 99 + 992) x100 = (10000 + 9900 + (100 – 1)2 ) x100 = 19900 + (1002 –2 . 100 +12 ) x100 = 19900 + (10000 –200 + 1 ) x100 = 19900 + 9801 x100 = 29701 6. Semua pasangan bilangan bulat (a,b) yang memenuhi 2a = b2 – 1 adalah ... JAWAB : Untuk a=3, dan b = 3, maka 23 = 8,dan 32 – 1 = 8 Untuk a=3, dan b = –3, maka 23 = 8,dan (–3)2 – 1 = 8 Jadi semua pasangan bilangan bulat yang memenuhi 2a = b2 – 1 adalah (3,3) , dan (3, –3) 7. Tersedia beberapa angka 2. 0, dan 1. Angka dua ada sebanyak lima buah masing-masing berwarna merah, hijau, kuning, biru dan nila. Angka nol dan satu masing-masing ada sebanyak empat buah dengan warna masing-masing merah, hijau, kuning dan biru. Selanjutnya menggunakan angka -angka tersebut akan dibentuk bilangan 2011 sehingga angka-angka yang bersebelahan tidak boleh sewarna. Contoh pewarnaan yang dimaksud: 2 (merah) 0 (hijau) 1(merah) 1 (biru). contoh bukan pewarnaan yang dimaksud: 2 (merah) 0 (hijau) 1 (hijau 1 (biru). Banyaknya bilangan 2011 dengan komposisi pewarnaan tersebut adalah ... JAWAB : Diketahui beberapa angka berwarna yang terdiri dari : 5 angka 2 berwarna, misalkan ditulis : 2M,2H,2K,2B,2N 4 angka 0 berwarna, misalkan ditulis : 0M,0H,0K,0B 4 angka 1 berwarna, misalkan ditulis : 1M,1H,1K,1B Banyak cara menyusun bilangan 2011 dapat kita hitung sbb : 2M

0H/K/B

1

3

2H

0M/K/B

1

3

2K

0M/H/B

1

3

2B

0M/H/K

1

3

2N 1

1../../.. 1../../.. 3

3

Banyak cara 27

1../../.. 1../../.. 3

3

27

1../../.. 1../../.. 3

3

27

1../../.. 1../../.. 3

3

27

0M/H/K/B 1../../.. 1../../.. 4

3

3

JUMLAH

36 144

Jadi banyaknya bilangan 2011 dengan komposisi pewarnaan tersebut adalah 144 bilangan 8. Sebuah kotak berisi 500 kelereng berukuran sama yang terdiri dari 5 warna dimana masingmasing kelereng sewarna berjumlah 100. Minimum banyaknya kelereng yang harus diambil secara acak sedemikian sehingga kelereng yang terambil dijamin memuat sedikitnya 5 kelereng yang berwarna sama adalah ...


HAL 13

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) JAWAB : Diketahui: • 500 kelereng berukuran sama • terdiri 5 warna yang berbeda. Misalkan warna merah (M), kuning (K), hijau (H), biru (B), dan putih (P) • Banyaknya kelereng sewarna masing-masing 100 buah. Paling sedikit kita harus mengambil 21 kelereng secara acak sehingga dijamin memuat sedikitnya 5 kelereng yang berwarna sama. Kemungkinan terkecil yang terjadi adalah M = 4, K = 4, H = 4, B = 4, dan P = 5. Pengambilan kurang dari 21 buah tidak dijamin .Misalkan mengambil 20 buah maka dimungkinkan terjadi M = 4, K = 4, H = 4, B = 4, dan P = 4, sehingga paling sedikit terambil 4 kelereng berwarna sama.

9. Jika (3 + 4 ) (32 + 42 ) (34 + 44 ) (38 + 48 ) (316 + 416 ) (332 + 432 ) = (4x – 4y ). Maka x – y = … JAWAB : (3 + 4 ) (32 + 42 ) (34 + 44 ) (38 + 48 ) (316 + 416 ) (332 + 432 ) = (4 + 3 ) (42 + 32 ) (44 + 34 ) (48 + 38 ) (416 + 316 ) (432 + 332 ) 32 (4 2 − 32 ) 2 (4 8 − 38 ) 8 − 332 ) 32 8 (4 .( 4 + 332 ) .( 4 + 3 2 ) 4 .( 4 + 3 ) 4 −3 4 − 34 416 − 316 (4 4 − 34 ) (416 − 316 ) (4 64 − 364 ) = . 4 . 16 16 4−3 4 − 34 4 −3 64 64 (4 − 3 ) = 4 −3

=

= 464 − 364 = 4x − 3 y

Diperoleh x = 64, dan y = 64 x – y = 64 – 64 = 0 Jadi nilai x – y = 0 10. Suatu himpunan disebut berjenis H jika memenuhi sifat: a) Himpunan tersebut beranggotakan tiga bilangan bulat tak negatif. b) Rata-rata ketiga bilangan anggota himpunan tersebut adalah 15. Banyaknya semua Himpunan berjenis H ini adalah ... JAWAB : H = {a, b, c} ; a>0, b>0, c>0

a+b+c = 15 3 ⇔ a + b + c = 45

Semua anggota himpunan H dapat didaftar sebagai berikut:

0,1,44  0,2,43  22 buah ..........  0,22,23

1,1,43  2,3,43  3,4,38    1,2,42  2,4,42  3,5,37  21 buah 19 buah 17 buah .......... ..........  ..........  1,21,23 2,21,22 3,20,22

5,6,34  6,7,32   5,7,33  6,8,31  14 buah 13 buah ..........  ..........  5,19,21 6,19,20


7,8,30  7,9,29  11 buah ..........  7,18,20

8,9,28  8,10,27 10buah ..........  8,18,19 

4,5,36  4,6,35  16 buah ..........  4,20,21

9,10,16 9,11,15  8 buah ..........  9,17,19

HAL 14

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG) 10,11,24 11,12,22 12,13,20 13,14,18 14,15,16      10,12,23 11,13,21 12,14,19  13,15,17  7buah 5 buah 4 buah 2 buah 1 buah ..........  ..........  ..........         10,17,18 11,16,18  12,16,17   Banyaknya himpunan berjenis H seluruhnya = 22 + 21 + 19 + 17 + 16 + 14 + 13 + 11 + 10 + 8 + 7 + 5 + 4 + 2 + 1 = 169 buah


HAL 15

KOTA TAHUN 2011 BIDANG STUDI MATEMATIKA WAKTU : 150 MENIT

Recommend Documents